תרגול

‫ד"ר רותי רייז‬
ruthre@education.gov.il
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪3‬‬
‫התחום המספרי‬
‫שברים‬
‫אחוזים‬
‫מספרים מכוונים‬
‫הסתברות ‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫השוואת מספרים מכוונים‬
‫כולל חזקות‬
‫חיבור מספרים מכוונים‬
‫מלחמת המכוונים‬
‫חוקיות‬
‫סימון נקודות במערכת צירים‬
‫‪2 1‬‬
‫‪2 1‬‬
‫התחום האלגברי‬
‫פתרון משוואה ממעלה ראשונה‬
‫פונקציה קווית‬
‫אלגברה – נושאים שונים‬
‫התחום הגיאומטרי‬
‫אומדן זווית‬
‫פונקציה ריבועית‬
‫פונקציות מסוגים שונים‬
‫(פולינומיאליות‪ ,‬טריגונומטריות‪ ,‬מעריכיות‪ ,‬לוגריתמיות)‬
‫מציאת תבנית לגרף נתון של פונקציה‬
‫טריגונומטריה‬
‫חישוב צלעות וזוויות במשולש ישר זווית‬
‫חשבון דיפרנציאלי‬
‫זיהוי גרף הנגזרת המתאים לגרף של פונקציה נתונה‬
‫זיהוי גרף הפונקציה המתאים לגרף של הנגזרת הנתונה‬
‫זיהוי גרף הפונקציה והגרפים של הנגזרת הראשונה והשנייה שלה‬
‫שרטוט גרף הנגזרת של פונקציה נתונה‪:‬‬
‫סטטיסטיקה‬
‫מציאת חציון‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫הסתברות‬
‫סכום המתקבל מהטלת שתי קוביות‬
‫‪:IXL Learning‬‬
‫אלגברה ‪2‬‬
‫אלגברה ‪1‬‬
‫גיאומטריה‬
‫‪Xp Math‬‬
‫מבחנים – ‪That’s quis‬‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪6‬‬
‫מספרים מכוונים‬
‫שלוש בשורה‬
‫משוואות עם ערך מוחלט‬
‫מי רוצה להיות מיליונר‬
‫יחס ופרופורציה‪ ,‬קנה מידה‪ ,‬פונקציה קווית‪ ,‬דמיון‬
‫משולשים‪ ,‬שטחים והיקפים‬
‫משחק הנקודות‬
‫חוקיות‬
‫חוקיות‬
‫מספרים מכוונים‬
‫חיבור מספרים מכוונים‬
‫התחום האלגברי‬
‫פירוק לגורמים‬
‫‪1‬‬
‫פתרון משוואה ממעלה ראשונה ‪2 1‬‬
‫מכונת קלט פלט‬
‫‪3‬‬
‫לפניכם נוסחה למציאת הטמפרטורה במעלות פרנהייט‬
‫‪ ,F‬כאשר הטמפרטורה נתונה במעלות צלזיוס‪: C ,‬‬
‫‪9C‬‬
‫‪F ‬‬
‫‪ 32‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪ .‬נקודת הרתיחה של מים היא ‪ 100‬מעלות צלזיוס‪.‬‬
‫מצאו את נקודת הרתיחה של מים במעלות פרנהייט‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את הטמפרטורה שבה ‪. F = C‬‬
‫ג‪ .‬רשמו נוסחה לחישוב טמפרטורה במעלות צלזיוס‪,‬‬
‫כאשר הטמפרטורה נתונה במעלות פרנהייט‪.‬‬
‫סימולציה של מדחום – המרת מעלות צלסיוס לפרנהייט‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪10‬‬
‫מפעל מייצר ספסלי עץ לישיבה במידות שונות לפי הדגם בסרטוט‪.‬‬
‫ממדי הספסל הם‪:‬‬
‫יישומון‬
‫‪ a‬ס"מ – אורך משטח הישיבה‬
‫ומשימה‬
‫‪ b‬ס"מ – עומק משטח הישיבה‬
‫‪ C‬ס"מ – גובה הספסל וגובה המשענת‬
‫שטח לוחות העץ‪ ,‬שספסל כזה מורכב מהם‪ ,‬נתון בנוסחה‪:‬‬
‫‪.S = ab + 2bc + ac‬‬
‫א‪ .‬נתון כי שטח לוחות העץ בספסל הוא ‪ 6000‬סמ"ר‪ ,‬וגובה הספסל ‪ ,c‬הוא ‪ 40‬ס"מ‪.‬‬
‫רשמו ביטוי לערך של ‪( a‬הביעו את ‪ a‬באמצעות ‪.)b‬‬
‫ב‪ .‬האם אדם מבוגר יכול לשבת בנוחות על ספסל ששטח לוחות העץ שבו הוא ‪ 6000‬סמ"ר‪,‬‬
‫גובהו ‪ ,c‬הוא ‪ 40‬ס"מ‪ ,‬ועומק משטח הישיבה שלו ‪ ,b‬הוא ‪ 60‬ס"מ? נמקו‪.‬‬
‫ג‪ .‬במפעל בנו ספסלים אחרים שבהם שטח לוחות העץ בכל ספסל הוא ‪ 8000‬סמ"ר‪ ,‬ואורך‬
‫משטח הישיבה ‪ ,a‬הוא ‪ 80‬ס"מ‪ .‬רשמו ביטוי לערך של ‪( b‬הביעו את ‪ b‬באמצעות ‪.)c‬‬
