ג ע" אביב תש מבוא לביופיסיקה / מבחן בית

‫פברואר‪-‬מרץ ‪2013‬‬
‫מבוא לביופיסיקה‪ /‬אביב תשע"ג‬
‫מבחן בית‬
‫הנחיות כלליות‪:‬‬
‫יש לפתור את כל השאלות לפי ההנחיות‪ .‬נא להסביר בקצרה ובכתב ברור את הדרך; פתרון‬
‫ללא הסבר לא יתקבל‪ .‬עבודה על המבחן הינה עצמאית וללא התייעצויות או שותפים‪ .‬המבחן‬
‫בנוי על אמון ומטרתו לסכם חלקים חשובים מהקורס‪ .‬לכל שאלה מצוין הניקוד הכולל כאשר‬
‫כל סעיף בתוך השאלה הוא בעל משקל שווה‪ .‬נא להגיש את הפתרונות עד לתאריך‪:‬‬
‫‪ 7.3.2012‬לא יתקבלו פתרונות מעבר לתאריך זה‪ .‬נא להגיש את העבודה ישירות אלי או‬
‫לאלעד סטולוביצקי במעבדתי )חדר ‪ 414‬טלפון ‪ .(3389‬ניתן לפנות אלי במידה ומתעוררות‬
‫שאלות )‪.(erez@physics.technion.ac.il‬‬
‫בהצלחה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .I‬קונפורמציות של מאקרו‪-‬מולקולות )‪ 20‬נקודות(‬
‫‪ .1‬שרשרת פולימר "חצי‪-‬גמישה" )‪ (semi-flexible‬הנה בעלת אנרגית כיפוף‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (bending energy‬ליחידת אורך ‪ 2 A‬כאשר ‪ k‬היא העקמומיות המקומית ו‪ A-‬מקדם אלסטי‬
‫)‪ (bending modulus‬ביחידות של אנרגיה‪x‬אורך‪ .‬ניתן לכן לכתוב‪ A = Ta :‬כאשר ‪ a‬הוא אורך‬
‫הקשיחות )‪ (persistence length‬ו‪ B -‬הוא קבוע בולצמן‪ .‬בכדי לפשט את הבעיה‪ ,‬נניח כי‬
‫השרשרת מונחת על מישור ומתכופפת רק על מישור זה‪ .‬נשתמש כעת בפרמטריזצית מונג'‬
‫)‪ (Monge‬כפי שעשינו בכיתה עבור ממברנות )רק שפה יש עקומה במישור דו‪-‬ממדי‬
‫ובממבראנות היה לנו משטח במרחב תלת‪-‬ממדי( ונכתוב ביטוי לאנרגיה מהצורה‪:‬‬
‫}‬
‫{‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪dx A ∇ 2 h + F ( ∇h‬‬
‫∫‬
‫‪20‬‬
‫)‬
‫(‬
‫= ‪E  h ( x ) ‬‬
‫עבור שרשרת עם אורך נומינלי ‪) L‬אורך השרשרת כשהיא מתוחה(‪ ,‬כאשר ‪∇2‬‬
‫הוא אופרטור הלפלסיאן ו‪ F -‬הוא כוח חיצוני מושך המופעל אופקית )במישור( על השרשרת‪h(x) .‬‬
‫הוא הגובה המקומי )פונקציה של ‪ (x‬של השרשרת מעל קו ייחוס שרירותי המקביל לציר ‪.x‬‬
‫א( כתבו את האנרגיה במרחב פורייה כסכום על מודים ‪ q‬בעלי אמפליטודה ‪. ℎ‬‬
‫‬
‫ב( בשימוש בעיקרון חלוקת האנרגיה השווה )‪ (equipartition‬מצאו ביטוי ל‪ ℎ -‬כפונקציה של‬
‫‪ q‬והטמפרטורה‪.‬‬
