Robust flervariabel reglering

Robust flervariabel reglering
Föreläsning 1
Anders Helmersson
andersh@isy.liu.se
ISY/Reglerteknik
Linköpings universitet
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Adresser
http://www.control.isy.liu.se/˜andersh/teaching/robkurs.html
http://www.control.isy.liu.se/˜andersh/teaching/robschedule.html
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Återkoppling
Varför behöver man återkoppling?
r
- G−1
y
u
-
G
-
När kan man inte göra så här?
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Återkoppling
Varför behöver man återkoppling?
r
- G−1
y
u
-
G
-
När kan man inte göra så här?
G är instabil;
G är osäker;
G är icke minimum fas (nollställen i HHP).
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Lite historia
xˆ
-
KF
-
-
u
L
r
y
-
G
LQR/LQE optimala i viss mening
Fas- och amplitudmarginaler?
Abstract: “There are none”, Doyle, 1978, kapitel 14.10 i ZDG.
LTR ger marginaler (Loop transfer recovery).
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Standardform
w (systemstörning)
r
- +i -
u
K
-
G
?
- +i
y
-
6
−1 +i
?
e (mätstörning)
y = Sw + T (r − e)
S = (I + GK)−1
T = GK(I + GK)−1
S + T = (I + GK)(I + GK)−1 = I
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Utökat system
Vi vill också hålla ner styrsignalen.
KSw
y
-
K
r -
u
G
- WKS
-< 1
r - WT
-< 1
Tw
+i
?
Sw
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
r - WS
w
-< 1
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Utökat system
w
-
˜
G
- z
-
y
u
K
Vi vill begränsa förstärkningen från w till z genom ett lämpligt val av
K.
Försök att minska förstärkningen till under 1.
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Designmetod
w
-
˜
G
- z
-
-
y
u
K
1) Ställ upp krav
2) Syntes
3) Kontrollera om kraven uppfylls
4) Modifiera och upprepa från 1)
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Flervariabel förstärkning
Betrakta
z = Mw
0.96 1.72
w1
z1
=
w2
z2
2.28 0.96
Låt kwk2 = w21 + w22 = 1, och maximera kzk2 = z21 + z22 .
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Flervariabel förstärkning
Singulära värden:
0.96 1.72
2.28 0.96
0.6 −0.8
0.8 0.6
M=
=
= UΣV T
3 0
0 1
0.8 0.6
0.6 −0.8
T
där UT U = I, V T V = I, Σ diagonal ≥ 0.
Använd svd i Matlab.
¯ (M) = σ1 = maxi σi .
Maximal förstärkning, kMk = σ
Olika riktningar på w ger olika förstärkning.
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Syntes
¯ (A + BKC) minimeras.
Välj ett K så att σ
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Koppling till egenvärden
MT M = VΣUT UΣV T = VΣ2 V T
Således MT MV = VΣ2 och Σ2 är egenvärden till MT M.
Egenvärden har inte bra numeriska egenskaper.
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Flervariabla fenomen
hastighet [m/s, Mach]
-
throttle [%]
-
Flygplan
höjdroder [deg]
-
höjd [m]
-
Hur kan man jämföra grader och %?
Hur kan man jämföra m med m/s eller Machtal?
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Skalning
Skala insignalerna så att de hamnar mellan ±1.
Skala utsignalerna så att kraven hamnar mellan ±1.
Skala störningarna så att de hamnar mellan ±1.
|d| ≤ 1
?
Gd
|u| ≤ 1
-
G
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
y∼1
- +?
i -
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Skalning
|d| ≤ 1
?
Gd
|u| ≤ 1
-
G
y∼1
- +?
i -
Krav för att kunna styra bort en störning så att |y| < 1:
kG−1 Gd k < 1
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Lågförstärkningssatsen
∆
-
G
G stabilt och kGk < 1.
Om k∆k ≤ 1 så är det återkopplade systemet stabilt.
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Lågförstärkningssatsen
Bryt ut osäkra parametrar.
LFT = linear fractional transformation:
δ
|δ| ≤ 1
-
G
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsningar
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsningar
1 Introduktion
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsningar
1 Introduktion
2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsningar
1 Introduktion
2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering
3 Återkoppling, stabilitet, prestanda
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsningar
1 Introduktion
2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering
3 Återkoppling, stabilitet, prestanda
4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsningar
1 Introduktion
2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering
3 Återkoppling, stabilitet, prestanda
4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR
5 H∞ -syntes
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsningar
1 Introduktion
2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering
3 Återkoppling, stabilitet, prestanda
4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR
5 H∞ -syntes
6 Loop shaping, modellreduktion
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsningar
1 Introduktion
2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering
3 Återkoppling, stabilitet, prestanda
4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR
5 H∞ -syntes
6 Loop shaping, modellreduktion
7 Modellosäkerheter, lågförstärkningssatsen, LFT:er
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsningar
1 Introduktion
2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering
3 Återkoppling, stabilitet, prestanda
4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR
5 H∞ -syntes
6 Loop shaping, modellreduktion
7 Modellosäkerheter, lågförstärkningssatsen, LFT:er
8 LMI:er
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsningar
1 Introduktion
2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering
3 Återkoppling, stabilitet, prestanda
4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR
5 H∞ -syntes
6 Loop shaping, modellreduktion
7 Modellosäkerheter, lågförstärkningssatsen, LFT:er
8 LMI:er
9 µ-analys och -syntes
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsningar
1 Introduktion
2 Normer, Lyapunov-ekvationer, balansering
3 Återkoppling, stabilitet, prestanda
4 Parametrisering av regulatorer, Riccati-ekvationer, LQR
5 H∞ -syntes
6 Loop shaping, modellreduktion
7 Modellosäkerheter, lågförstärkningssatsen, LFT:er
8 LMI:er
9 µ-analys och -syntes
10 Sammanfattning
Anders Helmersson andersh@isy.liu.se
Robust flervariabel reglering
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET