Förord

()
Förord
David Karlsson
Sida 1
Innehåll
1 Introduction
4
2 Noise in electrical amplifiers
2.1 Definition: Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Noise types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Noise models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Resistor noise model . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Inductor-, Capacitor noise model . . . . . . . .
2.3.3 Diode noise model . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 BJT noise model . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 FET noise model . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Nullor noise model . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.7 Multiple noise sources . . . . . . . . . . . . . .
2.3.8 Stages sorted with respect to noise contribution
2.4 Signal to noise ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Signal to noise ratio . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Determine signal to noise ratio . . . . . . . . .
2.4.3 Wiener Kintchines sats . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
3 Distortion
3.1 Linjärisering . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Harmonic distortion . . . . . . . . . .
3.3 Reduce distortion . . . . . . . . . . . .
3.4 Complementary devices . . . . . . . .
3.4.1 Bias of Complementary devices
4 Signal classes
4.1 Large signals . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Clipping . . . . . . . . . . . .
4.2 Medium signal distortion . . . . . .
4.2.1 Signal to bias ratio . . . . . .
4.2.2 Signal to bias ratio expansion
4.2.3 Peak amplitude signal to bias
4.2.4 SBR koefficienter . . . . . . .
4.2.5 Nonlinearity figure (NL) . . .
4.2.6 Bias effect on distortion . . .
4.2.7 Harmonic distortion from NL
4.2.8 BJT vs. FET . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
8
9
9
9
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
ratio
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
10
11
11
11
11
11
11
11
12
12
.
.
.
.
.
Innehåll
(Innehåll)
4.2.9
Maximal Loop Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Frequency behavior
5.1 Maximal Flat Magnitude (MFM) . . . .
5.1.1 Butterworth placement of poles .
5.2 Linear phase . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Bessel placement of poles . . . .
5.3 Real poles . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Placement of real poles . . . . .
5.4 Loopgain pole product (LP) . . . . . . .
5.4.1 Maximum of bandwith . . . . . .
5.5 Non-dominant poles . . . . . . . . . . .
5.5.1 Determine the dominant pole set
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
13
13
13
13
14
14
14
14
14
14
15
6 Improving bandwidth
16
6.1 Increase ωT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 Frequency compensation
7.1 Frequency compensation with Phantom zero .
7.1.1 Phantom zero definition . . . . . . . .
7.1.2 Freedom in root locus . . . . . . . . .
7.1.3 Placement of phantom zero . . . . . .
7.1.4 Realization of phantom zero . . . . . .
7.1.5 Placement of realisation . . . . . . . .
7.1.6 Efficiency of the zero . . . . . . . . . .
7.2 Frequency compensation with other methods
7.2.1 Pole-split . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Pole-zero cancellation . . . . . . . . .
7.2.3 Resistive broadbanding . . . . . . . .
7.2.4 Capacitive narrowbanding . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
17
17
17
18
18
18
18
18
18
18
18
8 Biasing of negative feedback amplifiers
19
9 Voltage and Current sources
20
10 Improving bias sources
21
David Karlsson
Sida 3
Kapitel 1
Introduction
4
Kapitel 2
Noise in electrical amplifiers
2.1
Definition: Noise
Noise är en stokastiskprocess som karakteriseras av:
• Normalfördelning (Gaussian distribution).
• Medelvärde: E(Vn ) = v¯n = 0
• Medelkvardratvärde, MS: V (vn ) = E(vn2 ) = v¯n2
p
• Rotmedelkvadratvärde, RMS: vr ¯ms = vn2
• Noisepower: Pn ∝ vn2
2.2
Noise types
Noise uppkommer av olika anledningar. Bland annat:
• Thermal noise: från laddningsbärarnas slumpmässiga rörelser på grund av
temperatur.
• Shot noise: från slumpmässig injektion av minoritetsbärare i PN-övergångar
på grund av strömflödet.
• flickernoise: från allehanda materialbrister och defekter
2.3
Noise models
Alla noise källor är antingen spännings-, eller ström källor. Dessa källor lyder
under Kirchoff’s lagar (KVL, KCL) och kan Norton-, Thevenin-transformeras.
