Retningslinjer - tune in! Combating drop out

Kompendium
Matematik HF C niveau
π
Frederiksberg HF Kursus
Lars Bronée 2014
Mail: post@larsbronee.dk
Web: www.larsbronee.dk
Indholdsfortegnelse:
Forord
Det grundlæggende
Ligningsløsning
Procentregning
Rentesregning
1
2
8
11
14
Modeller
Lineær sammenhæng
Potenssammenhæng
Eksponentiel udvikling
17
19
21
Deskriptiv statistik
Grupperede observationer
Ikke – grupperede observationer
24
29
Geometri
Pythagoras læresætning
Arealet af en trekant
Vinkelsummen i en trekant
Trigonometri
Ensvinklede trekanter
32
32
32
33
38
Ligefrem og omvendt proportionalitet
Indekstal
Annuitetslån (supplerende stof)
40
41
42
Supplerende noter
Procentregning
Lineære sammenhænge
Potenssammenhænge
Eksponentielle udviklinger
Grafen for de 3 sammenhænge
Oversigt over de 3 modeller
Trigonometri
43
44
45
48
49
50
51
Matematisk bevisførelse
Pythagoras læresætning
Vinkelsummen i en trekant
Areal af en trekant
Lineære sammenhænge
Potenssammenhænge
Eksponentielle udviklinger
52
53
54
55
56
58
Arbejdsspørgsmål
Formler
Stikordsregistrer
Bilag
60
64
74
75
Kære matematik – studerende på Frederiksberg HF – kursus
At lære matematik betyder blod sved og tårer, og ikke mindst frustrationer.
Det er helt normalt og nødvendigt, uden disse ingen læring. Det er en del
af processen. Dette kompendium er skrevet med henblik på at gøre Din
rejse ind i matematikkens verden lidt lettere. De forskellige C niveau
emner præsenteres på en simpel måde uden for mange dikkedarer. Det er
skrevet i et uakademisk sprog der skærer direkte ind til benet af stoffet,
uden en masse tangenter til at forplumre overblikket. Kompendiet er
løbende blevet opdateret i forhold til konstruktiv feedback fra kursister.
C niveau kræver ikke nogen kompliceret lommeregner. Anbefaler TI
30XS. Den er funktionel og simpel at håndtere. Held og lykke med
matematiklæringen! Ved du kan hvis du beslutter dig for det. Det er godt at
få en god matematikstart på sin uddannelse.
Tak til lektor Johan Aage Smith for gode tips under tilblivelsen af
kompendiet.
Lars Bronée august 2014
Matematiklærer på Frederiksberg HF kursus
1
Det grundlæggende:
Når tal ganges med brøk
Eksempel 1:
2⋅
9 2 ⋅ 9 18
=
=
=3
6
6
6
Tallet 2 skal altså ganges med brøkens tæller. Bemærk at brøkstreg bruges til at symbolisere
division i dette kompendium og ikke ÷ som nogen måske er mest vant til.
Når brøk ganges med brøk
Eksempel 2:
4 12 4 ⋅12 48
⋅ =
=
=6
2 4
2⋅4
8
Her skal vi altså gange de 2 tællere sammen og gange de 2 nævnere sammen. At
48
8
= 6 betyder
på godt dansk, at hvis 8 mennesker skal dele 48 bananer ligeligt, får de netop 6 hver.
Når en brøk divideres med at tal
Eksempel 3:
( 303 ) 30 30
=
=
=5
2
3⋅ 2 6
Her skal vi blot gange tallet 2 der divideres med ind i brøkens nævner som vist i eksemplet.
Når en brøk divideres med en brøk
Eksempel 4:
( 32 ) 3 10 30
= ⋅ =
=3
( 105 ) 2 5 10
Vi skal altså blot gange brøken i tælleren med nævnerens brøk vendt om.
2
Når et tal divideres med en brøk
Eksempel 5:
( 16 ) 6 3 18
6
=
= ⋅ =
=9
( 23 ) ( 23 ) 1 2 2
Her har vi altså blot omskrevet tallet 6 til
6
1
og herefter brugt brøk divideret med brøk.