‫ד‪ .‬מהו עומק משטח הישיבה ‪ ,b‬של ספסל ששטח לוחות העץ שבו הוא ‪ 8000‬סמ"ר‪ ,‬אורך‬
‫משטח הישיבה שלו ‪ a‬הוא ‪ 80‬ס"מ‪ ,‬וגובהו ‪ ,c‬הוא ‪ 60‬ס"מ?‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪11‬‬
‫תרגול הכולל המחשה ‪ -‬סכומים‬
‫נא להוכיח כי‪:‬‬
‫‪1 + 3 + 5 + …. + (2n – 1) = n2‬‬
‫הוכחה סטנדרטית‪ :‬סכום סדרה חשבונית או‬
‫באמצעות אינדוקציה מתמטית‬
‫המחשה‪:‬‬
‫יישומון ‪1‬‬
‫יישומון ‪2‬‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪12‬‬
‫סימולציה של תנועת שני כלי רכב‬
‫סימולציה ראשונה (מהאתר של ‪(David Young‬‬
‫דף עבודה (באנגלית)‬
‫הסימולציה‬
‫סימולציה שנייה‬
‫הסימולציה‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪13‬‬
‫מבנים מקוביות‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪14‬‬
‫סימולציה של מרוץ מכוניות‬
‫הסימולציה‬
‫פותח עבור משרד החינוך ע"י ‪Lnet‬‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪15‬‬
‫ייצוג ויזואלי של נתונים‬
‫כמה ממדים במידע שהוצג?‬
‫• ציר ‪ :x‬הכנסה לאדם‬
‫• ציר ‪ :y‬תוחלת החיים‬
‫• צבע ה"בועה"‪ :‬מדינה‬
‫(חום – אירופה‪ ,‬אדום – אסיה‪ ,‬ירוק – המזרח התיכון‪ ,‬כחול – אפריקה‪ ,‬צהוב – אמריקה)‬
‫• גודל ה"בועה"‪ :‬גודל האוכלוסייה באותה מדינה‬
‫• תנועה‪ :‬שינוי לאורך זמן שחל בעקבות מאורעות שהתרחשו‬
‫סימולציה של אוטובוס האוסף נוסעים בתחנות‬
‫ומביאם לתחנה מרכזית‬
‫דף עבודה (באנגלית)‬
‫הסימולציה‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫לקוח מתוך האתר של ‪David Young‬‬
‫‪17‬‬
‫גיאומטרית המישור‬
‫מהו המרובע המתקבל באמצעות חיבור אמצעי צלעות‬
‫המרובע‪ ,‬כאשר המרובע הוא‪:‬‬
‫ ריבוע‬‫ מעוין‬‫ מלבן‬‫ מקבילית‬‫ מרובע כלשהו‬‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪19‬‬
‫אוסף בעיות קיצון‬
‫שאלה‬
‫ברשותנו רצועה באורך ‪ 30‬יחידות למסגור של תמונה‪.‬‬
‫מהם ממדי התמונה שיתנו שטח מקסימלי?‬
‫היישומון‬
‫הכללה‪ :‬למלבן היקף קבוע‪ .‬מהם ממדי המלבן שיתנו‬
‫שטח מקסימלי? היישומון‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪20‬‬
‫שאלה‬
‫מלבן ‪ABCD‬ששטחו ‪ 100‬סמ"ר‪.‬‬
‫(גבע ודז'לדטי – מתמטיקה שאלון ‪ 804‬כרך ד'‪ ,‬עמ' ‪ 788‬תרגיל ‪)14‬‬
‫על צלעות המלבן מקצים קטעים‪:‬‬
‫‪ 4‬ס"מ = ‪QC = RC = AS = AP‬‬
‫מה צריכים להיות האורך והרוחב של המלבן‪ ,‬כדי ששטח‬
‫המקבילית ‪PQRS‬יהיה מינימלי?‬
‫מהו השטח המינימלי של המקבילית?‬
‫היישומון‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪21‬‬
‫שאלה (בגרות ‪ ,35003‬קיץ תשס"ט‪ ,‬שאלה ‪)5‬‬
‫למר ישראלי חלקת אדמה בצורת מלבן‬
‫שאורכו ‪ 400‬מטר ורוחבו ‪ 300‬מטר‪.‬‬
‫מר ישראלי רוצה לקצר את האורך של‬
‫החלקה ב‪ x -‬מטר‪ ,‬ולהאריך את רוחבה‬
‫ב‪ x -‬מטר‪ ,‬כך שתתקבל חלקה חדשה‬
‫(השטח המקווקו בציור)‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪ x‬שעבורו שטח החלקה החדשה‬
‫יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫היישומון‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪22‬‬
‫שאלה‬
‫במלבן ‪ABCD‬נתון‪ 32 :‬ס"מ = ‪ 16 ,AB‬ס"מ = ‪BC‬‬
‫על צלעות המלבן מקצים קטעים‬
