מבוא לגיאומטריה ספקטרלית 80966

Transcription

מבוא לגיאומטריה ספקטרלית 80966
‫מבוא לגיאומטריה ספקטרלית ‪80966‬‬
‫אור דגמי‪or@digmi.org ,‬‬
‫‪ 21‬ביוני ‪2012‬‬
‫אתר אינטרנט‪http://digmi.org :‬‬
‫סיכום הרצאות של ד״ר דן מנגובי בשנת לימודים ‪2012‬‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫נגני נגני גיטרה‪ ...‬מיתר רועד ‪. . .‬‬
‫אז מה זה גיאומטריה ספקטרלית?‬
‫הפונקציות העצמיות ‪. . . . . . . .‬‬
‫דוגמאות נוספות ‪. . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.4.1‬משוואת החום ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.4.2‬משוואת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schrödinger‬‬
‫מטרה בקורס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1‬‬
‫מבוא‬
‫‪1.1‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.3‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪2‬‬
‫הלפלאסיאן‬
‫‪ 2.1‬עקרון הוריאצייה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.2‬ערכים עצמיים של הלפלאסיאן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3‬משפט קורנט ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מרחב סובולב ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.3.1‬‬
‫הערה קטנה על מרחב סובולב בשביל משה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.3.1.1‬‬
‫‪ 2.3.2‬סיום הוכחת משפט קורנט ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3.3‬דוגמאות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3.4‬דיסק ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.4‬עקרון המקסימום החזק ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ λ1 2.5‬מינימלי\מקסימלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.5.1‬אי השיוויון האיזופרימטרי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.5.2‬אי שיוויון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brunn-Minkowski‬‬
‫‪ 2.5.3‬נוסחת הקו־שטח ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.5.4‬הוכחת אי־שיוויון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faber-Krahn‬‬
‫‪ 2.5.5‬הוכחת נוסחת הקו־שטח ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.6‬אי־שיוויון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faber-Krahn‬‬
‫‪ 2.7‬אי־שיוויון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1970) Cheeger‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪16‬‬
‫‪22‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫‪31‬‬
‫‪31‬‬
‫‪34‬‬
‫‪38‬‬
‫‪40‬‬
‫‪41‬‬
‫‪42‬‬
‫‪47‬‬
‫‪48‬‬
‫‪51‬‬
‫‪53‬‬
‫‪60‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(1912) Weyl‬‬
‫בעיית נויימן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫עיקרון הווריאציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.1.1‬‬
‫‪ 3.1.2‬מהן פ״ע נויימן בריבוע? ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.1.3‬תכונות של )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NΩ (E‬‬
‫הוכחת משפט ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Weyl‬‬
‫מסקנות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪62‬‬
‫‪63‬‬
‫‪65‬‬
‫‪67‬‬
‫‪68‬‬
‫‪70‬‬
‫‪70‬‬
‫איזוספקטרליות‬
‫‪ 4.1‬עקרון השיקוף ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪75‬‬
‫‪76‬‬
‫‪1.5‬‬
‫חוק‬
‫‪3.1‬‬
‫‪3.2‬‬
‫‪3.3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪5‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪78‬‬
‫זמנים מודרניים‪ .‬או‪ :‬מה עושים כיום?‬
‫‪5.1‬‬
‫קשר בין ערכים עצמיים נויימן לדיריכלה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪79‬‬
‫‪5.2‬‬
‫‪5.3‬‬
‫כדורים חסומים בתחומים נודליים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אי שיוויון מטיפוס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poincaré‬‬
‫‪82‬‬
‫‪84‬‬
‫‪3‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪4‬‬
‫פרק ‪1‬‬
‫מבוא‬
‫‪ 1.1‬נגני נגני גיטרה‪ ...‬מיתר רועד‬
‫נתבונן במיתר באורך ‪ L‬אשר מוחזק בקצוותית‪ .‬הפונקציה של רעידות המיתר היא )‪ u (t, x‬־ פונקצייה של הזמן ושל המקום‬
‫)האמפליטודה(‪.‬‬
‫‪ u‬מקיימת את המשוואה‪:‬‬
‫‪utt = k 2 uxx‬‬
‫זוהי משוואת הגלים‪ .‬כמו כן‪ ,‬המיתר מוחזק בקצוותית לכן נדרוש‪:‬‬
‫‪u (t, 0) = u (t, L) = 0‬‬
‫‪∀t‬‬
‫אלו נקראים תנאי השפה של הבעיה‪ .‬בנוסף יש לנו תנאי התחלה‪ ,‬כלומר המצב של המיתר בזמן ‪ 0‬כלומר‪:‬‬
‫)‪= f (x‬‬
‫)‪u (0, x‬‬
‫)‪= g (x‬‬
‫)‪ut (0, x‬‬
‫נרצה למצוא את )‪ u (t, x‬לכל ‪ t‬ו־ ‪.x‬‬
‫כיצד נוכל לפתור את המשוואה?‬
‫רעיון של ‪Fourier‬‬
‫נחפש פתרונות מהצורה‪:‬‬
‫)‪u (t, x) = T (t) X (x‬‬
‫)הפרדת משתנים(‪ .‬נחשב את הנגזרות החלקיות‪:‬‬
‫‪T ′′ X‬‬
‫=‬
‫‪utt‬‬
‫‪T X ′′‬‬
‫=‬
‫‪uxx‬‬
‫נציב במשוואת הגלים ונקבל‪:‬‬
‫)‪T ′′ (t‬‬
‫)‪X ′′ (x‬‬
‫‪= k2‬‬
‫)‪T (t‬‬
‫)‪X (x‬‬
‫⇒ ‪T ′′ X = k 2 T X ′′‬‬
‫נבחין כי אגף ימין תלוי רק במקום‪ ,‬ואילו אגף שמאל תלוי רק בזמן‪ ,‬נסיק מכך שקיים קבוע ‪ α‬כך ש‪:‬‬
‫)‪X ′′ (x‬‬
‫)‪T ′′ (t‬‬
‫‪= k2‬‬
‫‪=α‬‬
‫)‪T (t‬‬
‫)‪X (x‬‬
‫ולמעשה קיבלנו שני משוואואת דיפרנציאלית רגילות מסדר שני שאותן קל לפתור‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .1.1‬נגני נגני גיטרה‪ ...‬מיתר רועד‬
‫פרק ‪ .1‬מבוא‬
‫עבור ‪:X‬‬
‫‪α‬‬
‫)‪· X (x‬‬
‫‪k2‬‬
‫= )‪X ′′ (x‬‬
‫נבחין כי הפתרונות האפשריים למשוואה הזאת תלויים ב‪ .α‬במידה בו ‪:α > 0‬‬
‫√‬
‫‪α‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪+ Be−‬‬
‫√‬
‫‪α‬‬
‫‪k x‬‬
‫‪X (x) = Ae‬‬
‫✏‬
‫תרגיל‪ :‬להראות שהפתרון הנ״ל לא יכול לקיים את תנאי השפה‪.‬‬
‫כלומר‪ :‬לא קיימים ‪ A, B‬כך ש‪ X (0) = X (L) = 0 :‬ולכן ‪ α > 0‬נופל‪.‬‬
‫באופן דומה אם ‪ α = 0‬לא קיים פתרון לא טריוויאלי שמקיים גם תנאי שפה‪.X (0) = X (L) = 0 :‬‬
‫✑‬
‫נשאר עם המקרה בו ‪ α < 0‬נבחין כי הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית הנ״ל הוא‪:‬‬
‫√‬
‫‬
‫√‬
‫‬
‫‪−α‬‬
‫‪−α‬‬
‫‪X (x) = A sin‬‬
‫‪x + B cos‬‬
‫‪x‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫✓‬
‫✒‬
‫נזכור גם שאנו יודעים תנאי שפה שהפונקציה ‪ X‬צריכה לקיים‪ ,‬מכיוון ש ‪ u (t, 0) = u (t, L) = 0‬אזי נסיק כי‪:‬‬
‫‪X (0) = X (L) = 0‬‬
‫✁ תרגיל‪ :‬להראות ש ‪B = 0‬‬
‫כלומר הפתרון שלנו הוא‪:‬‬
‫‬
‫√‬
‫‪−α‬‬
‫‪x‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X (x) = A sin‬‬
‫ביחד עם תנאי שפה נקבל כי‪:‬‬
‫√‬
‫‬
‫‪−α‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪L =0‬‬
‫‪k‬‬
‫כלומר נסיק כי‪:‬‬
‫√‬
‫‪−α‬‬
‫‪L=n·π‬‬
‫‪k‬‬
‫כאשר ‪ .n ∈ Z‬כלומר‪:‬‬
‫‪n2 π 2 k 2‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪α=−‬‬
‫לכן קיבלנו סדרה של פתרונות‪:‬‬
‫ ‪ nπx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪Xn (x) = A sin‬‬
‫לכל ‪) n ∈ N‬הפתרונות השליליים לא מעניינים כי הם זהים רק בהיפוך פאזה(‪.‬‬
‫הערה ‪ A 1.1.1‬תלוי ב‪.n‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪n2 π 2‬‬
‫‪Xn‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪Xn′′ = −‬‬
‫‪6‬‬
‫✄‬
‫✂‬
‫פרק ‪ .1‬מבוא‬
‫‪ .1.1‬נגני נגני גיטרה‪ ...‬מיתר רועד‬
‫עבור ‪ :T‬נזכור כי‪:‬‬
‫)‪u (t, x) = T (t) X (x‬‬
‫עבור ‪ X‬מצאנו כבר פתרון‪ ,‬נרצה למצוא כעת עבור ‪ ,T‬ראינו כי‪:‬‬
‫‪T ′′‬‬
‫‪n2 π 2 k 2‬‬
‫‪=α=−‬‬
‫‪T‬‬
‫‪L2‬‬
‫נקבל כי הפתרון למשוואה הנ״ל הוא‪:‬‬
‫‬
‫‪nπk‬‬
‫‪t‬‬
‫‪l‬‬
‫‬
‫‬
‫‪nπk‬‬
‫‪t + D cos‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫‬
‫‪Tn (t) = C sin‬‬
‫הערה ‪ C 1.1.2‬ו‪ D‬תלויים ב‪ n‬גם הם‪.‬‬
‫ולכן נקבל‪:‬‬
‫ ‪ nπx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪U (t, x) = Tn (t) sin‬‬
‫דוגמה ‪ 1.1.3‬מצאו את )‪ u (t, x‬עבור תנאי התחלה‪:‬‬
‫ ‪ πx‬‬
‫‪L‬‬
‫= )‪u (0, x‬‬
‫‪sin‬‬
‫= )‪ut (0, x‬‬
‫‪0‬‬
‫נבחר ‪) n = 1‬טבעי לנחש את זה‪ ,‬מכיוון שאז ‪ X‬תקיים את תנאי ההתחלה(‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫ ‪ πx‬‬
‫‪u (t, x) = T1 (t) sin‬‬
‫‪L‬‬
‫נבדוק את תנאי ההתחלה‪:‬‬
‫‪⇒ T1 (0) = 1‬‬
‫‪⇒ T1′ (0) = 0‬‬
‫מכאן ‪ D = 1‬ו‪.C = 0‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫ ‪ πx‬‬
‫‪L‬‬
‫ ‪ πx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ πx‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪L‬‬
‫‬
‫‪= T1 (0) sin‬‬
‫)‪u (0, x‬‬
‫‪= T1′ (0) sin‬‬
‫)‪ut (0, x‬‬
‫‪πkt‬‬
‫‪L‬‬
‫‬
‫‪u (t, x) = cos‬‬
‫‪ u (0, x) = sin nπx‬ו־ ‪ ut (0, x) = 0‬נקבל‪:‬‬
‫עבור תנאי התחלה ‪L‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ nπx‬‬
‫‪nπkt‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪u (t, x) = cos‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫כלומר‪ ,‬אנו יודעים לפתור את המשוואה עבור פונקציות פשוטות )כך נקראות הפונקציות גל הפשוטות הנ״ל(‪.‬‬
‫נבחין כי משוואת הגלים היא לינארית‪ ,‬כלומר אם ‪ u‬מקיימת אותה וגם ‪ v‬מקיימת אותה אז ‪ αu + βv‬מקיימת אותה‪ .‬זהו עקרון‬
‫הסופרפוזיציה‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬כעת אנו יודעים לפתור עבור תנאי התחלה‪:‬‬
‫‪mπx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪am sin‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪u (0, x‬‬
‫‪m=1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪7‬‬
‫= )‪ut (0, x‬‬
‫פרק ‪ .1‬מבוא‬
‫‪ .1.2‬אז מה זה גיאומטריה ספקטרלית?‬
‫נקבל פתרון‪:‬‬
‫ ‪ mπx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪sin‬‬
‫‬
‫‪mπkt‬‬
‫‪L‬‬
‫‬
‫‪am cos‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪u (t, x‬‬
‫‪m=1‬‬
‫כאן נכנס הרעיון של פורייה‪ :‬באיזשהו מובן‪ ,‬כל פונקצייה רציפה בקטע ]‪ [0, L‬שמתאפסת ב‪ 0‬ו‪ L‬היא סכום אינסופי של פונקציות גל‬
‫פשוטות‪.‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬אם יש לנו פונקציה )‪ f (x‬אנו יכולים לעשות לה פיתוח פורייה‪:‬‬
‫‪mπx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪am sin‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪m=1‬‬
‫ואז באופן פורמלי )אך בלי הוכחה(‪:‬‬
‫ ‪ mπx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪sin‬‬
‫‬
‫‪mπkt‬‬
‫‪L‬‬
‫‬
‫‪am cos‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪u (t, x‬‬
‫‪m=1‬‬
‫פותר את המשוואה עם תנאי שפה ותנאי ההתחלה‪:‬‬
‫)‪u (0, x‬‬
‫)‪= f (x‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪1.2‬‬
‫)‪ut (0, x‬‬
‫אז מה זה גיאומטריה ספקטרלית?‬
‫נרצה לשאול מה הגיאומטריה הספקטרלית מנסה לעשות?‬
‫בגיאומטריה ספקטרלית אנו מנסים להבין את הקשר בין הפונקציות העצמיות והערכים העצמיים של הלפלאסיאן‪.‬‬
‫הערה ‪ 1.2.1‬הלפלאסיאן במימד אחד הוא הגזירה השניה לפי ‪ ,x‬בדוגמת המיתר זה בדיוק ה ‪ .uxx‬והפונקציות העצמיות היו הגלים‬
‫הפשוטים שמצאנו‪.‬‬
‫בדוגמה שלנו הערכים העצמיים היו‪:‬‬
‫‪n2 π 2‬‬
‫‪L2‬‬
‫= ‪λn‬‬
‫והפונקציות העצמיות היו‪:‬‬
‫ ‪ nπx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪Xn (x) = sin‬‬
‫נניח שידוע אוסף הערכים העצמיים‪ ,‬האם ניתן להסיק מה הוא אורך המיתר?‬
‫בדוגמה הנ״ל אנו רואים כי זה מאוד קל‪ .‬לדוגמה אם‬
‫‪.L = √πλ‬‬
‫‪n2 π 2‬‬
‫‪L2‬‬
‫= ‪) λ1‬קל למצוא אותו כי הוא הקטן ביותר באוסף( ולכן נסיק כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫זו תכונה של גיאומטריה ספקטרלית‪ ,‬מתכונות של הספקטרום אנו יכולים להסיק לגבי הגיאומטריה שלנו‪.‬‬
‫‪1.3‬‬
‫הפונקציות העצמיות‬
‫נבחין כי הפונקציות העצמיות שקיבלנו בכלל לא מתייחסות ל‪) k‬המהירות של הגל(‪ .‬הדבר קצת מפתיע‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫פרק ‪ .1‬מבוא‬
‫‪ .1.3‬הפונקציות העצמיות‬
‫איור ‪ :1.1‬הקוים אשר בהם הצטבר החול בניסוי של ‪Chladni‬‬
‫מה נוכל להגיד על האפסים של הפונקציות העצמיות בדוגמה שראינו? כמה אפסים יש לפונקצייה העצמית ‪n‬־ית? ־ ‪) n + 1‬הפונקציה‬
‫העצמית ה‪n‬־ית מחלקת את הקטע ]‪ [0, L‬ל ‪ n‬אינטרבלים(‪.‬‬
‫למה האפסים מעניינים בכלל? יותר קל לראות את זה בדוגמה הדו מימדי‪.‬‬
‫ניסוי שערך ‪ Chladni‬במאה ה‪ 18‬בעזרת צלחת אלומיניום אשר הוא פיזר עליה חול ונתן לה לרעוד )למשל בעזרת קשת של כינור על‬
‫הקצה(‪ ,‬הצלחת רעדה והחול הצטבר בקווים מסויימים‪ ,‬הקווים האלה הם הפונקציות העצמיות של הלפלאסיאן‪∆u = uxx + uyy :‬‬
‫נרצה לשאול מה החשיבות של הפונקציות העצמיות‪ ,‬למה הן מעניינות אותנו? או‪ :‬מדוע חשובות הפונקציות העצמיות של הלפלאסיאן?‬
‫משוואת הגלים במקרה הרב מימדי היא )‪:u (t, x‬‬
‫‪utt = c2 ∆x u‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪∂2u‬‬
‫‪∂x2i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪∆x u‬‬
‫‪i=1‬‬
‫נניח שידוע לנו אוסף הפונקציות העצמיות )‪ ϕ (x‬של הלפלאסיאן‪:‬‬
‫)‪∆ϕn (x) = −λn ϕn (x‬‬
‫הערה ‪ 1.3.1‬תמיד אפשר למצוא אוסף דיסקרטי של פונקציות עצמיות‪ ,‬זה משפט קשה‪ .‬אולי נוכיח אותו בסוף הקורס‪.‬‬
‫נניח כי אנו יודעים גם כי‪:‬‬
‫‪ϕn |∂Ω = 0‬‬
‫)כלומר הפונקציה מתאפסת על השפה של המשטח אשר סימנו אותו ב‪.(Ω‬‬
‫מכאן אם )‪ f (x‬היא פונקצייה כלשהי נוכל לרשום‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫)‪an ϕn (x‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ .1.4‬דוגמאות נוספות‬
‫פרק ‪ .1‬מבוא‬
‫ואז הפתרון יהיה‪:‬‬
‫ ‪p‬‬
‫)‪λn t ϕn (x‬‬
‫‪an cos‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪u (x, t‬‬
‫נבחין כי הפתרון מקיים‪:‬‬
‫)‪u (0, x‬‬
‫)‪ut (0, x‬‬
‫)‪= f (x‬‬
‫‪= 0‬‬
‫כלומר‪ ,‬על מנת לפתור את פונקציית הגלים צריך את הפונקציות העצמיות והערכים העצמיים של הלפלאסיאן ובעזרתן לפתור את‬
‫משוואת הגלים‪.‬‬
‫‪1.4‬‬
‫דוגמאות נוספות‬
‫‪1.4.1‬‬
‫משוואת החום‬
‫שוב יש לנו פונקציה )‪) u (t, x‬הפונקצייה נותנת טמפרטורה בנקודה ‪ x‬בזמן ‪ (t‬משוואת החום היא‪:‬‬
‫‪ut (t, x) = ∆x u‬‬
‫כמעט כמו משוואת הגלים רק שמדובר בנגזרת אחת בזמן‪ .‬זו משוואה מסדר ראשון בזמן‪ ,‬לכן היא דורשת תנאי התחלה אחד‪.‬‬
‫)‪u (0, x) = f (x‬‬
‫ונניח שיש לנו תנאי שפה‪:‬‬
‫‪∀y ∈ ∂Ω‬‬
‫‪u (t, y) = 0‬‬
‫‪∀t‬‬
‫נניח שיש לנו את הפונקציות העצמיות של הלפלאסיאן נתונות‪ .‬ונניח ידוע‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪u (0, x‬‬
‫)‪an ϕn (x‬‬
‫אזי אוטומטית אנו יודעים את הפתרון בכל זמן ‪:t‬‬
‫)‪an ϕn (x‬‬
‫אזי פתרון למשוואה הוא‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪an e−λn t ϕn (x‬‬
‫‬
‫= )‪u (t, x‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪u (t, x‬‬
‫)‪−λn an e−λn t ϕn (x‬‬
‫‪−λn an e−λn t ϕn (x) = ut‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪ut‬‬
‫= ‪an e−λn t ∆x ϕn‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪∆x u‬‬
‫הערה ‪ 1.4.1‬משוואת החום היא המשוואה שפורייה טיפל בה וממנה נבעה כל התובנה של טורי פורייה‬
‫‪10‬‬
‫‪ .1.5‬מטרה בקורס‬
‫‪1.4.2‬‬
‫פרק ‪ .1‬מבוא‬
‫משוואת ‪Schrödinger‬‬
‫שוב‪ u (t, x) :‬פונקציית הגל המקיימת‪:‬‬
‫‪iut = ∆x u‬‬
‫√‬
‫הפעם מדובר במשוואה המאוד דומה למשוואת החום‪ ,‬רק שהפעם אנו כופלים אותה ב‪−1‬‬
‫= ‪ .i‬נניח שנתון לנו‪:‬‬
‫)‪u (0, x) = ψ (x‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫)‪an eiλn t ϕn (x‬‬
‫קל לבדוק שמתקיים‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪u (t, x‬‬
‫‪iut = ∆x u‬‬
‫דוגמה ‪ 1.4.2‬נניח שאנו מסתכלים על משוואה‪:‬‬
‫)‪iut = ∆u + V (x) u (t, x‬‬
‫כאשר ‪ V‬היא פונקציית פוטנציאל‪ .‬נחפש פונקציות עצמיות‪ ϕ‬כך ש‪ .(∆ + V ) ϕ = −λϕ :‬במימד אחד נקבל‪:‬‬
‫‪ϕ′′ + V (x) ϕ (x) + λϕ (x) = 0‬‬
‫נניח ש )‪ .ϕ (0) = 0 = ϕ (L‬זהו הומנם לא משוואת לפלאסיאן‪ ,‬אבל זהו המילטוניאין ואנו יכולים לחשב לו את הערכים העצמיים‪.‬‬
‫הערכים העצמיים כבר לא מקיימים‬
‫‪n2 π 2‬‬
‫‪L2‬‬
‫= ‪ ,λn‬אבל הם כן מקיימים‪:‬‬
‫לשחזר את האורך של המיתר ועדיין מתקיים המשפט הבא‪:‬‬
‫‪π2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n→∞ L‬‬
‫→‪ . λnn2 −‬לכן אנו עדיין מהערכים העצמיים בלבד יכולים‬
‫משפט ‪1.4.3‬‬
‫לפונקצייה העצמית ה ‪n‬־ית יש בדיוק ‪ n + 1‬אפסים‪.‬‬
‫הערה ‪ 1.4.4‬הפונקצייה העצמית ה‪n‬־ית היא שאנו מסדרים את הערכים העצמיים לפי סדר עולה ומתאימים את הפונקצייה העצמית‬
‫לערך העצמי‪.‬‬
‫‪1.5‬‬
‫מטרה בקורס‬
‫במהלך הקורס נפתח כלים על מנת להוכיח את המשפט של ‪) Courant‬מסביבות ‪.(1923‬‬
‫ראינו שעבור מיתר רועד מספר האפסים של הפונקצייה העצמית ה ‪k‬־ית הוא בדיוק ‪.k + 1‬‬
‫= )‪X ′′ (x‬‬
‫= )‪X (0‬‬
‫)‪−λk X (x‬‬
‫‪X (L) = 0‬‬
‫‪2 2‬‬
‫ראינו כי במקרה זה הערכים העצמיים הם‪.λk = πLk2 :‬‬
‫קורנט שאל‪ :‬האם יש אנלוג דו־מימדי לטענה החד־מימדית הנ״ל?‬
‫כלומר‪ ,‬יש לנו תחום ‪ Ω‬עם איזשהי ממברנה רועדת לפי איזשהי פונקציה עצמית‪:‬‬
‫ ‪p‬‬
‫)‪λk t ϕk (x‬‬
‫‪u (t, x) = cos‬‬
‫‪11‬‬
‫פרק ‪ .1‬מבוא‬
‫‪ .1.5‬מטרה בקורס‬
‫ראינו שאם ‪ ϕ‬מקיימם‪:‬‬
‫‪∆ϕ = −λϕ‬‬
‫‪ϕ |∂Ω ≡ 0‬‬
‫(‬
‫אזי )‪ u (t, x‬פותרת את משוואת הגלים‪:‬‬
‫‪utt = ∆x u‬‬
‫המשמעות של האפסים היא הנקודות בהן המבברנה לא רועדת‪ .‬כלומר‪ :‬אם ‪ ϕ (x0 ) = 0‬אז הממברנה לא רועדת בנקודה ‪.x0‬‬
‫הערה ‪ 1.5.1‬כדאי לחפש בגוגל‪ Chladni Plates :‬על מנת לראות דוגמאות לניסוי ותוצאות של איפה החול מצטבר‪.‬‬
‫במקרה הדו מימדי‪ ,‬האפסים הם קווים‪ ,‬אנו לא יכולים לספור את כמות הנקודות‪ ,‬אבל אנו יכולים לספור את מספר רכיבי הקשירות‬
‫של }‪ .{ϕ 6= 0‬ושאל‪ ,‬האם זה נכון שלפונקציה העצמית ה‪ k‬יש בדיוק ‪ k‬כאלה‪.‬‬
‫הוא גילה שזה לא נכון‪ ,‬אבל הוא כן גילה משהו‪:‬‬
‫משפט ‪1.5.2‬‬
‫עבור הפונקצייה העצמית ה‪k‬־ית קיימים לכל היותר ‪ k‬רכיבי קשירות של }‪{ϕk 6= 0‬‬
‫משפט ‪1.5.3‬‬
‫נביט בבעיה‪:‬‬
‫‪∆ϕ = −λϕ‬‬
‫בתחום ‪ Ω ⊂ Rn‬חסום‪ .‬וגם מתקיים‪:‬‬
‫‪ϕ |∂Ω ≡ 0‬‬
‫‪ .1‬קיים אוסף דיסקרטי של ערכים עצמיים ≤ ‪0 < λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ λ4‬‬
‫‪) . . .‬דגש‪ ,‬הראשון הוא בהכרח < ולא ≤( כאשר ∞ →‪ λn −‬שעבורם‬
‫∞→‪n‬‬
‫קיים פתרון לא טריוויאלי לבעיה‪ .‬עבור כל ‪ λ‬אחר יש רק את פתרון‬
‫האפס‪.‬‬
‫‪ .2‬בנוסף‪ ,‬אפשר להראות שאוסף הפונקציות העצמיות המתאימות‬
‫‪ ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , . . .‬מהוות מערכת אורתונורמלית שלמה ל )‪) L2 (Ω‬״כל‬
‫פונקציה על )‪ ,f ∈ C ∞ (Ω‬היא קרובה לצירוף לינארי של פונקציות‬
‫עצמיות״(‪.‬‬
‫‪ .3‬הפונקציות העצמיות הן הפונקציות ∞ ‪.C‬‬
‫‪12‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫הלפלאסיאן‬
‫‪2.1‬‬
‫עקרון הוריאצייה‬
‫‪ V‬מרחב וקטורי ממימד סופי מעל ‪ h, i ,R‬מכפלה פנימית על ‪ T : V → V .V‬סימטרי )לכל ‪ v, w ∈ V‬מתקיים‪.(hT v, wi = hv, T wi :‬‬
‫משפט ‪2.1.1‬‬
‫קיים בסיס אורתונורמלי של ‪ V‬שמורכב מוקטורים עצמיים של ‪.T‬‬
‫הוכחה‪ :‬עבור ‪ V‬ממימד ‪ 1‬המשפט נכון באופן טריוויאלי )פשוט כפל בסקלאר(‪.‬‬
‫יהי ‪ V‬ממימד ‪ .n > 1‬קיים ערך עצמי ‪ λ‬ל ‪ .λ ∈ C ,T‬יהי ‪ v0 ∈ V‬וקטור עצמי מתאים‪..‬‬
‫נראה כי ‪:λ ∈ R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪λ kv0 k = hT v0 , v0 i = hv0 , T v0 i = λ kv0 k‬‬
‫לכן קיבלנו כי ‪ ,λ = λ‬ולכן בהכרח ‪.λ ∈ R‬‬
‫נביט במרחב ‪ .v0⊥ ⊆ V‬נראה ש‪:‬‬
‫⊥‪T : v0⊥ → v0‬‬
‫כלומר‪ T ,‬לוקחת את ⊥‪ v0‬לעצמו‪ .‬יהי ⊥‪,w ∈ v0‬‬
‫‪hT w, v0 i = hw, T v0 i = −λ hw, v0 i = 0‬‬
‫כיוון ש ‪ ,V v0⊥ .w⊥v0‬ולכן מהנחת האינדוקציה קיים בסיס אורתונורמלי ‪ v1 , . . . , vn−1‬ל ⊥‪ v0‬של וקטרוים אורתונורמליים של ‪.T‬‬
‫נוסיף את ‪) v0‬אחרי נרמול( ונקבל ) ‪ (v0 , v1 , . . . , vn−1‬בסיס אורתונורמלי של ‪ V‬שמורכב מוקטורים עצמיים של ‪.T‬‬
‫טענה ‪2.1.2‬‬
‫‪ T‬סמטרי‪ ,‬עקרון הוריאצייה אומר‪:‬‬
‫‪hT v, vi‬‬
‫‪hv, vi‬‬
‫‪λ1 = inf‬‬
‫‪v6=0‬‬
‫כאשר ‪ λ1‬הוא הערך העצמי קטן ביותר )יכול להיות שלילי!(‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ) ‪ (e1 , . . . , en‬בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים עם ערכים עצמיים מתאימים ‪.λ1 , . . . , λn‬‬
‫‪= α1 e1 + . . . + αn en‬‬
‫‪= α1 λ1 e1 + . . . + αn λn en‬‬
‫‪v‬‬
‫‪Tv‬‬
‫לכן נקבל כי‪:‬‬
‫‬
‫‪α21 + . . . + α2n‬‬
‫‪hT v, vi = α21 λ1 + . . . + α2n λn ≥ α21 λ1 + α22 λ1 + . . . + α2n λ21 = λ1‬‬
‫‪= α21 + . . . + α2n‬‬
‫‪13‬‬
‫‪hv, vi‬‬
‫‪ .2.1‬עקרון הוריאצייה‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ λ1‬הוא הערך העצמי הקטן ביותר‪ ,‬לכן האי שיוויון נכון‪.‬‬
‫ולכן נקבל‪:‬‬
‫‪hT v, vi‬‬
‫‪≥ λ1‬‬
‫‪hv, vi‬‬
‫‪∀v 6= 0‬‬
‫‪e1 ,e1 i‬‬
‫‪ . hT‬ולכן קיבלנו את הנדרש‪.‬‬
‫אבל‪he1 ,e1 i = λ1 :‬‬
‫טענה ‪ 2.1.3‬עקרון הוריאצייה הכללי‬
‫עבור ‪ λk‬כאשר ‪ k ≥ 1‬נקבל כי‪:‬‬
‫‪hT v, vi‬‬
‫‪hv, vi‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪v∈L‬‬
‫‪v 6= 0‬‬
‫= ‪λk‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪L⊂V‬‬
‫‪dim L = k‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נוכיח את הלמה הבאה‪:‬‬
‫למה ‪2.1.4‬‬
‫נסמן ‪ e1 , . . . , ek−1‬וקטורים עצמיים של ‪ T‬עם ערכים עצמיים ‪ ,λ1 , . . . , λk−1‬ואז נוכל לרשום‪:‬‬
‫‪hT v, vi‬‬
‫‪hv, vi‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪v⊥e1 ,...,ek−1‬‬
‫= ‪λk‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבחין כי לכל ‪ $X$ al umr oFv‬ניתן לרשום אותו באופן הבא‪:‬‬
‫‪αk ek + . . . + αn en‬‬
‫=‬
‫‪v‬‬
‫‪αk λk ek + . . . + αn λn en‬‬
‫=‬
‫‪Tv‬‬
‫ואז נקבל כי‪:‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪hT v, vi = α2k λk + . . . + α2n λn ≥ λk α2k + . . . + α2n = λk kvk‬‬
‫ובאמת נקבל את הנדרש כמו בהוכחה הקודמת‪.‬‬
‫נרצה כעת לקבל את עקרון הוריאציה הכללי‪.‬‬
‫יהי ‪ L ⊂ V‬תת־מרחב וקטורי ממימד ‪ .k‬צריך להוכיח כי‪:‬‬
‫‪hT v, vi‬‬
‫‪≥ λk‬‬
‫‪hv, vi‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪v∈L‬‬
‫‪v 6= 0‬‬
‫‪v,vi‬‬
‫‪. hT‬‬
‫כלומר‪ ,‬נראה שקיים ‪ v ∈ L‬כך ש ‪hv,vi ≥ λk‬‬
‫למה ‪2.1.5‬‬
‫קיים וקטור ‪ 0 6= v ∈ L‬כך ש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v⊥e1‬‬
‫‪‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v⊥e‬‬
‫‪k−1‬‬
‫‪14‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ .2.1‬עקרון הוריאצייה‬
‫הוכחה‪ :‬נבחר בסיס ל ‪ f1 , . . . , fk ,‬כך ש‪:‬‬
‫‪v = α1 f1 + . . . + αk fk‬‬
