Modélisation des actions mécaniques

MODÉLISATION DES ACTIONS MÉCANIQUES
Après avoir étudié le comportement cinématique des solides, avoir modélisé les liaisons entre
solides, d’un point de vue cinématique, nous allons étudier les actions mécaniques et leur effet sur le
comportement et l’équilibre des solides.
Dans cette première partie, nous allons identifier et modéliser les actions mécaniques.
7.1 Actions mécaniques
7.1.1 Définition
On appelle action mécanique toute cause susceptible de :
– Maintenir un solide au repos : STATIQUE (Solide indéformable)
– Créer ou modifier le mouvement d’un solide : DYNAMIQUE
– Déformer un solide : RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
7.1.2 Nature et classification des actions mécaniques
On distingue deux grandes familles d’actions mécaniques suivant leur mode d’action :
Actions mécaniques de contact : on retrouve ce type d’actions dans toutes les actions entre solides
et entre un fluide et un solide. Ces actions agissent sur la surface du solide.
Actions mécaniques à distance : les actions mécaniques à distance caractérisent les actions mécaniques transmises sans contact et agissant principalement sur tout le volume du solide. Les actions à distance sont principalement dues à l’effet de la gravité sur les corps, mais on retrouve
aussi ce type d’action avec les phénomènes électromagnétiques.
7.1.3 Actions mécaniques de contact
Compte tenu de la rugosité, des défauts de forme et de la déformation des matériaux (figure 7.1), il
est généralement impossible de caractériser exactement le contact réel entre deux solides et la nature
75
76
7 Modélisation des actions mécaniques
des actions transmissibles par ce contact.
(a) Contact réel
(b) Contact ponctuel réel (c) Contact surfacique par- (d) Contact ponctuel parfait
fait
F IGURE 7.1 – Contacts réels et contacts théoriques
Nous considèrerons généralement que les contacts entre deux solides sont réalisés par des surfaces parfaites. Les contacts seront donc :
– des contacts surfaciques : au travers d’une surface de contact (plan/plan, cylindre/cylindre,
sphère/sphère,. . .),
– des contacts linéïque : au travers d’une ligne (cylindre/plan, sphère/cylindre,. . .),
– des contacts ponctuels : au travers d’un point de contact (sphère/plan, . . .).
On remarquera, que les deux derniers sont parfaitement théoriques, un contact véritablement
ponctuel impliquerait une pression de contact infinie et donc la destruction des solides !. Faire l’hypothèse d’un contact ponctuel, c’est supposer que la surface de contact est petite par rapport aux
autres dimensions des solides.
7.2 Modèle local / modèle global
7.2.1 Action mécanique à contact surfacique
Définir l’action mécanique transmise à travers un contact surfacique nécessite de définir
– la nature de la surface de contact,
– la normale au plan tangent de contact en chaque point P de la surface de contact (par convention, on oriente la normale vers l’extérieur du solide étudié),
– l’allure de la pression de contact en chaque point P de la surface.
Remarque : dans cette première partie, nous supposerons que les contacts sont parfaits, sans
frottements.
La figure 7.2 montre l’allure deux répartitions possibles de l’action mécanique élémentaire du
solide S 2 sur le solide S 1 .
#
»
On note dF1→2 (P), l’action mécanique élémentaire agissant entre le solide S 1 et le solide S 2 . Cette
action est orientée vers le solide isolé (ici S 2 ), elle dépend de la valeur de la pression de contact en
chaque point P de la surface de contact.
#
»
# »
dF1→2 (P) = −p(P) · ds · n(P)
avec
# »
– n(P) : la normale en P ,
7.2 Modèle local / modèle global
77
– p(P) : la pression au point P [N/m2 ],
– ds : l’élément de surface infinitésimal autour du point P sur lequel agit la pression.
#»
n
2
#»
n
2
surface de
contact
S1
P
P
S2
S2
(a) contact plan/plan
#
#»
n
2
(b) normale au contact
»
#»
n
2
dF1→2 : action élémentaire
ds : élément de
surface
P
S2
P
S2
(c) répartition de pression uniforme
(d) répartion de pression variable
F IGURE 7.2 – Contact surfacique plan : action mécanique du solide S 1 sur le solide S 2
La figure 7.3 montre deux possibilités de répartition de pression entre deux cylindres, la première
qui suppose une répartition uniforme est très certainement fausse, la seconde est certainement plus
proche de la réalité mais beaucoup plus difficile à déterminer.
F IGURE 7.3 – Répartition de la pression entre deux cylindres
Pour déterminer l’action mécanique globale agissant de S 1 sur S 2 , il suffit d’intégrer sur la surface
de contact.
#
»
ˆ
F1→2 =
#
»
ˆ
dF1→2 (P) =
P∈S
# »
−p(P) · ds · n(P)
P∈S
78
7 Modélisation des actions mécaniques
il reste à définir l’élément de surface, en fonction de la forme de la surface, on préfèrera les coordonnées cartésiennes ou les coordonnées polaires (figures 7.4) :
en coordonnées cartésiennes : ds = dx · dy
en coordonnées polaire : ds = r · dθ · dr
#»
y
#»
y
Y2
y
r · dθ
dr
dx
+ dy
+P
θ2
Y1
#»
x
x
X1
θ
X2
R1
(a) coordonnées cartésiennes
x
θ1 #»
r R2
(b) coordonnées polaires
F IGURE 7.4 – Element de surface dd
Pour ces deux cas, l’action globale devient
en coordonnées cartésiennes :
#
ˆ
»
#
F1→2 =
dF1→2 (P) =
P∈S
#
ˆ
»
ˆ
»
F1→2 =
y=Y2 ˆ x=X 2
y=Y1
# »
−p(P) · ds · n(P)
P∈S
# »
−p(P) · dx · dy · n(P)
x=X 1
en coordonnées polaire :
#
»
ˆ
F1→2 =
r =R2 ˆ θ=θ2
r =R1
θ=θ1
# »
−p(P) · r · dθ · dr · n(P)
7.2.2 Action mécanique à contact linéîque
Le contact linéïque est défini comme le contact surfacique.
