Elektromagnetno polje: 1. vaje - IJS-F5

1
Elektromagnetno polje: 1. vaje
(6. 10. 2014)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. Poissonova enaˇ
cba za toˇ
ckast naboj
[Fourierjeva transformacija]
Reˇsi Poissonovo enaˇcbo za potencial elektriˇcnega polja toˇckastega naboja e,
∇U (~r) = −
eδ(~r)
,
ε0
s pomoˇcjo Fourierjeve transformacije.
2. Doloˇ
citev gostote naboja iz potenciala
[odvajanje funkcije]
Potencial elektriˇcnega polja vodikovega atoma v osnovnem stanju je podan kot
e e−αr αr U (r) =
1+
,
4πε0 r
2
kjer je r oddaljenost od jedra atoma in α−1 = aB /2 (aB je Bohrov radij). Doloˇci prostorsko
gostoto naboja, ki vodi do takˇsnega potenciala. Kvalitativno interpretiraj dobljeni rezultat.
3. Elektriˇ
cno polje enakomerno nabite okrogle ploˇ
sˇ
ce
[seˇstevanje prispevkov toˇckastih nabojev ]
Izraˇcunaj jakost elektriˇcnega polja vzdolˇz osi enakomerno nabite okrogle ploˇsˇce s polmerom
a, in sicer kot funkcijo oddaljenosti od ploˇsˇce z. Povrˇsinska gostota naboja na ploˇsˇci je σ.
Konˇcni rezultat poenostavi za posebna dva primera: (1) zelo blizu ploˇsˇce in (2) daleˇc stran
od ploˇsˇce. Ustrezna rezultata primerjaj (1) s poljem neskonˇcne ravne ploˇsˇce oziroma (2) s
poljem toˇckastega naboja.
2
Elektromagnetno polje: 2. vaje
(14. 10. 2014)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. Enakomerno nabita krogla
[Gaussov izrek v integralski obliki ]
Izraˇcunaj jakost elektriˇcnega polja krogle s polmerom a, ki je enakomerno nabita z nabojem s
prostorninsko gostoto ρ. Elektriˇcno polje izraˇcunaj tako zunaj kot znotraj krogle. Izraˇcunaj
tudi ustrezni potencial ter skiciraj njegovo odvisnost od oddaljenosti od srediˇsˇca krogle r.
2. Preˇ
cni trak v ploˇ
sˇ
catem kondenzatorju
[separacija spremenljivk v karteziˇcnih koordinatah]
Med dve veliki vzporedni ravni prevodni ploˇsˇci, ki se nahajata v medsebojni razdalji a,
vstavimo dolg raven prevodni trak ˇsirine a, tako da je pravokoten na ploˇsˇci in se ploˇsˇc ravno
ˇse ne dotika (glej sliko). Ploˇsˇci ozemljimo, na trak pa prikljuˇcimo napetost U0 .
a) Izraˇcunaj potencial elektriˇcnega polja povsod
znotraj takˇsnega kondenzatorja.
b) Poenostavi dobljeni izraz za velike oddaljenosti od traku.
c) Izraˇcunaj jakost elektriˇcnega polja v simetrijski ravnini kondenzatorja, vzporedni z njegovima ploˇsˇcama. Dobljeno vrsto seˇstej.
3. Kondenzator iz dveh pravokotnih ploˇ
sˇ
c
[separacija spremenljivk v cilindriˇcnih koordinatah, inducirani naboj ]
Dve veliki ravni prevodni ploˇsˇci postavimo pravokotno eno na drugo, tako da se v eni
stranici skoraj stikata, le da vmes ostane tanka ˇspranja. Eno ploˇsˇco ozemljimo, na drugo pa
prikljuˇcimo napetost U0 .
a) Izraˇcunaj potencial elektriˇcnega polja povsod znotraj takˇsnega kondenzatorja.
b) Kako povrˇsinska gostota naboja, ki se inducira na ploˇsˇcah, pada z oddaljenostjo od
stiˇciˇsˇca ploˇsˇc?
3
Elektromagnetno polje: 3. vaje
(21. 10. 2014)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. Prevodna krogla v homogenem elektriˇ
cnem polju
[separacija spremenljivk v sferiˇcnih koordinatah, Legendrovi polinomi ]
Prevodno kroglo s polmerom a postavimo v homogeno elektriˇcno polje z jakostjo E0 , s ˇcimer
se polje popaˇci.
a) Izraˇcunaj potencial nastalega elektriˇcnega polja povsod v prostoru. Kvalitativno interpretiraj konˇcni rezultat.
b) Izraˇcunaj povrˇsinsko gostoto naboja, ki se inducira na povrˇsini krogle.
c) Izraˇcunaj elektriˇcni dipolni moment induciranega naboja?
2. Toˇ
ckast elektriˇ
cni dipol v srediˇ
sˇ
cu prevodne sfere
[separacija spremenljivk v sferiˇcnih koordinatah, Legendrovi polinomi ]
V srediˇsˇce izolirane votle prevodne sfere polmera a postavimo toˇckast elektriˇcni dipol z
elektriˇcnim dipolnim momentom p.
a) Doloˇci potencial elektriˇcnega polja povsod znotraj sfere.
b) Izraˇcunaj elektriˇcno polje naboja, ki se inducira na notranji povrˇsini sfere?
c) Izraˇcunaj povrˇsinsko gostoto induciranega naboja kot funkcijo polarnega kota ϑ (ˇce
dipol kaˇze v smeri z).
d) Izraˇcunaj skupni dipolni moment induciranega naboja.
