תרגיל בית מספר 4 - אוניברסיטת תל אביב

Transcription

תרגיל בית מספר 4 - אוניברסיטת תל אביב
‫מבוא למצב מוצק · סתיו ‪2012‬‬
‫תרגיל בית מספר ‪4‬‬
‫‪ .1‬גביש מתואר על ידי סריג דו־מימדי בעל קבוע ‪ ,a‬המכיל שני אטומים בכל תא יחידה‪ .‬בסדרת ניסויים נמצא כי כאשר מפעילים‬
‫צליל קצר )פולס יחיד( ברמקול הצמוד לגביש בנקודה אחת‪ ,‬הצליל נשמע במיקרופון הצמוד למקום אחר בגביש במרחק מסוים‬
‫‪ L‬מאותה נקודה פעמיים‪ :‬בפעם הראשונה תוך זמן ‪ ,T‬ובפעם השניה תוך זמן ‪.2T‬‬
‫)א( כמה ענפים כולל ספקטרום הפונונים של הגביש? כמה מהם אקוסטיים‪ ,‬וכמה אופטיים? הסבירו את התופעה שהתגלתה‬
‫בניסויים ודונו במהירות הקול בגביש‪.‬‬
‫מספר הענפים האקוסטיים שווה תמיד למספר המימדים‪ .‬מספר הענפים הכולל הוא כמספר דרגות החופש הכולל לתא יחידה ־‬
‫מכפלת מספר דרגות החופש לאטום )‪ 2‬בשני מימדים( במספר האטומים בתא‪ .‬כלומר‪ ,‬יש בסך הכל ‪ 4‬ענפים‪ ,‬ששניים מהם אקוסטיים‬
‫ושניים אופטיים‪ .‬כיוון שקול נע בענפים האקוסטיים‪ ,‬את הניסוי ניתן להסביר אם נניח כי שני הענפים הללו מאופיינים על ידי מהירויות‬
‫קול שונות‪ :‬גל בענף אחד עובר מרחק ‪ L‬תוך זמן ‪ ,T‬ולכן מהירותו ‪ .vS = TL‬גל בענף השני חוצה את אותו מרחק תוך זמן כפול‪,‬‬
‫ולכן מהירותו ‪.vS /2‬‬
‫)ב( חשבו את קיבול החום לתא יחידה בגבול של טמפרטורות גבוהות ־ כלומר‪ ,‬בגבול הקלאסי‪.‬‬
‫על פי עיקרון החלוקה השווה הקלאסי‪ ,‬כל דרגת חופש תכיל בממוצע את האנרגיה ‪ .kB T‬האנרגיה התרמית הכוללת בגביש תהיה‬
‫‪X X‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪kB T.‬‬
‫‪k∈BZ1‬‬
‫‪b‬‬
‫כיוון שאם יש ‪ N‬תאי יחידה בגביש יהיו בשני מימדים ‪ 2N‬ערכים מותרים ל־‪ k‬באיזור ‪ Brillouin‬הראשון ו־‪ 2‬אטומים בבסיס‪ ,‬מתקבל‬
‫!‬
‫‪1 ∂E‬‬
‫‪1 ∂ X X‬‬
‫∂ ‪1‬‬
‫= ‪cv‬‬
‫=‬
‫‪(2 × 2N × kB T ) = 4kB .‬‬
‫= ‪kB T‬‬
‫‪N ∂T‬‬
‫‪N ∂T‬‬
‫‪N ∂T‬‬
‫‪k∈BZ1‬‬
‫‪b‬‬
‫)שימו לב כי יכולנו מראש לספור ישירות את מספר דרגות החופש לתא יחידה‪ ,‬כיוון שכל דרגות החופש תורמות במידה שווה בגבול‬
‫זה‪(.‬‬
‫)ג( חשבו את קיבול החום לתא יחידה בגבול של טמפרטורות נמוכות )מה ניתן אז להניח לגבי יחסי הדיספרסיה?(‪ .‬העזרו‬
‫∞´‬
‫‪2‬‬
‫באינטגרל ‪. 0 dx exx−1 = 2ζ (3) ≈ 2.404‬‬
‫בטמפרטורות נמוכות יתרמו רק דרגות החופש בעלות האנרגיות הנמוכות ביותר‪ :‬מכאן‪ ,‬ניתן להזניח את הענפים האופטיים ולקחת‬
‫בחשבון רק את החלק הליניארי שבתחתית הענפים האקוסטיים‪ ,‬כך שבענף ‪ b‬מתקבל ‪) Eb (k) = ~vb k‬זכרו כי מצאנו שתי מהירויות‬
‫קול‪ ,‬שכל אחת מהן מתאימה לענף אחר(‪ .‬אם כך‪ ,‬את קיבול החום ניתן לחשב על פי‬
‫‪~vb k‬‬
‫‪eβ~vb k − 1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪b∈acoustic k‬‬
‫∂ ‪1‬‬
‫‪N ∂T‬‬
‫≈ )‪f (k) Eb (k‬‬
‫‪b∈acoustic k‬‬
‫את הסכום ניתן לקרב לאינטגרל בגבול של גביש גדול באורך ‪N a‬‬
‫‪:x = β~vb k‬‬
‫‪≈2.404‬‬
‫|}‬
‫{‬
‫‪x2‬‬
‫‪dx x‬‬
‫‪e −1‬‬
‫ˆ‪z‬‬
‫∞‬
‫‪0‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪N a2 ~vb‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dk β~v k‬‬
‫=‬
‫‪b‬‬
‫‪e‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪2π (β~vb )3‬‬
‫∞‬