– la pression est une pression linéïque p λ (P) : [N m−1 ],
– l’élement d’intégration est homogène à une longueur d,
#
»
# »
dF1→2 (P) = −p λ (P) · d · n(P)
De la même manière on détermine l’action mécanique globale en intégrant le long de la ligne de
contact
#
»
ˆ
F1→2 =
#
»
ˆ
dF1→2 (P) =
P∈L
P∈S
# »
−p λ (P) · d · n(P)
7.3 Action mécanique à distance
79
#»
n
2
S1
#»
n
2
ligne de
contact
ligne de
contact
P
P
S2
S2
F IGURE 7.5 – Contact linéïque
7.2.3 Action mécanique à contact ponctuel parfait
Le contact ponctuel parfait n’existe pas, en effet le contact entre deux corps ne peut se réaliser
sans déformation de la zone de contact et sans frottements. On modélise par un contact ponctuel, les
contacts dont la surface d’action est très réduite
L’action mécanique ponctuelle est directement représentable par un vecteur au point de contact :
#
»
F1→2 = F1→2 #»
n
#»
n
S21
#»
n
2
point de
contact
#
»
point de
contact
F1→2
P
P
S2
S2
F IGURE 7.6 – Contact ponctuel
7.3 Action mécanique à distance
7.3.1 Modèle local
Une action à distance est une action telle la gravité ou le champ magnétique terrestre qui s’applique sur chaque élément de matière qui constitue le corps E.
On peut ainsi en chaque point Q et pour l’élément de volume élémentaire dv associé du solide S,
définir l’action élémentaire auquel il est soumis, avec
– f (Q) : la fonction qui décrit la répartition de l’action à distance en chaque point de l’espace,
# »
– u(Q) : le vecteur directeur de cette action.
80
7 Modélisation des actions mécaniques
z#»0
y#»0 dz
dx
Q dy
x#»0
# »
f (Q) · u(Q)
F IGURE 7.7 – Action à distance
#
»
# »
dF f →S (Q) = f (Q) · u(Q) · dv
L’action globale est donc :
#
ˆ
»
F f →S (Q) =
# »
f (Q) · u(Q) · dv
Q∈S
L’élément de volume (figure 7.8) dv est défini, soit en coordonnées cartésiennes, soit en coordonnées cylindriques ou sphériques :
coordonnées cartésiennes : dv = dx · dy · dz,
coordonnées cylindrique : dv = r · dθ · dr · dz,
coordonnées sphériques : dv = r · sin ϕ · dθ · r · dφ · dr .
7.3.2 Modélisation de l’action de pesanteur
L’action de la pesanteur est une action à distance, le poids représente l’action de la pesanteur sur
le solide S. l’élément d’intégration sur lequel agit la gravité est un élément de masse dm.
#
»
ˆ
Pg →S (Q) =
#
»
# »
ˆ
g (Q) · dm =
Q∈S
ˆ
Pg →S (Q) = −
# »
g (Q) · ρ(Q) · dv
Q∈S
ρ(Q) · g (Q) · z#»0 · dv
Q∈S
– g (Q) : la gravité au point Q,
– ρ(Q) : la masse volumique au point Q,
– z#»0 : vecteur unitaire vertical orienté vers le haut.
Si la gravité et la masse volumique sont constantes dans le solide, alors :
#
»
Pg →S (Q) = −ρ · g
et V le volume du solide et M sa masse.
ˆ
Q∈S
z#»0 · dv = −ρ · g · V z#»0 = −M · g · z#»0
7.3 Action mécanique à distance
y
81
y#»0
y#»
0
r · dθ
dz
+P
dx
dr
dy
θ2
dz
x
θ
x#»
0
R1
z #»
z0
#»
θ1 x 0
r
R2
z#»0
(a) coordonnées cartésiennes
(b) coordonnées cylindriques
(c) coordonnées
rique
sphé-
F IGURE 7.8 – Élément de volume dv
7.3.3 Centre d’inertie
On appelle centre d’inertie du système matériel Σ , le point G défini par :
ˆ
#»
#»
GP dm = 0 .
P∈Σ
En faisant intervenir le point O, la relation devient
ˆ #»
Σ
ˆ
#»
avec m Σ · OG =
´ #»
Σ OP dm
#»
Σ
# »
#»
#»
#»
GO + OP dm = 0
ˆ
GO dm +
Σ
OP dm = 0
et finalement
ˆ
#»
1
OG =
mΣ
#»
OP dm
P∈Σ
#» Dans un repère cartésien, on note x G , y G , z G les coordonnées de OG et x, y, z les coordonnées
#»
de OP , on peut donc écrire :
1
xG =
mΣ
ˆ
Σ
x · dm,
1
yG =
mΣ
ˆ
Σ
y · dm,
1
zG =
mΣ
ˆ
Σ
z · dm.
Remarques :
– Si le système matériel est un solide indéformable, le centre d’inertie est un point fixe du solide ;
– Si le système matériel possède un élément de symétrie matérielle, plan ou axe de symétrie, aussi
bien du point de vue géométrique que du point de vue de la répartition des masses, le centre
d’inertie appartient à cet élément de symétrie ;
82
7 Modélisation des actions mécaniques
– Le centre d’inertie est confondu avec centre de gravité dans le cas d’un champ de pesanteur
uniforme.
a ) Centre d’inertie d’un ensemble de corps
Un ensemble matériel Σ est composé de n sousensembles matériels Σi . À chaque sous-ensemble Σi est associé sa masse m i et son centre d’inertie Gi , alors
Gi
×
n
1 # »
# »
OGΣ =
m i · OGi .
m Σ i =1
G
×
Le centre d’inertie d’un ensemble de corps est le barycentre des centres d’inertie.
Si les corps sont des solides indéformables immobiles les
uns par rapport aux autres, le centre d’inertie de l’ensemble
est fixe dans un repère lié à cet ensemble.
b ) Théorèmes de Guldin
Σi
Gn
×
Σn
G2
×
G1
×
Σ2
Σ1
Σ
F IGURE 7.9 – Centre d’inertie d’un ensemble de
corps
Énoncé (Centre d’inertie d’une courbe plane) Soient (C) une courbe du plan (Π) et (Δ) une droite du
plan ne coupant pas (C).
L’aire de la surface engendrée par la rotation de la courbe (C) autour de la droite (Δ) est égal au
produit de la longueur de la courbe L par le périmètre décrit par son centre d’inertie 2π · r G .
S = 2π · r G · L
(Δ)
Π
(C)
P
dl ×
(Δ)
Π
r
(C)
ds
rG
×
G
rG
×
G
#»
r
r
#»
r
O
(a) centre d’inertie d’une courbe plane
O
(b) centre d’inertie d’une surface plane
F IGURE 7.10 – Théorèmes de Guldin
7.3 Action mécanique à distance
83
On associe à la courbe (C) une masse linéïque λ constante, dm = λ · d l d’où la masse totale de la
courbe m c = λ · L.
La position du centre d’inertie de la courbe est calculée par la relation générale :
ˆ
#»
#»
m c · OG =
OP · dm
C
ici cette relation devient :
#»
ˆ
#»
λ · L · OG =
OP · λ · dl .
