Pregled elementarnih funkcij - Matematika

Univerza v Ljubljani, FE
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Melita Hajdinjak
Matematika I (VS)
Pregled elementarnih funkcij
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
2013/14
1 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Funkcijo oblike
f (x ) = x n ,
kjer je n ∈ Z, imenujemo potenčna funkcija.
Število n imenujemo eksponent.
Funkciji, ki ju dobimo za n = 0 in n = 1, sta pravzaprav linearni
funkciji f (x ) = 1 in f (x ) = x , zato ju ne uvrščamo med prave
potenčne funkcije.
Definicijsko območje potenčne funkcije je R, če je n ≥ 0, in
R\{0}, če je n < 0.
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
2 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
n ≥ 1, lih:
n > 1, sod:
x3
x4
4
2
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
2
Racionalna
funkcija
1
Eksponentna
funkcija
-2
1
-1
2
x
-1.5
-1.0
0.5
-0.5
1.0
1.5
x
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
-2
-1
Hiperbolične
funkcije
-4
-2
3 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
n ≤ −1, lih:
n < −1, sod:
1
1
4
4
2
2
2
-2
Polinom
x2
x
-4
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
4
x
-4
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
2
-2
4
x
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
-2
-2
-4
-4
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
4 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Korenska funkcija
Potenčna funkcija
Funkcijo oblike
f (x ) =
√
n
x,
kjer je n ∈ N, n > 1, imenujemo korenska funkcija.
Število n imenujemo korenski eksponent.
Definicijsko območje korenske funkcije je R, če je n lih, in [0, ∞),
če je n sod.
Zveza med korensko in potenčno funkcijo za n > 1:
√
n
x = y ⇐⇒ x = y n .
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
5 / 46
Korenska funkcija je inverzna funkcija (cele ali zožene) potenčne
funkcije:
◮
če je n liho število, je potenčna funkcija
f (x ) = x n injektivna
√
−1
n
funkcija, ki ima inverz f (x ) = x ,
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
3
x
Polinom
2
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
1
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
-2
1
-1
2
x
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
-1
-2
6 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
◮
če je n sodo število, potenčna funkcija f (x ) = x n ni
injektivna funkcija in inverz dobimo, če se omejimo na
nenegativna števila.
Če je x pozitiven, ima enačba x = y celo dve realni rešitvi,
ki se razlikujeta samo za predznak. Po dogovoru za rezultat
n-tega korena izberemo nenegativno rešitev te enačbe.
n
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
7 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
x
4
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
3
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
2
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
1
Hiperbolične
funkcije
1
-1
2
3
x
-1
8 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Polinom
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Funkcijo oblike
p(x ) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 ,
kjer je an 6= 0, ai ∈ R, i = 0, . . . , n, imenujemo polinom.
Število n imenujemo stopnja polinoma p.
Definicijsko območje vsakega polinoma je R.
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
9 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Izrek. (Osnovni izrek algebre)
Polinom p stopnje n ima največ n realnih ničel, torej p(x ) = 0 za
največ n različnih realnih vrednosti spremenljivke x . Natančneje,
polinom p stopnje n ima natanko n kompleksnih ničel, od katerih
so nekatere lahko tudi večkratne.
Če ima polinom p točno n realnih ničel x1 , . . . , xn , ga lahko
zapišemo v obliki
p(x ) = an (x − xn )...(x − x1 ).
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
10 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Primer. Narišimo graf polinoma
p(x ) = 6x 4 − 13x 3 + 7x 2 + x − 1.
Niče polinoma lahko iščemo s Hornerjevim algoritmom.
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Ničle: x1,2 = 1 (2. stopnje), x3 = 21 , x4 = − 13 .
Hiperbolične
funkcije
11 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
6 x4 - 13 x3 + 7 x2 + x - 1
1.0
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
0.5
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
-1.0
0.5
-0.5
1.0
1.5
2.0
x
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
-0.5
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
-1.0
12 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Racionalna funkcija
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Funkcijo oblike
p(x )
,
R(x ) =
q(x )
kjer sta p in q polinoma, imenujemo racionalna funkcija.
