דוגמאות נוספות של אוסילציות לא ליניאריות

‫סמינר בתנודות וגלים לא לינאריים‬
‫דוגמאות נוספות של תנודות‬
‫לא ליניאריות‬
‫מציג‪:‬‬
‫עומר מאיר‬
‫מנחה‪:‬‬
‫פרופ' לזר פרידלנד‬
‫תוכן‬
‫‪1‬‬
‫חלקיק בבור פוטנציאל‬
‫‪2‬‬
‫תנודות בפלסמה‬
‫‪1‬‬
‫חלקיק בבור פוטנציאל‬
‫הפוטנציאל‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪V  x  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫חלקיק בבור פוטנציאל‬
‫המילטוניאן‬
‫מרחב הפאזה‬
‫‪p2‬‬
‫‪H‬‬
‫‪V  x‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪p  2mH‬‬
‫‪1‬‬
‫חלקיק בבור פוטנציאל‬
‫מהירות החלקיק תלויה ב‪ H -‬ולכן גם התדירות‬
‫‪2‬‬
‫‪ H  ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪2H‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪T‬‬
‫‪x‬‬
‫‪p  mx  2mH‬‬
‫‪1‬‬
‫חלקיק בבור פוטנציאל‬
‫הפעולה‬
‫‪ p(q, H )dq‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I‬‬
‫לאחר אינטגרציה‬
‫‪1‬‬
‫‪a 2mH‬‬
‫‪2 pa ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 I‬‬
‫התדירות‬
‫‪2‬‬
‫פרמטר האי ליניאריות‬
‫‪0‬‬
‫‪ma‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I  ‬‬
‫‪d I ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪  I  dI‬‬
‫‪I‬‬
‫ולכן התנודות לא ליניאריות‬
‫‪1‬‬
‫חלקיק בבור פוטנציאל‬
‫המהירות‬
‫‪p‬‬
‫‪  t ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ I   t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ma‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪pn ( I )ein ( I )t‬‬
‫פיתוח בטור פורייה‬
‫מקדמי פורייה‬
‫‪ I‬‬
‫‪ma n‬‬
‫‪I   i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪pn  I   p‬‬
‫*‬
‫‪n‬‬
‫כל ההרמוניות חשובות‪ ,‬לא קיים ‪ N 0‬שקובע את רוחב הספקטרום‬
‫זוהי תוצאה של סינגולאריות מחזורית‬
‫‪2‬‬
‫תנודות בפלסמה‬
‫פלסמה היא גז מיונן בחלקו‪ ,‬מוליכה חשמלית‬
‫מצב צבירה בפני עצמו בעל תכונות פיסיקליות ייחודיות‬
‫דוגמאות‪ :‬כוכבים‪ ,‬ברק‪ ,‬נורת פלורוסנט‬
‫למעשה זהו מצב הצבירה הנפוץ ביותר ביקום‬
‫‪2‬‬
‫תנודות בפלסמה‬
‫נתעניין במקרה החד‪-‬מימדי‬
‫צפיפות אלקטרונית‬
‫צפיפות היונים‬
‫‪  x, t ‬‬
‫‪0‬‬
‫מהירות של נוזל האלקטרונים‬
‫‪v  x, t ‬‬
‫פוטנציאל חשמלי‬
‫‪  x, t ‬‬
‫תנודות בפלסמה‬
 
  v   0
t x
‫משוואת הרצף‬
dv v
v e 
 v 
dt t
x m x
‫משוואת תנועה‬
 2
 4 e    0 
2
x
‫משוואת פואסון‬
2
‫תנודות בפלסמה‬
2
‫נעבור לגדלים חסרי יחידות‬
t
t