‫ג( נניח כי ‪ ∆L = L − L‬הינו הפרעה קטנה ) ‪ (∆L ≪ L‬כאשר ‪ L‬הינו האורך הממשי של‬
‫השרשרת‪ .‬פתחו את ‪ ∆L‬בטור טיילור ורשמו ביטוי עבורו במרחב פורייה כסכום על המודים ‪q‬‬
‫בסדר הנמוך ביותר‪.‬‬
‫‬
‫ד( כעת השתמשו במעבר מסכום לאינטגרל‪ ∑ → ! dq :‬בכדי לחשב את‬
‫של ‪ L‬תחת ההנחה כי ‪# ≫ 1‬‬
‫&‪.‬‬
‫‪F$‬‬
‫‪BT‬‬
‫‪ #‬כפונקציה‬
‫‪F=k‬‬
‫‪ .2‬נניח שרשרת חד‪-‬ממדית עם ‪ N‬מונומרים ואורך ‪ L‬התלויה אנכית בכיוון ̂( כאשר כל מונומר‬
‫יכול להיות בכיוון ̂( ‪ +‬או ̂( ‪ . −‬קצה השרשרת מחובר לנקודה מעל הרצפה כאשר לקצה השני‬
‫מחוברת מסה ‪ . M‬השרשרת כולה בשיווי משקל תרמודינמי בטמפ' ‪. T‬‬
‫א( כיתבו את פונקצית החלוקה ‪ Z‬לשרשרת זו )הצבר הקנוני בטמפ' ‪.(T‬‬
‫ב( חשבו את האנרגיה החופשית ואת האנרגיה ‪./012‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,-‬‬
‫‪ U = −‬כאשר ‪.β = 1/4 5‬‬
‫הסבירו את ההבדל הפיסיקלי בין האנרגיה החופשית שקיבלתם והאנרגיה ‪.U‬‬
‫ג( חשבו את האורך הממוצע 〉‪ 〈/‬של השרשרת )ממוצע תרמודינמי(‪.‬‬
‫ד( בהתאם למה שחישבתם בסעיפים הקודמים הראו האם המסה תעלה או תרד כאשר הטמפ'‬
‫תעלה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .II‬תהליכי דיפוזיה )‪ 30‬נקודות(‬
‫‪ .1‬נתבונן על השפעת ממדי המרחב על תהליך הדיפוזיה‪ .‬הניחו כי חלקיק מונח בתחילה בראשית‬
‫הצירים במרחב עם ‪ d‬ממדים ועובר תהליך דיפוזיה עם מקדם דיפוזיה ‪.D‬‬
‫א( מהי צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק במרחק בין ‪ r‬ל‪ 8 + ∆8-‬בזמן ‪?t‬‬
‫ודאו כי הביטוי שקיבלתם מכיל את הנרמול הנכון לפי הממד ‪ d‬בכדי שההסתברות על כל‬
‫המרחב תהיה אכן ‪.1‬‬
‫ב( ההסתברות לחזור לראשית הצירים או למרחק קטן ממנה ‪ δ‬ניתנת ע"י‬
‫‬
‫)‪Porig ( t ) = ∫ d d r P(r, t‬‬
‫‬
‫‪r <δ‬‬
‫כאשר עבור זמנים ארוכים ו‪ δ -‬קטן האקספוננט המופיע באינטגרנד הוא בקרוב טוב ‪) 1‬וכך יש להניח‬
‫בחישוב(‪ .‬הזמן שהחלקיק ישהה קרוב לראשית הוא‪:‬‬
‫∞‬
‫)‪torig = ∫dt Porig (t‬‬
‫‪τ‬‬
‫חשבו את <;‪ 9:‬עבור ‪ d=1,2,3‬והראו האם הוא סופי או לא עבור הממדים השונים‪.‬‬
‫ג( עבור הנחות סבירות‪ ,‬מה המשמעות של התשובות שקיבלתם על ההסתברות לחזור‬
‫לראשית?‬
‫‪ .2‬נניח מספר קבוע של חלקיקים המפוזרים במרחב עם צפיפות ‪) 0.8=, 2‬מס' חלקיקים ליח' נפח(‪.‬‬