‫אנו מחפשים ‪α‬־ים כך ש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪α1 hf1 , e1 i + α2 hf2 , e1 i + . . . + αk hfk , e1 i = 0‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪α hf , e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 k−1 i + α2 hf2 , ek−1 i + . . . + αk hfk , ek−1 i = 0‬‬
‫קיבלנו ‪ k − 1‬משוואות לינאריות ב‪ k‬נעלמים‪ ,α1 , . . . , αk :‬לכן קיים פתרון לא טריוויאלי‪.‬‬
‫לפי הלמה הקודמת‪:‬‬
‫‪hT v, vi‬‬
‫‪hv, vi‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪v⊥e1 ,...,ek‬‬
‫= ‪λk‬‬
‫בפרט‪ ,‬עבור ‪:v0‬‬
‫‪hT v0 , v0 i‬‬
‫‪hv0 , v0 i‬‬
‫כלומר‪ ,‬מצאנו ‪ v0 ∈ L‬כך ש‬
‫‪hT v0 ,v0 i‬‬
‫‪hv0 ,v0 i‬‬
‫≤ ‪λk‬‬
‫≤ ‪ λk‬כנדרש‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬הוכחנו כי‪:‬‬
‫‪hT v, vi‬‬
‫‪hv, vi‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪v∈L‬‬
‫‪v 6= 0‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪L⊂V‬‬
‫‪dim L = k‬‬
‫≤ ‪λk‬‬
‫נרצה להראות שקיים שוויון‪ .‬נתבונן בתת מרחב } ‪ .L = span {e1 , . . . , ek‬עבור ‪ ek‬מתקיים‪:‬‬
‫‪hT ek , ek i‬‬
‫‪= λk‬‬
‫‪hek , ek i‬‬
‫לכל ‪ v ∈ L‬מתקיים‪:‬‬
‫‪v = α1 e1 + . . . + αk ek‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‬
‫‪α21 + . . . + α2k λk‬‬
‫‪hT v, vi‬‬
‫‪α21 λ1 + . . . + α2k λk‬‬
‫=‬
‫≤‬
‫‪= λk‬‬
‫‪hv, vi‬‬
‫‪α21 + . . . + α2k‬‬
‫‪α21 + . . . + α2k‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיבלנו שעבור ‪ L‬הנ״ל‪:‬‬
‫‪hT v, vi‬‬
‫‪= λk‬‬
‫‪hv, vi‬‬
‫מכאן קיבלנו את הנדרש‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪v∈L‬‬
‫‪v 6= 0‬‬
‫‪ .2.2‬ערכים עצמיים של הלפלאסיאן‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ 2.2‬ערכים עצמיים של הלפלאסיאן‬
‫טענה ‪2.2.1‬‬
‫ה∆ הוא אופרטור ״סימטרי״‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ Ω ⊆ Rn‬תחום חסום‪.‬‬
‫נתבונן במרחב )‪ C0∞ (Ω‬־ מרחב הפונקציות ∞ ‪ C‬עם תומך קומפקטי ב ‪) Ω‬כלומר פונקציות המתאפסות רחוק מהשפה(‪.‬‬
‫במרחב הנ״ל‪ ,‬אנו יכולים להגדיר מכפלה פנימית‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪hf, gi := f (x) g (x) dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫נרצה להראות כי ∆ סימטרי ביחס למכפלה הפנימית הנ״ל‪.‬‬
‫נבדוק שמתקיים‪:‬‬
‫‪u∆vdx‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪(∆u) vdx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫לכל )‪.u, v ∈ C0∞ (Ω‬‬
‫נוכיח במימד אחד‪:‬‬
‫‪✿0‬‬
‫✘‬
‫✘ ‪u′ v ′ dx +‬‬
‫✘ ‪u′‬‬
‫‪· v✘|ba‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪u′′ · vdx = −‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫מכיוון ש ‪ v‬מתאפסת בקצוות‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫‪u′ v ′ dx‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪=−‬‬
‫אבל נבחין כי הביטוי הנ״ל סימטרי ל‪ u, v‬ולכן קיבלנו את הנדרש‪.‬‬
‫במימד גבוה‪ :‬יהי ‪ X‬שדה וקטורי‪ ,‬נרצה להבין איך אנו מחשבים אינטגרלים מהצורה הנ״ל‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪(Xf ) · gdv‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪ Xf‬היא הנגזרת הכיוונית של ‪ f‬בכיוון השדה בנקודה‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫))‪f (x+tX(x‬‬
‫‪t‬‬
‫‪.(Xf ) (x) := lim‬‬
‫‪t→0‬‬
‫במקום לגזור את ‪ f‬נרצה לגזור את ‪ ,g‬נוסחת אינטגרציה בחלקים במקרה הרב מימדי היא‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪(Xf ) · gdv = − f · (Xg) dv − f · g (divX) dv + f · g · hX, n‬‬
‫‪ˆ i dσ‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪ n‬הוא נורמל חיצוני ל‪ .Ω‬וגם‪:‬‬
‫כאשר ˆ‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∂a‬‬
‫‪∂a‬‬
‫‪+ ...+ n‬‬
‫‪∂x1‬‬
‫‪∂x‬‬
‫=‪divX :‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪X = a1 , a2 , . . . , a‬‬
‫פונקציות‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ .2.2‬ערכים עצמיים של הלפלאסיאן‬
‫דוגמה ‪2.2.2‬‬
‫)‪X = (1, 0, 0, . . . , 0‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂x1‬‬
‫= ‪Xf‬‬
‫‪divX = 0‬‬
‫איך נסיק מכך שהלפלאסיאן הוא סימטרי?‬
‫‬
‫‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫אם ‪ f‬פונקציה‪ ,‬נגדיר‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ grad (f ) = ∂x‬שדה וקטורי‪.‬‬
‫‪∂xn‬‬
‫‪1‬‬
‫יהי ‪ X‬שדה וקטורי כלשהו אזי‪:‬‬
‫‪hgrad (f ) , Xi = Xf‬‬
‫‬
‫למה? כי אם ‪ X = a1 , . . . , an‬אזי‪:‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪+ . . . + an n‬‬
‫‪∂x1‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪hgrad (f ) , Xi = a1‬‬
‫ומלינאריות הנגזרת החלקית הנ״ל נכון‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬נשים לב כי הלפלאסיאן של ‪ f‬הוא‪:‬‬
‫‪X ∂2f‬‬
‫‪∂x2k‬‬
‫= )) ‪∆f = div (grad (f‬‬
‫נרצה לחשב ביטוי מהצורה‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪g‬‬
‫‪f‬‬
‫ˆ‬
‫{|}‪z }| { z‬‬
‫{|}‪z‬‬
‫= ‪div (grad (u)) · v 1 dV = (Xf ) gdV‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪f · g hx, n‬‬
‫= ‪ˆ i dσ‬‬
‫‪divXf · gdV +‬‬
‫‪f g hX, n‬‬
‫= ‪ˆ i dσ‬‬
‫‪f (Xg) dV −‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪f (Xg) dV +‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪−‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪(Xf ) gdV −‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪−‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪✿0‬‬
‫✘‬
‫✘‬
‫✘‬
‫‪✘ (g)i + f · g hX, n‬‬
‫‪hX, grad (f )i · gdV − f · hX,‬‬
‫‪grad‬‬
‫= ‪ˆ i dσ‬‬
‫✘‬
‫✘✘✘‬
‫✘‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪∂u‬‬
‫‪− h∇u, ∇vi dV +‬‬
‫‪· vdσ‬‬
‫‪∂n‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪−‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫התוצאה הנ״ל חשובה מפני עצמה‪ ,‬והיא נקראת משפט גרין‪.‬‬
‫אבל אם ‪ u‬ו‪ v‬מתאפסות על השפה‪ ,‬האינטגרל על השפה נעלם‪ ,‬ולכן נקבל כי הלפלאסיאן הוא אכן סמטרי‪.‬‬
‫נשים לב שאם ניקח את נוסחת האינטגרציה בחלקים‪:‬‬
‫‪f · g · hX, n‬‬
‫‪ˆ i dσ‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪f · g (divX) dv +‬‬
‫‪f · (Xg) dv −‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ונציב בה את ‪ f = g = 1‬נקבל‪:‬‬
‫‪hX, n‬‬
‫‪ˆ i dσ‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪divXdV‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫זהו משפט הדיברגנץ\גאוס\סטוקס\גרין ממימד ‪.2‬‬
‫‪17‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪(Xf ) · gdv = −‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫= ‪(∆f ) · gdV‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪ .2.2‬ערכים עצמיים של הלפלאסיאן‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫טענה ‪2.2.3‬‬
‫נוכיח את משפט הדיברנץ במימד ‪2‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח את המשפט עבור ‪ Ω‬מהצורה של עיגול‪ ,‬והשדה ‪ X‬מתאפס קרוב לשפת העיגול‪.‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪hx, n‬‬
‫‪ˆ i dσ = 0‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫כי ‪ X‬ניתן להחליף את התחום למלבן העוטף את העיגול ולשמר את האינטגרל היות והוא מתאפס קרוב לשפה‪.‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫))‪X = (α (x, y) , β (x, y‬‬
‫נקבל כי האינטגרל של הגיברגנץ בתחום הנ״ל יהיה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ d‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫❃‬
‫✚‬
‫❃‬
‫✚‬
‫ˆ‬
‫‪ˆd ˆb‬‬
‫✚‬
‫✚‬
‫‪∂β✚ ‬‬
‫‪∂α‬‬
‫✚ ‪‬‬
‫‪dy dx +  ✚✚dx dy‬‬
‫‪∂y‬‬
‫✚‬
‫‪✚ ∂x‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c ✚a‬‬
‫✚‬
‫|‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫המשפט היסודי‬
‫‪ˆb‬‬
‫= ‪dxdy‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫‪∂β‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫‪∂α‬‬
‫‪∂x‬‬
‫ ‪ˆb ˆd‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫המשפט היסודי‬
‫)כיוון שקצוות הקטע הערך מתאפס‪ ,‬לכן אנו מקבלים שהאינטגרל הוא אפס‪.‬‬
‫כעת נתבונן במקרה של חצי עיגול כאשר רק על שפה המעגל האינטגרל מתאפס )כלומר‪ ,‬קרוב לקוטר השדה לא מתאפס( כמו כן‬
‫המסילה היא נגד כיוון השעון‪.‬‬
‫נבחין כי הנורמל עבור הקוטר אשר בו קטענו את העיגול הוא )‪ (0, −1‬ולכן‪:‬‬
‫‪β (x, 0) dx‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪−β (x, 0) dx = −‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪hx, n‬‬
‫= ‪ˆ i dσ‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω‬‬
‫נחשב את אגף שמאל‪:‬‬
‫שוב נעטוף במלבן ונקבל‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫❃‬
‫✚‬
‫✚‬
‫‪ ∂α✚dx dy‬‬
‫✚‬
‫‪✚ ∂x‬‬
‫‪a‬‬
‫✚‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆd‬‬
‫‪∂β‬‬
‫‪dydx +‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪ˆb ˆd‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫המשפט היסודי‬
‫מהמשפט היסודי נקבל‪:‬‬
‫‪β (x, 0) dx‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪−β (x, 0) dx = −‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫כעת‪ ,‬נבחן מקרה בו במקום קטיעה בקו ישר‪ ,‬נקטע בקו עקום‪ .‬ניתן למצוא העתקה המעבירה בין המקרה הקודם למקרה הזה‪ ,‬כלומר‬
‫אם נעבור בקואורדינטות ‪ u, v‬עם החצי עיגול‪ ,‬קיימת העתקה ))‪ ~r (u, v) = (x (u, v) , y (u, v‬שתיישר את הקו העקום‪ ,‬נבחין כי היא‬
‫לא תשמר צורה מעגלית‪ ,‬אבל בגלל התאפסות בקרוב לשפה של הקטע המקורי‪ ,‬ניתן יהיה לעטוף בחצי עיגול חדש גדול יותר‪ .‬נקבל‬
‫כי‪:‬‬
‫‬
‫ ‪ ∂x ∂x‬‬
‫ˆ‬
‫ ˆ‬
‫‪∂β‬‬
‫‪∂α‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪dudv‬‬
‫‪(x (u, v) , y (u, v)) +‬‬
‫‪(x (u, v) , y (u, v)) det ∂u‬‬
‫= ‪divXdxdy‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂v‬‬
‫~‬
‫)‪r −1 (Ω‬‬
‫‪18‬‬
‫‪Ω‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ .2.2‬ערכים עצמיים של הלפלאסיאן‬
‫‪˜ α‬‬
‫ו‪ β‬באופן דומה‪ .‬מכלל השרשרת נקבל כי‪:‬‬
‫נגדיר ))‪˜ (u, v) = α (x (u, v) , y (u, v‬‬
‫‪∂α ∂x ∂α ∂y‬‬
‫‪+‬‬
‫‪∂x ∂u‬‬
‫‪∂y ∂u‬‬
‫‪∂α ∂x ∂α ∂y‬‬
‫‪+‬‬
‫‪∂x ∂v‬‬
‫‪∂y ∂v‬‬
‫‪∂α‬‬
‫˜‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂α‬‬
‫˜‬
‫‪∂v‬‬
‫=‬
‫=‬
‫ובכתיב מטריציוני ניתן לרשום‪:‬‬
‫‬
‫}‬
‫ולכן נקבל‪:‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪{z‬‬
‫‪ ∂x‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂u‬‬
‫~‪D‬‬
‫‪r‬‬
‫‪−1‬‬
‫) ‪(D~r‬‬
‫‪∂α‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂α‬‬
‫‪∂x‬‬
‫|‬
‫‬
‫‪∂α‬‬
‫˜‬
‫‪∂v‬‬
‫‪∂α‬‬
‫˜‬
‫‪∂u‬‬
‫‬
‫=‬
‫=‬
‫‬
‫‬
‫‪∂α‬‬
‫˜‬
‫‪∂α‬‬
‫˜‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪∂α‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂α‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‬
‫ובאופן דומה נקבל‪:‬‬
‫‪(D~r )−1‬‬
‫!‬
‫‪∂α‬‬
‫˜‬
‫‪∂v‬‬
‫˜‪∂ β‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪∂α‬‬
‫˜‬
‫‪∂u‬‬
‫˜‪∂ β‬‬
‫‪∂u‬‬
‫=‬
‫!‬
‫‪∂α‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂β‬‬
‫‪∂y‬‬
‫אבל נבחין כי אנו רוצים למעשה את ה‪ trace‬של המטריצה השמאלית‪.‬‬
‫נזכור כי להפוך מטריצה של ‪ 2 × 2‬זה די פשוט‪:‬‬
‫‬
‫‪ ∂y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− ∂x‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪∂v‬‬
‫=‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪det D~r − ∂u‬‬
‫‪∂u‬‬
‫ונקבל כי הביטוי באינטגרל שלנו הוא‪:‬‬
‫!‬
‫‪∂ β˜ ∂x ∂ β˜ ∂x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪∂u ∂v‬‬
‫‪∂v ∂u‬‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫‪∂α‬‬
‫‪˜ ∂u ∂ α‬‬
‫‪˜ ∂y‬‬
‫‪−‬‬
‫‪∂u ∂v‬‬
‫‪∂v ∂u‬‬
‫‪∂α‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂β‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪−1‬‬
‫) ‪(D~r‬‬
‫‬
‫= ‪det D~r‬‬
‫‬
‫‪∂α ∂β‬‬
‫‪+‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‬
‫אבל נבחין כי הנ״ל למעשה שווה לדיברגנץ של השדה הבא‪:‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫)‪(u, 0) + −β˜ (u, 0‬‬
‫‪(u, 0) du‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪α‬‬
‫)‪˜ (u, 0‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪dudv‬‬
‫‬
‫‬
‫‪˜ ∂x‬‬
‫‪α‬‬
‫‪˜ ∂y‬‬
‫‪∂v − β ∂v‬‬
‫‪div‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪−α‬‬
‫‪˜ ∂u + β˜ ∂u‬‬
‫ˆ‬
‫~‬
‫)‪r −1 (Ω‬‬
‫זהו אגף שמאל שלנו‪ ,‬נרצה לחשב את אגף ימין‪ .‬מה הנורמל לשפה הנ״ל? נחשב ראשית את המשיק‪ .‬נבחין כי‪~r (u, 0) = :‬‬
‫))‪ (x (u, 0) , y (u, 0‬פרמטריצייה של ‪.∂Ω‬‬
‫מה המשיק?‬
‫‬
‫‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪(u, 0) ,‬‬
‫)‪(u, 0‬‬
‫= )‪γ (u) = ~r (u, 0) ⇒ γ˙ (u‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂u‬‬
‫נרצה לסובב את הוקטור עם כיוון השעון )החלפת הקואורדינטות והוספת מינוס לרכיב ה‪ (y‬ונקבל כי הנורמל הוא‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪(u,‬‬
‫)‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪−‬‬
‫‪(u,‬‬
‫)‪0‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪n‬‬
‫= )‪ˆ (u‬‬
‫‪kγk‬‬
‫˙‬
‫נחשב את האינטגרל המסילתי של השפה‪:‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫· )‪(u, 0) − β˜ (u, 0‬‬
‫‪(u, 0) du‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪α‬‬
‫)‪˜ (u, 0‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫כלומר‪ ,‬בדיוק אותו ביטוי‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪hx, n‬‬
‫‪ˆ i · kγk‬‬
‫= ‪˙ du‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪a‬‬
‫‪hX, n‬‬
‫= ‪ˆ i dl‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪ .2.2‬ערכים עצמיים של הלפלאסיאן‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫משפט ‪ 2.2.4‬פיצול יחידה‬
‫‪N‬‬
‫יהי ‪ Ω ⊂ Rn‬תחום חסום‪ .‬נניח ש ‪ {Vi }i=1‬הוא כיסוי פתוח של ‪ .Ω‬כלומר ‪ Vi‬קבוצות פתוחות ‪Vi ⊃ Ω‬‬
‫‪N‬‬
‫‪S‬‬
‫‪.‬‬
‫‪i=1‬‬
‫קיימות פונקציות ‪ ϕ1 , . . . , ϕn‬גזירות ‪ C 1‬כך ש‪ 0 ≤ ϕk ≤ 1 :‬לכל ‪ .k‬כך ש‪ ϕ1 (x) + . . . + ϕn (x) = 1 :‬לכל ‪ .x ∈ Ω‬וגם‪:‬‬
‫‪.supp ϕk ⊂ Vk‬‬
‫נמשיך עם הוכחת משפט הדיברגנץ‪.‬‬
‫יהא נתון ‪ .x, Ω‬לכל ‪ p ∈ Ω‬קיים כדור )‪ Br (p‬שמרכזו ב‪p‬ועבורו כך ש ‪ Up = Br (p) ∩ Ω‬דיפיאומורפי )הומאומורפיזם שגם גזיר‬
‫וההופכי גזיר( לקבוצה פתוחה בחצי המישור העליון‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪SN‬‬
‫נבחין כי ‪Brp (p) ⊇ Ω‬‬
‫‪ .‬אבל נבחין כי ‪ Ω‬קומפקטי‪ ,‬לכן קיים תת כיסוי סופי כך ש‪. i=1 Bri (pi ) ⊇ Ω :‬‬
‫‪p∈Ω‬‬
‫יהיו ‪ ϕ1 , . . . , ϕN‬פיצול יחידה ש״נשלט״ ע״י הכיסוי הנ״ל‪ .‬כאשר אנו יודעים כי‪ ϕ1 + . . . + ϕN = 1 :‬ב ‪.Ω‬‬
‫)‪) (ϕ1 · X) + (ϕ2 · X) + . . . + (ϕN · X‬הכפלת שדה בפונקציה ־ הכפלה רכיב רכיב(‪.‬‬
‫ואנו יודעים את משפט הדיברגנץ עבור כל אחד מ ‪ ϕi‬מההוכחות של המקרים הפרטיים‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪∀i‬‬
‫‪div (ϕi X) dV = hϕi X, n‬‬
‫‪ˆ i dσ‬‬
‫ואז‪X = :‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫כעת נסכום ונקבל‪:‬‬
‫‪hϕi , n‬‬
‫‪ˆ i dσ‬‬
‫ˆ ‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪div (ϕi X) dV‬‬
‫‪i=1 ∂Ω‬‬
‫ˆ ‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1 Ω‬‬
‫ומלינאריות נקבל כי‪:‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ϕi , n‬‬
‫‪ˆ dσ‬‬
‫‪ˆ *X‬‬
‫‪N‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪dV‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫!‬
‫‪ϕi X‬‬
‫‪N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪div‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫כלומר קיבלנו את מה שרצינו‪:‬‬
‫‪hϕi , n‬‬
‫‪ˆ i dσ‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪div (ϕi X) dV‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫ממשפט הדיברגנץ נובעת מייד אינטגרציה בחלקים‪.‬‬
‫מסקנה ‪2.2.5‬‬
‫‪f · g hX, n‬‬
‫‪ˆ i dσ‬‬
‫ˆ‬
‫‪f g · divXdV +‬‬
‫ˆ‬
‫‪f (Xg) dV −‬‬
‫ˆ‬
‫‪(Xf ) gdV = −‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪hY, n‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגדיר ‪ Y = f · g · X‬שדה חדש‪ .‬אנו יודעים כי‪ˆ i dσ :‬‬
‫´‬
‫= ‪divY dV‬‬
‫´‬
‫‪ .‬נרצה לשאול מה זה‪?div (ϕX) :‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫)‪∂ (ϕa) ∂ (ϕb‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪= ϕdivX + (∇ϕ, X‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫= )‪div (ϕX‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪divY = f g · divX + h∇ (f g) , Xi = f g · divX‬‬
‫) ‪hf ∇g + g∇f, Xi = f g · divX + f h∇g, Xi + g h∇f, Xi = f g · divX + f (Xg) + g (Xf‬‬
‫‪20‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ .2.2‬ערכים עצמיים של הלפלאסיאן‬
‫נציב ונקבל את אינטגרצייה בחלקים‪.‬‬
‫נכון לעכשיו לא נוכיח את המשפט למימד ‪ ,3‬אולי בהמשך‪.‬‬
‫נזכור כי ראינו את נוסחת גרין עבור )‪) u, v ∈ C ∞ (Ω‬מסקנה מאינטגרציה בחלקים(‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪∂u‬‬
‫‪vdσ‬‬
‫‪(∆u) vdV = − h∇u, ∇vi dV +‬‬
‫‪∂n‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪dσ‬‬
‫‪∂n‬‬
‫ˆ‬
‫‪u‬‬
‫ˆ‬
‫‪h∇u, ∇vi dV +‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪u (∆v) dV = −‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם ‪ 0 = v |∂Ω = u |∂Ω‬אז‪:‬‬
‫‪h∇u, ∇vi dV‬‬
‫ˆ‬
‫‪(∆u) vdV = −‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪u∆vdV‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫כלומר ∆ הוא אופרטור סימטרי במרחב )‪ C0∞ (Ω‬כאשר )‪ C0∞ (Ω‬הן פונקציות ב )‪ C ∞ (Ω‬עם תומך קומפקטי ב ‪.Ω‬‬
‫נשים לב כי במקרה זה‪.∆ : C0∞ (Ω) → C0∞ )Ω :‬‬
‫´‬
‫המכפלה הפנימית ‪.hf, gi = f gdV‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נשים לב כי ∆‪ −‬הוא אופרטור חיובי ממש )כלומר ‪ hT u, ui > 0‬לכל ‪ (u‬לכל ‪ .u 6= 0‬למה?‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫}‪u ∈ C0∞ (Ω) h−∆u, ui |{z‬‬
‫=‬
‫‪k∇uk dV ≥ 0‬‬
‫נוסחת גרין‬
‫ומכיוון ש )‪ u ∈ C0∞ (Ω‬נקבל שזה יוצא ‪ 0‬רק מתי ש‪) u = 0‬אחרת התומך לא יהיה קומפקטי(‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫אם כן‪ −∆ ,‬הוא אופקטור סימטרי‪ ,‬חיובי‪ .‬לכן הע״ע הם חיוביים‪ 0 < h−∆ϕ, ϕi = hλϕ, ϕi = λ kϕk .‬ולכן ‪.λ > 0‬‬
‫הערה ‪ ∆ 2.2.6‬לא אופרטור רציף‪.‬‬
‫אם כן‪ ,‬קיים בסיס אורתונורמלי של פונקציות עצמיות ∞ ‪) C‬לפי הכללה של המשפט על אופרטורים סימטריים ‪ T : V → V‬כאשר ‪V‬‬
‫מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי( כאשר ‪ .ϕk |∂Ω = 0‬ומתקיים ‪.0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ . . .‬‬
‫נזכיר את עקרון הוריאצייה ‪ T : V → V‬סימטרי אזי‪:‬‬
‫‪hT v, vi‬‬
‫‪hv, vi‬‬
‫‪λ1 = inf‬‬
‫‪v6=0‬‬
‫ובמקרה שלנו‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k∇ϕk dV‬‬
‫´‬
‫‪ϕ2 dV‬‬
‫‪Ω‬‬
‫´‬
‫‪Ω‬‬
‫‪2‬‬
‫‪min‬‬
‫‪ϕ 6= 0‬‬
‫)‪ϕ ∈ C ∞ (Ω‬‬
‫‪ϕ |∂Ω = 0‬‬
‫‪k∇ϕk dV‬‬
‫´‬
‫=‬
‫‪ϕ2 dV‬‬
‫‪Ω‬‬
‫´‬
‫‪Ω‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪ϕ 6= 0‬‬
‫)‪ϕ ∈ C0∞ (Ω‬‬
‫‪h−∆ϕ, ϕi‬‬
‫=‬
‫‪hϕ, ϕi‬‬
‫וכמו כן‪ ,‬נקבל מעקרון הוריאציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k∇ϕk dV‬‬
‫´‬
‫‪ϕ2 dV‬‬
‫‪Ω‬‬
‫´‬
‫‪Ω‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪ϕ∈L‬‬
‫‪ϕ 6= 0‬‬
‫המנה בתוך הסופרימום נקראת מנת ‪.Rayleigh‬‬
‫‪21‬‬
‫‪inf‬‬
‫)‪L ⊂ C0∞ (Ω‬‬
‫‪dim L = k‬‬
‫= ‪λk‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪ϕ 6= 0‬‬
‫)‪ϕ ∈ C0∞ (Ω‬‬
‫= ‪λ1‬‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ 2.3‬משפט קורנט‬
‫משפט מסביבות ‪(Courant) 1920‬‬
‫משפט ‪ 2.3.1‬משפט קורנט‬
‫תהא ‪ ϕk‬הפונקציה העצמית ה‪k‬־ית של ∆‪ .−‬כלומר‪:‬‬
‫‪−∆ϕk = λk ϕk‬‬
‫‪ϕk |∂Ω = 0‬‬
‫(‬
‫נגדיר תחום נודלי )‪ nodal domains‬־ הקווים נקראים ‪ (nodal lines‬כרכיב קשירות של }‪.{ϕk 6= 0‬‬
‫מספר התחומים הנודליים של ‪ ϕk‬הוא לכל היותר ‪.k‬‬
‫הערה ‪ 2.3.2‬אם יש ריבוי ‪ λ2 = λ3‬עם ‪ 2‬פונקציות עצמיות שונות ‪ .ϕ1 , ϕ2‬אז מספר התחומים הנודליים של ‪ ϕ2‬הוא לכל היותר ‪. 3‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ש‪ ϕ‬פונקצייה עצמים עם ערך עצמי ‪ .λ‬ויש לה ‪ k‬תחומים נודליים‪ .‬צריך להראות ש‪.λk ≤ λ :‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫(‬
‫‪ϕ (x) x ∈ Ω1‬‬
‫= )‪ψ1 (x‬‬
‫‪0‬‬
‫אחרת‬
‫נבחין כי ‪ ψ1‬רציפה ב ‪) Ω‬אבל לא חלקה! היא לא גזירה בשפה של ‪ ...Ω1‬נתעלם מזה כרגע(‪.‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬נגדיר‪:‬‬
‫(‬
‫‪ϕ (x) x ∈ Ωi‬‬
‫= )‪ψi (x‬‬
‫‪0‬‬
‫אחרת‬
‫ואז המרחב שלנו יהיה‪ . L = span {ψ1 , . . . , ψk } :‬נשים לב כי לכל ‪ i 6= j‬מתקיים ‪ .ψi ⊥ψj‬וכמו כן‪ ,‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪−∆ψi = λψi‬‬
‫ב ‪ .Ωi‬ובנוסף מתקיים ‪ .ψi |∂Ωi = 0‬והמסקנה היא ש ‪ ψi‬היא פונקצייה עצמית של הלפלאסיאן בתחום ‪ .Ωi‬עם ערך עצמי ‪ .λ‬נחשב‬
‫את מנת ‪:Rayleigh‬‬
‫´‬
‫´‬
‫´‬
‫‪2‬‬
‫‪k∇ψi k2 dV‬‬
‫‪(∆ψi ) ψi dV‬‬
‫‪k∇ψi k dV‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪´ 2‬‬
‫‪= i ´ 2‬‬
‫‪=− i ´ 2‬‬
‫‪=λ‬‬
‫‪ψi dV‬‬
‫‪ψi dV‬‬
‫‪ψi dV‬‬
‫‪Ωi‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ωi‬‬
‫תהא ‪ ψ ∈ L‬פונקצייה כלשהי‪ .‬אזי‪:‬‬
‫‪ψ = a1 ψ1 + . . . + an ψn‬‬
‫מה ניתן להגיד על ‪ ?ψ‬נחשב את הגרדיאנט של ‪ .ψ‬כאשר ‪ x ∈ Ωi‬נקבל כי‪:‬‬
‫)‪∇ψ (x) = ai ∇ψi (x‬‬
‫ולכן ב ‪ Ωi‬מתקיים כ )‪.k∇ψk2 (x) = a2i k∇ψi k2 (x‬‬
‫‪ψ 2 dV‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪ψi2 dV = λ‬‬
‫ˆ‬
‫‪a2i · λ‬‬
‫‪Ωi‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪k∇ψi k‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ωi‬‬
‫‪22‬‬
‫‪a2i‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪k∇ψk dV‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫כלומר קיבלנו כי לכל ‪ ψ ∈ L‬מתקיים שמנת ‪ Rayleigh‬יוצאת ‪ .λ‬כלומר‪:‬‬
