: עקרונות בדגימת אותות 1 ניסוי

‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬
‫הפקולטה להנדסה ביו‪-‬רפואית‬
‫מעבדה בהנדסה ביו‪-‬רפואית ‪335001 -‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫חלק א'‬
‫‪ .1‬מטרות הניסוי‬
‫‪ .2‬תקציר הניסוי‬
‫‪ .3‬רקע‬
‫חלק ב'‬
‫‪ .4‬דוח מכין‬
‫חלק ג'‬
‫‪ .5‬תאור מערכת הניסוי‬
‫חלק ד'‬
‫‪ .6‬מהלך הניסוי‬
‫‪ .7‬הנחיות לכתיבת הדוח המסכם וניתוח תוצאות‬
‫ניספחים‪ :‬אין‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 1‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫חלק א'‬
‫‪ .1‬מטרות הניסוי‬
‫‪ ‬הכרת תיאורית תהליך הדגימה‪.‬‬
‫‪ ‬ביצוע דגימה מעשית‪.‬‬
‫‪ ‬הבנת השפעת הדגימה על האותות ועל עיבודם‪.‬‬
‫‪ .2‬תקציר הניסוי‬
‫דגימת אות סינוסואידלי‬
‫תדרי דגימה שונים‪,‬‬
‫תדרי אות סינוס שונים‪,‬‬
‫עוצמות שונות של אות סינוס‪,‬‬
‫תדר אות קבוע‬
‫תדר דגימה קבוע‬
‫תדר דגימה קבוע‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 2‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫‪ .3‬רקע‬
‫א‪ .‬מבוא‬
‫במשך שנים רבות נעשה עיבוד האותות (הנובעים מתופעות פיסיקליות) ישירות על האות‬
‫בעזרת רכיבים חשמליים שונים‪ ,‬כגון‪ :‬נגדים‪ ,‬קבלים‪ ,‬טרנזיסטורים וכו'‪ .‬ההתפתחות המהירה‬
‫של המחשבים ושל הרכיבים הספרתיים נתנה דחיפה עצומה להתפתחות העיבוד הספרתי‪.‬‬
‫כאשר מעונינים לעבד אותות רציפים במחשב‪ ,‬חייבים להמיר אותם לסדרה של מספרים‪.‬‬
‫התהליך אשר הופך אותות רציפים לסדרת מספרים נקרא דגימה‪ .‬התהליך ההפוך‪ ,‬בו‬
‫'ממלאים' את החסר בין נקודות הדגימה‪ ,‬נקרא שחזור‪ .‬הבנת תהליכי הדגימה והשחזור מכל‬
‫ההיבטים חשובה מאוד לרוב המימושים של עיבוד אותות ספרתיים‪ .‬במעבדה זו נכיר את‬
‫מגבלות תהליכים אלו ואת השפעותיהם על האותות אותם נרצה לעבד‪.‬‬
‫להלן שלוש סכמות בסיסיות של עיבוד אותות ספרתי‪:‬‬
‫איור ‪1‬‬
‫‪ )a‬מערכת עיבוד אותות ספרתיים כללית‪ )b .‬מערכת עיבוד אותות‪ )c .‬מערכת לייצור אותות מלאכותיים‪.‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 3‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫באיור מספר ‪ 1‬ניתן לראות דיאגרמת מלבנים של שלוש מערכות עיבוד אותות בסיסיות‪.‬‬
‫בשורה הראשונה (‪ )a‬מתוארת מערכת בה אות רציף כלשהו מועבר דרך יחידת דגימה (אשר‬
‫נקראת גם ‪ )Analog to Digital - A/D‬אל יחידת עיבוד ספרתי ולבסוף דרך יחידת השחזור‬
‫(אשר נקראת גם ‪ .)Digital to Analog - D/A‬דוגמא למערכת כזו היא הקלטה דיגיטלית‬
‫של נגינה‪ :‬אות הנגינה נקלט ע"י המיקרופון ונשמר על ‪ CD‬כאות בדיד (אות אשר עבר‬
‫דגימה)‪ .‬אותו האות משוחזר לאות רציף במערכת הביתית‪.‬‬
‫בשורה השניה (‪ )b‬מתוארת מערכת בה האות הרציף אשר עבר דגימה‪ ,‬נשמר ומעובד כאות‬
‫בדיד‪ .‬לדוגמא‪ ,‬אותות חשמליים הנמדדים מהלב (‪ )ECG‬נדגמים ומועברים למחשב לעיבוד‪,‬‬
‫לניתוח ולהסקת מסקנות‪ ,‬ללא צורך בהמרה חוזרת לאות הרציף‪.‬‬
‫בשורה השלישית (‪ )c‬מתוארת מערכת מלאכותית ליצירת אותות‪ .‬מערכת כזו משמשת ליצירת‬
‫אותות רציפים מנתונים בדידים‪ .‬לדוגמא‪ ,‬מערכת אשר ממירה טקסט לדיבור‪ :‬מערכת זו‬
‫מקבלת בכניסה אינפורמציה על הטקסט כקודים בדידים‪ ,‬והיא ממירה אותם לאותות קול‬
‫מלאכותיים בדידים‪ .‬אותות קול אלו מומרים לאותות קול מלאכותיים רציפים שינוגנו במערכת‬
‫קול‪.‬‬
‫ב‪ .‬פעולת הדגימה (תיאוריה)‬
‫פעולת הדגימה מופעלת על האות הרציף ‪ x  t ‬והופכת אותו לסדרת מספרים שנקראת האות‬
‫הבדיד (או האות הדגום) ‪. x  n‬האות הבדיד מתקבל מדגימה במרווח זמן קבוע אשר נקרא‬
