1 Beviser for logaritmeregneregler

gudmandsen.net
Ophavsret ©
Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge,
sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden anvendelse kræver forfatterens skriftlige tilladelse
[mailto:info@gudmandsen.net].
Indholdet stilles til rådighed under Open Content License [http://opencontent.org/openpub/].
1 Beviser for logaritmeregneregler
1.0.1 Definitioner
loga betyder logaritmen med grundtallet a
ln(x) betyder loge(x), med grundtallet e (Eulers tal), hvor e ~ 2.71828...
log(x) betyder log10(x) med grundtallet 10.
Eksponentiel vækst kan også kaldes anti-logaritmen.
log a  a=1
ln e=1
log10=1
x
log a a  = x⋅log a a  = x
log10 x  = x⋅log10 = x
ln e x  = x⋅ln e  = x
log a 1=0
ln 1=0
log 1=0
Logaritmefunktionernes inverse er eksponentielle funktioner med tilsvarende grundtal.
1.1 Regneregler
De gængse regneregler for logaritmer er som følger:
log a⋅b = log alog b
1.
2.
log
5.
a
b
= loga−logb
x
3.
4.

log a  = x⋅loga 
x
a = b ⇔ x =
log a  x =
log b
ln b
=
log a
ln a 
ln x 
log x 
=
lna 
loga 
De fire første er almindeligt udbredte og benyttede og bevises herunder.
Den sidste er omregning mellem vilkår logaritme og de to former, som er repræsenteret i
enhver lommeregner.
1.1.1 Bevis for produktreglen
log a⋅b = log  10log a ⋅10log b 
= 10 log alog b
= loga logb
log_regler.odt
Side 1 /2
10log p  = p
p
q
p q
a ⋅a = a
p
log 10  = p
© Jakob Gudmandsen: 10-03-15
1.1.2 Bevis for divisionsreglen
log


 
a
b
= loga −logb
a
logb = log a
b
a
⇔ log ⋅b = log a
b
⇔ loga  = loga 
⇔ log
log a⋅b = loga logb
1.1.3 Bevis for eksponentreglen
loga x 
log p 
10
log a  x
= p
p q

= log  10
x⋅log a 

= log  10
= x⋅loga 
a 
= a p⋅q
p
log10  = p
1.1.4 Bevis for udregning
ax = b
⇔ log  a x  = log b
⇔ x⋅log a  = log b
log b 
ln b
⇔ x =
=
log a 
ln a
log_regler.odt
Side 2 /2
log a x  = x⋅loga 
© Jakob Gudmandsen: 10-03-15