‫‪k∇ψk2 dV‬‬
‫´‬
‫‪=λ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Ω ψ dV‬‬
‫´‬
‫‪Ω‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k∇ψk dV‬‬
‫´‬
‫‪=λ‬‬
‫‪ψ 2 dV‬‬
‫‪Ω‬‬
‫´‬
‫‪Ω‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪ψ∈L‬‬
‫‪ψ 6= 0‬‬
‫אבל‪:‬‬
‫)‪sup Ray (ψ‬‬
‫‪ψ∈L‬‬
‫‪ψ 6= 0‬‬
‫‪inf‬‬
‫)‪L ⊂ C0∞ (Ω‬‬
‫‪dim L = k‬‬
‫לכן ‪.λk ≤ λ‬‬
‫‪23‬‬
‫= ‪λk‬‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫הערה ‪ ϕ 2.3.3‬הייתה פונקציה עצמית עם ערך עצמי ‪ λ‬ו‪ k‬תחומים נודלים‪.‬‬
‫וחילקנו את רכיבי הקשירות של התומך ל ‪Ωi‬־ים‪ .‬כמו כן‪ ,‬בנינו פונקציות‪:‬‬
‫(‬
‫‪ϕ (x) x ∈ Ωi‬‬
‫= ‪ψi‬‬
‫‪0‬‬
‫אחרת‬
‫‪ ψi‬רציפה‪ ,‬אב ללא גזירה‪.‬‬
‫בתוך ‪ Ωi‬מתקיים‪:‬‬
‫‪−∆ψi = λψi‬‬
‫‪ψi |∂Ωi = 0‬‬
‫(‬
‫‪ ψi‬היא פונקציה עצמית של ‪ Ωi‬ו‪ λ‬הוא הערך העצמי של ‪.Ωi‬‬
‫‪λ1 (Ωi ) ≤ λ‬‬
‫וכמו כן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫´‬
‫‪|∇f | dV‬‬
‫‪Ωi‬‬
‫´‬
‫= ) ‪λ1 (Ωi‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪≤λ‬‬
‫) ‪f ∈C0∞ (Ωi‬‬
‫‪f 2 dV‬‬
‫‪Ωi‬‬
‫לכל ‪ ε > 0‬קיימת‪:‬‬
‫) ‪fi ∈ C0∞ (Ωi‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪|∇fi | dV‬‬
‫‪´ 2‬‬
‫‪≤ λ+ε‬‬
‫‪fi dV‬‬
‫´‬
‫‪Ωi‬‬
‫‪Ωi‬‬
‫מצאנו ‪ k‬פונקציות ‪ fi ∈ C0∞ dV‬כך ש ‪ .supp fi ⊂ Ωi‬שהתומכים שלהם שונים ולכן הם פלתי תלויות לינארית‪ .‬נסמן‪:‬‬
‫)‪L = span {f1 , . . . , fk } ⊂ C0∞ (Ω‬‬
‫עכשיו הכל מוגדר כמו שצריך‪ ,‬אפשר לבדוק כי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪|∇f | dV‬‬
‫´‬
‫‪≤λ+ε‬‬
‫‪f 2 dV‬‬
‫‪Ω‬‬
‫´‬
‫‪Ω‬‬
‫‪sup‬‬
‫‪f ∈L‬‬
‫‪f 6= 0‬‬
‫ומעקרון הווריאציה ל ‪ λk‬מקבלים כי‪ .λk ≤ λ + ε :‬והטיעון הנ״ל נכול לכל ‪ ε > 0‬ולכן‪.λk ≥ λ :‬‬
‫טענה ‪2.3.4‬‬
‫כל פונקציה עצמית של ‪ λ1‬לא מתאפסת ב‪.Ω‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫מסקנה ‪2.3.5‬‬
‫ל ‪ λ1‬אין ריבוי‪ .‬כלומר ‪.λ2 > λ1‬‬
‫‪24‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ש ‪ ψ1 , ψ2‬שתי פונקציות עצמיות עם ערך עצמי ‪ .λ1‬ו ‪ ψ1 , ψ2‬בלתי תלויות לינאריות‪ .‬אפשר למצוא ‪ ψ1 , ψ2‬כאלה כך ש‬
‫‪ .ψ1 ⊥ψ2‬כלומר‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪ψ1 .ψ2 dV = 0‬‬
‫‪Ω‬‬
‫המסקנה היא ש ‪ ψ1 · ψ2‬מחליפה סימן )אחרת האינטגרל לא היה מתאפס(‪ .‬אבל אם ‪ ψ1‬ו ‪ ψ2‬לא מחליפות סימן אז גם ‪ ψ1 · ψ2‬לא‬
‫מחליפה סימן‪ .‬ולכן זו סתירה לטענה הקודמת‪.‬‬
‫מסקנה ‪2.3.6‬‬
‫‪ Ω ⊂ Rn‬תחום חסום‪ ϕ .‬פונקצייה עצמית ≤ ‪ 0‬ב‪.Ω‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−∇ϕ = λϕ‬‬
‫‪ϕ |∂Ω = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ϕ>0‬‬
‫אז ‪ ϕ‬היא פונקצייה עצמית ראשונה‪ .‬כלומר‪.λ = λ1 :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ב ‪ ϕ1‬את הפונקצייה העצמית של ‪ .λ1‬אם ‪ λ 6= λ1‬אז‪.ϕ⊥ϕ1 :‬‬
‫‪ϕ · ϕ1 dV = 0‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫ולכן ‪ ϕ‬מחליפה סימן‪ .‬סתירה להנחה‪ .‬ולכן ‪.λ = λ1‬‬
‫הערה ‪ 2.3.7‬נניח ‪ ψk , ψl‬פונקציות עצמיות של ‪ λk , λl‬בהתאמה ו ‪ λk 6= λl‬אז‪:‬‬
‫‪λl hψk , ψl i = hψk , ∆ψl i = h∆ψk , ψl i = hλk ψk , ψl i = λk hψk , ψl i‬‬
‫אבל ‪ λk 6= λl‬ולכן ‪.hψk , ψl i = 0‬‬
‫נבחין כי הוכחנו למעשה כי אם ‪ ϕ‬פונקצייה־עצמית עם ערך עצמי ‪ λk‬אז ל ‪ ϕ‬י יש לכל היותר ‪ k + m (λk ) − 1‬תחומים נודליים כאשר‬
‫) ‪ m (λk‬הוא הריבוי של ‪) λk‬כדאי לדעת כי ∞ < ) ‪ .( m (λk‬כעת נרצה להוכיח את המשפט בטענה חזקה יותר‪:‬‬
‫משפט ‪ 2.3.8‬משפט קורנט‬
‫ל ‪ ϕk‬יש לכל היותר ‪k‬־תחומים נודליים )גם במקרה של רבוי(‪.‬‬
‫ראשית נוכיח את הטענה‪:‬‬
‫טענה ‪2.3.9‬‬
‫אם ‪ Ω1 ⊂ Ω2‬אז‪) .λ1 (Ω1 ) ≥ λ1 (Ω2 ) :‬מונ׳ ביחס להכלה(‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪inf‬‬
‫) ‪Ray (f, Ω1‬‬
‫) ‪f ∈ Cc∞ (Ω1‬‬
‫‪f 6= 0‬‬
‫= ) ‪λ1 (Ω1‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪|∇f | dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Ω f dx‬‬
‫´‬
‫´‪Ω‬‬
‫=‪RayΩ (f ) :‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫נשים לב כי‪) Cc∞ (Ω1 ) ⊂ Cc∞ (Ω2 ) :‬המשכה ע״י אפס ל ‪.Ω2‬‬
‫כמו כן‪ ,‬אם ) ‪f ∈ Cc∞ (Ω1‬אז‪ Ray (f, Ω1 ) = Ray (f, Ω2 ) :‬לכן‪:‬‬
‫) ‪Ray (f, Ω2 ) = λ1 (Ω2‬‬
‫‪inf‬‬
‫) ‪f ∈Cc∞ (Ω2‬‬
‫≥ ) ‪Ray (f, Ω1‬‬
‫‪inf‬‬
‫) ‪f ∈Cc∞ (Ω1‬‬
‫= ) ‪λ1 (Ω1‬‬
‫זה לא נכון רק ל ‪ λ1‬אלא לכולן‪:‬‬
‫טענה ‪2.3.10‬‬
‫אם ‪ Ω1 ⊆ Ω2‬אז‪:‬‬
‫) ‪λk (Ω1 ) ≥ λk (Ω2‬‬
‫הערה ‪ 2.3.11‬אם )‪ L ⊂ Cc∞ (Ω‬תת מרחב‪ ,‬נסמן‪:‬‬
‫)‪sup Ray (f, Ω‬‬
‫‪f ∈L‬‬
‫‪f =0‬‬
‫= )‪Ray (L, Ω‬‬
‫הוכחה‪ :‬עקרון הווריאציה אמר כי‪:‬‬
‫) ‪Ray (L, Ω1‬‬
‫‪inf‬‬
‫) ‪L ⊂ Cc∞ (Ω1‬‬
‫‪dim L = k‬‬
‫= ) ‪λk (Ω1‬‬
‫באותו אופן כמו קודם )המשכה ע״י ‪ 0‬ב ‪ (Ω2‬נקבל כי‪:‬‬
‫) ‪λk (Ω1 ) ≥ λk (Ω2‬‬
‫משפט ‪2.3.12‬‬
‫אם ‪ Ω1 $ Ω2‬אז‪.λk (Ω1 ) > λk (Ω2 ) :‬‬
‫לפני שנוכיח את המשפט‪ ,‬נוכיח מקרה פשוט יותר של המשפט‪ .‬לשם כך‪ ,‬נרצה להבין תכונה נוספת של ‪.λk‬‬
‫נניח שיש לנו איזשהו תחום ‪ ,Ω‬נתבונן בשינוי סקאלה של התחום‪ .α · Ω :‬אז מהו‪?λk (α · Ω) :‬‬
‫טענה ‪2.3.13‬‬
‫)‪(Ω‬‬
‫‪1‬‬
‫‪α2 λk‬‬
‫= )‪.λk (αΩ‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪|∇f | dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪αΩ f dx‬‬
‫´‬
‫‪αΩ‬‬
‫´‬
‫נבצע החלפת משתנה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪α‬‬
‫= ‪ y‬ונקבל‬
‫‪dx‬‬
‫‪αn‬‬
‫=‬
‫‪inf‬‬
‫∞‬
‫)‪f ∈Cc (αΩ‬‬
‫= )‪λ1 (αΩ‬‬
‫= ‪) dy‬כאשר ‪ x‬הוא המימד(‬
‫)‪f˜ (y) := f (x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X ∂f‬‬
‫‪X ∂f‬‬
‫‪∂xj‬‬
‫‪∂f‬‬
‫˜‪∂ f‬‬
‫= )‪(y‬‬
‫· )‪(x‬‬
‫=‬
‫‪· αδi,j = α‬‬
‫)‪(x‬‬
‫‪∂yi‬‬
‫‪∂xj‬‬
‫‪∂yi‬‬
‫‪∂xj‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪26‬‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫ולכן ‪ ,‬נקבל כי‪:‬‬
‫∈‬
‫∈ ‪ y‬אם״ם ‪/ Ω‬‬
‫אם ‪/ Ω‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪α‬‬
‫‪ 2‬‬
‫˜ ‬
‫‪2‬‬
‫)‪∇f (y) = α2 |∇f | (x‬‬
‫∈ ‪ x‬לכן ‪ .f˜ (y) = f (x) = 0‬כלומר‪ supp f˜ ⊂ Ω :‬אם״ם ‪.supp f ⊂ αΩ‬‬
‫∈ ‪ x‬אם״ם ‪/ αΩ‬‬
‫אם״ם ‪/ αΩ‬‬
‫‪´ 2‬‬
‫‪f˜ (y) · α12 · αn dy‬‬
‫‪|∇f | dx‬‬
‫ ∇ ‪Ω‬‬
‫‪αΩ‬‬
‫´‬
‫= )‪λ1 (αΩ‬‬
‫‪inf‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪= inf‬‬
‫´‬
‫‪n‬‬
‫‪˜2‬‬
‫)‪f ∈Cc∞ (αΩ‬‬
‫‪f 2 dx‬‬
‫)‪f˜∈Cc∞ (Ω‬‬
‫‪αΩ‬‬
‫‪Ω f (y) α dy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪´ 2‬‬
‫˜‬
‫‪Ω ∇f (y) dy‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪= 2 λ1 (Ω‬‬
‫´‬
‫‪2‬‬
‫˜‬
‫‪α‬‬
‫‪f (y) dy‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪inf‬‬
‫∞‬
‫˜‬
‫‪f∈C‬‬
‫)‪c (Ω‬‬
‫הערה ‪ 2.3.14‬יש לחשוב על ‪ λ‬עם יחידות‬
‫אורך ∼ ‪ √1λ‬ובאמת זהו אורך הגל‪.‬‬
‫´‬
‫‪1‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬אורך‬
‫כיוון ש ‪ .∆u = λu‬לכן אם נכפול אורכים בלי ‪ α‬אז ‪ λ‬משתנה כמו‬
‫‪1‬‬
‫‪α2‬‬
‫‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫הערה ‪ 2.3.15‬הזזה של התחום לא תשנה אותו‪ ,‬כלומר‪.λk (Ω + x0 ) = λk (Ω) :‬‬
‫מסקנה ‪2.3.16‬‬
‫אם ‪ Ω1 ⊂ Ω2‬אז‪.λk (Ω1 ) > λk (Ω2 ) :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכל להניח ש ‪ 0 ∈ Ω1‬ואז קיים ‪ ε > 0‬כך ש ‪) (1 + ε) Ω1 ⊂ Ω2‬מקומפקטיות(‪.‬‬
‫אבל מהטענה נקבל כי‪:‬‬
‫) ‪(Ω1 ) = λk ((1 + ε) Ω1 ) ≥ λk (Ω2‬‬
‫‪2 λk‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(1 + ε‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪λk (Ω1 ) ≥ (1 + ε) λk (Ω2 ) > λk (Ω2‬‬
‫משפט ‪2.3.17‬‬
‫‪′‬‬
‫אם ‪ Ω′ $ Ω‬אז‪λk (Ω) < λk (Ω ) :‬‬
‫הוכחה‪ :‬נקבע איזשהו ‪ m‬טבעי‪ ,‬נמצא שרשרת ‪) Ω′ = Ω0 $ Ω1 $ Ω2 $ . . . $ Ωm = Ω‬כך שבין כל שתי קבוצות יהיה נקודת‬
‫פנים(‪.‬‬
‫תהיינה ‪ u0 , u1 , . . . , um‬פונקציות עצמיות הראשונות של ‪ Ω0 , Ω1 , . . . , Ωm‬בהתאמה‪ .‬נרחיב את ‪ u0‬ע״י אפס לפונקציה ‪ u˜0‬ב ‪Ωm‬‬
‫ובאופן דומה‪ ,‬נרחיב את כל הפונקציות עד ‪) .uk‬נבחין שהן לא יהיו חלקות‪ ,‬אבל כן רציפות‪.‬‬
‫‬
‫‪.u˜0 , . . . , u˜m ∈ C Ω‬‬
‫טענה ‪2.3.18‬‬
‫‬
‫‪ u˜0 , . . . , u‬בלתלי תלויות לינארית ב ‪.C Ω‬‬
‫‪˜m‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש במשפט ההמשכה היחידה‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.3.19‬אם יש לנו פונקציה אנליטית שמתאפסת על קבוצה פתוחה‪ ,‬אז אנו יודעים מפתיוח טיילור בנקודה של אפס‪ ,‬ולכן‬
‫הפולינום טיילור הוא אפס כי גם כל הנגזרות הוא אפס‪ .‬אבל הפונקציה היא אנליטית‪ ,‬לכן היא זהותית אפס‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫הערה ‪ 2.3.20‬אם פתרון של ‪ ∆u = λu‬מתאפס בקבוצה פתוחה אז הוא זהותית אפס‪.‬‬
‫זה משפט שקשה להוכיח‪ ,‬הוכיחו אותו סופית רק בשנות החמישים‪ .‬נבחן את זה במימד ‪ a, b ,u′′ + au′ + bu = 0 :1‬פונקציה‪.‬‬
‫אנו יודעים כי מהיחידות של משוואות דיפרנציאליות רגילות‪ ,‬בנקודה שבתחום של ‪ ,0‬גם הנגזרת מתאפסת וגם הערך של הפונקציה‪.‬‬
‫ולכן המשפט נובע ממשפט היחידות למשוואות דיפרנציאליות רגילות‪ .‬אבל במימד ‪ 2‬ומעלה‪ ,‬זה לא נכון לכל אופרטור דיפרנציאלים‬
‫חלקיים‪ ,‬אלא לאופרטורים אליפטיים‪ .‬שוב‪ ,‬זה משפט קשה יחסית‪ ,‬ולא נוכיח אותו‪.‬‬
‫נניח ש ‪˜m = 0‬‬
‫‪αm u‬‬
‫‪ α0 u˜0 + . . . + αm u‬ו‪ .αm 6= 0 :‬נביט ב‪ .Ωm \Ωm−1 :‬כל הפונקציות מתאפסות פרט לאחרונה‪ .‬נקבל‪˜m = 0 :‬‬
‫‪ .um = u‬ולכן נקבל כי ‪ u˜m ≡ 0‬ממשפט ההמשכה היחידה‪ ,‬ולכן ניתן‬
‫ב ‪ αm = 0 .Ωm \Ωm−1‬או ‪ u˜m = 0‬ב ‪ ,Ωm \Ωm−1‬ואז ‪˜m‬‬
‫לקצר את ההשלמה הנ״ל ולקבל כי‪:‬‬
‫‪α0 u˜0 + . . . + αm−1 u‬‬
‫‪˜m−1 ≡ 0‬‬
‫וממשיכים באינדוקציה‪.‬‬
‫‬
‫˜{ ‪ .L = span‬ונחשב את מנות ‪:Rayleigh‬‬
‫‪u0 , . . . , u‬‬
‫נביט בתת־מרחב ‪˜m } ⊂ C Ω‬‬
‫) ‪λ1 (Ω0‬‬
‫) ‪λ1 (Ω1 ) ≤ λ1 (Ω0‬‬
‫˜( ‪Ray‬‬
‫= ) ‪u0‬‬
‫˜( ‪Ray‬‬
‫= ) ‪u1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪λ1 (Ωm ) ≤ λ1 (Ω0‬‬
‫˜( ‪Ray‬‬
‫= ) ‪um‬‬
‫‪ .f = α0 u‬נעריך את ) ‪ .Ray (f‬בתור התחלה נחשב‪:‬‬
‫יהא ‪˜0 + . . . + αm u˜m ∈ L‬‬
‫ˆ‬
‫‪u˜i u‬‬
‫= ‪˜j dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪ui uj dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪αi αj‬‬
‫‪X‬‬
‫‪α2m u2m dx + 2‬‬
‫‪i<j‬‬
‫‪Ωi‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪α21 u21 dx + . . . +‬‬
‫‪Ωm‬‬
‫כעת נחשב את האינטגרל של הגראדיאנט‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪αi αj h∇ui , ∇uj i dx‬‬
‫‪Ωi‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i<j‬‬
‫‪+‬‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫‪αi αj‬‬
‫‪α0 u‬‬
‫‪˜20 + . . . + α2m u˜2m dx + 2‬‬
‫‪i<j‬‬
‫‪α20 u20 dx‬‬
‫‪Ω1‬‬
‫‪|∇um |2 dx + 2‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪f 2 dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω0‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪|∇u0 |2 dx + . . . + α2m‬‬
‫‪Ωm‬‬
‫‪|∇f |2 dx = α20‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω0‬‬
‫כעת נשתמש באינטגרציה בחלקים‪ .‬נבחין כי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪✯0‬‬
‫✟✟ ‪∂ul‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(∆ul ) ul dx +‬‬
‫‪ul dσ = λ1 (Ωl ) ul dx ≤ λ1 (Ω0 ) u2l dx‬‬
‫✟‬
‫✟∂‬
‫‪n‬‬
‫ˆ‬
‫✟‬
‫‪Ωl‬‬
‫‪Ωl‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪✟l‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫‪|∇ul | dx = −‬‬
‫‪Ωl‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ωl‬‬
‫הערה ‪ 2.3.21‬הרי ‪ ul‬מתאפס על השפה‪.‬‬
‫וגם על המכפלת‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪✯0‬‬
‫✟ ‪∂uj‬‬
‫✟✟ ‪ui‬‬
‫‪dσ = λ1 (Ωj ) · ui uj dx‬‬
‫‪✟∂ n‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫✟✟‬
‫ˆ‬
‫‪i‬‬
‫‪ui (∆uj ) dx +‬‬
‫ˆ‬
‫‪h∇ui , ∇uj i dx = −‬‬
‫‪Ωi‬‬
‫‪i‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ωi‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪ui uj dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ωi‬‬
‫) ‪αi αj λ1 (Ωj‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i<j‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪u2l ds‬‬
‫ˆ‬
‫) ‪α2l λ1 (Ωl‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪Ωl‬‬
‫‪28‬‬
‫=‬
‫‪|∇f |2‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫למעשה‪ ,‬היינו צריכים להוכיח בשלילה‪ .‬נניח בשלילה כי )‪ λ1 (Ω′ ) = λ1 (Ω‬וזה גורר כי הוא יהיה שווה לכל האורך‪ .‬ממונוטוניות‬
‫ביחס להכלה נובע כי‪:‬‬
‫)‪λ1 (Ω′ ) = λ1 (Ω1 ) = . . . = λ1 (Ωm ) = λ1 (Ω‬‬
‫מהנחת השלילה נקבל כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪|∇f | = λ1 (Ω) ‬‬
‫‪αi αj ui uj dx = λ1 (Ω) f 2 dx‬‬
‫‪u2l dx + 2‬‬
‫‪α2l‬‬
‫‪Ω1‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪i<j‬‬
‫‪Ωl‬‬
‫‪l=0‬‬
‫‪Ω‬‬
‫כאמור‪:‬‬
‫‬
‫˜{ ‪L = span‬‬
‫‪u0 , . . . , u‬‬
‫‪˜m } ⊂ C Ω‬‬
‫וכי‪:‬‬
‫)‪∀f ∈ L, Ray (f ) = λ1 (Ω) ⇒ λm+1 (Ω) ≤ λ1 (Ω‬‬
‫מעקרון הוריאצייה‪ .‬מצד שני‪ ,‬אנו יודעים כי ∞ →‪ ,λm −‬לכן נקבל סתירה‪ .‬כלומר‪λ1 (Ω′ ) > λ1 (Ω) :‬‬
‫∞→‪m‬‬
‫הערה ‪ 2.3.22‬צריך להמשיך את זה‪ ,‬הרעיון היה להראות כי ) ‪ Ray (L, Ω) ≤ λ1 (Ω0‬מצד שני‪ ,‬מעקרון הווריאציה ≤ ) ‪λm+1 (Ω0‬‬
‫) ‪ Ray (L, Ω) ≤ λ1 (Ω0‬נבחר ‪ m‬כזה כך ש ) ‪ λm+1 (Ω) > λ1 (Ω0‬קיים ‪ m‬כזה כי‪.λm (Ω) −→ ∞ :‬‬
‫∞→‪m‬‬
‫הערה ‪ 2.3.23‬למעשה יש לנו טעות בניסוח של המשפט‪ ,‬למעשה הוכחנו‪ Ω′ ⊂ Ω :‬וגם ∅ = ‪ Ω\Ω′‬אז )‪.λ1 (Ω′ ) > λ1 (Ω‬‬
‫הערה ‪ 2.3.24‬בהוכחה האחרונה למעשה רימינו‪ ,‬כי הפונקציות שלנו לא היו חלקות‪ .‬ייתכן אפילו ש ‪ Ω′‬הוא עם שפה מכוערת‪.‬‬
‫ולכן אנחנו לא באמת יכולים להשתמש באינטגרציה בחלקים במקרה כזה‪ .‬למה אנחנו כן יכולים?‬
‫מכיוון שהיא נכונה על ‪ Ω‬עם שפה כלשהי אם מניחים בנוסף שאחת הפונקציות‪.u ∈ Cc∞ (Ω) :‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪− u‬‬
‫‪· vdx‬‬
‫=‬
‫‪dx‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪u‬עם תומך קומפקטי‬
‫‪Ω‬‬
‫ולכן האינטגרציה בחלקים עדיין נכונה‪ ,‬לא משנה כמה מכוערת השפה‪.‬‬
‫‪2.3.1‬‬
‫מרחב סובולב‬
‫נרצה לדבר קצת על מרחב סובולב )‪ .H01 (Ω‬מדובר במרחב הפונקציות )‪) C0∞ (Ω‬חלקות המתאפסות על השפה(‪ ,‬עם מכפלה פנימית‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪hf, giH = f gdx + h∇f, ∇gi dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫נשלים את ∞‪ Cc‬ביחס למכפלה הפנימית זאת‪ ,‬נקבל מרחב הילברט )‪.H01 (Ω‬‬
‫אפשר להראות שכל פונקצייה עצמית שייכת ל)‪) H01 (Ω‬כל פונקצייה ששייכת ל ‪Ω‬‬
‫‪( L‬‬
‫‪fn →2 f‬‬
‫‪L‬‬
‫‪∇fn →2 ∇f‬‬
‫כאשר ) ‪.fn ∈ Cc∞ (Rn‬‬
‫‪29‬‬
‫‬
‫‪ C 1‬ומתאפסת על ‪ ∂Ω‬נמצאת גם ב ‪.H01‬‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫עקרון הוריאצייה נכון גם בנוסח הבא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪|∇f | dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Ω f dx‬‬
‫´‬
‫´‪Ω‬‬
‫= ‪λ1‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪f 6= 0‬‬
‫)‪f ∈ H01 (Ω‬‬
‫כאשר )‪.L ⊂ H01 (Ω‬‬
‫אם )‪ u ∈ H01 (Ω‬ו‪) v ∈ C ∞ (Ω) :‬לא עם תומך קומפקטי בהכרח( אז‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪∂v‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪vdx = − u‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫כיוון שאפשר לבחור‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪Cc∞ (Ω) ∋ un‬‬
‫‪∂un‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪→2 u‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪L‬‬
‫‪→2‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫עבור ‪ un‬אפשר לכתוב‪:‬‬
‫‪∂v‬‬
‫‪∂un‬‬
‫‪vdx = − un‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫| } ‪| {z‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫ˆ‬
‫‪∂v‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪u ∂x‬‬
‫‪i‬‬
‫´‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪vdx‬‬
‫‪→−‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫´‬
‫‪→ Ω‬‬
‫‪ 2.3.1.1‬הערה קטנה על מרחב סובולב בשביל משה‬
‫דרך אחרת להגדיר את מרחב סובולב‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪∈ L2‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫| ‪f ∈ L2‬‬
‫במובן החלש‬
‫מה זה במובן החלש? נניח שיש לנו נגזרת אמיתית אז‪:‬‬
‫‪∂ϕ‬‬
‫‪∂xi dx‬‬
‫‪f‬‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪˜1‬‬
‫‪H‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪ϕdx = −‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫כאשר )‪.ϕ ∈ Cc∞ (Ω‬‬
‫‪∂ϕ‬‬
‫‪ Ω gϕdx = − Ω f ∂x‬לכל ‪.ϕ‬‬
‫)‪ g ∈ L2 (Ω‬תקרא נגזרת חלשה בכיוון ‪ xi‬של ‪ f‬אם‪dx :‬‬
‫‪i‬‬
‫´‬
‫´‬
‫דוגמה ‪2.3.25‬‬
‫)‪f (x) ≡ |x| ∈ H 1 (R‬‬
‫נגזרת חלשה היה הפונקציה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x≥0‬‬
‫‪−1 x < 0‬‬
‫כמו כן‪.H01 = Cc∞ ⊂ H 1 :‬‬
‫‪30‬‬
‫(‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ 2.3.2‬סיום הוכחת משפט קורנט‬
‫תהי ‪ ϕ‬פונקציה עצמית עם ערך עצמי ‪ .λk‬נייח של‪ ϕ‬יש )‪ (k + 1‬תחומים נודליים ‪ .Ω1 , Ω2 , . . . , Ωk+1‬יהא ‪Ω′ = Ω1 ∪ Ω2 ∪ . . . ∪ Ωk‬‬
‫)הורדנו את ‪ ,k + 1‬ניתן לעשות את זה בצורה כזאת כך ש ‪ Ω′‬יהיה קשיר(‪ .‬ראינו כי‪ .λk (Ω′ ) > λk (Ω) :‬מצד שני‪ ,‬מעקרון הווריאציה‬
‫כפי שראינו בגרסה החלשה של משפט קורנט‪ .λk (Ω′ ) ≤ λk (Ω) :‬וזה מסיים את משפט קורנט‪.‬‬
‫‪2.3.3‬‬
‫דוגמאות‬
‫דוגמה ‪2.3.26‬‬
‫)‪u′′ (x) = −λu (x‬‬
‫בקטע ]‪ [0, l‬עם תנאי שפה‪ .u (0) = u (l) = 0 :‬ראינו כי יש לנו סדרה של ערכים עצמיים‪:‬‬
‫‪.un (x) = sin nπx‬‬
‫‪l‬‬
‫למשל‪ ,‬עבור ‪ l = π‬נקבל כי‪:‬‬
‫‪n2 π 2‬‬
‫‪l2‬‬
‫= ‪ λn‬כאשר‪ .n = 1, 2, . . . :‬ו‪:‬‬
‫)‪un (x) = sin (nx‬‬
‫∞‬
‫‪ {sin (nx)}n=1‬היא מערכת אורתוגונלית שלמה עבור ‪.‬‬
‫למעשה בדוגמה זו נכון שלכל )]‪g ∈ C ([0, π‬כך ש ‪ g (0) = g (π) = 0‬ולכל ‪ ε > 0‬קיימת } ‪f ∈ span {un‬כך ש‪sup |g (x) − f (x)| < :‬‬
‫✟‬
‫✠‬
‫]‪x∈[0,π‬‬
‫‪.ε‬‬
‫תרגיל‪ :‬שאלה זו נמצאת בתרגיל‪.‬‬
‫תרגיל נוסף‪ ,‬להראות כי השורה האחרונה )הקירוב בנורמת סופרימום( גורר את הגדרה ‪ 2‬מההגדרה הבאה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.3.27‬המערכת שלמה אם )מספר הגדרות(‪:‬‬
‫☛‬
‫✡‬
‫‪ .1‬לכל ]‪ f ∈ ℓ2 [0, π‬כך ש ‪ f ⊥un‬לכל ‪ n‬מתקיים ‪) f = 0‬כלומר‪ ,‬אם הפונקציה היחידה הניצבת לכל ‪ un‬היא ‪ .(0‬כאשר המכפלה‬
‫הפנימית היא‪:‬‬
‫‪f (t) g (t) dt‬‬
‫‪ˆπ‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪hf, gi‬‬
‫∞‬
‫‪ .2‬המערכת שלמה אם לכל ‪ ε > 0‬ולכל ]‪ g ∈ ℓ2 [0, π‬קיימת ‪ f ∈ span {un }n=1‬כך ש‪.kg − f kℓ2 < ε :‬‬
‫דוגמה ‪ .Ω = [0, a] × [0, b] 2.3.28‬נרצה לפתור‪:‬‬
‫‪uxx + uyy = −λu‬‬
‫‪u |∂Ω ≡ 0‬‬
‫(‬
‫ב‪ .Ω‬לא לכל ‪ λ‬קיים פתרון טריוויאלי‪.‬‬
‫נחפש פונקציות עצמיות מהצורה‪:‬‬
‫)‪u (x, y) = f (x) g (y‬‬
‫נציב במשוואה ונקבל‪:‬‬
‫)‪f ′′ (x) · g (y) + f (x) g ′′ (y) = −λf (x) g (y‬‬
‫נחלק ב)‪:f (x) g (y‬‬
‫)‪f ′′ (x) g ′′ (y‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= −λ‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪g (y‬‬
‫‪31‬‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫מכאן נובע שקיימים קבועים ‪ α, β‬כך ש‪:‬‬
‫)‪f ′′ (x‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫)‪g ′′ (y‬‬
‫)‪g (y‬‬
‫‪= −α‬‬
‫‪= −β‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיבלנו שתי משוואות דיפרנציאליות רגילות‪:‬‬
‫‪f ′′ (x) + αf (x) = 0‬‬
‫‪f (0) = f (a) = 0‬‬
‫(‬
‫בקטע ]‪ .[0, a‬ו‪:‬‬
‫‪g ′′ (x) + βg (x) = 0‬‬
‫‪g (0) = g (b) = 0‬‬
‫(‬
‫בקטע ]‪.[0, b‬‬
‫√‬
‫√‬
‫ראינו כי במקרה זה יש פתרון לא טריוויאלי )עבור הראשונה) רק עבור ‪ α > 0‬כאשר‪ f (x) = sin αx :‬כאשר ‪ α · a = nπ‬ו‪n‬‬
‫שלם‪ .‬ולכן‪:‬‬
‫‪nπ‬‬
‫‪n2 π 2‬‬
‫‪⇒α= 2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫באופן דומה‪:‬‬
‫‪m2 π 2‬‬
‫‪b2‬‬
‫=‪α‬‬
‫√‬
‫= ‪ β‬ונקבל כי‪:‬‬
‫‪mπx‬‬
‫‪nπy‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪um,n (x, y) = sin‬‬
‫פונקציות עצמיות עבור ‪ m, n = 1, 2, 3, . . .‬כאשר הערך העצמי המתאים הוא‪:‬‬
‫למה אילו הן פורשות את כלל האפשרויות?‬
‫‬
‫‪n2‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪a2‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬בריבוע ‪ .a = π = b‬האם יש‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪m2 + n2 = (m′ ) + (n′‬‬
‫פתרונות פרט לחילוף?‬
‫‪22 + 32 = 32 + 22‬‬
‫נעביר אגפים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m2 − (m′ ) = (n′ ) − n2‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫)‪(m − m′ ) (m + m′ ) = (n′ − n) (n′ + n‬‬
‫‪32‬‬
‫‬
‫‪.λm,n = π 2‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪m‬‬
‫‪m′‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪n′‬‬
‫‪n‬‬
‫הוא פתרון‪ .‬כלומר נקבל כי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9 +2 =7 +6‬‬
‫וזו דוגמה לא טריוויאלית‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪λ2,9 = λ6,7 = λ9,2 = λ7,6 = 85‬‬
‫וגם‪:‬‬
‫‪λ2,3 = λ3,2 = 18‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫)‪= sin (2x) sin (3y‬‬
‫)‪= sin (3x) sin (2y‬‬
‫‪ϕ2,3‬‬
‫‪ϕ3,2‬‬
‫נשים לב כי יש לנו פונקציה עצמית שלא מופיעה ברשימה הנ״ל‪ .‬לדוגמה ‪ ϕm,n + ϕn,m‬היא פונקציה עצמית שמתאימה ל ‪λm,n‬‬
‫)במקרה של ‪ .(a = b‬וגם במקרה של ‪ aϕ2,9 + bϕ6,7 :a 6= b‬פונקציה עצמית‪.‬‬
‫מאחר ש } ‪ {um,n‬היא מערכת שלמה ולכן‪ ,‬אין פונקציות עצמיות שניצבות לכל ה ‪ . um,n‬במילים אחרות‪ ,‬כל פונקצייה עצמית ניתנת‬
‫ע״י‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪am,n um,n‬‬
‫‪m, n‬‬
‫‪λm,n = λ‬‬
‫הערה ‪ 2.3.29‬אם ‪ λ1 6= λ2‬נסמן ‪ W λ1‬המרחב העצמי של ‪ λ1‬אז‪ .W λ1 ⊥W λ2 :‬נניח ש ‪ v1 ∈ W λ1‬ו‪ v2 ∈ W λ2 :‬אז‪av1 + bv2 :‬‬
‫הוא לא וקטור עצמי‪ .‬מכיוון ש‪:‬‬
‫‪T (av1 + bv2 ) = aλ1 v1 + bλ2 v2‬‬
‫הערה ‪ 2.3.30‬המשפט )הכללי( נכון עבור ‪ Ω‬עם שפה חלקה ) ∞ ‪.(∂Ω ∈ C‬‬
‫נשים לב שבמקרה שלנו השפה של המלבן איננה חלקה בל הפונקציות העצמיות הן ‪.C‬‬