‫?‪,‬‬
‫משוואת הרציפות תהיה‪A= ∙ =J = 0 :‬‬
‫∇ ‪ ,@ +‬כאשר ‪ =J‬הוא זרם החלקיקים‪ .‬עבור תהליך דיפוזיה‬
‫טהור מתקיים‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫)‪J D ( r, t ) = − D∇ • n(r, t‬‬
‫המוביל למשוואת הדיפוזיה של חלקיקים חופשיים‪ ,‬ואז ‪ =J = =JE‬עקב תהליך דיפוזיה בלבד‪.‬‬
‫א( נניח כעת כי פועל כוח =‪ AF‬על החלקיקים ולתווך יש צמיגות כך שמתקיים =‪A‬‬
‫‪ , v‬כאשר ‪μ‬‬
‫‪A= = μF‬‬
‫‪ v‬המהירות‪ .‬כמו כן נניח כי =‪ AF‬נגזר מפוטנציאל‪ .‬חשבו את הזרם ‪ =JH‬המתווסף ל‪=JE -‬‬
‫המוביליות ו‪A= -‬‬
‫עקב הפעלת הכוח‪.‬‬
‫ב( נניח כעת שהפוטנציאל הפועל על החלקיקים מביא את הריכוז שלהם בחלק סופי של המרחב למצב‬
‫שיווי‪-‬משקל ‪) 0I .8=2‬שכמובן איננו תלוי בזמן(‪ .‬מצאו את ‪) 0I .8=2‬הניחו כי הפוטנציאל גדל ב‪-‬‬
‫∞ כך שהוא מרכז את החלקיקים בחלק סופי של המרחב(‪.‬‬
‫ג( מכאניקה סטטיסטית מלמדת אותנו כי בשיווי‪-‬משקל תרמודינמי הפילוג הוא פילוג בולצמן‪ .‬השתמשו‬
‫בתוצאה שמצאתם בסעיף ב בכדי למצוא קשר בין ‪ D , μ‬ו‪.T-‬‬
‫‪MN‬‬
‫‪O‬‬
‫ד( כעת השתמשו במימדי הגדלים הפיסיקאליים הבאים‪ :‬צמיגות‪ ,η LO∙PQ -‬ומוביליות‪ μ LR∙PQ -‬עבור‬
‫‪ v‬וחשבו מאנליזת ממדים בלבד את הקשר בין הטמפ'‬
‫חלקיק כדורי עם רדיוס‪ R -‬הנע במהירות =‪A‬‬
‫למקדם הדיפוזיה ורדיוס החלקיק‪ ,‬עד כדי קבוע גיאומטרי ‪.C‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .3‬קרן לייזר מאירה עם עוצמה ‪ I.8=2‬תמיסה עם חלקיקים פלואורסנטיים )כלומר הבולעים באורך‬
‫גל מסוים ופולטים באורך גל יותר ארוך( הנכנסים ויוצאים מהקרן ע"י תהליך דיפוזיה שלהם‬
‫בתמיסה‪ .‬בחלון זמן קטן ∆ הסיגנל הפלואורסנטי המגיע מנקודת הארה ניתן ע"י‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫) ‪n ( t ) = ∆t Q ∫d 3r I ( r ) C ( r , t‬‬
‫כאשר ‪ T.8=, 2‬היא צפיפות החלקיקים ו‪ U -‬קבוע הנקבע ע"י פרטי המערכת‪ .‬נכתוב את‬
‫צפיפות החלקיקים בצורה הבאה‪ T .8=, 2 = T̅ + WT.8=, 2 :‬כאשר ̅‪ T‬היא הצפיפות הממוצעת‬
‫ו‪ WT.8=, 2 -‬הוא החלק הפלקטואטיבי‪ .‬הסיגנל הפלורוסנטי יכתב בהתאם‪:‬‬
‫‪ . 0.2 = 0X + W0.2‬נראה כי ניתן לחשב את מקדם הדיפוזיה של החלקיקים מפונקצית‬
‫〉‪〈Z?.[2∙Z?.2‬‬
