MA-155 jukseark

En eske har 40 sikringer. Det er 4L, 22B, 7R, 5O og 2G. Finn sanns. for å trekke:
4
7
5
pL = 40
= 0.1, pB = 22
40 = 0.55, pR = 40 = 0.175, pO = 40 =
0.125, pG =
= 0, 05, så
Pm/tilb. (GBBROBROL) = p1L ·p3B ·p2R ·p2O ·p1G =0.11 ·0.553 ·0.1752 ·0.1252 ·0.051 =
0.000000398065
GBBROBROL
2
40
40 − 9
4 − 1, 22 − 3, 7 − 2, 5 − 2, 2 − 1
40 − 9
4, 22, 7, 5, 2
Pu/tilb. (GBBROBROL) =
9
1, 3, 2, 2, 1
9
1, 3, 2, 2, 1
· Pm/tilb. (GBBROBROL) = 15120 ·
0.000000398065 = 0.00601875
Pu/tilb. (1L, 3B, 2R, 2O, 1G)
0.000000625775 = 0.00946171
=
· Pu/tilb. (GBBROBROL)
=
Sanns. for at nissen tar en sekk
2
2Γ
1
2
før han ser et reinsdyr:b
µX
15120 ·
2
X ∼ W eib(2,2)
= 2, c = 2, så µX =
Prior
Likelihood
1
55 x
4
1
10000 x
x
= 1.7725
Hva er sanns.
µX : P (X < µX ) = F (µX ) = 1 −
for å se en før
2
− 1.7725
2
e
µx c
−
b
e
x=1
Svar:
= 0.544081
Du trekker en stein. Det blir en gullklump. Finn oppdaterte sanns.fordeling for
at ånden har slått
mynten n ganger.
1 n
1 n
, La g (n) = 1 − 2
La f (n) = 2
f (n)er prior og g (n) er likelihood . Finner
ket for Bayes teorem (5.1.2)
Prior
n
posterior
Likelihood
1 n
2
1−
ved å sette inn i formelver-
Posterior
1 n
2
1 n − 1 n
2
4
3
2
fpost (n) =
−
Ånden legger en gråstein oppi posen for å erstatte gullklumpen du trakk. Hva er
sanns. for at neste trekk også er en gullklump:
Ser fra forige oppgave at
1 n
Ppost (An ) = Ppost (X = n) = 23
− 14 n .
2
for C =å trekke en gullklump, gitt
2n −2
= 1 − 21−n . Altså
n ganger er nå gunstige
mulige =
2n
Videre regner vi ut, og ser at sanns.
An =ånden
slo mynten
Ppost (C | An ) = 1 − 21−n .
1 n
2
3
2
n
Bet.sans.for C
1 n
4
−
1 n
2
3
2
−3·
sum
Ppost (C) =
1 n
4
3
7
+2·
1 n
8
3
7
prior
Sondre plukker 20 tilfeldige spill, og ser at 13 ble vunnet av hvit og 7 av sort.
Hva blir
sanns.fordeling for andelen spill vunnet av hvit:
posterior
Observasjon
β(7,7) (X)
Posterior
fordeling for hvit seier er
β(20,14)
Observasjon
Posterior
β(20,14) (X)
11 hvite
9 sorte
β(20+11,14+9) (X)
posterior
fordeling for hvit seier er
µX =
31
31+23
≈ 0.574074, σX =
Normaltilnærmingen til
q
31·23
(31+23)2 (1+31+23)
X ∼ β(31,23)
≈ 0.066676
er altså
N(0.574074,0.066676)
0.5−µX
P (X ≥ 0.5) = 1 − P (X < 0.5) = 1 − Φ
= 1 − Φ 0.5−0.574074
=
σ
0.066676
X
1 − Φ (−1.11096) = 1 − 0.133 = 0.867
Kondensintervall-Har målt Påskeharens vekt re ganger. Hver avlesning har en
usikkerhet σ = 0.4 kg.Gjennosnittet var y
¯ = 17.5kg. Bruk
og angi
et 90% bayesiansk kondensintervall for Påskeharens vekt.