3. Toˇ
ckast naboj nad prevodno ploˇ
sˇ
co
[zrcaljenje]
V razdalji d nad razseˇzno prevodno ozemljeno ploˇsˇco se nahaja toˇckast naboj e.
a) Doloˇci potencial elektriˇcnega polja povsod v prostoru.
b) Izraˇcunaj povrˇsinsko gostoto naboja, ki se inducira na ploˇsˇci, ter pokaˇzi, da celotni
induciran naboj na ploˇsˇci znaˇsa ravno −e.
4
Elektromagnetno polje: 4. vaje
(27. in 28. 10. 2014)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. Toˇ
ckast naboj nad prevodno kroglo
[zrcaljenje]
V razdalji D od srediˇsˇca prevodne ozemljene krogle polmera a se nahaja toˇckast naboj e.
a) Pokaˇzi, da je potencial elektriˇcnega polja izven krogle enak, kot ˇce bi kroglo nadomestili
z drugim toˇckastim nabojem, ki bi ga postavili na zveznico med prvim toˇckastim
nabojem in srediˇsˇcem krogle. Doloˇci velikost tega naboja. Izraˇcunaj tudi povrˇsinsko
gostoto naboja, ki se inducira na krogli, in celotni induciran naboj.
b) V primeru, da krogla ni ozemljena, je potencial elektriˇcnega polja enak, kot ˇce bi
kroglo nadomestili z dvema toˇckastima nabojema namesto z enim samim. Pokaˇzi, da
moramo drugega postaviti v srediˇsˇce krogle.
2. Toˇ
ckast naboj v kotu med dvema pravokotnima prevodnima ploˇ
sˇ
cama
[zrcaljenje, multipolni razvoj ]
Toˇckast naboj e se nahaja v kotu med dvema razseˇznima prevodnima ozemljenima ploˇsˇcama,
ki sta pravokotni druga na drugo, tako da je od vsake oddaljen za razdaljo a.
a) Potencial elektriˇcnega polja, ki ga povzroˇci lokalizirana porazdelitev nabojev v toˇcki
~r, v multipolnem razvoju zapiˇsemo kot
!
1
e X ri X
ri rj
U (~r) =
+
pi 3 +
Qij 5 + · · · ,
4πε0 r
r
r
i
ij
kjer so pi komponente vektorja dipolnega momenta in Qij komponente tenzorja
kvadrupolnega momenta. Pokaˇzi, da slednje izraˇcunamo kot
Z
Qij = ρ(~s) 3si sj − δij s2 d3~s,
kjer je ρ(~s) prostorninska gostota naboja v toˇcki ~s.
b) Izraˇcunaj kvadrupolni moment nastale porazdelitve nabojev.
c) Kako se obnaˇsa potencial elektriˇcnega polja v veliki oddaljenosti, r a?
3. Elektriˇ
cna sila med nabitimi telesi
[napetostni tenzor elektriˇcnega polja]
a) V razdalji d od velike ozemljene prevodne ploˇsˇce se nahaja toˇckast naboj e. Z uporabo
napetostnega tenzorja izraˇcunaj elektriˇcno silo, s katero toˇckast naboj deluje na ploˇsˇco.
Rezultat primerjaj s silo med toˇckastima nabojema e in −e v medsebojni razdalji 2d.
b) Prevodno kroglo s polmerom a nabijemo z nabojem e. Nato iz nje izreˇzemo osmino krogle, ki leˇzi v enem oktantu karteziˇcnega koordinatnega sistema, in izrezani
del le neznatno izmaknemo iz zaˇcetnega poloˇzaja. Z uporabo napetostnega tenzorja izraˇcunaj elektriˇcno silo, s katero preostanek krogle deluje na izrezani del. Silo
izraˇcunaj tudi z metodo virtualnega premika.
5
Elektromagnetno polje: 5. vaje
(4. in 5. 11. 2014)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. Magnetno polje tokovne zanke
[vektorski potencial magnetnega polja]
Izraˇcunaj vektorski potencial magnetnega polja kroˇzne zanke s polmerom a in elektriˇcnim
tokom I, in sicer povsod po prostoru. Obdrˇzi le ˇclen, ki pada najpoˇcasneje z oddaljenostjo od zanke. Pokaˇzi, da ima rezultat obliko vektorskega potenciala magnetnega dipola z
magnetnim dipolnim momentom πa2 I.
2. Magnetno polje konˇ
cno dolge tuljave
[Biot-Savartova enaˇcba]
Pokaˇzi, da gostota magnetnega polja valjaste tuljave z dolˇzino l in ˇstevilom ovojev N , po
kateri teˇce elektriˇcni tok I, v poljubni toˇcki na osi tuljave znaˇsa
B=
µ0 N I
(sin α1 + sin α2 ),
l
kjer sta α1 in α2 kota, ki ju zveznica ustrezne toˇcke z robom tuljave oklepa z eno in drugo
konˇcno ploskvijo tuljave. S pomoˇcjo dobljenega izraza
a) pokaˇzi, da je magnetno polje v srediˇsˇcu tuljave mogoˇce zapisati kot µ0 N I/d, kjer je d
diagonala tuljave, in
b) izraˇcunaj magnetno polje na osi kroˇzne zanke polmera a, po kateri teˇce elektriˇcni tok
I, in sicer v oddaljenosti z od srediˇsˇca zanke.