C
Après simplification puis en ne prenant que la projection suivant #»
r :
#»
ˆ
ˆ
#»
L · OG =
OP dl ⇒
L · rG =
C
r dl
C
Calculons maintenant la surface engendrée par la rotation de la courbe
ˆ
ˆ
r · d θ· dl =
S=
ˆ
dθ ·
r · dl = 2π
C
0
S
ˆ
ˆ
2π
r · dl
C
r · dl = L · r G dans cette égalité on retrouve bien le résultat cherché.
En substituant
C
Énoncé (Centre d’inertie d’une surface plane homogène) Soient (S) une surface du plan (Π) et (Δ)
une droite du plan ne coupant pas (S).
Le volume engendré par la rotation de la surface plane tournant autour de l’axe (Δ) est égal au
produit de l’aire de la surface par la longueur du périmètre décrit par son centre d’inertie.
V = 2π · r G · S
On démontre cette égalité comme la précédente. On associe à (S) une masse surfacique dm =
σ · d s constante et m S = σ · S.
Par définition :
ˆ
#»
m S · OG =
#»
ˆS
S · OG =
#»
OP · dm
#»
OP · d s
S
soit en projection suivant #»
r
ˆ
S · rG =
r ·ds
S
Le volume engendré par la rotation de la surface (S) s’écrit :
ˆ
ˆ
r · d θ·d s =
V=
v
ˆ
2π
dθ ·
0
ˆ
r · d s = 2π
S
r ·ds
S
84
7 Modélisation des actions mécaniques
d’où la relation cherchée :
V = 2π · r G · S.
Remarque : l’utilisation des théorèmes de Guldin permet de simplifier le calcul de position du
centre d’inertie dans la mesure où l’on connaît les caractéristiques du volume et de la surface balayée.
7.4 Moment d’une action mécanique
7.4.1 Moment d’une action ponctuelle
La détermination de la résultante d’une action mécanique, ne suffit pas pour la caractériser.
y#»1
#
A
»
Fp→2
z#»0
B
2
1
d
y#»0
a
x#»0
z
y
O
θ
x#»0
F IGURE 7.11 – Moment d’une action mécanique
#
»
Ainsi, l’action du pied sur la pédale Fp→2 en B ne suffit pas pour décrire le mouvement de rotation
de la pédale.
# »
On appelle moment en O de l’action Fp→2 la quantité
#
»
#»
#
»
MO,Fp→2 = OB ∧ Fp→3
[N m]
Ce vecteur permet de définir l’effet de l’action mécanique à distance du point d’application.
Pour l’exemple du pédalier, on trouve
#
» # » # »
MO,Fp→2 = OA + AB ∧ −Fp→3 z#»0
= d · y#»1 + a · x#»0 ∧ −Fp→3 · z#»0
= −d · cos θ · Fp→3 · x#»0 + a · Fp→3 · y#»0
La composante du moment en projection sur x#»0 représente l’action mécanique qui va entraîner
la roue arrière.
Remarque : le moment d’une action ponctuelle en son point d’application est nul.
7.5 Torseur d’action mécanique
85
7.4.2 Moment d’une action de pression
Dans le cas d’une action mécanique de pression, le moment est défini par
#
»
ˆ
MO,F1→2 =
#
#»
»
OP ∧ dF1→2
P∈S
Il est souvent utilise de déterminer un point B tel que
#
»
#»
MB,F1→2 = 0
en ce point, l’action mécanique est modélisable uniquement par la résultante de l’action de pression.
7.4.3 Moment du poids au centre d’inertie
#
ˆ
»
Pg →S (Q) =
#
# »
g (Q) · dm
Q∈S
ˆ
»
MO,g →S =
# »
# »
OQ ∧ g (Q) · dm
Q
# »
Si g (Q) est constant, alors :
#
»
MO,g →S =
ˆ
# »
OQ · dm ∧ #»
g
Q
en calculant ce moment au centre d’inertie G :
#
»
MG,g →S =
ˆ
#»
GQ · dm ∧ #»
g
Q
on retrouve sous l’intégrale, la définition du centre d’inertie
#
»
´ #»
Q GQ · dm
#»
= 0 , finalement
#»
MG,g →S = 0
# »
le moment du poids est nul au centre d’inertie. Cette propriété aussi vraie si g (Q) n’est pas constant.
7.5 Torseur d’action mécanique
7.5.1 Cas d’une action mécanique ponctuelle
#
»
On vient de voir qu’une action mécanique doit être représentée à la fois par sa résultante F1→2 et
#
» #» # »
son moment MA,F1→2 = OA ∧ F1→2 .
Déterminons, le moment en B.
86
7 Modélisation des actions mécaniques
#
»
#»
#
»
»
#»
#
»
»
#»
#
»
MB,F1→2 = OB ∧ F1→2
#
» # » # » # »
MB,F1→2 = OA + BA ∧ F1→2
#
»
#»
#
MB,F1→2 = OA ∧ F1→2 + BA ∧ F1→2
#
»
#
MB,F1→2 = MA,F1→2 + BA ∧ F1→2
La relation entre le moment en B et le moment en A est la relation de changement de point d’un
torseur.
On peut donc décrire une action mécanique à partir d’un torseur, le torseur des actions mécaniques :
# »
F1→2
A1→2 = #
» #» # »
MA,F1→2 = OA ∧ F1→2 A
On note :
# »
– F1→2 : la résultante de l’action mécanique de l’action de 1 sur 2,
#
» #» # »
– MA,F1→2 = OA ∧ F1→2 : le moment de l’action mécanique de 1 sur 2 au point A.
Si B est le point d’application de l’action ponctuelle, alors le moment est nul en ce point :
# » F1→2
A1→2 = #
» #»
MB,F1→2 = 0 B
Le torseur d’une action ponctuelle est un torseur glisseur en son point d’application B.
7.5.2 Cas d’une action de pression
L’action mécanique peut être représentée par
#
ˆ
»
F1→2 =
#
»
MO,F1→2 =
#
ˆP∈S
ˆ
»
dF1→2 (P) =
#
#»
»
# »
ˆ
−p(P) · ds · n(P)
P∈S
OP ∧ dF1→2 =
P∈S
# »
#» OP ∧ −p(P) · ds · n(P)
P∈S
le torseur d’une action de pression s’écrit donc :
ˆ
⎫
⎧
#
»
#
»
⎪
⎪
⎪
dF1→2 (P) ⎪
⎬
⎨ F1→2 =
P∈S
ˆ
A1→2 =
»⎪
#
»
#» #
⎪
⎪
OP ∧ dF1→2 ⎪
⎭
⎩MO,F1→2 =
P∈S
#
»
#»
Il existe un point B tel que MB,F1→2 = 0 , en ce point :
# » F1→2
A1→2 = #
» #»
MB,F1→2 = 0 O
en ce point, le torseur est un glisseur.
