solucionario tema 16 - COLEGIO SAN VICENTE DE PAÚL GIJÓN

16 Probabilidad condicionada
ACTIVIDADES INICIALES
16.I.
En una determinada prueba, se han obtenido estos valores: VP = 17, FN = 3, FP = 2, VN = 78.
Halla su sensibilidad y su especificidad.
Sensibilidad:
VP
17
VN
78
= = 0,85 . Especificidad:
= = 0,975
VP+FN 20
VN+FP 80
16.II. Una determinada enfermedad es mortal si no se trata, pero el tratamiento no tiene graves
efectos secundarios para los pacientes sanos. En este caso, es importante detectar el mayor
número posible de enfermos, aunque se cuelen falsos positivos. ¿Qué tipo de prueba es
preferible, con mucha sensibilidad y poca especificidad o al contrario?
Es preferible que la prueba tenga una sensibilidad alta, ya que es fundamental identificar al mayor
número posible de enfermos.
16.III. En el caso anterior, ¿por qué no se trata directamente a todos los pacientes, para asegurar que
todos los enfermos reciben tratamiento?
Hay muchas razones. Económicamente, no es rentable dar un tratamiento a muchas personas que no
lo necesitan. Tampoco se sabría la incidencia de la enfermedad entre la población. Además, si hay
algún efecto secundario, se estaría causando molestias a un gran número de pacientes sin
necesidad.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
16.1. Actividad resuelta.
16.2. Se lanzan dos dados octaédricos de diferente color con las caras numeradas del 1 al 8. Halla
las siguientes probabilidades:
a)
Obtener un cinco.
b)
Obtener un 3 y un 7.
c)
La suma de las caras es igual a 10.
Llamamos D1 y D2 a los dados
a)
P ( Obtener un 5 ) = P ( cinco en D1)· P ( otro valor D2 ) + P ( cinco en D2 )· P ( otro valor D1) =
1 7 7 1 14
7
= · + · =
=
8 8 8 8 64 32
b)
P ( Obtener un 3 y un 7 ) = P ( 3 en D1)· P ( 7 en D2 ) + P ( 7 en D2 )· P ( 3 en D1) =
11 11
2
1
= · + · =
=
8 8 8 8 64 32
c)
18
P (La suma es 10 ) =
Unidad 16 | Probabilidad
7
64
16.3. Se lanzan un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6 y dos monedas.
a)
b)
a)
Forma el diagrama de árbol. ¿Cuántos resultados se obtienen?
Halla la probabilidad de que salgan un número primo y 2 caras.
Se obtienen 6 · 2 · 2 = 24 resultados.
b)
Los resultados “Número primo y 2 caras” son {2CC}; {3CC}; {5CC}.
3
1
=
P ( Obtener un primo y dos caras
) =
24 8
16.4. Actividad resuelta.
16.5. En un campamento de verano hay inscritos 90 jóvenes, de los cuales 70 hablan inglés con
fluidez; 25, francés, y 15, ambos idiomas. Escogido un joven al azar, halla la probabilidad de
que:
a)
Hable los dos idiomas.
b)
Hable francés, sabiendo que habla inglés.
Sean A = “habla inglés”; B = “habla francés”
a)
P (Hable los dos idiomas ) = P ( A ∩ B ) =
b)
P (A ∩ B)
=
=
P (B/A
)
P ( A)
15 1
=
90 6
15
15
3
90
= =
70 70 14
90
Probabilidad | Unidad 16
19
16.6. Si P ( A ∩ B ) = 0,11, P( A ) = 0,64 y P( B ) = 0,49, halla P(A/B) y P(B/A).
( )
P (B ) =
1− P (B ) =
1 − 0,49 =
0,51
P (A) =
1− P A =
1 − 0,64 =
0,36
P (A ∩ B)
=
P ( A)
P ( A ∩ B)
P ( A/B
=
=
)
P (B )
=
P (B/A
)

0,11
= 0,305
0,36
0,11
≈ 0,2157
0,51
16.7. Sabiendo que el 24 % de una población es miope y que de ellos un 8 % tiene astigmatismo,
halla el porcentaje de los que padecen ambos defectos.
El 8 % del 24 % en tanto por uno es 0,08 · 0,24 = 0,0192, lo que hace que el 1,92 % de la población
padezca ambos defectos.
16.8. Actividad resuelta.
16.9. En un equipo de fútbol hay 18 jugadores diestros y 3 zurdos. Elegidos 5 jugadores al azar para
lanzar los penaltis, halla la probabilidad de que el primero y el tercero sean zurdos.
P (1º y 3º zurdos ) =
P (1º, 2º y 3º zurdos ) + P (1º y 3º zurdos y 2º diestro ) =
=
3 2 1
3 15 2
96
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
≈ 0,0196
18 17 16 18 17 16 4896
16.10. Dados dos sucesos, A y B, se sabe que:
P(A) = 0,6 P(B) = 0,5 P ( A ∪ B ) = 0,8
a)
Halla P ( A ∩ B ) .
b)
¿Son A y B independientes?
a)
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) ⇒ 0,8 = 0,6 + 0,5 − P ( A ∩ B ) ⇒ P ( A ∩ B ) = 0,3
b)
P ( A )·P ( =
B ) 0,6·0,5
= 0,3
= P ( A ∩ B ) luego sí son independientes.
16.11. En una carrera participan 225 hombres y 175 mujeres, distribuidos en tres categorías: júnior,
sénior y veterano. En la de veterano se han apuntado 75 hombres y 90 mujeres, y en la de
júnior, 25 chicos y 15 chicas.
Se elige un dorsal al azar. Calcula la probabilidad de que sea:
a) Mujer.
b) Corredor masculino júnior.
c) De la categoría sénior.
d) De la categoría júnior, sabiendo que es hombre.
e) Hombre, sabiendo que pertenece a la categoría júnior.
