1. MATRIKE IN SISTEMI LINEARNIH ENAˇCB

ˇ
1. MATRIKE IN SISTEMI LINEARNIH ENACB
1.1
Matrike
Definicija 1.1: Matrika je pravokotna shema m · n elementov, ki so razporejeni v m
vrstic in n stolpcev. Dimenzijo matrike oznaˇcimo z m × n.
Matrike oznaˇcujemo z velikimi tiskanimi ˇcrkami A, B, C, . . . Sploˇsno lahko matriko A zapiˇsemo:


a11
 a21
A=
 ...
a12
a22
..
.
···
···
..
.
am1 am2 · · ·
a1n
a2n 
.. 
. 
(1.1)
amn
Oznaka elementa aij pomeni, da se ta element nahaja v i-ti vrstici in v j-tem stolpcu. Matrike
pogosto oznaˇcujemo tudi z (aij ). Elementi matrike so lahko ˇstevila, izrazi, funkcije.
PRIMER 1.1
Primeri matrik:


2 3 −1
3 4 −5
−2 4


5 5
2 , B=
, C=
A=
1 2
2
8 1
−3 1 −1
Dimenzija matrike A je 3 × 3, matrike B 2 × 2 in matrike C je 2 × 3.
Definicija 1.2: Dve matriki sta enaki, ˇce imata enaki dimenziji in se ujemata v vseh
istoleˇznih elementih.
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
2
Posebni primeri matrik
Definicija 1.3: Niˇ
celna matrika je matrika, katere elementi so vsi enaki 0.





0 0 ···
0 0 ···
.. .. . .
.
. .
0 0 ···
0
0
..
.





0
Definicija 1.4: Transponirana matrika AT k dani matriki A je matrika, ki jo dobimo
tako, da zamenjamo vrstice in stolpce matrike A.
PRIMER 1.2
ˇ je matrika
Ce


2 3 −1
2 ,
A= 5 5
−3 1 −1
je njena transponirana matrika


2 5 −3
1 .
AT =  3 5
−1 2 −1
Oˇcitno velja: (AT )T = A.
Definicija 1.5: Kvadratna matrika je matrika, ki ima enako ˇstevilo vrstic in stolpcev.
PRIMER 1.3
Matriki


2 3 −1
−2 4


5 5
2 , B=
A=
8 1
−3 1 −1
sta kvadratni. Matrika A je dimenzije 3 × 3, matrika B pa dimenzije 2 × 2.
Definicija 1.6: Glavno diagonalo matrike dimenzije m × n sestavljajo elementi
aii , i = 1, 2, . . . , min{m, n}.
PRIMER 1.4
Matrika A iz primera 1.3 ima na glavni diagonali elemente a11 = 2, a22 = 5 in a33 = −1.
Definicija 1.7: Diagonalna matrika je kvadratna matrika, v kateri so vsi elementi,
ki ne leˇzijo na glavni diagonali, enaki 0.
PRIMER 1.5
Matriki
sta diagonalni matriki.


2 0
0
−2 0


0 , B=
A= 0 5
0 1
0 0 −1
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
3
Definicija 1.8: Enotska matrika je kvadratna matrika, ki ima na glavni diagonali
povsod ˇstevilo 1, drugod pa ˇstevilo 0. Enotsko matriko oznaˇcimo z E
ali I.
PRIMER 1.6
Matriki


1 0 0
1 0


I= 0 1 0 , I=
0 1
0 0 1
sta enotski matriki.
Definicija 1.9: Kvadratna matrika je zgornjetrikotna, ˇce so vsi njeni elementi, ki
leˇzijo pod glavno diagonalo, enaki 0.
PRIMER 1.7
Matriki


2 3 −1
−2 4


2 , B=
A= 0 5
0 1
0 0 −1
sta zgornjetrikotni.
Definicija 1.10: Kvadratna matrika je simetriˇ
cna, ˇce je enaka svoji transponirani
matriki.
V simetriˇcni matriki leˇzijo elementi simetriˇcno glede na glavno diagonalo.
PRIMER 1.8
Matriki