‫מרווח הדגימה ומסומן באות ‪ . T‬נקודות הדגימה בציר הזמן של האות הרציף הנן ‪, n  T‬‬
‫כלומר‪ . x  n  x  t t nT  x  nT  :‬מתוך מרווח הדגימה ניתן להגדיר את תדר הדגימה ע"י‬
‫‪1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ , f s ‬כאשר האות ‪ s‬מציינת ‪ .sampling‬באותו האופן נגדיר את תדירות הדגימה‬
‫‪2‬‬
‫הזוויתית ע"י‬
‫‪T‬‬
‫‪. ws ‬‬
‫נניח כי קיים אות רציף ‪ x  t ‬בעל התמרת פורייה ‪dt‬‬
‫‪ j t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x(t )e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . X F ( ) ‬נדגום את האות‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 4‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫במרווח דגימה ‪ T‬ונקבל אות דגום ‪ , x  n‬בעל התמרת פורייה של אות בדיד המוגדרת באופן‬
‫הבא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  n e j n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ , X ( ) ‬כאשר כאן ציר התדר של האות הוא ‪( . ‬יש לשים לב ש‪-‬‬
‫‪f‬‬
‫) ‪ X f (‬מחזורית במחזור של ‪ , 2‬עובדה הנובעת מתכונת המחזוריות של טורי פורייה)‪.‬‬
‫נשאלת השאלה‪ ,‬מה הקשר בין התמרת פורייה של האות הרציף ) ‪ X F (‬להתמרת פורייה של‬
‫האות הבדיד ) ‪ ? X f (‬התשובה לשאלה זו תמונה בנוסחת הדגימה‪.‬‬
‫להלן נוסחת הדגימה (את ההוכחה ניתן למצוא בספר "קורס בעיבוד אותות ספרתיים" של‬
‫בועז פורת בעמוד ‪:)49‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪   2 k ‬‬
‫‪XF ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T k ‬‬
‫‪ T‬‬
‫‪‬‬
‫‪X f ( ) ‬‬
‫הבנת נוסחה זו תבהיר לנו את המשמעות של פעולת הדגימה ואת המגבלות שבפעולה זו‪ .‬מתוך‬
‫הוכחת הנוסחה לעיל ניתן להסיק כי ציר התדר של האות הדגום משתנה ע"י הטרנספורמציה‬
‫‪ .   T‬כמו כן‪ ,‬מתוך הנוסחה עצמה ניתן לומר כי במעבר מהתמרת פורייה של האות הבדיד‬
‫להתמרת פורייה של האות הרציף‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬אמפליטודת האות מוכפלת ב‪-‬‬
‫‪T‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬התמרת פורייה של האות הבדיד הנה סכום אינסופי של פונקציות ספקטרום ) ‪, X F (‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר כל אחת מהפונקציות מוזזת ב‪ ws -‬‬
‫‪T‬‬
‫ולכן ) ‪ X f (‬מחזורית במחזור ‪2‬‬
‫‪.  s  2 ‬‬
‫דוגמא‪ :‬אות רציף ‪ x  t ‬נקרא חסום סרט‪ ,‬אם התמרת פורייה שלו שווה לאפס מעל לתדר‬
‫מסוים ‪ . wm‬תדר זה יקרא תדר האות המקסימלי‪ .‬משמעות הדבר היא שקיים ‪ wm  0‬כך ש‬
‫‪ X F ( )  0‬עבור ‪ ,   m‬כפי שניתן לראות באיור ‪ 2‬להלן‪:‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 5‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫) ‪X F (‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪m‬‬
‫איור ‪2‬‬
‫התמרת פורייה (של האות הדגום) ) ‪ X f (‬של האות ‪ x  t ‬נראית כך‪:‬‬
‫) ‪X f (‬‬
‫‪A‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪    mT‬‬
‫‪ mT ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫איור ‪3‬‬
‫לסיכום ניתן לומר כי דגימה בתחום הזמן יוצרת מחזוריות בתחום התדר‪.‬‬
‫מתוך הגרפים לעיל מתעוררת השאלה‪ ,‬מה קורה כאשר ‪ , wmT  ‬או בכתיב אחר‪ :‬מה קורה‬
‫‪ws‬‬
‫‪ w‬‬
‫כאשר ‪ . wm   s‬בהמשך נבחן את שני המקרים‪ :‬הראשון‪ ,‬בו‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , wm ‬כלומר‪ :‬התדר‬
‫‪ws‬‬
‫המקסימלי של האות ‪ wm‬קטן ממחצית תדר הדגימה ‪ , ws‬והשני‪ ,‬בו‬
