Formelsamling for Mekatronikk

M2
Kim Timothy Engh
med Thomas Håland & Martin T. Øksnes
Halvere og Kvadrere
Eksempel:
Starter med uttrykket:
x2 + 6x + 17 = 0
Halverer og kvadrerer:
x2 + 2| {z
· 3x} + 32 − 32 +17 = 0
| {z }
Halvere
Kvadrere
x2 + 6x + 9 + 8 = 0
Summerer:
(x + 3)2 + 8 = 0
Faktoriserer:
Starter med uttrykket:
Former om nevner:
Splitter opp:
yk = tn · eat
yk = tn · eat cos(bt)
yk = tn · eat sin(bt)
W (t) =
y1
y10
y2
y20
3. Finn Wronski determinanten.
4. Finn yp med formelen, der f (t) er summen av likningen. Ingen
konstanter skal med, selv etter integrasjon.
Om f (t) = 0 så er yp = 0
Z
Z
yc1 · f (t)
−yc2 · f (t)
dt + yc2
dt
yp = yc1
W (t)
W (t)
5. Sett opp den hetrogene diff. likningen, y = yc + yp .
6. Bruk initial verdier for å løse ut konstantene.
Delbrøksoppspalting
Eksempel:
⇒
⇒
⇒
rk = a
rk = a + bi
rk = a − bi
3s2 + s + 8
s3 + 4s
3s2 + s + 8
s(s2 + 4)
2
3s + s + 8
A
Bs + C
= + 2
s(s2 + 4)
s
(s + 4)
2
Ganger alle ledd med fellesnevner, s(s + 4), og former om
Cs + |{z}
4A ;
uttrykket til dette: 3s2 + s + 8 = s2 (A + B ) + |{z}
| {z }
Setter opp matrise;
=1
=8
=3


1 1 0 3
A=2
2
 0 0 1 1  ⇒ B = 1 ⇒ 3s + s + 8 = 2 + s + 1
s(s2 + 4)
s (s2 + 4)
4 0 0 8
C=1
Tabel for omforming av nevner til delbrøkoppspalting
Faktor i nevner:
Delbrøk:
Laplace Transformasjon
Laplace kan løses per definisjon eller med tabell.
Definisjon:
Z ∞
F (s) = L{f (t)} =
f (t)e−st dt
0
Blir ikke laplace invers per defininsjon på eksamen.
Tabell:
t-verden
s-verden
y
Y
sY − y(0)
y0
y 00
s2 Y − s · y(0) − y 0 (0)
Bruk Trondals, Haugans eller Rottmans formelsamling for ferdig
transformerte uttrykk.
Parallellforskyning
Når en har parallellforskyvning er det to utgangspunkt:
An
An−1
A1
L{eat · f (t)} = F (s − a)
2
+
+ ··· +
n
n−1
(s − α)
(s − α)
(s − α)
L{f (t − a) · u(t − a)} = e−as · F (s)
1
As + B
n
(s + α) + ω
Se tabell for parallellforskyvning
(s + α)n + ω
1
2
3
4
i Trodals formelhefte
Bs + C
s2 + ω 2
s2 + ω 2
Laplace transformasjon av periodisk funksjon
Bn s + C n
Bn−1 s + Cn−1
B1 s + C1
2
2 n
(s + ω )
+
+ ··· + 2
t, 06t61
RT
(s2 + ω 2 )n
(s2 + ω 2 )n−1
s + ω2
f (t)=
f (t) · e−ts dt
2−t, 16t62
2
L{f (t)} = 0
Matriser
1 − eT s
1
Enkel matrise likning:
Invers Matrise:
T er en hel periode.
A · ~x = ~b
vs=M
hs=I
1
2
3
4


 
 
 
x1
b1
a b c
1 0 0
a b c
System av diff. likninger
 d e f  ·  x 2  =  b2   d e f
0 1 0 
g h i
x3
g h i
0 0 1
b3
Y (s) = (sI − A)−1 [y(0) + G(s)]
(s − α)n
Setter opp argumentert matrise


a · x1 b · x2 c · x3 = b1
 d · x 1 e · x 2 f · x 3 = b2 
g · x 1 h · x 2 i · x 3 = b3
Utfører rad operasjoner


1 0 0
j k l
 0 1 0
m n o 
0 0 1
p q r
Løser på vanelig måte
vs=I
hs=M −1
Fourier Rekke
Generel def. der f (t); a, a + 2L, og L =
f (t) =
Eksponentialligning
Generell Form:
Halveringstid:
Konstant:
Q(t) = Ce−kt
τ = ln2
k
k = ln2
τ
Differensial Likninger
Diff. likninger kan løses med klassisk medtode eller med lapace.
an =
1
L
Z
a
1
2
periode:
∞
∞
X
ao X
π
π
+
an cos(n t) +
bn sin(n t)
2
L
L
n=1
n=1
a+2L
π
1
f (t) cos(n t)dt bn =
L
L
Fourier Rekke mhp symetri
Z
2 L
π
an =
f (t) cos(n t)dt
L 0
L
Z
a+2L
a
symetrisk
π
f (t) sin(n t)dt
L
f (t)
Klassisk metode (2. orden)
Z
1. Sett opp karakteristisk likning der y n,derivert er rn . Løs deretter
2 L
π
anti-symetrisk
b
=
f (t) sin(n t)dt
n
likningen og finn rk .
L 0
L
2. Finn yc ved å kovertere rk ⇒ yk , der n er antall ganger et En symetrisk likning vil kun ha et an og enventuelt et a0 ledd i
identisk ledd har vært tidligere. En konstant, C, skal med i hvert Fourier rekken, mens en Anti-symetrisk likning vil kun ha et bn
ledd.
ledd.
Konvertering fra 3 til 2 dimensjoner R3 → R2
Varmelikning
For at en likning kan defineres som varmelikning er man avhengig
av 3 premisser: ut = k·uxx , u(0, x) = f (x) og u(t, 0) = u(t, l) = 0
|
{z
}
Teorem 1
eller ux (t, 0) = ux (t, l) = 0 .
|
{z
}
Teorem 2
Teorem 1: u(t, 0) = u(t, l) = 0, 0o ved endepunkter;
u(t, x) =
∞
X
bn e−k(
nπ
L
n=1
)
2
·t