O
7.6 Exercices de synthèse
87
7.5.3 Cas de la gravité
Le torseur du poids s’écrit au centre d’inertie G :
# » Pg →S
P g →S = #
» #»
MG,g →S = 0 G
C’est aussi un torseur glisseur.
7.5.4 Torseur couple
Tous les torseurs d’efforts ne peuvent pas être représentés par un torseur glisseur. Ainsi, l’action
mécanique transmise par le stator d’un moteur sur le rotor est un torseur couple.
#»
0
C s→r = # »
Cs→r = Csr · #»
u ∀P
7.6 Exercices de synthèse
Exercice 14- Barrage poids - exercice de cours
Corrigé page ??
A. Barrage poids
la figure 7.12 modélise de façon simple un barrage poids.
Un barrage poids, doit pouvoir retenir par son propre poids l’eau accumulée en amont.
On se propose de caractériser l’action mécanique de l’eau, l’effet de la gravité, puis l’action du sol
sur le barrage et définir les conditions de l’équilibre.
#»
z
0
#»
x
e : eau
#»
n
#
z
» Q
d Fe→b
b : barrage
H
s : sol
F IGURE 7.12 – barrage poids
On note :
#
»
– d Fe→b (Q) = −p(h) · ds · #»
n , l’action élémentaire de la pression de l’eau sur le barrage avec
88
7 Modélisation des actions mécaniques
–
–
–
–
–
–
– p(h) = h · ρ · g la pression à la profondeur h, (ρ masse volumique de l’eau et g = 9,81 ms2 ),
– ds l’élément de surface sur lequel agit la pression,
n la normale à la surface du barrage orientée vers l’extérieur du solide.
– #»
le point O est à la surface de l’eau, au milieu du barrage,
H : la hauteur d’eau,
Ht : la hauteur du barrage,
b : la largeur de la base,
L : la largeur du barrage,
# » OQ = 0, y, z .
A.1. Action mécanique de l’eau sur le barrage
#
»
L’action élémentaire de l’eau sur le barrage s’écrit : d Fe→b = −p(h) · ds · #»
n , l’action totale s’écrit
donc :
#
ˆ
»
#
Fe→b =
»
d Fe→b
[N]
Q∈S
Q1. Tracer l’allure de la pression le long de la paroi du barrage.
# »
Q2. Déterminer Fe→b
On note :
#
ˆ
»
#
# »
MO,e→b =
»
OQ ∧ d Fe→b
[N m]
Q∈S
le moment de l’action mécanique de l’eau
#
»
Q3. Déterminer MQ,e→b en fonction de h, ρ, g et des coordonnées du point Q = 0, y, z .
#
» #»
Q4. Montrer qu’il existe un point B = 0, y I , z I de la paroi tel que : MI,e→b = 0 , Préciser les coordonnées en fonction de H.
On note :
# » Fe→b
Ae→b = #
»
MQ,e→b Q
le torseur de l’action mécanique de l’eau sur le barrage.
Q5. Justifier que l’action mécanique de l’eau sur le barrage peut être représentée par un torseur.
Q6. Écrire alors Ae→b en B, Quelle est la forme de ce torseur ? Représenter l’action mécanique de
l’eau sur le barrage en I.
A.2. Action de la gravité
L’action élémentaire de la gravité sur un élément de masse du barrage s’écrit :
#
»
d Pg →b = −g · d m · #»
z
avec d m = μ · d v (μ masse volumique du barrage supposée constante).
L’action totale de la gravité s’écrit donc :
#
»
Pg →b =
ˆ
P
#
»
d Pg →b
7.6 Exercices de synthèse
89
Q7. Préciser les bornes d’intégration de l’intégrale
# »
Q8. Déterminer Pg →b
On note :
#
»
ˆ
MP,e→b =
#»
#
»
OP ∧ d Fe→b
[N m]
P∈S
le moment de l’action mécanique dû à la gravité sur le barrage.
#
»
Q9. Déterminer MP,e→b en fonction, de g , μ et des coordonnées de P = (x P , y P , z P ).
#
» #»
Q10. Montrer qu’il existe un point G dit centre de gravité tel que MG,e→b = 0 . Préciser les coordonnées
en fonction de Ht la hauteur du barrage, L et b la largeur de la base du barrage.
Q11. Écrire en G le torseur de l’action mécanique de l’action mécanique de la gravité. Quelle est la
forme de ce glisseur ?
A.3. Étude de l’action du sol sur le barrage
L’action mécanique du sol sur le barrage doit être telle que le barrage reste immobile sous l’action
de l’eau et du poids.
Si on note :
# » Fs→b
As→b = #
»
MR,b→s R
le torseur de l’action mécanique en un point R, alors la condition d’équilibre s’écrit :
Ae→b + Ag →b + As→b = 0
Q12. Déterminer As→b en G.
Q13. Montrer qu’il existe un point J de la base du barrage tel que le torseur de l’action mécanique du
sol sur le barrage a la forme d’un torseur glisseur.
Exercice 15- Barrage voute
Corrigé page ??
A. Barrage voute
On considère maintenant un barrage voute (figure 7.13), le barrage a une forme demi cylindrique
de rayon R, et de hauteur d’eau H.
Le barrage est en appui sur les cotés en A et B.
#
»
On note dFe→b l’action élémentaire de l’eau sur un élément de surface ds du barrage.
On considère que l’origine du repère O, #»
x , #»
y , #»
z est au centre de la voute et à la surface de l’eau.
Q1. préciser les coordonnées du point P de la surface en contact avec l’eau du barrage en coordonnées
cylindrique
#
»
Q2. Déterminer dFe→b en fonction de #»
n , ds, ρ, et z P la coordonnée suivant #»
z de P.
# »
#»
#»
Q3. Déterminer Fe→b , préciser les projections suivant x et z .
Q4. Déterminer les actions mécaniques nécessaire en A et B pour que le barrage tienne.
90
7 Modélisation des actions mécaniques
eau
#»
n
P
θ
A
#»
x
#»
y
O
B
F IGURE 7.13 – Barrage voute
Exercice 16- Quart de disque
Corrigé page ??
Adapté du Concours National DEUG - CCP
Soit une plaque (P) en forme d’un quart de disque
de rayon a et d’épaisseur négligeable devant le rayon a.
On note μ la masse surfacique du matériau constituant
la plaque (P).
Le référentiel terrestre R 0 est considéré comme ga
liléen ; il est rapporté au repère O, x#»0 , y#»0 , z#»0 .