‫‪2‬‬
‫‪ , wm ‬כלומר‪ :‬התדר‬
‫המקסימלי של האות גדול ממחצית תדר הדגימה‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ws‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ - wm ‬ניתן לראות את התמרת פורייה של האות הרציף במקרה זה‪ ,‬בו‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪, wm ‬‬
‫) ‪X F (‬‬
‫‪A‬‬
‫באיור ‪ 4‬להלן‪:‬‬
‫‪m  /T ‬‬
‫‪  / T  m‬‬
‫איור ‪4‬‬
‫ניתן לראות את התמרת פורייה של האות הבדיד (כאשר ממירים את ציר ‪ x‬ל‪)  -‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬בו ‪ , wmT   m  ‬באיור ‪ .3‬במקרה זה אין חפיפה בין הספקטרומים‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 6‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫המוזזים של ) ‪ X F (‬ולכן לא קיימת פגיעה בספקטרום המקורי של האות‪ .‬תנאי אי‬
‫החפיפה מתקיים כל עוד‪ ws  2wm :‬או ‪ . f s  2 f m‬קצב הדגימה הנמוך ביותר שעדיין‬
‫מבטיח אי‪-‬חפיפה קרוי קצב ‪.Nyquist‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ws‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ - wm ‬ניתן לראות את התמרת פורייה של האות הרציף במקרה זה‪ ,‬בו‬
‫באיור ‪ 5‬להלן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪, wm ‬‬
‫) ‪X F (‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ m ‬‬
‫איור ‪5‬‬
‫את התמרת פורייה של האות הבדיד‪ , wmT   m   ,‬ניתן לראות באיור ‪ 6‬להלן‪:‬‬
‫) ‪X f (‬‬
‫‪A‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  mT‬‬
‫‪ mT‬‬
‫‪ 2‬‬
‫איור ‪6‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬קצב הדגימה קטן מקצב ‪ Nyquist‬ולכן ישנה חפיפה בין הרפליקות‬
‫המוזזות של‬
‫) ‪ . X F (‬חפיפה זו גורמת לעיוות ביחס להתמרת פורייה‬
‫המקורית ) ‪ . X F (‬תופעה זו קרויה התחזות או קיפול (‪ ,)Aliasing‬מכיוון שהתדרים‬
‫‪‬‬
‫הגבוהים מ‪-‬‬
‫‪T‬‬
‫(מחצית קצב הדגימה) "מתקפלים" לתוך התחום ‪   ‬ו"מתחזים"‬
‫לתדרים נמוכים יותר (ראו דוגמא בהמשך)‪ .‬תופעה זו מונעת את האפשרות של שחזור‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 7‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫האות המקורי מתוך דגימותיו‪.‬‬
‫סיכום‬
‫לאחר דגימת אות חסום סרט בתדר דגימה נמוך מקצב ‪, Nyquist‬השווה ל‪ , 2 f m -‬תתקבל‬
‫התמרת פורייה של האות הדגום בתחום ‪     ,  ‬המעוותת ביחס להתמרת פורייה של האות‬
‫המקורי‪ .‬עיוות זה‪ ,‬אשר נקרא קיפול (‪ ,)Aliasing‬נגרם כתוצאה מחפיפת הרפליקות בנוסחת‬
‫הדגימה‪.‬‬
‫דוגמא לתופעת הקיפול‬
‫נתונים שני אותות‪ x1  t   cos 1.2 t  :‬ו‪ . x2  t   cos  0.8 t  -‬נדגום את שניהם במרווח‬
‫דגימה ‪ T  1sec‬ונקבל‪ , x1  nT   cos 1.2 n   cos  0.8 n   x2  nT  :‬כלומר‪ :‬לאחר‬
‫דגימה במרווח של שניה לא ניתן להבחין בין שני האותות‪ ,‬כפי שניתן לראות באיור ‪ 7‬להלן‪:‬‬
‫איור ‪7‬‬
‫דגימת שני האותות הנ"ל תיתן אותה סדרת מספרים‪ .‬לאחר שחזור האות (תהליך אותו נלמד‬
‫בהמשך) יתקבל אות שלישי אשר לא ידמה לאף אחד מהאותות המקוריים‪ .‬לכן ניתן לומר כי‬
‫האות ‪ x1  t ‬מתקפל כמו האות ‪ . x2  t ‬כתוצאה מדגימה איטית זו שני האותות "מתחזים" לאות‬
‫מחזורי בעל תדר נמוך בהרבה מהתדר המקורי של שניהם‪.‬‬
‫ג‪ .‬פעולת דגימה מעשית‬
‫עד כה דיברנו על תיאורית תהליך הדגימה והתייחסנו לתהליך כאל אופרטור מתמטי‪ ,‬מבלי‬