Sean H = “ser hombre”; M = “Ser mujer”; V = “ser veterano”; J = “ser junior”; S = “ser sénior”
Número de hombres sénior: 225 – 75 – 25 = 125; Número de mujeres sénior: 175 – 90 – 15 = 70
20
a)
175
7
d)
P (=
M) =
400 16
b)
25
1
P ( H ∩ J )=
=
400 16
c)
P=
(S )
Unidad 16 | Probabilidad
195 39
=
400 80
P (J ∩ H )
P ( J |=
H)
=
P (H )
e)
25
25
1
400
= =
225 225 9
400
P (J ∩ H )
P (H | =
J)
=
P (J )
25
25 5
400
= =
40
40 8
400
16.12. Actividad resuelta.
16.13. De una bolsa que contiene cinco bolas azules, seis negras y tres rojas se sacan tres de ellas.
Halla la probabilidad de que sean del mismo color.
P (Mismo color =
) P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + P ( N1 ∩ N2 ∩ N3 ) + P ( R1 ∩ R2 ∩ R3 =)
5 4 3
6 5 4
3 2 1
186
31
=· ·
+ · ·
+ · ·
= =
14 13 12 14 13 12 14 13 12 2184 364
16.14. Se lanzan tres monedas en las que la probabilidad de salir cara es 0,4. Halla la probabilidad de
obtener dos caras y una cruz.
P ( cruz ) =
1 − P ( cara ) =
1 − 0,4 =
0,6
P ( dos caras y una cruz =
) P (C1 ∩ C2 ∩ X 3 ) + P (C1 ∩ X 2 ∩ C3 ) + P ( X1 ∩ C2 ∩ C3 =)
= 0,4 · 0,4 · 0,6 + 0,4 · 0,6 · 0,4 + 0,6 · 0,4 · 0,4 = 0,288
16.15. Una empresa fabrica MP4 en tres fábricas. El 35 % en la fábrica A, el 45 % en la B y el resto en
la C. La probabilidad de que un MP4 de la fábrica A sea defectuoso es de 0,0015, de que lo sea
de la B es de 0,001, y de que lo sea de la C es de 0,0005. Escogido un MP4 al azar, halla la
probabilidad de que sea defectuoso.
A = “fabricado en A”
B = “fabricado en B” P
C = “fabricado en C”
P(A) = 0,35
P(B) = 0,45
P(C) = 0,20
P(D|A) = 0,0015
P(D|B) = 0,001
P(D|C) = 0,0005
D = “es defectuoso”
P (D )= P ( A ∩ D ) + P ( B ∩ D ) + P (C ∩ D )= P ( A)·P (D | A) + P (B )·P (D | B ) + P (C )·P (D | C )=
= 0,35 · 0,0015 + 0,45 · 0,001 + 0,2 · 0,0005 = 0,001075
Probabilidad | Unidad 16
21
EJERCICIOS
Experimentos compuestos. Probabilidad condicionada
16.16. En el armario de Luis hay seis camisetas blancas, cuatro azules, tres negras y dos rojas. Si
saca consecutivamente dos camisetas, ¿qué tipo de experimento realiza?
Dibuja el diagrama de árbol con los resultados posibles y calcula la probabilidad de los
siguientes sucesos.
a)
Sacar dos camisetas negras.
b)
Sacar la primera camiseta blanca y la segunda azul.
a)
P ( N1 ∩ N2 ) = P (N1 ) · P (N2 / N1 ) =
3 2
6
·
=
≈ 0,0286
15 14 210
b)
P ( B1 ∩ A2 ) = P (B1 ) · P ( A2 / B1 ) =
6 4
24
·
=
≈ 0,1143
15 14 210
16.17. Si al sacar tres cartas de una baraja española obtengo tres oros, ¿la probabilidad de obtener
una espada, si hacemos una cuarta extracción, es la misma si devuelvo las cartas a la baraja
que si no lo hago? ¿Por qué?
No, porque aunque el número de casos favorables es el mismo, si no devolvemos las tres primeras
cartas el número de casos posibles para la cuarta extracción es distinto en ambos casos. En
particular:
Con reposición: P ( espada
=
)
Sin reposición: P ( espada
=
)
22
Unidad 16 | Probabilidad
10
= 0,25
40
10
≈ 0,27
37
16.18. Si lanzo dos dados de seis caras, ¿qué es más probable lograr como suma, 7 o 10?
Representamos las sumas en una tabla de contingencia.
Dado 1
Dado 2
1
2
3
1
5
6
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
3
1
6
1
=
=
P ( suma 10
) =
36 12
36 6
La probabilidad de obtener como suma 7 es el doble de la probabilidad de obtener como suma 10.
P ( suma =
7)
16.19. Se extraen cuatro fichas de un dominó. Averigua la probabilidad de que ninguna sea doble.
(
)
De 28 fichas 7 son dobles, por tanto, P D1 ∩ D2 ∩ D3 ∩ D4 =
21 20 19 18
⋅
⋅
⋅
≈ 0,29
28 27 26 25
16.20. En un experimento que consiste en extraer una carta de la baraja española se consideran los
siguientes sucesos.
A = “obtener una figura”
B = “obtener un oro”
Explica razonadamente cuál de las siguientes probabilidades es mayor, P(A/B) o P(B/A).
3
P (A ∩ B) =
40
3
3
P ( A ∩ B ) 40
P ( A ∩ B ) 40
3
3
1
P ( A /=
B)
P (B / =
A)
= =
= = =
10 10
12 12 4
P (B )
P ( A)
40
40
Es mayor P(A/B).
Independencia de sucesos
16.21. Dados los sucesos A, B y C, conocemos las siguientes probabilidades:
10
2
2
P(C) =
P (B ∩ C ) =
63
13
9
3
12
5
P(B) =
P(A/B) =
P (A ∩ C) =
104
13
7
¿Qué parejas de sucesos son independientes?
P(A) =
Observación: si X e Y son independientes entonces =
P(X /Y )
P ( X ∩ Y ) P ( X )·P (Y )
=
= P( X )
P (Y )
P (Y )
12
2
≠
= P ( A) por tanto, no son independientes.
13 13
2 2
4
3
Sucesos A y C: P ( A) · P (C ) =
· =
≠
= P ( A ∩ C ) por tanto, no son independientes.
13 9 117 104
5 2 10
Sucesos B y C: P (B ) · P (C
=
)
·= = P ( A ∩ C ) por tanto, sí son independientes.