Jery`s prior
Benytter formel for Bayesiansk kondensintervall med
σ
√
n
= 17.5 ± z0.05 ·
0.4
√
4
Jerey`s prior
y¯ ± z α ·
2
= 17.5 ± 1.645 · 0.2 = (17.16, 17.83)
Mikkel jager Påskeharen. Han gjør en måling av farta til haren på 80km/h.
Usikkerhet på 10km/h. Angi et 98% frekventistisk kondensintervall for farten:
Bruker formel for frekventistisk kondensintervall
10
=
y¯ ±z α · √σn ⇒ 80±z0.01 · √
1
2
80 ± 2.326 · 10 = (56.74, 103.26)
Regn ut
28
2, 3, 5, 7, 11
28!
⇒
Uordnet uten tilbakelegging.
P (5R, 3G, 32) =
12
3
40
10
8
2
er
ordnet
uten
tilbakelegging.
P (LM LM LM LM LM )
=
50 − 10
30 − 5
50
30
=
4383756
= 0.000853512
5136139085
For eksponensialfordeling er
Hva er sanns.
µ=
1
λ , da blir forventet ventetid 15min.
for at ventetiden er mellom 5 og 20min?
x
Siden
λ =
1
15 , er
F (x) = 1 − e−λx = 1 − e− 15 . Da blir P (X ∈ (5, 20)) =
20 5 1
4
F (20) − F (5) = 1 − e− 15 − 1 − e− 15 = e− 3 − e− 3 ≈ 0.452934
kumulativ fordeling
Likelihood
0.75
7
69
10
23
0.25
og
P (A) = 0.75
P (G) = 0.25
=
7
69
≈
Posterior
7
92
10
92
=
P
=
Ppost (A) =
5
92
17
92
Ppost (B) =
7
17
10
17
≈ 0.4118
≈ 0.5882
Hva er sanns. for å få marsipan bak luke tre? I kalender A er det 6 marsipan
6
og 16 sjokolade igjen. Sanns. da er 22
, i kalender G er det 14 marsipan og 8
sjokolade. Sanns. er da 14
22 .
P (marsipan) =
Bayes teorem med kontinuerlig
Fordeling for
antagelse er
sanns. for andel rød?
prior
posterior
Prior
Observasjon
8 røde
prior .
7
17
Posterior
10
17
+
·
Posterior
β(7+8,3+2) (x)
2 fargede
6
22
·
14
22
=
91
187
≈ 0.4870
Skal anslå andel rød baller i ballbinge.
β(7,3) (x). Plukker 10 baller; 8 er røde. Hva blir
fordeling for andel
røde baller er
Prior
β(15,5) (x)
er snitt kg kake vennene dine spiste i jula.
anslag er X ∼ N(3,1) . 5
venner har i snitt spist y
¯ = 3.7kg, og hver gjorde anslaget med usikkerhet på
σ = 0.5kg . Hva blir nå
sanns.fordeling for X ?
posterior
Observasjon
Prior
µpre = 3
δpre =
Posterior
1
12
Posterior
y¯ = 3.7
=1
δhood =
5
0.52
1
µpost = 21
· 20
21 · 3.7
q
1
σpost =
21 ≈ 0.218
δpost =
= 20
fordeling for kg kake spist er
1+20 = 21
N(3.67,0.218)
Har målt Nissens vekt 4 ganger (n). Hver måling har usikkerhet σ = 4kg . Snittet
var y
¯ = 175kg . Bruk
og angi et 90% bayesiansk kondensintervall
for vekta. Finner z α i tabell zp (90%).
Jereys prior
2
Benytter formel
y¯ ±z α · √σn ⇒ 175±z0.05 · √44 = 175±1.645·2 = (171.61, 178.29)
2
Nissen tar en joggetur. Tar en måling på distanse som sier 8km. Usikkerhet
σ = 1km. Angi et 98% frekventistisk kondensintervall for hvor langt han jogga.
y¯ ± z α ·
2
σ
√
n
⇒ 8 ± z0.01 ·
1
√
1
= 8 ± 2.326 · 1 = (5.674, 10.326)
Du har en pose med terninger i to farger.
Hvite:1D4 , 1D6 , 1D8 , 1D10 , 1D12 , 1D20
Sorte:
3 D4 , 1 D8 , og 2 D20 .
Finn sanns. for å trekke en sort terning? Det er 6 sorte og 6 hvite.