‫לדון בבעיות הנובעות מהמעבר מהתיאוריה למעשה‪ .‬הדגימה הפיסיקלית מתבצעת ע"י כרטיס‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 8‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫אשר נקרא ‪ ,Analog to Digital Converter‬או בקיצור‪ .A/D :‬לכניסת כרטיס הדגימה‬
‫מגיע אות רציף (‪ x(t‬בצורת מתח חשמלי‪ ,‬אשר נדגם במרווחי זמן קבועים‪ ,‬כל ‪ T‬שניות‪.‬‬
‫בפרק זה נתאר את העיוותים אשר מתקבלים כתוצאה מהשימוש בכרטיס זה ונדון בהרחבה‬
‫בבעיית הקוונטיזציה‪.‬‬
‫‪ .1‬אותות שאינם חסומי סרט‬
‫בתיאוריה דיברנו על אותות חסומי סרט‪ ,‬אך במציאות לא ניתן לעבוד עם אותות‬
‫אינסופיים בתחום הזמן‪ .‬מסיבה זו כל האותות המעשיים סופיים‪ ,‬ומכאן שאינם חסומים‬
‫בתחום התדר‪ .‬עבור אותות לא מוגבלי סרט‪ ,‬כפי שניתן לראות באיור ‪ 8‬להלן‪ ,‬לא‬
‫קיים תדר דגימה סופי שמעליו לא תהיה חפיפה של הרפליקות המוזזות של ) ‪. X F (‬‬
‫עם זאת‪ ,‬מבחינה מעשית ניתן להגדיר רוחב סרט סופי המוגבל ע"י תדרים שמעליהם‬
‫יש לאות מעט מאוד אנרגיה‪ .‬תדר הדגימה יבחר אם כך להיות לפחות פעמיים רוחב‬
‫הסרט המעשי‪.‬‬
‫איור ‪8‬‬
‫‪ .2‬רוויה וחוסר לינאריות‬
‫רכיבים אלקטרוניים מעשיים מתאפיינים בחוסר לינאריות ובמתח רוויה‪ .‬למשל‪,‬‬
‫לכרטיס הדגימה קיים טווח מתחים בהם הוא עובד‪ .‬מעבר לטווח זה הכרטיס עלול‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 9‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫להיכנס לרוויה‪ ,‬אשר יוצרת עיוות ברור באות הכניסה‪ .‬לכן‪ ,‬יש לזכור מהו טווח‬
‫מתחים זה כאשר משתמשים בו‪.‬‬
‫חוסר הלינאריות של רכיבים אלקטרונים מעשיים יכול גם הוא ליצור עיוותים לא‬
‫רצויים באותות‪ .‬לדוגמא‪ ,‬חוסר הלינאריות של מגברים אופרטיביים‪ ,‬טולרנס של‬
‫טרנזיסטורים וכד'‪.‬‬
‫‪ .3‬קוונטיזציה (‪)Quantization‬‬
‫לכניסת כרטיס הדגימה מגיע אות רציף (‪ x(t‬בצורת מתח חשמלי‪ ,‬אשר נדגם במרווחי‬
‫זמן קבועים‪ ,‬כל ‪ T‬שניות‪ .‬לכרטיס הדגימה קיים מספר סופי של סיביות (‪ )bits‬אשר‬
‫מוקצות לזיכרון‪ ,‬ולכן הכרטיס מבצע קוונטיזציה לערכי האמפליטודה הרציפים‬
‫(קוונטיזציה הנה פעולה שבה מקצים ערכים בדידים למשתנים רציפים כאשר ההפרש‬
‫בין ערכים סמוכים נקרא רמת קוונטיזציה)‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬ביציאת הכרטיס היינו רוצים לקבל את סדרת הדגימות ]‪ x[n‬שהיא בדידה‬
‫בזמן ורציפה במשרעת (אמפליטודה) אך הסדרה המתקבלת מהדגימה היא ]‪q( xq[n‬‬
‫מציין ‪ - )Quantization‬סדרה זו בדידה הן בזמן והן במשרעת‪ ,‬והיא מהווה קרוב‬
‫לסדרת הדגימות ]‪ .x[n‬בתהליך הדגימה אנו הופכים אותות רציפים בזמן‬
‫ובאמפליטודה לאותות בדידים בזמן ובאמפליטודה‪ .‬באיור ‪ 9‬להלן ניתן לראות את סוגי‬
‫האותות הקיימים ואת רישומם המתמטי‪:‬‬
‫]‪x[n‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫יכול לקבל כל ערך‬
‫‪n‬‬
‫‪t‬‬
‫]‪ – x[n‬אות בדיד בזמן ורציף במשרעת‪.‬‬
‫)‪ - x(t‬אות רציף בזמן ובמשרעת‪.‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 10‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫]‪xq[n‬‬
‫)‪xq(t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬‫‪-2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪t‬‬
‫)‪ – xq(t‬אות רציף בזמן ובדיד במשרעת‪ ,‬לדוגמא ]‪ – xq[n‬אות בדיד בזמן ובמשרעת‪ ,‬לדוגמא אות‬
‫היוצא מהדוגם (‪.)A/D‬‬
‫אות משוחזר ע"י משחזר (‪.)D/A‬‬
‫איור ‪9‬‬
‫גורמים המשפיעים על איכות הקוונטיזציה‬
‫איכות הקוונטיזציה נקבעת ע"י שלושה פרמטרים‪ :‬רזולוציה‪ ,‬טווח ורוחב קוד‪.‬‬
‫‪ .I‬רזולוציה‬
‫מספר הסיביות במילה (‪ )byte‬המשמשת להצגת ערכי האות בזמן בדיד קובע את רזולוצית‬