7 9 63
Sucesos A y B: P ( A / B ) =
Probabilidad | Unidad 16
23
16.22. La probabilidad de que un jugador de baloncesto enceste un tiro libre es de 0,85. Si lanza
consecutivamente dos tiros libres, ¿cuál es la probabilidad de que no acierte con ninguno de
ellos? ¿Son sucesos independientes? Razona tu respuesta.
Sean los sucesos E1 = “encestar en el primer tiro libre” y E2 = “encestar en el segundo tiro libre”.
( )
P ( E ∩ E )= P ( E ) · P ( E / E =
)
( )
0,0225
= P ( E )· P ( E )
P ( E1 ) =
P ( E2 ) =
0,85 ⇒ P E1 =
1 − P ( E1 ) =
0,15 =
P E2
1
2
1
2
1
0,15 · 0,15=
1
2
Son sucesos independientes.
16.23. Si P ( A ∩ B ) =
P ( A ) · P (B ) =
4
5
2
, P(A) =
y P(B) = , ¿son A y B independientes? Calcula P(B/A).
5
6
7
4 5 20 2 2
· =
= ≠ = P ( A ∩ B ) luego no son independientes.
5 6 30 3 7
P( A ∩ B)
P (B / A=
)
=
P ( A)
2
5
7= 10
=
4 28 14
5
16.24. Si A y B son dos sucesos independientes tales que P ( A) = 0,4 y P(B) = 0,3:
24
a)
Calcula P(A/B).
b)
Halla P ( A ∪ B ) .
a)
P (A / B)
b)
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A)·P (B ) = 0,6 + 0,3 − 0,6·0,3 = 0,72
Unidad 16 | Probabilidad
=
por ser independientes
( )
P ( A) =
1− P A =
1 − 0,4 =
0,6
Tabla de contingencia
16.25. Copia y completa la siguiente tabla de contingencia, que muestra el tipo de medio de
transporte que utilizan para llegar hasta su puesto de trabajo los 200 empleados de una
empresa situada en la periferia de una gran ciudad.
Hombres
Público
Privado
Mujeres
50
85
120
Se escoge un trabajador al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) Sea un hombre y utilice el transporte público.
b) Utilice el transporte público sabiendo que es un hombre.
c) Sea una mujer sabiendo que usa transporte privado.
d) ¿Los sucesos “ser hombre” y “utilizar el transporte público” son dependientes o
independientes? Razona tu respuesta.
a)
b)
c)
d)
Hombres
Mujeres
Público
35
50
85
Privado
85
30
115
80
200
120
35
7
P ( hombre ∩ transporte público ) =
=
200 40
35
7
=
P ( transporte público / hombre
) =
120 24
30
6
=
P ( mujer / transporte privado
) =
115 23
Son dependientes ya que:
35
7
85
= ≠
=P ( transporte público )
P ( transporte público / hombre ) =
120 24 200
16.26. En el menú del día de un restaurante hay arroz, sopa de espinacas o ensalada mixta para elegir de
primer plato, y bacalao o entrecot de segundo.
De los 45 comensales que hay en el restaurante, 18 escogieron sopa de espinacas; 13, arroz; 8
comieron entrecot y ensalada, y de los 23 que tomaron bacalao, 10 eligieron sopa de
espinacas de primero.
Escogido un comensal al azar, halla la probabilidad de que:
a) Haya comido sopa y entrecot.
b) Haya elegido bacalao si sabemos que ha tomado ensalada de primero.
c) Haya tomado sopa de primero si sabemos que ha elegido entrecot.
Se construye una tabla de contingencia:
Bacalao
Entrecot
a)
b)
c)
Arroz
7
6
13
Sopa
10
8
18
Ensalada
6
8
14
23
22
45
8
P ( sopa ∩ entrecot ) =
45
6
3
P ( bacalao / ensalada
=
) =
14 7
P ( sopa ∩ entrecot )
8
4
o bien P ( sopa / entrecot
P ( sopa / entrecot
=
=
=
) =
)
22 11
P ( entrecot )
8
8
4
45
= =
22 22 11
45
Probabilidad | Unidad 16
25
16.27. Copia y completa la tabla de contingencia referida a los sucesos A, B, C y D, de los que
conocemos las siguientes probabilidades condicionadas.
P(B/C) =
15
25
P(D/B) =
12
27
P(D/A) =
5
15
Ten en cuenta que las fracciones no han sido simplificadas.
A
10
5
15
C
D
B
15
12
27
25
17
42
Probabilidad total
16.28. Extraemos sucesivamente cuatro bolas de la urna de la figura. Calcula la
probabilidad de obtener la palabra ROMA en los siguientes casos.
a)
Devolviendo la bola a la urna después de cada extracción.
b)
Sin devolverla.
a)
A4 )
P (R1 ∩ O2 ∩ M3 ∩
=
b)
P ( R1 ∩ O2 ∩ M3 ∩=
A4 ) P ( R1 ) · P (O2 / R1 ) · P ( M3 / R1 ∩ O2 ) · P ( A4 / R1 ∩ O2 ∩=
M3 )
1 1 1 1
1
· =
· ·
4 4 4 4 256
1 1 1
1
· =
· ·1
4 3 2
24
16.29. Un examen de Historia consiste en desarrollar un tema a elegir entre dos propuestos. Alejandra se
ha preparado el 60 % de los temas. Halla la probabilidad de que apruebe el examen.
Para aprobar el examen debe elegirse al menos un tema que se sepa, por tanto, si el número de
temas es suficientemente alto tendremos:
P ( aprobar=
) P ( conocer al menos un tema=) 2·P ( conocer solo uno ) + P ( conocer los dos=)
= 2 · 0,6 · 0,4 + 0,6 · 0,6= 0,84
También se puede plantear por paso al suceso contrario:
P ( aprobar ) =
1 − P ( suspender ) =
1 − P ( desconocer los dos ) =
1 − 0,4 · 0,4 =
0,84
16.30. Se extraen dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que sean del mismo palo.
P (Dos oros ∪ Dos copas ∪ Dos espadas ∪ Dos bastos ) =
10 9
360
=
P (Dos oros ) + P (Dos copas ) + P (Dos espadas ) + P (Dos bastos ) =
≈ 0,231
· ·4 =
40 39
1560
16.31. Si se tiran tres dados de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de que en todas las caras aparezca
igual número de puntos?