3. Magnetno polje nabite vrteˇ
ce se okrogle ploˇ
sˇ
ce
[Biot-Savartova enaˇcba, magnetni dipolni moment]
Tanko okroglo ploˇsˇco polmera a enakomerno premaˇzemo z nabojem povrˇsinske gostote σ in
jo zavrtimo z enakomerno kotno hitrostjo ω okrog osi, ki je pravokotna na ploˇsˇco in poteka
skozi njeno srediˇsˇce.
a) Z uporabo Biot-Savartove enaˇcbe izraˇcunaj velikost gostote magnetnega polja B na
osi ploˇsˇce kot funkcijo oddaljenosti z od srediˇsˇca ploˇsˇce in podanih parametrov a, σ,
ω.
b) Pokaˇzi, da je magnetni dipolni moment ploˇsˇce pm = π4 σωa4 .
c) V razvoju pod a) izraˇcunanega izraza za B(z) v Taylorjevo vrsto doloˇci ˇclen, ki najpoˇcasneje pada z z. Utemelji, zakaj je to dipolni ˇclen. Iz njegove oblike preberi
magnetni dipolni moment ploˇsˇce in ga primerjaj z izrazom pod b).
6
4. Magnetno polje toroidne tuljave
[Amperov zakon, napetostni tenzor magnetnega polja]
Po toroidni tuljavi s ˇstevilom ovojev N teˇce elektriˇcni tok I. Polmer ovojev tuljave je r1 , os
tuljave pa opisuje krog s polmerom r2 v vodoravni ravnini.
a) Pokaˇzi, da je gostota magnetnega polja znotraj tuljave odvisna le od oddaljenosti od
navpiˇcne osi torusa r in jo izraˇcunaj. Pokaˇzi, da zunaj tuljave ni polja.
b) Za primer r2 r1 izraˇcunaj, s kakˇsno silo je napet vsak ovoj tuljave.
7
Elektromagnetno polje: 6. vaje
(11. 11. 2014)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. Upor prevodne ploˇ
sˇ
cice
[potencial elektriˇcnega polja v prevodniku]
Iz tanke ploˇsˇce kovine s specifiˇcno prevodnostjo σ izreˇzemo
ploˇsˇcico v obliki polovice kolobarja z notranjim polmerom r1
in zunanjim polmerom r2 (glej sliko). Na ravni stranici ploˇsˇcice
naparimo elektrodi iz zelo dobrega prevodnika, mednju pa
prikljuˇcimo izvor konstantne napetosti U0 . Doloˇci potencial
elektriˇcnega polja v ploˇsˇcici in s pomoˇcjo tega izraˇcunaj upor
ploˇsˇcice.
2. Indukcija v vzporednih vodnikih
[indukcija, induktivnost]
ˇ
Stirje
enaki dolgi ravni vodniki debeline 2a
so zloˇzeni vzporedno v medsebojnih razdaljah d, tako da leˇzijo v isti ravnini. Prva dva
vodnika na koncih sklenemo preko izvora izmeniˇcnega toka amplitude I1 , druga dva vodnika pa na koncih sklenemo preko merilnika
izmeniˇcnega toka (glej sliko). Kolikˇsno amplitudo toka izmerimo, ˇce je d/a = 10?
Upor vodnikov zanemari in predpostavi, da
izmeniˇcni tok teˇce le po povrˇsini vodnikov.
Zavedaj se, da je d a.
3. Cabrerin eksperiment
[magnetni monopoli, induktivnost]
Blas Cabrera je leta 1982 poroˇcal o eksperimentu, v katerem je v 151 dneh opazovanja
domnevno zaznal magnetni monopol. Za zaznavo magnetnega monopola je uporabil kovinsko
kroˇzno zanko v superprevodnem stanju, skozi katero je meril elektriˇcni tok. Predpostavi, da
magnetni monopol z magnetnim nabojem g potuje s hitrostjo v po osi takˇsne kroˇzne zanke
polmera a in induktivnosti L.
a) Izraˇcunaj in skiciraj ˇcasovni potek magnetnega pretoka skozi zanko. Magnetno polje
monopola v toˇcki ~r je podano z enaˇcbo
~ r) = µ0 g ~r .
B(~
4π r3
b) Izraˇcunaj in skiciraj ˇcasovni potek v zanki induciranega elektriˇcnega toka. Posploˇseni
Faradayev zakon za primer obstoja magnetnih monopolov zapiˇsemo kot
~
~ = − ∂ B − µ0~jm ,
∇×E
∂t
kjer je ~jm vektor gostote toka magnetnih nabojev.
8
c) Iz rezultata pod b) sledi, da pri preˇckanju magnetnega monopola magnetni pretok skozi
zanko skoˇci za vrednost µ0 g. Pokaˇzi, da to ustreza ravno dvema kvantoma magnetnega
pretoka h/e. Kvantizacijo magnetnega pretoka po Diracu zapiˇsemo kot 12 µ0 ge = h.
