tukaj - Oddelek za matematiko in računalništvo FNM UM

Seznam predlaganih tem za
diplomske seminarske naloge
2014-2015
1
Navodila
S seznama, ki je predstavljen v drugem razdelku, izberete mentorja in temo.
To naredite tako, da preko elektronske pošte mentorja, ki je dano temo razpisal, obvestite o izbiri teme, ki vas zanima. V primeru, da je tema, ki vas
zanima, že dodeljena drugemu študentu, vas bo o tem po elektronski pošti
obvestil izbrani mentor. V tem primeru morate izbrati drugo med razpisanimi temami.
Vsak študent mora opraviti izbiro najkasneje do pričetka predavanj v poletnem semestru tekočega študijskega leta, sicer mu mentorja in temo dodeli
oddelek.
Zaradi ažurnosti spletne strani glede tem, ki so na voljo, študenti po
potrjenem izboru teme (s strani mentorja) po elektronski pošti na naslov
aleksander.kelenc@um.si sporoči, katero temo si je izbral.
Mentor študentu predpiše ustrezno literaturo, po kateri študent obdela izbrano temo. Študent napiše diplomsko seminarsko nalogo in jo pri mentorju
zagovarja. Diplomska seminarska naloga mora obsegati od 10 do največ 15
strani matematičnega besedila. Študent mentorju odda dva mehko vezana
izvoda diplomske seminarske naloge najkasneje 7 dni pred ustnim zagovorom.
Po zaključku zagovora mentor poda skupno oceno (diplomska seminarska
naloga 80%, ustni zagovor 20%).
1
2
Seznam tem
izr. prof. dr. Iztok Banič
iztok.banic@um.si
(somentor: asist. dr. Matevž Črepnjak; matevz.crepnjak@um.si)
1. Hiperprostora loka in krožnice
[The hyperspaces of an arc and a circle]
• Kratka vsebina: V diplomski seminarski nalogi predstavite pojem hiperprostora C(X) nepraznega kompaktnega povezanega metričnega prostora X. V posebnem primeru, ko je X lok ali krožnica,
dokažite, da je C(X) homeomorfen zaprtemu enotskemu krogu; [1]
stran 33-36.
• Osnovni viri:
1. A. Illanes and S. B. Nadler, Hyperspaces. Fundamentals and
recent advances, Monographs and Textbooks in Pure and
Applied Mathematics 216, Marcel Dekker, Inc., New York,
1999.
2. S. B. Nadler, Continuum theory. An introduction, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 158,
Marcel Dekker, Inc., New York, 1992.
2. Hiperprostor enostavne triode
[The hyperspace of a simple triod]
• Kratka vsebina: V diplomski seminarski nalogi predstavite pojem hiperprostora C(X) nepraznega kompaktnega povezanega metričnega prostora X. V posebnem primeru, ko je X enostavna
trioda, podrobno opišite polieder, ki je homeomorfen C(X); [1]
stran 39-43.
• Osnovni viri:
1. A. Illanes and S. B. Nadler, Hyperspaces. Fundamentals and
recent advances, Monographs and Textbooks in Pure and
Applied Mathematics 216, Marcel Dekker, Inc., New York,
1999.
2
2. S. B. Nadler, Continuum theory. An introduction, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 158,
Marcel Dekker, Inc., New York, 1992.
3
izr. prof. dr. Dominik Benkovič
dominik.benkovic@um.si
1. Delni metrični prostori
[Partial metric spaces]
• Kratka vsebina: Neprazna množica M skupaj z izbrano metriko
(razdaljo) d se imenuje metrični prostor. En od aksiomov metričnega prostora zahteva, da sta točki x in y enaki natanko tedaj, ko
je njuna razdalja d(x, y) = 0. Kaj dobimo, če omenjeni aksiom
izpustimo in dopustimo obstoj točk z neničelno lastno razdaljo
d(x, x) > 0. Struktura, ki nam to omogoča se imenuje delni metrični prostor. V diplomski seminarski nalogi naj bodo po viru [1]
obravnavane osnovne lastnosti delnih metričnih prostorov. Teorija
naj bo podkrepljena z zgledi uporabe.
• Osnovni vir:
[1] M. Bukatin, R. Kopperman, S. Matthews, H. Pajoohesh, Partial Metric Spaces, American Math. Monthly, Vol. 116, No. 9
(2009) 708–718.