Definicijsko območje racionalne funkcije je množica
R\{x : q(x ) = 0}.
Po osnovnem izreku algebre zato racionalna funkcija ni definirana
v največ toliko točkah, kot je stopnja polinoma q.
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
13 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Če želimo narisati graf racionalne funkcije, je dobro skupne
faktorje polinomov p in q najprej okrajšati.
Le če polinoma p in q racionalne funkcije R nimata skupnih ničel,
namreč velja:
◮
ničle polinoma p so ničle racionalne funkcije R,
◮
ničle polinoma q so poli racionalne funkcije R, v okolici
katerih je graf R neomejen.
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
14 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Če je stopnja polinoma p manjša od stopnje polinoma q, ima
racionalna funkcija vodoravno asimptoto y = 0.
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
x-3
Polinom
x2 - x + 1
Racionalna
funkcija
1
-4
2
-2
4
6
x
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
-1
Kotne funkcije
-2
Ciklometrične
funkcije
-3
Hiperbolične
funkcije
-4
15 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Če je stopnja polinoma p večja ali enaka stopnji polinoma q,
asimptoto racionalne funkcije dobimo kot kvocient pri deljenju
polinomov p in q.
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
16 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Primer. Izračunajmo asimptoti racionalnih funkcij:
x2 − 1
a) R(x ) =
x +5
5x 4 + x 3 − 1
b) R(x ) =
x2 + 5
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Asimptoti: y = x − 5 (premica), y = 5x 2 + x − 25 (parabola).
Hiperbolične
funkcije
17 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Primer. Narišimo graf racionalne funkcije
3
R(x ) =
x −x
.
x (x + 5)
Skupne faktorje najprej okrajšajmo!
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Ničli x1,2 = ±1, pol x = −5, asimptota y = x − 5.
Hiperbolične
funkcije
18 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
x2 - 1
x+5
20
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
10
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
-30
-20
10
-10
20
30
x
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
-10
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
-20
-30
19 / 46
Eksponentna funkcija
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Funkcijo oblike
Polinom
f (x ) = ax ,
kjer je realno število a > 0 in a 6= 1, imenujemo eksponentna
funkcija.
Najpogosteje uporabljamo osnovo a = e, torej
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
f (x ) = e x .
Definicijsko območje eksponentne funkcije je množica R.
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
20 / 46
Za a > 1 je f (x ) = ax strogo naraščajoča, pozitivna in
neomejena funkcija. Njena zaloga vrednosti je množica (0, ∞).
2
x
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
4
Racionalna
funkcija
3
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
2
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
Hiperbolične
funkcije
21 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Za 0 < a < 1 je f (x ) = ax strogo padajoča, pozitivna in
neomejena funkcija. Njena zaloga vrednosti je množica (0, ∞).
Potenčna funkcija
2-x
Korenska funkcija
4
Polinom
Racionalna
funkcija
3
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
2
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
1
Hiperbolične
funkcije
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
22 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Eksponentna funkcija je strogo monotona, zato injektivna, torej
obstaja njena inverzna funkcija.
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
23 / 46
Logaritemska funkcija
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Inverzna funkcija eksponentne funkcije ax je oblike
f (x ) = loga x ,
kjer je realno število a > 0 in a 6= 1, in jo imenujemo logaritemska
funkcija.
Definicijsko območje logaritemske funkcije je enako zalogi
vrednosti eksponentne funkcije, torej množici (0, ∞).
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
24 / 46
Za a > 1 je f (x ) = loga x strogo naraščajoča in neomejena
funkcija. Njena zaloga vrednosti je množica R.
logHxL
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
logH2L
Korenska funkcija
4
Polinom
Racionalna
funkcija
3
Eksponentna
funkcija
2
Logaritemska
funkcija
1
Kotne funkcije
-3
-2
1
-1
2
3
4
x
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
-2
-3
25 / 46
Za 0 < a < 1 je f (x ) = loga x strogo padajoča in neomejena
funkcija. Njena zaloga vrednosti je množica R.