‫במקרה של המלבן זה מקרי שהפונקציות העצמיות חלקות‪ .‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬במקבילית‪ ,‬הפונקציות העצמיות אפילו לא שייכות ל ‪) C 1 Ω‬הן נדפקות קרוב לשפה‪.‬‬
‫∞‬
‫הערה ‪ 2.3.31‬האם ניתן לשחזר את ‪ a, b‬מהערכים העצמיים?‬
‫‬
‫‪m2‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪b2‬‬
‫‬
‫‪λm,n = π 2‬‬
‫נניח ‪ .a < b‬נתבנון בשני הערכים העצמיים הקטנים ביותר‪ ,‬אפשר יהיה לשחזר את ‪.a, b‬‬
‫‪33‬‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫הערה ‪ 2.3.32‬מה קורה במימד ‪ ?3‬האם אפשר לשחזר את ‪ a‬ו‪ ?b‬כן‪.‬‬
‫המימד הראשון שאי אפשר לשחזר בו הוא במימד ‪ .16‬במימד זה יש ‪ 2‬תיבות איזוספקטרליות )תיבות שונות שהספקטרום שלהן זהה(‪.‬‬
‫גילה את זה ‪ Milnor‬בשנת ‪.66‬‬
‫בשנות ה‪ 90‬מצאו דוגמה ממימד ‪ 2‬שנראה בהמשך הקורס‪.‬‬
‫‪ 2.3.4‬דיסק‬
‫דיסק )עיגול היחידה( נחפש‪:‬‬
‫‪∆u = −λu‬‬
‫‪u |∂B = 0‬‬
‫(‬
‫נחפש פונקציות עצמיות מהצורה‪:‬‬
‫)‪u (r, θ) = R (r) Θ (θ‬‬
‫כאן אנו צריכים את הלפלאסיאן בקואורדינטות פולאריות‪.‬‬
‫‪∆u = uxx + uyy‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫)‪x = r cos (θ‬‬
‫)‪y = r sin (θ‬‬
‫(‬
‫נגדיר‪ .v (r, θ) := u (x, y) :‬נחשב את הנגזרת של ‪ v‬לפי ‪ .r‬לפי כלל השרשרת‪:‬‬
‫)‪vr (r, θ) = ux (x, y) cos θ + vy (sin θ‬‬
‫נגזור שוב לפי ‪:r‬‬
‫‪vrr (r, θ) = uxx · cos2 θ + 2uxy cos θ sin θ + uyy sin2 θ‬‬
‫כעת‪ ,‬נחשב את ‪:vθ‬‬
‫‪−ux r sin θ + uy r cos θ‬‬
‫‪(uxx (−r sin θ) + uxy r cos θ) (−r sin θ) + −ux r cos θ‬‬
‫‪+ [uyx (−r sin θ) + uyy (r cos θ)] r cos θ + −uy r sin θ‬‬
‫‪uxx r2 sin2 θ − 2r2 sin θ cos θuxy + uyy r2 cos2 θ − ux r cos θ − uy r sin θ‬‬
‫נרצה להסתכל על‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪vrr + vr + 2 vθθ = uxx + uyy‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫כלומר קיבלנו כי הלפלאסיאן בקואורדינטות פולריות הוא‪:‬‬
‫אם כן‪ ,‬עבור‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪r 2 vθθ‬‬
‫‪.∆v = vrr + 1r vr +‬‬
‫)‪v (rθ) = R (r) Θ (θ‬‬
‫‪34‬‬
‫= )‪vθ (r, θ‬‬
‫= )‪vθθ (r, θ‬‬
‫=‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪R′′ (r) · Θ (θ) + R′ (r) · Θ (θ) + 2 R (r) Θ′′ (θ) = −λR (r) Θ (θ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫נחלק ב)‪ R (r) Θ (θ‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪R′ (r‬‬
‫)‪Θ′′ (θ‬‬
‫)‪R′′ (r‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ 2‬‬
‫‪= −λ‬‬
‫)‪R (r‬‬
‫)‪rR (r) r Θ (θ‬‬
‫נכפול ב ‪ r2‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪R′′ (r) rR′ (r) Θ′′ (θ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= −λr2‬‬
‫)‪R (r‬‬
‫)‪R (r‬‬
‫)‪Θ (θ‬‬
‫‪r2‬‬
‫כלומר‪ ,‬שוב הפרדנו משתנים‪ ,‬לכן כל אחת מהפונקציות הנ״ל הן קבועות‪ .‬מכאן נובע שקיים קבוע ‪ α‬כך ש‪:‬‬
‫)‪Θ′′ (θ‬‬
‫‪= −α‬‬
‫)‪Θ (θ‬‬
‫וזו בדיוק אותה משוואה‪ ,‬רק עם תנאי שפה שונים‪ .‬אנו דורשים שהיא תהא מחזורית עם מחזור ‪ 2π‬כלומר‪:‬‬
‫(‬
‫)‪Θ′′ (θ) = −αΘ (θ‬‬
‫)‪Θ (0) = Θ (2π‬‬
‫☎‬
‫תרגיל‪ :‬להראות שקיים פתרון לא טריוויאלי רק עבור ‪.α > 0‬‬
‫✆‬
‫הפתרונות שנקבל הן‪:‬‬
‫ √‬
‫ √‬
‫‪Θ (θ) = A sin αθ + B cos αθ‬‬
‫אבל נדרוש שהם יהיו מחזוריים‪ .‬זה יקרה אם״ם‪:‬‬
‫‪α∈N‬‬
‫√‬
‫⇒ ‪α2π = 2πn‬‬
‫√‬
‫ולכן‪ α = n2 :‬עבור ‪ n‬טבעי‪ .‬כלומר נקבל כי‪:‬‬
‫)‪Θn (θ) = A sin (nθ) + B cos (nθ‬‬
‫אם כן‪ R ,‬מקיים את המשוואה‪:‬‬
‫‪R=0‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪r2‬‬
‫‬
‫‪r2 R′′ + rR′ + r2 λ −‬‬
‫כמו כן‪ ,‬אנו מדברים על דיסק היחידה עם דרישה של התאפסות על השפה‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫‪R (1) = 0‬‬
‫√‬
‫נבצע החלפת משתנים‪ .ρi = r λ :‬ונסמן‪:‬‬
‫)‪J (ρ) := R (r‬‬
‫‪35‬‬
‫✞‬
‫✝‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫הערה ‪ ρ 2.3.33‬בלי יחידות‪.‬‬
‫√‬
‫‪= J ′ (ρ) λ‬‬
‫‪= J ′′ (ρ) λ‬‬
‫)‪R′ (r‬‬
‫)‪R′′ (r‬‬
‫נקבל כי‪:‬‬
‫√‬
‫‬
‫‬
‫‪λ √✚ ′‬‬
‫‪n2 λ‬‬
‫✁‬
‫✚✚‬
‫‪′′‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪J‬‬
‫‪+‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪λJ‬‬
‫‪+‬‬
‫·‬
‫‪J =0‬‬
‫✁‬
‫✁‬
‫✚‬
‫‪ρ‬‬
‫‪ρ2‬‬
‫וכעת קיבלנו‪:‬‬
‫‪J =0‬‬
‫המשוואה עבור ‪ J‬נקראת משוואת ‪ Bessel‬עם פרמטר ‪.n‬‬
‫‬
‫‪n2‬‬
‫‪ρ2‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪J ′′ + 1 J ′ + 1 −‬‬
‫‪ρ‬‬
‫ √‬
‫‪J‬‬
‫‪λ =0‬‬
‫הערה ‪ 2.3.34‬עבור ‪ ρ‬מעוד גדול נבחין כי המשוואה זהה למשוואה של אוסילטור הרמוני‪.‬‬
‫אפשר לפתור את המשוואה בעזרת טורי חזקות‪ .‬קיים פתרון אחד שהוא חלק באפס‪ ,‬נקבל את הפתרון‪:‬‬
‫‬
‫‪r4‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ ...‬‬
‫)‪2 (2n + 2) 2 · 4 · (2n + 2) (2n + 4‬‬
‫‬
‫‪1−‬‬
‫‪rn‬‬
‫‪= n‬‬
‫!‪2 n‬‬
‫‪n+2k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪(−1)k‬‬
‫!)‪k! (n + k‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪Jn (r‬‬
‫‪k=0‬‬
‫נחשב את רדיוס התכנסות‪:‬‬
‫‪a2k+2‬‬
‫‪→0‬‬
‫‪a2k‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫√‬
‫‪k‬‬
‫‪ak → 0‬‬
‫)האי זוגיים שווים לאפס‪ ,‬הם הרי לא בפולינום(‬
‫ולכן‪ ,‬רדיוס ההתכנסות הוא ∞‪.‬‬
‫√‬
‫‪ λ‬הוא אפס של ‪ ,Jn‬נסמן את האפסים של ‪ Jn‬כך‪ .jn,k :‬הם כולם חיוביים )אנו מתעלמים מ )‪ (Jn (0‬ולכן‬
‫הראשון‪ ,‬ו ‪ jn,k‬הוא האפס החיובי ה ‪k‬־י של ‪ .Jn‬נקבל כי‪:‬‬
‫‪ jn,1‬הוא האפס החיובי‬
‫‪2‬‬
‫‪λ = jn,k‬‬
‫לכן‪ ,‬הפונקציה עצמית היא‪:‬‬
‫ √ ‬
‫))‪v (r, θ) = R (r) Θ (θ) = Jn r λ · Θ (θ) = Jn (jn,k · r) (A sin (nθ) + B cos (nθ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .λ = jn,k‬רואים ריבוע של הערכים העצמיים‪:‬‬
‫הערך העצמי המתאים הוא‪:‬‬
‫)‪Jn (jn,k r) cos (nθ‬‬
‫)‪Jn (jn,k r) sin (nθ‬‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫‪ .jn,k‬אם ‪ jn,k = jn′ ,k′‬אז יש ריבוי נוסף )זה לא קורה(‪.‬‬
‫מתאימים לערך העצמי‬
‫‪36‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ .2.3‬משפט קורנט‬
‫עבור ‪ n = 0‬אנו מקבלים רק ריבוי אחד‪:‬‬
‫)‪J0 (j0,k r‬‬
‫זוהי פונקציה עצמית אשר לא תלויה ב‪.θ‬‬
‫היא נראית כמו מעגלים סביב הראשית‪ ,‬המעגל הראשון יהיה ברדיוס‬
‫‪j0,1‬‬
‫‪jo,k‬‬
‫= ‪ .r‬ונקבל ‪ k‬מעגלים עליהם )‪ J0 (j0,k r‬מתאפסת‪.‬‬
‫נבחין כי הפונקציה )‪ J0 (j0,1 r‬לא מתאפסת בפנים העיגול‪ ,‬ולכן זו הפונקציה העצמית הראשונה‪.‬‬
‫ולכן‪ ,‬הערך העצמי ‪ λ1‬הוא האפס הראשון של פונקציית בסל ‪ 0‬בריבוע‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪λ1 = j0,1‬‬
‫נבחן את ‪ ,J1 (j1,1 r) cos θ sin θ‬נבחין כי יש אפס יחיד החוצה את התחום לשניים )למעשה זהו קוטר המקביל לציר ה‪(x‬‬
‫‪ J1 (j1,k ) sin θ‬גם כן כקו החוצה‪ ,‬וגם ‪ k‬מעגלים כאשר הראשון הוא ברדיוס‬
‫‪j1,1‬‬
‫‪j1,k‬‬
‫= ‪.r‬‬
‫‪( πn‬‬
‫ו‪ k‬מעגלים‪.‬‬
‫באופן כללי‪ Jn (jn,k r) sin (nθ) :‬נקבל ‪ n‬קווי קוטר המחלקים את העיגול )הזווית בניהם הן‬
‫איך נדע שאלה כל הפונקציות העצמיות? אפשר להראות שזו מערכת שלמה‪ ,‬אבל נעשה זאת בדרך אחר‪.‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪an (r) einθ‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪ϕ (r, θ‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫נקבע ‪ ϕ (r, θ) ,ϕr (θ) ,ϕrr (r, θ) ,r‬הן כולן פונקציות מחזוריות ב‪ θ‬לכן קיים פיתוח פורייה כנ״ל‪.‬‬
‫חייב להתקיים‪:‬‬
‫‪a′n (r) einθ‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫∞‪n−‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪a′′n (r) einθ‬‬
‫=‬
‫)‪ϕr (r, θ‬‬
‫)‪ϕrr (r, θ‬‬
‫∞‪−‬‬
‫אבל ‪ ϕ‬היא פונקציה עצמית לכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ϕrr + ϕr + 2 ϕθθ = −λϕ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪n2 an (r) einθ‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫‪ϕθθ = −‬‬
‫נציב במשוואה ונקבל‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‪n2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a′′n + an +λ − 2 an einθ = 0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫ ∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫לכן כל אחד מה ‪an‬־ים חייב לקיים את משוואת בסל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪∀n a′′n + a′n + λ − 2 an = 0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪37‬‬
‫‪ .2.4‬עקרון המקסימום החזק‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫‪ 2.4‬עקרון המקסימום החזק‬
‫משפט ‪2.4.1‬‬
‫נניח כי ‪ u) ∆u ≥ 0‬פונקציה תת־הרמונית( בתחום ‪ ,Ω‬אזי ‪ u‬לא יכולה לקבל מקסימום ב‪ Ω‬אלא אם כן ‪ u‬קבועה‪.‬‬
‫ראשית נראה שמכך אנחנו יכולים להסיק את המשפט הבא‪:‬‬
‫משפט ‪2.4.2‬‬
‫תהא ‪ u1‬הפונקציה העצמית הראשון ב ‪ Ω‬אזי ‪ u1 > 0‬ב‪.Ω‬‬
‫הערה ‪ 2.4.3‬במימד אחד‪ u′′ ≥ 0 :‬היא פונקציה קמורה‪ ,‬כמו פרבולה‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪∆u1 + λ1 u1 = 0‬‬
‫‪u1 |∂Ω ≡ 0‬‬
‫(‬
‫ממשפט קורנט‪) u1 ≥ 0 :‬מספר התחומים הנודלים הוא לכל היותר תחום נודלי ‪ , 1‬לכן נוכל להניח ‪ ,u1 ≥ 0‬אחרת נכפול ב ‪.(−1‬‬
‫‪ ,∆u1 = −λ1 u1 ≤ 0‬כלומר‪:‬‬
‫‪∆ (−u1 ) ≥ 0‬‬
‫כלומר ‪ −u1‬מקיימת את עקרון המקסימום החזק‪ ,‬כלומר‪ ,‬אם ‪ −u1‬מתאפסת ב‪ Ω‬אז ‪.−u1 ≡ 0‬‬
‫לכן‪ u1 < 0 ,‬ב ‪ Ω‬כלומר ‪ u1 > 0‬ב ‪.Ω‬‬
‫מסקנה נוספת ממשפט קורנט היא‪:‬‬
‫משפט ‪2.4.4‬‬
‫‪ λ1‬הוא עם ריבוי אחד‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אחרת אפשר למצוא ‪ ϕ1 , ϕ2‬פונקציות עצמיות עם ערך עצמי ‪ λ1‬ו ‪ ϕ1 ⊥ϕ2‬כלומר‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪ϕ1 ϕ2 dx = 0‬‬
‫‪Ω‬‬
‫מצד שני זה לא ייתכן כי ‪ ϕ1 > 0‬ו‪.ϕ2 > 0 :‬‬
‫כעת נוכיח את קריטריון המקסימום‪ :‬הוכחה‪ :‬נביט בפונקציית הממוצע על הספירה ברדיוס ‪, r‬כאשר ‪p ∈ Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫)‪u (y) dσr (y‬‬
‫= )‪Mp (r‬‬
‫) ‪Voln−1 (Sr‬‬
‫)‪S(p,r‬‬
‫כאשר )‪ S (p, r‬היא הספירה ברדיוס ‪.r‬‬
‫למשל במימד ‪: 2‬‬
‫‪v (r, θ) dθ‬‬
‫‪ˆ2π‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪v (r, θ) ✁rdθ‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ˆ2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪Mp (r‬‬
‫‪2π✁r‬‬
‫נרצה לחשב את הנגזרת של הממוצע הספרי‪ ,‬ובאופן פלא יופיע הלפלאסיאן‪.‬‬
‫‪oF‬חשב‪.Mp′ (r) :‬‬
‫תחילה נרשום את )‪ Mp (r‬בצורה קנונית‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪✟dθ‬‬
‫✟‬
‫✟ )‪u (rθ‬‬
‫‪rn−1‬‬
‫= )‪Mp (r‬‬
‫✘‬
‫✘‬
‫✘ · ‪σn−1‬‬
‫‪rn−1‬‬
‫)‪S(p,1‬‬
‫‪38‬‬
‫‪ .2.4‬עקרון המקסימום החזק‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫כאשר ‪ σn−1‬הוא שטח הפנים של כדור ‪ n‬מימדי ברדיוס ‪ .1‬ו)‪ ,θ ∈ S (p, 1‬כלומר ברדיוס ‪. 1‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫= )‪Mp (r‬‬
‫‪u (r, θ) dθ‬‬
‫‪σn−1‬‬
‫)‪S(p,1‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫) ‪θ = (θ1 , . . . , θn‬‬
‫ועם האילוץ‪:‬‬
‫‪θ12 + . . . + θn2 1‬‬
‫כעת נתבונן בנגזרת‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂i u‬‬
‫‪(rθ) θi dθ‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫הנגזרת של ‪u‬לפי המשתנה ‪i=1 i‬‬
‫)‪S(p,1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪σn−1‬‬
‫= )‪Mp′ (r‬‬
‫הערה ‪ 2.4.5‬אם‬
‫) ‪f (r, x1 , x) = u (rx1 , rx2‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪(x1 , x2 ) ∈ S 2‬‬
‫אז‪:‬‬
‫‪∂f‬‬
‫‪= (∂1 u) (rx1 , rx2 ) x1 + (∂2 u) (rx1 , rx2 ) x2‬‬
‫‪∂r‬‬
‫כעת נרצה להחזיר את האינטגרל לאינטגרל על רדיוס ‪ ,r‬נקבל‪:‬‬
‫‪xi‬‬
‫)‪dσr (x‬‬
‫‪r‬‬
‫)‪(∂i u) (x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫ˆ‬
‫}‪(∂i u) (rθ) θi rn−1 dθ |{z‬‬
‫=‬
‫ˆ‬
‫‪D‬‬
‫‪xE‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∇u (x) ,‬‬
‫= )‪dσr (x‬‬
‫‪r‬‬
‫| ‪|Sr‬‬
‫‪x=rθS(p,r) i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪σn−1 rn−1‬‬
‫)‪S(p,r‬‬
‫נשים לב שיש לנו כאן מכפלה פנימית‪:‬‬
‫‪h∇u, n‬‬
‫)‪ˆ i dσr (x‬‬
‫)‪S(p,r‬‬
‫מכיוון ש‬
‫‪x‬‬
‫‪r‬‬
‫ˆ‪ .‬וניתן לרשום גם כ‪:‬‬
‫הוא למעשה נורמל חיצוני לספירה‪ .‬ולכן ‪n = xr‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂u‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(x) dσr (x‬‬
‫=‬
‫| ‪|Sr‬‬
‫‪∂n‬‬
‫ˆ‬
‫)‪S(p,r‬‬
‫‪39‬‬
‫ˆ‬
‫)‪S(p,r‬‬
‫‪1‬‬
‫| ‪|Sr‬‬
‫=‬
‫‪ λ1 .2.5‬מינימלי\מקסימלי‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫אבל זה בדיוק מה שאנו מכירים מנוסחת גרין )משפט גאוס(‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂u‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(∆u) (y) dy‬‬
‫= )‪(x) dσr (x‬‬
‫‪∂n‬‬
‫ˆ‬
‫| ‪|Sr‬‬
‫)‪B(p,r‬‬
‫ˆ‬
‫)‪∂B(p,r‬‬
‫‪1‬‬
‫| ‪|Sr‬‬
‫=‬
‫קיבלנו כי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪(∆u) (y) dy‬‬
‫)‪B(p,r‬‬
‫‪1‬‬
‫| ‪|Sr‬‬
‫= )‪Mu′ (r‬‬
‫אם ‪ ∆u ≥ 0‬נקבל כי )‪ Mn (r‬פונקציה מונוטונית עולה )למעשה זהו משפט בפני עצמו(‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נשים לב כי )‪.Mn (r) −→ u (p‬‬
‫‪r→0‬‬
‫´‬
‫לכל ‪.r‬‬
‫כלומר נסיק כי אם ‪ ∆u ≥ 0‬אז )‪u (x) dσr (x) ≥ u (p‬‬
‫)‪S(p,r‬‬
‫ומכך נוכיח את עקרון המקסימום החזק‪ ,‬תהא ‪ x0 ∈ Ω‬כך ש )‪ u (x0 ) ≥ u (x‬לכל ‪ .x ∈ Ω‬נסמן ‪ .u (x0 ) = M‬נביט בקבוצה‬
‫} ‪ E .E = {u = M‬קבוצה סגורה‪ .‬כי ‪ u‬רציפה‪ .‬נראה ש‪ E‬פתוחה‪ ,‬תהא ‪ ,x1 ∈ E‬נביט בספירה ‪ .S (x1 , r) ⊂ Ω‬לכל )‪,y ∈ Sp (r, x‬‬
‫‪ u (y) ≤ M‬אם קיימת )‪ y0 ∈ Sp (x1 , r‬כך ש ‪ u (y) < M‬אז‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪u (y) dσr (y) < M‬‬
‫| ‪|Sr‬‬
‫)‪Sp (x,r‬‬
‫✥‬
‫אבל נקבל סתירה למשפט הערך הממוצע עבור פונקציות תת הרמוניות‪.‬‬
‫לכל )‪ .u (y) = M ,y ∈ S (x, r‬נקבל שבכל כדור )‪.u |B(x,r) = M ,Ω ⊃ B (x1 , r‬‬
‫כלומר ‪ E‬פתוחה‪ Ω .‬קשיר‪ ,‬לכן ‪.Ω = E‬‬
‫תרגיל‪ :‬להראות באופן ישיר כי‪:‬‬
‫‪vr (r, θ) dθ‬‬
‫✦‬
‫★‬
‫‪ˆ2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪vrr (ρ, θ) + vr (ρ, θ) + 2 vθθ (ρ, θ) dρdθ‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫הערה ‪ 2.4.6‬הערות לתרגיל‪ :‬שאלה ‪ :10‬להניח ש ‪ B‬תבנית בילינארית סימטרית‪.‬‬
‫‪ 10‬א‪.‬‬
‫‪ g (t) = 0 .15‬עבור ‪ g (t) = t − 2 ,|t| ≤ 1‬עבור ‪.|g ′ (t)| ≤ 1 , |t| ≥ 3‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪ˆ2πˆr‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2πr‬‬
‫✧‬
‫‪ λ1‬מינימלי\מקסימלי‬
‫שאלה‪ :‬מהו התחום שעבורו ‪ λ1‬הוא מינימלי‪/‬מקסימלי?‬
‫אין כזה תחום‪ .‬אם ‪ ,Ω ⊂ Rn‬אז ראינו כי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪· λ1 (Ω‬‬
‫‪α2‬‬
‫= )‪λ1 (αΩ‬‬
‫כלומר‪ ,‬אנו יכולים להקטין ולהגדיל את הערך כרצוננו‪ .‬לכן‪ ,‬השאלה הזאת בצורה הזאת לא מעניינת‪.‬‬
‫נשנה קצת את השאלה‪ .‬נקבע את השטח של ‪ .Ω‬מבין כל התחומים עם שטח נתון ‪ A‬מהו התחום עם ערך עצמי מינימלי‪/‬מקסימלי?‬
‫דוגמה ‪ 2.5.1‬נקח מלבן מאוד צר שצלעותי ‪ a, b‬כאשר ‪.ab = 1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪π2‬‬
‫‪1‬‬
‫≥‬
‫‪+‬‬
‫∞ →‪−‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪a2 a→0‬‬
‫‬
‫‪λ1 (W ) = π 2‬‬
‫כלומר אין ערך עצמי מקסימלי‪ .‬אם כן‪ ,‬נרצה לענות על השאלה מבין כל התחומים עם שטח נתון ‪ ,A‬מהו התחום עם ‪ λ1‬קטן ביותר‪.‬‬
‫בעייה זו נקראת בעייה איזופרימטרית עבור ‪.λ1‬‬
‫‪40‬‬
‫‪ λ1 .2.5‬מינימלי\מקסימלי‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫משפט ‪Fabel, Krahn - 1923 2.5.2‬‬
‫)‪λ1 (Ω) ≥ λ1 (B‬‬
‫כאשר ‪ B‬כדור עם אותו נפח של ‪.Ω‬‬
‫תזכורת ‪ 2.5.3‬הבעיה האיזופרימטרית מדבר על ההקף )או שטח פנים במימד גדול יותר(‬
‫נוכיח אותו קודם‪.‬‬
‫‪ 2.5.1‬אי השיוויון האיזופרימטרי‬
‫משפט ‪ 2.5.4‬אי השיוויון האיזופרימטרי‬
‫מבין כל הגופים עם נפח נתון‪ ,‬שטח הפנים של הכדור הוא הקטן ביותר‪.‬‬
‫)‪∀Voln−1 (∂Ω) ≥ Voln−1 (∂B‬‬
‫כאשר ל‪ B‬ול‪ Ω‬אותו נפח‪.‬‬
‫ההוכחה של אי השיוויון האיזופרימטרי מסתמכת על אי שיוויון ‪ Brunn-Minkowski‬האומר שאם יש לנו שתי קבוצות נוכל להגדיר‪:‬‬
‫}‪A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B‬‬
‫)זה נקרא סכום מיקובסקי(‪ .‬אי השיוויון הוא‪:‬‬
‫‪Vol (A + B) /n ≥ Vol (A) /n + Vol (B) /n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫כעת נוכיח את אי השיוויון האיזופרימטרי‪ :‬הוכחה‪:‬‬
‫)‪Vol (Nε (Ω)) − Vol (Ω‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪Voln−1 (∂Ω) = lim‬‬
‫‪ε→0‬‬
‫‪ Nε (Ω) ⊃ Ω‬היא סביבת ‪ ε‬של ‪) Ω‬כלומר אנו מנפחים את הצורה ב‪.(ε‬‬
‫זו ההגדרה של מינקובסקי לשטח הפנים‪.‬‬
‫נסמן ‪ B (0, ε) = ε‬כדור ברדיוס ‪ ε‬סביב אפס‪ .‬ואז למעשה‪:‬‬
‫‪Nε (Ω) = Ω + Bε‬‬
‫)לכל נקודה ב‪ Ω‬אנחנו מוסיפים כדור ברדיוס ‪ .(ε‬מאי שיוויון בורן מינקובסקי נקבל כי‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪h‬‬
‫‪1/n‬‬
‫‪1/n‬‬
‫)‪− Vol (Ω‬‬
‫) ‪Vol (Ω + Bε ) − Vol (Ω) ≥ Vol (Ω) + Vol (Bε‬‬
‫נפתח את הבינום )לא עד הסוף בגלל זה זה לא שיוויון(‪:‬‬
‫‪1/n‬‬
‫‪n−1/n‬‬
‫✘‬
‫‪✘ + nVol (Ω)n−1/n Vol (B )1/n − Vol‬‬
‫✘‬
‫✘‬
‫)‪✘(Ω‬‬
‫) ‪Vol (Bε‬‬
‫✘≥‬
‫‪Vol‬‬
‫‪ε‬‬
‫)‪✘✘(Ω) = nVol (Ω‬‬
‫הנפח של ‪ Bε‬הוא נפח של כדור‪ ,‬אנו יודעים לחשב אותו‪ .‬נקבל כי‪:‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪1/n‬‬
‫) ‪Vol (B1‬‬
‫‪n−1/n‬‬
‫)‪= nVol (Ω‬‬
‫‪1/n‬‬
‫‪41‬‬
‫) ‪(Vol (B1 ) εn‬‬
‫‪n−1/n‬‬
‫)‪= nVol (Ω‬‬
‫‪ λ1 .2.5‬מינימלי\מקסימלי‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫נחלק הכל ב‪ ε‬ולמעשה קיבלנו כי‪:‬‬
‫)‪Vol (Ω + Bε ) − Vol (Ω‬‬
‫‪1/n‬‬
‫‪n−1/n‬‬
‫) ‪Vol (B1‬‬
‫)‪≥ nVol (Ω‬‬
‫‪ε‬‬
‫מצד שני‪ ,‬מהו שטח הפנים של כדור עם נפח כמו של ? נחשב תחילה רדיוס של אותו כדור ‪:BR‬‬
‫)‪Vol (BR ) = Vol (B1 ) Rn = Vol (Ω‬‬
‫נקבל כי‪:‬‬
‫‪1/n‬‬
‫)‪Vol (Ω‬‬
‫) ‪Vol (B1‬‬
‫‬
‫=‪R‬‬
‫מה הוא שטח הפנים של כדור ברדיוס ‪ ?R‬הדרך לחשב את זה היא לסמן‪:‬‬
‫‪f (r) = Vol (Br ) = Vol (B1 ) · rn‬‬
‫אזי שטח הפנים הוא‪:‬‬
‫) ‪n · Vol (B1 ) · rn−1 = f ′ (t) = Voln−1 (∂Br‬‬
‫נבחין כי למעשה ההגדרה של מינקובסקי לשטח הפנים היא הנגזרת לשינור ברדיוס‪.‬‬
‫ולכןת שטח הפנים של כדור נתון ע״י‪:‬‬
‫‪nVol (B1 ) Rn−1‬‬
‫ולכן‪ ,‬עבור כדור שהנפח שלו הוא ‪ Ω‬נקבל כי‪:‬‬
‫‪1/n‬‬
‫) ‪· Vol (B1‬‬
‫‪n−1/n‬‬
‫)‪= nVol (Ω‬‬
‫‪n−1/n‬‬
‫)‪Vol (Ω‬‬
‫) ‪Vol (B1‬‬
‫‬
‫) ‪Voln−1 (∂BR ) = n · Vol (B1‬‬
‫אבל זה בדיוק הגורם שהיה לנו בקצה האי שיוויון שחישבנו‪ .‬ולכן נקבל כי‪:‬‬
‫)‪Voln−1 (∂Ω) ≥ Voln−1 (∂B‬‬
‫כאשר ‪ B‬כדור עם נפח כמו של ‪ ,Ω‬וזה מוכיח את אי השיוויון האיזופרימטרי‪.‬‬
‫כאמור‪ ,‬בהוכחה השתמשנו באי שיוויון ‪ Brunn-Minkowski‬נרצה להוכיחו‪.‬‬
‫‪ 2.5.2‬אי שיוויון ‪Brunn-Minkowski‬‬
‫משפט ‪ 2.5.5‬אי שיווין ‪Brunn-Minkowski‬‬
‫‪1/n‬‬
‫)‪+ (VolB‬‬
‫‪1/n‬‬
‫)‪≥ (VolA‬‬
‫‪42‬‬
‫‪1/n‬‬
‫)‪Vol (A + B‬‬
‫‪ λ1 .2.5‬מינימלי\מקסימלי‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫הוכחה‪ :‬עבור המקרה של ‪ A, B‬תיבות עם פאות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫אורכי צלעות ‪ A‬הם‪ ,a1 , . . . , an :‬ו‪ B‬הם‪.b1 , . . . , bn :‬‬
‫נבחין כי ‪ A + B‬היא למעשה תיבה חדשה בגודל‪) .a1 + b1 , . . . , an + bn :‬כתרגיל(‪.‬‬
‫אי השיוויון המקרה זה אומר‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫‪n‬‬
‫) ‪a1 a2 . . . an + n b1 b2 . . . bn ≤ n (a1 + b1 ) (a2 + b2 ) . . . (an + bn‬‬
‫נרצה להוכיח זאת‪.‬‬
‫נבחין כי במישור‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫) ‪b1 b2 ≤ (a1 + b1 ) (a2 + b2‬‬
‫‪a1 a2 +‬‬
‫√‬
‫אם נעלה את זה בריבוע נקבל כי‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫✘‪a1‬‬
‫✘‪a‬‬
‫✟ ‪b1‬‬
‫‪b 2 + a1 b 2 + a2 b 1‬‬
‫✘‪a1‬‬
‫✘‪a‬‬
‫✟ ‪b1‬‬
‫✘ ≤ ‪b 2 + 2 a1 a2 b 1 b 2‬‬
‫✘‬
‫✟‪2 +‬‬
‫✟‪2 +‬‬
‫למעשה קיבלנו את אי שייויון הממוצעים‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪a1 b 2 + a2 b 1‬‬
‫≤ ) ‪(a1 b2 ) (a2 b1‬‬
‫‪2‬‬
‫כלומר‪ ,‬עבור המישור פתרנו‪.‬‬
‫יש דרך נוספת להוכיח )שאותה ניתן להכליל(‪ ,‬נגדיר‪:‬‬
‫ ‪√ p‬‬
‫‪a1 , b 1‬‬
‫ ‪√ p‬‬
‫‪a2 , b 2‬‬
‫=‬
‫‪v‬‬
‫=‬
‫‪w‬‬
‫נבחין כי אגף שמאל שלנו הו למעשה‪:‬‬
‫‪LHS = hv, wi‬‬
‫ואגף ימין הוא‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kvk kwk = kvk kwk‬‬
‫= ‪RHS‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיבלנו את אי שיוויון קושי שוורץ‪.‬‬
‫במימד גבוה‪ ,‬מה שמחליף את אי שיוויון קושי שוורץ הוא אי־שיוויון הלדרץ‬
‫במימד ‪ 3‬צריך להוכיח כי‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫) ‪a1 a2 a3 + 3 b1 b2 b3 ≤ 3 (a1 + b1 ) (a2 + b2 ) (a3 + b3‬‬
‫אי שיוויון הלדר אומר כי‪:‬‬
‫ˆ ‪1/p‬‬
‫ˆ ‪1/q‬‬
‫‪1/r‬‬
‫‪q‬‬
‫‪r‬‬
‫‪f dx‬‬
‫‪g dx‬‬
‫‪h dx‬‬
‫‪p‬‬
‫‪43‬‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫≤ ‪f ghdx‬‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ λ1 .2.5‬מינימלי\מקסימלי‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫✩‬
‫‪.p, q, r > 0‬‬
‫תרגיל‪ :‬להסיק את אי שיוויון הלדר למכפלה של ‪ n‬פונקציות‪:‬‬
‫‪1/pn‬‬
‫‪fnpn dx‬‬
‫✪‬
‫✬‬
‫כאשר ‪= 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪pn‬‬
‫‪+ ...+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p1‬‬
‫ˆ‬
‫‪...‬‬
‫‪1/p1‬‬
‫‪f1p1 dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫≤ ‪f1 . . . fn dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫ו ‪ pi > 0‬מהמקרה ‪.n = 2‬‬
‫נרצה לעבור למקרה הדיסקרטי‪ .‬האנלוג הדיסקרטי הוא‪:‬‬
‫‪1/p‬‬
‫) ‪(hp1 + hp2‬‬
‫‪1/p‬‬
‫) ‪(g1p + g2p‬‬
‫✫‬
‫‪1/p‬‬
‫) ‪f1 g1 h1 + f2 g2 h2 ≤ (f1p + f2p‬‬
‫)בתורת המידה רואים כי זה האנלוג כאשר לוקחים מידה דיסקרטית(‪.‬‬
‫במקרה שלנו‪:‬‬
‫‪1/3‬‬
‫‪1/3‬‬
‫‪f 1 = a1‬‬
‫‪f2 = b1‬‬
‫‪1/3‬‬
‫‪1/3‬‬
‫‪g 1 = a2‬‬
‫‪g2 = b2‬‬
‫‪1/3‬‬
‫‪1/3‬‬
‫‪h1 = a3‬‬
‫‪h2 = b 3‬‬
‫ניקח ‪ p = q = r = 3‬ונבחין כי‪:‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪+ + =1‬‬
‫‪p q‬‬
‫‪r‬‬
‫ואז באמת נקבל כי‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫) ‪a1 a2 a3 + 3 b1 b2 b3 ≤ 3 (a1 + b1 ) (a2 + b2 ) (a3 + b3‬‬
‫נניח ש ‪ A‬היא איחוד זר של מספר סופי של תיבות עם צלעות ניצבות לצירים‪ .‬וכמו כן‪ ,‬גם ‪ B‬הוא איחוד זר של מספר סופי של‬