P ( tres unos ∪ tres doses ∪ ..... ∪ tres
=
=
seises ) P ( tres unos ) + P ( tres doses ) + ... + P ( tres
seises )
1 1 1
1
= =
· · ·6
6 6 6
36
26
Unidad 16 | Probabilidad
16.32. Un jugador de dardos dispone de dos oportunidades de dar en el blanco de una diana.
La probabilidad de acertar cuando lanza es de 0,63.
a)
Halla la probabilidad de que atine al menos una vez.
b)
¿Cuál es la probabilidad de que falle en los dos lanzamientos?
a)
La probabilidad de fallar es 1 – 0,63 = 0,37. Como los lanzamientos son independientes:
P ( acertar al menos uno ) =
1 − P ( fallar los dos ) =
1 − 0,37· 0,37 =
0,8631
b)
P ( fallar=
los dos ) 0,37·0,37
= 0,1369
16.33. Una urna contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Si se forman todos los números posibles de
tres cifras al extraer tres bolas de dicha urna sin remplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que
el número formado sea par?
¿Y si las extracciones se efectúan con remplazamiento?
Sin remplazamiento se pueden formar 4 · 3 · 2 = 24 números. Si exigimos que las unidades sean pares
12
podremos formar 2 · 3 · 2 = 12 números. La probabilidad pedida es
= 0,5 .
24
3
Con remplazamiento se pueden formar 4 = 64 números. Si exigimos que las unidades sean pares
32
2
podremos formar 2 · 4 = 32 números. La probabilidad pedida es
= 0,5 .
64
Nótese que en realidad el problema consiste en ambos casos en elegir una bola que corresponderá a las
unidades del número y la mitad de las bolas tienen un número par.
16.34. Considera el experimento compuesto que consiste en lanzar una moneda al aire y, si sale cara, se
extrae una bola de la primera urna, y si aparece cruz, una de la segunda.
Dibuja un diagrama de árbol indicando la probabilidad de cada suceso y calcula la
probabilidad de que la bola extraída sea blanca.
1 7 1 4
11
P ( blanca ) = ·
+ ·
= =
0,55
2 10 2 10 20
Probabilidad | Unidad 16
27
16.35. En un centro de enseñanza secundaria, el 55 % de los estudiantes matriculados son chicas. Se
sabe que el 65 % de las alumnas no han estado enfermas durante el curso y que el 25 % de los
alumnos tampoco.
Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se haya encontrado enfermo?
Realiza el diagrama de árbol correspondiente.
P ( enfermo ) = 0,55·0,35 + 0,45·0,75 = 0,53
16.36. María y Paula juegan un partido de tenis de mesa. La vencedora será la primera que gane dos de
los tres sets de los que consta el encuentro.
a)
Dibuja un diagrama de árbol con todos los posibles resultados.
b)
Calcula la probabilidad de que Paula gane el partido si la probabilidad de que María logre
un set es de 0,4.
a)
b)
Considerando los sucesos Pi = “Paula gana el set i” y Mi = “María gana el set i”, por el teorema de la
probabilidad total tenemos:
P ( gane Paula )= P ( P1 ∩ P2 ) + P ( P1 ∩ M2 ∩ P3 ) + P ( M1 ∩ P2 ∩ P3 )=
= 0,6 ⋅ 0,6 + 0,6 ⋅ 0,4 ⋅ 0,6 + 0,4 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6 = 0,648
16.37. Se tira un dado octaédrico con las caras numeradas del 1 al 8 y, si sale número par, se extrae una
bola de una urna que contiene cuatro bolas amarillas y seis moradas, y si sale impar, se toma una
bola de otra urna que guarda ocho bolas amarillas y dos moradas. Halla la probabilidad de sacar
una bola morada.
4 6 4 2
32 2
P ( sacar bola morada ) =
·
+ ·
= ==
0,4
8 10 8 10 80 5
28
Unidad 16 | Probabilidad
16.38. En una bolsa hay cuatro monedas; dos de ellas están trucadas de tal modo que la probabilidad
de salir cara en una de ellas es de
1
, y en la otra, la probabilidad de salir cruz es de 0,4.
3
Se lanza dos veces una moneda escogida al azar. Halla la probabilidad de sacar dos cruces.
Sean E = “sacar una moneda equilibrada”; T1 = “Sacar moneda trucada 1”; T2 = “Sacar moneda
trucada 2”.
Además sabemos que ambas tiradas son independientes, por tanto tenemos:
P ( Sacar dos cruces ) =P ( E )· P ( X / E )· P ( X / E ) + P (T1 )· P ( X / T1 )· P ( X / T1 ) + P (T2 ) · P ( X / T2 ) · P ( X / T2 ) =
2 1 1 1 2 2 1 4 4
2
4
4
497
= · · + · · + · ·
=
+
+
=
≈ 0,276
4 2 2 4 3 3 4 10 10 16 36 100 1800
PROBLEMAS
16.39. En una población, la probabilidad de medir más de 170 centímetros es del 30 %, y la de ser
aficionado al cine es del 65 %.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar mida menos de dicha altura y le
guste el cine?
Por tratarse de sucesos independientes:
P ( medir menos de 170 cm ∩ ser aficionado al cine ) =
0,7· 0,65 =
0,455
16.40. Según un informe de la Cruz Roja sobre los enfermos que padecen paludismo en África, si son
atendidos en un dispensario, los
3
se curan al cabo de tres semanas.
5
En una muestra al azar de cinco pacientes, calcula la probabilidad de que:
a)
Se curen exactamente tres.
b)
Sanen al menos dos.
c)
Se recuperen todos.
a)
Consideremos los sucesos Ai = “se cure el enfermo i”.