‫= ‪ Y .2‬כאשר 〉 …〈 מבטא ממוצע על צבר סטיסטי בטמפ'‬
‫האוטוקורלציה‪:‬‬
‫\‪?X‬‬
‫קבועה‪.‬‬
‫א( כיתבו ביטויים )השאירו את האינטגרלים כמו שהם( עבור‪:‬‬
‫)‪ (ι‬עוצמת הסיגנל הממוצע ‪.0X‬‬
‫)‪ (ιι‬החלק הפלקטואטיבי בסיגנל ‪.W0.2‬‬
‫ב( הראו כי‪:‬‬
‫) ‪∫d r ∫d r I (r ) I (r )δ C (r , 0) • δ C (r , t‬‬
‫‬
‫‬
‫'‬
‫‬
‫' ‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪(Q ∆t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫= ) ‪G (t‬‬
‫ג( כאשר החלקיקים עוברים דיפוזיה חופשית )ללא כוחות חיצוניים( אז ‪ T.8=, 2‬ולכן גם‬
‫‪ WT.8=, 2‬מקיימים את משוואת הדיפוזיה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫∂‬
‫) ‪δC ( r, t ) = D∇ 2δC ( r, t‬‬
‫‪∂t‬‬
‫השתמשו בהגדרה הבאה של התמרת פורייה ב‪ 3-‬ממדים עבור פונקציה ‪:f‬‬
‫=‪A‬‬
‫=‪ bc ^d .A= 2e !fM∙g‬‬
‫_‬
‫‪a‬‬
‫\‪.`2‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪ ^ .8=2‬וההתמרה ההפוכה‪A=2el∙8A= :‬‬
‫‪ b 8 ^ .8‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.2j22‬‬
‫= ‪# hA=i‬‬
‫^‬
‫ופתחו את המשוואה הדיפרנציאלית עבור ‪ WTd .A= , 2‬ופתרו אותה עד כדי קבוע ‪A=, 02‬‬
‫‪ WTd .‬של‬
‫תנאי ההתחלה‪.‬‬
‫ד( חשבו את פונקצית הקורלציה 〉‪ 〈WT.8=, 02WT.8= m , 2‬והראו כי היא שווה ל‪-‬‬
‫ ‬
‫‪C‬‬
‫‪3‬‬
‫) ' ‪− Dk 2 t ik •( r − r‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ke‬‬
‫‪e‬‬
‫∫ ‪(2π)3‬‬
‫כאשר מתקיים ‪ 〈WT.8=, 02WT.8= mm , 02〉 = T̅ W c .8= − 8= mm 2‬כלומר הפלקטואציות בצפיפות‬
‫אינן בקורלציה )במקרה כזה הוריאנס )‪ (var‬פרופורציוני לממוצע—פילוג כזה נקרא פילוג‬
‫פואסון(‪.‬‬
‫הערה‪ :‬ניתן להשתמש בעובדה שעבור פונקציות אורתוגונאליות מתקיים‪:‬‬
‫ ‬
‫‪3‬‬
‫) ‪( 2π ) δ 3 ( r − r '' ) = ∫d 3keik •( r − r‬‬
‫'' ‬
‫ה( כעת חשבו את ‪ Y .2‬לפי סעיף ב )ניתן להשאיר את האינטגרל(‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .III‬קינטיקה של אינזימים )‪ 30‬נקודות(‬
‫א( קראו את מאמרו המצורף של ‪ Hopfield‬על ‪ kinetic proffreading‬והסבירו בקצרה‬
‫)לא יותר מחצי עמוד( את עיקרון הפחתת השגיאות המוצג במאמר‪ .‬האם התהליך דורש‬
‫אנרגיה? אם כן‪ ,‬מדוע ובאיזה שלבים של הקינטיקה? הסבירו!‬