Når vi skal ophæve en minusparantes
Eksempel 6:
6 − (2 + x − 12) = 6 − 2 − x + 12 = 16 − x
Vi ophæver minusparantesen ved at ændre fortegn for alle led i parantesen. Herefter er alle
tal i udtrykket slået sammen og det er tradition at skrive 16 − x og ikke − x + 16 selvom det
er ligeså korrekt.
Når et tal ganges ind i en parantes
Eksempel 7:
2 ⋅ (12 − x) = 2 ⋅12 − 2 x = 24 − 2 x
Her ophæves parantes ved at gange tallet ind i hvert led i parantesen. Bemærk at 2 ⋅ (− x) = −2 x.
Når et tal sættes udenfor en parantes
Eksempel 8:
6 ⋅ x − 6 ⋅ y = 6 ⋅ ( x − y)
Her har vi udnyttet at tallet 6 optræder i begge led i udtrykket. Herefter er 6 sat udenfor en
parantes og vi skriver blot hvad der er tilbage når 6 er fjernet. Vi kan sige at vi gør det omvendte
af at gange ind i en parantes.
3
Når vi ganger 2 negative tal med hinanden
Eksempel 9:
( − 2) ⋅ (−3) = 6
Vi får altså et positivt tal når 2 negative tal ganges med hinanden. Bemærk at skrivemåden
−2 ⋅ −3 er ukorrekt, da vi ikke kan skrive ⋅ − lige efter hinanden uden nogen parantesadskillelse.
Når et positivt tal ganges med et negativt tal
Eksempel 10:
12 ⋅ ( −3) = −36
Et positivt tal gange et negativt tal giver et negativt tal. Bemærk igen den korrekte
parantesadskillelse mellem regnearterne multiplikation (⋅) og subtraktion (−).
Opgave: får vi et positivt eller et negativt tal hvis 3 negative tal ganges med hinanden?
Når vi sætter på fælles brøkstreg
Eksempel 11:
2 3 2+3 5
+ =
= =1
5 5
5
5
Vi udnytter har at 5 er nævner i begge brøker. Vi skal blot beholde 5 i nævneren og lægge de
2 tal i tælleren sammen.
Eksempel 12:
3 1 3 ⋅ 3 2 ⋅1 9 + 2 11
+ =
+
=
=
4 6 12 12
12
12
Når der som udgangspunkt ikke står samme tal i de 2 brøkers nævnere er det lidt mere
kompliceret. Vi finder det mindste tal som både 4 og 6 går op i (12) og forlænger de 2 tællere.
For eksempel skal vi gange 4 med 3 for at få 12. Derfor skal tæller også ganges med 3. 6 skal
ganges med 2 for at få 12. Derfor ganges tæller med 2.
På den måde har vi fået samme tal i begge brøkers nævnere og herefter gøres som i forrige
eksempel.
4
Når vi arbejder med potenser
Eksempel 13:
Hvis vi multiplicerer 2 tal (ganger ) skrives for eksempel 2 ⋅ 3 = 6. Men hvis nu
vi rykker 3 tallet lidt op over 2 tallet til højre ser det sådan her ud: 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8. Så er det
blevet en potensudregning. 2 kalder vi grundtallet og 3 kalder vi eksponenten.
Vi siger at grundtallet 2 er opløftet til 3.
På lommeregner → 2^3 enter = 8. TI − 30 XS er en god simpel lommeregner på C niveau.
Når vi arejder med rødder
Eksempel 14:
Beregningen 3 8 = 2 vil vi kalde for den tredje rod af 8. Her kaldes
3 rodeksponenten. På lommeregner → 3 2nd ^ 8 enter = 2. Bemærk at 23 = 8. I praksis
kan vi opfatte rødder som potenser eftersom følgende gælder:
n
a =a
( 1n )
(∗)
(1)
Opgave: tjek om ligning (∗) passer ved at lave beregninger 3 64 og 64 3 .
Den anden rod af et tal, for eksempel 2 16 er i virkeligheden bare kvadratroden af 16,
altså 16 = 4. Der er tradition for at undlade 2 tallet, så 2 16 = 16 underforstået.