2 3 −1
−2 4


3 5
2 , B=
A=
4 1
−1 2 −1

sta simetriˇcni.
1.1.1
Raˇ
cunske operacije z matrikami
Za matrike bomo definirali operacije seˇstevanje, odˇstevanje in mnoˇzenje matrik ter mnoˇzenje
matrike z realnim ˇstevilom. Operacija deljenje za matrike ni definirana.
Seˇ
stevanje in odˇ
stevanje matrik
Matriki enakih dimenzij seˇstejemo (odˇstejemo) tako, da seˇstejemo (odˇstejemo) njune istoleˇzne
elemente:
A ± B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij )
(1.2)
ˇ matriki nista enakih dimenzij, ju ne moremo seˇsteti oziroma odˇsteti.
Ce
PRIMER 1.9
−2 4
5
2
3
6
a)
+
=
4 1
1 −3
5 −2
−2 4
5
2
−7 2
b)
−
=
4 1
1 −3
3 4
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
4

 
 

2 3 −1
3 −1
4
5 2
3
2 + 2
2 −2  =  5 7
0 
c)  3 5
−1 2 −1
−1
3 −2
−2 5 −3

 
 

2 3 −1
3 −1
4
−1
4 −5
2 − 2
2 −2  =  1
3
4 
d)  3 5
−1 2 −1
−1
3 −2
0 −1
1
Lastnosti operacije seˇstevanje:
1. komutativnost: A + B = B + A;
2. asociativnost: (A + B) + C = A + (B + C);
3. A + 0 = A;
4. (A + B)T = AT + B T .
Mnoˇ
zenje matrike z realnim ˇ
stevilom
Matriko pomnoˇzimo z realnim ˇstevilom tako, da pomnoˇzimo vsak njen element:
nA = (naij )
(1.3)
PRIMER 1.10
−4 8
−2 4
=
a) 2 ·
6 2
3 1

 

3 −1
4
−9
3 −12
2 −2  =  −6 −6
6 
b) −3 ·  2
−1
3 −2
3 −9
6
Lastnosti operacije mnoˇzenja matrike z realnim ˇstevilom:
1. komutativnost: mA = Am;
2. homogenost: m(nA) = n(mA) = (mn)A;
3. distributivnost: (m ± n)A = mA ± nA in m(A ± B) = mA ± mB.
Mnoˇ
zenje matrik
Produkt AB matrik A in B je mogoˇce izraˇcunati, ˇce je ˇstevilo stolpcev matrike A enako ˇstevilu
vrstic matrike B. Produkt matrik A in B izraˇcunamo tako, da skalarno pomnoˇzimo vsako vrstico
matrike A z vsakim stolpcem matrike B, kar pomeni, da izraˇcunamo vsoto produktov istoleˇznih
elementov vrstice matrike A in stolpca matrike B.
PRIMER 1.11
−2 4
5
2
−2 · 5 + 4 · 1 −2 · 2 + 4 · (−3)
a)
·
=
=
3 1
1 −3
3·5+1·1
3 · 2 + 1 · (−3)
−6 −16
=
16
3
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb

b)


=

=
5
 

2 3 −1
3
1 1
2 5
3  ·  2 −2 2  =
−2 2
1
1
1 2

2 · 3 + 3 · 2 + (−1) · 1 2 · 1 + 3 · (−2) + (−1) · 1 2 · 1 + 3 · 2 + (−1) · 2
=
2·3+5·2+3·1
2 · 1 + 5 · (−2) + 3 · 1
2·1+5·2+3·2
−2 · 3 + 2 · 2 + 1 · 1
−2 · 1 + 2 · (−2) + 1 · 1
−2 · 1 + 2 · 2 + 1 · 2