=
P ( Ai )
a)
5 3 
P ( se curen exactamente 3 ) =   
3 5 
b)
P ( sanen al menos 2 ) =
1 − P ( sane 1 ∪ sane ninguno ) =
1 − P ( sane 1) − P ( sane ninguno ) =
2
1 − 5·  
5
4
3
( )
3
2
; P Ai
=
5
5
2
27 4
2
·  =10 ⋅
⋅
≈ 0,346
5
125
25
 
5
272
3 2
·  −  =
1−
=
0,91296
5
5
3125
   
5
3
243
c) P ( sanen todos
=
= 0,07776
) =

3125
5
Probabilidad | Unidad 16
29
16.41. Silvia posee una moneda de 2 euros, dos de 1 euro, una de 50 céntimos y otra de 20. Si toma
del monedero dos monedas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad que sumen
ambas sea superior a un euro?
La suma es inferior a 1 € solo si las monedas extraídas son la de 50 céntimos y la de 20 céntimos,
por tanto:
P ( sumen más de 1€ ) =
1 − P ( sumen menos de 1€ ) =
1 − P ( extraer la de 50 cént y la de 20 cént ) =
1 1
9
=
1 − 2· · =
5 4 10
16.42. En un aula con 24 estudiantes de 1.º de ESO, los profesores de Matemáticas, Lengua e Inglés
piden cada día al azar los cuadernos a algunos alumnos para revisarlos. El de Matemáticas se
lo reclama a cuatro alumnos, el de Lengua a seis y el de Inglés a ocho.
Halla la probabilidad de que a un alumno concreto, en un día:
a)
Le pidan dos cuadernos.
b)
No le reclamen ninguno.
c)
Le soliciten los tres cuadernos.
d)
Tenga que entregar al menos un cuaderno.
Sean los sucesos M =” le piden el de Matemáticas”; L = “le piden el de Lengua”;
I = “le piden el de inglés”.
a)
(
)
(
)
(
)
P ( le pidan 2=
I
) P M ∩ L ∩ I + P M ∩ L ∩ I + P M ∩ L ∩=
4 6 16
4 18 8
20 6 8
5
· ·
+
· ·
+
· ·
=
24 24 24 24 24 24 24 24 24 36
(
)
20 18 16
5
·
· =
24 24 24 12
b)
P ( no le pidan ninguno=
) P M ∩ L ∩ I=
c)
P ( le pidan los tres=
I)
) P (M ∩ L ∩=
d)
P ( le pidan al menos 1) =−
1 P ( no le pidan ninguno ) =−
1
4 6 8
1
· · =
24 24 24 72
5
7
=
12 12
16.43. En un país, la probabilidad de nacimientos de hijos varones está en torno al 52 %. Halla la
probabilidad de que una familia de cuatro hijos tenga:
30
a)
Por lo menos un niño.
b)
Exactamente, una niña y tres niños.
c)
No tenga ningún niño.
a)
P ( al menos un niño ) =
1 − P ( todas niñas ) =
1 − ( 0,48 ) ≈ 0,947
b)
3
 4
P ( una niña
=
y tres niños )   · ( 0,48 )( 0,52 ) ≈ 0,236
1
 
c)
P ( todas =
niñas )
4
Unidad 16 | Probabilidad
( 0,48 )4
≈ 0,053
16.44. Un árbol de Navidad está alumbrado por una tira de 25 bombillas de colores nuevas. Si la
probabilidad de que una de ellas se funda antes de 15 días es de 0,1, ¿cuál es la probabilidad
de que el alumbrado del árbol funcione sin problemas durante los 15 días de las fiestas
navideñas?
P ( ninguna se funda
=
)
( 0,9 )
25
≈ 0,072
16.45. Una entidad bancaria realiza un sorteo de tres premios entre sus clientes, para ello reparte
1000 papeletas. Uno de los clientes habituales tiene en su poder 20 números. ¿Cuál es la
probabilidad de que reciba algún premio?
980 979 978
P ( obtenga algún premio ) =
1 − P ( no obtenga ningún premio ) =
1−
·
·
≈ 0,059
1000 999 998
16.46. Las estadísticas de los derbis entre dos equipos de la misma ciudad e históricamente rivales
son las siguientes: el 25 % de las veces ha ganado el equipo A; el 45 %, el conjunto B, y el
30 % han empatado. En el próximo torneo van a enfrentarse en tres ocasiones.
a)
¿Cuál es la probabilidad de que gane A los tres partidos?
b)
¿Cuál es la probabilidad de que A venza al menos en un partido?
a)
P ( A gane los
=
tres )
b)
P ( A gane al menos un partido ) =
1 − P ( A no gane ninguno ) =
1 − ( 0,75 ) =
0,578125
3
0,25 )
(=
0,015625
3
16.47. El departamento de selección de personal de una empresa entrevista a 65 candidatos para un
puesto, 35 de ellos poseen experiencia laboral previa y 40 disponen de un título universitario.
a)
¿Cuál es la probabilidad de que el elegido tenga experiencia laboral?
b)
¿Cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que tenga experiencia laboral y un título
universitario?
Sean A = “tiene experiencia”; B = “tiene titulación”.
35
7
=
65 13
a)
P (A
=
)
b)
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B ) ⇒ 1 =
35 40
10
+
− P (A ∩ B) ⇒ P (A ∩ B) =
65 65
65
16.48. Un profesor tiene dos estuches. Uno contiene cinco bolígrafos azules y tres negros, y el otro, dos
azules y seis negros.
Si abre un estuche al azar y extrae un bolígrafo:
a)
¿Cuál es la probabilidad de que sea negro?
b)
Si el bolígrafo elegido es de color azul, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya tomado del
segundo estuche?
Sean E1 = “elige el estuche 1”; E2 = “elige el estuche 2”; N = “elige bolígrafo negro”; B = “elige
bolígrafo azul”.
a)
P ( N ) = P ( E1 )·P ( N / E1 ) + P ( E2 )·P ( N / E2 ) =
b)
P ( E2 ∩ A )
=
P ( E2 =
/ A)
P ( A)
1 2
⋅
2=
8
9
1−
16
1
8
=
7
16
1 3 1 6
9
· + · =
2 8 2 8 16
2
7
Probabilidad | Unidad 16
31
16.49. Pedro desea coger la bicicleta guardada en su trastero y para ello necesita abrir dos puertas.
Dispone de cuatro llaves, dos de ellas abren la primera puerta, otra abre la segunda y la cuarta
es la llave maestra.
Si escoge las llaves al azar, ¿cuál es la probabilidad de que abra las dos puertas en el primer
intento?