‫תיבות עם צלעות ניצבות לצירים‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.5.6‬ייתכן כי החיתוך בין ‪ A‬ל‪ B‬לא ריק‪ ,‬לא אכפת לנו מכך‪ .‬כלומר ייתכן שמלבן ב ‪ A‬חותך מלבן ב ‪.B‬‬
‫נוכיח באינדוקציה על מספר הלבנים הכולל ב‪ A‬וב‪B‬‬
‫נניח בה״כ שב‪ A‬יש לפחות שני מלבנים‪.‬‬
‫נבחר שתי תיבות כלשהן ב‪ ,A‬קיים איזשהו ‪ 1 ≤ i ≤ n‬וקיים ‪ a ∈ R‬כך ש‪:‬‬
‫}‪⊂ {xi < a‬‬
‫}‪⊂ {xi > a‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫)‪ n‬הוא המימד‪ ,‬לשם פשטות נרשום שהמימד ‪ ,2‬ההוכחה זהה לכל המימדים(‪.‬‬
‫)המלבנים הם פתוחים‪ ,‬כך שהם למעשה יכולים ״לגעת״ אחד בשני‪ ,‬והקו נגיעה הוא המפריד בניהם במקרה זה(‪.‬‬
‫נסמן את החלק העליון של ‪ xi > a‬ב ‪ A′‬ואת התחתון ב ‪.A′′‬‬
‫כלומר‪ ,‬נגדיר‪:‬‬
‫}‪= A ∩ {xi > a‬‬
‫}‪= A ∩ {xi < a‬‬
‫‪44‬‬
‫‪A′‬‬
‫‪′′‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ λ1 .2.5‬מינימלי\מקסימלי‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫הערה ‪ 2.5.7‬האיחוד הוא לא יהיה ‪ A‬כי ייתכן שהקו הזה חותך מלבן אחר‪ ,‬אבל בכל מקרה אנחנו לא נאבד שטח‪.‬‬
‫אם‬
‫‪S‬‬
‫‪ Rk‬זר‬
‫= ‪) A‬איחוד זר של מלבנים( אז‪:‬‬
‫)}‪(Rk ∩ {xi > a‬‬
‫)}‪(Rk ∩ {xi < a‬‬
‫[‬
‫=‬
‫‪A′‬‬
‫זר‬
‫[‬
‫=‬
‫‪A′′‬‬
‫זר‬
‫טענה ‪2.5.8‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′′‬‬
‫מספר המלבנים ב ‪ A‬וב‪ A :‬קטן ממש ממספר המלבנים ב‪A‬‬
‫הערה ‪ 2.5.9‬הוכחה פשוטה‪ ,‬הרי הורדנו מלבן אחד מכל שטח )לפחות(‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬יהא ‪ b ∈ R‬שנגדירו בהמשך‪ .‬נגדיר בצורה דומה‪:‬‬
‫}‪B ∩ {xi > b‬‬
‫}‪B ∩ {xi < b‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪B′‬‬
‫‪B′‬‬
‫בחרנו את אותו כמו שבחרנו ב‪ .A‬לא מדובר בהפרדה בין מלבנים בהכרח כי זה לא מימד שבהכרח יש בו הפרדה‪.‬‬
‫סכום כל המלבנים ב ‪ A′‬ו‪ B ′ :‬קטן ממש מהמספר הכולל של המלבנים ב ‪ A‬ו‪ .B‬ובאותו אופן גם ‪ A′′‬ו ‪.B ′′‬‬
‫ומהנחת האינדוקציה אנו יודעים את המשפט ל ‪ A′‬ו ‪ B ′‬וגם עבור ‪ A′′‬ו ‪.B ′′‬‬
‫נשים לב כי‪ ,(A′ + B ′ ) ∩ (A′′ + B ′′ ) = ∅ :‬מכיוון שהקואורדינטה ה‪ i‬של נקודה ב ‪ A′ + B ′‬היא גדולה מ‪ a + b :‬ואילו ב ‪A′′ + B ′′‬‬
‫זה קטן מ ‪.a + b‬‬
‫כמו כן‪:‬‬
‫‪A′ + B ′ ⊂ A + B‬‬
‫‪A′′ + B ′′ ⊂ A + B‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫) ‪Vol (A + B) ≥ Vol (A′ + B ′ ) + Vol (A′′ + B ′′‬‬
‫אבל אנו יכולים להפעיל את אי השיוויון על ‪ A′ + B ′‬וגם על ‪ ,A′′ + B ′′‬אבל קודם נרצה לבחור את ‪ b‬באופן נכון‪ .‬נבחר אותו כך ש‪:‬‬
‫) ‪Vol (B ′‬‬
‫) ‪Vol (A′‬‬
‫=‬
‫‪′′‬‬
‫) ‪Vol (B‬‬
‫) ‪Vol (A′′‬‬
‫‪ b‬קיים לפי משפט ערך הביניים‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬נפעיל את אי השיוויון ונקבל‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪h‬‬
‫‪1/n n‬‬
‫‪1/n‬‬
‫) ‪Vol (A′ + B ′ ) ≥ Vol (A′ ) + Vol (B ′‬‬
‫אבל מבחירת ‪ b‬הספציפית אנו יכולים לפשט את זה‪ .‬נסמן‪:‬‬
‫) ‪Vol(B ′′‬‬
‫) ‪Vol(A′′‬‬
‫=‬
‫) ‪Vol(B ′‬‬
‫) ‪Vol(A′‬‬
‫= ‪ α‬ואז‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪h‬‬
‫‬
‫‪1/n‬‬
‫‪1/n n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪= Vol (A′ ) + α /n Vol (A′‬‬
‫‪= Vol (A′ ) 1 + α /n‬‬
‫‪45‬‬
‫ מינימלי\מקסימלי‬λ1 .2.5
‫ הלפלאסיאן‬.2 ‫פרק‬
:‫ כלומר‬,(!α ‫ נקבל בידיוק אותו דבר )ועם אותו‬A′′ , B ′′ ‫ועבור‬
n
1
Vol (A′′ + B ′′ ) ≥ Vol (A′′ ) 1 + α /n
:‫ולכן‬
Vol (A + B) ≥ [Vol (A′ ) + Vol (A′′ )] 1 + α /n
Vol (A + B)
1/n
1
≥ Vol (A)
1/n
n
n
1
= Vol (A) 1 + α /n
1 + α /n
1
:‫ולכן‬
:‫ נוסיף אחד לשני האגפים ונקבל‬,B ‫נשים לב שמהיחס שהגדרנו איתו את‬
Vol (B ′ ) + Vol (B ′′ )
Vol (A′ ) + Vol (A′′ )
=
′′
Vol (B )
A′′
:‫כלומר‬
Vol (A)
Vol (B)
Vol (B′′ )
Vol (B)
=
⇒
=
=α
Vol (B ′′ )
Vol (A′′ )
Vol (A)
Vol (A′′ )
:‫ נקבל כי‬,‫ולכן‬
Vol (A + B) /n ≥ Vol (A) /n + (αVol (A)) /n = Vol (A) /n + Vol (B) /n
1
1
1
1
1
.‫כלומרת הוכחנו אותו למקרה הסופי‬
.Bε ⊂ B :‫ ו‬Aε ⊂ A ‫ כך ש‬Aε , Bε ‫ קבוצות פתוחותת קיימות קבוצות‬A, B ⊂ Rn ‫ נניח‬,‫כעת‬
.Bε ‫ באופן דומה עבור‬Vol (A\Aε ) ⊂ ε .‫ היא איחוד זר של מלבנים עם צלעות מקבילות לצירים‬Aε
1/n
Vol (A + B)
≥ Vol (Aε + Bε )
1/n
1/n
≥ Vol (Aε )
1/ε
+ Vol (Bε )
1/n
≥ (Vol (A) − ε)
1/n
+ (Vol (B) − ε)
:‫ ולכן‬ε > 0 ‫אי שיוויון זה נכון לכל‬
1/n
Vol (A + B)
≥ Vol (A)
1/n
+ Vol (B)
1/n
:‫ ולכן‬,‫ מדידות כלשהן‬A, B
Vol (A) = inf Vol (U )
U⊃A
Vol (Uε \A) < ε ,A ⊂ Uε ,‫ פתוחה‬Uε
.Vol (Vε \B) < B .B ⊂ Vε ‫ פתוחה‬Vε
in
in
h
h
?
1
1
1
1
Vol (A + B) ≥ [Vol (Uε + Vε ) − M ε] ≥ Vol (Uε ) /n + Vol (Vε ) /n − M ε ≥ Vol (A) /n + Vol (B) /n − M ε
46
‫‪ λ1 .2.5‬מינימלי\מקסימלי‬
‫‪2.5.3‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫נוסחת הקו־שטח‬
‫נתונה ]‪F −1 (t) , F : Ω → [a, b‬‬
‫‪S‬‬
‫= ‪) Ω‬קו הגובה ‪ t‬הוא איזשהו משטח למעשה‪ ,‬ובמישור זהו עקום(‪.‬‬
‫‪a≤t≤b‬‬
‫´‬
‫נתונה פונקציה ‪ ,h : Ω → R‬ורוצים לבצע אינטגרציה ‪. Ω h (x) dx‬‬
‫ˆ ‪ˆb‬‬
‫‪h (x) dσt dt‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪h (x) dx‬‬
‫}‪a {F =t‬‬
‫‪Ω‬‬
‫המשפט אינו נכון בצורה‪ ,‬זו‪ ,‬והוא למעשה צריך להיות‪:‬‬
‫)‪h (x‬‬
‫‪dσt dt‬‬
‫‪k∇F k‬‬
‫ˆ ‪ˆb‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪h (x) dx‬‬
‫}‪a {F =t‬‬
‫‪Ω‬‬
‫דוגמה ‪ ,Ω = B (0, R) 2.5.10‬הפונקציה‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪F (x) = kxk = x21 + . . . + x2n‬‬
‫במקרה הזה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫ ‪xn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,...,‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫= ~‬
‫‪∇F‬‬
‫ומתקיים‪:‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ~‬
‫‪∇F = 1‬‬
‫‪h (x) dσr dr‬‬
‫ˆ ‪ˆR‬‬
‫= ‪h (x) dx‬‬
‫‪0 Sr‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫הערה ‪ 2.5.11‬במקרה של מימד ‪.dσr = rdθ 2‬‬
‫דוגמה ‪ 2.5.12‬אותה הדוגמה כמו קודם‪ ,‬רק נקח ‪.F (x) = r2‬‬
‫) ‪~ = (2x1 , . . . , xn‬‬
‫‪∇F‬‬
‫ומתקיים‪:‬‬
‫נקבל כי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ~‬
‫‪∇F = 2r‬‬
‫‪2‬‬
‫√ )‪h (x‬‬
‫‪√ dσ t dt‬‬
‫‪2 t‬‬
‫ˆ ‪ˆR‬‬
‫‪0 S√t‬‬
‫‪47‬‬
‫= ‪h (x) dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪ λ1 .2.5‬מינימלי\מקסימלי‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫√‬
‫נבצע החלפת משתנים ‪t‬‬
‫= ‪ .r‬כאשר ‪ t = R2‬נקבל ‪ r = R‬אזי‪:‬‬
‫)‪h (x‬‬
‫✚‪2‬‬
‫‪rdr‬‬
‫✚‪dσr‬‬
‫✚‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫✚‬
‫ˆ ‪ˆR‬‬
‫=‬
‫‪0 Sr‬‬
‫ושוב קיבלנו את הנוסה שהייתה לנו קודם‪.‬‬
‫אנו נוכיח את נוסחת הקו שטח‪ ,‬אבל ראשית נשתמש בה על מנת להוכיח את אי־שיוויון ‪.Faber-Krahm‬‬
‫‪2.5.4‬‬
‫הוכחת אי־שיוויון ‪Faber-Krahn‬‬
‫משפט ‪Faber-Krahn 2.5.13‬‬
‫)‪λ1 (Ω) ≥ λ1 (B‬‬
‫‪ B‬כדור עם נפח כמו ‪.Ω‬‬
‫הערה ‪ 2.5.14‬במימד ‪ 2‬נוכל להניח ששטח ‪ Ω‬הוא ‪ .π‬צריך להוכיח‪.λ1 (Ω) ≥ λ1 (B1 ) :‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהא ‪ ϕ‬פונקציה עצמית של ‪ λ1‬על ‪ .Ω‬אנו יודעים כי ‪ ϕ‬אינה מתאפסת ב‪ ,Ω‬נוכל להניח ‪.ϕ > 0‬‬
‫נמצא פונקציה ‪ ψ‬על ‪) D‬דיסק( כך ש‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪ϕ2 dx = ψ 2 dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪D‬‬
‫והאינטגרל‪:‬‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫ˆ‬
‫ ~‬
‫‪2‬‬
‫‪∇ϕ dx ≥ |∇ψ| dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫אם נמצא פונקציה כזאת אז סיימנו‪ ,‬כי מעקרון הווריאציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ ´‬
‫‪´ 2‬‬
‫‪~ dx‬‬
‫‪~ dx‬‬
‫‪∇ψ‬‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫‪≥D´ 2‬‬
‫)‪≥ λ1 (D‬‬
‫‪λ1 (Ω) = Ω ´ 2‬‬
‫‪ϕ dx‬‬
‫‪ψ dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪D‬‬
‫נגדיר ‪ f (r) = t‬עבור עבור ‪ r‬כך ש )}‪ .πr2 = Area ({ϕ > t‬ואז נגדיר את )|‪) ψ (x) = f (|x‬סימטריזציה של ‪.(Schwarz‬‬
‫הטענה היא שהפונקציה הזאת מקיימת את התנאים שרצינו‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.5.15‬ל‪ ϕ‬ול‪ ψ‬יש אותה פונקציית התפלגות‪ Area ({ϕ > t})) .‬היא פונקציית התפלגות(‪.‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫)}‪Area ({ϕ > t}) = Area ({ψ > t‬‬
‫‪∀t‬‬
‫בנוסף‪ ,‬נבחין כי ‪ f‬פונקציה מונוטונית יורדת‪ ,‬ולכן ‪ ψ‬מונוטונית יורדת לאורך קו רדיאלי‪ .‬ומתקיים‪.ψ (0) = max ϕ :‬‬
‫‪48‬‬
‫‪ λ1 .2.5‬מינימלי\מקסימלי‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫נרצה להראות כי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪ψ 2 dx‬‬
‫= ‪ϕ2 dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪D‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪ϕ2 > t‬‬
‫‪ψ2 > t‬‬
‫√‬
‫‪ϕ> t‬‬
‫√‬
‫‪ψ> t‬‬
‫⇒⇐‬
‫⇒⇐‬
‫‬
‫‬
‫√‬
‫√‬
‫‬
‫‬
‫‪Area ϕ2 > t = Area ϕ > t = Area ψ > t = Area ψ 2 t‬‬
‫אם כן‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪ψ 2 dx‬‬
‫= ‪ϕ2 dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫)הסבר בטענה מתחת להוכחה(‪.‬‬
‫הערה ‪:g ≥ 0 2.5.16‬‬
‫ ∞ˆ‬
‫∞ˆ‬
‫‬
‫√‬
‫‪3‬‬
‫}‪µ g > t dt = µ g > t dt |{z‬‬
‫‪µ (g > s) 3s2 ds‬‬
‫=‬
‫‪t=s3 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ dσ{ϕ=s} ds‬‬
‫ ~‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪max‬‬
‫‪ˆ ϕ‬‬
‫‪t‬‬
‫}‪{ϕ=s‬‬
‫‪1dx‬‬
‫=‬
‫}‪|{z‬‬
‫נוסחת הקו־שטח‬
‫כאשר }‪.Ωt = {ϕ > t‬‬
‫וכעת אנו יודעים לגזור את זה לפי ‪ t‬מהמשפט היסודי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫}‪ dσ{ϕ=t‬‬
‫ ~‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪3‬‬
‫∞ˆ‬
‫= ‪g dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Ωt‬‬
‫‪′‬‬
‫‪A (t) = −‬‬
‫מצד שני‪ ,‬אנו יכולים את אותה פונקציה ‪ A‬לבטא בעזרת ‪:ψ‬‬
‫אנו יכולים לגזור אותה שוב ונקבל כי‪:‬‬
‫וזה נכון לכל ‪.t‬‬
‫אנו רוצים לחשב את‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ ~ dσs ds‬‬
‫ ‪∇ψ‬‬
‫ˆ‬
‫}‪{ψ=t‬‬
‫‪1‬‬
‫}‪ dσ{ϕ=t‬‬
‫ ~‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫= )}‪A (t) = Area ({ψ > t‬‬
‫‪t‬‬
‫ˆ‬
‫}‪{ϕ=t‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫= }‪ ~ dσ{ψ=t‬‬
‫ ‪∇ψ‬‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫ ~‬
‫‪∇ϕ dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪49‬‬
‫‪Ω‬‬
‫= )}‪A (t) = Area ({ϕ > t‬‬
‫}‪{ϕ=t‬‬
‫‪max‬‬
‫‪ˆ ψ‬‬
‫‪3‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫}‪{ψ=t‬‬
‫‪ λ1 .2.5‬מינימלי\מקסימלי‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫נשתמש שוב בנוסחת הקו־שטח ונקבל‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫ ‬
‫ ~‬
‫‪∇ϕ dσ{ϕ=t} dt‬‬
‫{ |} ‪z‬‬
‫ ˆ‬
‫ˆ ∞ˆ‬
‫‬
‫‪ ~ 2‬‬
‫= ‪∇ϕ dx‬‬
‫}‪0 {ϕ=t‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ובאופן דומה‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‬
‫‬
‫ ~‬
‫‪∇ψ dσ{ψ=t} dt‬‬
‫{ |} ‪z‬‬
‫ˆ ∞ˆ‬
‫ ˆ‬
‫‬
‫‪ ~ 2‬‬
‫= ‪∇ψ dx‬‬
‫}‪0 {ψ=t‬‬
‫‪Ω‬‬
‫אם נוכיח כי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ~‬
‫}‪∇ψ dσ{ψ=t‬‬
‫ˆ‬
‫ ‬
‫ ~‬
‫≥ }‪∇ϕ dσ{ϕ=t‬‬
‫}‪{ψ=t‬‬
‫ˆ‬
‫}‪{ϕ=t‬‬
‫נתבונן ב‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫✚ ‪r‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ~✚ ‬‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫‬
‫✚ ‪r‬‬
‫‪ ✚ ds‬‬
‫‪‬‬
‫✚ ✚~ ‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫✚‬
‫✚‬
‫‪‬‬
‫ ‬
‫ˆ ‪‬‬
‫ ~‬
‫‪‬‬
‫‪∇ϕ dσ ≥ ‬‬
‫‪|{z} ‬‬
‫}‪{ϕ=t‬‬
‫קושי־שוורץ‬
‫‪1‬‬
‫· ‪ dσ‬‬
‫ ~‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫}‪{ϕ=t‬‬
‫ˆ‬
‫כלומר‪ ,‬קיבלנו למעשה את שטח הפנים )או האורך( ונקבל‪:‬‬
‫‪= l ({ψ = t})2‬‬
‫אבל כאן נכנס המשפט האיזופרימטרי‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ~‬
‫‪∇ψ dσ‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ ~ dσ‬‬
‫ ‪∇ψ‬‬
‫}‪{ψ=t‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫= )‪≥ l (ψ = t‬‬
‫}‪{ψ=t‬‬
‫‬
‫‬
‫ ~‬
‫‪ ∇ψ‬קבוע על המעגל ‪.ψ = t‬‬
‫מכיוון ש‪ ψ‬פונקציה רדיאלית‪ ,‬לכן ‬
‫נזכור כי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ dσ‬‬
‫‬
‫‬
‫ ~‬
‫‪ ~ dσ‬‬
‫ ‪∇ψ‬‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫‬
‫}‪{ψ=t‬‬
‫ˆ‬
‫}‪{ϕ=t‬‬
‫ולכן נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ~‬
‫‪∇ψ dσ‬‬
‫ˆ‬
‫ ‬
‫ ~‬
‫≥ ‪∇ϕ dσ‬‬
‫}‪{ψ=t‬‬
‫במהלך ההוכחה עלתה שאלה‪ ,‬דן הראה את הטענה הבאה‪:‬‬
‫טענה ‪2.5.17‬‬
‫אם ‪ g ≥ 0‬על מרחב ‪ Ω‬אז‪:‬‬
‫∞ˆ‬
‫‪gdµ = 50 µ (g > t) dt‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫}‪{ϕ=t‬‬
‫ˆ‬
‫}‪{ϕ=t‬‬
‫‪ λ1 .2.5‬מינימלי\מקסימלי‬
‫✜‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫הערה ‪ 2.5.18‬בעצם סוכמים אורכים של קווים עד האורך של הפונקציה‪.‬‬
‫✤‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫‪ˆ p‬‬
‫ ˆ‬
‫‬
‫ ~‬
‫‪ ~ p‬‬
‫‪∇ϕ dx ≥ ∇ψ‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫✢‬
‫‪2.5.5‬‬
‫‪Ω‬‬
‫✣‬
‫הוכחת נוסחת הקו־שטח‬
‫נרצה להוכיח את נוסחת הקו־שטח‪.‬‬
‫הקדמה נניח שיש לנו משטח )‪ z = g (x, y‬ב ‪.R3‬‬
‫פרמטריציה טבעית למשטח ניתנת ע״י‪ ~r (x, y) = (x, y, g (x, y)) :‬כאשר ‪) (x, y) ∈ Ω ⊆ R2‬כאשר ה‪ Ω‬הוא התחום הגדרה‪ ,‬ולמעשה‬
‫ההטל על מישור ‪.(xy‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ ∂~r‬‬
‫ ‪∂~r‬‬
‫‬
‫ =‪dσ :‬‬
‫‪ ∂x × ∂y dxdy‬‬
‫מגדירים‪:‬‬
‫‪h (~r (x, y)) k~rx × r~y k dxdy‬‬
‫ˆ‬
‫=‪hdσ :‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪S‬‬
‫כאשר ‪ S‬משטח‪.h : S → R ,‬‬
‫משפט ‪2.5.19‬‬
‫האינטגרל משטחי מוגדר היטב‪ ,‬כלומר אם ‪~ (u, v) → S ⊆ R3‬‬
‫‪ ψ‬ו‪ (u, v) ∈ Ω′ :‬הן קואורדינטות אחרות על ‪ S‬אז‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ ‪ ∂ψ ∂ψ‬‬
‫‪ dudv = h (~r (x, y)) k~rx × r~y k dxdy‬‬
‫‬
‫×‬
‫ ))‪h (ψ (u, v‬‬
‫‪∂u‬‬
‫ ‪∂v‬‬
‫‪Ω′‬‬
‫‪Ω‬‬
‫דוגמה ‪ 2.5.20‬הספירה‪:‬ו‪.x2 + y 2 ≤ R2 :‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נגדיר‪:‬‬
‫)‪ψ2 (ϕ, θ) = (R cos ϕ sin θ, R sin ϕ sin θ, R cos θ‬‬
‫כאשר ‪ 0 ≤ ϕ ≤ 2π‬ו‪.0 ≤ θ ≤ π2 :‬‬
‫הטענה היא שזה בדיוק אותו דבר‪ .‬למעשה מספיק להראות כי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ ∂ψ ∂ψ‬‬
‫‬
‫‪ dudv‬‬
‫ = ‪k~rx × r~y k dxdy‬‬
‫×‬
‫‪∂u‬‬
‫ ‪∂v‬‬
‫כדי לבדוק את הטענה ‪ ,‬צריך לזכור כי‪:‬‬
‫‬
‫ ‪∂x‬‬
‫ ‪∂ϕ‬‬
‫‪∂y dθ ∧ dϕ‬‬
‫ ‪∂ϕ‬‬
‫‬
‫‪ ∂x‬‬
‫‪ ∂θ‬‬
‫‪dx ∧ dy = ∂y‬‬
‫‪ ∂θ‬‬
‫‪51‬‬
‫‪ λ1 .2.5‬מינימלי\מקסימלי‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫אלמנט השטח‬
‫אם נתון משטח )‪ z = g (x, y‬מה אלמט השטח שלו?‬
‫))‪~r (x, y) = (x, y, g (x, y‬‬
‫פרמטריזצייה של ‪:S‬‬
‫)‪(1, 0, gx‬‬
‫) ‪(0, 1, gy‬‬
‫‪~rx‬‬
‫‪~ry‬‬
‫=‬
‫=‬
‫)‪~rX × ~ry = (−gx , −gy , 1‬‬
‫הוא נורמל ל‪ .S‬ולכן‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1 + gx2 + gy2 dxdy‬‬
‫= ‪dσ = kr~x × r~y k dx ∧ dy‬‬
‫כעת‪ ,‬יהא משטח ‪ S‬נתון בצורה סתומה‪:‬‬
‫‪F (x, y, z) = 0‬‬
‫‪ ∂F‬כלומר קווי הגובה לא מכוונים מקביל לציר ‪ z‬ואז באמת ניתן להטיל את המשטח על מישור ‪.xy‬‬
‫נניח כי‪∂z 6= 0 :‬‬
‫לפי משפט הפונקציה הסתומה‪ ,‬קיימת פונקציה )‪ g (x, y‬כך ש‪.F (x, y, g (x, y)) = 0 :‬‬
‫נשים לב ש‪:‬‬
‫‪∂F ∂g‬‬
‫‪∂F‬‬
‫‪+‬‬
‫·‬
‫‪=0‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂z ∂x‬‬
‫מצד שני גם‪:‬‬
‫‪∂F ∂g‬‬
‫‪∂F‬‬
‫‪+‬‬
‫·‬
‫‪=0‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂z ∂y‬‬
‫ולכן‪ ,‬אנו יכולים לכתוב‪:‬‬
‫‪Fy2‬‬
‫‪Fx2‬‬
‫‪k∇F k‬‬
‫= ‪+ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Fz‬‬
‫‪Fz‬‬
‫| ‪|Fz‬‬
‫‪s‬‬
‫‪1+‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪1 + gx2 + gy2‬‬
‫אם ‪ S‬נתון ע״י המשוואה‪ ,F (x, y, z) = 0 :‬אז האינטגרל של איזשהי פונקציה על המשטח מקיים‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪ k∇F k‬‬
‫)‪h (x) dσ = h p−1 (x, y‬‬
‫‪dxdy‬‬
‫| ‪|Fz‬‬
‫‪S‬‬
‫‪Ω‬‬
‫כאשר ‪ Ω‬ההטלה של ‪ S‬על המישור‪ .‬ו ‪ p‬היא ההטלה ‪ p : S → Ω‬או למעשה‪.p−1 = g : Ω → Ω :‬‬
‫משפט ‪ 2.5.21‬נוסחת הקו־שטח‬
‫בהינתן ]‪F −1 ({t}) ,F : Ω → [a, b‬‬
‫‪S‬‬
‫‪a≤b‬‬
‫= ‪ .Ω‬ופונקציה ‪ h : Ω → R‬אזי‪:‬‬
‫)‪h (x‬‬
‫‪dσt dt‬‬
‫)‪k∇F k (x‬‬
‫ˆ ‪ˆb‬‬
‫}‪a {F =t‬‬
‫‪52‬‬
‫= ‪h (x) dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
Faber-Krahn ‫ אי־שיוויון‬.2.6
‫ הלפלאסיאן‬.2 ‫פרק‬
:‫ נגדיר‬:‫הוכחה‬
x′
′
y
z′
= x
= y
= F (x, y, z)
:‫מנוסחת החלפת המשתנה נקבל‬
∂F ′
′
′
dxdydz
dx dy dz = ∂z ˆ
Ω
hdxdydz =
ˆ
Ω′
h
′
′
′
∂F dx dy dz =
∂z
ˆb ˆ
a {z ′ =t}
h
∂F dxdydt =
∂z
ˆb ˆ
a {z ′ =t}
:‫ולכן‬
h (x, y) k∇F k ′ ′
dx dy dy =
k∇F k |Fz |
ˆb ˆ
a {z ′ =t}
h
dσt dt
k∇F k
Faber-Krahn ‫אי־שיוויון‬
2.6
.Ω ‫ כדור עם אותו נפח כמו של‬BR ‫ כאשר‬λ1 (Ω) ≥ λ1 (BR )
1
λ1 (B1 )
R2
λ1 (BR ) =
Vol (Br ) = ωn Rn = Vol (Ω)
.ωn = Vol (B1 ) ‫כאשר‬
2
ωnn
1
=
2
R2
Vol (Ω) n
:‫ולכן‬
2/n
λ1 (Ω) ≥
ωn λ1 (B1 )
2/n
Vol (Ω)
Cn
=
Vol (Ω) /n
2
.‫ אנו רואים קשר גיאומטרייה )באגף ימין( לבין הספקטרום באגף שמאל‬,‫אם כן‬
n/2
Vol (Ω) ≥
Cn
λ1 (Ω)
n/2
:‫כמו כן‬
λ1 (Ω) ≥
Cn
Vol (Ω)
2/n
:‫שקול ל‬
∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω)
´ 2
~ dx
∇ϕ
C
Ω
´
≥
2
ϕ2 dx
Vol (Ω) /n
Ω
53
‫‪ .2.6‬אי־שיוויון ‪Faber-Krahn‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫)בגלל מנת ריילי(‪ .‬קיבלנו כי‪:‬‬
‫ ˆ‬
‫‬
‫‪2/n‬‬
‫‪ ~ 2‬‬
‫)‪ϕ2 dx ≤ Cn′ Vol (Ω‬‬
‫‪∇ϕ dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪ Cn′‬הוא קבוע אחר‪ .‬נבחין כי הוא מזכיר קצת את משפט לגראנז׳‪ ,‬אם אנו חוסמים את הנגזרת‪ ,‬אז גם הפונקציה חסומה‪.‬‬
‫אי שיוויון‪:PoincaréT‬‬
‫ˆ‬
‫‪ˆ p‬‬
‫ ~‬
‫‪ϕp dx ≤ Cp,Ω ∇ϕ‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫משפט לגראנז׳ הוא למעשה‪:‬‬
‫ ‬
‫ ~ ‬
‫‪≤ Cp,Ω ∇ϕ‬‬
‫‬
‫)‪Lp (Ω‬‬
‫נתמקד במקרה של ‪.p = 2‬‬
‫למעשה אי השיוויון הבא גם כן נכון‪:‬‬
‫)‪kϕkLP (Ω‬‬
‫‪ˆ 2n‬‬
‫‪ n+2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ~ n+2‬‬
‫· ‪ϕ dx ≤ CΩ‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫הערה ‪ 2.6.1‬החזקות נקבעו משיקולי יחידות‪.‬‬
‫נוכיח כי לכל ) ‪ ϕ ∈ Cc∞ (Rn‬מתקיים‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n−1‬‬
‫ ˆ‬
‫‪n‬‬
‫‪~ ‬‬
‫‪ϕ n−1 dx ≤ Cn  ∇ϕ‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪Rn‬‬
‫ˆ‬
‫‪Rn‬‬
‫והקבוע ‪ Cn‬תלוי רק ב ‪ .n‬נבחין כי כאן הנפח של ‪ Ω‬לא מופיע בכלל‪ .‬למשל עבור ‪ n = 2‬נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫ ˆ‬
‫‪~ ‬‬
‫‪ϕ2 dx ≤ C  ∇ϕ‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R2‬‬
‫באופן ככלי יותר‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n−p‬‬
‫‪ˆ p‬‬
‫ ~‬
‫‪dx ≤ C  ∇ϕ‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪np‬‬
‫‪n−p‬‬
‫|‪|ϕ‬‬
‫‪R2‬‬
‫עבור ‪.p ≥ 1‬‬
‫ושוב במקרה של ‪ p = 1‬נקבל‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n−1‬‬
‫ ˆ‬
‫‪~ ‬‬
‫‪dx ≤ Cn  ∇ϕ‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪Rn‬‬
‫ ‬
‫ ~‬
‫‪ .∇ϕ‬נבחין כי‪:‬‬
‫נשים לב‪ :‬יהא ‪ .p = 2‬ונניח ‪ ∈ L2‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪np‬‬
‫=‬
‫‪>2‬‬
‫‪n−2‬‬
‫‪n−2‬‬
‫‪54‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n−1‬‬
‫|‪|ϕ‬‬
‫ˆ‬
‫‪Rn‬‬
‫ˆ‬
‫‪Rn‬‬
‫‪ .2.6‬אי־שיוויון ‪Faber-Krahn‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫לכן‪ ,‬נובע שקיים ‪ q > 2‬כך ש ‪.ϕ ∈ Lq‬‬
‫ ‬
‫ ~‬
‫‪ ∇ϕ‬אז‪ ϕ ∈ Lq (Rn ) :‬ואז קיים ‪ q0 > 2‬כך ש ) ‪ ϕ ∈ Lq (Rn‬לכל ‪2 ≤ q ≤ q0‬‬
‫כמו כן‪ ,‬אם היינו יודעים גי ‪ ϕ ∈ L2‬וגם ‪ ∈ L2‬‬
‫)מאי שיוויון הלדר(‪.‬‬
‫האי השיוויון הזה נקרא אי־שיוויון ‪.Poincaré-Sobolev‬‬
‫הערה ‪ 2.6.2‬איך להסיק את המקרה של ‪ p‬כלשהו מ‪ .p = 1‬יהיה בתור תרגיל מודרך‪) .‬בעזרת אי שיוויון הלדר(‪.‬‬
‫המקרה הקשה ביותר הוא ‪ .p = 1‬סובולב עצמו לא הוכיח את זה‪ .‬זה הוכח על ידי‪ Gagliarde-Nirenberg :‬בשנות ה‪.50‬‬
‫נתאר את ההוכחה במקרה ‪.n = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫ ˆ‬
‫‪~ ‬‬
‫‪∇ϕ dx‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫‪ϕ2 dx ≤ C ‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R2‬‬
‫נבחין כי היחידות מסתדרים הן למימדים והן ליחידות של ‪.ϕ‬‬
‫בגלל ש ‪ ϕ‬עם תומך קומפקטי אנו יכולים לרשום כי‪:‬‬
‫‪∂ϕ‬‬
‫‪(t, y) dt‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫= )‪ϕ (x, y‬‬
‫∞‪−‬‬
‫באופן דומה‪:‬‬
‫‪∂ϕ‬‬
‫‪(x, y) dt‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪ˆy‬‬
‫= )‪ϕ (x, y‬‬
‫∞‪−‬‬
‫בפרט‪:‬‬
‫באופן דומה‪:‬‬
‫‬
‫ ∞ˆ‬
‫ ∞ˆ‬
‫‬
‫‬
‫‪ ∂ϕ‬‬
‫~ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫≤ |)‪|ϕ (x, y‬‬
‫‪ ∇ϕ (t, y) dt‬‬
‫≤ ‪ ∂x (t, y) dt‬‬
‫נכפול את אי השיוויונות ונקבל כי‪:‬‬
‫‬
‫ ∞ˆ‬
‫ ∞ˆ‬
‫‬
‫‬
‫‪ ∂ϕ‬‬
‫~ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪(x,‬‬
‫)‪t‬‬
‫‪dt‬‬
‫≤‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫‪(x,‬‬
‫)‪t‬‬
‫≤ |)‪|ϕ (x, y‬‬
‫‬
‫‪ dt‬‬
‫‬
‫‪ ∂y‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‪−‬‬
‫ ∞ˆ‬
‫‬
‫ ∞ˆ ‬
‫~ ‬
‫~ ‬
‫‬
‫‬
‫≤ |)‪|ϕ (x, y‬‬
‫‪ ∇ϕ (x, t) dt‬‬
‫‪ ∇ϕ (t, y) dt‬‬
‫‪2‬‬
‫נבצע אינטגרציה על ‪ x‬נקבל‪:‬‬
‫}‬
‫∞‪−‬‬
‫‪{z‬‬
‫|}‬
‫פונקציה של ‪x‬‬
‫‪{z‬‬
‫∞‪−‬‬
‫|‬
‫פונקציה של ‪y‬‬
‫ ∞ˆ‬
‫ ∞ˆ ∞ˆ ‬
‫‬
‫~ ‬
‫‬
‫~ ‬
‫‬
‫≤= ‪|ϕ (x, y)| dx‬‬
‫‪ ∇ϕ (t, y) dt‬‬
‫‪ ∇ϕ (x, t) dtdx‬‬
‫‪2‬‬
‫}‬
‫נבצע כעת אינטגרציה לפי ‪ y‬ונקבל‪:‬‬
‫‪{z‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‪−∞ −‬‬
‫קבוע‬
‫|‬
‫ ∞ˆ ∞ˆ‬
‫ ∞ˆ ∞ˆ‬
‫‬
‫‬
‫~ ‬
‫‬
‫~ ‬
‫‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫‪(t,‬‬
‫)‪y‬‬
‫‪dtdy‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ ∇ϕ (x, t) dtdx‬‬
‫∞‪−∞ −‬‬
‫∞‪−∞ −‬‬
‫‪55‬‬
‫‪2‬‬
‫∞ˆ‬
‫∞‪−‬‬
‫≤= ‪|ϕ (x, y)| dxdy‬‬
‫∞ˆ ∞ˆ‬
‫∞‪−∞ −‬‬
Faber-Krahn ‫ אי־שיוויון‬.2.6
‫ הלפלאסיאן‬.2 ‫פרק‬
:‫קיבלנו כי‬