Deras storlek in eller vn är en stokastiskvariabel. Noise beskrivs ofta i form av
spektralfunktioner, S.
5
2.3. Noise models
2.3.1
(Kapitel 2. Noise in electrical amplifiers)
Resistor noise model
Resistorer ger upphov till Thermal noise:
Thevenin: SvR = 4kT R
Norton: SvR = 4kT /R
Där k är Boltzmans konstant.
2.3.2
Inductor-, Capacitor noise model
Idealt inget noise-bidrag. Dock är inte komponenterna inte ideala utan har en
inre resistans vilken ger upphov till thermal noise.
2.3.3
Diode noise model
Sin ,D = 2qID
2.3.4
BJT noise model
Svrb = 4kT rb
SIB = 2qIB
SIC = 2qIC
2.3.5
FET noise model
Svrg = 4kT rg
SID = 4kT γgm
f
SID ,f = 4kT γgm ff
2.3.6
Nullor noise model
Nullorn är per definition en ideal komponent och bidrar därför inte med något
noise till kretsen. Varje krets som följs av en nullor är själv en nullor.
2.3.7
Multiple noise sources
Tillvägagångssättet för att behandla flera noise sources är att förflytta dem en
och en genom kretsen till ingången för att där slå ihop dem. Till detta används
V-shift, I-shift. Strömkällor parallellt med utgången och Spänningskällor i serie
med utgången har ingen inverkan på signalen.
2.3.8
Stages sorted with respect to noise contribution
Best to worst:
• CS
• ASCS
• CPCS
• series
• shunt
David Karlsson
Sida 6
2.4. Signal to noise ratio
(Kapitel 2. Noise in electrical amplifiers)
• CD
• CG
2.4
2.4.1
SN R =
2.4.2
Signal to noise ratio
Signal to noise ratio
Ps
Pn |B
=
R
|S (f )|df
RB s
|Sn (f )|df
B
Determine signal to noise ratio
En vanlig metod för att bestämma SNR är att utsätta kretsen för en sinusfor2
2
mad testton, Ps = vrms
(alternativt Ps = Irms
).
2
v
rms
R
Då fås SN R =
|Sv (f )|df
B
n
Svn är antingen given från spektralfunktionerna till noise modellerna eller räknas fram med hjälp av överföringsfunktion då noise-källorna flyttas till ingången. Man slår i hop alla korrelerade källor och räknar ut noise-spektrat (Sn ) med
hjälp av Wiener Kintchine.
2.4.3
Wiener Kintchines sats
Spectral density function at input = transfer from origin to input * SDF of noise
source.
Sn,y (jω) = |Hx,y (jω)|2 Sn,x (jω)
(2.1)
(Gäller endast för okorrelerade källor).
David Karlsson
Sida 7
Kapitel 3
Distortion
Distortion är den förändring av insignalens utseende som kan ske i förstärkare
på grund av att transistorer inte är helt linjära, linjäritet uppnås dock så länge
man håller signalen innanför transistorernas linjära område. Detta görs med
hjälp av biasering.
3.1
Linjärisering
Överföringsfunktionen (xo = f (xi )) till en förstärkare är generellt olinjär och
svår att räkna med. För att förenkla problemet matematiskt kan man Taylorutveckla överföringsfunktionen kring biaspunkten. Då fås in-/utsignalrelationen:
xO + XO = f (XI ) +
df (XI )
xi + ...
dxI
(3.1)
där: f (XI ) = XO
xI = XI + xi
Biaseringspunkten är (XI , XO )
(XI )
xi
Småsignalöverföringen xO = dfdx
I
Högre ordningens termer (...) är distortionen.