Q1. Déterminer la masse M de la plaque (P) en fonction
de μ et a.
Q2. Déterminer la position du centre d’inertie G de la
plaque
y#»0
x#»0
O
F IGURE 7.14 – Quart de disque
7.7 Prise en compte des frottements
91
7.7 Prise en compte des frottements
Le contact réel entre deux solides ne peut se faire sans frottements. Ils sont souvent néfastes si
on considère l’énergie dépensée pour les vaincre mais nécessaire pour assurer la stabilité (pneus sur
route !).
7.7.1 Contact ponctuel réel
Soient deux solides S 1 et S 2 en contact ponctuel en I (figure 7.15). Le torseur des actions transmissibles par la liaison ponctuelle réelle en I du
solide S 1 sur le solide S 2 s’écrit :
# »
#» R1→2 = N12 · #»
n + T12
A1→2 = #
»
# »
MI,1→2 = Mp 12 · #»
n + Mr 12 I
Cône de
frottement
#»
n
#
S2
#»
#»
#»
n∧t
avec
#»
– n , la normale au plan tangent au contact
orientée de S 1 vers S 2 ,
n de la résultante du
– N12 , la projection sur #»
I
# »
# »
torseur R1→2 ,
VI∈2/1
#»
– T12 , la composante dans le plan tangent de
S1
# »
R1→2 (la direction est à priori inconnue),
– Mp 12 , la projection sur #»
n du moment du
torseur (moment de pivotement autour de
l’axe I, #»
n ),
# »
– Mr 12 , la composante dans le plan tangent
F IGURE 7.15 – Contact ponctuel réel
(moment de roulement).
Le mouvement de S 2 par rapport S 1 est définie par le torseur cinématique suivant :
# »
# »
Ω2/1 = Ωp 21 · #»
n + Ωr 21
V2/1 =
# »
VI∈2/1
I
–
–
–
»
R1→2
Ωp 12 : composante de pivotement autour de I, #»
n ,
# »
Ωr 12 : composante de roulement dans le plan tangent,
# »
VI∈2/1 · #»
n = 0 : condition nécessaire au maintien du contact entre S 2 et S 1 .
t
92
7 Modélisation des actions mécaniques
7.7.2 Lois de Coulomb - Détermination de la résultante
Les lois de Coulomb permettent de déterminer la résultante de l’action réelle entre deux solides
en contact ponctuel, en fonction des trois cas suivant :
Absence de frottement : alors la résultante ne comporte qu’une composante normale, la composante tangentielle est nulle quelque soit le mouvement :
#
»
R1→2
2
#
»
R1→2 = N12 · #»
n
#»
I
#»
T12 = 0
1
#
»
#
#»
»
Frottement et glissement : la vitesse de glissement est non nulle ( VI∈2/1 = 0 et VI∈2/1 · #»
n = 0).
Les lois de Coulomb précisent alors
# »
– que la composante tangentielle de la résultante est colinéaire au vecteur VI∈2/1 mais de sens
opposé (les frottements s’opposent au déplacement),
– que le module de l’effort tangentiel est proportionnel à la composante normale,
soit :
#
»
#»
#»
génératrices du
cône de frottement
VI∈2/1 ∧ T12 = 0
#
» #»
VI∈2/1 · T12 < 0
# »
T12 = f · |N12 |
On note :
f = tan ϕ
#
»
R1→2
N12
ϕ 2
# »
T12 #
»
VI∈2/1
I
1
f est le coefficient(facteur) de frottement entre les deux solides, il dépend de la nature des matériaux en contact, de la qualité des surfaces frottantes et de la lubrification.
La résultante de l’action de contact entre les deux solides est sur le cône de frottement(figure 7.15).
On note φ le demi-angle au somment du cône de frottement.
La résultante ne peut se trouver que sur le cône.
7.7 Prise en compte des frottements
#
»
93
#»
Frottement sans mouvement VI∈2/1 = 0 , le module de la composante tangentielle n’est alors connu
que par une inégalité,
génératrices du
cône de d’adhérence
# »
T12 ≤ f a · |N12 |
#
»
N12
R1→2
ϕa 2
et sa direction ne peut être déterminée (la résultante est dans le cône de frottement).
fa > f
avec
# »
T12 f a = tan ϕa
I
1
On constate expérimentalement que l’effort nécessaire pour initier le déplacement d’un corps
sur un autre est supérieur à l’effort nécessaire pour maintenir le glissement.
Dans le cas de l’adhérence, on ne connaît pas l’effort tangentiel, si ce n’est par sa borne supérieure, pour étudier les efforts on suppose alors que le mouvement va se déclencher. On suppose que le solide est à la limite du glissement dans une direction supposée déduite des des
# »
efforts appliqués, avec VI∈2/1 la vitesse supposée en I entre les deux solides.
On détermine alors l’effort tangentiel comme
dans le cas précédent :
génératrices du
cône de d’adhérence
#
»
R1→2
#
»
#»
ϕa 2
#»
VI∈2/1 ∧ T12 = 0
#
» # »
VI∈2/1 · T12 < 0
# »
T12 = f a · |N12 |
#
N12
»
# »
T12 #
»
VI∈2/1 I
1
#»
Roulement sans glissement : VI∈2/1 = 0 , si les frottements ne sont pas nuls, alors on se trouve dans
le cas précédent avec
# »
T12 ≤ f a · |N12 | .
On détermine la composante tangentielle en se mettant à la limite du glissement (dérapage), et
on applique les conclusions précédentes.
À ce frottement, peut se rajouter un frottement de roulement, décrit plus loin.
Quelques valeurs de f et f a Les deux coefficients sont déterminés expérimentalement.
94
7 Modélisation des actions mécaniques
Surface en contact
fa
Acier sur acier (sec)
0,60
Acier sur acier (visqueux)
0,10
Acier sur bois
0,20 à 0,60
Acier sur glace
0,04
Aluminium sur aluminium
1,10
Aluminium sur acier
0,6
Bois sur bois
0,25 à 0,50
Câble en acier sur poulie en acier
0,20
Caoutchouc sur acier
0,40
Caoutchouc sur béton
0,50 à 0,90
Caoutchouc sur glace
0,05 à 0,30
Pneus en bon état sur pavage sec
0,90
Pneus usés sur pavage humide
0,10 à 0,20
Téflon sur téflon
0,04
Téflon sur acier
0,04
Plusieurs paramètres influent sur ces coefficients, entre autres :
–
–
–
–
–
f
0,40
0,05
0,5
0,15
0,30
0,80
0,05 à 0,10
0,04
la nature des surfaces ;
la rugosité des surfaces ;
la lubrification ;
la déformation locale ;
la vitesse.