11 −5 6
19 −5 18 
−1 −5 4
Lastnosti operacije mnoˇzenje matrik:
1. produkt matrik ni komutativen: AB 6= BA;
2. mnoˇzenje matrike A z enotsko matriko I: AI = IA = A;
3. asociativnost mnoˇzenja: (AB)C = A(BC);
4. (AB)T = B T AT .
Inverzna matrika
Definicija 1.11: Kvadratna matrika A−1 je inverzna matrika kvadratne matrike A, ˇce
velja:
A−1 A = AA−1 = I
(1.4)
Inverzna matrika dane kvadratne matrike lahko obstaja ali pa ne. Kvadratno matriko, za katero
obstaja inverz, imenujemo obrnljiva matrika.
V nadaljevanju bomo potrebovali le inverzno matriko matrike dimenzije 2 × 2, ki jo za matriko
a b
A=
c d
izraˇcunamo po formuli
A
−1
1
=
ad − bc
d −b
−c
a
.
(1.5)
Formulo 1.5 lahko hitro preverimo, ˇce izraˇcunamo A−1 A:
1
A A=
ad − bc
−1
d −b
−c
a
a b
c d
1
=
ad − bc
ad − bc
0
0
−bc + ad
=
1 0
0 1
=I
Enak rezultat dobimo, ˇce izraˇcunamo AA−1 .
Inverzno matriko matrike A dimenzije 2 × 2 lahko izraˇcunamo, ˇce je ad − bc razliˇcno od 0, sicer
inverzna matrika ne obstaja.
PRIMER 1.12
Izraˇcunajte inverzno matriko matrike
A=
2 −1
−3
4
.
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
6
Reˇsitev: Po formuli 1.5 izraˇcunamo:
−1
A
1
=
2 · 4 − (−1) · (−3)
4 1
3 2
1
=
5
4 1
3 2
Na primeru preverimo ˇse lastnost A−1 A = I:
1 4 1
1 5 0
2 −1
1 0
−1
A A=
·
=
=
=I
−3
4
0 1
5 3 2
5 0 5
Lastnosti inverzne matrike:
1. (A−1 )−1 = A;
2. (AB)−1 = B −1 A−1 ;
3. (A−1 )T = (AT )−1 ;
4. (A + B)−1 6= A−1 + B −1 .
Matriˇ
cne enaˇ
cbe
Ker produkt matrik ni komutativna operacija, moramo pri reˇsevanju matriˇcnih enaˇcb paziti na
vrstni red matrik v produktu. Predpostavimo, da poznamo matriki A in B, iˇsˇcemo pa matriko
X. Loˇcimo dva tipa matriˇcnih enaˇcb:
• Iz enaˇcbe AX = B izrazimo neznano matriko X tako, da levo in desno stran enaˇcbe
pomnoˇzimo z leve strani z A−1 . Ker je A−1 A = I in IX = X, ima enaˇcba reˇsitev X =
A−1 B:
A−1 · / AX = B
A−1 · AX = A−1 · B
X = A−1 · B
• Iz enaˇcbe XA = B izrazimo neznano matriko X tako, da levo in desno stran enaˇcbe
pomnoˇzimo z desne strani z A−1 . Ker je tudi AA−1 = I in XI = X, ima enaˇcba reˇsitev
X = BA−1 :
XA = B / · A−1
XA · A−1 = B · A−1
X = B · A−1
PRIMER 1.13
Reˇsite matriˇcni enaˇcbi
a) AX = B in
b) XA = B,
kjer sta matriki
A=
1 2
−3 4
, B=
3
2
−3 −1
.
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
7
Reˇsitev: V obeh primerih potrebujemo inverzno matriko matrike A:
1
4 −2
−1
A =
1
10 3
1
1
4 −2
3
2
18 10
=
a) X = A · B =
1
−3 −1
6 5
10 3
10
1
1
3
2
4 −2
18 −4
−1
b) X = B · A =
·
=
−3 −1
1
5
10 3
10 −15
−1
Opazimo lahko, da matriˇcni enaˇcbi iz nalog a) in b) nimata enakih reˇsitev.
1.1.2
Naloge
1. Dane so matrike
A=
2 −3
1
4
, B=
−1 5
2 7
in C =
3 −2
.
0
2
Izraˇcunajte matrike:
a) A + 2B − C T
d) BC − CA
b) AB, CB, AC
e) BC T − 4AT
c) 2I − AT B
f ) (A2 − 2C + B)T
2. Dani sta matriki
A=
2
0
0 −1
, B=
1 1
.
3 2
Izraˇcunajte matrike:
a) 2A − 3B
d) AT − B T
b) AB
e) AT B + B T A
c) (2I − A2 )(2I + B)
f ) 2(A − B T )(B − A)
3. Dani sta matriki




1 −1 2
2 0 −1
1 3  in B =  −1 4
2 .
A= 2
0 −2 1
0 3
2
Izraˇcunajte matrike:
a) A + B T − 2I
d) A(A − B T )
b) AB
e) 2(A − B) + AB T
c) AB T
4. Naj bosta matriki