‫הכרטיס‪ .‬אורך המילה בכרטיס יוצר סדרת מספרים בינאריים הקובעת את גודל טווחי חלוקת‬
‫ערכי המתח‪ ,‬דבר המשפיע על דיוק המדידה‪ .‬רזולוציה גבוהה של הכרטיס‪ ,‬כלומר סדרת‬
‫מספרים גדולה‪ ,‬מאפשרת חלוקת טווח המתח לטווחים קטנים יותר ולפיכך אבחנה בשינויים‬
‫קטנים יותר במתח‪.‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬באיור מספר ‪ 10‬להלן מתואר אות סינוס בעל ערכי אמפליטודה רציפים‪:‬‬
‫איור ‪10‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 11‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫חלוקת טווח האמפליטודה נעשית ע"י כרטיס ‪ A/D‬בעל שלוש סיביות‪ .‬הכרטיס מחלק את‬
‫התחום האנלוגי לשמונה איזורים אפשריים של מתח‪ ,‬אותם הוא יכול לייצג כמספר ספרתי‪ .‬כל‬
‫אזור מיוצג ע"י קוד בינארי כלשהו בתחום ‪ ,111 – 000‬ולכן קיימים שמונה קטעים ( ‪.) 23  8‬‬
‫מובן שבתהליך זה מאבדים חלק מהאינפורמציה שהאות מכיל‪ .‬הגדלת הרזולוציה ל‪ 16-‬סיביות‬
‫מאפשרת הגדלת רמות הייצוג של הכרטיס עד ‪ ,65536‬לעומת ‪ 8‬בלבד במקרה הקודם‪ .‬כך‬
‫ניתן להשיג דיוק גבוה בייצוג אותות אנלוגיים ע"י שימוש במספרים בינאריים סופיים‪.‬‬
‫‪ .II‬טווח‬
‫לכרטיס ‪ A/D‬בד"כ מספר סיביות קבוע‪ .‬כדי להשפיע על הרזולוציה‪ ,‬ניתן לשנות את הטווח‬
‫בו הכרטיס מכוון‪ ,‬כלומר‪ :‬ניתן לשנות את רמות המתח המקסימליות והמינימליות שהכרטיס‬
‫מסוגל למדוד‪ .‬גמישות בבחירת הטווח של הכרטיס מאפשרת שיפור דיוק המדידות ללא שינוי‬
‫רזולוציה‪.‬‬
‫‪ .III‬רוחב קוד‬
‫מתוך קביעת רזולוצית הכרטיס והטווח שלו נקבע בעצם רוחב הקוד שמהווה רמת קוונטיזציה‬
‫אחת‪ ,‬כלומר‪ :‬מה היא הקפיצה במתח כתוצאה משינוי סיבית אחת במספר הבינארי (הקוד)‬
‫שמיוצג בכרטיס‪ .‬ניתן לחשב את רוחב הקוד לפי הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪Range‬‬
‫‪NumberOfBits‬‬
‫‪2‬‬
‫‪CodeLength ‬‬
‫באיור ‪ 12‬להלן ניתן לראות את תוצאת‬
‫רוויה‬
‫הדגימה של כרטיס ‪ A/D‬מעגל‪ .‬לכרטיס זה‬
‫‪ 4‬סיביות‪ ,‬כלומר ‪ 16‬רמות קוונטיזציה (‪8‬‬
‫רמות לערכים חיוביים ו‪ 8 -‬רמות‬
‫לשליליים)‪ .‬העיגול גורם לשגיאה בטווח‬
‫של פלוס מינוס חצי רמת קוונטיזציה‪.‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 12‬מתוך ‪25‬‬
‫איור ‪12‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫בנוסף‪ ,‬ניתן לראות כי הערכים החיוביים הגבוהים של האות לא מיוצגים עקב רווית כרטיס‬
‫זה‪ .‬השגיאה בנקודות המדידה אשר נובעת מהקוונטיזציה (אך לא מהרוויה) נקראת שגיאת‬
‫קוונטיזציה (רעש קונטיזציה)‪ .‬ניתן לחשב את שגיאת הקוונטיזציה המקסימלית לאות עם‬
‫משרעת ‪ A‬נתונה (‪ )peak to peak‬ועם שיטת החלוקה ‪ Truncating‬ע"פ הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫‪CodeLength‬‬
‫‪100%‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ErrorMax ‬‬
‫דוגמא מעשית לדוגם‬
‫באיור ‪ 13‬בצד שמאל ניתן לראות מימוש‬
‫‪111‬‬
‫מעשי של דוגם בעל שלוש סיביות‪ .‬חישוב‬
‫‪110‬‬
‫הקוונטיזציה נעשה במקביל‪ ,‬כאשר מתח‬
‫‪101‬‬
‫הכניסה ‪ Vin‬מושווה בו‪-‬זמנית לכל ערכי‬
‫‪100‬‬
‫הקוונטיזציה האפשריים וטווח מתח הכרטיס‬
‫הנו ‪ . Vref‬דוגם זה כולל את הרכיבים‬
‫‪011‬‬
‫הבאים‪ :‬נגדים‪ ,‬משווים‪ ,‬שערים לוגים (שער‬
‫‪010‬‬
‫‪ NOT‬ושערי ‪ )AND‬ו‪.Encoding logic -‬‬
‫‪001‬‬
‫אם נבחן דוגם כללי בעל ‪ B‬סיביות‪ ,‬לשם‬
‫‪000‬‬
‫מימושו ידרשו ‪ 2 B‬נגדים ו‪ 2B  1 -‬משווים‬
‫ושערים לוגיים‪ .‬רמת הקוונטיזציה נקבעת‬
‫ע"י מחלק מתח בין הנגדים‪ .‬בדוגמא זו המתח‬
‫אשר נופל על כל נגד הינו‬
‫‪2Vref‬‬
‫‪2B‬‬