2. Kolobar potenčnih vrst
[The ring of power series]
• Kratka vsebina: Naj bo K komutativen kolobar z enoto. Označimo s K [[X]] množico vseh formalnih potenčnih vrst s koeficienti
iz K; elementi množice K [[X]] so oblike
∞
X
an X n = a0 1 + a1 X + a2 X 2 + · · · .
n=0
Če množico K [[X]] opremimo z običajnim seštevanjem in množenjem potenčnih vrst, dobimo komutativen kolobar z enoto. V
diplomski seminarski nalogi naj bodo po viru [1] predstavljene
nekatere osnovne lastnosti kolobarja potenčnih vrst. Poudarek
naj bo na aritmetiki v kolobarju Z [[X]].
4
• Osnovni vir:
[1] D. Birmajer, J. B. Gil, Arithmetic in the Ring of Formal Power
Series with Integer Coefficients, American Math. Monthly, Vol.
115, No. 6 (2008), 541-549.
5
izr. prof. dr. Drago Bokal
drago.bokal@um.si
1. Funkcionali na kratkih časovnih vrstah
[Functionals on short time series]
• Kratka vsebina: S pomočjo aplikacije Mobilna okoljska izkaznica doma (kmalu dostopna na www.moidom.si) bodo uporabniki
zbirali podatke o porabi in stroških za dobrine, s katerimi obremenjujemo okolje (elektrika, toplota, voda ipd.) Cilj projekta je,
da se uporabniki med sabo lahko primerjajo po učinkovitosti in s
tem poiščejo dobrine, pri katerih bi lahko postali bolj varčni in s
tem bolj učinkoviti.
Matematično zbrani podatki predstavljajo kratke (časovne) vrste,
analizo podatkov pa izvajamo s funkcionali, ki vrste preslikajo v
ustrezna realna števila. Formalizacijo funkcionalov in vektorskih
prostorov, nad katerimi delujejo, boste spoznali pri predmetu Matematično modeliranje. Vaš izziv bo predstavljal razvoj osnovnega
matematičnega modela podatkov v eno od naslednjih smeri:
– Če vas zanima teoretična smer, boste študirali polnost navedenih vektorskih prostorov. Po osnovnem pristopu pridemo do
vektorskih prostorov, v katerih je mogoče konstruirati zaporedja podatkov, katerih limite ne bodo pripadale podatkom,
možno pa je izbrati tako definicijo prostorov, da vsako zaporedje podatkov tudi ima svojo limito v prostoru podatkov.
Poleg dokaza polnosti oz. konstrukcije protiprimera boste analizirali tudi prednosti in slabosti obeh definicij ter njuno pojavljanje v literaturi.
– Če vas zanima finančna smer, boste pripravili pregled funkcionalov, ki se v finančnih aplikacijah uporabljajo za napovedovanje naslednjih členov časovnih vrst, ter na nekaj primerih
preverili, katere vrednosti bi tovrstni funkcionali napovedali
za izbrane časovne vrste.
– Če vas zanima računalniška smer, boste proučili, kako se s
pomočjo JSON tehnologije generično implementira za analizo
podatkov zanimive funkcionale, ter pripravili razširitev osnovnega nabora JavaScript struktur za uporabo teh modelov v
bodočih razširitvah aplikacije mOIDom.
6
Izziv je primeren tudi za ekipo do treh študentov, ki bodo samostojno v skladu s programom http://www.fnm.uni-mb.si/
images/predmetniki/1 stopnja/mat/2012-2013/sma/diplsem-s.pdf izdelali vsak svojo diplomsko seminarsko nalogo po
prej opisanih razliÄŤicah predstavljenega izziva, na skupnih delavnicah in srečanjih z mentorjem pa si bodo medsebojno pomagali
z izmenjavo izkušenj in različnih pogledov na obravnavane teme.
• Osnovni viri:
[1] P. J. Brockwell, R. A. Davis, Introduction to time series and
forecasting, Springer, New York, 2002.
[2] P. J. Brockwell, R. A. Davis, Time series : theory and methods,
Springer, New York, 2006.
[3] C. Chatfield, The analysis of time series : an introduction,
Chapman & Hall, Boca Raton, 2004.
[4] M. G. Kendall, Time-series, Griffin, London, 1973.
[5] http://www.json.org/.
[6] http://www.w3schools.com/js/.