Sean los sucesos A = “coge una llave de la 1ª puerta”; B = “coge la llave de la 2ª puerta”;
M = “coge la llave maestra”.
P ( Abre las dos a la primera ) = P ( A )· P ( B ∪ M / A ) + P ( M )· P ( B / M ) =
2 2 1 1 5
· + · =
4 3 4 3 12
16.50. En una empresa, los productos pasan por tres pruebas de calidad independientes. En la primera
se detecta un 8 % de productos con defectos; en la segunda, un 12 %, y en la tercera, un 15 %.
Halla la probabilidad de que un producto pase el control de calidad en:
a) Tres pruebas
b) Dos pruebas
c) Una prueba
Sean los sucesos A = “pasa la 1ª prueba”; B = “pasa la 2ª prueba”; C = “pasa la 3ª prueba”.
a)
P ( pasa las tres pruebas=
) P ( A ∩ B ∩ C=) 0,92·0,88·0,85= 0,68816
b)
P ( pasa dos pruebas=
) P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C=
(
)
(
)
(
)
= 0,92 · 0,88 · 0,15 + 0,92 · 0,12 · 0,85 + 0,08 · 0,88 · 0,85 = 0,27512
c)
(
)
(
)
(
)
P ( pasa una prueba=
) P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C=
= 0,92 · 0,12 · 0,15 + 0,08 · 0,88 · 0,15 + 0,08 ·0,12 ·0,85 = 0,03528
AMPLIACIÓN
16.51. En una urna hay seis bolas blancas y cuatro negras. Extraemos sucesivamente (sin
devolución) tres bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que hayamos sacado dos blancas y
una negra?
a)
11
32
b)
1
2
c)
1
6
d)
3
10
Llamando BN… al suceso “obtener 1ª blanca, 2 ª negra…”, el suceso pedido es:
6 5 4
6 4 5
4 6 5 360 1
P ( dos blancas y una negra ) =
P ( BBN ) + P ( BNB ) + P ( NBB ) = · · +
· · +
· · = =
10 9 8 10 9 8 10 9 8 720 2
La respuesta es la opción b).
16.52. En una urna hay tres bolas numeradas del 1 al 3. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraerlas
una a una no salgan en orden correlativo creciente?
a)
5
6
b)
1−
1
3
c)
1
2
d)
1
3
Hay 6 posibilidades de extracción (P3) y solamente en un caso 1 – 2 – 3 están en orden correlativo
1 5
creciente, siendo entonces p =1 − = la probabilidad pedida.
6 6
La respuesta es la opción a).
32
Unidad 16 | Probabilidad
16.53. En España hay un 52 % de mujeres. La probabilidad de que un hombre sea calvo es de 0,2 y el
96 % de las personas calvas son hombres. Elegida una persona al azar, la probabilidad de que
sea calva es:
a)
Del 6 %
b)
Del 8 %
c)
Del 10 %
d)
Del 12 %
Para fijar ideas, supongamos 1000 personas, de las cuales 520 son mujeres (52%) y 480 hombres.
Así pues, el número de hombres calvos es la quinta parte de 480, es decir, 96. Sea x el número de
personas calvas. Entonces, el 96% de x es el número de hombres calvos, es decir, 96, con lo que
96· x
= 96 y x = 100, con lo que la probabilidad de que elegida al azar una persona sea calva es
100
100
1
.
=
p =
1000 10
La respuesta es la opción c).
16.54. En una reunión, el 60 % son mujeres, de las que fuman el 30 %. De los hombres solo fuma la
cuarta parte. Elegida una persona al azar, la probabilidad de que fume es:
a)
1
4
b)
7
25
c)
3
10
d)
7
20
Si fijamos en 1000 el número de personas de la reunión, hay 600 mujeres y 400 hombres, de los que
fuman el 30%, de 600 y el 25% de 400, es decir, el número de fumadores es
280
7
30 · 600 25· 400
.
280 , por lo que la probabilidad pedida sería
+
=
=
p =
100
100
1000 25
La respuesta es la opción b).
16.55. Un examen de tipo test consta de 50 preguntas. En cada pregunta hay 4 opciones y solo una
es correcta. Un estudiante sabe solo 10 de las 50 y contesta a todas. ¿Cuál es la probabilidad
de que elegida una pregunta al azar, el estudiante la haya contestado correctamente?
a)
1
5
b)
1
4
c)
9
20
d)
2
5
El estudiante contestará correctamente una pregunta si es de las que las sabe, o si, siendo de las
10
40 1
20 2
.
restantes, acierta. Así pues, la probabilidad pedida sería p =· 1 +
·
==
50
50 4
50 5
La respuesta es la opción d).
Probabilidad | Unidad 16
33
AUTOEVALUACIÓN
16.1. Se lanzan cuatro monedas de un euro y se anota el resultado de la cara superior. ¿Qué tipo de
experimento se realiza?
Forma el diagrama de árbol y calcula la probabilidad de obtener cuatro caras.
El experimento que se realiza es
aleatorio compuesto, ya que por muchas
veces que se repita, jamás se podrá
predecir el resultado que se va a obtener
en un próxima experiencia.
4 caras )
P ( obtener
=
1 1 1 1
1
· · ·
=
2 2 2 2 16
16.2. Extraemos tres cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de que las tres sean
ases:
a)
Si se devuelve cada carta antes de realizar la siguiente extracción.
b)
Si no se reponen las cartas extraídas.
a)
P=
=
es un as )
( tres ases ) P (la 1ª es un as ) · P (la 2ª es un as ) · P (la 3ª
b)
P ( tres ases )
=
4
4
4
1
=
·
·
40 40 40 1000
P=
(la 1ª es un as ) · P (la 2ª es un as ) · P (la 3ª es un as )
4
3
2
24
· =
·
≈ 0,00041
40 39 38 59280
16.3. En una bolsa hay bolas numeradas, nueve de ellas llevan el número 5, seis llevan el 7 y cinco
llevan el 6. Si se sacan tres bolas, calcula la probabilidad de poder formar un número capicúa
comprendido entre 600 y 700.