a
100c




b
T
=
b−a
c
Eksempel på formel.
Sammensettnig (R = T · S)
Finn standard matrise H
π sin n x
L
R
↓
H
Der bn er identisk til bn fra en anti-symetrisk fourier rekke der t
er erstattet med x.
Teorem 2: ux (t, 0) = ux (t, l) = 0, isolerte endepunkter;
Formelen brukes en gang for
hver vektor så summeres til en
matrise med navn G.
=
=
T · S
↓
↓
G · F
Diagonalisering
Egenverdier & Egenvektorer
A · ~x = λ · ~x, der λ er egenverdien og ~x er egenvektoren.
Egenverdiene, λ, finner man ved å løse det karakteristiske
polynomet som man får man tar determinanten av matrisen
Der an er identisk til an fra en symetrisk fourier rekke der t er A − λI.
erstattet med x.
Egenvektorene, [V~1 , V~2 · · · V~n ], finner man når man løser matrisen
Triks:
A−Iλ når man setter inn egenverdien, λ, til vektoren man ønsker
Om an /bn = 0 så er man nødt til å gjøre et triks. Eksempel med å finne.
utgangspunkt i oppgave 9.5-5 (Edwards/Penny):
Diagonaliseringen til A:
ut = 2uxx
En matrise kan diagonaliseres om matrisen er kvadratisk og den
4
2
0<x<3
πx −2 cos
πx
u(x, 0) = 4 cos
har lineært uavhengige vektorer. Vektorene er linjært uavhengige
3
3
t>0
så lenge matrisen ikke har frie variabler.
Ut fra likningen u(x, 0) kan vi se at de to an leddene i svaret
skal være 4 og 2, og vi ser at innholdet cos leddene er ulike.
A = P · D · P −1
Ak = P · Dk · P −1
Det vi så gjør er å utlede rekken for u(t, x) hvor vi så kaller
eA = P · eD · P −1
P = [V~1 , V~2 , · · · , V~k ]
an-leddene for a1 , a2 , a3 , a4 osv, slik som dette:
2
2
2
1
1
2
A: Matrisen som skal skrives om.
πx + a2 · e−2( 3 π) ·t cos
πx
a1 · e−2( 3 π) ·t cos
3
3
D: Matrise med egenverdiene i diagonalen.
P : Egenvektorene som matrise.
2
2
3
4
3
4
+a3 · e−2( 3 π) ·t cos
πx + a4 · e−2( 3 π) ·t cos
πx ...osv
3
3
P = V~1 V~2 · · · V~n
Nå sammenligner vi rekken med leddene i u(x, 0). Vi ser at a2 - 1. Finn egenverdiene
og a4 -leddene har det samme innholdet inne i cos-leddene som i 2. Finn egenvektorene
m m ··· m


u(x, 0). Vi ’smelter’ sammen a2 /a4 med u(x, 0) slik som dette:
3. Sett opp matrisene P , D og
λ1 0 · · · 0
P −1 , og pass på at egenverdiene
 0 λ2 · · · 0 
likt i a2 og u(x, 0)

fra a4
og egenvektorene stemmer med D = 
z }| {
fra u(0, x)
 ..
z }| {
..
.. 
..
z}|{ −2 2 π 2 ·t


2
hverandre.
.
4
4
2
.
.
.
3 )
4 · e| ({z
−2 · e−2( 3 π) ·t cos
πx
} cos 3 πx |{z}
0
0
·
·
·
λ
3
n
|
{z
}
fra a2
fra u(0, x)
∞
X
π nπ
a0
u(t, x) =
+
an e−k( L ) ·t cos n x
2
L
n=1
2
likt i a4 og u(x, 0)
Vi forenkler potensen til e-leddene og får svaret:
8 2
32 2
2
4
4e− 9 π ·t cos
πx − 2e− 9 π ·t cos
πx
3
3
Lineære transformasjoner
Basis
.
.
.
A = T e~1 .. T e~2 .. · · · .. T e~n
Transformasjon i rommet Rn → Rn
Her speiler man hver enkelt vektor hver for seg, så summerer
vektorene sammen til en matrisen F .




−9
9
z
T (~e3 )
T (~e2 ) y
T (~e1 )  0 ⇒S(~e1 )  0 
0
0
x
T (~e )
1
Transformerer vektoren T (e~1 ).
som speiles over origo
s(~e2 )
s(~e1 )
s~(e3 )
Viktig å huske
sin(nπ) = 0
cos(nπ) = (−1)n
−(−1)n = (−1)n+1
2
2
cos(2α) = 2 cos α − 1
cos (α) = 21 (cos(2α) + 1)
Referanser
Haugan, J, Formler og Tabeller (2011), NKI Forlaget.
Kohler, W & Johnson, L , Elementary differential equations (2006), Pearson.
Nyberg, S, O, Forelensningsnotater matte 2 (2012), UiA.
Om formelarket
Laget for å være til hjelp på matte 2 eksamen som det ene arket som er lov til å ha med
utenom godkjente formelsamlinger. Det tas forbehold om eventuelle feil eller mangler.
Formelarket gis ut under lisensen Creative Commons (CC).