2. Mali 2-prekrižno-kritični grafi
[Small 2-crossing-critical graphs]
• Kratka vsebina: Pred kratkim so bili veliki 3-povezani 2-prekrižno-kritični grafi popolnoma karakterizirani kot sestavljeni z
lepljenjem nekaj različnih grafovskih struktur. Znano je tudi, da
je grafov, ki tej karakterizaciji ne ustrezajo, končno mnogo (malo).
Pri njihovi kompletni karakterizaciji se poleg raziskovanja strukture teh grafov uporabljajo tudi računalniške metode. V diplomski seminarski nalogi definirajte risbo grafa, prekrižno število grafa
ter k-prekrižno-kritične grafe. Razmislite, kateri so 1-prekrižnokritični grafi, ter predstavite primer kakega 2-prekrižno-kritičnega
grafa. Predstavite algoritem, s katerim se dokaže, da je graf 2prekrižno-kritičen, ter ga implementirajte kot grafovsko invarianto
v programskem okolju Grivnin. Računalnik, na katerem je postavljeno razvojno okolje za Grinvin, vam bo na voljo.
Diplomska naloga je primerna za nekoga, ki ga zanima teoretična
matematika in ima tudi osnovna znanja programiranja, ali za ne7
koga, ki ga zanima programiranje in uporaba teh znanj pri matematičnih raziskavah.
• Osnovni viri:
[1] M. Kochol, Construction of crossing critical graphs, Discrete
Mathematics 66 (1987), 311–313.
[2] R. B. Richter, Cubic graphs with crossing number two, J. Graph
Theory 12 (1988), 363–374.
[3] D. Mac Millan, R. B. Richter, On 3-regular graphs having
crossing number at least 2, J. Graph Theory 18 (1994), 831–839.
[4] http://www.grinvin.org/.
8
red. prof. dr. Boštjan Brešar
bostjan.bresar@uni-mb.si
1. Presečni grafi
[Intersection graphs]
• Kratka vsebina: Predstavljene naj bodo osnove teorije presečnih
grafov, vključno z dokazoma izrekov Marczewskega in Scheinermana.
• Osnovni viri:
T. A. McKee and F. R. McMorris, Topics in intersection graph
theory, SIAM, Philadelphia, 1999.
2. Refleksivni absolutni retrakti grafov
[Reflexive absolute retracts of graphs]
• Kratka vsebina: Predstavljeni naj bodo pojmi homomorfizma,
retrakta ter izometričnega podgrafa in njihove osnovne lastnosti.
Poudarek je na obravnavi refleksivnih absolutnih retraktov.
• Osnovni viri:
P. Hell, J. Nešetřil, Graphs and homomorphism, Oxford University press, New York, 2004.
9
doc. dr. Daniel Eremita
daniel.eremita@um.si
1. Nekatere lastnosti popolnoma multiplikativnih aritmetičnih funkcij
[Some properties of completely multiplicative arithmetical functions]
• Kratka vsebina: V diplomski seminarski nalogi naj bodo predstavljene osnove teorije multiplikativnih aritmetičnih funkcij. Posebna pozornost naj bo posvečena lastnostim popolnoma multiplikativnih aritmetičnih funkcij, ki jih je v članku [1] izpeljal T.
M. Apostol.
• Osnovni viri:
[1] T. M. Apostol, Some properties of completely multiplicative
arithmetical functions. Amer. Math. Monthly 78 (1971), 266–
271.
[2] T. M. Apostol, Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New YorkHeidelberg, 1976.
2. Erdösev izrek o monotonih multiplikativnih funkcijah
[Erdös’s Theorem on Monotone Multiplicative Functions]
• Kratka vsebina: V diplomski seminarski nalogi naj bodo obravnavani različni dokazi Erdösevega izreka o monotonih multiplikativnih funkcijah. Uvodoma naj bodo predstavljeni klasični primeri
multiplikativnih funkcij in njihove osnovne lastnosti.
• Osnovni viri:
[1] E. Howe, A New Proof of Erdös’s Theorem on Monotone Multiplicative Functions, Amer. Math. Monthly 93 (1986), no. 8,
593–595.
[2] L. Moser and J. Lambek, On monotone multiplicative functions, Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1953) 544–545.
[3] K. H. Rosen, Elementary number theory and its applications.
Fifth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2005.
[4] I. J. Schoenberg, On two theorems of P. Erdös and A. Renyi,
Illinois J. Math. 6 (1962) 53–58.
