תרגיל בית מספר 1 - אוניברסיטת תל אביב

‫מבוא למצב מוצק · סתיו ‪2012‬‬
‫תרגיל בית מספר ‪1‬‬
‫‪ .1‬עבור כל אחד מהסריגים הבאים‪ ,‬קבעו האם הוא סריג ‪ .Bravais‬במידה וכן‪ ,‬מצאו וקטורי סריג עבורו‪ .‬אחרת‪ ,‬מצאו וקטורי‬
‫סריג ובסיס‪:‬‬
‫)א( סריג קובי פשוט בתוספת נקודות סריג במרכזי הפאות האופקיות‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫ˆ(‬
‫‪y±x‬‬
‫ˆ‪ a‬ו־)ˆ‬
‫זהו סריג ‪ Bravais‬טטרגונלי‪ :‬כל נקודה בו שקולה לכל נקודה אחרת‪ ,‬וניתן להגדיר את וקטורי הסריג ‪z‬‬
‫‪. a2‬‬
‫)ב( סריג קובי פשוט בתוספת נקודות במרכזי הפאות האנכיות‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫שונות‪ .‬כדי לתאר אותו יש צורך בווקטורי סריג )כגון‬
‫זה אינו סריג ‪ :Bravais‬הנקודות המסומנות כ־‪ 2 ,1‬ו־‪ 3‬בשרטוט ‪a‬רואות סביבות ‬
‫ˆ( ‪. 0, a2‬‬
‫‪z+x‬‬
‫ˆ( ‪ˆ) , 2‬‬
‫‪z+y‬‬
‫ˆ‪ ,(a‬ובנוסף בבסיס בעל שלושה ווקטורים‪ˆ) ,‬‬
‫ˆ‪ a‬ו־‪z‬‬
‫ˆ‪y ,a‬‬
‫‪x‬‬
‫)ג( שריג קובי פשוט בתוספת נקודות שריג במרכז הקו המחבר כל שני שכנים קרובים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫ˆ‪(a‬‬
‫ˆ‪ a‬ו־‪z‬‬
‫ˆ‪y ,a‬‬
‫גם זה אינו שריג ‪ :Bravais‬הפעםקיימים ארבעה סוגים שונים של נקודות‪ ,‬ולכן יש צורך בשריג )כמו בסעיף הקודם‪x ,‬‬
‫‪. 0, a2 x‬‬
‫‪ˆ, a2 y‬‬
‫ˆ ‪ˆ, a2‬‬
‫ובבסיס המרובע ‪z‬‬
‫‪ .2‬חשבו את יחסי האריזה עבור הסריגים הבאים‪:‬‬
‫)א( סריג קובי פשוט )‪.(sc‬‬
‫‪guy.cohen@gmail.com‬‬
‫גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב‬
‫אורנשטיין ‪6407229 · 206‬־‪03‬‬
‫מבוא למצב מוצק · סתיו ‪2012‬‬
‫אם נצייר תא יחידה באורך ‪ 2a‬כך שפינותיו במרכזים של שמונה כדורים‪ ,‬נראה כי הוא מכיל בדיוק ‪ 8‬שמיניות כדור )למעשה‪ ,‬יכולנו‬
‫לבצע את החיתוך גם כך שבדיוק כדור אחד שלם יכנס לתא יחידה ־ ודאו זאת!(‪ .‬כיוון ששני חצאי כדור נכנסים לתא‪ ,‬רדיוס הכדורים‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . 4π‬נפח התא הכולל הוא )‪ ,(2a‬והיחס ביניהם‬
‫הינו ‪ .R = a‬אם כך‪ ,‬נפח כל כדור והנפח הכולל של שמונה שמיניות כדורים הוא ‪3 a‬‬
‫הוא יחס האריזה‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪≈ 0.52 .‬‬
‫‪6‬‬
‫=‬
‫‪4π 3‬‬
‫‪3 a‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(2a‬‬