6
6+6
P (sort) =
= 0.5
2
Sanns. for å trekke D8 ? Det er 2 D8 og 12 totalt., så P (D8 ) = 12
≈ 0.167
Tar tre terninger og legge de til side. Hva er sanns. for å trekke to sorte og en
hvit? Uordnet trekk uten tilbakelegging.
N −n
S−s
N
S
n
s
=
12 − 3
6−2
12
6
3
3
n=3,Gunstige
=
9
4
12
6
3
2
for å trekke en terning og slå ni?
trekk s=2
9! · 3!
= 4!5! 2!1! = 9
12!
22
6!6!
Må legge sammen sannsyn-
P (9) = P (D4 ) · P (9 | D4 ) + P (D6 ) · P (9 | D6 ) + P (D8 ) · P (9 | D8 ) + P (D10 ) ·
P (9 | D10 ) + P (D12 ) · P (9 | D12 ) + P (D20 ) · P (9 | D20 )
4
1
2
1
1
1
1
3
1
1
= 12
· 0 + 12
· 0 + 12
· 0 + 12
· 10
+ 12
· 12
+ 12
· 20
= 36
Du dykker. Det sies at antall havhester du vil se er
Hva er
Du jobber i bokhandel, og din kollega sier at ventetiden i minutterX til neste
gang en kunde spør etter hjemmeingeniør er eksponenialfordelt med parameter
1
λ = 15
. Hva er forventet ventetid µX før neste kunde spør etter boka?
≈ 0.148
=
Prior
Hva er sanns.
lighetene.
= 1680
14911
En pose fylt med 50 sjokoladekuler inneholder 30 med Likør (L) og 20 med
Marsipan (M). Hva er sanns. for å spise i følgende sekvens LMLMLMLMLM
Detter
A
20
5
Da er
Totalt N=12, Gunstige S=6, Antall trekk
= 1052427228652800 = 1.05 · 1015
2! · 3! · 5! · 7! · 11!
En pose sjokolade inneholder 20 kuler i rød folie, 12 i grønn og 8 i blå. Tar 10
tilfeldige og spiser. Hve er sanns. for at du spiser 5R, 3G og 2B?
25%.
Tabell for Bayes blir da slik:
β(31,23)
Bruk normaltilnærming for å nne sanns. for at hvit vinner minst halvparten av
spilla. Normaltilnærming når X ∼ β(31,23)
8
1
220825 x
N(3,1)
Prior
Ny
fpost (8) =
X
Sondre plukker 20 spill til og ser at 11 av disse ble vunnet av hvit, 9 av sort. Hva
blir ny
sanns.fordeling for andelen spill vunnet av hvit:
posterior
og G er
75%
β(7,3) (x)
β(7+13,7+7) (X)
803
200
=
24 − 2
2
N −n
n
8−2
2
S−s
s
=
N
24
S
8
24 − 2
2
16 − 2
2
= 10 ≈ 0.4348
0.10145,P (2marsipan | G) =
23
24
16
Posterior
13 hvite
7 sorte
5
1
220825 x
Etter to luker har du fått 2 marsipan. Oppdater sanns. for hvilken kalender
du kjøpte. Dette tilsvarer uordnett trekk uten tilbakelegging. I begge tilfeller
er N = 24, n = 2, s = 2, men for A kalender er S = 8, mens for G kalender er
G
Sondre lurer på hvor stor andel av Go spill som blir vunnet av hvit. Han regner
med at det er jevnt mellom sort og hvit og setter en
for andelen spill vunnet
av hvit β(7,7)
Prior
Andel A er
Produkt
1 − 21−n
=
S lager to type kalendere. A med 8 biter marsipan og 16 med sjokolade, og G med
16 biter marsipan og 8 med sjokolade. Det lages 3 ganger så mange A kalendere
som G kalendere. Du har kjøpt en. Hva er sanns. for at du kjøpte de respektive
kalenderene, altså P(A) og P(G)?
Sanns. for neste observasjon nne vi i formel (5.1.4)
Posterior
fpost =
1
x5
550000
803
200
5
1
220825 x
fpost =
P (2marsipan | A)
1 n
4
5
1
550000 x
Hva er sanns. for at sekken er av type 8?