Tous ces paramètres font que les valeurs de ces coefficients ne sont que des valeurs moyennes
à manipuler avec précaution. De manière générale et compte tenu de la remarque précédente,
dans les calculs, on ne considère qu’un seul type de coefficient, le coefficient de frottement.
#
»
7.7.3 Détermination du moment MI,1→2
Par analogie avec le frottement de glissement, on définit un couple de résistance au pivotement et
un couple de résistance au roulement. Ces couples résistants interviennent dès que le contact ne peut
plus être considéré comme ponctuel mais suivant une surface localisée (écrasement), la répartition
non homogène des actions élémentaires de contact créant alors ces moments résistants.
Les lois de contact entre deux solides sont complexes, et des lois semblables aux lois de Coulomb
pour les frottements de glissement ont été formulées pour modéliser ces phénomènes.
# »
#»
Résistance au roulement : si Ωr 21 = 0 , alors
# »
#»
#
si Ωr 12 = 0 , alors
# »
Mr 12 = h · |N12 |
»
R1→2
2
avec h le coefficient de frottement de roulement ;
#»
n
#
I1
»
R1→2
2
Répartition symétrique de
la pression de
contact : h = 0
# »
Ω2/1
I I 1
Répartition
asymétrique
de la pression
de contact :
#»
h = II 7.7 Prise en compte des frottements
95
Résistance au pivotement : si Ωp 12 = 0, alors
Mp 12 = k · |N12 |
avec k le coefficient de frottement de pivotement..
Remarque : les deux coefficients h et k sont homogènes à une longueur.
7.7.4 Frottements fluides - visqueux
Le modèle des lois de Coulomb pour les frottements est parfois insuffisant pour décrire la nature
du contact entre deux solides.
Il est parfois nécessaire de remplacer ou de compléter ce modèle par la prise en compte d’un effet
dû à la vitesse de déplacement.
#
»
#
»
F1→2 = − f v · VI∈2/1
avec f v en [N s m−1 ].
Dans ce modèle, l’action mécanique d’un solide sur l’autre est inversement proportionnelle à la
vitesse de déplacement relative.
96
7 Modélisation des actions mécaniques
7.8 Actions mécaniques particulières
7.8.1 Action mécanique développée par un ressort de traction-compression
Soit deux solides (1) et (2) liés par un ressort de traction-compression :
– de longueur à vide : 0
[m] ;
−1
– de raideur : k
[N m ] ;
– A et B, les points d’application de l’action du ressort sur les solides 1 et 2 ;
u .
– d’axe A, #»
L’action mécanique développé par le solide
(1) sur le solide (2) par ressort est proportionnelle à variation de longueur du ressort :
#
»
R1→2 = −k · ( − 0 ) · #»
u
longueur à vide :0
1
2
A
#
»
#»
R1→2 = 0
B
#»
u
0
− 0
1
2
A
L’action mécanique développée par le ressort
est donc modélisable par un torseur glisseur :
B
#
»
R1→2 = −k · ( − 0 ) · #»
u
#»
u
# »
R
1→2
R 1→2 =
#»
0 B
7.8.2 Action mécanique développée par un ressort spiral
L’action mécanique appliquée par le ressort spiral, du solide 1 sur le solide 2 (figure 7.16) est un
couple proportionnel à la différence angulaire.
#
»
C1→2 = −k c · (θ − θ0 ) · z#»1
avec : k c la raideur du ressort [N rad−1 ].
Le torseur associé à l’action mécanique d’un ressort spiral est un torseur couple
#» 0
C 1→2 = # »
C1→2 ∀P
7.8.3 Action mécanique d’un moteur
De la même manière l’action mécanique appliqué par le stator d’un moteur sur le rotor est modélisée par un torseur couple :
#»
0
C s→r = # »
Cm = Cm · #»
u ∀P
avec #»
u l’axe de rotation du rotor.
7.8 Actions mécaniques particulières
97
#»
y1
#»
y1
#»
x2
θ
#»
x1
#»
x1
θ0
θ0
F IGURE 7.16 – Ressort spiral
7.8.4 Action transmissible par un engrenage
a ) Engrenage droit
dans le cas d’un engrenage droit à dentures parallèles, l’action mécanique transmise par une roue
dentée sur l’autre se fait suivant la droite d’action. Elle est représentable par un torseur glisseur en I.
Ligne de pression
y#»1
α = 20°
#
»
F2→1
x#»1
O1
I
F IGURE 7.17 – Action mécanique dans un engrenage
Le torseur de l’action mécanique de la roue 2 sur la roue 2 s’écrit en I :
# »
F2→1
A2→1 =
#»
0 I
soit en projection dans la x#»1 , y#»1 , z#»1
⎫
⎧
# »
⎨ 1 · F2→1 · sin α 0⎬
F2→1
= 2 · F2→1 · cos α 0
A2→1 =
#»
⎭
0 I ⎩
0
0 I
(x#»1 , y#»1 ,z#»1 )
O2
98
7 Modélisation des actions mécaniques
avec 1 = ±1 et 2 = ±1 en fonction du repère et du sens de rotation de la roue 1. Dans le cas de la
figure 7.17, on a :
⎫
⎧
# »
⎨ +F2→1 · sin 20° 0⎬
F2→1
A2→1 =
= − · F2→1 cos 20° 0
#»
⎭
0 I ⎩
0
0 I
(x#»1 , y#»1 ,z#»1 )
b ) Engrenage hélicoïdal
Pour un engrenage droit à denture hélicoïdale, il est nécessaire de prendre en compte l’angle d’hélice.
F IGURE 7.18 – Action mécanique sur une denture hélicoïdale (crédit Pierre Provot)
7.8.5 Action transmissible par un système vis-écrou
7.9 Torseur des actions transmissibles par les liaisons normalisées
Dans cette partie nous traiterons que le cas des liaisons parfaites, c’est-à-dire sans frottements.
7.9.1 Liaison Sphère-Plan (ponctuelle) parfaite
Nous avons déjà vu que le torseur de l’action ponctuelle parfaite s’écrit en I, le point de contact
entre les deux solides :
# » F1→2
A1→2 = #
» #»
MI,F1→2 = 0 I
7.9 Torseur des actions transmissibles par les liaisons normalisées
99
#» #»
Dans toute base contenant le vecteur normal au plan tangent : #»
n , ? , ? , le torseur de l’action transmissible par une liaison ponctuelle est de la forme :
⎧
F
⎨ 1→2
0
A1→2 =
⎩
0
⎫
0⎬
0
⎭
0 I
#» #» #»
n, ? , ?