2
¨
¨ ~ ϕ2 dxdy ≤ 
∇ϕ dxdy 
R2
R2
.C = 1 ‫ עם קבוע‬Sobolev ‫ הוכחנו את אי שיוויון‬,‫כלומר‬
:n = 3 ‫נראה את ההוכחה כעת במימד‬
:‫נתחיל באופן דומה‬

´x

ϕ (x, y, z) = ´−∞
y
ϕ (x, y, z) = −∞

´z

ϕ (x, y, z) = −∞
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
(t, y, z) dt
(x, t, z) dt
(x, y, t) dt
:‫ באופן דומה‬,‫וכמו כן‬

´ ∞ ~

|ϕ
(x,
y,
z)|
≤
∇ϕ
(t,
y,
z)
dt


−∞ 
´∞ ~
|ϕ (x, y, z)| ≤ −∞ ∇ϕ
(x, t, z) dt


´

|ϕ (x, y, z)| ≤ ∞ ∇ϕ
~
(x,
y,
t)
dt
−∞
:‫נכפול אותן ונקבל‬
ˆ∞ ˆ∞ ˆ∞ ~
~
~
|ϕ (x, y, z)| ≤
∇ϕ (t, y, z) dt
∇ϕ (x, t, z) dt
∇ϕ (x, y, t) dt
3
−∞
−∞
−∞
n
‫ניקח שורש )כי אנו רוצים לקבל חזקת‬
:‫ ( ונקבל‬n−1
|ϕ (x, y, z)|
ˆ∞
−∞
3/2
|ϕ (x, y, z)|
ˆ∞ ˆ∞
−∞ −∞
3/2

1/2  ∞
1/2  ∞
1/2
ˆ∞ ˆ ˆ ~
~
~
≤
(t, y, z) dt 
(x, t, z) dt 
(x, y, t) dt
∇ϕ
∇ϕ
∇ϕ
−∞
|

−∞
1/2  ∞
ˆ∞ ˆ
~



dx ≤
∇ϕ (t, y, z) dt
−∞
3/2
|ϕ (x, y, z)|
{z
f
dxdy ≤ 
|
ˆ∞
−∞
{z
}
g
:‫ נקבל‬f, g.x ‫נבצע אינטגרציה לפי‬
1/2  ∞ ∞
1/2
ˆ∞ ˆ ˆ ~
~
(x, y, t) dtdx
∇ϕ (x, t, z) dtdx 
∇ϕ
−∞ −∞

}|
−∞ −∞
:‫ מקושי שוורץ נקבל‬,‫ ושוב‬y ‫נבצע אינטגרציה לפי‬
1/2  ∞ ∞ ∞
1/2  ∞
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ∞ ~
~
~




∇ϕ (t, y, z) dtdy
∇ϕ (x, y, t) dtdxd
∇ϕ (x, t, z) dtdx
−∞ −∞
{z
}
y ‫לא תלוי ב‬
−∞
−∞ −∞ −∞
:‫ ונקבל לבסוף‬,‫ ושוב קושי שוורץ‬,z ‫נבצע אינטגרציה נוספת לפי‬

3/2
∞
∞
˚
˚
3
~ ϕ /2 dxdydz ≤ 
∇ϕ dxdydz 
−∞
−∞
56
‫‪ .2.6‬אי־שיוויון ‪Faber-Krahn‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫מכאן נובע אי שיוויון ‪ .Poincaré‬נניח כי ‪ supp ϕ ⊂ Ω‬אז‪:‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪ n+2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n+2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫‪ˆ 2n‬‬
‫‪ˆ 2n‬‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫ ~‬
‫‪ ~ n+2 ‬‬
‫‪ ~ n+2 ‬‬
‫ ~‬
‫‪ϕ2 dx ≤  ∇ϕ‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪=  ∇ϕ‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪≤  ∇ϕ‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ dx  1dx = Vol (Ω) n ∇ϕ‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Rn‬‬
‫‪Ω‬‬
‫הלדר?‬
‫הערה ‪ 2.6.3‬את החזקה האחרונה‪ , n2 ,‬קבענו משיקולי יחידות שוב‪.‬‬
‫הוכחנו‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫‪2/n‬‬
‫ ~‬
‫)‪ϕ2 dx ≤ Vol (Ω‬‬
‫‪∇ϕ dx‬‬
‫)‪∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫אי־שיוויון ‪ Faber-Krahn‬במימד ‪:2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πj0,1‬‬
‫) ‪πλ1 (B1‬‬
‫=‬
‫)‪Area (Ω‬‬
‫)‪Area (Ω‬‬
‫) ‪λ1 (B1‬‬
‫‪R2‬‬
‫=‬
‫}‪|{z‬‬
‫)‪πR2 =Area(Ω‬‬
‫≥ )‪λ1 (Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π · j0,1‬‬
‫ ~‬
‫‪ϕ2 dx‬‬
‫≥ ‪∇ϕ dx‬‬
‫)‪Area (Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫ ~‬
‫‪Area (Ω) ∇ϕ‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π · j0,1‬‬
‫ˆ‬
‫≤ ‪ϕ2 dx‬‬
‫הוא אי שיוויון חזק יותר‪ ,‬בגלל שיש עבורו שיוויון )הכדור( ולכן לא ניתן לשפר אותו‪.‬‬
‫תזכורת ‪ 2.6.4‬ראינו שאי שיוויון ‪ Faber-Krahn‬שקול לאי־שיוויון פואנקרה )עבור ‪(p = 2‬‬
‫ˆ‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫ ~‬
‫)‪∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω‬‬
‫‪ϕ2 dx ≤ C Vol (Ω) n ∇ϕ‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫הסקנו זאת מאי־שיוויון סובולב‪:‬‬
‫‪ n+2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ˆ 2n‬‬
‫‪n+2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫ ~‬
‫‪dx‬‬
‫‪|ϕ| dx ≤ C  ∇ϕ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Rn‬‬
‫עבור‬
‫‪2n‬‬
‫‪n+2‬‬
‫ˆ‬
‫‪Rn‬‬
‫= ‪ .p‬אי שיוויון סובולב עבור ‪ p > 1‬נובע מאי שיוויון סובולב עבור ‪.p = 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n−1‬‬
‫ ˆ‬
‫‪~ ‬‬
‫‪dx ≤  ∇ϕ‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪Rn‬‬
‫‪57‬‬
‫‪n‬‬
‫‪|ϕ| n−1‬‬
‫ˆ‬
‫‪Rn‬‬
‫ˆ‬
‫‪Rn‬‬
‫= ‪ϕ2 dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪ .2.6‬אי־שיוויון ‪Faber-Krahn‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫הערה ‪ 2.6.5‬אי השיוויון האיזופרימטרי ניתן לכתיבה בצורה הבאה‪:‬‬
‫)‪Voln−1 (∂Ω) ≥ Voln−1 (∂B‬‬
‫כאשר ‪ B‬כדור עם נפח כמו של ‪.Ω‬‬
‫‪Vol (Ω) = ωn Rn = Vol B‬‬
‫מקבלים ש‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪Vol (Ω) = nωn Rn−1 = Voln−1 (∂B‬‬
‫‪R‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪Vol (Ω) /n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1/n‬‬
‫‪ωn‬‬
‫=‪R‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪Voln−1 (∂B) = nωn/n Vol (ω‬‬
‫‪1‬‬
‫לכן‪ ,‬נוכל לרשום את אי השיוויון האיזופרימטרי כך‪:‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪Voln−1 (∂Ω) ≥ nωn/n Vol (Ω‬‬
‫‪1‬‬
‫נרשום את הנוסחה בהערה בצורה קצת שונה‪:‬‬
‫‪n/n−1‬‬
‫)‪Voln−1 (∂Ω‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n/n−1‬‬
‫‪n‬‬
‫·‬
‫‪1‬‬
‫≤ )‪Vol (Ω‬‬
‫‪1/n−1‬‬
‫‪ωn‬‬
‫)כלומר‪ ,‬אם אנו מקבעים את שטח הפנים‪ ,‬אז כדור הוא בעל הנפח המקסימלי(‪.‬‬
‫טענה ‪2.6.6‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n−1‬‬
‫)‪Vol (Ω) ≤ C1 Voln−1 (∂Ω‬‬
‫אם״ם‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n−1‬‬
‫ ˆ‬
‫‬
‫‬
‫‪~ dx‬‬
‫‪dx ≤ C1  ∇ϕ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪Rn‬‬
‫|‪|ϕ‬‬
‫ˆ‬
‫) ‪∀ϕ ∈ Cc∞ (Rn‬‬
‫‪Rn‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח שמתקיים אי־שיוויון סובולב נרצה להסיק את אי־השיוויות האיזופרימטרי‪.‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‪x ∈ Ω, dist (x, ∂Ω) > ε‬‬
‫‪x ∈ Ω, dist (x, ∂Ω) ≤ ε‬‬
‫∈‪x‬‬
‫‪/Ω‬‬
‫את ‪ f‬ניתן לקרב בעזרת פונקציות ) ‪.Cc∞ (Rn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪d(x,∂Ω‬‬
‫‪ ε‬‬
‫‪0‬‬
‫=‪fε (x) :‬‬
‫‪‬‬
‫}‪Ωε = {x ∈ Ω | dist (x, ∂Ω) > ε‬‬
‫‪58‬‬
Faber-Krahn ‫ אי־שיוויון‬.2.6
‫ הלפלאסיאן‬.2 ‫פרק‬
ˆ
Rn
|fε |
n
n−1
ˆ
dx ≥
n
|fε | n−1 dx = Vol (Ωε )
Ωε
n
 n−1

n
 n−1
ˆ
ˆ 
~ ε dx
 ∇f
=

Rn
1 
dx
ε
Ω\Ωε
=
~
:‫ לכן‬,∇d
(x, ∂Ω) = 1 ‫נבחין כי‬
n
n−1
1
Vol (Ω\Ωε )
ε
:‫קיבלנו‬
Vol (Ωε ) ≤ C1
Vol (Ω) − Vol (Ωε )
ε
Vol (Ω) ≤ C1 Voln−1 (∂Ω)
:‫ ונקבל כי‬ε → 0 ‫נשאיף את‬
n
n−1
:‫להפך‬
:‫ נרצה להוכיח את אי־שיוויון סובולב‬,‫נניח את האי שיוויון האיזופרימטרי‬
n
 n−1
ˆ ~ 
C1  ∇ϕ
dx

Ω
=
|{z}

‫נוסחת הקושטח‬

C1 
n
 n−1
ˆ∞ ˆ
0 {ϕ=t}

1dσt dt

≥
ˆ∞
Vol ϕ
n
m−1
> t dt =
0
ˆ∞
0
1
Vol ϕ > t
= C1 
ˆ∞
1
≥ C1  n−1/n
|{z}
C
‫איזופרימטרי‬

ˆ∞
0
n
 n−1
Voln−1 ({ϕ = t}) dt
Vol (ϕ > t)
n
 n−1
n−1
n

0

=
ˆ∞
Vol (ϕ > t)
0
n−1
n
n
 n−1
dt
:‫ דן רצה להוכיח ש‬.‫נגמר השיעור‬
n−1
n
dt =
ˆ∞
Vol (ϕ > s)
0
1
n
s n−1 ds
n−1
:‫ צריך להוכיח‬,‫לבסוף‬
ˆ∞
Vol (ϕ > t)
n−1
n
0

dt ≥ 
n
n−1
ˆ∞
0
1
 n−1
n
Vol (ϕ > t) t n−1 dt
:‫נראה כי‬
ˆ∞
α (t)
n−1
n
0

n
dt ≥ 
n−1
ˆ∞
α (t) t
1
n−1
0

n−1
n
dt
‫ נראה זאת תחילה על אינטגרל‬.(‫ היא מונוטונית יורדת‬Vol (ϕ > t) ‫ מונוטונית יורדת אי־שלילית וחסומה )נבחין בפרט כי‬α ‫עבור‬
:‫ כלומר‬,‫סופי‬
L (T ) =
ˆT
0
α (t)
n−1
n