4 −1 5
−3
2
1
2 3  in B =  1 −1 −2 .
A= 0
−1
1 2
0
2
1
Preverite pravilnost naslednjih trditev:
a) AB 6= BA
b) (AB)T = B T · AT
5. Izraˇcunajte inverzno matriko (ˇce ta obstaja) k dani matriki in preverite, da velja
AA−1 = A−1 A = I:
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
a) A =
c) A =
4 −2
3
1
5 2
−4 0
8
−1 3
4 1
0 2
−1 5
b) A =
d) A =
6. Izraˇcunajte inverzno matriko matrike AB −1 + A−1 B, kjer sta matriki
A=
2 1
1 1
in B =
1 1
.
2 3
7. Reˇsite matriˇcni enaˇcbi
a) AX = B in
b) XA = B,
kjer sta matriki A =
3 −1
2
2
−1 4
1 2
in B =
1
0
2 −3
3 −5
2
1
.
8. Reˇsite matriˇcni enaˇcbi
a) AX = B in
b) XA = B,
kjer sta matriki A =
in B =
.
9. Prvi kupec je kupil 2 kg materiala A, 3 kg materiala B in 2 kg materiala C, drugi kupec
pa 4 kg materiala A, 2 kg materiala B in 1 kg materiala C. S pomoˇcjo matrik izraˇcunajte,
koliko je plaˇcal vsak kupec, ˇce stane 1 kg materiala A 5 EUR, 1 kg materiala B 3 EUR in
1 kg materiala 10 EUR.
10. Z dvema tovornjakoma, z manjˇsim in z veˇcjim, so dva dni vozili gramoz. Manjˇsi tovornjak
ima nosilnost 10 ton, veˇcji pa 15 ton. Prvi dan so z manjˇsim tovornjakom opravili 5 voˇzenj,
z veˇcjim pa 3. Drugi dan so z manjˇsim tovornjakom opravili 4 voˇznje in z veˇcjim 6. S
pomoˇcjo matrik izraˇcunajte, koliko ton gramoza so prepeljali prvi in koliko drugi dan.
11. Prvi kupec je kupil 3 kg materiala A in 2 kg materiala B ter plaˇcal 46 EUR. Drugi kupec je
kupil 5 kg materiala A in 3 kg materiala B ter plaˇcal 74 EUR. S pomoˇcjo matrik izraˇcunajte,
koliko stane kg posameznega materiala.
12. Za izdelek I1 potrebujemo 3 enote surovine S1 in 2 enoti surovine S2 , za izdelek I2 pa 4
enote surovine S1 in 1 enoto surovine S2 . Na zalogi imamo 90 enot surovine S1 in 35 enot
surovine S2 . S pomoˇcjo matrik izraˇcunajte, koliko posameznih izdelkov lahko izdelamo, ˇce
moramo porabiti vso zalogo surovin.
Reˇsitve
1. a) A + 2B −
CT
−8
7
0
c) AT B =
11
b) AB =
−3 7
=
7 16
−11
−7 1
6 −10
, CB =
, AC =
33
4 14
3
6
17
2 −17
, 2I − AT B =
13
−11 −11
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
9
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
−3 12
4 −17
−7 29
d) BC =
, CA =
, BC − AC =
6 10
2
8
4 2
−13 10
−21
6
e) BC T =
, BC T − 4AT =
−8 14
4 −2
1 −18
−6 8
2
2
T
f) A = A · A =
, (A − 2C + B) =
6
13
−9 16
1 −3
2
2
−6 −2
a)
b)
c)
−9 −8
−3 −2
3
4
1 −3
4 −1
−20 −16
d)
e)
f)
−1 −3
−1 −4
−16 −20




1 −2 2
3
2
1
3 6 
6 
a) A + B T − 2I =  2
b) AB =  3 13
−1
0 1
2 −5 −2




0 −1
1
−1 −5
0
8
9 
1 
c) AB T =  1
d) A(A − B T ) =  3 −15
−1 −6 −4
−3
2 −1


−2 −3
7
T

7
2 11 
e) 2(A − B) + AB =
−1 −16 −6




−13
8 −7
−13 19 11
6 −5 −2 
2 4 −1  , BA = 
a) AB = 
−1
5
8
4 1 −1


−13
2
4
4
1 
b) (AB)T = B T · AT =  19
11 −1 −1
1 2
−1 3
1
1
b) A−1 = 13
a) A−1 = 10
−3 4
4 1
0 −2
5 −2
1
1
−1
−1
c) A = 8
d) A = 2
4
5
1
0
3 −3
5 3
1
AB −1 + A−1 B =
, (AB −1 + A−1 B)−1 = 27
4
5
−4 3
4 −3
2
1
1
1
−1
−1
b) X = BA = 8
a) X = A B = 8
4 −9
10 −7
2 14
−11 7
1
1
−1
−1
a)X = A B = 6
b) X = BA = 6
5 −4
−3 9
9. Naj bo K matrika koliˇcin nakupljenega materiala obeh kupcev, pri ˇcemer koliˇcine po
vrsticah pripadajo kupcema, koliˇcine po stolpcih pa posameznemu materialu. Naj bo ˇse C
matrika cen za kilogram
materiala. Reˇsitev naloge je potem
 posameznega