Un número capicúa entre 600 y 700 debe empezar y acabar en 6 y la cifra central puede ser
cualquiera, por tanto, basta extraer dos seises para asegurar que se puede formar un número
capicúa.
Sea Ai = “la extracción i es un 6”. Entonces tenemos
(
)
(
)
(
)
P ( al menos dos seises=
) P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) + P A1 ∩ A2 ∩ A3 + P A1 ∩ A2 ∩ A3 + P A1 ∩ A2 ∩ A3 =
5 4 3
5 4 15
5 15 4
15 5 4
960
· ·
· ·
· ·
· · = ≈ 0,14
=
+
+
+
20 19 18 20 19 18 20 19 18 20 19 18 6840
34
Unidad 16 | Probabilidad
16.4. De la urna de la figura se extraen tres bolas consecutivamente y sin
remplazamiento. Realiza el diagrama de árbol y calcula la probabilidad
de que:
a)
Las tres sean rojas.
b)
Dos sean verdes y una azul.
c)
Las tres sean verdes.
Sean Ri = “La extracción i es roja”; Ai = “La extracción i es azul”; Vi = “La extracción i es verde”.
a)
P ( las tres sean rojas ) = P ( R1 ∩ R2 ∩ R3 ) = P ( R1 ) · P ( R2 / R1 )· P ( R3 / R1 ∩ R2 ) =
=
b)
5 4 3
60
1
=
· =
·
10 9 8 720 12
P ( dos verdes y una azul=
) P (V1 ∩ V2 ∩ A3 ) + P (V1 ∩ A2 ∩ V3 ) + P ( A1 ∩ V2 ∩ V3 =)
2 1 3
2 3 1
3 2 1
18
1
· ·
· ·
· · ==
=
+
+
10 9 8
10 9 8
10 9 8 720 40
c)
Es imposible porque solo hay dos verdes. La probabilidad es cero.
Probabilidad | Unidad 16
35
16.5. La siguiente tabla de contingencia muestra los alumnos candidatos al Consejo escolar de un
instituto:
Mujer
3
1
2
1.º ESO
2.º ESO
3.º ESO
4.º ESO
1.º BAC
Hombre
1
2
2
4
3
5
10
Copia y completa la tabla. Elegido un candidato al azar, calcula la probabilidad de que:
a)
Sea hombre.
b)
Sea mujer y esté en 4.º de ESO.
c)
Sea mujer o estudie 2.º de ESO.
d)
Sea de 1.º de ESO, sabiendo que es mujer.
e)
Sea hombre, sabiendo que está en 1.º de ESO.
1.º ESO
2.º ESO
3.º ESO
4.º ESO
1.º BAC
Mujer
3
1
2
1
3
10
Hombre
1
1
2
2
2
8
a)
P ( sea hombre
=
)
8
4
=
18 9
b)
P ( sea mujer y esté en 4.º de ESO ) =
c)
P ( mujer o de 2.º de ESO ) = P ( mujer ) + P ( de 2º ) − P (mujer y de 2º ) =
d)
P ( sea de 1.º sabiendo que es mujer ) =
e)
P ( sea hombre sabiendo que es de 1.º ) =
4
2
4
3
5
18
1
18
10 2
1
11
+
−
=
18 18 18 18
3
10
1
4
16.6. Una compañía de autobuses cubre las tres rutas de un colegio. El 70 % de los vehículos realiza
la primera ruta; el 20 %, la segunda, y el 10 % completa la tercera. Se sabe que, diariamente, la
probabilidad de que un autobús sufra una avería es del 2 %, 3 % y 5 %, respectivamente, para
cada ruta. Determina la probabilidad de que, un día cualquiera, un autobús se averíe.
Sean Ri = “el autobús es de la ruta i”; A = “el autobús se avería”.
Haciendo uso de la probabilidad total
P ( se averíe un autobús ) =P ( R1 ) · P ( A / R1 ) + P ( R2 ) · P ( A / R2 ) + P ( R3 ) · P ( A / R3 ) =
70 2
20 3
10 5
250
1
= ·
+
·
+
·
=
=
100 100 100 100 100 100 10000 40
36
Unidad 16 | Probabilidad
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
Calcula y decide > La probabilidad en los exámenes
¿Has hecho alguna vez un examen tipo test? En general, se proporcionan varias
respuestas posibles, y solo una es correcta.
Sin conocer la respuesta, es posible acertarla. Por lo tanto, un alumno que
respondiera al azar, sin saber nada, tendría muchas posibilidades de sacar
algunos puntos.
Para corregir esto, en muchas pruebas se penalizan las respuestas incorrectas.
En el test de la izquierda, por ejemplo, se descontarían 0,25 puntos por cada
fallo. De esa forma, se compensan las respuestas aleatorias.
En otros casos las preguntas son eliminatorias, ordenadas por dificultad, de
modo que el primer fallo es el que determina la nota. Este tipo de prueba es
parecida a muchos concursos de televisión de preguntas y respuestas, como
¿Quién quiere ser millonario?
La probabilidad de acertar cada pregunta no es realmente la misma, ya que
depende mucho de los conocimientos del concursante (¡o del estudiante!).
Evidentemente, una buena preparación mejorará enormemente la posibilidad de
lograr un buen resultado.
16.1. ¿Qué exámenes tipo test conoces? ¿Qué características tienen?
Respuesta abierta. Por ejemplo, los exámenes para el carnet de conducir, en los que solo se permite
un número de errores de cada tipo.
16.2. Un
test de 10 preguntas tiene dos opciones para cada una: verdadero o falso.
Lamentablemente, está en un idioma desconocido, y tenemos que contestar al azar. ¿Qué
probabilidad tenemos de acertar todas las respuestas? ¿Y de acertar exactamente 5?
10
1
 1
La probabilidad de acertar todas es  =
≈ 0,00098 .

1024
2
La de acertar exactamente 5 es
252
≈ 0,246 .
1024
16.3. En el Concurso de Primavera de Matemáticas, para cada pregunta hay cinco posibles
respuestas, de las que solo una es correcta. Cada acierto vale 5 puntos, cada respuesta en
blanco vale 2 y los fallos no dan puntos. Pablo no sabe la respuesta de las dos últimas. ¿Es
mejor que conteste ambas al azar o que las deje en blanco? Estudia todas las posibilidades.