‫כעת נחשב את התהליך של תיקון שגיאות בשכפול דנ"א לפי עקרון זה‪ .‬תחילה נתבונן‬
‫על הריאקציה ללא תיקון שגיאות‪ .‬נניח שהפולימרז )האנזים המשכפל של הדנ"א( צריך‬
‫להכניס את הבסיס הנכון בשרשרת הדנ"א הנבנית שהיא העתק של מולקולת הדנ"א‬
‫המשוכפלת עליה הפולימרז "צועד"‪ .‬נדמה את התהליך כריאקציה כימית שבה האנזים‬
‫)פולימרז( קושר בסיס מהתמיסה )הבסיס הזה הוא הסובסטרט( ומצמד אותו בשרשרת‬
‫הנבנית‪ .‬הבסיס הנקשר צריך להתאים לבסיס שהפולימרז קשור עליו על המולקולה‬
‫המשוכפלת‪ .‬בתמיסה קיימים רק שני סוגי בסיסים ובנקודה מסוימת רק אחד מהם הוא‬
‫הבסיס המתאים‪ .‬הריאקציה הכימית ניתנת לתיאור ע"י הסכמה הבאה‪:‬‬
‫כאשר ‪ E‬הוא האנזים )פולימרז(‪ A ,‬הוא הבסיס הנכון ו‪ B-‬הוא הבסיס השגוי‪ nopqrOst .‬הוא הקצב בו‬
‫‪m‬‬
‫‪ nouqrOst‬הוא קצב יצירת התוצר השגוי עם בסיס‬
‫נוצר התוצר הנכון )הכנסת בסיס ‪ A‬לשרשרת( ו‪-‬‬
‫‪ .Β‬הניחו כי הריכוזים ‪ npq‬ו‪ nuq -‬לא מידללים ונשארים קבועים בתהליך‪.‬‬
‫ב( כתבו את המשוואות הקינטיות לתהליך המתואר‪.‬‬
‫ג( בכדי לתאר את ההסתברות לשגיאה ‪ f‬המוגדרת כ‪ -‬קצב יצירת ‪ nuq‬חלקי קצב יצירת‬
‫‪ , npq‬אין צורך לפתור את המשוואות‪ .‬חשבו במצב עמיד את ההסתברות לשגיאה עבור‬
‫ריאקציה זו‪ .‬כיצד לדעתכם ניתן להקטין את השגיאה בעזרת שינוי בפרמטרים‬
‫‪m‬‬
‫‪ ?rOst = rOst‬קבלו חסם תחתון להסתברות השגיאה‪.‬‬
‫הקינטיים אבל תחת ההנחה כי‬
‫ד( רשמו ביטוי לחסם תחתון של ‪ f‬כפונקציה של האנרגיות החופשיות ‪ &v‬ו‪ &4 -‬להוצאת‬
‫מולקולת בסיס ‪ A‬או ‪ B‬מהתמיסה וקישורה לאנזים בהתאמה )ברור שיש מחסום‬
‫אנרגטי המבוטא ע"י קצב סופי של ריאקצית הקישור(‪.‬‬
‫ה( כעת נפעיל תיקון קינטי )‪ (kinetic proofreading‬לפי הסכמה הבאה‪:‬‬
‫וסכמה דומה עבור ‪ o ∗ .B‬מבטא שינוי במבנה האנזים ‪ E‬עקב השלב הנוסף בריאקציה‪ .‬חשבו כעת את‬
‫החסם התחתון לשגיאה כפונקציה של האנרגיות החופשיות ‪ &v‬ו‪ &4 -‬כאשר ניתן להניח בקרוב טוב כי‬
‫‪ Fz∗ ~Fz‬ו‪ .F∗ ~F -‬מה היה קורה אילו הריאקציה ‪ r‬הייתה הופכית‪ ,‬כלומר היה קיים ‪ 8 m‬בכיוון ההפוך‬
‫מ‪ E ∗ A -‬ל‪) EA -‬וכנ"ל ל‪ ?(Β -‬האם דרושה הכנסת אנרגיה לתהליך תיקון השגיאה ואם כן איזה שלב‬
‫דורש אנרגיה? הסבירו!‬
‫‪ .IV‬תהליכים חשמליים ומתח המנוחה בתאים )‪ 20‬נקודות(‬