5
2 3 2
39

3 =
K ·C =
·
.
4 2 1
36
10
Prvi kupec je plaˇcal 39 EUR in drugi 36 EUR.
5 3
10
95
10.
·
=
4 6
15
130
Prvi dan so prepeljali 95 ton gramoza, drugi dan pa 130 ton.
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
10
11. Naj bo K matrika koliˇcin materiala, ki sta ga kupila kupca, in P matrika plaˇcil obeh
ˇ oznaˇcimo z X matriko cen za kg posameznega materiala, je K · X = P . Od
kupcev. Ce
tod sledi, da je
−1 46
10
3 2
−1
X=K P =
·
=
.
5 3
74
8
Cena za kg materiala A je 10 EUR in za kg materiala B je 8 EUR.
−1 3 4
90
10
12. X =
·
=
2 1
35
15
Izdelamo lahko 10 izdelkov I1 in 15 izdelkov I2 .
1.2
Sistemi linearnih enaˇ
cb
Definicija 1.12: Sistem m linearnih enaˇcb z n neznankami je:
a11 x1
a21 x1
..
.
+ a12 x2
+ a22 x2
..
.
am1 x1 + am2 x2
+ · · · + a1n xn = b1
+ · · · + a2n xn = b2
..
..
..
.
.
.
+ · · · + amn xn = bm
(1.6)
Reˇsitev sistema enaˇcb je urejena n-terica (x1 , x2 , . . . , xn ), za katero je v vsaki od enaˇcb vrednost
na levi strani enaka vrednosti na desni.
ˇ
Stevila
aij , i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n, so koeficienti leve strani sistema in ˇstevila bi , i =
1, 2, . . . , m, so koeficienti desne strani sistema.
ˇ oznaˇcimo z A matriko koeficientov leve strani sistema
Ce

a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n

A =  ..
..
..
..
 .
.
.
.
am1 am2 · · · amn
ter z ~b vektor koeficientov desne strani in z

b1
 b2
~b = 
 ..
 .
bm





~x vektor neznank



x1

 x2 



 , ~x =  ..  ,

 . 
xn
(1.7)
(1.8)
lahko sistem zapiˇsemo v matriˇcni obliki
A~x = ~b.
Pri sistemih linearnih enaˇcb loˇcimo homogene in nehomogene sisteme linearnih enaˇcb.
(1.9)
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
11
Definicija 1.13: Sistem linearnih enaˇcb je homogen, ˇce so vsi koeficienti na desni strani
sistema enaki 0, sicer je nehomogen.
Pri nehomogenem sistemu je na desni strani sistema vsaj eden od koeficientov razliˇcen od 0.
Nehomogen sistem m linearnih enaˇcb z n neznankami ima lahko
- natanko eno reˇsitev,
- nobene reˇsitve,
- neskonˇcno mnogo reˇsitev.
Homogen sistem m linearnih enaˇcb z n neznankami ima lahko
- natanko eno niˇcelno reˇsitev (vrednosti vseh neznank so enake 0),
- neskonˇcno mnogo reˇsitev.
Kdaj nastopi katera od moˇznosti, si bomo ogledali kasneje na primerih, najprej pa si bomo
ogledali reˇsevanje dveh preprostih primerov sistemov.
Sistem dveh linearnih enaˇcb z dvema neznankama je zelo preprost za reˇsevanje. Uporabimo lahko
veˇc razliˇcnih naˇcinov. Na primeru si oglejmo naˇcin nasprotnih koeficientov, po katerem eno ali
obe enaˇcbi pomnoˇzimo tako, da dobimo pri izbrani neznanki nasprotna koeficienta. Nato enaˇcbi
seˇstejemo, pri ˇcemer se ˇclena z nasprotnima koeficientoma odˇstejeta. Dobimo eno enaˇcbo z eno
neznanko.
PRIMER 1.14
Reˇsite nehomogen sistem linearnih enaˇcb:
3x − 2y = 4
4x + 3y = 11
Reˇsitev:
3x
4x
12x
−12x
− 2y
+ 3y
− 8y
− 9y
− 17y
y
/·4
/ · (−3)
=
4
=
11
=
16
= −33
= −17
=
1
Izraˇcunali smo vrednost neznanke y. Vrednost neznanke x izraˇcunamo tako, da izraˇcunano
vrednost y = 1 vstavimo v eno od danih enaˇcb, recimo v prvo enaˇcbo:
3x −
2y
3x − 2 · 1
3x −
2
3x
x
=
=
=
=
=
4
4
4
6
2
Dani sistem ima natanko eno reˇsitev, urejeni par (2, 1).
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
12
PRIMER 1.15
Reˇsite nehomogen sistem linearnih enaˇcb trikotne oblike:
3x − 2y + 3z =
4
4y − 5z = −14
3z =
6
Reˇsitev: Reˇsimo ga tako, da najprej iz zadnje enaˇcbe izraˇcunamo vrednost z = 2, ki
jo vstavimo v predzadnjo enaˇcbo in izraˇcunamo y = −1, nato pa obe vrednosti za z
in y vstavimo v prvo enaˇcbo in izraˇcunamo x = − 34 . Reˇsitev sistema je urejena trojka
(− 34 , −1, 2).
1.2.1
Gaussova metoda eliminacije
ˇ niso vsi sistemi trikotne oblike in jih zato ne moremo reˇsiti na tako preprost naˇcin, kot je
Zal
bilo opisano v primeru 1.15, vendar se ob reˇsevanju tega primera porodi ideja, da bi sistem, ki ni
trikoten, preoblikovali v trikotno obliko in ga enostavno reˇsili. Metoda, s pomoˇcjo katere lahko
to storimo, se imenuje Gaussova eliminacijska (izloˇcevalna) metoda.
Koeficiente sistema matrike A in vektorja ~b