dt ≥ 
n
n−1
59
ˆT
0
1
 n−1
n
α (t) t n−1 dt
= R (T )
‫‪ .2.7‬אי־שיוויון ‪(1970) Cheeger‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫נגזור את אגף שמאל ונקבל‪:‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ T‬‬
‫‪− n1‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n−1 ‬‬
‫‪α (t) t n−1 dt‬‬
‫‪α (T ) T n−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ n−1‬‬
‫‪n‬‬
‫) ‪α (T‬‬
‫= ) ‪L′ (T‬‬
‫‬
‫= ) ‪R′ (T‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n−1‬‬
‫נשים לב כי‪ α (t) ≥ α (T ) :‬לכל ‪ .0 ≤ t ≤ T‬לכן‪:‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t n−1 dt = α (T ) T n−1‬‬
‫‪ˆT‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪dt ≥ α (T‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪α (t) t‬‬
‫‪ˆT‬‬
‫‪0‬‬
‫אבל אנו לוקחים חזקה שלילית‪ ,‬לכן‪:‬‬
‫‪− n1‬‬
‫‪− n1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪n n − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪−n‬‬
‫‪− n−1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪≤ α (T ) T‬‬
‫‪T‬‬
‫) ‪= α (T‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪− n1‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪α (t) t‬‬
‫‪ˆT‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‪ ,‬נקבל כי הנגזרת של אגף ימין היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫✟‬
‫‪ n−1‬‬
‫✟‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫✘‪1‬‬
‫✟‪1‬‬
‫‪n − 1✟✟n‬‬
‫✚‪n − 1✟✟n n −‬‬
‫‪1‬‬
‫✘‬
‫✟‬
‫✟✟ ‪T −✘n−1‬‬
‫≤ ) ‪R (T‬‬
‫) ‪= α (T )1− n = L′ (T‬‬
‫✘ ‪· ✚ α (T )− n‬‬
‫✟ · ) ‪· α (T‬‬
‫‪T n−1‬‬
‫✟‬
‫‪✟n‬‬
‫‪✚n‬‬
‫‪✟ n‬‬
‫✟‬
‫‬
‫‪2.7‬‬
‫‪′‬‬
‫אי־שיוויון ‪(1970) Cheeger‬‬
‫מעקרון הוריאצייה קל לקבל חסמים מלמעלה על ‪ .λ1‬אי שיוויון ‪ Cheeger‬נותן חסם מלמטה על ‪.λ1‬‬
‫הגדרה ‪ 2.7.1‬קבוע ‪ :Cheeger‬יהי ‪ Ω ⊂ Rn‬תחום חסום‪ Ω1 ⊂ Ω .‬תחום‪ .‬נרצה להסתכל על היחס בין שטח הפנים לפח של ‪Ω1‬‬
‫ונסמן‪:‬‬
‫) ‪Voln−1 (∂Ω1‬‬
‫) ‪Voln (Ω1‬‬
‫‪h (Ω) := inf‬‬
‫‪Ω1 ⊂Ω‬‬
‫‪ h‬נקרא קבוע ‪ Cheeger‬של ‪.Ω‬‬
‫הערה ‪ 2.7.2‬יש ל‪:‬‬
‫) ‪Voln−1 (∂Ω1‬‬
‫) ‪Voln (Ω1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.( n−1‬‬
‫יחידות )בניגוד לאי שיוויון האיזופרימטרי שם איפסנו את היחידות עם חזקת‬
‫הערה ‪ 2.7.3‬ככל שקבוע ‪ Cheeger‬קטן יותר‪ ,‬כך הצורה יותר קרובה לכדור‪ .‬לדוגמה‪ ,‬מנת ‪) Cheeger‬נסמנה ˜‬
‫‪ (h‬של עיגול הוא‪:‬‬
‫‪˜ (#) = 2πr = 2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪πr2‬‬
‫‪r‬‬
‫ואילו עבור ריבוע החוסם את העיגול הקודם‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‪˜ () = 8r = 2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪4r2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪60‬‬
‫‪ .2.7‬אי־שיוויון ‪(1970) Cheeger‬‬
‫פרק ‪ .2‬הלפלאסיאן‬
‫משפט ‪ 2.7.4‬אי־שיוויון ‪Cheeger‬‬
‫)‪h2 (Ω‬‬
‫≥ )‪λ1 (Ω‬‬
‫‪| {z } | {z‬‬
‫} ‪4‬‬
‫ספקטרום‬
‫גיאומטריה‬
‫הערה ‪ 2.7.5‬נבחין כי מספיק להסתכל על תחומים קמוריםת כי אם אנחנו נסתכל על ה״קמור״ של תחום אז אנו מקטינים את שטח‬
‫הפנים אבל מגדילים את השטח‪.‬‬
‫נניח ש ‪ Ω‬הוא קמור‪ .‬במקרה שהוא לא צריך לבדוא האם זה באמת נכון שאפשר להסתכל על החיתוך‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית נוכיח את הטענה הבאה‪:‬‬
‫טענה ‪2.7.6‬‬
‫לכל )‪ ϕ ∈ Cc∞ (Ω‬כך ש ‪ ϕ ≥ 0‬מתקיים‪:‬‬
‫ ˆ‬
‫ˆ‬
‫ ~‬
‫‪∇ϕ dx ≥ h ϕdx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ϕdx‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪h Voln (ϕ > t) dt = h‬‬
‫∞ˆ‬
‫≥‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪Voln−1 (ϕ = t) dt‬‬
‫∞ˆ‬
‫‪ 0‬הגדרה של ‪h‬‬
‫= ‪1dσt dt‬‬
‫ ˆ‬
‫ˆ ∞ˆ‬
‫ ~‬
‫=‬
‫}‪∇ϕ dx |{z‬‬
‫}‪ 0 {ϕ=t‬קו־שטח‬
‫‪0‬‬
‫כעת‪ ,‬תהא ‪ u1‬הפונקציה העצמית הראשונה של ‪ ,ϕ = u21 .Ω‬מהטענה נקבל כי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ ˆ‬
‫‬
‫ ‪ ~ 2‬‬
‫‪∇ u1 ≥ h u21 dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‬
‫ ~‬
‫‪2u1 ∇u‬‬
‫‪u21 dx‬‬
‫‪1 dx ≥ h‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫מקושי שוורץ נקבל‪:‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 12 ‬‬
‫ ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫ ~‬
‫‪~ 1 dx‬‬
‫‪ u21 dx  ∇u‬‬
‫‪2u1 ∇u‬‬
‫‪1 dx ≤ 2‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ ´‬
‫‪~ 1 dx 2‬‬
‫‪∇u‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪λ1 = Ω ´ 2‬‬
‫≥‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪u1 dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪61‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫פרק ‪3‬‬
‫חוק ‪(1912) Weyl‬‬
‫בהינתן ‪ Ω‬תחום חסום‪.‬‬
‫נגדיר )‪ N (E‬מספר הערכים העצמיים ‪ λk‬כך ש ‪.λk ≤ E‬‬
‫משפט ‪ 3.0.7‬חוק ‪Weyl‬‬
‫‪√ !n‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2π‬‬
‫)‪N (E) ∼ ωn Vol (Ω‬‬
‫אסימפטוטית‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫)‪N (E‬‬
‫‪ √ n = 1‬‬
‫‪ωn |Ω| 2πE‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪E‬‬
‫הערה ‪ ωn 3.0.8‬הוא נפח כדור יחידה‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.0.9‬נניח כי הספקטרום של ‪ Ω‬נתון‪,‬אם אנו יודעים את המימד אז נוכל להסיק את הנפח של ‪.Ω‬‬
‫נבחין כי אנו יכולים לחלץ גם את המימד מהספקטרום‪ ,‬היות ונקל ‪ ln‬ונקבל‪:‬‬
‫√‬
‫‪E‬‬
‫‪− ln N (E) → 0‬‬
‫‪ln (ωn |Ω|) + n ln‬‬
‫‪2π‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫|‪ln (N (E)) − ln ωn |Ω‬‬
‫ √‬
‫‪−→ n‬‬
‫∞→‪E‬‬
‫‪ln 2πE‬‬
‫אבל |‪ ln ωn |Ω‬קבוע לכן כאשר ‪ E‬גדול דיו‪ ,‬הגבול הוא ‪ .0‬ולכן‪:‬‬
‫)‪ln N (E‬‬
‫√‬
‫‪E‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪n = lim‬‬
‫∞→‪E‬‬
‫כיצד החוק נראה במימד ‪?2‬‬
‫‪E‬‬
‫)‪Area (Ω‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪62‬‬
‫∼ )‪N (E‬‬
‫פרק ‪ .3‬חוק ‪(1912) Weyl‬‬
‫‪ .3.1‬בעיית נויימן‬
‫נבדוק את החוק במקרה של ריבוע עם צלע ‪.a‬‬
‫במקרה זה‪:‬‬
‫‬
‫‪π2‬‬
‫‪m2 + n 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫כאשר ‪.m, n ≥ 1‬‬
‫נבחן מתי‪:‬‬
‫= ‪λm,n‬‬
‫‬
‫‪π2‬‬
‫‪m2 + n 2 ≤ E‬‬
‫‪a2‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪a2 E‬‬
‫‪= R2‬‬
‫‪π2‬‬
‫≤ ‪m2 + n 2‬‬
‫אנו מחפשים את כל הנקודות הלכודות בתוך מעגל‪ .‬כאשר אנו מסתכלים רק על רביע אחד‪.‬‬
‫ננסה להעריך אותם‪ .‬אם ‪ R‬מאוד גדול‪ ,‬נעריך כי מספר הנקודות ברביע יהיה בערך‪:‬‬
‫‪πR2‬‬
‫‪a2 t‬‬
‫‪|Q| E‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪4π‬‬
‫∼ )‪N (E‬‬
‫מה ניתן להגיד על )‪ ?N (E‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πR2‬‬
‫)‪π (R − 1‬‬
‫≤ )‪≤ N (E‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫!‬
‫√‬
‫√‬
‫‪a2 E‬‬
‫‪a E‬‬
‫‪a2 E‬‬
‫‪a E‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−2‬‬
‫= ‪+1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪!2‬‬
‫√‬
‫‪a E‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−1‬‬
‫=‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫לסיכון‪:‬‬
‫‪|Q| E‬‬
‫‪|Q| E‬‬
‫√ |‪|2Q‬‬
‫‪π‬‬
‫≥ )‪≥ N (E‬‬
‫‪−‬‬
‫‪E+‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫הערה ‪ |Q| = a2 3.0.10‬כלומר השטח של הריבוע‪.‬‬
‫‪3.1‬‬
‫בעיית נויימן‬
‫כדי להוכיח את חוק ‪ Weyl‬הצטרך להכיר את בעיית נויימן של תחום ‪.Ω‬‬
‫נסתכל על המשוואה‪:‬‬
‫‪∆u = −µu‬‬
‫‬
‫ ‪∂u‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪ˆ ∂Ω‬‬
‫(‬
‫זהו תנאי שפה נוימן‪ .‬הדרישה היא ש ‪ Ω‬תחום עם שפה חלקה‪.‬‬
‫בעיה זו מופיעה בפיסיקה כאשר מדברים על מיתר רועד עם שפה חופשית‪.‬‬
‫בבעיית החום מדובר במקרה של שפה מבודדת חום‪ ,‬כלומר החום לא נכנס ולא יוצא מהתחום‪.‬‬
‫‪63‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫)‪π (R − 1‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫פרק ‪ .3‬חוק ‪(1912) Weyl‬‬
‫‪ .3.1‬בעיית נויימן‬
‫לבעיה זו קיים ספקטרום דיסקרטי‪:‬‬
‫‪0 = µ1 < µ2 ≤ µ3 ≤ µ4 ≤ . . .‬‬
‫מכיוון שפונקציות קבועות הן פתרון בבעיית נוימן‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬נסתכל על משוואות מהצורה‪:‬‬
‫‪in Ω‬‬
‫‪∆u = f‬‬
‫‬
‫ ‪∂u‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪ˆ ∂Ω‬‬
‫(‬
‫טענה ‪3.1.1‬‬
‫‪E‬‬
‫´‬
‫‬
‫‪~ ∇ϕ‬‬
‫~‬
‫‪∇u,‬‬
‫תהא ‪ ,u ∈ C ∞ Ω‬אזי ‪ u‬פותרת את בעיית נויימן אם״ם ‪dx = − f ϕdx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪´D‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‬
‫לכל ‪.ϕ ∈ C ∞ Ω‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ש ‪ u‬פתרון‪ ,‬אזי מאינטגרציה בחלקים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫ˆ‬
‫‪ˆ D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫✼‬
‫✓‬
‫‪∂u‬‬
‫‪~ ∇ϕ‬‬
‫~‬
‫‪~ ∇ϕ‬‬
‫~‬
‫‪✓ ϕdσ = −‬‬
‫‪∇u,‬‬
‫‪dx +‬‬
‫‪∇u,‬‬
‫‪dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪✓∂ n‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪E‬‬
‫´‬
‫‪~ ∇ϕ‬‬
‫~‬
‫‪∇u,‬‬
‫כעת נראה לראת כיוון שני‪ ,‬נניח כי ‪dx = − f ϕdx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪´D‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫‪(∆u) .ϕdx = −‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‬
‫בפרט‪ ,‬לכל )‪ ϕ ∈ Cc∞ (Ω‬נקבל כי‪:‬‬
‫‪f · ϕdx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫לכל ‪ .ϕ ∈ C ∞ Ω‬נתבונן ב‪:‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪f · ϕdx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪E‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪~ ∇ϕ‬‬
‫~‬
‫‪ϕdx = f · ϕdx +‬‬
‫‪ϕdσ‬‬
‫‪∇u,‬‬
‫‪dx +‬‬
‫‪∂n‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂n‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫= ‪(∆u) ϕdx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪(∆u) ϕdx = −‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫ומכאן נובע כי‪:‬‬
‫‪(∆u − f ) ϕdx = 0‬‬
‫ˆ‬
‫)‪∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ולכן‪ .∆u = f in Ω :‬כעת נרצה לראות שתנאי השפה מתקיימים‪.‬‬
‫אבל מכיוון ש‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪(∆u) ϕdx = f · ϕdx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫נקבל כי בהכרח‪:‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪ϕdσ = 0‬‬
‫‪∂n‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‬
‫לכל ‪ .ϕ ∈ C ∞ Ω‬אבל זה יכול לקרות רק אם ˆ‪ ∂∂un‬מתאפסת על השפה‪ .‬אם יש לנו אזור שהיא לא מתאפסת בו‪ ,‬נקח ‪ ϕ‬שהתומך‬
‫שלה מוגדר רק בסביבה שלה‪ .‬אבל הביטוי הנ״ל עדיין צריך להתאפס‪ .‬לכן בהכרח ‪ . ∂∂unˆ = 0‬בניסוח פורמלי יותר‪:‬‬
‫נניח שקיימת ‪ p‬כך ש ‪) ∂∂unˆ (p) > 0‬בה״כ( אז קיימת סביבה של ‪ p‬כך ש ‪ Up ⊂ Rn‬כך ש ‪ . ∂∂unˆ |Up ∩∂Ω > 0‬תהא ) ‪ ϕ˜ ∈ Cc (Up‬כך ש‬
‫‬
‫‪ ϕ˜ (p) > 0‬ו‪ ,ϕ˜ ≥ 0 :‬ונסמן‪ .ϕ ∈ C ∞ Ω .ϕ = ϕ˜ |Ω :‬ואז נקבל‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂u‬‬
‫‪ϕdσ > 0‬‬
‫‪∂n‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω‬‬
‫וזו סתירה‪.‬‬
‫‪64‬‬
‫פרק ‪ .3‬חוק ‪(1912) Weyl‬‬
‫‪ .3.1‬בעיית נויימן‬
‫הערה ‪ 3.1.2‬נשים לב‪ ,‬שבדרך הוכחנו שהמשוואה ‪ ∆u = f in Ω‬שקולה לזהות‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪ˆ D‬‬
‫‪E‬‬
‫∞‬
‫~‬
‫~‬
‫‪∇u, ∇ϕ dx = − f ϕdx‬‬
‫)‪∀ϕ ∈ Cc (Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫הערה ‪ 3.1.3‬במקרה של בעיית דיריכלה‪:‬‬
‫‪∆u = f‬‬
‫‪in Ω‬‬
‫‪u |∂Ω = 0‬‬
‫(‬
‫‬
‫תהא ‪ u ∈ C ∞ Ω‬וגם ‪ u |∂Ω = 0‬אז ‪ u‬פותרת את בעיית דיריכלה אם״ם‪:‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫ˆ‬
‫‪E‬‬
‫‪~ ∇ϕ‬‬
‫~‬
‫‪∇u,‬‬
‫‪dx = − f · ϕdx‬‬
‫)‪∀ϕ ∈ Cc∞ (Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫נרצה לפתור את בעיית נויימן בריבוע‪ .‬הבעייה היא שהנורמל לא מוגדר בפינות‪ .‬אבל נבחין כי בניסוח שראינו אין בכלל בעיה‪ ,‬כי אין‬
‫התייחסות לנורמל‪.‬‬
‫לכן הפתרון יהיה לחפש ‪ u‬כך ש‪:‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫ˆ‬
‫‪E‬‬
‫‬
‫‪~ ∇ϕ‬‬
‫~‬
‫‪∀ϕ ∈ C ∞ Ω‬‬
‫‪dx = − f · ϕdx‬‬
‫‪∇u,‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‬
‫הערה ‪ Ω 3.1.4‬לא יכול להיות תחום מאוד מכוער‪ .‬כיוון ש ‪ C ∞ Ω‬אינו מרחב מספיק ״עשיר״ בתחום זה‪.‬‬
‫מהי פונקייצה עצמית של נויימן?‬
‫‪∆u = −µu in Ω‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪on ∂Ω‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪ˆ = 0‬‬
‫(‬
‫המשפט הספקטרלי מתקיים גם עבור תנאי שפה נויימן‪:‬‬
‫‪0 = µ1 < µ2 ≤ µ3 ≤ . . .‬‬
‫∞‬
‫ריבוי סופי‪ µk → ∞ .‬הפונקציות העצמיות )‪ .uk ∈ C ∞ (Ω‬וגם‪ (uk )k=1 :‬מערכת אורתונורמלית שלמה ב )‪.L2 (Ω‬‬
‫אם ‪ Ω‬עם פינות‪ ,‬נגדיר פונקציה עצמית כך‪ u ∈ C 2 (Ω) :‬כך ש‪:‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫ˆ‬
‫‪E‬‬
‫‬
‫∞‬
‫~‬
‫~‬
‫‪∀ϕ ∈ C‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∇u, ∇ϕ dx = µ uϕdx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ומהוות בסיס אורתוגונלי ל )‪.L2 (Ω‬‬
‫הערה ‪ 3.1.5‬זה היה בתרגיל‪ ,‬בתור פונקצייה עצמית ״חלשה״‪.‬‬
‫‪ 3.1.1‬עיקרון הווריאציה‬
‫איך נראה עקרון הווריאציה עבור בעיית נויימן?‬
‫‪´ 2‬‬
‫‪~ dx‬‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫‪Ω‬‬
‫´‬
‫= ‪µ2‬‬
‫‪inf‬‬
‫‬
‫‪ϕ2 dx‬‬
‫‪ϕ´∈ C ∞ Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪ϕdx = 0‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪65‬‬
‫פרק ‪ .3‬חוק ‪(1912) Weyl‬‬
‫‪ .3.1‬בעיית נויימן‬
‫ובאופן כללי‪:‬‬
‫‪´ 2‬‬
‫‪´ 2‬‬
‫‪~ dx‬‬
‫‪~ dx‬‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫‪∇ϕ‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫´‬
‫=‬
‫‪inf‬‬
‫‪ sup ´ ϕ2 dx‬‬
‫‪ϕ2 dx‬‬
‫‪L ⊂ C ∞ Ω ϕ∈L‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪dim L = k‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫| ~‬
‫‪|∇ϕ‬‬
‫´‬
‫´‪Ω‬‬
‫‪inf‬‬
‫נוכיח שאם ‪ v‬נותנת מינימום ב‬
‫‬
‫‪ϕ2 dx‬‬
‫‪ϕ ∈ C∞ Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪ϕ⊥u1 , . . . , uk−1‬‬
‫‬
‫מתקיים‪ v⊥u1 , . . . , ul−1 :‬וגם‪ . Ray (v) = µk :‬תהי ‪ g ∈ C ∞ Ω‬כך ש‬
‫‪inf‬‬
‫‬
‫‪ϕ ∈ C∞ Ω‬‬
‫‪ϕ⊥u1 , . . . , uk−1‬‬
‫= ‪µk‬‬
‫אז ‪ v‬היא פונקציה עצמית של נויימן‪.‬‬
‫‪ t ∈ R ,g⊥u1 , . . . , uk−1‬אז‪:‬‬
‫‪Ray (v + tg) ≥ Ray (v) = µk‬‬
‫‪∀t ∈ R‬‬
‫ ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫~‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫~‬
‫‪∇v + t∇g dx ≥ µk |v + tg| dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫וזה נכון לכל ‪ ,t‬נשים לב כי למעשה מה שכתוב כאן זה‪:‬‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪ 2‬‬
‫‪E‬‬
‫ ~‬
‫ ~‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫~‬
‫~‬
‫‪t‬‬
‫‪∇v, ∇g dx + ∇v dx ≥ µk t‬‬
‫‪g dx + 2µk t vgdx + µk v 2 dx‬‬
‫‪∇g dx + 2t‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫אנו יודעים כי עבור ‪ t = 0‬אנו מקבלים מינימום‪ ,‬והאגפים שווים‪ .‬הנגזרת תתאפס ב ‪ .t = 0‬נבחין כי אגף שמאל שווה ל‪:‬‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫ ~‬
‫‪∇v dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ואילו אגף ימין‪:‬‬
‫‪v 2 dx‬‬
‫ˆ‬
‫‪µk‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ואנו יודעים ש ‪ v‬מקיימת את זה‪ ,‬ולכן האגפים שווים זה לזה עבור ‪.t = 0‬‬
‫האי שיוויון נכון‪ .‬נגזור ב ‪ t = 0‬ונקבל‪:‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫ˆ‬
‫‪E‬‬
‫‪~ ∇g‬‬
‫~‬
‫‪2‬‬
‫‪∇v,‬‬
‫‪dx = ✁2µk vgdx‬‬
‫✁‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‬
‫הזהות הנ״ל נכונה לכל ‪ g ∈ C ∞ Ω‬כך ש‪.g⊥u1 , . . . , uk−1 :‬‬
‫כעת‪ ,‬תהא } ‪ ,g ∈ span {u1 , . . . , uk−1‬מספיק לקחת ‪ g = ul‬כאשר ‪ 1 ≤ l ≤ k − 1‬אנו רוצים להראות כי הזהות הנ״ל גם מתקיימת‬
‫עבורה‪.‬‬
‫נרצה להראות‪:‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫ˆ‬
‫‪E‬‬
‫‪~ ∇u‬‬
‫‪~ l dx = µk vul dx‬‬
‫‪∇v,‬‬
‫‪Ω‬‬
‫אגף ימין מתאפס‪ ,‬כי ‪ ,v⊥ul‬מה לגבי האגף השמאלי? מאינטגרציה בחלקים נקבל‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫✼‬
‫✓‪∂u‬‬
‫‪l‬‬
‫‪v ✓ dσ‬‬
‫ˆ‬
‫‪✓∂ n‬‬
‫ˆ‬
‫‪v (∆ul ) dx +‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪66‬‬
‫‪E‬‬
‫‪~ ∇u‬‬
‫‪~ l =−‬‬
‫‪∇v,‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫‪Ω‬‬
‫פרק ‪ .3‬חוק ‪(1912) Weyl‬‬
‫‪ .3.1‬בעיית נויימן‬
‫הערה ‪ 3.1.6‬זה נכון עבור ‪ Ω‬עם שפה ‪ C 1‬או ‪ Ω‬קובייה‪.‬‬
‫אבל ‪ ∆ul = µl ul‬ולכן נקבל‪:‬‬
‫}‪vul dx |{z‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪v⊥ul‬‬
‫ˆ‬
‫‪= −µl‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫‪vgdx‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪E‬‬
‫‪~ ∇g‬‬
‫~‬
‫‪∇v,‬‬
‫‪dx = µk‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‬
‫‪∀g ∈ C ∞ Ω‬‬
‫לכן‪ v ,‬היא פונקציה עצמית נויימן עם ערך עצמי ‪.µk‬‬
‫מסקנה ‪3.1.7‬‬
‫‪ µk ≤ λk‬כאשר ‪ λk‬הם הערכים העצמיים של דיריכלה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מהניסוח השני שת עקרון הווריאצי‪:‬‬
‫‪inf‬‬
‫)‪ Ray (L‬‬
‫‪L ⊂ C∞ Ω‬‬
‫‪dim L = k‬‬
‫= ‪µk‬‬
‫ואילו‪:‬‬
‫‪inf‬‬
‫)‪Ray (L‬‬
‫)‪L ⊂ Cc∞ (Ω‬‬
‫‪dim L = k‬‬
‫= ‪λk‬‬
‫כלומר‪ ,‬אנו רצים על יותר תתי־מרחבים ב ‪ .µk‬ולכן בהכרח ‪.µk ≤ λk‬‬
‫‪ 3.1.2‬מהן פ״ע נויימן בריבוע?‬
‫נתבונן בריבוע בעל צלע ‪ ,a‬מה הן הפונקציות העצמיות? בדומה לדיריכלה נשתמש בהפרדת משתנים‪ .‬נחפש פונקציות מהסגנון‬
‫)‪X (x) Y (y‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪mπx‬‬
‫‪nπy‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪um,n (x, y) = cos‬‬
‫אלו כל הפונקציות כי מדובר במערכת שלמה‪ .‬כאשר ‪.m, n = 0, 1, 2, . . .‬‬
‫והערכים העצמיים‪:‬‬
‫‬
‫‪π2‬‬
‫‪m2 + n 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪µm,n‬‬
‫נסמן ‪ Q‬את הריבוע ונרצה לבחון את‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪NQ‬‬
‫}‪(E) = # {k | µk ≤ E‬‬
‫כלומר‪ ,‬אנו רוצים לבחון את‪:‬‬
‫‬
‫‪π2‬‬
‫‪m2 + n 2 ≤ E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪67‬‬
‫פרק ‪ .3‬חוק ‪(1912) Weyl‬‬
‫‪ .3.1‬בעיית נויימן‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪a2 E‬‬
‫‪= R2‬‬
‫‪π2‬‬
‫≤ ‪m2 + n 2‬‬
‫אנו סופרים נקודות שריג‪ ,‬רק שהפעם ‪ .m, n ≥ 0‬למעשה הוספנו בערך ‪ 2R‬ביחס למקרה של דיריכלה‪ .‬האסימפטוטיקה לא תשתנה‬
‫כי הוספנו משהו לינארית ב‪ R‬ואילו כמות הנקודות בשטח הרביע ללא הצירים היא ריבועית ב‪) R‬בערך(‪ .‬ולכן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪π (R + 1‬‬
‫‪πR2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪≥ NQ‬‬
‫≥ )‪(E‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫בדיריכלה קיבלנו כי‪:‬‬
‫‪πR2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪≥ NQ‬‬
‫)‪(E‬‬
‫‪4‬‬
‫מכאן קיבלנו כי‪:‬‬
‫ √‬
‫‪|Q| E‬‬
‫‪+O‬‬
‫‪E‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪N‬‬
‫‪NQ‬‬
‫= )‪(E‬‬
‫כאשר ∞ → ‪.E‬‬
‫ √‬
‫‪ O‬אומר שזה חסום ע״י איזשהו קבוע כפול שורש ‪.E‬‬
‫הערה ‪E 3.1.8‬‬
‫נשים לב שמאחר ו ‪ µk ≤ λk‬אז‪.NΩN (E) ≥ NΩD (E) :‬‬
‫‪3.1.3‬‬
‫תכונות של )‪NΩ (E‬‬
‫טענה ‪3.1.9‬‬
‫נניח‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω1‬‬
‫⊂‬
‫‪Ω2‬‬
‫⊂‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫⊂‬
‫‪Ωm‬‬
‫וכי מתקיים ∅ = ‪ Ωi ∩ Ωj‬אזי‪:‬‬
‫)‪NΩD (E) ≥ NΩD1 (E) + NΩD2 (E) + . . . + NΩDk (E‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח‬
‫‪NΩDl (E) = kl‬‬
‫זה שוקל ל‪:‬‬
‫‪l‬‬
‫‪λΩ‬‬
‫‪kl +1 > E‬‬
‫∧‬
‫‪l‬‬
‫‪λΩ‬‬
‫‪kl ≤ E‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪inf‬‬
‫‪Ray (L) ≤ qE‬‬
‫) ‪L ⊂ Cc∞ (Ωl‬‬
‫‪dim L = kl‬‬
‫‪68‬‬
‫= ‪λkl‬‬
‫פרק ‪ .3‬חוק ‪(1912) Weyl‬‬
‫‪ .3.1‬בעיית נויימן‬
‫יהי ‪ .ε > 0‬קיים תת מרחב ) ‪ Ll ⊂ Cc∞ (Ωl‬כך ש ‪ dim Ll = kl‬ומתקיים‪.Ray (Ll ) ≤ E + ε :‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫)‪L = L1 ⊕ L2 ⊕ . . . ⊕ Lm ⊂ Cc∞ (Ω‬‬
‫‪dim L = k1 + . . . + km‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪Ray (L) ≤ E + ε‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪λΩ‬‬
‫‪k1 +...+km ≤ E + ε‬‬
‫אבל זה נכון לכל ‪ ε‬לכן‪:‬‬
‫‪λΩ‬‬
‫‪k1 +...+km ≤ E‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪NΩD (E) ≥ k1 + . . . + km‬‬
‫הערה ‪ N 3.1.10‬סופר את הריבוי‪ ,‬כלומר אם יש ערך עצמי עם ריבוי ‪ 2‬הוא יספור אותו פעמיים‪.‬‬
‫עבור נויימן המצב קצת יותר מסובך‪.‬‬
‫נשים לב‪ ,‬שאין מונוטוניות עבור הערכים העצמיים של נויימן‪ .‬דהיינו‪ ,‬אם יש לנו ‪ Ω‬ו ‪ Ω1‬לא תמיד נכון ש ) ‪.µk (Ω) ≤ µk (Ω1‬‬
‫נניח ‪ Ω2 ⊂ Ω ,Ω1 ⊂ Ω‬ומתקיים ∅ = ‪ Ω1 ∩ Ω2‬ואילו‪ {Ω1 , Ωn }) Ω1 ∪ Ω2 = Ω :‬היא חלוקה של ‪ .(Ω‬אז‪:‬‬
‫)‪NΩN (E) ≤ NΩN1 (E) + . . . + NΩNm (E‬‬
‫נתבונן במקרה הפשוט יותר של חלוקה לשני קטעים‪:‬‬
‫)‪NΩN (E) ≤ NΩN1 (E) + NΩN2 (E‬‬
‫הערה ‪ 3.1.11‬במקרה של דיריכלה האי־שיוויון הפוך‪.‬‬
‫נתבונן ב‪:‬‬
‫‪NΩN1 ∪Ω‬‬
‫)‪· 2 (E‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫נבחין כי במרחב ‪ C ∞ Ω1 ⊕ C ∞ Ω2‬יש יותר פונקציות מאשר ב ‪ C ∞ Ω‬מכיוון שאנו יכולים לשבור את הרציפות בשפה‬
‫המחברת בין שני התחומים‪ .‬ומכיוון שהערכים העצמיים נקבעים לפי האינפימום על הפונקציות אזי הערכים העצמיים ירדו איפה שיש‬
‫יותר פונקציות‪.‬‬
‫נתבונן באוסף הערכים העצמיים על ‪· 2‬‬
‫‪ Ω1 ∪Ω‬נקבל‪:‬‬
‫}‪{ν1 , ν2 , . . .} = {µ1 (Ω1 ) , µ2 (Ω2 ) , . . .} ∪ {µ1 (Ω2 ) , µ2 (Ω2 ) , . . .‬‬
‫‪69‬‬
‫‪ .3.2‬הוכחת משפט ‪Weyl‬‬
‫‪3.2‬‬
‫פרק ‪ .3‬חוק ‪(1912) Weyl‬‬
‫הוכחת משפט ‪Weyl‬‬
‫‪ √ n‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2π‬‬
‫נזכור‪ ,‬אנו רוצים להוכיח‪:‬‬
‫‪ a‬עם צלעות מקבילות לצירים‪.‬‬
‫|‪ .NΩD (E) ∼ ωn |Ω‬הוכחה‪ :‬נניח כי ‪ Ω‬הוא תחום שנראה כמו איחוד של ריבועים זרים עם צלע‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪(E‬‬
‫‪(E) + . . . + NQ‬‬
‫‪(E) ≤ NΩD (E) ≤ NΩN (E) ≤ NQ‬‬
‫‪(E) + . . . + NQ‬‬
‫‪NQ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫כאשר ‪ Qi‬הם הריבועים הבונים את הקובייה‪.‬‬
‫למעשה יש לנו‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪N‬‬
‫‪mNQ‬‬
‫‪(E) ≤ NΩD (E) ≤ mNQ‬‬
‫)‪(E‬‬
‫|‪E|Ω‬‬
‫‪4π‬‬
‫נחלק ב‬
‫ונקבל‬
‫‪N‬‬
‫‪NQ‬‬
‫)‪(E‬‬
‫|‪E|Q‬‬
‫‪4π‬‬
‫=‬
‫‪N‬‬
‫‪NQ‬‬
‫)‪(E‬‬
‫|‪E|Ω‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪≤m‬‬
‫)‪NΩD (E‬‬
‫|‪E|Ω‬‬
‫‪4π‬‬
‫≤‬
‫‪D‬‬
‫‪NQ‬‬
‫)‪(E‬‬
‫|‪E|Ω‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪=m‬‬
‫‪D‬‬
‫‪NQ‬‬
‫)‪(E‬‬
‫|‪E|Q‬‬
‫‪4π‬‬
‫מכיוון ש |‪ m |Q| = |Ω‬אבל כאשר ∞ → ‪ E‬נקבל כי גם האגף הימני וגם השמאלי שואפים לאינסוף ולכן‪:‬‬
‫)‪NΩD (E‬‬
‫‬
‫‪ −→ 1‬‬
‫∞→‪E‬‬
‫|‪E|Q‬‬
‫‪4π‬‬
‫נניח ‪ Ω‬כללי ב ‪ ,R2‬אזי קיימים ‪ Ω1 ⊂ Ω‬ו ‪ Ω2 ⊂ Ω‬כך ש ‪ Ω1 , Ω2‬מורכבים מריבועים‪.‬‬
‫נקח רשת עדינה‪.‬‬
‫)‪NΩD1 (E‬‬
‫| ‪NΩC1 (E) |Ω1‬‬
‫| ‪NΩD2 (E) |Ω2‬‬
‫)‪N D1 (E‬‬
‫)‪N D (E‬‬
‫‬
‫‬
‫‪= NΩD2 (E) ≥ Ω ≥ Ω|Ω|E‬‬
‫≥‬
‫‪(1‬‬
‫‪−‬‬
‫)‪ε‬‬
‫‪= |Ω‬‬
‫·‬
‫‪|Ω1 |E‬‬
‫‪1 |E‬‬
‫‪|Ω2 |E‬‬
‫‪|Ω|E‬‬
‫|‪|Ω‬‬
‫|‪|Ω‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪4π‬‬
‫נקבל כי‪:‬‬
‫‪≥1‬‬
‫)‪NΩD (E‬‬
‫‪|Ω|E‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪lim inf‬‬
‫וגם‪:‬‬
‫‪≤1‬‬
‫)‪NΩD (E‬‬
‫‪|Ω|E‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪lim sup‬‬
‫ולכן הגבול קיים והוא ‪.1‬‬
‫למעשה ההוכחה מראה‪:‬‬
‫‪√ !n‬‬
‫ ‪√ n‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪+O‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪3.3‬‬
‫√‬
‫|‪E |Ω‬‬
‫|‪+ C |∂Ω| E + ωn |Ω‬‬
‫‪4π‬‬
‫= )‪NΩD (E‬‬
‫מסקנות‬
‫תזכורת ‪ 3.3.1‬משפט קורנט )‪ :(1920‬מספר התחומים הנודליים של פונקצייה עצמית ‪ uk‬עם ערך עצמי ‪ λk‬הוא לכל היותר ‪.k‬‬
‫‪70‬‬
‫פרק ‪ .3‬חוק ‪(1912) Weyl‬‬
‫‪ .3.3‬מסקנות‬
‫משפט ‪(1956) Pleijel 3.3.2‬‬
‫במימד ‪ n > 1‬נסמן ב ) ‪ nk (uk‬את מספר התחומים הנודליים של ‪.uk‬‬
‫) ‪n (uk‬‬
‫‪<1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪lim sup‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫בפרט קיימים רק מספר סופי של ‪k‬־ים שעבורם ‪.n (uk ) = k‬‬
‫הערה ‪ 3.3.3‬במימד ‪ 1‬מדובר בשיוויון‪ .‬במימד ‪ 2‬אפשר להראות כי‪:‬‬
‫) ‪n (uk‬‬
‫‪< 0.7‬‬
‫‪k‬‬
‫‪lim sup‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫אנו נוכיח עבור מימד ‪ ,2‬במימד ‪ n‬הקונספט זהה אבל צריך להכיר משהו קצת יותר מתקדם‪.‬‬
‫תזכורת ‪ 3.3.4‬משפט ‪:Faber-Krahn‬‬
‫) ‪λ1 (Ω) ≥ λ1 (BΩ‬‬
‫כאשר ‪ BΩ‬כדור עם נפח |‪.|Ω‬‬
‫הערה ‪ 3.3.5‬במימד ‪ .πR2 = |Ω| :2‬נקבל כי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j0,1‬‬
‫))‪λ1 (B (0, 1‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫= ))‪λ1 (B (0, R‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πj0,1‬‬
‫|‪|Ω‬‬
‫= ) ‪λ1 (BΩ‬‬
‫כלומר‪ ,‬ניתן לרשום את אי־שיוויון ‪ Faber-Krahn‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πj0,1‬‬
‫|‪|Ω‬‬
‫≥ )‪λ1 (Ω‬‬
‫ובאופן דומה‪ ,‬אם אנו רוצים לקבל מידע על הגיאומטריה מהספקטרום אנו יכולים לרשום‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πj0,1‬‬
‫)‪λ1 (Ω‬‬
‫≥ |‪|Ω‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ uk‬פונקציה עצמית עם ערך עצמי ‪ .λk‬נסמן את התחומים הנודליים של ‪ uk‬ב‪:‬‬
‫) ‪Ω1 , Ω2 , . . . , Ωn(uk‬‬
‫נשים לב שהערך העצמי של כל אחד מהתחומים הנודליים הוא ‪ λ1 (Ωj ) = λk‬לכל ) ‪ .1 ≤ j ≤ n (uk‬מכיוון ש‪:‬‬
‫(‬
‫‪∆uk = λk uk‬‬
‫‪uk |∂Ωj = 0‬‬
‫‪71‬‬
‫פרק ‪ .3‬חוק ‪(1912) Weyl‬‬