‫לחילופין‪ ,‬אפשר להתשמש בתא יחידה פרימיטיבי המכיל תמיד כדור אחד‪ :‬במקרה זה אם אורך צלע הוא ‪ a‬אזי נפח תא היחידה‬
‫הפרימיטיבי הוא ‪ .a3‬רדיוס הכדורים יהיה תמיד מחצית ממרחק השכנים הקרובים ביותר‪ ,‬ובמקרה זה ‪ .R = a2‬היחס המבוקש בין‬
‫נפח הכדורים לנפח התא יצא‪ ,‬כמו בשיטה השניה‪,‬‬
‫‪π‬‬
‫‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫=‬
‫‬
‫‪a 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪3‬‬
‫)ב( סריג ‪.bcc‬‬
‫אפשר לשים‬
‫הכדורים‪,‬‬
‫נצייר שוב תא יחידה באורך ‪ 2a‬כך שפינותיו במרכזי שמונה כדורים סמוכים‪ .‬הפעם‪ ,‬כדי לקבוע את רדיוסי‬
‫√‬
‫√‬
‫לב √לכך כי בין כל פינה למרכז התא עוברים בדיוק שני רדיוסים‪ .‬כיוון שהמרחק בין שתי נקודות אלו הוא ‪ , 3a2 = 3a‬נקבל‬
‫‪ .R = 23 a‬נותרנו‪ ,‬אם כך‪ ,‬עם שמונה שמיניות כדור וכדור שלם אחד בתוך התא‪ .‬גודלו הכולל של התא לא השתנה מהסעיף הקודם‪,‬‬
‫ויחס האריזה הינו‬
‫‬
‫√‬
‫‪ √ 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8 × 18 + 1 4π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 R‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪π‬‬
‫‪≈ 0.68.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫)‪(2a‬‬
‫גם כאן ניתן לעבוד עם תא היחידה הפרימיטיבי שנפחו‬
‫כדי לקבל את אותה תוצאה‪.‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪2‬‬
‫√‬
‫ועם כדורים ברדיוס מחצית ממרחק השכנים הקרובים ביותר‬
‫‪3a‬‬
‫) ‪4‬‬
‫= ‪(R‬‬
‫)ג( סריג הקסגונלי דו־מימדי‪.‬‬
‫‪guy.cohen@gmail.com‬‬
‫גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב‬
‫אורנשטיין ‪6407229 · 206‬־‪03‬‬
‫מבוא למצב מוצק · סתיו ‪2012‬‬
‫נגדיר תא יחידה מלבני בהתאם לתרשים )יש לשים לב כי ניתן לשכפל אותו לכל הכיוונים וכך לייצר את הסריג השלם(‪ .‬אם נקרא‬
‫√ צלעות‪ ,‬אזי נוכל להראות משיקולים גיאומטריים פשוטים‬
‫לצלעות ההקסגונים ‪ a‬ונשים לב שכל אחד מהם מורכב משישה משולשים שווי‬
‫)בדקו זאת!( כי אורך צלעו האפקית של התא ‪ 3a‬ואורך צלעו האנכית ‪ . 3a‬הוא מכיל ‪ 3‬עיגולים שלמים‪ 4 ,‬חצאים וארבעה רבעים‬
‫־ בסך הכל ‪ 6‬עיגולים‪ .‬כיוון ששני חצאי עיגולים נכנסים לכל צלע‪ ,‬רדיוס הכדורים ‪ . a2‬יחס האריזה‪ ,‬אם כן‪ ,‬הוא היחס בין שטח‬
‫הכדורים לשטח התא הכולל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6 × π a2‬‬
‫‪π‬‬
‫√‬