S = 16
1 n − 1 n
2
4
2
3
1 n
2
3
2
Posterior
=
En ånd skulle fylle en pose. Han slo en mynt gjentatte ganger inntil han kk
X
kron. Telte da opp antall slag, X, han hadde gjort og fylte posen med 2
steiner.
Den første steinen var en gråstein, resten gullklumper.
sekk blir det med tilbakelegging.
Tabellen for Bayes blir da slik:
5
1
550000 x
10
P
1−
1
55 x
=
x
P (myk | x) = 100
, og med bunnløs
2
4
x2
1
x2
P (2myk2 | x) =
100 · 100 = 10000 x .
2
sier at
Per vil se et reinsdyr. X er tid i timer det tar før han ser et.
Hva er forventet ventetid
er 17x
935
x
Nissen gir deg to tilfeldige pakker. Begge er myke. Oppdater sanns. for hvilken
type sekk nissen har. Sanns. i forige oppg. blir da prior fpre (x). Likelihood
g (x) blir da sanns. for å trekke to myke pakker fra en sekk av type x. Teksten
= 0.000000625775
Sanns. for å trekke 1L,3B,2R,2O,1G (9 trekk)
Pm/tilb. (1L, 3B, 2R, 2O, 1G) =
Nissens verksted lager 10 forskjellige typer sekker, nummerert 1-10. For hver
2
type x er det laget 17x sekker (type 1=17, type 2=34 osv). I sekk x er x %
2
2
av gavene myke (sekk 1 har 1 % myke, sekk 2 har 2 % myke osv). Hver sekk
inneholder 1 mill gaver. Nissen tar en tilfeldig sekk. Hva er sanns. for at han
P10
1
tar en av type x? Det er da totalt
x=1 17x = 17 · 2 · 10 · (10 + 1) = 925 sekker.
Hva er
E [X]? Ser f (x) er Poisson
√
σx ? σx = λ ≈ 0.632456
fordeling
X ∼ f , der f (x) =
f (x) =
λx
x!
·e
−λ
,
0.4x
x!
·e−0.4
E [X] = λ = 0.4
Hva er sanns. for å se minst èn havhest i løpet av 3h? Det er 1-sanns. for å
ikke se noen. Sanns. for å ikke se en havest på 1 time er P (X = 0) = f (0) =
0
−0.4
−0.4
0.4
=e
. La X1 , X2 , X3 være antall havhester i time 1, 2 og 3.Gitt
0! · e
antagelsen i oppgaven at disse er uavhengige, er
P (X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0) = P (X1 = 0)·P (X2 = 0)·P (X3 = 0) = P (X = 0)·
3
P (X = 0) · P (X = 0) = (P (X = 0))3 = e−0.4 = e−1.2
−1.2
Sanns. blir da 1 − e
≈ 0.699
Bayes teorem: DD liker å stupe, men gjør avogtil mageplask. La X være andelen
mageplask.Noen studenters oppfatning er at han gjør mageplask 2 av 3 ganger,
og det er de like sikre på som om de haddeobservert 3 forsøk. Hve er
sanns.fordeling for X ?
prior
Prioren
3·
β(a,b) har parametre a = np + 1 = 3 ·
+ 1 = 2. Prior er da β(3,2)
1
3
2
3
+ 1 = 3, b = n (1 − p) + 1 =
(
prioren
posterior
Studentene observerer DD, og sammen med
over, konkluderer de ved
hjelp av bayesiansk oppdatering med en
sanns.fordeling X ∼ β(21,57)
Hvor mange observasjoner ble gjort, og hvor mange endte med mageplask?
Posterior
prior
= 3, b = 2 og posterior
= 57 − 2 = 55, så de
fordeling β(a+k,b+l) Her er
β(3,2) , altså a
så a + k = 21, b + l = 57. k = 21 − 3 = 18, l
observerte 18 + 55 = 73, hvorav 18 var mageplask.
β(21,57) ,
DD blir observert igjen. De ser 13 mageplask og 31 vellykka stup. Hva blir ny
sanns.fordeling for X ?
posterior
prior er β(21,57)
Ny
Da blir ny
posterior
β(21+13,57+31) = β(34,88)
Kondensintervall: La Y være snitthøyde på vannspruten når DD gjør mageplask. Studentene har prior for Y fordelingen N(1.5,0.5) . 10 av sprutene blir
målt i meter, 1.73, 1.98, 2.52, 2.00, 1.42, 1.61, 1.88, 0.73, 1.83, 1.93
Snittet
y¯ =
m˚
alingene
antallm˚
alinger
densintervall for
Y.