‫‪ .3.3‬מסקנות‬
‫ב ‪ .Ωj‬ולכן ‪ uk‬היא פונקצייה עצמית ב ‪ Ωj‬בנוסף‪ uk ,‬לא מחליפה סימן‪ .‬מכאן ‪ uk‬היא הפונקציה העצמית הראשונה של ‪ .Ωj‬לפי‬
‫משפט ‪:Faber-Krahn‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πj0,1‬‬
‫)‪λk (Ω‬‬
‫≥ | ‪|Ωj‬‬
‫אם כן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πj0,1‬‬
‫‪λk‬‬
‫) ‪n(uk‬‬
‫· ) ‪|Ωj | ≥ n (uk‬‬
‫‪X‬‬
‫≥ |‪|Ω‬‬
‫‪j=1‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪|Ω| λk‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πj0,1‬‬
‫≤ ) ‪n (uk‬‬
‫טענה ‪ 3.3.6‬וויל‬
‫‪4πk‬‬
‫|‪|Ω‬‬
‫∼ ‪ λk‬כאשר ∞ → ‪ .k‬כלומר‪:‬‬
‫‪4π‬‬
‫|‪|Ω‬‬
‫=‬
‫‪λk‬‬
‫‪k→∞ k‬‬
‫‪. lim‬‬
‫הערה ‪ 3.3.7‬במימד ‪:n‬‬
‫‪ n2‬‬
‫‪K‬‬
‫|‪|Ω‬‬
‫‬
‫‪λk ∼ cn‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית ‪,‬על מנת ״להבין״ את המשפט נניח שאין ריבוי כלל‪ .‬כלומר כל ערך עצמי הוא עם ריבוי אחד‪ .‬חוק וויל אומר כי‪:‬‬
‫‪√ !n‬‬
‫‪E‬‬
‫|‪N (E) ∼ ωn |Ω‬‬
‫‪2π‬‬
‫נציב ‪ E = λk‬ונקבל‪:‬‬
‫‪ √ n‬‬
‫‪λk‬‬
‫|‪k = N (λk ) ∼ ωn |Ω‬‬
‫‪2π‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪ √ n‬‬
‫|‪ωn |Ω‬‬
‫‪λk‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪k‬‬
‫למשל עבור ‪ n = 2‬נקבל‪:‬‬
‫✚ ‪λk‬‬
‫|‪π |Ω‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪λk‬‬
‫‪= 1 ⇒ lim‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫|‪|Ω‬‬
‫✄ ‪4π‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫ובמימד ‪ n‬נקבל‪:‬‬
‫‪4π 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ωnn‬‬
‫·‬
‫‪ n2‬‬
‫‪k‬‬
‫|‪|Ω‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫∼ ‪= 1 ⇒ λk‬‬
‫‪72‬‬
‫‪ωnn |Ω| n λκ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k 4π 2‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫פרק ‪ .3‬חוק ‪(1912) Weyl‬‬
‫‪ .3.3‬מסקנות‬
‫כלומר הקבוע שהיה חסר לנו הוא‪:‬‬
‫‪4π 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ωnn‬‬
‫= ‪cn‬‬
‫כעת נדון במקרים עם ריבוי‪.‬‬
‫נסמן ב )‪ m (λ‬את הריבוי של הערך העצמי ‪ .λ‬מסקנה ממשפט ‪ weyl‬היא‪:‬‬
‫}‪m (λk ) |{z‬‬
‫)‪= o (k‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫) ‪m (λk‬‬
‫‪=0‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪lim‬‬
‫)נוכיח בהמשך‪ ,‬נניח כי זה נכון ונקבל‪(:‬‬
‫אם יש ריבוי‪:‬‬
‫) ‪k ≤ N (λk ) < k + m (λk‬‬
‫במימד ‪ ,2‬מחוק וויל נקבל‪:‬‬
‫) ‪N (λk‬‬
‫‪ =1‬‬
‫ ‪lim‬‬
‫‪|Ω|λk‬‬
‫‪4π‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫ומצד שני‪:‬‬
‫) ‪k ≤ N (λk ) < k + m (λk‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫) ‪m (λk‬‬
‫) ‪N (λk‬‬
‫‪≤1+‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫≤‪1‬‬
‫ולכן‪ ,‬בגבול ∞ → ‪ k‬נקבל‪:‬‬
‫) ‪N (λk‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫נחלק את השני בראשון ונקבל‪:‬‬
‫‪4πk‬‬
‫‪|Ω| λk‬‬
‫∼ ‪= 1 ⇒ λk‬‬
‫‪k→∞ 4πk‬‬
‫|‪|Ω‬‬
‫‪lim‬‬
‫בחזרה למשפט ‪:Pleijel‬‬
‫‪|Ω| λk‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π · j0,1‬‬
‫אבל‬
‫‪4πk‬‬
‫|‪|Ω‬‬
‫≤ ) ‪n (uk‬‬
‫∼ ‪ λk‬נחלק את האי שיוויון ב‪ k‬ונקבל‪:‬‬
‫) ‪n (uk‬‬
‫‪|Ω| λk‬‬
‫‪4‬‬
‫≤‬
‫‪−→ 2 < 0.7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪π · j0,1 k k→∞ j0,1‬‬
‫כעת נרצה להוכיח את הטענה‪:‬‬
‫‪73‬‬
‫פרק ‪ .3‬חוק ‪(1912) Weyl‬‬
‫‪ .3.3‬מסקנות‬
‫טענה ‪3.3.8‬‬
‫}‪.m (λk ) |{z‬‬
‫)‪= o (k‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ ,ε > 0‬קיים ‪ E0 > 0‬כך שלכל ‪ E > E0‬מתקיים‪:‬‬
‫)‪N (E‬‬
‫‪ <1+ε‬‬
‫ <‪1−ε‬‬
‫‪|Ω|E‬‬
‫‪4π‬‬
‫יהא ‪ k0‬מספר טבעי כך ש ‪ .λk0 > E0 + 1‬יהא ‪ λ‬ערך עצמי כך ש ‪.λ > E0 + 1‬‬
‫נניח כ )‪ k = N (λ − δ‬לכל ‪ δ‬מספיק קטן‪ .‬במקרה זה נקבל כי‪:‬‬
‫)‪N (λ) = k + m (λ‬‬
‫ולכן נקבל כי‪:‬‬
‫‪<1+ε‬‬
‫)‪N (λ − δ‬‬
‫)‪|Ω|(λ−δ‬‬
‫‪4π‬‬
‫<‪1−ε‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪<1+ε‬‬
‫)‪N (λ‬‬
‫‪|Ω|λ‬‬
‫‪4π‬‬
‫<‪1−ε‬‬
‫נתבונן במנה‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪(1 + ε) λ‬‬
‫)‪N (λ‬‬
‫<‬
‫)‪N (λ − δ‬‬
‫)‪(1 − ε) (λ − δ‬‬
‫≤‪1‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫)‪k + m (λ‬‬
‫‪(1 + ε) λ‬‬
‫<‬
‫‪k‬‬
‫)‪(1 − ε) (λ − δ‬‬
‫וזה נכון לכל ‪ δ‬מספיק קטן‪ ,‬לכן אנו יכולים להשאיף אותו לאפס ונקבל‪:‬‬
‫‪(1 + ε) λ‬‬
‫)‪m (λ‬‬
‫✁‬
‫≤‬
‫‪k‬‬
‫‪(1 − ε) λ‬‬
‫✁‬
‫‪1+‬‬
‫נחסר ‪ 1‬ונקבל‪:‬‬
‫)‪m (λ‬‬
‫‪2ε‬‬
‫≤‬
‫‪k‬‬
‫‪1−ε‬‬
‫נשים לב ש ‪ λ = λk+1‬ולכן‪:‬‬
‫‪2ε‬‬
‫) ‪m (λk+1‬‬
‫≤‬
‫‪k‬‬
‫‪1−ε‬‬
‫לכל ‪ ε > 0‬מצאנו ‪ k0‬כך שלכל ‪ k > k0‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪m (λk+1‬‬
‫‪<ε‬‬
‫‪k‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫)‪m (λk ) = o (k‬‬
‫כאשר ∞ → ‪ k‬כנדרש‪.‬‬
‫‪74‬‬
‫≤‪1‬‬
‫פרק ‪4‬‬
‫איזוספקטרליות‬
‫נרצה למצוא שני תחומים שונים )לא חופפים( עם אותו ספקטרום‪.‬‬
‫ממשפט וויל אנו יודעים כי אנו צריכים לחפש אותם באותו מימד‪ ,‬מכיוון שאחרת האסימפטוטיקה שלהם שונה‪ .‬וכמו כן‪ ,‬הם חייבים‬
‫להיות בעלי אותו נפח גם כן כמסקנה ממשפט וויל‪.‬‬
‫לשאלה זו יש היסטוריה מאוד מעניינת‪ ,‬זה התחיל משאלה בשנת ‪ 65‬של מרטין כץ‪:‬‬
‫”?‪“Can you hear the shape of a drum‬‬
‫בשנת ‪ 66‬מילנור פתר את הבעיה במימד ‪ ,17‬והוכיח שלא‪ ,‬מילנור מצא ‪ 2‬תיבות במימד ‪ 17‬עם תנאי שפה מחזוריים )כמו פונקציות‬
‫עצמיות על טורוס למעשה( והוא הראה שאין אף דוגמה בתיבות במימד קטן יותר‪.‬‬
‫בשנות ה‪ 90‬מצאו דוגמה נגדית במימד ‪ .2‬עבודה של גורדון וווב וולפרט‪ .‬וב‪ 94‬בוסדר הכלליל את הרעיון‪.‬‬
‫איור ‪ :4.1‬שני תופים דו מימדיים איזוספקטרלים‪ ,‬הדגומה של גורדון וווב וולפרט‪.‬‬
‫דוגמה יותר פשוטנה ניתנה ע״י בוסדר ב‪94‬׳‪ ,‬בדוגמה נלקח משולש שווה צלעות וסביב כל צלע בוצע שיקוף על אותה צלע ושוב שיקוף‬
‫על הצלע הבאה )עם כיוון השעון(‪ ,‬מתקבלת צורה של כוכב נינג׳ה‪ .‬זהו התחום הראשון‪ .‬התחום השני יהיה שיקוף של ראשון באופן‬
‫דומה‪ ,‬רק בפעם השניה נגד כיוון השעון‪ .‬למעשה קיבלנו צורה שלמה שהיא שיקוף של המקורית‪ ,‬ברור כי הם איזוספקטרלים‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬במקום לקחת משולשים שווי צלעות‪ ,‬נקח משולשים חדי־זווית עם צלעות שונות זו מזו )‪ (x, y, z‬ונקבל את ‪ .Ω1‬ואילו עבור‬
‫השיקוף נגד כיוון השעון נקבל את ‪.Ω2‬‬
‫✞‬
‫☎‬
‫תרגיל‪ Ω1 , Ω2 :‬אינם חופפים‪.‬‬
‫✆‬
‫נרצה להראות כי הם בעלי אותו ספקטרום‪.‬‬
‫נגדיר העתקה ) ‪ T : C (Ω1 ) → C (Ω2‬כך שהיא תהא רציפה‪.‬‬
‫✝‬
‫הערה ‪ 4.0.9‬ניתן למצוא את המאמר של בוסר כאן‪.http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/drum/drum.pdf :‬‬
‫העתקה מוגדרת באופן הבא‪:‬‬
‫‪75‬‬
‫פרק ‪ .4‬איזוספקטרליות‬
‫‪ .4.1‬עקרון השיקוף‬
‫‪2-5-3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0+5-4‬‬
‫‪0+3-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4-3-6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1+2+4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0+6-2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1-6-5‬‬
‫‪3‬‬
‫איור ‪ :4.2‬העתקה בין התחומים‬
‫נשים לב ש ‪ T‬שומרת על פונקציות עצמיות‪.‬‬
‫כאשר ‪ W λ‬הוא המרחב העצמי עם ערך עצמי ‪.λ‬‬
‫מכאן אנו מסיקים כי ‪ dim WΩλ2 ≥ dim WΩλ1‬באופן סמטרי קיימת העתקה דומה מ‬
‫‪.S : WΩλ2 ֒→ WΩλ1‬‬
‫ולכן נקבל כי ‪ .dim WΩλ2 = dim WΩλ1‬כלומר‪ ,‬הערכים העצמיי וריבויים ב ‪ Ω1‬שווים לאלה ב ‪.Ω2‬‬
‫‪4.1‬‬
‫עקרון השיקוף‬
‫∗‪ Ω‬שיקוף של ‪ Ω‬ביחס לעל מישור ‪ u .ℓ‬פונקציה עצמית דיריכלה ב ‪.Ω‬‬
‫(‬
‫)‪u (x‬‬
‫‪x∈Ω‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫∗‬
‫∗‪−u (x ) x ∈ Ω‬‬
‫‬
‫אז ‪ f‬היא ‪ C 2‬והיא פונקצייה עצמית של ∗‪) .V = int Ω ∪ Ω‬כאשר ∗‪ x‬היא השיקוף של ‪ x‬ביחס לישר ‪.(ℓ‬‬
‫הסיבה לכך היא רגולריות אליפטית‪ .‬למעשה אנו מראים כי זו פונקציה עצמית חלשה )מכיוון שאנו לא יודעים שבמישור ‪ ℓ‬היא בכלל‬
‫גזירה פעמים(‪ .‬אזי אנו מראים כי‪:‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫ˆ‬
‫‪E‬‬
‫‪~ ∇ϕ‬‬
‫~‬
‫‪f ϕdx‬‬
‫)התחום המאוחד( ∞‪∀ϕ ∈ Cc‬‬
‫‪∇f,‬‬
‫‪dx = λ‬‬
‫∗‪Ω∪Ω‬‬
‫∗‪Ω∪Ω‬‬
‫נבדוק ש ‪ f‬היא פונקציה עצמית חלשה‪ .‬נשים לב ש ) ‪.f ∈ C 1 (V‬‬
‫נבדוק‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪ˆ D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪~ ∇ϕ‬‬
‫~‬
‫‪∇f,‬‬
‫‪dx = λ f ϕdx‬‬
‫‪V‬‬
‫) ‪∀ϕ ∈ Cc∞ (V‬‬
‫‪V‬‬
‫נבדוק מה קורה ב ‪:Ω‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪ϕdσ‬‬
‫‪∂n‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω∩ℓ‬‬
‫‪λuϕdx +‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂u‬‬
‫= ‪ϕdσ‬‬
‫‪∂n‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪(∆u) ϕdx +‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫ועבור ∗‪:Ω‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪~ (y ∗ ) , ∇ϕ‬‬
‫‪~ (y ∗ ) dy‬‬
‫‪∇f‬‬
‫‪Ω‬‬
‫=‬
‫}‪|{z‬‬
‫שיקוף‬
‫∗‪y = x‬‬
‫‪76‬‬
‫‪E‬‬
‫‪~ ∇ϕ‬‬
‫~‬
‫‪∇u,‬‬
‫}‪dx |{z‬‬
‫‪= −‬‬
‫גרין‬
‫‪ˆ D‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪E‬‬
‫‪~ ∇ϕ‬‬
‫~‬
‫‪∇f,‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪~ (x) , ∇ϕ‬‬
‫‪~ (x) dx‬‬
‫‪∇f‬‬
‫∗‪Ω‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫‪Ω‬‬
‫פרק ‪ .4‬איזוספקטרליות‬
‫‪ .4.1‬עקרון השיקוף‬
‫הערה ‪ 4.1.1‬היעקוביאן של שיקוף הוא ‪ ,−1‬ולבנוסחת החלפת משתנה יש ערך מוחלט‪ ,‬לכן אין השפעה על הסימן‪.‬‬
‫אבל מהגדרת ‪ f‬נקבל‪:‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪~ (y) , ∇ϕ‬‬
‫‪~ (y ∗ ) dy‬‬
‫‪−∇u‬‬
‫=‬
‫נסמן ) ∗ ‪ . ϕ∗ (y) = −ϕ (y‬נקבל‪:‬‬
‫‪E‬‬
‫‪~ (y) , −∇ϕ‬‬
‫‪~ ∗ (y) dy‬‬
‫‪−∇u‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫=‬
‫‪Ω‬‬
‫הערה ‪ 4.1.2‬ננסה מחדש‪ ,‬סתם סיבכנו את הדרך‪.‬‬
‫‪∂f‬‬
‫= ‪ϕdσ‬‬
‫∗ˆ‪∂ n‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪E‬‬
‫~‬
‫~‬
‫‪∇f, ∇ϕ dx = − (∆f ) ϕdx +‬‬
‫∗‪Ω‬‬
‫∗‪∂Ω‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫∗‪Ω‬‬
‫‪ f‬היא ‪ C 1‬לכן בחלק השני הנגזרות הכיווניות שוות בגודלן‪ ,‬אבל בגלל שאנו באים בשיקוף‪ ,‬הן מנוגדות בכיוונם‪ .‬ולכן‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪∂f‬‬
‫‪= λ f ϕdx −‬‬
‫‪ϕdσ‬‬
‫‪∂n‬‬
‫ˆ‬
‫‪∂Ω∗ ∩ℓ‬‬
‫∗‪Ω‬‬
‫נסכם ונקבל‪:‬‬
‫‪λf ϕdx‬‬
‫ˆ‬
‫∗‪Ω∪Ω‬‬
‫= ‪λf ϕdx‬‬
‫ˆ‬
‫‪λf ϕdx +‬‬
‫∗‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫כלומר‪ f ,‬היא באמת פונקציה עצמית חלשה‪.‬‬
‫‪77‬‬
‫‪E‬‬
‫‪~ ∇ϕ‬‬
‫~‬
‫‪∇f,‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪D‬‬
‫ˆ‬
‫∗‪Ω∪Ω‬‬
‫פרק ‪5‬‬
‫זמנים מודרניים‪ .‬או‪ :‬מה עושים כיום?‬
‫קבוצת האפסים של פונקצייה עצמית‪ .‬מסתכלים על הקבוצה }‪) {uλ = 0‬הקבוצה הנודלית(‪ .‬כיצד הקבוצה הנודלית נראית עבור ‪λ‬‬
‫מאוד גדול?‬
‫הגדרה ‪ 5.0.3‬נאמר שקבוצה ‪ X) A ⊂ X‬מרחב מטרי( היא ‪ε‬־צפופה ‪ .‬אם כל כדור ∅ =‪ A ∩ B (p, ε) 6‬לכל ‪.p ∈ X‬‬
‫משפט ‪5.0.4‬‬
‫הקבוצה }‪ {uλ = 0‬היא‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫√‬
‫‪λ‬‬
‫צפופה‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫הערה ‪ C 5.0.5‬לא תלוי ב ‪ .λ‬במישור‪λ1 (B1 ) :‬‬
‫= ‪.C‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהא ‪ B (p, r) ⊆ Ω‬כדור אשר לא מכיל אפסים של ‪.uλ‬‬
‫קיים תחום נודלי של ‪ ,Ωλ ,uλ‬כך ש ‪ B (p, r) ⊆ Ωλ‬ואז‪:‬‬
‫) ‪λ1 (B1‬‬
‫‪= λ1 (B (p, r)) ≥ λ1 (Ωλ ) = λ‬‬
‫‪r2‬‬
‫כלומר‪ ,‬נקבל חסם‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫) ‪λ1 (B1‬‬
‫√‬
‫≤‪r‬‬
‫‪λ‬‬
‫משפט ‪8791 ,semorG gninurB 5.0.6‬‬
‫במימד ‪:2‬‬
‫√‬
‫‪λ‬‬
‫· |‪length ({ϕλ = 0}) ≥ C |Ω‬‬
‫כאשר ‪ C‬לא תלוי ב ‪ λ‬ולא ב ‪.Ω‬‬
‫‪3j‬‬
‫הוכחה‪ :‬נכסה את ‪ Ω‬ע״י רשת של ריבועים בצלע‬
‫‪) 3a = √0,1‬במימד ‪ ,2‬אנו יודעים כי זה הערך העצמי הראשון(‪ .‬נעשה ״זום״ לריבוע‬
‫‪λ‬‬
‫כזה‪ ,‬ונסתכל על עיגול ברדיוס ‪ .a‬נסמן את הריבוע ‪ Q‬ואת העיגול ‪ .B‬כלומר ‪ B ⊂ Q‬עיגול ברדיוס ‪ a‬עם מרכז כמו של ‪.Q‬‬
‫∅ =‪B ∩ {ϕλ = 0} 6‬‬
‫נקח נקודה בעיגול אפשר ‪ ϕ‬מתאפס‪ .‬אם המסילה יוצאת מהריבוע‪ ,‬האורך שלה לכל הפחות הוא ‪. a2‬‬
‫קיים תחום נודלי ‪ Ωλ‬כך ש ∅ =‪ Ωλ 6⊂ Q .∂Ωλ ∩ B 6‬אז‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫≥ )‪length (Ωλ ∩ Q‬‬
‫‪78‬‬
‫פרק ‪ .5‬זמנים מודרניים‪ .‬או‪ :‬מה עושים כיום?‬
‫‪ .5.1‬קשר בין ערכים עצמיים נויימן לדיריכלה‬
‫אם ‪ ∂Ωλ ⊂ Q‬אז ‪ Ωλ ⊂ Q‬ולפי ‪ Faber-Krahn‬נקבל כי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j0,1‬‬
‫‪j0,1‬‬
‫=‬
‫) ‪λ1 (Ωλ‬‬
‫‪λ‬‬
‫≥ | ‪|Ωλ‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4πj0,1‬‬
‫‪λ‬‬
‫≥‬
‫}‪|{z‬‬
‫≥ | ‪4π |Ωλ‬‬
‫‪|∂Ωλ |2‬‬
‫אי־שיוויון איזופרימטרי‬
‫ואז‪:‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪2 πj0,1‬‬
‫√ ≥ | ‪|∂Ωλ‬‬
‫‪= 2 πa‬‬
‫‪λ‬‬
‫בכל ריבוע ‪:Q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫≥ )‪length ({ϕλ = 0} ∩ Q‬‬
‫עבור ש מספיק קטןת רשת ריבועים עם צלע ש מכסה לפחות |‪ . 12 |Ω‬מספר הריבועים הוא לפחות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫|‪|Ω‬‬
‫‪9a2‬‬
‫אם כך‪:‬‬
‫√‬
‫‪|Ω| a‬‬
‫|‪|Ω‬‬
‫‪|Ω| λ‬‬
‫= ·‬
‫=‬
‫≥ )}‪length ({ϕλ = 0‬‬
‫‪9a2 2‬‬
‫‪36a‬‬
‫‪36j0,1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫לכל ‪ λ‬מספיק גדול‪.‬‬
‫עבור מימד גבוה יותר זה לא עובד מכיוון שניתן ״לדחוס״ את הצורה כך שהשטח יהיה אפסי אבל עדיין נחדור עמוק לתוך הקוביה‪.‬‬
‫השערת ‪ Yau‬משנת ‪ 1980‬קובעת כי‪:‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪CΩ1 λ ≤ Voln−1 ({ϕλ = 0}) ≤ CΩ2 λ‬‬
‫מדובר בהשערה פתוחה‪.‬‬
‫בשנת ‪ 1988‬היא הוכחה למקרה פרטי ע״י ‪ Donnelly‬ו‪ Fefferman :‬עבור משפחה מאוד כללית של יריעות‪.‬‬
‫)עבור ‪ ∂Ω 6= ∅ ,Ω ⊂ R3‬ולכן זה מקרה קשה יותר מיריעות(‪.‬‬
‫‪5.1‬‬
‫קשר בין ערכים עצמיים נויימן לדיריכלה‬
‫ראינו כי‪:‬‬
‫‪µk ≤ λk‬‬
‫הוכחה של ‪ L. Friedlander‬משנת ‪ 1992‬למשפט‪:‬‬
‫‪79‬‬
‫פרק ‪ .5‬זמנים מודרניים‪ .‬או‪ :‬מה עושים כיום?‬
‫‪ .5.1‬קשר בין ערכים עצמיים נויימן לדיריכלה‬
‫משפט ‪5.1.1‬‬
‫‪.µk+1 ≤ λk‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪k u1 , . . . , uk‬־פונקציות עצמיות ראשונות של דיריכלה‪.‬‬
‫נוסיף פונקצייה ‪ v‬כך ש‪ v = sin hω, xi :‬או ‪ v = cos hω, xi‬כאשר ‪) .ω ∈ Rn‬כלומר מדובר בפונקציות )‪ sin (ω1 x + ω2 y‬במידה‬
‫ואנו מדברים על ‪.(R2‬‬
‫למה ‪5.1.2‬‬
‫קיים ‪ ω ∈ Rn‬כך ש‪:‬‬
‫}‪{u1 , . . . , uk , sin hω, xi , cos hω, xi‬‬
‫היא בת״ל‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬הסיבה לכך היא ש ‪ sin hω, xi‬ו‪ sin hω ′ , xi :‬בת״ל לכל ‪.ω 6= ω ′‬‬
‫במימד אחד‪ ,‬הטענה היא‪:‬‬
‫}‪{sin α1 x, . . . , sin αl x‬‬
‫הן בת״ל אם ‪ αi‬שונים זה מזה‪.‬‬
‫נניח כי‪:‬‬
‫‪a1 sin (α1 x) + . . . + am sin (αm x) = 0‬‬
‫הצירוף המינימלי של פונקציות התלויות לינארית‪.ai ∈ R .‬‬
‫נגזור לפי ‪ x‬פעמיים ונכפול ב ‪ −1‬ונקבל‪:‬‬
‫‪a1 α21 sin (α1 x) + . . . + am α2m sin (αm x) = 0‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נכפול את המשוואה המקורית ב ‪ α21‬ונקבל‪:‬‬
‫‪a1 α21 sin (α1 x) + . . . + am α2m sin (αm x) = 0‬‬
‫נחסר את שתי המשוואות‪ ,‬ונקבל כי המחובר הראשון נופל‪ ,‬ואז קיבלנו‪:‬‬
‫‬
‫‪α22 − α21 sin (α2 x) + . . . = 0‬‬
‫‪α2‬‬
‫כלומר‪ ,‬פחות מחובר אחד אשר מתאפס‪ .‬כלומר סתירה למינימליות‪.‬‬
‫אם‪:‬‬
‫‪cos2 hω, xi dx‬‬
‫ˆ‬
‫≤ ‪sin2 hω, xi dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫ˆ‬
‫‪Ω‬‬
‫נקח ‪ v = cos hω, xi‬אחרת נקח ‪.v = sin hω, xi‬‬
‫נשים לב‬
‫‪= − (sin hω, xi) ωi‬‬
‫‪= − (cos hω, xi) ωi2‬‬
‫‪80‬‬
‫)‪(∂i v‬‬
‫‬
‫‪∂i2 v‬‬
‫ קשר בין ערכים עצמיים נויימן לדיריכלה‬.5.1
?‫ מה עושים כיום‬:‫ או‬.‫ זמנים מודרניים‬.5 ‫פרק‬
:‫כלומר‬
2
∆v = −v kωk = −λk v
.λk = kωk2 ‫ כך ש‬ω ‫נוכל לקחת‬
:‫ הנפרש ע״י‬L ‫נביט בתת המרחב‬
L = span {u1 , . . . , uk , v} ⊂ H 1 (Ω)
dim L = k + 1
Ray (L) =
sup
f ∈L
f 6= 0
´ 2
~ ∇f
Ω
´
f2
Ω
:‫נרצה להראות כי‬
Ray (L) ≤ λk
:‫מעקרון הוריאצייה ינבע ש‬
µk+1 =
inf
Ray (V ) ≤ λk
V ⊂ H1
dim V = k + 1
:‫נסמן‬
L0 = span {u1 , . . . , uk }
L = L0 ⊕ Rv
:u ∈ L0 ‫ כאשר‬f = u + av .f ∈ L :‫תהא‬
ˆ 2
ˆ ˆ
ˆ
ˆ D
2
2
2
E
~ ~
~ ~ 2
~
~ ∇v
~
∇u,
dx
∇f dx = ∇u + a∇v dx = ∇u dx + a
∇v dx + 2a
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
:‫נשים לב‬
ˆ 2
ˆ
~ ∇u dx ≤ λk u2
Ω
Ω
ˆ 2
ˆ
ˆ
ˆ
~ 2
2
∇v dx = λk sin hω, xi dx ≤ λk cos hω, xi dx = λk v 2 dx
Ω
Ω
Ω
81
‫‪ .5.2‬כדורים חסומים בתחומים נודליים‬
‫פרק ‪ .5‬זמנים מודרניים‪ .‬או‪ :‬מה עושים כיום?‬
‫ˆ‬
‫ ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪E‬‬
‫‬
‫‪∂v‬‬
‫‪~ ∇v‬‬
‫~‬
‫~‬
‫‪∇u,‬‬
‫‪dx = −‬‬
‫‪u∇v‬‬
‫‪dx + u dσ = λk uvdx‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪∂Ω‬‬
‫‪ˆ D‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ ~‬
‫‪2‬‬
‫‪∇f dx ≤ λk u2 dx + a2 λk v 2 dx + 2aλk uvdx = λk (u + av) dx = λk f 2 dx‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫‪Ω‬‬
‫הערה ‪ 5.1.3‬עוד הוכחה של ‪ Filonov‬ב‪.2004‬‬
‫‪ 5.2‬כדורים חסומים בתחומים נודליים‬
‫שאלה האם זה נכון שקיים קבוע ‪ An‬שבכל תחום נודלי ‪ Ωλ‬קיים כדור ברדיוס‬
‫נתמקד במימד ‪ ,2‬על מנת להמנע מפגיעה עם השפה‪ ,‬נקח‬
‫‪j0,1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪An‬‬
‫√‬
‫‪λ‬‬
‫)במקרה של ‪.(A2 = j0,1 n = 2‬‬
‫‪j0,1‬‬
‫במקום ‪ .j0,1‬כלומר‪ ,‬רדיוס‪. √2λ :‬‬
‫מ‪ Faber-Krahn‬אנו יודעים כי‪:‬‬
‫‪Bn‬‬
‫‪λ‬‬
‫כל כדור ברדיוס‬
‫‪Cn‬‬
‫√‬
‫‪λ‬‬
‫≥ ) ‪Vol (Ωλ‬‬
‫פוגש אפס של ‪) uλ‬אולי על שפת הכדור(‪ .‬לכן אם התשובה היא חיובית אז בהכרח‪.C2 < j0,1 :‬‬
‫הערה ‪ 5.2.1‬אם התשובה לשאלה היא חיובית אז נובע שקיים קבוע ‪ cn‬כך ש‪:‬‬
‫‪Bn‬‬
‫‪Vol (Ωλ ) ≥ √ n‬‬
‫‪λ‬‬
‫הערה ‪ 5.2.2‬ברור שאם התשובה לשאלה הנ״ל חיובית אז ‪An < Cn‬‬
‫זוהי שאלה פתוחה‪.‬‬
‫משפט ‪5.2.3‬‬
‫‪A2‬‬
‫√‪.‬‬
‫במימד ‪ ,2‬קיים ‪ A2 > 0‬כך ש רדיוס המעגל החסום של ‪ Ωλ‬הוא לפחות‬
‫‪λ‬‬
‫הערה ‪ 5.2.4‬נוכל לנסח את המשפט על צפיפות התחומים הנודליים כך‪:‬‬
‫‪Cn‬‬
‫רדיוס הכדור החסום ב ‪ Ωλ‬הוא קטן מ‬
‫√‪.‬‬
‫‪λ‬‬
‫זה נכון בכל מימד‪ ,‬לעומת המשפט שנכון במימד ‪ 2‬ולא ברור אם במימדים אחרים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נצייר את ‪.Ωλ‬‬
‫נכסה אותו ברשת של ריבועים עם צלע ‪.3a‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫) ‪a = 2inrad (Ωλ‬‬
‫)כאשר ‪ inrad‬הוא רדיוס מעגל חסום(‪.‬‬
‫‪82‬‬
‫‪ .5.2‬כדורים חסומים בתחומים נודליים‬
‫פרק ‪ .5‬זמנים מודרניים‪ .‬או‪ :‬מה עושים כיום?‬
‫כל ריבוע כזה נסמן ב ‪.Q‬‬
‫נבצע ‪ Zoom‬על ריבוע‪.‬‬
‫∈ ‪.p‬‬
‫בעיגול ברדיוס ‪ a‬מרכז הריבוע קיימת נקודה ‪/ Ωλ‬‬
‫נתבונן בפונקציה‪:‬‬
‫)‪uλ (x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ∈ Ωλ‬‬
‫∈‪x‬‬
‫‪/ Ωλ‬‬
‫(‬
‫‪u‬‬
‫= )‪˜λ (x‬‬
‫נקח ‪ p‬נקודה בריבוע כנ״ל‪ .‬נסתכל על רכיב הקשירות ‪ D‬של ‪ Ω\Ωλ‬שמכיל את ‪.p‬‬
‫‪ u‬ואורך ההיטל על אחת הצלעות של ‪ γ‬הוא ≤‬
‫⊂ ‪ D‬אז קיים עקום ‪ γ ⊂ Q‬כך ש ‪˜λ |γ = 0‬‬
‫אפשרות אחת‪6 Q :‬‬
‫אפשרות שנייה‪ .D ⊂ Q :‬לפי ‪F.K‬‬
‫בנוסף אנו יודעים כי‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪. a2‬‬
‫≥ ‪ AreaD‬ולכן‪ ,‬אורך ההיטל של ‪ D‬על אחד הצירים הוא לפחות ‪. √Cλ ≥ C ′ · a‬‬
‫‪C2‬‬
‫√ ≤‪a‬‬
‫‪λ‬‬
‫)ממשפט הצפיפות(‪ .‬מכאן אורך ההיטל של ‪ D‬על אחת הצלעות הוא לפחות‪:‬‬
‫‪C′ · a‬‬
‫‪ u‬מתאפסת על קבוצה שההטל שלה על אחת הצלעות הוא מאורך לפחות ‪) δ · a‬כאשר ‪.(δ > 0‬‬
‫בכל מקרה‪ ,‬קיבלנו ש ‪˜λ‬‬
‫נעזר במשפט הבא‪:‬‬
‫משפט ‪5.2.5‬‬
‫‪ Q‬ריבוע עם צלע ‪ f .b‬פונקציה שמתאפסת על קבוצה ‪ D ⊂ Q‬עם הטל ≤ ‪ .δa‬אז‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫ ~‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f dm ≤ Cδ b‬‬
‫‪∇f dm‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫הסיבה שהמשפט נכון היא כי במימד אחד אם ‪ f‬מתאפסת ב ]‪ x0 ∈ [0, b‬אז‪:‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ′ (t) dt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (t) dt ≤ b‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪0‬‬
‫אם כך‪ ,‬בכל ריבוע מתקיים‪:‬‬
‫ ˆ‬
‫‬
‫‪ ~ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u‬‬
‫)‪˜2λ dx ≤ Cδ (3a‬‬
‫‪uλ dx‬‬
‫˜∇‬
‫‪Q‬‬
‫נסכם את אי השיוויונים על כל הריבועים ונקבל‪:‬‬
‫ ˆ‬
‫‬
‫‪ ~ 2‬‬
‫‪u2λ dx ≤ 9 · Cδ a2 ∇u‬‬
‫‪λ dx‬‬
‫‪Ωλ‬‬
‫ˆ‬
‫‪u2λ dx‬‬
‫‪Ωλ‬‬
‫· ‪= 9Cδ a2 λ‬‬
‫‪Ωλ‬‬
‫‪83‬‬
‫‪Q‬‬
‫= ‪u˜2λ dx‬‬
‫לפי מנת ריילי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‪X‬‬
‫‪Q Q‬‬
‫‪ .5.3‬אי שיוויון מטיפוס ‪Poincaré‬‬
‫פרק ‪ .5‬זמנים מודרניים‪ .‬או‪ :‬מה עושים כיום?‬
‫כלומר‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‪′‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫√ ≥ ‪1 ≤ Cδ (3a) λ ⇒ a‬‬
‫‪λ‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪′′‬‬
‫‪C‬‬
‫√ ≥ ) ‪inrad (Ωλ‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪ 5.3‬אי שיוויון מטיפוס ‪Poincaré‬‬
‫משפט ‪5.3.1‬‬
‫‬
‫בהינתן ריבוע ‪ Q‬עם צלע ‪ ,a‬ובהינתן ‪ .f : Q → R‬נניח כי ‪ f‬היא ליפשיצית )נוכל להניח ‪.(f ∈ C Q‬‬
‫נניח ש ‪ f‬מתאפסת על קבוצה ‪ D ⊂ Q‬כך של ‪ D‬יש הטל על אחת הצלעות מאורך < ‪ δa‬עבור ‪.1 ≥ δ > 0‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪ 2‬‬
‫ ~‬
‫‪f 2 dm ≤ a2 · cδ ∇f‬‬
‫‪ dm‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫הערה ‪ 5.3.2‬כאשר ‪ δ → 0‬אז ∞ → ‪.cδ‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית נוכיח את הלמה הבאה‪:‬‬
‫למה ‪5.3.3‬‬
‫תהא ‪ f : [0, b] → R‬גזירה‪ .‬נניח שקיים ]‪ x0 ∈ [0, b‬כך ש ‪ f (x0 ) = 0‬אז‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ′ (t) dt‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (t) dt ≤ b‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪0‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪f ′ (t) dt‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫‪x0‬‬
‫= ) ‪f (x) = f (x) − f (x0‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ′ (t) dt‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 dt ≤ b‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪′‬‬
‫· ‪f (t) dt‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫≤‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪ x0‬קושי שוורץ‬
‫נבצע אינטגרציה‪:‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫‪′‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f (t) dt dx = b‬‬
‫‪f ′ (t)2 dt‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (t) dt‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪0‬‬
‫נתבונן בקבוצה‪:‬‬
‫})‪E = {(x, y) ⊂ Q | x ∈ π (D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (x) = ‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪f (x)2 dx ≤ b‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫‪84‬‬
‫‪′‬‬
‫‪ˆx‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .5.3‬אי שיוויון מטיפוס ‪Poincaré‬‬
‫פרק ‪ .5‬זמנים מודרניים‪ .‬או‪ :‬מה עושים כיום?‬
‫הערה ‪ 5.3.4‬נוכל להניח כי ההטל הגדול הוא על ציר ‪.x‬‬
‫כמו כן‪ ,‬אנו יודעים כי‪:‬‬
‫|‪|E| ≥ δ |Q‬‬
‫נסמן ב } ‪Ex0 = E ∩ {x = x0‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪f (t, s)2 ds dt‬‬
‫‪ˆa‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫= ‪f (x)2 dx‬‬
‫‪E‬‬
‫)‪π(E‬‬
‫מהלמה נקבל כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫ ‪ˆ ˆa‬‬
‫‪2‬‬
‫~‬
‫‬
‫ ~‬
‫ ~‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∇f (t, s) dsdt = a‬‬
‫‪∇f (x) ≤ a‬‬
‫‪∇f dx‬‬
‫‪(∂s f ) (t, s) ds dt ≤ a2‬‬
‫‪π(E) 0‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ˆa‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a ‬‬
‫ˆ‬
‫≤‬
‫)‪π(E‬‬
‫כעת‪ ,‬צריך לחשב את האינטגרל מחוץ ל ‪ E‬זה קצת יותר מורכב‪ .‬נבחין כי קיים )‪ t0 ∈ π (E‬כך ש‪:‬‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫ ~‬
‫‪∇f dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪δ‬‬
‫≤ ‪f 2 dx‬‬
‫‪Q‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪δa‬‬
‫‪1‬‬
‫|)‪|π (E‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪f (x) dx‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪f (t0 , s) ds‬‬
‫‪ˆb‬‬
‫‪0‬‬
‫נתבונן בנקודה )‪ (t, s‬נבחין כי‪:‬‬
‫‪(∂1 f ) (α, s) dα‬‬
‫‪ˆt‬‬
‫‪f (t, s) = f (t0 , s) +‬‬
‫‪t0‬‬
‫אנו רוצים להעריך את ‪f (t, s)2‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ) ‪(∂1 f ) (α, s) dα (t − t0‬‬
‫ ‪ˆa‬‬
‫‪2‬‬
‫~‬
‫‬
‫‪(α, s) dα‬‬
‫‪2f (t0 , s) + 2a ∇f‬‬
‫‪ˆt‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪≤ 2f (t0 , s) + 2‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫קושי שוורץ‬
‫‪ t‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (t, s) ≤ 2f (t0 , s) + 2  (∂1 f ) (α, s) dα‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪0‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫‪ˆ 2‬‬
‫ ‪ˆa ˆa‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫ ~‬
‫ ~‬
‫~‬
‫‪2‬‬
‫‪f (t0 , s) ds + 2a‬‬
‫‪ dx + 2a ∇f‬‬
‫‪ dx‬‬
‫‪∇f (α, s) dαds ≤ · ∇f‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪0‬‬
‫כעת‪:‬‬
‫‪ 2‬‬
‫ ~‬
‫‪∇f dx‬‬
‫‬
‫ˆ‬
‫‪2a2‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ‪f (t, s) dsdt‬‬
‫‪+ 2a‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪{z‬‬
‫‪}Q‬‬
‫|‬
‫∞ →‪Cδ −‬‬
‫‪δ→0‬‬
‫‪85‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ˆa ˆa‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ˆa‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (t, s) ds ≤ 2‬‬
‫‪ˆa‬‬
‫‪0‬‬