‫איור ‪13‬‬
‫‪ ,‬וזוהי גם רמת הקוונטיזציה או הרזולוציה של הדוגם‪ .‬לכל‬
‫משווה יש שתי כניסות‪ :‬האחת חיובית והשניה שלילית‪ .‬תפקידו של רכיב זה הוא לבצע‬
‫השוואה בין שני המתחים בכניסותיו‪ .‬כאשר המתח בכניסה השלילית גדול מהמתח בכניסה‬
‫החיובית‪ ,‬מתקבל ביציאה '‪ '0‬לוגי‪ ,‬וכאשר המצב הפוך‪ ,‬מתקבל ביציאה '‪ '1‬לוגי‪.‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 13‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫ה‪ Encoding logic -‬ממיר את יציאות השערים הלוגיים למילה הבינארית המתאימה‪.‬‬
‫לדוגמא‪ :‬כאשר יציאת שער ‪ NOT‬היא '‪ '1‬לוגי תתקבל ביציאת ה‪ Encoding logic-‬המילה‬
‫הבינארית ‪ ,000‬וכאשר יציאת שער ‪ AND‬העליון היא '‪ '1‬לוגי תתקבל המילה הבינארית‬
‫‪.110‬‬
‫זהו הדוגם המהיר ביותר האפשרי‪ ,‬מכיוון שכל הסיביות מתקבלות בו‪-‬זמנית‪ .‬עם זאת‪,‬‬
‫מורכבות החומרה גדלה באופן אקספוננציאלי עם הגדלת מספר הסיביות (הגדלת הרזולוציה)‪,‬‬
‫ולכן דוגם בעל מספר סיביות גדול נעשה יקר באופן מיוחד‪ .‬השימוש העיקרי של דוגם זה הוא‬
‫לאותות וידאו‪ ,‬מאחר ואותות אלו דורשים מהירות גדולה ‪ -‬בסדר גודל של ‪ 107‬המרות‬
‫בשניה‪.‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 14‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫חלק ב'‬
‫‪ .4‬דוח מכין‬
‫‪ .1‬נתון מד לחץ דם רפואי‪ .‬ידוע כי עבור ‪ 0mmHg‬קריאת המדיד היא ‪ 0V‬ועבור‬
‫‪ 2V - 200mmHg‬וכן כי התנהגותו ליניארית‪ .‬ע"מ לתכנן דוגם מתאים יש למלא את‬
‫הטבלה הבאה‪:‬‬
‫מס'‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫טווח כרטיס‬
‫‪V‬‬
‫כרטיס בעל רזולוציה ‪ 12‬סיביות‬
‫רגישות המדידה‬
‫רוחב קוד ב‪-‬‬
‫רוחב קוד‬
‫‪mmHg‬‬
‫ב‪V -‬‬
‫כרטיס בעל רזולוציה ‪ 16‬סיביות‬
‫רגישות המדידה‬
‫רוחב קוד ב‪-‬‬
‫רוחב קוד‬
‫‪mmHg‬‬
‫ב‪V -‬‬
‫‪10/-10‬‬
‫‪5/-5‬‬
‫‪5/0‬‬
‫‪2.5/-2.5‬‬
‫‪1/-1‬‬
‫‪0/1‬‬
‫‪ .2‬מתוך תוצאות הטבלה יש לבחור את הכרטיסים המתאימים למדידה ברוחב קוד של‬
‫‪ 0.1mmHg‬לפחות‪.‬‬
‫‪ .3‬נתון אות מוזיקלי עם רוחב סרט ‪ .5-25K Hz‬ידוע כי קצב הדגימה המקסימלי של‬
‫הדוגם הוא ‪ .40kHz‬מצאו דרך פשוטה למניעת תופעת הקיפול‪.‬‬
‫‪ .4‬סטודנט דוגם בטעות אות סינוסואידאלי שתידרו ‪ 10‬הרץ בתדר דגימה של ‪ 4‬הרץ‪.‬‬
‫האם יתרחש קיפול? מהו תדר האות המקופל?‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 15‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫‪ .5‬נתון האות ‪ x  t   cos  w0t ‬בעל התמרת פורייה ) ‪ . X F (‬מצאו את התמרת פורייה של‬
‫האות הבדיד ) ‪ X f (‬כאשר ‪ . ws  3w0 , 1.5w0‬שרטטו את הגרפים עבור כל מקרה‬
‫והסבירו את התוצאות‪.‬‬
‫)‪X F ( w‬‬
‫‪‬‬
‫‪w‬‬
‫‪w0‬‬
‫‪ w0‬‬
‫‪ .6‬בונוס ‪ -‬שאלה זו מתייחסת לדוגם המעשי אשר מוצג בסוף רקע המעבדה‪ :‬מהי רמת‬
‫המתח המקסימלית אשר מתאימה ליציאה '‪ ,'111‬כאשר הרמה המינימלית הנה ‪Vref‬‬
‫(הסבר)?‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 16‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫חלק ג'‬
‫‪ .5‬תיאור מערכת הניסוי‬
‫מערכת הניסוי כוללת‪:‬‬
‫‪ ‬תוכנה ‪ -‬מנהלת את תהליך הדגימה (כתובת בשפת ‪.)LabView‬‬
‫‪ - A/D ‬כרטיס דגימה‪.‬‬
‫‪ ‬כבל מסוכך ‪ -‬מחבר בין ה‪ A/D -‬למחשב ‪.‬‬
‫‪ ‬מחולל אותות‪.‬‬
‫‪ ‬סקופ‪.‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 17‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫מסך העבודה במחשב‪:‬‬
‫אות דגום‬
‫תדר דגימה‬
‫טווח המתח‬
‫של הכרטיס‬
‫שמירת‬
‫קובץ‬
‫שם הקובץ‬