N(1.5,0.5)
Prior
Posterior
nn et
y¯ = 1.763
post
bayesiansk kon-
Posterior
post
C)
C
nner vi et (1 − α) 100% = 80% kondensintervall.: I = 0.6 ± 6.2 · 1.282 =
(−7.3, 8.5) Vi ser at 0 ∈ I , så vi kan
forkaste nullhypotesen og si at de ikke
var like raske.
Statisk inferens: Det er 3 buer. Den ene treer alltid målet, den andre tree 2
av 3 ganger og den siste 1 av 3. Tar en og test-skyter, og treer. Finn
og
og regn ut
. Kall valget av buene for A1 , A2 og A3 , og
hendelsen at han tra for B . Da er
ikke
likelihood
k
P (Ak )
P (B | Ak )
P (Ak B)
P (Ak | B)
1
1
3
1
3
1
3
1
1
3
2
9
1
9
2
3
1
2
1
3
1
6
2
3
2
3
1
3
σpost = 0.169568
oss et 95% bayesiansk
µpost ± z0.025 · σpost = 1.73275 ± 1.960 · 0.169568 = (1.40, 2.07)
Anta du ikke kjenner standardavviket til Y og nn et 95% bayesiansk kon10
P
2
2
1
densintervall for Y . Regn ut empirisk standardavvik sy = 10−1
yn
− y¯ =
n=1
N(1.5,0.5)
Prior
Observasjon
Posterior
y¯ = 1.763
µpost = 1.74221
δpre = 4
Antall
δhood = 46.5933
δpost = 50.5933
σpost = 0.14059
frihetsgrader er v = n − 1 = 10 − 1 = 9, og posterior blir da
,σ
,v ) = St(1.74,0.14,9) Det gir oss et 95% bayesiansk kondensinter-
St(µ
post post
vall. µpost ± t(9,0.025) · σpost = 1.74221 ± 2.2622 · 0.14059 = (1.42, 2.06)
Hypotesetesting: SS stuper og gjør avogtil mageplask. La Z være snitthøyde på
vannspruten. Har 10 målinger. Kjenner standardavvikene σY = 0.57, σZ = 0.53
Avgjør med en signikans på α = 0.05 om Y 6= Z , og bruk Jereys prior når du
skal gjøre anslag på posterior fordelingene for Y og Z.
√
= 0.168 og
Vi har da posterior µz = z
¯ = 1.357 og µy = 1.763, mens σz = 0.53
10
σy =
0.57
√
10
= 0.180
med parametere
Det betyr at fordelingen for
µw = µz − µy = 0.406
og
σw
W = Z − Y er en normalfordeling
q
= σz2 + σy2 = 0.331
Å avgjøre med en signikans på α = 0.05 om Y 6=
avgjøre om 0 er inne i et 95% kondensintervall for
Z er det samme som å
W . Dette intervallet er
µw ± z0.025 · σw = 0.406 ± 1.960 · 0.331 = (−0.242, 1.055)som inneholder 0, så vi
kan ikke si Y 6= Z med et signikansnivå på α = 0.05
A = {a, b, c} , B = {c, d} Finn A∪B . A∪B = {a, b, c, d} Finn (A ∪ B)\ (AB)= ∅Den tomme mengden.
P (A) = 0.4, P (A | B) = 0.2 og P (B) = 0.5 Finn P (B | A). Bruker Bayes
P (B)·P (A|B)
= 0.5·0.2
= 0.25
formel P (B | A) =
0.4
P (A)
N legger ut fasit. Tiden i min før k studenter har påpekt feil i fasiten er Erlangfordelt., og har samme λ for alle verdier av k. Forventet tid før 1 student har
k
1
påpekt feil i fasiten er 18 min. Finn λ. Siden µX = λ
, er λ = µk = 18
X
Finn kumulativ fordelingsfunksjon
for ventetiden for at 5 studenter skal ha påpekt
feil.
Fk (x) = 1 −
x n
18
n!