‫‪ .1‬מתח צומת‬
‫נניח ממשק )צומת מגע( בין שני אלקטרוליטים )תמיסות יוניות( שונים עם ריכוזי יונים חיוביים ושליליים‬
‫‪ C +1 = C −1 = C 1‬ו‪ C +2 = C −2 = C 2 -‬רחוק מן הממשק‪ .‬בתוך עובי ממשק ‪ d‬בין שני האלקטרוליטים‬
‫קיימים ריכוזי יונים )‪ C − (x) , C + (x‬ופוטנציאל חשמלי )‪) Ψ (x‬בעיה חד‪-‬מימדית(‪ .‬לפיכך‪ ,‬על פני‬
‫הממשק קיים מתח צומת ‪. V j‬‬
‫הניחו מצב עמיד וכי אין הצטברות של יונים באף מקום במרחב כך ששטפי הזרמים מקיימים‪-‬‬
‫‪. J = J+ + J− = 0‬‬
‫א‪ .‬קבלו ביטוי עבור מתח הצומת ‪ V j‬כפונקציה של הטמפרטורה והריכוזים ‪ C 1‬ו‪ C 2 -‬והמוביליות‬
‫של היונים החיוביים והשליליים ‪ u +‬ו‪. u − -‬‬
‫רמז‪ :‬הניחו כי בתוך הממשק המשתרע מ‪ 0-‬ועד ‪ d‬קיימת ניטרליות כך ש‪-‬‬
‫‪dΨ‬‬
‫כפונקציה של גרדינט הריכוז בממשק ובצעו‬
‫)‪ . C+ ( x) = C− ( x) = C ( x‬קבלו ביטוי עבור‬
‫‪dx‬‬
‫אינטגרציה על פני עובי הממשק ‪.d‬‬
‫ב‪ .‬קבלו ביטוי עבור השטף הכללי שהוא סכום השטפים של הקטיונים )יונים חיוביים( ואניונים )יונים‬
‫שליליים( כפונקציה של גרדינט הריכוז בממשק‪.‬‬
‫‪ .2‬משוואת גולדמן )‪ (Goldman‬למתח המנוחה‪.‬‬
‫נסמן ‪ Φ en‬ו‪ Φ in -‬השטפים פנימה והחוצה לתא דרך הקרום של יון ‪ .n‬השטף נטו הוא לפיכך‬
‫‪ . Φ n = Φ in − Φ en‬נסמן ‪ Cne‬ו‪ Cni -‬ריכוזי היון ה‪ n-‬מחוץ ובתוך התא בהתאמה‪.‬‬
‫הניחו כי השטף החוצה פרופורציוני לריכוז היונים הפנימי והשטף פנימה פרופורציוני לריכוז‬
‫א‪.‬‬
‫היונים החיצוני של יון ‪ , n‬כלומר‪ Φ en = PneCne :‬ו‪ Φ in = Pni Cni -‬כאשר ‪ Pne‬ו‪ Pni -‬בלתי תלויים בריכוז‪.‬‬
‫‪Φ in‬‬
‫‪Cni ( Z n F / RT )Vm‬‬
‫) ‪( Z n F / RT )(Vm −V n‬‬
‫הראו כי ‪:‬‬
‫=‬
‫‪e‬‬
‫=‬
‫‪e‬‬
‫‪Φ en‬‬
‫‪Cne‬‬
‫כאשר ‪ Vn‬הוא מתח ‪ Nernst‬של יון ‪ n‬ו‪ Vm -‬מתח הקרום‪ .‬המתחים מוגדרים חיוביים כאשר הצד‬
‫הפנימי של הקרום יותר חיובי מהצד החיצוני שלו‪.‬‬
‫ב‪ .‬כעת הניחו כי כל היונים הם חד‪-‬וולנטיים ) ‪ .( Z n = 1‬השתמשו בחלק א בכדי להראות כי במצב עמיד‬
‫‪ ∑ PneCne + ∑ PniCni ‬‬
‫‪‬‬
‫‪RT  Z n = +1‬‬
‫‪Z n = −1‬‬
‫‪ln‬‬
‫= ) ‪Vm (rest‬‬
‫‪e i‬‬
‫‪i e ‬‬
‫‪F  ∑ Pn Cn + ∑ Pn Cn ‬‬
‫‪Z n = −1‬‬
‫‪ Z n = +1‬‬
‫‪‬‬
‫שהיא משוואת ‪ Goldman‬למתח המנוחה‪.‬‬
‫‪6‬‬