‫‪= √ ≈ 0.9069.‬‬
‫‪3a · 3a‬‬
‫‪2 3‬‬
‫שוב‪ ,‬אם נעבוד עם תא פרימיטיבי )למשל המקבילית שיוצרים שני ווקטורי הסריג( ששטחו ) ◦‪ a2 sin (60‬ועם כדורים ברדיוס מחצית‬
‫ממרחק השכנים הקרובים ‪ ,R = a2‬נקבל תוצאה זהה‪.‬‬
‫‪ .3‬הראו כי תא ‪ ,Wigner-Seitz‬תא היחידה הפרימיטיבי המוגדר כאוסף הנקודות בחלל שהן יותר קרובות לנקודת הסריג‬
‫שבראשית מאשר לכל נקודה אחרת‪ ,‬הוא‪:‬‬
‫)א( מלבני עבור סריג מלבני בשני מימדים‪.‬‬
‫כדי למצוא את התא‪ ,‬אפשר להשתמש ברמז כדי לחלק את המרחב מסביב לנקודת סריג‬
‫שקרובים יותר לנקודה אחרת‪ .‬לצורך העניין מספיק לצייר קווים )מקווקווים בשרטוט(‬
‫השכנות אליה‪ ,‬ולחסר מהמרחב את כל מה שרחוק יותר מהנקודה מהישר המאונך לקו זה‬
‫מלא(‪ .‬השטח שנותר )באפור( הוא תא ‪ ,Wigner-Seitz‬וקל להשתכנע שבסריג מלבני הוא‬
‫האלכסוניים משיקים למלבן שמגדירים השכנים הקרובים‪.‬‬
‫לחלקים שקרובים ביותר אליה‪ ,‬ולחלקים‬
‫בין הנקודה הנבחרת לבין כל הנקודות‬
‫וחוצה אותו )הישרים הללו מצויירים בקו‬
‫מלבן כיוון שהאנכים המתאימים לשכנים‬
‫)ב( הקסגונלי )כלומר‪ ,‬יש לו שישה צדדים( עבור כל סריג אחר בשני מימדים‪.‬‬
‫)רמז‪ :‬שימו לב בין החלק של המרחב שקרוב יותר לנקודה ‪ A‬לבין החלק של המרחב שקרוב יותר לנקודה ‪ B‬מפריד‬
‫הישר המאונך ל־‪ AB‬וחוצה אותו‪ .‬ניתן להעזר בעמוד ‪ 74‬ב־‪(.Ashcroft/Mermin‬‬
‫‪guy.cohen@gmail.com‬‬
‫גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב‬
‫אורנשטיין ‪6407229 · 206‬־‪03‬‬
‫מבוא למצב מוצק · סתיו ‪2012‬‬
‫במקרה הכללי יותר‪ ,‬כאשר אנחנו משנים את הסימטריה של הסריג מסימטריה מלבנית‪ ,‬המלבןמהסעיף הקודם הופך למעויין‪ :‬הוא‬
‫״נדחס״ לאורך אלכסון אחד ו־״נמתח״ לאורך השני‪ .‬כתוצאה מכך‪ ,‬שניים מהישרים האלכסוניים שהשיקו קודם לריבוע מתרחקים‬
‫ממנו יותר ואינם משפיעים‪ ,‬בעוד השניים האחרים חודרים לתוך הצורה וקוטמים אותה‪ ,‬כך שנוספות לה שתי צלעות חדשות‪.‬‬
‫‪ .4‬מהו סריג ה־‪ Bravais‬שנוצר על ידי אוסף הנקודות במרחב עם קואורדינטות ) ‪ (n1 , n2 , n3‬אם נתון כי ה־ ‪ ni‬הינם‪:‬‬
‫)א( מספרים שלמים כלשהם?‬
‫זהו סריג קובי פשוט )‪ (SC‬באורך תא ‪ :1‬הוא מורכב מכל הנקודות‬
‫‪ˆ + n3 z‬‬
‫‪ˆ,‬‬
‫‪R = n1 x‬‬
‫‪ˆ + n2 y‬‬
‫עם אינדקסים שלמים‪ ,‬וזהו בדיוק הסריג שנפרש על ידי שלושת ווקטורי היחידה הקרטזיים‪.‬‬
‫)ב( מספרים שלמים שסכומם זוגי?‬
