VERIŽNI ULOMKI IN NJIHOVA UPORABA

Univerza v Ljubljani
Fakulteta za matematiko in fiziko
Oddelek za matematiko
Matematika – 1. stopnja
Lucia Palme
VERIŽNI ULOMKI IN NJIHOVA UPORABA
Delo diplomskega seminarja
Mentorja: Tomaž Košir in Alessandro Logar
Ljubljana, 2010
Povzetek
Diplomska naloga preučuje enostavne verižne ulomke, ki so oblike
1
a0 +
1
a1 +
a2 +
,
1
a3 + · · ·
kjer so elementi a0 , a1 , a2 , . . . realna števila.
V prvem razdelku uvedemo temeljne definicije, ki se tičejo končnih in neskončnih verižnih ulomkov. Pri
preučevanju lastnosti verižnih ulomkov se bomo soočili s pomenom ostankov in približkov.
Glavni del prvega razdelka je namenjen konvergenci danega neskončnega verižnega ulomka; odkrili bomo,
da je zadosten pogoj za to, da je limita verižnega ulomka realno število α, da so njegovi elementi pozitivna cela
števila.
Dokazali bomo, da obstaja bijektivna preslikava med množicama realnih števil in verižnih ulomkov; poleg
tega bo iz pomembnega izreka sledil rezultat, da je verižni ulomek neskončen če in samo če konvergira k
iracionalnemu številu.
V drugem razdelku obravnavamo uporabo verižnih ulomkov v teoriji diofantske aproksimacije, to je aproksimacije realnih števil z racionalnimi števili. Dokazali bomo, da so približki danega verižnega ulomka, kateremu
pripada realno število α, najboljše aproksimacije števila α. Poleg tega bomo videli, da se algebrska števila približajo verižnim ulomkom samo do neke mere. Posledično bomo odkrili, kako je francoski matematik Liouville
v XIX. stoletju dokazal obstoj transcendentnih števil.
Zadnji del drugega razdelka je namenjen dokazu izreka, ki trdi, da je število α kvadratni iracional če in samo
če ga lahko razvijemo v periodičen verižni ulomek.
Tretji razdelek je namenjen Evklidovemu algoritmu in dokazuje, kako je povezan s prejšnjimi vsebinami;
točneje, dokažemo, da so elementi končnih verižnih ulomkov enaki ostankom, ki se pojavijo v procesu algoritma.
Z uporabo teorije, ki se bavi s Finonaccijevimi števili, bomo končno prišli do pomembnega rezultata, ki
zaključuje diplomsko nalogo, in ocenjuje število ponavljanj postopka Evklidovega algoritma.
Math. Subj. Class. (2010): 11A55
Ključne besede: verižni ulomki, racionalna in iracionalna števila, Evklidov algoritem, algebrska in transcendentna števila
Key words: continued fractions, rational and irrational numbers, Euclidean algorithm, algebraic and transcendental numbers
Literatura
1. H. Davenport, Aritmetica superiore : un’introduzione alla teoria dei numeri, Zanichelli, Bologna, 1994.
2. D. E. Joyce, Euclid’s Elements, [ogled 15. oktober 2010], dostopno na
http://aleph0.clarku.edu/∼djoyce/java/elements/elements.html.
3. A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 3rd ed., Dover, Mineola, 1997.
4. D. E. Knuth, The Art of Computer Programming. Vol.1, Fundamental Algorithms, 2nd ed., AddisonWesley series in computer science and information processing, Addison-Wesley, Reading, 1969.
5. D. E. Knuth, The Art of Computer Programming. Vol.2, Seminumerical Algorithms, 2nd ed., AddisonWesley series in computer science and information processing, Addison-Wesley, Reading, 1981.
6. W. J. LeVeque, Elementary Theory of Numbers, Addison-Wesley series in introductory mathematics,
Addison-Wesley, Reading, 1962.