P4
n=0
for at 2 har påpekt feil innen 30min. P (X ≤ 30) = F2 (30) = 1 −

30 0
30 1
− 30
−5

18
18
+
· e 3 ≈ 0.496332
 · e 18 = 1 − 1 + 5
0!
1!
3
Finn sanns.



x
e− 18
Prior
La X være andelen Tirsdager Rudolf ha rød nese.
oppfatning er at Rudolf
har rød nese 80% av Tirsdagene, og er like sikker på dette som om att Rudolf
hadde blitt observert 5 Tirsdager. Hva blir
for X ? β(5,2)
prior
Rudolf blir observert i 17 uker og har rød nese 12 av Tirsdagene. Hva blir
sanns.fordeling for X ? Legger til 12 og 15 i parameterne. β(17,7)
posterior
Rudolf forsvinner en tur hver Tirsdag morgen. Du vil anslå Y , gjennomsnittlig
tid på utuktene. Det eneste du vet er at turene er aldri kortere en 30min eller
mer en 90min. Finn
anslag på Y ved reglen for å sette normalfordelt prior
ut fra rent intervallfokus. N(60,10)
prior
Har målinger fra 17 Tirsdager. Snitt-tid på Rudolfs turer var 58min, og utvalgsstandardavvik var 12min. Bruk Student`s t-versjon av Bayes teorem, og nn
sanns.fordeling for Y
posterior
Prior
Observasjon
µpre = 60
δpre =
Så
y¯ = 58
1
102
posterior
δhood =
fordeling er
17
122
Posterior
δpost =
461
3600
µpost =
1
102
461
3600
σpost =
· 60 +
q
17
122 ·
461
3600q
1
σpost
=
58 = 58.2
P (Ak | B)
P (C | Ak B)
P (Ak BC)
P (Ak | BC)
1
2
1
3
1
6
0
0
0
1
3
2
3
1
9
1
9
2
9
1
2
1
2
2
3
Bayes funksjons-versjon:
Finn

St(58.2,79,16)
Kondensinterval: Du har ett snitt for svinn Z. Finn 98% kondensintervall på
to måter. X ∼ N(3.4,1.2) I = µX ± σt4,0.01 = 3.4 ± 1.2 · 2.326 = (0.61, 6, 19).
X ∼ St(3.4,1.2,4) , altså Student`s t fordelt med µ = 3.4, σ = 1.2 og v = 4.
I = µX ± σz0.01 = 3.4 ± 1.2 · 3.7469 = (−1.10, 7.90)
1-sidig hypotesetesting: Hvis Rudolf legger igjenn 20 eller færre klatter tyder
dette på at han har vært på TPB. Posterior anslag på K - antall klatter er
K ∼ N(32,3) . Avgjør med signikans α = 0.1 om han legger igjen 20 eller færre
klatter. Her er h0 = 20, og H0 at K ≥ h0 . Da er
P (H0 ) = P (K ≥ h0 ) = P (K ≥ 20) = 1 − P (K < 20) = 1 − Φ
1 − Φ (−4) = 1
20−32
3
=
,
Område
Prior
Likelihooh
P ·L
x>0
0
ex
0
0
h0, 1]
xe−x
ex
x
h1, 2]
2 2 −x
5x e
2 2 −x
5x e
ex
2 2
5x
30
43 x
12 2
43 x
0
0
x≥2
0
S=
S=
´0
−∞
=0+
Kall hendelsen
posterior sanns.fordeling når du har
x≤0
 0
xe−x
x ∈ h0, 1]
P rior : fpre (x) =
 2 2 −x
x e
x>1
5 x
e
x≤2
Likelihood : g (x) =
0
x>2
P osterior
43
30
∞
´1
´2
´
0dx + xdx + 25 x2 dx + 0dx
2
2x
1
0
1
0
+
0
1
2 3 2
15 x 1
+0=
12 −02
2
+
2· 23 −13
15
=
43
30
Det sentrale lønnsomhetsmålet i Årsregnskapet er Årsresultat/Bunnlinje. Deneres som: Inntekt-kostnad
Det sentrale lønnsomhetskriterium for langsiktige prosjekter investeringer er:
Positiv nåverdi
Dekningsbidrag per stykk er: Pris-VEK(Variabel Enhets Kostnad)
Nullpunktet (Break Even) er denert som: Den minste salgsmengde som gir
positivt resultat
Kapitalens brrukerkostnad (user cost of capital) for en maskin inneholder årskostnaden for disse komponentene: Avskrivning og renter
A skylder B 10000 som skal betales om ett år og 10000 som skal betales om 5 år.