logHxL
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
logH2L
Korenska funkcija
4
Polinom
Racionalna
funkcija
3
Eksponentna
funkcija
2
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
1
Ciklometrične
funkcije
-3
-2
1
-1
2
3
4
x
Hiperbolične
funkcije
-1
-2
26 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Lastnosti logaritemske funkcije:
◮
definirana je samo za pozitivna realna števila,
◮
je strogo monotona in neomejena,
◮
premica x = 0 je njen pol,
◮
loga 1 = 0 (ničla je x0 = 1),
◮
y = ax ⇐⇒ x = loga y ,
◮
loga (xy ) = loga x + loga y ,
◮
loga
◮
loga x = b loga x .
x
y
= loga x − loga y ,
b
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
27 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Največkrat obravnavamo logaritemsko funkcijo z osnovo
a = e.
V tem primeru logaritemsko funkcijo imenujemo naravni
logaritem in pišemo
f (x ) = loge x = ln x .
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Opomba. Nekateri naravni logaritem zapisujejo kot log x , kar je
včasih tudi oznaka za desetiški logaritem.
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
28 / 46
Kotne (trigonometrične) funkcije
Kotne funkcije so sinus, kosinus, tangens in kotangens.
Za kote, manjše od π/2, so definirane s pomočjo razmerij med
stranicami v pravokotnem trikotniku.
sin α =
naspr. kateta
hipotenuza
pril. kateta
cos α =
hipotenuza
tan α =
naspr. kateta
pril. kateta
ctan α =
pril. kateta
naspr. kateta
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
29 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Definicijsko območje kotnih funkcij sinus in kosinus razširimo na
množico vseh realnih števil.
Potenčna funkcija
Definicijsko območje funkcije
Polinom
tan x = tg x =
Racionalna
funkcija
sin x
cos x
Eksponentna
funkcija
je množica R\{ π2 + kπ : k ∈ Z}.
Logaritemska
funkcija
Definicijsko območje funkcije
ctan x = cot x = ctg x =
je množica R\{kπ : k ∈ Z}.
Korenska funkcija
Kotne funkcije
cos x
sin x
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
30 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Funkciji sinus in kosinus sta periodični s periodo 2π:
Korenska funkcija
Polinom
sin x = sin(x + 2π) in cos x = cos(x + 2π)
za vsak x ∈ R.
Funkciji tangens in kotangens sta periodični s periodo π:
tan x = tan(x + π) in ctan x = ctan(x + π)
za vsak x ∈ R.
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
31 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Med kotnimi funkcijami veljajo številne zveze, kot so:
Potenčna funkcija
2
2
sin x + cos x = 1,
tan2 x + 1 = 1/ cos2 x ,
ctan2 x + 1 = 1/ sin2 x ,
tan x ctan x = 1,
sin(2x ) = 2 sin x cos x ,
cos(2x ) = cos2 x − sin2 x ,
x
1 − cos x
sin2 =
,
2
2
x
1 + cos x
cos2 =
.
2
2
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
32 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Grafa funkcij sinus in kosinus:
Potenčna funkcija
sinHxL
Korenska funkcija
1
-2 Π
3Π
-
Π
-Π
Polinom
Π
Π
-
2
2
3Π
2
2
x
2Π
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
-1
Logaritemska
funkcija
cosHxL
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
1
-2 Π
3Π
2
Π
-Π
Π
Π
2
2
3Π
2
x
2Π
Hiperbolične
funkcije
-1
33 / 46
Grafa funkcij tangens in kotangens:
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
cotHxL
Kotne funkcije
4
Ciklometrične
funkcije
3
Hiperbolične
funkcije
2
1
-2 Π
3Π
2
Π
-Π
Π
Π
2
2
3Π
2
x
2Π
-1
-2
-3
-4
34 / 46
Ciklometrične funkcije
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Kotne funkcije niso injektivne, zato inverzne funkcije kotnih funkcij
ne obstajajo.
Če pa se omejimo na območje, kjer je posamezna kotna funkcija
injektivna, lahko definiramo inverze zoženih kotnih funkcij. Te
inverze imenujemo ciklometrične funkcije.