‫√‬
‫ ‪ .L‬כדי לחשב את האינטגרל‪ ,‬נבצע את החלפת המשתנים‬
‫‪2‬‬
‫‪Na‬‬
‫ˆ‬
‫‪~vb‬‬
‫‪0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫∂ ‪1‬‬
‫‪N ∂T‬‬
‫= ‪cv‬‬
‫√‬
‫‪2π‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪~vb k‬‬
‫‪2πkdk‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪(2π) eβ~vb k − 1‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫‪0‬‬
‫‪~vb k‬‬
‫'‬
‫‪eβ~vb k − 1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k‬‬
‫התוצאה הסופית‪ ,‬אם כן‪ ,‬תהיה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪kB T‬‬
‫‪~vS‬‬
‫‬
‫‪15kB a2‬‬
‫‪2π‬‬
‫‬
‫‪= 2.404‬‬
‫‪guy.cohen@gmail.com‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+ 2‬‬
‫‪vS2‬‬
‫‪vS‬‬
‫‬
‫‪#‬‬
‫‪N a2 2.404‬‬
‫‪3kB a2 2.404‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪(kB T‬‬
‫) ‪(kB T‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪2π (~vb‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪~2‬‬
‫גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב‬
‫"‬
‫∂‬
‫‪∂T‬‬
‫‪X‬‬
‫‪b∈acoustic‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫= ‪cv‬‬
‫אורנשטיין ‪6407229 · 206‬־‪03‬‬
‫מבוא למצב מוצק · סתיו ‪2012‬‬
‫)ד( למה הכוונה בטמפרטורות גבוהות‪/‬נמוכות בסעיפים הקודמים )כלומר‪ ,‬יחסית למה יש לדרוש כי הן יהיו גבוהות או נמוכות(?‬
‫במקרה הקלאסי‪ ,‬האנרגיה התרמית ‪ kB T‬צריכה להיות גדולה ביחס לאנרגיה של כל הפונונים בבעיה‪ ,‬כלומר מ־ ‪ .~ωmax‬במקרה‬
‫הקוואנטי‪ ,‬היא צריכה להיות קטנה יחסית לאנרגיה הנמוכה ביותר של הענפים האופטיים ויחסית לאנרגיה שבה הקירוב הליניארי‬
‫ליחס הדיספרסיה של הענפים האקוסטיים אינו מתאים יותר‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ .2‬בשרשרת ליניארית חד־אטומית ובה ‪ N‬אטומים במרווחים ‪ a‬אחד מהשני‪ ,‬יחס הדיספרסיה הוא ‪sin ka‬‬
‫‪2‬‬
‫)כדאי לדעת להוכיח זאת!(‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫‪M‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ω (k) = 2‬‬
‫)א( נגדיר את )‪ G (k‬כמספר המצבים הקיימים עם תנע ‪ k‬או פחות מכך‪ .‬עשו שימוש בצפיפות המצבים במרחב ‪ k‬בשרשרת‬
‫כדי לכתוב ביטוי ל־)‪.G (k‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪ , N‬ומהסימטריה של הסריג יש שניים כאלו )‪ k‬חיובי ושלילי(‪ ,‬מספר המצבים בעלי‬
‫כיוון שמצב במרחב ‪ k‬״תופס אורך״ במרחב ‪ k‬של ‪a‬‬
‫‪ |k 0 | ≤ k‬הוא‬
‫‪Na‬‬
‫‪× 2k.‬‬
‫‪2π‬‬
‫= )‪G (k‬‬
‫)‪dG(ω‬‬
‫‪dω‬‬
‫= )‪.D (ω‬‬
‫)ב( השתמשו ביחס הדיספרסיה ובסעיף הקודם כדי למצוא את צפיפות המצבים‬
‫ניתן להשתמש בקשר בין ‪ k‬ל־‪ ω‬באופן הבא‪:‬‬
‫!‬
‫‪d Nπak‬‬
‫‪dG (k) dk‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪dG (ω‬‬
‫‪Na‬‬
‫‪q‬‬
‫= )‪D (ω‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪.‬‬
‫‪dω‬‬
‫‪dω‬‬
‫‪dk dω‬‬
‫‪dk‬‬
‫ ‪π 2 K a cos ka sign sin ka‬‬
‫‪dk‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M 2‬‬
‫‪ .3‬בשאלה זו‪ ,‬נכליל מעט את הרעיון שמאחורי קירובי ‪ Debye‬ו־‪ Einstein‬עבור גביש תלת־מימדי‪ ,‬על ידי שימוש ביחס דיספרסיה‬
