Föreläsning 3, Avbildning, speglar och linser

Föreläsning 5, Diffraktion
Inledande om diffraktion
Avvikelser från en rätlinjig utbredning kallas diffraktion eller böjning. Sådana
avvikelser uppkommer då en våg passerar en öppning, en kant till ett utbrett hinder
eller båda sidorna av ett litet hinder. En ström av klassiska partiklar avböjs inte i
liknande situationer. Diffraktion är således ett typiskt vågrörelsefenomen.
Diffraktion uppträder alltid när ett strålknippes utsträckning begränsas. I alla
optiska instrument förekommer en sådan begränsning, och därmed en viss
diffraktion. Diffraktionen begränsar den geometriska optiken, och påverkar både
bildskärpa och mätnoggrannhet. Om man försöker att forma en strålknippe genom
att skicka ljuset genom en trång öppning får man alltså motsatt effekt. Ljuset sprids
istället för att koncentreras. Ju mindre öppningen är, desto mer kommer ljuset at
spridas.
Huygens Princip
Huygens förklarade på 1600-talet böjningsfenomenet genom att anta att varje
punkt som träffas av en våg fungerar som en störningskälla som sänder ut vågor i
alla riktningar. Dessa vågor kallas sekundära, eftersom de inte orsakar vågrörelsen.
Huygens grundade sina resonemang på enkla experiment med vattenvågor.
Huygens experiment visade att en öppning som är mycket mindre än våglängden
fungerar som en sändare för sfäriska vågor. Han fann vidare att om flera sådana
cirkulära vågor samverkar, så bildar de en linjär vågfront. Varje störningsvåg för sig
visade sig ha en obetydlig styrka. Det var bara i tangentytan, där störningsvågorna
samverkade som effekten blev märkbar. Sammanfattningsvis förklarade Huygens
sina experiment med följande princip:
Varje punkt som träffas av en vågfront blir centrum för en sekundär
störningsvåg. Tangentytan till dessa störningsvågor ger vågfronten vid en
senare tidpunkt.
30
Diffraktion från en spalt
Det mönster som uppträder då man skickar ljus genom en smal spalt har ett
mycket typiskt utseende. Nästan allt ljus är koncentrerat till ett brett
centralmaximum, men dessutom ser man på båda sidor smalare och allt svagare
sekundärmaxima. I framåtriktningen θ = 0 har alla sekundärvågor lika lång optiskt
väg till en punkt p som befinner sig mitt framför öppningen. För punkter som
ligger vid sidan om mittpunkten p är däremot den optiska vägen olika för de olika
sekundärvågorna. Fasen i punkten blir därför också olika för de olika
sekundärvågorna. Första minimum inträffar när två sekundärvågor har en
vägskillnad som motsvarar en halv våglängd. Om spaltens bredd är a och m är
ordningen ges en mörk frans av :
a sin θ = mλ
Den första mörka fransen får man alltså när m har värdet 1. För de ljusa
sidofransarna finns ingen matematisk formel, utan man får nöja sig med att de
approximativt befinner sig mellan två mörka fransar.
31
Diffraktion från en cirkulär apertur
För en cirkulär öppning får man liksom för en spalt minima i vissa riktningar.
Diffraktionsmönstret består av ett huvudmaximum i framåtriktningen i form av en
cirkulär skiva omgiven av ljusa och mörka ringar. Vinkeln till första minimum ges
av:
sin θ = 1,22
λ
d
där d är diametern på den cirkulära öppningen. Denna formel skiljer sig från
formeln för en spalt endast genom faktorn 1,22 om d jämställs med a.
Av formlerna för diffraktion vid spalt och cirkulär öppning framgår att
diffraktionen bara beror på förhållandet mellan våglängden på ljuset och
öppningens storlek. Om våglängden är liten i förhållande till öppningen böjs ljuset
lite. Ju längre våglängden är och ju mindre öppningen är desto mer böjs det av.
Diffraktion inträffar för alla slags vågor. Den inträffar exempelvis för radiovågor
från en parabolisk reflektor och för ultraljudvågor från en kvartskristallstav.
Begreppet upplösning
Ljusets böjning sätter en gräns för optiska systems förmåga att åtskilja närbelägna
ljuskällor. Två avlägsna ljuskällor som studeras med kikare får exempelvis inte vara
på alltför litet vinkelavstånd från varandra. Om de ligger för nära varandra flyter
diffraktionsmönstren ihop. Man säger då att ljuskällorna inte är upplösta. För stora
vinklar kan man däremot tydligt se att diffraktionsmönstret alstras av vågor från två
ljuskällor. Ljuskällorna sägs då vara upplösta, se fig nästa sida.
32
Rayleightkriteriet
Gränsvinkeln som ger nätt och jämnt upplösta ljuskällor kan inte fastställas exakt,
eftersom ”nätt och jämnt” inte är exakt definierat. Det finns därför flera olika
kriterier för upplösningsgränsen. Rayleights kriterium är det som används oftast.
Enligt detta är två ljuskällor just upplösta då maximum i det ena
diffraktionsmönstret sammanfaller med första minimum i det andra.
θ R = sin −1 1,22
λ
d
Diffraktionen från en dubbelspalt
I ett dubbelspaltmönster kombineras interferens och diffraktion. Båda fenomenen
är superpositionseffekter, där vågor med olika fasskillnader påverkar varandra i en
given punkt. Intensiteten i en viss punkt från en dubbelspalt ges av:
I = I m (cos 2 β )(
β =(
α =(
sin α 2
)
α
πd
) sin θ
λ
πa
) sin θ
λ
Ett interferensfenomen innebär aldrig någon ändring av den totala energin, utan
endast en omfördelning av ljusets intensitet i olika riktningar.
För mycket smala spaltöppningar uppstår ett interferensmönster där alla ljusa
fransarna har ungefär samma intensitet. När öppningarna inte är så smala påverkas
intensiteten hos de ljusa fransarna av diffraktionen från varje spalt.
Interferensfaktorn :
cos 2 β
33
beror på interferensen mellan de två spalterna med spaltavstånd d.
Diffraktionsfaktorn :
(
sin α 2
)
α
beror på diffraktionen från en enkel spalt med spaltvidd a.
Diffraktionsgitter
Vid våglängdsbestämning av ljus utnyttjar man i allmänhet en vidareutveckling av
dubbelspalten, ett gitter. Förändringen består i att man använder ett stort antal
spalter på konstant avstånd från varandra, i stället för bara två.
Gittret har flera fördelar framför dubbelspalten. En är att interferensmönstret blir
ljusstarkare, eftersom flera ljusvågor bidrar till intensiteten i varje maxpunkt. Den
viktigaste fördelen är att ljusmaximat blir mycket smalare än vid dubbelspalten.
Därigenom kan maximilägena bestämmas med större precision, och
våglängdsbestämningen blir noggrannare.
Gittret karaktäriseras av gitterkonstanten, d, vilken är avståndet mellan två
närliggande spalters mittpunkter. Vi får samma villkor för ljusmaximum som vid
dubbelspalten:
d sin θ = mλ
I ett transmissionsgitter skickas strålarna genom de smala öppningarna precis som i
Youngs experiment. Det förekommer emellertid också reflexionsgitter, där
spalterna är ersatta av smala reflekterande partier. Det reflekterade ljuset böjs på
samma sätt som de transmitterade, och man får ett likadant interferensmönster.
34
35