Cette forme est valable en tout point P de l’axe I, #»
n
⎧
F
⎨ 1→2
0
A1→2 =
⎩
0
⎫
0⎬
0
⎭
0 ∀P∈(I, #»
n)
#» #» #»
n, ? , ?
#»
n
#
»
dF1→2 (Q)
S1
#»
n
#
»
F1→2
I
#»
t
S2
#»
#»
v = #»
n∧t
S1
ds
#»
t
S2
P
#»
#»
v = #»
n∧t
(a) Contact Spère-Plan
(b) Contact Appui plan
F IGURE 7.19 – Modélisation des contacts parfaits
Le torseur cinématique d’une liaison sphère-plan s’écrit :
⎧
ω
⎨ 1
V2/1 = ω2
⎩
ω3
⎫
0⎬
V2
⎭
V3 ∀P∈(I, #»
n)
#» #» #»
n, ? , ?
On remarque que
V2/1 ⊗ A1→2 = 0
Lecomoment
des deux torseurs est nul.
#» #»
#»
n,
– n , ? , ? : indique que cette forme est valable dans toute base contenant le vecteur #»
#»
#»
– ∀P ∈ I, n précise que le torseur à la forme proposée en tout point de l’axe I, n .
On rema
100
7 Modélisation des actions mécaniques
7.9.2 Liaison Appui-Plan
Le torseur d’un contact surfacique plan de normale #»
n s’écrit en un point O :
A1→2 =
⎧
⎪
⎪
⎨
#
»
F1→2 =
#
»
⎪
⎪
⎩MO,F1→2 =
ˆ
#
ˆP∈S
Q∈S
»
dF1→2 (Q)
⎫
⎪
⎪
⎬
»⎪
# » #
OQ ∧ dF1→2 ⎪
⎭
O
On considère
– que la surface de contact est rectangulaire : S = 2 · a × 2 · b,
– que la pression de contact est uniforme : p(Q) = p 0 constant
Le torseur s’écrit donc :
A1→2 =
ˆ
⎧
#
»
⎪
⎪
⎨F1→2 = −p
⎫
⎪
ds · #»
n = −p · S · #»
n⎪
⎬
P∈Sˆ
»
# »
⎪
= −p
OQ ∧ ds · #»
n ⎪
⎭
#
⎪
⎪
⎩ MO,F1→2
Q∈S
O
#» #»
# »
#»
Déterminons le moment en O, on pose OQ = x· t +y · #»
v avec #»
n , t , v une base orthonormée directe.
#
ˆ
»
MO,F1→2 = −p 0
#
Q∈S
ˆ
»
MO,F1→2 = −p 0
#
ˆ
»
MO,F1→2 = p 0
On pose :
# »
OQ ∧ ds · #»
n
#»
v ∧ ds · #»
n
x · t + y · #»
Q∈S
x · ds · #»
v −p
Q∈S
ˆ
#»
y · ds · t
0
Q∈S
ˆ
– Mt (O) = −p 0
ˆ
y · ds
Q∈S
– Mv (O) = p 0
x · ds
Q∈S
Le torseur de l’action transmissible par la liaison appui plan s’écrit donc :
⎧
⎨F1→2
F1→2 = F1→2
0
A1→2 = #
=
»
#»
MO,F1→2 = Mt (O) · t + Mv (O) · #»
v O ⎩
0
#
»
· #»
n
⎫
0 ⎬
Mt (O)
⎭
Mv (O) O
#»
n , t , #»
v)
( #»
Montrons que cette forme est vraie en tout point P = (n, t , v) de l’espace.
7.9 Torseur des actions transmissibles par les liaisons normalisées
101
Déterminons le moment en P de l’action de pression :
#
»
#
»
#»
MP,1→2 = MO,1→2 + PO ∧ F1→2 · #»
n
#
»
#»
#»
MP,1→2 = Mt (O) · t + Mv (O) · #»
v + n · #»
n + t · t + v · #»
v ∧ F1→2 · #»
n
#
»
#
»
#
»
#»
#»
MP,1→2 = Mt (O) · t + Mv (O) · #»
v − t · F1→2 · #»
v + v · F1→2 · t
#»
v
MP,1→2 = (Mt (O) + v · F1→2 ) · t + (Mv (O) − t · F1→2 ) · #»
#»
MP,1→2 = Mt (P) · t + Mv (P) · #»
v
Le torseur s’écrit donc en P :
⎧
⎨F1→2
F1→2 = F1→2
0
=
A1→2 = #
»
#»
MP,F1→2 = Mt (P) · t + Mv (P) · #»
v P ⎩
0
#
»
· #»
n
⎫
0 ⎬
Mt (P)
⎭
Mv (P) P
#»
n , t , #»
v)
( #»
Le torseur a bien la même forme en tout point de l’espace, la forme canonique de ce torseur est
donc :
⎧
⎫
0 ⎬
F1→2
#
»
⎨
#»
F1→2 = F1→2 · n
0
Mt
=
A1→2 = #
»
#»
⎭
MP,F1→2 = Mt · t + Mv · #»
v P ⎩
0
Mv ∀P
#»
n , t , #»
v)
( #»
Remarque 1 : : on comprend bien ici que même forme n’implique pas même valeur, le torseur en
P à la même forme que le torseur en O mais les moments en P et en O sont différents.
Remarque 2 : : définir le torseur d’une liaison sous sa forme la plus générale laisse la liberté de
choisir le point et la base de réduction les plus judicieux pour les calculs, mais une fois que ce point
est choisi, les valeurs sont imposées.
Remarque 3 : : on note en général le torseur de l’action mécanique transmissible par la liaison
sous la forme :
⎫
⎧
X 12 L12 ⎬
⎨
A1→2 = Y12 M12
⎭
⎩
Z 12 N12 P
x , #»
y , #»
z)
( #»
7.9.3 Relation entre torseur cinématique et torseur des efforts transmissibles par un liaison
Reprenons l’exemple de l’appui plan de l’exemple précédent.
#» #»
x , y , z le torseur des actions transmissibles par une liaison appui plan de normale
Dans la base #»
#»
z s’écrit :
⎫
⎧
0
L12 ⎬
# »
⎨
R1→2 = Z 12 · #»
z
= #
A1→2 = 0 M12
»
⎭
⎩
MP,1→2 = L12 · #»
x + M12 · #»
y P
Z 12
0 ∀P
x , #»
y , #»
z)
( #»
102
7 Modélisation des actions mécaniques
Le torseur cinématique de cette même liaison s’écrit :
V2/1
⎧
⎨0
= 0
⎩
ωz
⎫
Vx ⎬
# »
Ω2/1 = ωz · #»
z
Vy
= #
»
⎭
VP∈2/1 = Vx · #»
x + V y · #»
y P
0 ∀P
x , #»
y , #»
z)
( #»
Calculons le comoment des deux torseurs :
# » #
»
» # » #
A1→2 ⊗ V2/1 = R1→2 · VP∈2/1 + Ω2/1 · MP,1→2
z · Vx · #»
x + V y · #»
y + ωz · #»
z · L12 · #»
x + M12 · #»
y
A1→2 ⊗ V2/1 = Z 12 · #»
A1→2 ⊗ V2/1 = 0
Le comoment du torseur cinématique et du torseur des efforts transmissible d’une liaison parfaite
est nul.