Mediante un diagrama en árbol, por ejemplo, se puede calcular que la probabilidad de fallar las dos
es 0,64, la de acertar una es 0,32 y la de acertar ambas es 0,04. Por tanto, la probabilidad de sacar
más de 4 puntos es de 0,36, por lo que es más seguro dejarlas en blanco.
En particular, contestando al azar la esperanza es obtener 2 puntos.
Probabilidad | Unidad 16
37
Interpreta y conciénciate > ¡No más spam!
Tu proveedor de correo electrónico ha desarrollado un filtro antispam que utiliza inteligencia
artificial para bloquear los “correos basura”, y ha estudiado su funcionamiento sobre una base de
5000 mensajes. Los resultados del análisis se muestran en la tabla.
Mensaje
Spam (S)
No spam (S )
Bloqueado (B)
1250
50
1300
No bloqueado (B )
250
3450
3700
1500
3500
5000
16.1. Halla la probabilidad de perder un mensaje que te interesaba y la de recibir un mensaje que no
deseabas.
Probabilidad de perder un mensaje que me interesaba: P (B ∩ S=
)
Probabilidad de recibir un mensaje que no deseaba: P (B ∩ S=
)
50
= 0,01
5000
250
= 0,05
5000
16.2. Las
probabilidades P (B / S ) y P (B / S ) se llaman “sensibilidad” y “especificidad”,
respectivamente, y se utilizan para medir la fiabilidad del filtro. Hállalas, interpreta qué
significan y explica por qué no se utilizan P (S / B) y P (S / B) en su lugar.
P (B=
/ S)
1250
≅ 0,83
1500
3450
≅ 0,99
3500
que no es spam.
P (B=
/ S)
Es la probabilidad de que sea bloqueado un correo basura.
Es la probabilidad de que llegue a nuestra bandeja de entrada un correo
No se utilizan P (S / B ) y P (S / B ) porque el sistema consiste en analizar si el correo es spam o no, y
a partir de ahí bloquearlo. Es decir, nosotros lo que sabemos es si el correo es deseado o no lo es.
16.3. La sensibilidad y la especificidad de los filtros antispam nunca son iguales a 1, ¡ningún filtro
es perfecto! Consulta www.e-sm.net/4esoz72 y haz un resumen de buenas prácticas para evitar
el spam.
Respuesta abierta.
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Unidad 16 | Probabilidad
Aprende a pensar > La falacia del fiscal
Tanto la probabilidad como la estadística son utilizadas en los juicios para determinar si el acusado
es culpable o inocente, pero no siempre adecuadamente.
Uno de los errores más comunes es la llamada falacia del fiscal, en la que se confunden la
probabilidad P(A/B) (la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ya ha ocurrido B) con P(B/A) (la
probabilidad de que ocurra B sabiendo que ya ha ocurrido A).
Observa el siguiente caso de falacia del fiscal.
En Villajusta, ciudad de 1000 habitantes, se ha cometido un gran robo. Tras analizar con cuidado el
escenario del delito, la policía ha encontrado rastros de sangre de tipo AB negativo. Esta sangre es
muy poco común y solo se encuentra en un 1 % de la población. La policía detiene a varios
sospechosos y comprueba que uno de ellos es AB negativo, así que se le imputa el delito.
En el juicio, el fiscal argumenta elocuentemente: “Como el acusado es AB negativo, la probabilidad
de que sea inocente es de 9/999 = 0,009, luego la probabilidad de que sea culpable es del 99,1 %.
¿Algún miembro del jurado tiene mayor certeza de poder levantarse mañana?”.
16.1. Antes de analizar la falacia, considera el caso del lanzamiento de un dado, con los sucesos:
Par = “que salga par” y Dos = “que salga 2”. Calcula P(Par/Dos) y P(Dos/Par) y observa que
son claramente diferentes.
1
P(Par/Dos) = 1 y P(Dos/Par) =
3
16.2. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿te ha convencido el fiscal? Antes de contestar, piensa:
¿cuántas personas hay en Villajusta que tengan AB negativo?
1 % de 1000 = 10.
16.3. Calcula la probabilidad de tener AB negativo si se es inocente y la probabilidad de ser inocente
si se tiene AB negativo.
−
AB
No AB−
Inocente (I)
Culpable (C)
9
1
10
990
0
990
999
1
1000
9
= 0,009
999
9
−
P (Inocente / AB=
= 0,9
) P ( ser inocente si se tiene AB negativo=) 10
= P ( AB negativo si se es inocente
=
P (AB− / Inocente)
)
16.4. ¿Qué error comete el fiscal en su argumentación? ¿De qué probabilidad condicionada del
apartado anterior está hablando el fiscal y a cuál corresponde la probabilidad que calcula?
El fiscal habla de P (Inocente / AB − ) = P ( ser inocente si se tiene AB negativo ) , que es 0,9 (y, por
tanto, la de ser culpable es 0,1), pero en su argumentación
P(AB negativo si se es inocente), pues confunde los condicionales.
utiliza
el
valor
de
16.5. Hay algunos casos famosos de errores judiciales por mal uso de la probabilidad. Lee sobre los
juicios de Sally Clark (www.e-sm.net/4esoz73) y Janet Collins (www.e-sm.net/4esoz74).
Escoge uno de los dos, realiza los cálculos y argumenta con tus propias palabras por qué las
acusadas no podían ser declaradas culpables.
Respuesta abierta.
16.6. ¿Qué opinas sobre el mal uso de la probabilidad y la estadística en los juicios y en la prensa?
Debátelo en http://matematicas20.aprenderapensar.net/.
Respuesta abierta.
Probabilidad | Unidad 16
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Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM
Autoría: Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín Hernández, Juan
Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, María Moreno, Miguel Nieto, Isabel de los Santos,
Esteban Serrano, José R. Vizmanos, Yolanda A. Zárate
Edición: Oiana García, José Miguel Gómez, Aurora Bellido
Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire
Corrección: Javier López
Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos,
José Santos, José Manuel Pedrosa
Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano
Maquetación: SAFEKAT S. L.
Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez
Coordinación editorial: Josefina Arévalo
Dirección del proyecto: Aída Moya
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