10
doc. dr. Mateja Grašič
mateja.grasic@um.si
1. Grupe avtomorfizmov
[Automorphism groups]
• Kratka vsebina: Množica vseh avtomorfizmov grupe G je grupa
za operacijo kompozituma. Označimo jo z Aut(G) in jo imenujemo grupa avtomorfizmov grupe G. Podmnožica vseh notranjih
avtomorfizmov grupe G, Inn(G), je edinka v Aut(G). Faktorsko
grupo
Aut(G)/Inn(G)
označimo z Out(G).
V diplomski seminarski nalogi naj bodo predstavljene osnovne lastnosti zgoraj opisanih grup in trditve, povezane z njimi. Predstavljene naj bodo tudi grupe avtomorfizmov nekaterih znanih
končnih grup (Zn , Dn , Sn in An ).
• Osnovni viri: [1] Joseph J. Rotman, An Introduction to the
Theory of Groups, Fourth Edition, Springer Graduate Texts in
Mathematics, vol. 148, 1995.
[2] I. Martin Isaacs, Finite Group Theory, Graduate Studies in
Mathematics, vol. 92, 2008.
2. Algebraična in transcendentna števila
[Algebraic and transcendental numbers]
• Kratka vsebina: Kompleksno število imenujemo algebraično, če
je ničla nekega polinoma z racionalnimi koeficienti. Če ni algebraično, ga imenujemo transcendentno.
V diplomski seminarski nalogi naj bodo predstavljene definicije in
osnovne trditve povezane s poljem algebraičnih elementov poljubnega polja. Vključen naj bo tudi dokaz transcendence Eulerjevega
števila.
• Osnovni viri: I. N. Herstein, Topics in Algebra (2nd edition),
Wiley, 1975.
11
doc. dr. Bojan Hvala
bojan.hvala@um.si
1. Erdös - Debrunnerjeva neenakost
[Erdös - Debrunner inequality]
• Kratka vsebina: Naj bodo X, Y, Z točke na stranicah a, b, c trikotnika ABC. Ploščino trikotnika XY Z označimo s F0 . Stranice tega trikotnika razdelijo trikotnik ABC na štiri trikotnike
s ploščinami FA , FB , FC in F0 . Osnovna Erdös - Debrunnerjeva
neenakost trdi, da velja F0 ≥ min {FA , FB , FC }. Cilj diplomske
seminarske naloge je dokazati to osnovno neenakost in predstaviti
nekatere sorodne rezultate.
• Osnovni viri:
[1] O. Bottema et all, Geometric Inequalities, Wolters and Noordhoff Groningen, 1969, (9. poglavje, str. 80 – 84).
[2] Dodatni krajši članki na to temo, navedeni v knjigi [1].
2. Arhimedske krožnice povezane s Schochovo premico
[Archimedean circles related to the Schoch line]
• Kratka vsebina: V arbelosu s polmeri polkrožnic a, b in a + b
sta splošno znani Arhimedovi krožnici. Polmer obeh je enak in
ab
. Zato krožnice, ki so povezane z arbelosom in
sicer rA = a+b
imajo polmer rA , imenujemo arhimedske krožnice. V diplomski
seminarski nalogi bo predstavljenih nekaj arhimedskih krožnic, ki
so povezane s Schochovo premico v arbelosu.
• Osnovni viri:
[1] H. Okumura, Archimedean circles related to the Schoch line,
Forum Geometricorum 14 (2014), str. 369 – 370.
[2] C. W. Dodge, T. Schoch, P. Y. Woo, P. Yiu, Those ubiquitous
Archimedean circles, Math. Mag. 72, 1999, str. 202 – 213.
12
doc. dr. Marko Jakovac
marko.jakovac@um.si
Somentor: asist. Niko Tratnik
niko.tratnik@gmail.com
1. Varne množice v grafih
[Secure Sets in Graphs]
• Kratka vsebina: Naj bo G enostaven graf. Množica S ⊆ V (G)
je zaščitena, če za vsako vozlišče v ∈ S velja:
|N [v] ∩ S| ≥ |N [v] − S| .
Celotna množica S je varna, če je poljubna njena podmnožica
X ⊆ S zaščitena. V diplomski seminarski nalogi bodo določeni
potrebni in zadostni pogoji za varne množice. Predstavljenih bo
nekaj rezultatov za nekatere družine grafov.