‫תדר האות הדגום‬
‫טווח הגרף‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 18‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫חלק ד'‬
‫‪ .6‬מהלך הניסוי‬
‫הערה‪ :‬קראו את ניתוח התוצאות לפני מהלך הניסוי‪ .‬שימו לב באילו תופעות יש להתמקד‪.‬‬
‫בסוף כל שלב יש לקרא למדריך לפני המעבר לשלב הבא!!!‬
‫שלב ‪1‬‬
‫חברו את מחולל האותות לערוץ אפס בקופסת החיבורים‪ .‬פתחו את תוכנת הדגימה‬
‫‪ Lab_DAQ.vi‬הנמצאת ב‪ .desktop -‬כוונו את מחולל האותות כך שייצר אות ‪ sin‬בעוצמה‬
‫של ‪ +/-5V‬ובתדירות של ‪ .8 Hz‬על מנת לבדוק את תדר האות כוונו את תדר הדגימה‬
‫(‪ )sampling rate‬ל‪.100 Hz -‬‬
‫‪ .1‬הוציאו דף ועיפרון וציירו מה קורה מישור התדר כאשר דוגמים אות של ‪ 8‬הרץ בתדר‬
‫דגימה של‪( 5 Hz; 10 Hz; 16 Hz; 20 Hz; 50 Hz :‬חמישה ציורים)‪ .‬מצאו את‬
‫תדר ‪ Nyquist‬עבור האות‪.‬‬
‫‪ .2‬דגמו את האות בחמישה תדרים שונים‪ .5 Hz; 10 Hz; 16 Hz; 20 Hz; 50 Hz :‬את‬
‫תדר הדגימה ניתן לקבוע ב‪ .sampling rate -‬בעת המעבר מתדר דגימה אחד לשני‪,‬‬
‫ראשית יש לשנות את הנתונים ולאחר מכן לעצור את התוכנית‪.‬‬
‫‪ .3‬עבור כל תדר דגימה שמרו בקובץ נפרד (שם שונה‪ )txt.‬אות באורך ‪ 20‬שניות‪.‬‬
‫הקובץ ישמר בכונן ‪ ,C‬תיקייה‪.Student :‬‬
‫שלב ‪2‬‬
‫בשלב זה יש להשוות את התוצאות של הסקופ לתוצאות על גבי מסך המחשב‪.‬‬
‫‪ .1‬כוונו את מחולל האותות כך שייצר אות ‪ Sin‬בעוצמה של ‪ +/-5V‬ובתדירות של ‪25Hz‬‬
‫וכוונו את תדר הדגימה ל‪ .500 Hz -‬במשך הניסוי תגדילו את תדר מחולל האותות לפי‬
‫טבלה ‪ 1‬להלן‪.‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 19‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫‪ .2‬עבור כל תדר אות שמרו בקובץ נפרד אות באורך ‪ 20‬שניות‪.‬‬
‫נסמן‪ :‬תדר של אות מקורי (רציף) ‪ ,forig -‬תדר דגימה ‪ ,fsamp -‬תדר של אות דגום ‪..fdigit -‬‬
‫יש למלא את טבלה ‪.1‬‬
‫טבלה ‪:1‬‬
‫‪fdigit, Hz‬‬
‫‪fsamp, Hz‬‬
‫‪500‬‬
‫‪forig, Hz‬‬
‫‪25‬‬
‫‪500‬‬
‫‪500‬‬
‫‪500‬‬
‫‪100‬‬
‫‪500‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪Fscope, Hz‬‬
‫שלב ‪3‬‬
‫מטרת סעיף זה הינה ללמוד על שגיאת קטימה ושגיאת רזולוציה‪.‬‬
‫‪ .1‬בחינת כרטיס דגימה‪:‬‬
‫‪.1.1‬‬
‫בדקו איזה סוג כרטיס דגימה יש לכם ( ‪ My DAQ‬או ‪ ,)NI USB‬ומצאו מתוך‬
‫דף הספסיפיקציות (‪ )spec‬המתאים (בנספחים) את תחומי המתח בכניסה‬
‫האנלוגית‪ .‬רשמו אותם‪.‬‬
‫‪.1.2‬‬
‫כוונו את מחולל האותות כך שייצר אות סינוס בתדירות של ‪ 5Hz‬ובעוצמה של‬
‫‪ .±5V‬סדרו את הסקאלות של הסקופ ע"מ שתראו את האות שיצרתם ותוודו שיש‬
‫לכם מדידה נכונה ויציבה של המתח‪ .‬שנו בתוכנה את תדר הדגימה ל‪ 500Hz-‬ואת‬
‫טווח המתח של הכרטיס לערך הגדול ביותר (לפי ספסיפיקציות – סעיף ‪.)1.1‬‬
‫האם אתם רואים את כל האות? מהי אמפליטודת האות הדגום שמתקבל (‪?)P-P‬‬
‫*שמרו את האות בקובץ ‪.txt‬‬
‫‪.1.3‬‬
‫שנו את טווח המתח של הכרטיס לערך הקטן ביותר לפי מה שמצאתם בסעיף ‪.1.1‬‬
‫האם חל שינוי בצורה ובאמפליטודת האות? אם כן‪ ,‬איזה תופעה התקבלה?‬
‫‪.1.4‬‬
‫מה היית מציע כדי להיפטר מהתופעה הנ"ל?‬
‫‪* .2‬שמרו את האות בקובץ ‪.txt‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 20‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫‪ .3‬בחינת טווח מתחים‬
‫‪.3.1‬‬
‫כוונו את מחולל האותות כך שייצר אות סינוס בתדירות של ‪ 5Hz‬ובעוצמה‬
‫בטווח של ‪ .±(5-50)mV‬בדקו את האות בעזרת הסקופ ותוודו שיש לכם מדידה‬
‫נכונה ויציבה של המתח‪ .‬שנו בתוכנה את תדר הדגימה ל‪ 500Hz-‬ואת טווח המתח‬