Le torseur cinématique et le torseur des efforts transmissibles d’une liaison sont deux torseurs
duaux.
7.9 Torseur des actions transmissibles par les liaisons normalisées
103
7.9.4 Tableau des liaisons normalisées
On retrouve dans chaque tableau :
– n c : le nombre d’inconnue cinématique ;
– n s : le nombre d’inconnue statique ;
– les symboles normalisés plans ;
– le symbole 3D.
#» #» z se lit toute base comportant le vecteur #»
z.
Remarque : dans les tableaux qui suivent, ? , ? , #»
104
7 Modélisation des actions mécaniques
Liaison Pivot
Liaison Pivot d’axe O, #»
x
Torseur cinématique
⎧
⎫
⎨ωx 0⎬
0 0
, nc = 1
⎩
⎭
0 0 ∀P∈ O, #»
)
( #»x #»
Torseur des actions transmissibles
⎧
⎫
⎨X 0 ⎬
Y M
, ns = 5
⎩
⎭
Z N ∀P∈ O, #»
)
( #»x #»
#»
x,?,?
#»
z
#»
x,?,?
#»
z
#»
z
#»
y
O
O
⎧
⎨0
0
⎩
0
⎫
Vx ⎬
0
, nc = 1
⎭
0 ∀P
#»
x
Liaison Glissière
Liaison Glissière de direction #»
x
#» #»
#»
x,?,?
#»
z
O
⎧
⎨0
Y
⎩
Z
⎫
L⎬
M
, ns = 5
⎭
N ∀P
#» #»
#»
x,?,?
#»
z
#»
z
#»
y
O
O
#»
y
#»
x
#»
x
O
#»
y
#»
x
⎧
⎨ωx
0
⎩
0
Liaison Hélicoïdale
Liaison Hélicoïdale d’axe O, #»
x
⎧
⎫
⎫
p
p
X
L
Vx ⎬
⎨
⎬
X
Vx =
L=−
ωx
2·π
2·π
Y M
0
⎩
⎭
⎭
ns = 5
nc = 1
Z N ∀P∈ O, #»
0 ∀P∈ O, #»
)
)
( #»x #»
( #»x #»
#»
#»
x,?,?
#»
z
x,?,?
#»
z
#»
z
#»
y
O
O
#»
x
O
#»
y
#»
x
Liaison Pivot Glissant
Liaison Pivot Glissant d’axe O, #»
x
⎧
⎫
⎫
Vx ⎬
⎨0 0 ⎬
0
Y M
, nc = 2
, ns = 4
⎩
⎭
⎭
0 ∀P∈ O, #»
Z
N
#»
∀P∈
x)
)
( #»x #»
(O,
#» #»
⎧
⎨ωx
0
⎩
0
#»
x,?,?
#»
z
O
#»
x,?,?
#»
z
#»
z
#»
y
O
#»
x
O
#»
x
#»
y
7.9 Torseur des actions transmissibles par les liaisons normalisées
⎧
⎨ω x
ω
⎩ y
ωy
⎫
0⎬
0
, nc = 3
⎭
0 C
Liaison Sphérique
Liaison Sphérique de centre C
105
⎧
⎨X
Y
⎩
Z
⎫
0⎬
0
, ns = 3
⎭
0 C
∀B
∀B
#»
z
#»
z
#»
x
O
O
#»
y
#»
x
Liaison Sphérique à doigt
Liaison Sphérique à doigt de centre C et de doigt a xeOx
⎧
⎫
⎫
0⎬
⎨X 0 ⎬
0
Y 0
, nc = 2
, ns = 4
⎩
⎭
⎭
0 C
Z N C
⎧
⎨ω x
ω
⎩ y
0
∀B
∀B
#»
z
#»
z
#»
x
O
O
#»
y
#»
x
⎧
⎨0
0
⎩
ωz
⎫
Vx ⎬
Vz
⎭
0 ∀P
#» #» ? , ? , #»
z
Liaison Appui Plan
Liaison Appui Plan de normale #»
z
⎧
⎨0
0
, nc = 3
⎩
Z
⎫
L⎬
M
, ns = 3
⎭
0 ∀P
#» #» ? , ? , #»
z
#»
z
#»
z
O
#»
x
O
#»
y
#»
x
⎧
⎨ω x
ω
⎩ y
ωz
#»
z
O
Liaison Sphère Cylindre - Linéaire Annulaire
Liaison Sphère Cylindre de centre C et d’axe C, #»
x
⎧
⎫
⎫
Vx ⎬
⎨ 0 0⎬
Y 0
0
, nc = 4
, ns = 2
⎩
⎭
⎭
Z 0 C
0 C
#» #»
#»
x,?,?
#» #»
#»
x,?,?
#»
z
#»
z
#»
y
O
#»
x
O
#»
x
#»
y
106
7 Modélisation des actions mécaniques
Liaison Cylindre Plan - Linéaire Rectiligne
Liaison Cylindre Plan de normale #»
z et de droite I, #»
x , I un point de la droite de contact
⎧
⎨ωx
0
⎩
ωz
#»
z
O
⎧
⎨0
0
⎩
Z
⎫
Vx ⎬
Vy
, nc = 4
⎭
0 ∀P∈ I, #»
( x#»)
x , #»
y,z)
( #»
⎫
0⎬
M
, ns = 2
⎭
0 ∀P∈ I, #»
( x#»)
x , #»
y,z)
( #»
#»
z
#»
z
#»
y
O
#»
x
O
#»
x
⎧
⎨ω x
ω
⎩ y
ωz
#»
y
Liaison Sphère Plan- ponctuelle
liaison Sphère Plan de normale I, #»
z , I point de contact
⎧
⎫
⎫
Vx ⎬
⎨ 0 0⎬
0 0
Vy
, nc = 5
, ns = 1
⎩
⎭
⎭
Z
0
0 ∀P∈ I, #»
#»
∀P∈
z)
#»( #»z ) #»(I,
#» ? , ? , #»
z
? , ? , #»
z
#»
z
#»
z
O
#»
x
O
#»
x
#»
y