• Osnovni viri:
[1] R. C. Brigham, R. D. Dutton, S. T. Hedetniemi, Security in
graphs, Discrete Appl. Math. 155 (2007) 1708—1714.
[2] R. D. Dutton, On a graph’s security number, Discrete Math.
309 (2009) 4443—4447.
2. Wienerjev izrek za vozlišča
[Vertex Version of the Wiener Theorem]
• Kratka vsebina: Za povezan graf G je Wienerjev indeks W (G)
definiran kot vsota dolžin najkrajših poti med vsemi pari vozlišč.
V kemijski teoriji grafov je intenzivno raziskovan, saj je bila pokazana tesna korelacija med Wienerjevim indeksom nekaterih molekul in vrelišči teh molekul. Klasični Wienerjev izrek iz leta 1947
pove, da je Wienerjev indeks drevesa enak ustrezni vsoti po povezavah. V diplomski seminarski nalogi bo predstavljena posplošitev
Wienerjevega izreka za vozlišča [2] in obravnavana temu izreku podobna Doyle-Graverjeva formula [1]. Izpeljana bo tudi posplošitev
Wienerjevega izreka za vozlišča na poljubne povezane grafe [2].
13
• Osnovni viri:
[1] J. K. Doyle, J. E. Graver, Mean distance in a graph, Discrete
Appl. Math. 17 (1977) 147–154.
[2] R. Škrekovski, I. Gutman, Vertex Version of the Wiener Theorem, MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 72 (2014)
295–300.
14
doc. dr. Janja Jerebic
janja.jerebic@um.si
1. Enosmerna analiza variance
[One-Way Analysis of Variance]
• Kratka vsebina:
V diplomski seminarski nalogi naj bo predstavljena statistična metoda enosmerne analize variance za ponovljene in neponovljene
meritve. Teorija naj bo podkrepljena z zgledi.
• Osnovni viri:
[1] D.S. Moore, G.P. McCabe, B.A. Craig, Introduction to the
practice of statistics, New York : W.H. Freeman, 2012.
[2] R. Lowry, Concepts and Applications of Inferential Statistics,
elektronski učbenik: faculty.vassar.edu/lowry/webtext.html
2. Dvosmerna analiza variance
[Two-Way Analysis of Variance]
• Kratka vsebina:
V diplomski seminarski nalogi naj bo predstavljena statistična metoda dvosmerne analize variance za neponovljene meritve. Teorija
naj bo podkrepljena z zgledi.
• Osnovni viri:
[1] D.S. Moore, G.P. McCabe, B.A. Craig, Introduction to the
practice of statistics, New York : W.H. Freeman, 2012.
[2] R. Lowry, Concepts and Applications of Inferential Statistics,
elektronski učbenik: faculty.vassar.edu/lowry/webtext.html
15
red. prof. dr. Uroš Milutinović
uros.milutinovic@um.si
1. Pickov izrek
[Pick’s theorem]
• Kratka vsebina: Pickov izrek je trditev, da je ploščina lika v
ravnini, ki ga omejuje enostavna sklenjena krivulja sestavljena iz
daljic s krajišči v točkah celoštevilčne mreže Z×Z, enaka i+b/2−1,
kjer je i število točk iz Z × Z v notranjosti tega lika, b pa število
točk iz Z × Z na robu (oz. na tej krivulji).
V diplomski seminarski nalogi dokažite to trditev.
• Osnovni viri: I. Niven, H. S. Zuckerman: Lattice Points and
Polygonal Area, Amer. Math. Monthly, 74, 1967, 1195–1200.
2. Stirlingova formula
[Stirling’s formula]
• Kratka vsebina:
Stirlingova
formula je trditev, da se n! asimptotsko obnaša kot
√
n −n
2πn, kar pomeni, da je
n e
lim
n→+∞
n!
√
nn e−n
2πn
= 1.
V diplomski seminarski nalogi predstavite dokaze te formule iz
spodaj navedenih člankov.
• Osnovni viri:
(a) A. J. Coleman: A Simple Proof of Stirling’s Formula, Amer. Math. Monthly, 58, 1951, 334–336
(b) C. L. Frenzen: A New Elementary Proof of Stirling’s Formula,
Math. Mag., 68, 1995, 55–58
(c) H. Robbins: A Remark on Stirling’s Formula, Amer. Math. Monthly, 62, 1955, 26–29
16
red. prof. dr. Dušan Pagon
dusan.pagon@um.si
1. Poldirektni produkt grup
[Semidirect product of groups]
• Kratka vsebina: Obravnavana bosta direktni in poldirektni produkt grup ter naštete osnovne značilnosti slednjega. S pomočjo
poldirektnega produkta bo pridobljen opis grup, red katerih je
produkt dveh praštevil.