‫‪.AQ = CS = 2x ,AP = CR = x‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו כי הצורה החסומה במלבן היא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה צריך להיות אורכו של ‪ ,AP‬כדי ששטח המקבילית‬
‫יהיה מקסימלי?‬
‫ג‪ .‬הביעו בעזרת ‪ x‬את שטח המקבילית‪ .‬מה המקסימום‬
‫של פונקציה זו?‬
‫האם המקסימום שמצאתם הוא גם המקסימום של‬
‫היישומון‬
‫שטח המקבילית? הסבירו‪.‬‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪23‬‬
‫שטח מקסימלי של משולש שווה שוקיים שהיקפו קבוע‬
‫מחוט תיל באורך קבוע יוצרים משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫מה צריך להיות אורך הבסיס על מנת ששטח המשולש‬
‫יהיה מקסימלי?‬
‫היישומון‬
‫שטח מקסימלי של משולש שווה שוקיים‬
‫מבין כל משולשים שווי השוקיים שאורך השוק שלהם‬
‫‪ 5‬ס"מ‪ ,‬מיהו המשולש בעל השטח הגדול ביותר?‬
‫היישומון‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪24‬‬
‫שאלה‪ :‬מגיליון קרטון בצורת מלבן‪ ,‬שאורכו ‪ 24‬ס"מ ורוחבו ‪ 9‬ס"מ‪,‬‬
‫יוצרים תיבה הפתוחה מלמעלה באופן הבא‪ :‬מפינות המלבן חותכים‬
‫ריבועים זהים ואת המלבנים (הבולטים) שנותרו מקפלים כלפי מעלה‪.‬‬
‫מה צריך להיות אורך צלע הריבוע על מנת שהתיבה תהיה בעלת‬
‫נפח מקסימלי?‬
‫יישומון ‪1‬‬
‫יישומון ‪2‬‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫יישומון ‪3‬‬
‫‪25‬‬
‫הייחוד של השימוש ביישומונים להצגת בעיות ערך קיצון‬
‫ מסייע להמחיש את הסיטואציה המוצגת בשאלה – כולל תחום‬‫ההגדרה‪.‬‬
‫ מסייע לקבל בזמן קצר מצבים שונים באופן דינמי‪.‬‬‫ מסייע להבין את המשמעות של בעיות ערך קיצון‪ :‬מציאת המצב‬‫בו מתקבל מינימום ‪ /‬מקסימום מתוך מצבים רבים אפשריים‪.‬‬
‫‪ -‬ניתן לראות את המצב המסוים בו מתקבל המינימום ‪ /‬מקסימום‪.‬‬
‫ במקרים בהם מתאפשר לראות את הפונקציה המתקבלת‪ ,‬תלמיד‬‫שמצא את הפונקציה – יכול לבדוק את תשובתו‪.‬‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪26‬‬
‫טריגונומטריה‬
‫גאות ושפל‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪27‬‬
‫‪y‬‬
‫מנקודה ‪ A‬שעל המעגל ‪x2 + y2 = R2‬‬
‫מורידים אנך לציר ה‪x -‬‬
‫החותך אותו בנקודה ‪.B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫מעבירים שני מקבילים‪:‬‬
‫מנקודה ‪ A‬מעבירים מקביל לציר ה‪,x -‬‬
‫ומנקודה ‪ B‬מעבירים מקביל ל‪ -OA -‬הנחתכים בנקודה ‪.C‬‬
‫מהו המקום הגיאומטרי של כל הנקודות ‪ C‬המתקבלות‬
‫באופן זה?‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪28‬‬
‫(מילוא ואלמוג‪ ,‬שאלון ‪ ,807‬עמ' ‪ 107‬ת' ‪)2‬‬
‫נתונה אליפסה ‪. x2 + 4y2 = 16‬‬
‫‪ A‬נקודה על האליפסה ברביע השני‪.‬‬
‫‪ B‬נקודה על ציר ‪ y‬כך ש‪ AB -‬מקביל לציר ‪.x‬‬
‫מ‪ A -‬מורידים אנך לציר ‪ , x‬מ‪ B -‬מורידים אנך ל‪AO -‬‬
‫(‪ O‬ראשית הצירים)‪.‬‬
‫שני האנכים הנ"ל נפגשים בנקודה ‪.E‬‬
‫מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של הנקודות‬
‫‪ E‬הנוצרות בצורה זו‪.‬‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪29‬‬
‫מהו המקום הגיאומטרי של כל‬
‫הנקודות ‪ z‬במישור גאוס המקיימות‪:‬‬
‫‪z a n z b‬‬
‫הטכנולוגיה כמקדמת למידת מתמטיקה ‪ -‬הוכן‬
‫ע"י ד"ר רותי רייז‬
‫‪30‬‬