3.2
Harmonic distortion
De högre ordningarnas termer sammanfaller efter omskrivning med cosinus för
dubbla vinkeln till:
xO = b0 + b1 cos(ωi t) + b2 cos(2ωi t) + b3 cos(3ωi t)
(3.2)
Den harmoniska distortionen definieras som:
HDn = |
bn
|
b1
och den totala harmoniska distortionen (THD) som:
v
u∞
uX
T HD = t
HDn2
n=2
8
(3.3)
(3.4)
3.3. Reduce distortion
3.3
(Kapitel 3. Distortion)
Reduce distortion
Nedan följer tre metoder för att reducera distortion:
• Predistortion - Lägg på distortion innan förstärkaren som kompenserar för
förstärkardistortionen
• Balancing - matcha oliniäriteterna i komponenterna genom att använda
positiva och negativa signaler eller komplementära komponenter.
• Negative feedback - Negativ återkoppling reducerar distortionen med återkopplingsfaktorn.
3.4
Complementary devices
Med komplementära komponenter eller complementary devices menas PNP <> NPN och nMOSFET <-> pMOSFET. Den komplementära komponentens
överföringsfunktion jämfört den ordinär är fc (x) = −f (−x). Eftersom de har
samma signalbeteende och inverterad bias av samma magnitud elimineras distortion (de jämna termerna i den harmoniska distortionen försvinner).
3.4.1
Bias of Complementary devices
Biaserings källorna till de komplementära komponenterna har negativa värden:
negativ spänning och strömmarna går åt andra hållet.
David Karlsson
Sida 9
Kapitel 4
Signal classes
Det finns tre klasser av elektriska signaler i förstärkar modellerna:
• Small signal - linjär modell - (noise dominerar)
• Medium signal - Tredje ordningens potens modell - (distortion dominerar)
• Large signal - Förändrat beteende - (klippning)
4.1
Large signals
I storsignal modellen modelleras transistorer som switchar, öppna eller slutna.
I modellen beräknas maximal och minimal signal som transistorn kan leverera.
Om dessa värden överskrids uppstår klippning.
4.1.1
Clipping
Gränserna för spänning respektive ström skrivs: vO ∈ {voltagemin , voltagemax },
iO ∈ {currentmin , currentmax }
Exempel:
(RO = resistans över utgången)
Med en rent resistiv last fås klippningsgränser:
vO ∈ {−VO , IO RO }
(4.1)
iO ∈ {−VO /RO , IO }
(4.2)
För antiseriesteget fås klippningsgränser:
vO ∈ {−IO RO , IO RO }
(4.3)
iO ∈ {−IO , IO }
(4.4)
För komplementärparallellsteget fås klippningsgränser:
vO ∈ {−VO , VO }
(4.5)
iO ∈ {−VO /RO , VO /RO }
(4.6)
10
4.2. Medium signal distortion
(Kapitel 4. Signal classes)
Sitter det en reaktiv komponent på utgången blir klippningsgränserna frekvensberoende.
4.2
Medium signal distortion
4.2.1
Signal to bias ratio
Signal to bias ratio (ex. m(t) =
4.2.2
iO (t)
IO )
är utsignal normaliserad till bias.
Signal to bias ratio expansion
m = m1 + k2 m21 + k3 m31 + ...
(4.7)
Total SBR går att mäta direkt, och den linjära termen (m1 ) går att räkna ut.
Total SBR- linjära SBR = distortion.
4.2.3
Peak amplitude signal to bias ratio
m=
iˆO
IO
(4.8)
använd i
m = m1 + k2 m21 + k3 m31 + ...
(4.9)
ger m1 som linjär term och önskad signal. Resten är distortion, koefficienterna
k beskriver olinjäriteternas styrka.
4.2.4
SBR koefficienter
Koefficienterna k till expansionen beskriver olinjäriteten och bestäms av transistorteknik och konfiguration (fås ur Tabell).
4.2.5
Nonlinearity figure (NL)
Olinjäriteten kan beskrivas som en summa:
N L2 =
1
(k2a · m1a + k2b · m1b + k2c · m1c )
1 − Aβ
(4.10)
1
(k 0 ·m2 +k 0 ·m2 +k 0 ·m2 −2k2a m1a k2b m1b −2k2a m1a k2c m1c −2k2b m1b k2c m1c )
1 − Aβ 3a 1a 3b 1b 3c 1c
(4.11)
Ur ekvationerna ovan ser man att distortionen är omvänt proportionell mot mot
slingförstärkningen (Aβ).