Cabrerin eksperiment je zaznal natanko en magnetni monopol. Kasnejˇsi podobni eksperimenti magnetnih monopolov niso veˇc zaznali.
9
Elektromagnetno polje: 7. vaje
(18. in 19. 11. 2014)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. Izmeniˇ
cni tok po valjastem vodniku
[kvazistatiˇcna aproksimacija Maxwellovih enaˇcb]
Med konca valjastega vodnika iz kovine s specifiˇcno prevodnostjo σ prikljuˇcimo izvor izmeniˇcne napetosti kroˇzne frekvence ω. Polmer vodnika je a, njegova dolˇzina pa l.
a) Izraˇcunaj radialno odvisnost jakosti elektriˇcnega polja in gostote magnetnega polja v
vodniku.
b) Na podlagi rezultata pod a) izraˇcunaj radialno porazdelitev gostote elektriˇcnega toka
in jo poenostavi v limitah majhnih in velikih ω. Pokaˇzi, da je v limiti velikih ω
elektriˇcni tok zgoˇsˇcen na povrˇsini vodnika.
c) Izraˇcunaj impedanco vodnika. Rezultat izrazi z uporom vodnika R0 = l/(σπa2 ) in ga
poenostavi v limitah majhnih in velikih ω.
Raˇcunaj v kvazistatiˇcni aproksimaciji.
2. Energijski tok v koaksialnem kablu in v valjastem vodniku
[Poyntingov izrek ]
Izraˇcunaj gostoto energijskega toka skozi povrˇsino in preˇcni presek naslednjih dveh vodnikov:
a) koaksialnega kabla, kjer je napetost med ˇzilo in plaˇsˇcem U , ta pa po njima v nasprotnih
smereh poganja elektriˇcni tok I,
b) dolg raven vodnik preseka S in dolˇzine l iz kovine s specifiˇcno prevodnostjo σ, po
katerem teˇce elektriˇcni tok I.
3. Prekinjen vodnik
[Poyntingov izrek ]
Dolg raven valjasti vodnik preseka S je na nekem mestu prekinjen. Prekinitev ima obliko
ozke ˇspranje ˇsirine d pravokotne na vodnik (glej sliko). Ob ˇcasu t = 0 po vodniku spustimo
konstanten elektriˇcni tok I, zaradi katerega se na zgornji in spodnji meji ˇspranje zaˇcne
nabirati naboj.
a) Doloˇci smer in velikost jakosti elektriˇcnega polja ter gostote magnetnega polja v ˇspranji v oddaljenosti r od osi vodnika ob ˇcasu t.
b) S pomoˇcjo Poyntingovega vektorja izraˇcunaj moˇc, ki ob ˇcasu t
priteka v ˇspranjo.
c) Prejˇsnji rezultat primerjaj s ˇcasovnim odvodom energije elektriˇcnega
polja v ˇspranji.
Pri vseh raˇcunih zanemari popaˇcitev polj ob zunanjem robu ˇspranje.
ˇ
Spranjo
torej obravnavaj kot ploˇsˇcati kondenzator. Upor vodnika zanemari.
10
Elektromagnetno polje: 8. vaje
(25. in 26. 11. 2014)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. Feynmanov paradoks v valjni razliˇ
cici
[vrtilna koliˇcina elektromagnetnega polja]
Dolg raven vodnik je enakomerno nabit z nabojem dolˇzinske gostote λ. Vodnik je obdan z dolgim izolatorskim valjem, ki se lahko
prosto vrti okoli svoje osi, ki sovpada z vodnikom. Vztrajnostni
moment valja na dolˇzinsko enoto je j, povrˇsina valja pa je premazana z nabojem povrˇsinske gostote λ/(2πa), kjer je a polmer
valja. Sprva je v prostoru homogeno magnetno polje B v smeri
vodnika, ki ga nato poˇcasi ugasnemo.
a) Preko spremembe vrtilne koliˇcine elektromagnetnega polja izraˇcunaj, s kakˇsno kotno
hitrostjo se zavrti valj.
b) Kotno hitrost izraˇcunaj tudi neposredno preko Faradayevega zakona in se prepriˇcaj,
da dobiˇs enak rezultat.
ˇ dolˇzinsko gostoto naboja na ravnem vodniku spremenimo na vrednost λ0 6= λ,
c) Ce
medtem ko povrˇsinska gostota naboja na valju ostane λ/(2πa), se pod a) izraˇcunana
kotna hitrost spremeni. Tedaj je namreˇc na zaˇcetku tudi v prostoru okrog valja elektriˇcno polje neniˇcelno, s tem pa tudi vrtilna koliˇcina elektromagnetnega polja. Po drugi
strani pa se pod b) izraˇcunana kotna hitrost ne spremeni. To navidezno protislovje se
imenuje Feynmanov paradoks. Kako ga razreˇsiti?