• Osnovni vir: J. Rotman. An introduction to the theory of groups. Springer 1999.
2. Pascalov šestkotniški izrek
[Pascal’s hexagon theorem]
• Kratka vsebina: Podan bo enostaven in eleganten algebraični
dokaz Pascalovega šestkotniškega izreka. Naveden bo tudi učinkovit
algoritem za zapis enačbe stožnice, če poznamo pet njenih točk.
• Osnovni vir: N. Stefanović, M. Milošević. A very simple proof
of Pascal’s hexagon theorem and some applications. Proc. Indian
Acad. Sci. Vol. 120, No. 5, November 2010, pp. 619-629.
17
doc. dr. Igor Pesek igor.pesek@uni-mb.si
1. Verjetnostno generiranje pokrajine
[Randomized terrain generation]
• Kratka vsebina: V diplomskem delu predstavite problem izdelave pokrajine s pomočjo verjetnostnega algoritma .
• Osnovni viri:
[1] J. van Lawick van Pabst, J. Hans, Dynamic Terrain Generation
Based on Multifractal Techniques, 2001
[2] R. Tisovcik, Generation and Visualization of Terrain in Virtual
Environment, 2012
[3] António Ramires Fernandes. The Fault Algorithm – Terrain
Tutorial, 2014,
http://www.lighthouse3d.com/opengl/terrain/index.php?faultvar
2. Horspoolov algoritem
[String matching algorithms]
• Kratka vsebina: Predstavite Horspoolov algoritem za določitev
ujemanja nizov .
• Osnovni viri:
[1] G.Navarro in M. Raffinot, Flexible Pattern Matching in Strings:
Practical On-line Search Algorithms for Texts and Biological Sequences, Cambridge press, 2002
[2] M. Crochemore and W. Rytter, Text Algorithms, Oxford University Press, New York, 1994
18
izr. prof. dr. Tatjana Petek
tatjana.petek@um.si
1. Linearni ohranjevalci grupe unitarnih matrik
[Linear preservers of matrix unitary group]
• Kratka vsebina: Unitarne matrike tvorijo grupo. V diplomskem
delu bomo odgovorili na vprašanje, katere bijektivne linearne preslikave na algebri kvadratnih kompleksnih matrik Mn preslikajo
celotno grupo unitarni matrik vase. Hitro se vidi, da imajo preslikave A 7→ U AV, A ∈ Mn , in A 7→ U At V, A ∈ Mn , kjer sta U in
V dani unitarni matriki, to lastnost. Da pa se tudi pokazati, da
so take preslikave edine.
Karakterizacija takih preslikav je povezana s projektorji, to je
hermitskimi idempotentnimi matrikami in relacijo ortogonalnosti.
Izkaže se, da unitalna (t.j. φ(I) = I) linearna preslikava na Mn , ki
ohranja unitarno grupo, ohranja tudi projektorje ranga ena. Naj
bo φ : Mn → Mn linearna surjektivna unitalna preslikava, ki vsak
projektor ranga 1 preslika v projektor ranga 1. Najprej dokažemo,
da obstaja taka unitarna matrika U, da je φ (P ) = U P U ∗ za vsak
projektor P ranga 1 ali pa je φ (P ) = U P U ∗ za vsak projektor P
ranga 1, kjer je [aij ] = [aij ]. Posledično ima linearna unitalna surjektivna preslikava, ki ohranja unitarne matrike, podobno obliko.
• Osnovni viri:
1. G. Strang, Linear algebra and its Applications, Brooks/Cole
4th Edition, Belmont, USA.
2. R. A. Beezer, A First Course in Linear Algebra
http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/, 16.1.2015.