De blir enige om å gjøre opp alt i slutten av år 4 i ett beløp. 10% rente. Beregn
P
beløpet.
22401
En aksje i DNC gir utbytte på 15 i hvert år framover. Hva er børsverdien når
15
= 300
markedsrenten er 5% i all tid framover? N V0 = 0.05
Et
prosjekt
har
denne
forventede
kontantstrømmen
over
4
år:
(100,30,30,30,30).
Hva er netto nåverdi i dag når renten er 10%?
N V0 = −100 + 30·
A (10%, 4˚
ar)
{z
} = −100 + 95.10 = −4.90
|
3.169865
En evigvarende obligasjon (consol) med pålydende 1000 gir 3% avkasting pr år i
30
evig tid. Hva er verdien når framtidig markedsrente er 4%? N V0 = 0.04
= 750
Et lån på 1 mill fra en bank koster 1500 å etablere og det skal betales 5% rente pr
−1
år i 10 år. Finn eektiv lånerente. i = A
(5%, 10˚
ar) = 0.129505 mill, i > 5%
Fra BriefCase-Beslutningene og rapport for Team 5 s194 i pensumbok↓
Pris for Attache er 795. Hva er Team 5s dekningsbidrag? 795-365.4-selger kostuser costs
Team 5s leveringskapasitet i 92 er 253.95K. Hvilken av kapasitetene er knapp
faktor? Maskiner
Bygningskapasiteten i neste periode vil være? 253.30 · 0.97 + 20 = 265.70
Maks produksjonskapasitet i periode 1993 vil være? Byggningskappasitet 265.70
Team 5 har lånt for lite til å nansierre aktivitetene i 92. Hvor mye for lite?
14.368 mill pga kort gjeld
På s141 rapporteres det regresjonsresultater for etterspørselen. Hvor høy er
den estimerte priselastisiteten i Marked 3? -2.7431 (regresjonskoesienten i loglineær versjon)
Hvor høy er priselastisiteten i Marked 1 når vi bruker relative priser som
høyresidevariabel i regresjonen?
3600
461
posterior .
1
Setter opp i tabell
µpre = 1.5
Finn oppdatert
k
kondensintervall
0.463275
prior
posterior
Han testskyter igjen og bommer.
bomm for C
µpost = 1.73275
δhood = 30.7787
δpost = 34.7787
N(µ
,σ
) = N(1.73,0.17) Det gir
er da
95%
Observasjon
µpre = 1.5
δpre = 4
= 1.763, σY = 0.57,
Siden P (H0 ) ≥ 0.1 kan ikke nullhypotesen forkastes.
2-sidig hypotesetesting: Vixen og Blitzer løper til Rudolf. Donner observerer
dem og gjør en statistisk vurdering at tiden i sekunder Vixen brukte var V ∼
N(25.1,3.4) og Blitzer brukte B ∼ N(24.5,5.2) . Avgjør med signikans α = 0.2
om de var like raske. Regner først ut dieransen √
mellom dem, C = V − B ∼
N µ ,σ , der µC = 25.1 − 24.5 = 0.6 og σC = 3.42 + 5.22 = 6.2. Deretter
−49.17 ·
¯
P
q
¯
= − 49.17·1
= −4.99
9.853
(Forklares
side 126 og side 136-138)
Hva er årsaken til at Team 1 greier å selge mer en sin etterspørsel i 92? Team
1 har større leveringskapasitet en leveringskapasitet og får ekstra forespørsel fra
lag som ikke kunne og levere.
Team 7 kk begge kontraktene. Why? Laget hadde lavest priser
Team 10 hadde høyest årsresultat i 92. Men laget hadde mindre etterspørsel en
sin leveringskapasitet for produkt 1 Attache.
Hvor mye?
Marked 2: 55.63 + Marked 3: 31.70=98.30-103.88 = 5.58
Marked 1: 10.97 +