2. Radialno polarizirana krogla
[polarizacija, vezani naboj, dielektriˇcna konstanta]
Krogla polmera a je polarizirana tako, da ima vektor polarizacije znotraj krogle krajevno
odvisnost P~ (~r) = k~r, kjer je k znana konstanta. Izraˇcunaj:
a) prostorninsko gostoto vezanega naboja v krogli, povrˇsinsko gostoto vezanega naboja
na povrˇsini krogle in skupni naboj v krogli,
b) jakost elektriˇcnega polja povsod po prostoru,
c) dielektriˇcno konstanto snovi, iz katere je krogla.
3. Homogeno polariziran valj
[polarizacija, vezani naboj, robni pogoji za snov ]
Doloˇci jakost elektriˇcnega polja, ki ga povzroˇca dolg valj polmera a s homogeno konstantno
polarizacijo P~ , ki je pravokotna na os valja. Rezultat zapiˇsi tako za notranjost kot za
zunanjost valja.
11
Elektromagnetno polje: 9. vaje
(2. in 3. 12. 2014)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. Ploˇ
sˇ
cica iz anizotropnega dielektrika
[tenzor dielektriˇcne konstante, robni pogoji za snov ]
Med ploˇsˇci ploˇsˇcatega kondenzatorja povrˇsine S, ki sta v medsebojni razdalji d, vstavimo
ploˇsˇcico anizotropnega dielektrika, tako da ploˇsˇcica zapolnjuje celotno prostornino kondenzatorja. Dielektriˇcna konstanta ima lastne vrednosti ε1 , ε1 in ε2 , ploˇsˇcica pa je odrezana
tako, da lastna os, ki ji ustreza lastna vrednost ε2 , z normalo ploˇsˇc oklepa kot ϕ. Izraˇcunaj
kapaciteto tako zapolnjenega kondenzatorja.
2. Toˇ
ckast elektriˇ
cni dipol v krogelni votlini dielektrika
[dielektriˇcna konstanta, vezani naboj, robni pogoji za snov ]
V razseˇzno homogeno snov z dielektriˇcno konstanto ε izdolbemo krogelno votlino polmera a
in v njeno srediˇsˇce postavimo toˇckast elektriˇcni dipol z elektriˇcnim dipolnim momentom p.
a) Izraˇcunaj potencial elektriˇcnega polja povsod po prostoru kot funkcijo krogelnih koordinat r in ϑ. Na podlagi dobljenega izraza pokaˇzi, da ima elektriˇcno polje zunaj
krogelne votline obliko polja elektriˇcnega dipola z elektriˇcnim dipolnim momentom
3p
p0 = 2ε+1
. Polarni kot ϑ je merjen od smeri dipola.
b) Izraˇcunaj povrˇsinsko gostoto vezanega naboja na povrˇsini krogelne votline kot funkcijo
polarnega kota ϑ. Izhajaˇs lahko iz pod a) podanega izraza za p0 .
c) Utemelji, zakaj je prostorninska gostota vezanega naboja povsod v snovi enaka niˇc.
12
Elektromagnetno polje: 10. vaje
(9. in 10. 12. 2014)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. Elektromagnetni valovi v hladni plazmi
[zveza med makroskopskimi in mikroskopskimi koliˇcinami ]
Pri obravnavi potovanja elektromagnetnih valov po hladni plazmi lahko predpostavimo, da
sestavni ioni zaradi velike mase skoraj mirujejo, sestavni elektroni pa so skoraj povsem prosti,
tako da se hitro odzivajo na zunanja polja. Ker je plazma hladna, lahko termiˇcno gibanje
elekronov zanemarimo.
a) S pomoˇcjo enaˇcbe gibanja za proste elektrone mase m in naboja e pokaˇzi, da
frekvenˇcno odvisnost dielektriˇcnosti plazme zapiˇsemo kot ε(ω) = 1 − ωp2 /ω 2 , kjer je
p
ωp = ne2 /(mε0 ) plazemska frekvenca in n ˇstevilska gostota elektronov v plazmi.
b) S pomoˇcjo rezultata pod a) pokaˇzi, da
q je disperzijska relacija elektromagnetnih valov,
ki se lahko ˇsirijo po plazmi, ω(k) = ωp2 + c20 k 2 , kjer je c0 hitrost elektromagnetnega
valovanja v vakuumu. Posebej obravnavaj limitna primera velikih in majhnih frekvenc.
c) S pomoˇcjo rezultata pod b) izraˇcunaj in skiciraj frekvenˇcno odvisnost fazne in grupne
hitrosti elektromagnetnih valov v plazmi.
2. Longitudinalni elektromagnetni valovi v snovi
[konstitutivna relacija]
Za popoln opis obnaˇsanja elektriˇcnega polja v snovi moramo poznati dodatno zvezo med
~ D,
~ P~ , ~j in ρ. Takˇsni zvezi pravposameznimi polji in porazdelitvami, med katerimi so E,
~ in E,
~ ki definira
imo konstitutivna relacija. V obiˇcajnih dielektrikih je to zveza med D
dielektriˇcno konstanto.
V neki snovi se konstitutivna relacija glasi
∂~j
~
+ C 2 ∇ρ = ε0 ωp2 E,
∂t
kjer je ~j prostorninska gostota elektriˇcnega toka, ρ prostorninska gostota naboja, C in ωp
pa znani konstanti. Pokaˇzi, da se po snovi lahko ˇsirijo longitudinalni valovi in doloˇci njihovo
disperzijsko relacijo.