3. M. Marcus, All linear operators leaving the unitary group invariant, Duke Math. J. 26 (1959), 155-163.
2. Razcep matrik s singularnimi vrednostmi in uporaba
[Singular value decomposition of matrices and applications]
• Kratka vsebina: Razcep realne ali kompleksne matrike s singularnimi vrednostmi je zelo močno orodje linearne algebre. V
19
diplomskem delu je potrebno predstaviti in dokazati postopek razcepa in sestavine, ki jih za to potrebujemo ter prikazati in utemeljiti več primerov, kjer lahko ta razcep s pridom uporabimo:
– posplošeni inverzi matrike
– metoda najmanjših kvadratov oziroma problem najboljše aproksimacije, predoločeni linearni sistemi
– numerično določanje ranga matrike
– stiskanje slik
– določanje operatorske norme matrike in števila pogojenosti
– fundamentalni prostori matrike.
• Osnovni viri:
1. G. Golub and W. Kahan, Calculating the Singular Values and
Pseudo-Inverse of a Matrix, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics: Series B, Numerical Analysis
Vol. 2, No. 2 (1965), pp. 205–224.
2. G. Strang, Linear algebra and its Applications, Brooks/Cole
4th Edition, Belmont, USA.
3. R. A. Beezer, A First Course in Linear Algebra,
http://linear.ups.edu/html/fcla.html, 16.1.2015.
20
izr. prof. dr. Krista Rizman Žalik
krista.zalik@um.si
1. Razširitev relacijskega računa z zbirnimi funkcijami
[Extending relational calculus with agregate functions]
• Kratka vsebina: Kratka vsebina: Razširite relacijski račun za
delo z zbirnimi funkcijami, ki obravnava tudi atribute z množicami
vrednosti. Razširjen relacijski račun je teoretični okvir za statistični poizvedovalni jezik za delo s podatkovnimi bazami.
• Osnovni viri: G. Ozsoyoglu, Z. M. Ozsoyoglu, V. Matos, Extending relational algebra and relational calculus with set-valued attributes and aggregate functions, ACM Transactions on Database
Systems, 12 (4), 2007.
2. Ekvivalenčne mehke relacije na množicah
[Equivalence soft set relations]
• Kratka vsebina: Kratka vsebina: Teorija mehkih množic je
učinkovito orodje za obravnavo negotovosti. Ekvivalenčne mehke
relacije na množicah so mehke podmnožice kartezičnih produktov
mehkih množic. Opišite povezane koncepte kot so ekvivalenčne
mehke relacije na množicah, particije in funkcije. Preučite tranzitivnost mehke relacije na množicah.
• Osnovni viri: Jin Han Park , Oe Hyeon Kim, Young Chel Kwun,
Some properties of equivalence soft set relations, Mathematics
with Applications, 2012.
21
red. prof. dr. Valerij Romanovskij
valery.romanovsky@uni-mb.si
1. Groebnerjeve baze in sistemi polinomskih enačb
[Groebner bases and polynomial systems]
• Kratka vsebina: Cilj dela je študij in razumevanje metode Groebnerjevih baz v teoriji polinomskih idealov. V okviru diplomske
seminarske naloge bo predstavljena tudi uporaba Groebnerjevih
baz za rešetv polinomskih sistemov.
• Osnovni viri:
[1] W. W. Adams and P. Loustaunau. An Introduction to Gröbner
Bases. Graduate Studies in Mathematics, Vol. 3. Providence, RI:
American Mathematical Society, 1994.
[2] D. Cox, J. Little, and D. O’Shea. Ideals, Varieties, and Algorithms. 2nd edition. Springer-Verlag, New York, 1997.
[3] V.G. Romanovski and D.S. Shafer, The center and cyclicity
problems: a computational algebra approach. Birkhauser Boston,
Inc., Boston, MA, 2009.
2. Periodične rešitve dvodimenzionalnih sistemov NDE
[Periodic solutions of two-dimensional systems of ODEs]
• Kratka vsebina: Namen dela je študij osnovnih metod za preučevanje
periodičnih rešitev dvodimenzionalnih avtonomnih sistemov navadnih diferencialnih enačb v okolici singularne točke.
• Osnovni viri:
[1] D. K. Arrowsmith and C. M. Place. An Introduction to Dynamical Systems. Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
[2] V.G. Romanovski and D.S. Shafer, The center and cyclicity
problems: a computational algebra approach. Birkhauser Boston,
Inc., Boston, MA, 2009.