0
v
v
v0
x
x



0
‫המשוואות המתאימות‬
1  v0 

 v   0
 t  x
  v0 

 v   0
t
 x
v0 v v02 v e0 
 v

 t  x m x
v v0 v e0 

v

t
 x mv0 x
0  2
 4 e0    1
2
2
 x
 2 e0
 2
 4
   1
2
x
0
‫תנודות בפלסמה‬
 v0

e0
1
mv0
1
m

v0
2
4e 0
mv02
0 
e
, v, 
u  v0
2
e0 2
4
1
0
m

4e20
 F  x  ut 
 

  x  ut    x  ut 
 

u
1

‫מתקבל‬
‫נחפש פתרון מהצורה‬
‫נסמן‬
‫ונדרוש‬
‫‪2‬‬
‫תנודות בפלסמה‬
‫הפתרון יהיה של גלים אלקטרוסטטיים‬
‫ˆ‪E  E  x  t  x‬‬
‫משוואת פאראדיי‬
‫‪1 B‬‬
‫‪ E  ‬‬
‫‪c t‬‬
‫‪B  const‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k̂  E  B‬‬
‫‪c0‬‬
‫השדות ניצבים‬
‫‪B0‬‬
‫זהו פתרון של גל ארכי‬
‫‪2‬‬
‫תנודות בפלסמה‬
‫לאחר החלפת המשתנה‬
‫משוואת הרצף‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x x  ‬‬
‫‪  x t‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ v     0‬‬
‫‪‬‬
‫‪  v   const‬‬
‫ב‪ v  0 -‬צפיפות האלקטרונים היא ‪   1‬והקבוע הוא ‪-1‬‬
‫ולכן‬
‫‪1‬‬
‫‪1 v‬‬
‫‪‬‬
‫תנודות בפלסמה‬

v
v 
v 

 
2
‫משוואת התנועה‬
 
  v2

v


  2
 
v2
 v    const
2
  0 ‫ גם‬v  0 ‫כאשר‬
v2
  v
2
2  1  1  v 
2  1  v 2  2v  1
‫ולכן‬
‫תנודות בפלסמה‬
 2
    1
2

2
‫משוואת פואסון‬
 2
v

2 1  v
  1 v
‫ואז‬
‫או‬
  2  1
‫נגדיר‬
Veff
d2
v
1 

  2  2  1  2  2
2
d
1 v



Veff  2 2   
H


1 2
 2 2  
2
‫הפוטנציאל האפקטיבי‬

‫קבוע התנועה‬
‫תנודות בפלסמה‬
‫‪2‬‬
‫הפוטנציאל האפקטיבי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Veff  2 2   ‬‬
‫מרחב הפאזה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪ 2 2  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪H‬‬
‫תנודות בפלסמה‬
  1
H
2
‫נגדיר‬



H
1 2
 2 2  
2
1
2

1  

1

v

‫והפתרון למשוואה‬
   cos     1  2 
‫הוא‬


‫תנודות בפלסמה‬
d
d
T 
 2
 2



1
1
 
2 1

  p
T 
  


n 
‫זמן המחזור של התנודות‬
‫כלומר תדירות התנודות אינה תלויה באנרגיה‬
 n ein
‫ התנודות אינן הרמוניות‬,‫אך עם זאת‬

1
 in
n 
d





e



2 
7


 n 3
n   1 5 n


6
3
N

N
n
e

2
1  n  N
N  n
N  1  
3
2 2

‫סיכום‬
‫‪1‬‬
‫חלקיק בבור פוטנציאל – דוגמא פשוטה לתנודות לא ליניאריות‪.‬‬
‫אי הליניאריות היא תוצאה של סינגולריות מחזורית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫תנודות בפלסמה – פתרון מעניין יותר מבחינה מתמטית‬
‫ופיסיקלית‪ .‬המעבר למשתנים חסרי מימדים הקל בפתרון‬
‫המתמטי וסיפק מידע על הגדלים הפיסיקליים‪ .‬ראינו תנודות לא‬
‫ליניאריות בתדירות קבועה‪ ,‬שאינה תלויה באנרגיה‪ .‬רוחב‬
‫הספקטרום הולך וגדל ככל שמתקרבים לספרטריקס‪.‬‬