Pojav longitudinalnih elektromagnetnih valov je redkejˇsi kot pojav transverzalnih valov,
kakrˇsni so, denimo, edini moˇzni v vakuumu.
13
3. Elektrostatski valovi
[Maxwellove enaˇcbe]
~ = −∇U , zanja velja
Ker statiˇcna elektriˇcna polja lahko zapiˇsemo s potencialom kot E
~ = 0. Obstajajo pa tudi ˇcasovno odvisna elektriˇcna polja, za katera velja ∇ × E
~ = 0.
∇×E
Pravimo jim elektrostatski valovi.
a) Pokaˇzi, da v snovi obstajajo longitudinalni elektrostatski valovi, pri katerih magnetno
~ enaka niˇc.
polje nima ˇcasovne odvisnosti in je gostota elektriˇcnega polja D
b) Nihanja elektriˇcnega polja v tem primeru ne more vdrˇzevati nihanje magnetnega polja,
paˇc pa nihanje polarizacije. V obiˇcajni dielektriˇcni snovi takˇsni valovi niso mogoˇci,
so pa mogoˇci v plazmi. Pokaˇzi, da imajo v plazmi z dielektriˇcno konstanto ε(ω) =
1 − ωp2 /ω 2 elektrostatski valovi lahko le plazemsko frekvenco ωp .
14
Elektromagnetno polje: 11. vaje
(16. in 17. 12. 2014)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. Elektromagnetni valovi v Zemljini ionosferi
[zveza med makroskopskimi in mikroskopskimi koliˇcinami ]
Zemljina ionosfera je zgornja plast atmosfere, ki se zaˇcne na viˇsini okoli 85 km nad povrˇsino
Zemlje. Do ionizacije atmosferskih plinov pride zaradi delovanja ultravioliˇcnih ˇzarkov s
Sonca. Ionosfero lahko obravnavamo kot razredˇceno homogeno plazmo. Frekvenˇcna odvisnost dielektriˇcne konstante plazme ε(ω) = 1 − ωp2 /ω 2 nam pove, da se elektromagnetni
valovi s frekvenco manjˇso od plazemske frekvence ωp po plazmi ne morejo razˇsirjati, saj
zanje velja ε < 0. Navzoˇcnost Zemljinega magnetnega polja pa ponovno omogoˇci ˇsirjenje
nizkofrekvenˇcnih elektromagnetnih valov. V nadaljevanju obravnavaj ˇsirjenje valov po
plazmi vzdolˇz smeri magnetnega polja.
a) Pokaˇzi, da se po plazmi ob navzoˇcnosti vzdolˇznega magnetnega polja gostote B lahko
ˇsiri kroˇzno polarizirano elektromagnetno valovanje, ki ga za dve mogoˇci polarizaciji
~ ± = E0 (ˆ
strnjeno zapiˇsemo kot E
ex ± iˆ
ey )ei(kz−ωt) , kjer je E0 amplituda elektriˇcnega
polja, z smer magnetnega polja in s tem smer razˇsirjanja valovanja z valovnim vektorjem k in kroˇzno frekvenco ω, eˆx in eˆy pa enotska vektorja v smereh, pravokotnih na
z. Izhajaj iz enaˇcbe gibanja za proste elektrone mase m in naboja e ob navzoˇcnosti
obeh polj.
b) Izpelji frekvenˇcno odvisnost dielektriˇcne konstante. Konˇcni rezultat izrazi
ps ciklotronsko (Larmorjevo) frekvenco ωB = eB/m in s plazemsko frekvenco ωp = ne2 /(mε0 ),
kjer je n ˇstevilska gostota elektronov v plazmi. Pokaˇzi, da v limiti nizkih frekvenc,
torej za ω ωB , ωp , lahko zapiˇsemo ε± = ±ωp2 /(ωB ω). Iz tega sledi, da se po plazmi
lahko ˇsirijo le valovi z desnosuˇcno kroˇzno polarizacijo.
c) S pomoˇcjo rezultata pod b) izpelji disperzijsko relacijo in fazno hitrost valovanja z
desnosuˇcno kroˇzno polarizacijo in s tem pokaˇzi, da se valovi z razliˇcnimi frekvencami
ˇsirijo z razliˇcnimi hitrostmi. Pojav je dobro poznan amaterskim radijskim operaterjem.
2. Povrˇ
sinski plazmoni
[premo ˇsirjenje elektromagnetnega valovanja]
Na povrˇsini snovi, ki ima negativno dielektriˇcno konstanto ε2 < 0 se lahko ˇsirijo elektromagnetni valovi, ˇce je nad povrˇsino snov s pozitivno dielektriˇcno konstanto ε1 > 0. Takˇsnim valovom pravimo povrˇsinski plazmoni, pojavijo pa se, denimo, na povrˇsini kovine. Za frekvenco
valov pod plazemsko frekvenco je namreˇc dielektriˇcna konstanta negativna.
Pokaˇzi, da so povrˇsinski plazmoni mogoˇci le v transverzalnem magnetnem naˇcinu, to je z
jakostjo magnetnega polja pravokotno napsmer ˇsirjenja valovanja. Pokaˇzi, da se njihova
disperzijska relacija zapiˇse kot ω = c0 k (ε1 + ε2 )/(ε1 ε2 ), kjer je c0 hitrost valovanja v
vakuumu.