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
35 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Pri sinusni funkciji se omejimo na interval [− π2 , π2 ]. Inverzno
oziroma ciklometrično funkcijo te zožene sinusne funkcije
imenujemo arkus sinus in pišemo
f (x ) = arcsin x .
Velja:
y = arcsin x ⇐⇒ sin y = x .
Definicijsko območje funkcije arkus sinus je [−1, 1], njena zaloga
vrednosti pa [− π2 , π2 ].
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
36 / 46
Graf funkcije arkus sinus
Pregled
elementarnih
funkcij
sin-1 HxL
Π
2
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
1
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Π
1
-1
2
Π
2
x
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
-1
Π
2
37 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Pri kosinusni funkciji se omejimo na interval [0, π]. Inverzno
oziroma ciklometrično funkcijo te zožene kosinusne funkcije
imenujemo arkus kosinus in pišemo
f (x ) = arccos x .
Velja:
y = arccos x ⇐⇒ cos y = x .
Definicijsko območje funkcije arkus kosinus je [−1, 1], njena zaloga
vrednosti pa [0, π].
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
38 / 46
Graf funkcije arkus kosinus
Pregled
elementarnih
funkcij
cos-1 HxL
Π
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Π
2
Logaritemska
funkcija
1
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
1
-1
x
Π
Π
2
-1
39 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Pri funkciji tangens se omejimo na interval [− π2 , π2 ]. Inverzno
oziroma ciklometrično funkcijo tako zožene funkcije tangens
imenujemo arkus tangens in pišemo
f (x ) = arctan x .
Velja:
y = arctan x ⇐⇒ tan y = x .
Definicijsko območje funkcije arkus tangens je R, njena zaloga
vrednosti pa [− π2 , π2 ].
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
40 / 46
Graf funkcije arkus tangens
Pregled
elementarnih
funkcij
tan-1 HxL
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Π
Eksponentna
funkcija
2
Logaritemska
funkcija
Π
Π
2
2
-
x
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
Π
2
41 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Pri funkciji kotangens se omejimo na interval [0, π]. Inverzno
oziroma ciklometrično funkcijo tako zožene funkcije kotangens
imenujemo arkus kotangens in pišemo
f (x ) = arcctan x .
Velja:
y = arcctan x ⇐⇒ ctan y = x .
Definicijsko območje funkcije arkus kotangens je R, njena zaloga
vrednosti pa [0, π].
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
42 / 46
Graf funkcije arkus kotangens
Pregled
elementarnih
funkcij
-1
cot HxL
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
Π
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Π
Logaritemska
funkcija
2
Kotne funkcije
Π
Π
2
3Π
2
x
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
43 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Hiperbolične funkcije
Potenčna funkcija
To je skupno ime za funkcije hiperbolični sinus, hiperbolični
kosinus, hiperbolični tangens in hiperbolični kotangens, ki so
definirane takole:
x
e −e
,
2
e x + e −x
,
ch x = cosh x =
2
sinh x
th x = tanh x =
,
cosh x
cosh x
cth x = ctanh x =
.
sinh x
sh x = sinh x =
−x
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
44 / 46
Pregled
elementarnih
funkcij
Potenčna funkcija
Za hiperbolične funkcije veljajo podobne zveze kot za kotne
funkcije, na primer
cosh2 x − sinh2 x = 1,
sinh(2x ) = 2 sinh x cosh x ,
cosh(2x ) = cosh2 x + sinh2 x .
Korenska funkcija
Polinom
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
Logaritemska
funkcija
Kotne funkcije
Inverzne funkcije hiperboličnih funkcij imenujemo area funkcije.
Ciklometrične
funkcije
Hiperbolične
funkcije
45 / 46
Grafa funkcij hiperbolični sinus in kosinus:
Pregled
elementarnih
funkcij
8sinhHxL, coshHxL<
4
Potenčna funkcija
Korenska funkcija
Polinom
3
Racionalna
funkcija
Eksponentna
funkcija
2
Logaritemska
funkcija
1
Kotne funkcije
Ciklometrične
funkcije
-3
-2
1
-1
2
3
x
Hiperbolične
funkcije
-1
-2
46 / 46