 a11 a12

 a21 a22
 .
..
 ..
.

am1 am2
zaradi poenostavitve zapiˇsemo v razˇsirjeni matriki:

..
· · · a1n . b1 
.

· · · a2n .. b2 
(1.10)
..
.. .. 
..
.
.
. . 

..
· · · amn . bm
Pri tem ne smemo pozabiti, da koeficienti v prvem stolpcu matrike pripadajo neznanki x1 , v
drugem stolpcu neznanki x2 itd.
Razˇsirjeno matriko z matriˇcnimi transformacijami pretvorimo v zgornjetrikotno matriko, kar
pomeni, da morajo biti koeficienti pod glavno diagonalo enaki 0. Pri transformaciji smemo:
- zamenjati med seboj poljubni vrstici,
- pomnoˇziti vrstico s poljubnim realnim ˇstevilom, razliˇcnim od 0,
- vrstici priˇsteti veˇckratnik poljubne druge vrstice.
Uporabo metode bomo prikazali na primerih.
PRIMER 1.16
Reˇsite nehomogen sistem linearnih enaˇcb:
x + 3y + 2z =
6
3x + y − 4z = −2
−2x + 3y + 5z =
6
Reˇsitev: Koeficiente sistema vstavimo v razˇsirjeno matriko, nato pa jo z matriˇcnimi
transformacijami preoblikujemo v zgornjetrikotno matriko.
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb








∼


..
1 3
2 .
6  / · (−3) / · (−2)

..
∼
/·1
3 1 −4 . −2 

.
/·1
−2 3
5 ..
6


..
1
3
2 .
6 
3
2
 1


..
/ · 9 ∼  0 −8 −10
0 −8 −10 . −20 


..
/
·
8
0
9
9 .
18
0
0 −18
13

..
.
6 

..
. −20 

..
. −36
Reˇsitev sistema izraˇcunamo tako, da najprej iz zadnje enaˇcbe −18z = −36 izraˇcunamo
z = 2, vrednost vstavimo v drugo enaˇcbo −8y − 10z = −20 in izraˇcunamo y = 0.
Vrednosti z = 2 in y = 0 vstavimo ˇse v prvo enaˇcbo x + 3y + 2z = 6 in izraˇcunamo x = 2.
PRIMER 1.17
Reˇsite nehomogen sistem linearnih enaˇcb:
2x + y + 3z = 6
x + 2y − z = 2
−2x − 4y + 2z = 3
Reˇsitev:

1
3
 2

 1
2 −1

−2 −4
2

.
1 3 ..
 2

∼  0 −3 5 ...

.
0 −3 5 ..

..
/·1
. 6  /·1

..
∼
/ · (−2)
. 2 

..
/·1
. 3


.
6 
1 3 ..
6
 2


.
∼  0 −3 5 ..
/·1
2 
2


.
/ · (−1)
9
0
0 0 .. −7





Enaˇcba 0 · z = −7 nima reˇsitve, zato tudi sistem nima reˇsitve.
PRIMER 1.18
Reˇsite nehomogen sistem linearnih enaˇcb:
2x1 − 4x2 + 6x3 = −2
−3x1 + 2x2 −
x3 = −1
−4x1 − 8x2 + 20x3 = −12
Reˇsitev:


..
6 . −2  / · 3 / · 2
 2 −4


..
∼
 −3
 /·2
2
−1
.
−1


..
/·1
−4 −8 20 . −12




..
..
 2 −4 6 . −2 
 2 −4 6 . −2 




.
.
∼  0 −8 16 . −8  / · (−2) ∼  0 −8 16 ... −8 




.
.
/·1
0 −16 32 .. −16
0
0 0 ..
0
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
14
V zadnji vrstici so vsi koeficienti enaki 0, zato jo izpustimo. Iz predzadnje vrstice zapiˇsemo
enaˇcbo −8x2 + 16x3 = −8. V enaˇcbi sta dve neznanki, zato izberemo x3 = a, a ∈ R.
Ker je neskonˇcno mnogo moˇznosti za izbor vrednosti parametra a, ima sistem neskonˇcno
mnogo reˇsitev. Najprej izraˇcunamo x2 = 1 + 2a, nato pa iz enaˇcbe 2x1 − 4x2 + 6x3 = −2
ˇse x1 = 1 + a.
PRIMER 1.19
Reˇsite homogen sistem linearnih enaˇcb:
x1 − 2x2 + 2x3 = 0
3x1 + x2 − 2x3 = 0
−2x1 − 3x2 + x3 = 0
Reˇsitev:

2
 1 −2

 3
1 −2

−2 −3
1

.
2 ..
 1 −2

.
∼ 0
7 −8 ..

.
0 −7
5 ..

..
. 0  / · (−3)