‫של הכרטיס לערך הגדול ביותר לפי מה שמצאתם בסעיף ‪ .1.1‬הנחיתו את האות‬
‫(בעזרת כפתור האמפליטודה של המחולל) ולחיצה על כפתור ההנחתה ‪.-20dB‬‬
‫מה אתם רואים?‬
‫**שמרו את האות בקובץ ‪.txt‬‬
‫‪.3.2‬‬
‫שנו את טווח המתח של הכרטיס לערך הקטן ביותר לפי סעיף ‪.1.1‬‬
‫תארו מה השתנה‪.‬הסבירו מה התופעה המתקבלת‪ ,‬היעזרו בנוסחאות של רוחב קוד‬
‫ושגיאה לשני טווחי המתחים‪.‬‬
‫*שמרו את האות בקובץ ‪.txt‬‬
‫‪.3.3‬‬
‫איזה טווח היית בוחר? נמק‪.‬‬
‫סיום הניסוי‬
‫נא לשמור את כל הקבצים שלכם בדיסק און קיי או לשלוח במייל‪.‬‬
‫נא לסגור את התוכנה לכבות את המכשירים ולסדר את העמדה‪.‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 21‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫‪ .7‬ניתוח תוצאות‬
‫שלב ‪1‬‬
‫‪ .1‬באילו אותות היה קיפול?‬
‫‪ .2‬צרפו לדו"ח הדפסה של כל דגימה (ניתן להדפיס את התוצאות בעזרת ‪.)Matlab‬‬
‫‪ .3‬מצאו את תדר ‪ Nyquist‬והסבירו את התוצאות שהתקבלו עבור כל אחד מתדרי‬
‫הדגימה (ציינו הבדלים בין תיאוריה למציאות)‪.‬‬
‫‪ .4‬הציגו את התמרת פורייה של האותות הדגומים וציינו מתי קיים קיפול בתחום התדר‪.‬‬
‫ציר התדר צריך להיות בהרץ‪.‬‬
‫‪ .5‬הסבירו את התוצאות שהתקבלו עבור כל אחד מתדרי הדגימה (ציינו הבדלים בין‬
‫תיאוריה למציאות)‪.‬‬
‫‪ .6‬באילו תדרי דגימה האותות נראים שבורים? מדוע?‬
‫‪ .7‬מהי התופעה המתרחשת כשדוגמים בתדר דגימה של ‪ ? 16 Hz‬מדוע היא מתרחשת?‬
‫לאיזה תדר של אות דגום ציפיתם? למה לא מקבלים אותו?‬
‫שלב ‪2‬‬
‫‪ .1‬הסבירו בהרחבה מה נצפה לקבל כתוצאה מדגימת האותות ומה התקבל במציאות‪.‬‬
‫הסבירו מדוע מתקבלות התוצאות הללו?‬
‫‪ .2‬מהו התדר של האות הדיגיטלי ‪ fdigit‬המתקבל כתוצאה מדגימה של אות סינוס בעל‬
‫תדר ‪ ? forig= 1000Hz‬מדוע?‬
‫‪ .3‬מה תצפו שיופיע על מסך המחשב‪ ,‬כאשר ממשיכים להגדיל את תדר המחולל מעל‬
‫‪ ?1000Hz‬נמקו‪.‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 22‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫שלב ‪3‬‬
‫‪ .1‬הסבירו בהרחבה את התוצאות שהתקבלו‪ .‬מה הסיבה להבדל בין האותות?‬
‫‪ .2‬מלאו את טבלה ‪ 2‬להלן והסבירו את התוצאות‪.‬‬
‫טבלה ‪:2‬‬
‫רוחב קוד‬
‫טווח המתח של‬
‫הכרטיס‬
‫שגיאה‬
‫‪10V‬‬
‫‪0.05V‬‬
‫דרישות לדוח הסופי ‪:‬‬
‫פרק ‪ : 1‬רקע תאורטי (עד ‪ 2‬עמודים) בו מוסברים המושגים שנלמדו‪ .‬חומר מועתק יגרור‬
‫להורדת ניקוד‪.‬‬
‫פרק ‪ : 2‬מטרות הניסוי‪ ,‬מערכת הניסוי ושלבי הניסוי בקצרה‪.‬‬
‫פרק ‪ : 3‬תוצאות הניסוי ‪ :‬יש לענות על השאלות בפרק ‪( 7‬ניתוח תוצאות)‪ ,‬תוך כדי לצרף‬
‫תוצאות‪ ,‬לדון בהם והסביר את המוטיבציה מאחוריהם‪.‬‬
‫פרק ‪ : 4‬סיכום ומסקנות‪.‬‬
‫פרק ‪ : 5‬דיון בשגיאות והסיבות לשגיאות (מערכת‪ ,‬חישוב‪ ,‬ותיאוריה)‪ ,‬נא לסדר לפי‬
‫חשיבות‪.‬‬
‫תהיו נדיבים במתן הסברים ‪ ,‬הדיון בתוצאות יהיה מרכיב עיקרי בהערכת הדוח‪.‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫את הדוח הסופי יש להקליד‪ ,‬ולהגיש גרסה קשיחה לתא של המדריכה חנאן ח'מיס‪.‬‬
‫בנוסף יש להגיש את קבצי ה‪ Matlab-‬עם הנתונים המקוריים ב‪: E.mail -‬‬
‫‪.khhanan@tx.technion.ac.il‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 23‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫ניספחים‪:‬‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 24‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬
‫ניסוי ‪ :1‬עקרונות בדגימת אותות‬
‫עמוד ‪ 25‬מתוך ‪25‬‬
‫עדכון אחרון‪ 15/4/2015 :‬ע"י חנאן ח'מיס‬