‫מהצורה ‪.ω = a + bk 2‬‬
‫)א( קבעו את ווקטור הגל ‪ k0‬והתדירות ‪ ω0‬המקבילים לאלו של ‪.Debye/Einstein‬‬
‫הצפיפות נקבעת באותו אופן‪ :‬עלינו להכיל בתוך כדור במרחב ‪ k‬את ‪ N‬המצבים בעלי האנרגיות הנמוכות ביותר‪ ,‬כאשר מצב תופס‬
‫‪3‬‬
‫)‪ . (2π‬התנאי הוא‪ ,‬אם כך‪:‬‬
‫נפח של‬
‫‪V‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(2π) N‬‬
‫‪4πk03‬‬
‫=‬
‫‪⇒ k0 = 6π 2 n 3 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪V‬‬
‫התדירות היא‬
‫‪.‬‬
‫‪ 23‬‬
‫‪ω0 = ω (k0 ) = a + b 6π 2 n‬‬
‫)ב( מהו קיבול החום של הגביש עבור ענף המקיים יחס דיספרסיה שכזה? יש להגיע לצורת אינטגרל‪ ,‬אך אין צורך לפתור אותו‪.‬‬
‫יש לחזור על החישוב הרגיל עם יחס הדיספרסיה השונה‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪3‬‬
‫‪ω0‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪(2π‬‬
‫‪~a + ~bk 2‬‬
‫‪~ωk‬‬
‫= ‪Cv‬‬
‫=‬
‫‪2πkdk‬‬
‫‪eβ~ωk − 1‬‬
‫‪V‬‬
‫‪eβ(a+bk2 ) − 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ .4‬נדון בגביש דו־מימדי אניזוטרופי‪ ,‬המקיים | ‪.ω = αx |kx | + αy |ky‬‬
‫)א( הראו כי כל ווקטורי הגל שתדריהם ‪ ω‬נמצאים על צלעות המעויין המוגדר על ידי ארבעת הישרים ‪,ω = ±αx kx ± αy ky‬‬
‫וההפך‪ .‬הראו גם כי לכל הווקטורים שבתוך המעויין אנרגיה קטנה מ־‪.ω‬‬
‫‪guy.cohen@gmail.com‬‬
‫גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב‬
‫אורנשטיין ‪6407229 · 206‬־‪03‬‬
‫מבוא למצב מוצק · סתיו ‪2012‬‬
‫ברור כי ווקטור על אחת מצלעות המעויין חייב להיות על אחד מהישרים‪ ,‬ולכן מיחס הדיספרסיה נובע מיד כי תדירותו ‪ .ω‬מצד שני‪,‬‬
‫ווקטור גל שתדירותו ‪ ω‬מקיים את משוואת יחס הדיספרסיה‪ ,‬ולכן נמצא על אחת מצלעות המעויין‪ .‬ווקטור הנמצא בתוך המעויין חייב‬
‫להיות קטן יותר מווקטור הממשיך אותו עד למעויין עצמו‪ .‬מכאן‪ ,‬הוא בהכרח בעל | ‪ |kx‬ו‪/‬או | ‪ |ky‬קטן יותר מווקטור שעל המעויין‪,‬‬
‫ומיחס הדיספרסיה גם תדירותו חייבת להיות קטנה יותר‪.‬‬
‫)ב( הסבירו מדוע בקירוב ‪ Debye‬עבור גביש כזה לא ניתן להגדיר ‪ ,kD‬אך עדיין ניתן להגדיר ‪ .ωD‬מיצאו את ‪ ωD‬כפונקציה‬
‫של צפיפות הגביש‪ ,‬תוך הנחה שצפיפות המצבים במרחב ‪ kx‬ו־ ‪ ky‬לא משתנה מהרגיל‪.‬‬
‫הקירוב דורש את מציאת המצבים הנמוכים ביותר באנרגיה‪ ,‬וראינו כי האסימטריה משנה את הצורה של המשטחים שווי האנרגיה‬
‫מעיגול למעויין ־ כלומר‪ ,‬באופן כללי ‪ kx 6= ky‬בגבולות צורה זו‪ .‬עם זאת‪ ,‬אנו יכולים לחשב את שטח המעויין במרחב ‪ k‬עבור ‪ω‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מסוימת‪ :‬אורך אלכסונו האחד ‪ αωx‬ואורך השני ‪ , αωy‬לכן שטחו הכולל הוא ‪ . 2αωx αy‬אם ווקטור גל תופס שטח של‬
‫)‪ , (2π‬הרי למעויין‬
‫‪A‬‬
‫נכנסים‬
‫‪ω2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2αx αy (2π)2‬‬
‫ווקטורי גל‪ ,‬אותם עלינו להשוות למספר היונים ‪ .N‬לאחר הצבה והעברת אגפים‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪guy.cohen@gmail.com‬‬
‫‪r‬‬
‫‪8π 2 αx αy‬‬
‫=‪ω‬‬
‫גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב‬
‫אורנשטיין ‪6407229 · 206‬־‪03‬‬