..
/·1
. 0 

..
. 0


0 



∼


/
·
1
0 

/
·
1
0
/·2
∼
/·1

..
1 −2
2 . 0 

.
0
7 −8 .. 0 

..
0
0 −3 . 0
Iz zadnje enaˇcbe −3x3 = 0 izraˇcunamo x3 = 0, nato pa ˇse x2 = 0 in x1 = 0. Sistem ima
torej niˇcelno reˇsitev.
1.2.2
Naloge
1. Reˇsite naslednje nehomogene sisteme linearnih enaˇcb algebrsko in grafiˇcno:
a)
4x − 2y =
7
−3x + 4y = −4
b)
3x − 4y =
22
−3x + 4y = −24
c)
12x + 11y = 85
30x + 25y = 185
d)
4x − 2y =
7
−12x + 6y = −21
2. Reˇsite nehomogena sistema linearnih enaˇcb:
a) 3x − 2y + 3z =
4
4y − 5z = −14
3z =
6
b) 4x
=
2
2x − 3y
= −2
6x + 5y − z =
9
3. Reˇsite nehomogene sisteme linearnih enaˇcb:
a)
3x1 − x2 + 2x3 = 13
x1 + 3x2 − 2x3 = −7
−4x1 − 2x2 + x3 = −3
b)
6x1 − x2 + x3 = 17
−2x1 + 3x2 + 2x3 = −3
3x1 − 2x2 − x3 =
7
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
15
c)
5x1 − 2x2 + x3 = 10
2x1 + 3x2 + 2x3 = 10
−3x1 + 4x2 + x3 = −2
d)
3x1 − 2x2 + 7x3 = 4
−4x1 + 5x2 −
x3 = 6
−2x1 + 6x2 + 12x3 = 10
e)
5x1 − 2x2 + 3x3 =
0
−3x1 + 3x2 + 5x3 = −5
x1 − 2x2 + 6x3 = −7
f)
−3x + 2y + 7z = −4
5x − y − 14z = 9
x + 3y − 6z = 5
g)
−3x1
x1
3x1
−x1
+
−
+
−
2x2
2x2
4x2
6x2
− x3
+ 2x3
+ x3
− x3
+ 7x4
− 8x4
− 4x4
+ x4
= −1
= −1
=
7
= −7
h)
5x1
−2x1
x1
5x1
− x2
+ 2x2
+ 3x2
+ 2x2
+ 2x3
− x3
+ x3
− 2x3
+ 3x4
+ x4
+ 2x4
− x4
=
0
= −5
= −1
= −4
i)
x1 + 3x2 − 2x3 + 3x4 =
6
−4x1 + x2 + 4x3 + 3x4 =
2
4x1 − 3x2 + 2x3 − 8x4 = −6
4. Reˇsite homogene sisteme linearnih enaˇcb:
a)
4x − 3y + z = 0
−2x + y − 3z = 0
x + 2y + 6z = 0
c)
4x1
2x1
x1
−x1
− 2x2
+ 3x2
− 3x2
− x2
− x3
+ 2x3
− x3
+ 2x3
+ x4
− x4
+ 2x4
− 2x4
b)
=
=
=
=
4x1 − 5x2 + 2x3 = 0
−3x1 + 4x2 − 5x3 = 0
2x1 − 2x2 − 6x3 = 0
0
0
0
0
ˇ prvi tovornjak opravi 3 voˇznje in drugi 4, skupaj prepel5. Dva tovornjaka vozita zemljo. Ce
3
ˇ
jeta 93 m zemlje. Ce pa prvi tovornjak opravi 5 voˇzenj in drugi 3, prepeljeta skupaj 111
m3 zemlje. Koliko m3 zemlje lahko pelje naenkrat posamezen tovornjak?
6. Dva elevatorja skupaj pretovorita v petih urah 1750 m3 tekoˇcine. Koliko tekoˇcine pretovori
v eni uri posamezen elevator, ˇce sta vˇceraj skupaj pretovorila 2500 m3 tekoˇcine in je prvi
elevator delal 8 ur, drugi pa dve uri manj?
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
16
7. Prvi kupec je kupil 2 kg materiala A, 3 kg materiala B in 1 kg materiala C ter plaˇcal 43
EUR. Drugi kupec je kupil 3 kg materiala A, 2 kg materiala B in 1 kg materiala C ter
plaˇcal 48 EUR. Tretji kupec je kupil 1 kg materiala A, 1 kg materiala B in 3 kg materiala
C ter plaˇcal 39 EUR. Koliko stane kg posameznega materiala?
8. Izdelke A, B in C izdelujejo iz treh razliˇcnih surovin S1 , S2 in S3 . Za izdelek A potrebujejo
3 enote surovine S1 , 2 enoti S2 in 1 enoto S3 . Za izdelek B potrebujejo 2 enoti surovine S1 ,
3 enote S2 in 2 enoti S3 . Izdelek C pa izdelajo iz 1 enote S1 , 1 enote S2 in 2 enot S3 . Na
zalogi imajo 150 enot surovine S1 , 155 enot S2 in 115 enot S3 . Koliko posameznih izdelkov
naj izdelajo, da bodo porabili zalogo vseh surovin?
Reˇsitve
1. a)
b)
c)
d)
x = 2, y = 12 . Premici se sekata v toˇcki (2, 12 ). Glejte sliko 1.1.
Ni reˇsitve. Premici sta vzporedni. Glejte sliko 1.2.
x = −3, y = 11. Premici se sekata v toˇcki (−3, 11). Glejte sliko 1.3.
x = (2a + 7)/4, y = a, a ∈ R. Neskonˇcno mnogo reˇsitev. Premici se prekrivata. Glejte
sliko 1.4.
2. a) x = − 34 , y = −1, z = 2
b) x = 12 , y = 1, z = −1
Slika 1.1
Slika 1.3
3. a)
b)
c)
d)
e)
x1 = 2, x2 = −1, x3 = 3
x1 = 3, x2 = 1, x3 = 0
x1 = 3, x2 = 2, x3 = −1
Sistem nima reˇsitve.
x1 = 1, x2 = 1, x3 = −1
Slika 1.2
Slika 1.4
1. S. Pustavrh: Matrike in sistemi linearnih enaˇcb
f)
g)
h)
i)
4. a)
b)
c)
17
x = 2 + 3a, y = 1 + a, z = a, a ∈ R
x1 = a + 1, x2 = (−a + 2)/2, x3 = 3a, x4 = a, a ∈ R
x1 = 0, x2 = 0, x3 = 3, x4 = −2
x1 = a, x2 = 2 − a, x3 = a/2, x4 = a, a ∈ R
x = 0, y = 0, z = 0
x1 = 17a, x2 = 14a, x3 = a, a ∈ R
x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0
5. Oznaˇcimo koliˇcino zemlje v m3 , ki jo lahko naenkrat prepelje prvi tovornjak, z x , in
koliˇcino zemlje v m3 , ki jo lahko naenkrat prepelje drugi tovornjak, z y. Zapiˇsemo lahko
sistem enaˇcb 3x + 4y = 93 in 5x + 3y = 111, ki ima reˇsitev x = 15 in y = 12. Prvi tovornjak
lahko prepelje naenkrat 15 m3 zemlje, drugi pa 12 m3 .
6. Prvi elevator pretovori v eni uri 200 m3 tekoˇcine in drugi 150 m3 .
7. Kilogram materiala A stane 10 EUR, materiala B 5 EUR in materiala C 8 EUR.
8. Izdelajo lahko 25 izdelkov A, 30 izdelkov B in 15 izdelkov C.