N L3 =
4.2.6
Bias effect on distortion
En ökning av bias-strömmen minskar distortionen eftersom den medför en ökˆ
.
ning av Aβ och minskning av m1 , eftersom m1n = IiOn
On
David Karlsson
Sida 11
4.2. Medium signal distortion
4.2.7
(Kapitel 4. Signal classes)
Harmonic distortion from NL
den harmoniska distortionen kan fås ur NL enligt:
4.2.8
HD2 =
1
|N L2 |
2
(4.12)
HD3 =
1
|N L3 |
4
(4.13)
BJT vs. FET
FET är mer linjär BJT är inte lika linjär men har mycket högre gain.(Använd
om möjligt BJT i NFB).
4.2.9
Maximal Loop Gain
Låt N beteckna antalet steg. Då ges den maximala möjliga förstärkningen för
BJT respektive FET ur:
BJT: |Aβ|max = βfN
N
FET: |Aβ|max = VVpA/2
David Karlsson
Sida 12
Kapitel 5
Frequency behavior
Aβ är frekvensberoende. Räkna ut Aβ med hjälp av den naturliga metoden, A
(förstärkningen) och β (återkopplingsnätet) var för sig. slingpoler och nollställen
som uppstår i Aβ, på grund av de inbyggda kapacitancerna cπ , ger upphov till
frekvensberoende. slingpolerna kan antingen faktoriseras fram ur Aβ eller genom
att man tittar på vilka komponenter som är parallella med respektive rπ . Varje
steg ger upphov till en pol.
5.1
Maximal Flat Magnitude (MFM)
När vi gör en förstärkare vill vi ha en så stor flatgain som möjligt inom frekvensbandet som ska förstärkas och även största möjliga bandbredd.
5.1.1
Butterworth placement of poles
För att uppnå MFM ska systempolerna läggas i Butterworth position. Polernas
placering fås ur det karakteristiska polynomet:
CP = sn + a1 sn−1 + ... + an = 0
(5.1)
där |an | = ω0n och ω0 = bandbredd.
Exempel:
Första ordningen:
Andra ordningen:
5.2
1
−ω0 √ (1 ± j)
2
(5.2)
√
1
−ω0 , −ω0 (1 ± j 3)
2
(5.3)
Linear phase
Då linjär fas är viktig, det vill säga då man vill ha så lite fasförskjutning som
möjligt av signalen, används en annan metod
13
5.3. Real poles
5.2.1
(Kapitel 5. Frequency behavior)
Bessel placement of poles
Polernas placering för linjär fas fås ur det karakteristiska polynomet:
CP = sn + a1 sn−1 + ... + an = 0
(5.4)
där |an | = ω0n och ω0 = bandbredd.
Exempel:
Första ordningen:
−ω0 (0.8659 ± j · 0.5002)
(5.5)
−ω0 · 0.7740, −ω0 (0.6130 ± j · 0.5848)
(5.6)
Andra ordningen:
5.3
Real poles
Då polerna är reella fås ett system som är robust mot parameter variatoner så
som last och källa. Det innebär att man kan konstruera ett system utan exakt
veta lasten eller källan.
5.3.1
Placement of real poles
Polernas placering för linjär fas fås ur det karakteristiska polynomet:
CP = sn + a1 sn−1 + ... + an = 0
(5.7)
Alla poler läggs i −ω0 .
5.4
Loopgain pole product (LP)
LP = [1 − Aβ(0)]
Y
pn
(5.8)
∀n
5.4.1
Maximum of bandwith
Den maximala bandbredd som en förstärkare klarar kan fås ur LP-produkten
enligt:
1
(5.9)
ω0 = LP n
där n är antalet poler.
5.5
Non-dominant poles
Poler som kan flyttas till önskad position kallas för dominanta de andra är
icke-dominanta. Det är viktigt att ta bort de icke-dominanta polerna från LPprodukten innan man kompenserar.