15
Elektromagnetno polje: 12. vaje
(23. 12. 2014)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. Valovni vodnik iz vzporednih prevodnih ploˇ
sˇ
c
[ˇsirjenje elektromagnetnega valovanja v omejeni geometriji ]
Veliki vzporedni prevodni ploˇsˇci v medsebojni razdalji a uporabimo kot valovni vodnik.
a) Izraˇcunaj krajevno odvisnost vzdolˇznih komponent jakosti elektriˇcnega in magnetnega
polja, Ez in Hz , za transverzalni magnetni (TM) in transverzalni elektriˇcni (TE) naˇcin
valovanja. Za oba primera izraˇcunaj tudi disperzijsko relacijo valovanja.
b) Pokaˇzi, da je v TM naˇcinu razmerje amplitud preˇcne in vzdolˇzne komponente jakosti
elektriˇcnega polja enako k/κ, kjer je k valovni vektor valovanja in κ valovni vektor, ki
opisuje preˇcno krajevno odvisnost polj. Ta rezultat nam omogoˇca preprosto predstavo
ˇsirjenja valovanja vzdolˇz ploˇsˇc: valovanje izgleda kot periodiˇcno odbijanje valovnih
front med obema ploˇsˇcama.
2. Transverzalni elektriˇ
cni in magnetni (TEM) valovi v valovnem vodniku
[ˇsirjenje elektromagnetnega valovanja v omejeni geometriji ]
Pri transverzalnih elektriˇcnih in magnetnih (TEM) valovih sta elektriˇcno in magnetno polje
pravokotni na smer ˇsirjenja valovanja. V praznem prostoru je to edini naˇcin ˇsirjenja valoˇ
vanja, v valovnih vodnikih pa je to poseben naˇcin, ki obstaja le pod doloˇcenimi pogoji. Ce
i(kz−ωt)
~
~
je z vzdolˇzna os valovnega vodnika, lahko valovanje zapiˇsemo kot E(~r) = E(~
ρ)e
(in
~
~
podobno za H), kjer je k valovni vektor valovanja z velikostjo k in smerjo vzdolˇz z, ω kroˇzna
frekvenca valovanja, ρ~ pa krajevni vektor pravokoten na os z.
~ = i~k × E
~ in podobno za H.
~ S pomoˇcjo teh dveh zvez pokaˇzi,
a) Pokaˇzi, da velja ∇ × E
da je disperzijska relacija TEM valovanja linearna, ω = ck, kjer je c hitrost valovanja.
~
b) Pokaˇzi, da lahko magnetno polje preprosto izrazimo z elektriˇ
p cnim poljem kot H =
−1
~ kjer je eˆz enostski vektor vzdolˇz osi z in Z = µ0 /(εε0 ). Ce
ˇ v valovnem
Z eˆz × E,
p
vodniku ni snovi, je Z = µ0 /ε0 = 376 Ω, ˇcemur pravimo upor vakuuma. Obe polji
sta torej povezani na enak naˇcin kot pri valovanju v vakuumu, le da imata tukaj v
sploˇsnem netrivialno krajevno odvisnost.
~ ρ) = 0 in
c) Pokaˇzi, da sta amplitudi obeh polj kar reˇsitvi Laplaceove enaˇcbe, ∇2⊥ E(~
~ ρ) = 0, kjer ∇⊥ oznaˇcuje operator gradienta v smeri pravokotni na z. Hkrati ti
∇2⊥ H(~
dve enaˇcbi predstavljata statiˇcno limito valovne enaˇcbe, torej limito ω = 0 in k = 0.
To pomeni, da je iskanje TEM valovanj ekvivalentno reˇsevanju statiˇcnega problema
za dani valovni vodnik.
~ ρ) = 0 in ∇⊥ × H(~
~ ρ) = 0, sta E(~
~ ρ) in H(~
~ ρ) potend) Ker za amplitudi polj velja ∇⊥ × E(~
~ ρ) = 0 in ∇⊥ · H(~
~ ρ) = 0 tudi brezizvorni. Vsako lahko
cialni, hkrati pa zaradi ∇⊥ · E(~
torej izrazimo s svojim potencialom U , za katerega velja ∇2⊥ U = 0. Na podlagi tega
pokaˇzi, da TEM valovanje ne more obstajati v valovnih vodnikih s sklenjenim presekom, lahko pa obstaja, na primer, v koaksialnem kablu ali med dvema vzporednima
ploˇsˇcama.
16
Elektromagnetno polje: 13. vaje
(6. in 7. 1. 2015)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. TEM valovanje v plazmi znotraj koaksialnega kabla
[ˇsirjenje elektromagnetnega valovanja v omejeni geometriji ]
Iz dveh dolgih prevodnih cevi polmerov a in b sestavimo koaksialni kabel. Steni cevi sta tanki.
V prostor med cevema uvedemo snov, ki se obnaˇsa kot plazma s frekvenˇcno odvisnostjo
dielektriˇcne konstante
ωp2
ε(ω) = 1 − 2 ,
ω
kjer je ωp plazemska frekvenca. V tako pripravljen valovni vodnik spustimo elektromagnetno
valovanje v TEM naˇcinu (to pomeni, da sta vektorja obeh polj pravokotna na os cevi).
a) Izraˇcunaj disperzijsko relacijo elektromagnetnega valovanja v vodniku.
b) S podanimi parametri a, b in ωp izrazi frekvenˇcno odvisnost impedance vodnika in
jo skiciraj. Za primer b/a = 2 izraˇcunaj numeriˇcno vrednost impedance pri velikih
frekvencah.
2. Valjasta cev kot valovni vodnik
[ˇsirjenje elektromagnetnega valovanja v omejeni geometriji ]
Dolgo prevodno cev polmera a uporabimo kot valovni vodnik.
a) Izraˇcunaj odvisnost Ez (r, ϕ) za transverzalni magnetni (TM) naˇcin valovanja in odvisnost Hz (r, ϕ) za transverzalni elektriˇcni (TE) naˇcin valovanja, kjer os cevi kaˇze vzdolˇz
z, medtem ko sta r in ϕ valjni koordinati v ravnini pravokotni na z.
b) Za vsak naˇcin valovanja doloˇci disperzijsko relacijo in izraˇcunaj najmanjˇso frekvenco,
pri kateri se valovanje ˇse lahko ˇsiri po vodniku.
Spodnji tabeli povzemata niˇcle Besslovih funkcij in odvodov Besslovih funkcij.
17
3. Sevanje kratke dipolne antene
[sevalni pribliˇzek ]
Raven vodnik dolˇzine l, ki ga napajamo z izmeniˇcnim tokom I = I0 sin(ωt), uporabimo kot
dipolno anteno. Vodnik je kratek v primerjavi z valovno dolˇzino λ = 2πc0 /ω, kjer je c0
hitrost svetlobe v vakuumu.
~ r, t) in
a) Izraˇcunaj krajevno in ˇcasovno odvisnost magnetnega in elektriˇcnega polja, B(~
~ r, t), v sevalnem pribliˇzku, torej daleˇc stran od antene.
E(~
b) S pomoˇcjo Poyntingovega vektorja izraˇcunaj ˇcasovno povpreˇcje celotne moˇci izse2
vanega valovanja.
Dobljeni rezultat zapiˇsi kot ZIeff
, kjer je Z sevalni upor antene
√
in Ieff = I0 / 2 efektivni tok v anteni, in na ta naˇcin izraˇcunaj Z.
18
Elektromagnetno polje: 14. vaje
(13. in 14. 1. 2015)
asistent: Martin Klanjˇsek, telefon: 01 477 3866, email: martin.klanjsek@ijs.si
1. Sevanje majhne tokovne zanke
[sevalni pribliˇzek ]
Kroˇzno zanko polmera a napajamo z izmeniˇcnim tokom I = I0 sin(ωt). Zanka je majhna v
primerjavi z valovno dolˇzino λ = 2πc0 /ω, kjer je c0 hitrost svetlobe v vakuumu.
~ r, t) in
a) Izraˇcunaj krajevno in ˇcasovno odvisnost magnetnega in elektriˇcnega polja, B(~
~ r, t), v sevalnem pribliˇzku, torej daleˇc stran od antene.
E(~
b) S pomoˇcjo Poyntingovega vektorja izraˇcunaj ˇcasovno povpreˇcje celotne moˇci izse2
vanega valovanja.
Dobljeni rezultat zapiˇsi kot ZIeff
, kjer je Z sevalni upor antene
√
in Ieff = I0 / 2 efektivni tok v anteni, in na ta naˇcin izraˇcunaj Z.
2. Sevanje kombinirane antene
[sevalni pribliˇzek ]
Za oddajanje kroˇzno polariziranega valovanja lahko uporabimo anteno v obliki nesklenjene vodoravne kroˇzne zanke
z navpiˇcnima koncema (glej sliko). Predpostavi, da je antena majhna v primerjavi z valovno dolˇzino λ valovanja,
ki ga oddaja. Potem jo lahko obravnavamo kot kombinacijo vodoravne kroˇzne zanke polmera a in navpiˇcne
preˇcke dolˇzine l, ki simetriˇcno prebada zanko (glej sliko).
Anteno napajamo z elektriˇcnim tokom I = I0 sin ωt.
a) Doloˇci elektriˇcni in magnetni dipolni moment takˇsne
antene kot funkcijo ˇcasa t.
b) Pokaˇzi, da je v poljubni smeri valovanje, ki ga takˇsna
antena oddaja, eliptiˇcno polarizirano.
c) Kako moramo izbrati l pri danem a in dani valovni
dolˇzini λ, da bo valovanje res kroˇzno polarizirano?
V sevalnem pribliˇzku je gostota magnetnega polja nihajoˇcega elektriˇcnega dipola pe v odd~ e = µ0 sin ϑ p¨e (t − r )ˆ
aljenosti r od dipola podana kot B
e , ustrezni rezultat za magnetni dipol
4πcr
c ϕ
µ0 sin ϑ
r
~
pm pa je Bm = 4πc2 r p¨m (t − c )ˆ
eϑ , kjer je c hitrost svetlobe, ϑ in ϕ sta smerna kota, eˆϑ in eˆϕ
pa enotska smerna vektorja v krogelnih koordinatah, kjer ustrezni dipol kaˇze vzdolˇz osi z.