‫כדי שהסכום יהיה זוגי‪ ,‬ישנן שתי אפשרויות‪ :‬כל המספרים זוגיים‪ ,‬או אחד זוגי ושניים אי־זוגיים‪ .‬נפריד את הסריג לשני תת־סריגים‬
‫המתאימים כל אחד לאחד משני המקרים הללו‪.‬‬
‫המקרה הראשון הוא קל‪ :‬הוא נותן לנו את הסריג‬
‫‪ˆ + 2n3 z‬‬
‫‪ˆ,‬‬
‫‪Rall−even = 2n1 x‬‬
‫‪ˆ + 2n2 y‬‬
‫שהוא סריג קובי בעל קבוע סריג ‪ .2‬כעת‪ ,‬נשים לב שכדי לעבור מנקודה בסריג הזה לנקודה שכנה בסריג השני‪ ,‬יש להוסיף או להחסיר‬
‫אחד מבדיוק שניים מהאינדקסים‪ .‬כלומר‪ ,‬הווקטורים האפשריים למעברים כאלו הם‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆ,‬‬
‫‪x±y‬‬
‫ˆ‪±‬‬
‫ˆ‪∆R = ±‬‬
‫‪ˆ,‬‬
‫‪x±z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆ.‬‬
‫ˆ‪±‬‬
‫‪y±z‬‬
‫קל לבדוק כי כל ווקטור כזה ממקם אותנו במרכז פאה ־ כלומר בסך הכל מתקבל סריג ‪ FCC‬באורך תא ‪.2‬‬
‫‪ .5‬נתון כי חומר מסוים עובר תחת חימום מעבר פאזה מממבנה ‪ sc‬עם קבוע סריג ‪ 5Å‬למבנה ‪ hcp‬אידיאלי‪ .‬בהנחה כי הצפיפות‬
‫נשארת קבועה )מעבר הפאזה הוא מסדר שני(‪ ,‬מה יהיה קבוע הסריג בסוף התהליך?‬
‫אורנשטיין ‪6407229 · 206‬־‪03‬‬
‫גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב‬
‫‪guy.cohen@gmail.com‬‬
‫מבוא למצב מוצק · סתיו ‪2012‬‬
‫תא יחידה קובי פשוט עם קבוע ‪ a1 = 5Å‬מכיל אטום יחיד בנפח של ‪ ,a31‬כלומר הצפיפות המקורית הינה ‪ .ρ1 = a1−3‬מבנה‬
‫פרימיטיבי‪ .‬ווקטורי סריג סטנדרטיים ניתן למצוא בספר‪:‬‬
‫‪ ,hcp‬לעומת זאת‪ ,‬הוא סריג עם בסיס ומכיל‬
‫‪ q‬שני אטומים בכל תא יחידה‪q‬‬
‫√‬
‫‪,a1 = a2 x‬‬
‫ˆ‬
‫היחידה הוא‬
‫‪3‬‬
‫ˆ‬
‫‪2 a2 y‬‬
‫‪+‬‬
‫‪a2‬‬
‫ˆ‬
‫‪2 x‬‬
‫= ‪a2‬‬
‫‪8‬‬
‫ו־‪z‬‬
‫ˆ ‪3 a2‬‬
‫= ‪) a3‬שימו לב שנבחר‬
‫!‬
‫√‬
‫‪8‬‬
‫‪a2 y‬‬
‫ˆ×ˆ‬
‫‪z = 2a32 .‬‬
‫‪3‬‬
‫מכאן‬
‫‪2‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3a‬‬
‫= ‪ ,c‬הערך המתאים ליחס אריזה אופטימלי(‪ .‬נפח תא‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V2 = a1 · (a2 × a3 ) = a2 x‬‬
‫·ˆ‬
‫= ‪ ,ρ2‬והתנאי שעלינו לקיים הוא‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ρ2 = ρ1 ⇒ √ a−3‬‬
‫‪2 = a1 ⇒ a2 = 2 a1 ≈ 5.612Å.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪guy.cohen@gmail.com‬‬
‫גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב‬
‫אורנשטיין ‪6407229 · 206‬־‪03‬‬