David Karlsson
Sida 14
5.5. Non-dominant poles
5.5.1
(Kapitel 5. Frequency behavior)
Determine the dominant pole set
(
Om
Om
P
P
slingpoler < systempoler så finns det icke-dominanta poler i setet
P
P
slingpoler ≥ systempoler så finns det bara dominanta poler i setet
(5.10)
Om det finns icke-dominanta poler i setet så ta bort den mest negativa slingpolen
och räkna om summan. Upprepa tills det bara finns dominanta poler i setet.
David Karlsson
Sida 15
Kapitel 6
Improving bandwidth
Det finns två sätt att öka bandbredden för en förstärkare: Man kan lägga till
fler steg eller öka ωT
6.1
Increase ωT
För ingångssteget kan ωT ökas genom att man antingen ökar biasströmmen
eller bytar till en bättre transistor. Ökar man biasströmmen måste man se till
att man inte får för mycket noise.
För utgångssteget kan man göra samma åtgärder som för ingångssteget,
men då är inte noise kritiskt men en ökning i biasström minskar distortionen
och ökar effektförbrukningen.
16
Kapitel 7
Frequency compensation
För att få önskade egenskaper på systemet kompenseras för frekvens,tid eller
robusthet. Kompenseringen förändrar det karakteristiska polynomet (CP) så
att alla poler hamnar i önskade positioner.
7.1
Frequency compensation with Phantom zero
Fantom nollan påverkar inte slingförstärkning (Aβ) och LP-produkt, men den
påverkar utseendet på pol-nollställe-diagrammet (Root locus). Linjäritet och
hastighet hos systemet bevaras.
7.1.1
Phantom zero definition
Nollställen i återkopplingen (β) är fantomnollor, de andra är slingnollor.
7.1.2
Freedom in root locus
När antalet nollställen = antalet poler -1 kan man modifiera det karakteristiskapolynomet som man vill.
7.1.3
Placement of phantom zero
Fantomnollan n placeras enligt:
n=
−ω02
−(p01 + p02 ) + p1 + p2
(7.1)
Där systempolsumman (p01 + p02 ) väljs beroende på vilken karakteristik man vill
ha
√
• Butterworth: − 2ω0
• Bessel: −1.73ω0
• Real double pole: −2ω0
17
7.2. Frequency compensation with other (Kapitel
methods7. Frequency compensation)
7.1.4
Realization of phantom zero
Det man vill göra med fantomnollan är att få β att öka för höga frekvenser:
β(s) = β(0) 1 − ns
7.1.5
Placement of realisation
Fantomnollans komponent (C eller L, inte båda för då får man två nollor) kan
placeras på 3 ställen:
• I återkopplingsnätet.
• Vid förstärkarutgången.
• Vid förstärkaringången.
7.1.6
Efficiency of the zero
Fantomnollans effektivitet beräknas: δ ≡
Fantomnollan är effektiv då δ ≥ 7.
7.2
7.2.1
pph
np h .
Frequency compensation with other methods
Pole-split
Påverkar inte slingförstärkning (Aβ(0)), dock små förluster i polprodukten och
LP-produkten. Pole-split försämrar linjäriteten (för höga frekvenser) och snabbheten. Polesplit delar upp två poler med en faktor E: px ← pEx , py = E · py .
7.2.2
Pole-zero cancellation
Ett nollställe placeras på en pol. Påverkar inte slingförstärkning (Aβ(0)), dock
små förluster i polprodukten och LP-produkten. Linjäriteten (för höga frekvenser) och snabbhet försämras.
7.2.3
Resistive broadbanding
Sänker slingförstärkning (Aβ(0)) med en faktor E, polprodukten ökar med ungefär samma faktor och LP-produkten minskar lite, metoden försämrar linjäriteten
(för alla frekvenser!) och snabbheten.
7.2.4
Capacitive narrowbanding
En pol flyttas till lägre frekvens. slingförstärkning (Aβ(0)) oförändrad, polprodukten minskar en faktor E, stora förluster i LP produkten. Linjäriteten försämras i mellanhöga frekvenser och hastigheten försämras markant!
David Karlsson
Sida 18
Kapitel 8
Biasing of negative feedback
amplifiers
19
Kapitel 9
Voltage and Current sources
20
Kapitel 10
Improving bias sources
21