22
doc. dr. Simon Špacapan
simon.spacapan@um.si
1. Borsuk-Ulamov izrek
[Borsuk-Ulam theorem]
• Kratka vsebina: Naj bo S n n-dimenzionalna sfera. BorsukUlamov izrek pravi, da za vsako zvezno funkcijo f : S n → Rn
obstaja točka x ∈ S n , tako da velja f (x) = f (−x). Izrek krasijo
štiri lepe lastnost:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Dosti
Dosti
Dosti
Dosti
različnih ekvivalentnih formulacij
različnih dokazov
posplošitev in posebnih primerov
aplikacij
V diplomski seminarski nalogi naj bodo predstavljene različne formulacije izreka in dokaz njihove ekvivalence. Prav tako naj naloga
vsebuje geometrijski dokaz Borsuk-Ulamovega izreka.
• Osnovni viri:
[1] J. Matoušek, Using the Borsuk-Ulam Theorem, Springer, 2008.
doc. dr. Simon Špacapan
simon.spacapan@um.si
1. Tuckerjeva lema in Borsuk-Ulamov izrek
[Tucker’s Lemma and Borsuk-Ulam theorem]
• Kratka vsebina: Naj bo S n n-dimenzionalna sfera. BorsukUlamov izrek pravi, da za vsako zvezno funkcijo f : S n → Rn
obstaja točka x ∈ S n , tako da velja f (x) = f (−x). Tuckerjeva
lema govori o označitvah (barvanjih) triangulacij n-dimenzionalne
krogle B n , in velja za ”diskretno verzijo”Borsuk-Ulamovega izreka.
V diplomski seminarski nalogi naj bo dokazana Tuckerjeva lema
in njena ekvivalenca z Borsuk-Ulamovim izrekom.
• Osnovni viri:
[1] J. Matoušek, Using the Borsuk-Ulam Theorem, Springer, 2008.
23
doc. dr. Andrej Taranenko
andrej.taranenko@um.si
1. Podgrafi z omejenimi stopnjami
[Subgraphs with restricted degrees]
• Kratka vsebina:
Definirajte (f, g)-faktorje in f -faktorje dvodelnih grafov, kjer sta g
in f nenegativni celi števili ter proučite njihove lastnosti. Posebej
predstavite tudi 2-faktorje in povezavo s Hamiltonovimi cikli.
• Osnovni viri:
[1] A. S. Asratian, T. M. J. Denley, R. Häggkvist, Bipartite Graphs
and their Applications, Cambridge University Press, 1998.
2. AVL drevesa
[AVL trees]
• Kratka vsebina: Predstavite podatkovno strukturo AVL drevo,
vključno z implementacijo algoritmov vstavljanja v in odstranjevanja ključa iz AVL drevesa.
• Osnovni viri:
[1] Robert L. Kruse, Alexander J. Ryba, Data structures and program design in C++, Prentice Hall, Upper Saddle River, New
Jersey, 2000.
24
red. prof. dr. Aleksander Vesel
aleksander.vesel@um.si
1. Optimalna triangulacija mnogokotnika
[Optimal polygon triangulation]
• Kratka vsebina:
Opišite problem učinkovitega izračuna triangulacije mnogokotnika.
Problem rešite s pomočjo dinamičnega programiranja.
• Osnovni viri:
[1] T. Cormen, R. Leiserson, R. Rivest, Introduction to Algorithms, MIT Press-MC Graw-Hill, 2001.
2. Aritmetično stiskanje podatkov
[Arithmetic compression]
• Kratka vsebina: Opište matematično ozadje ter osnovne značilnosti
aritmetičnega stiskanja podatkov.
• Osnovni viri:
[1] T.H. Parsons, Introduction to algorithms in pascal, John Wiley
and Sons, New York, 1995.
25
red. prof. dr. Blaž Zmazek
blaz.zmazek@uni-mb.si
1. QR algoritem za problem lastnih vrednosti
[QR-Algorithm for the Eigenvalue Problem]
• Kratka vsebina: V diplomski seminarski nalogi naj bo obravnavan QR algoritem za problem lastnih vrednosti. Algoritem naj
bo predstavljen tudi na nekaj primerih.
• Osnovni viri:
D. Kincaid, D. Ronald; Numerical Analysis, American Mathematical Society
2. Singularni razcep matrik in psevdoinverzi
[Singular-Value Decomposition of Matrices and Pseudoinverses]
• Kratka vsebina: V diplomski seminarski nalogi naj bo predstavljen numerični postopek za singularni razcep in uporaba psevdoinverzov kompleksnih matrik.
• Osnovni viri:
D. Kincaid, D. Ronald; Numerical Analysis, American Mathematical Society
26