Opgaver (lommeregner tilladt )
Udregn
23 ⋅ 21 =
55
=
11
10 + 12 − 3 − 1 + 4 =
9
−1 =
3
35 =
12
2176782336 =
3
125 − 2 =
100 − 82 =
5
Når vi arbejder med lommeregner
Vores lommeregner har en helt bestemt måde at udføre beregninger på. Eller den gør det i en
bestemt rækkefølge. Den følger regnearternes hierarki:
1) Potenser/rødder
2) Multiplikation/division → gange/dividere
3) Addition/subtraktion → lægge sammen/trække fra
Eksempel 15:
Vi vil gerne udregne 2 + 32 på lommeregner → 2 + 3 ^ 2 enter = 11. I dette
tilfælde skal lommeregner udregne en potens (32 ) og en addition (+ ). Da potenser er rangeret
højere end addition i hierarkiet vil lommeregne først udregne 32 = 9 og derefter beregne
2 + 9 = 11. Parenteser kan indsættes i et regnestykke for at bede lommeregner om at se bort
fra hierarkiet. På den måde bliver udregningen (2 + 3) 2 noget helt andet. Her vil lommeregner
udregne parantesen 2 + 3 = 5 og derefter udregne 52 = 25, som jo er et andet resultat end uden
parantes.
110 − 20
på lommeregner. Vi vil nu indtaste
35 − 5
regnestykket på lommeregner → 110 − 20 ÷ 35 − 5 enter = 104, 4285714. Men det er forkert.
Da division er rangeret højere end subtraktion i hierarkiet har lommeregner først udregnet
Eksempel 16:
Vi vil gerne beregne brøkken
20 ÷ 35 = 0,571428571 og derefter beregnet 110 − 0,571428571 − 5 = 104, 4285714.
Lommeregnerteknisk er det derfor vigtigt at omslutte tæller og nævner med paranteser når der
er flere led i tæller og nævner.
Korrekt på lommeregner → (110 − 20) ÷ (35 − 5) enter = 3, som er det rigtige resutat.
Eksempel 17: Vi vil gerne udregne potensen 26−3 på lommerregner. Da eksponenten har
2 led er det igen vigtigt med en parantes om eksponenten → 2^(6 − 3) enter = 8.
For at minimere risikoen for lommeregnerfejl vil det være hensigtmæssigt at opskrive
(110 − 20)
regnestykker med paranteser →
og 2(6−3) og på den måde minde sig selv om
(35 − 5)
vigtigheden af at indtaste dem på lommeregner når regnestykker udregnes.
6
Når vi skal være præcise
Eksempel 18:
Lad os sige vi skal lave beregningen x = 5 − 2 og derefter beregne
y = 2, 24356 + x. På den måde bliver udregningen af x en slags mellemregning inden
vi udregner y.
Vi udregner x på lommeregner → 5 − 2 = 3,585786438 ( = x).
Nu kan y beregnes → 2, 24356 + 3,5 = 5,74356
Problemet her er at vi ikke bruger alle decimaler (x) i vores videre beregning. Vi har bare
medtaget den første decimal.
Den korrekte beregning af y → 2, 24356 + 3,585786438 = 5,829346438.
Ved at forkorte mellemregninger får vi altså et upræcist resultat og jo flere mellemregninger
der forkortes i en række af videre beregninger, jo mere upræcist facit kan vi ende op med.
I praktis har en konkret matematikopgave en række mellemregninger inden det færdige
facit dobbeltunderstreges, så det er en god ide hele tiden at bruge alle decimaler i
videre beregninger.
De fleste lommeregnere har en "STO" funktion der kan gemme alle decimaler i en beregning,
men hvordan det gøres afhænger lidt af lommeregnermodel. Alternativt kan alle decimaler
blot nedskrives på papir så de ikke glemmes i videre beregninger.
Det endelige "facit" kan godt angives upræcist med en til to decimaler. For eksempel kan
y = 5,829346438 facit fra før angives:
→ med en decimal y = 5,8
→ med to decimaler y = 5,83 (fordi tredje decimal er større eller lig 5).
7
Løsning af ligninger:
Når vi løser ligninger , f.eks. 3x + 7 = 25, er det med henblik på at isolere x, således at
ligningen er sand for netop de fundne x værdier. Nogen gange er der mere end en løsning
til en ligning, andre gange er der slet ingen løsning.
Der er 2 løsninger til ligningen x 2 = 4, nemlig løsningerne x = 2 og x = −2.
Ligningen x 2 = −2 har derimod ingen løsninger (da et tal i anden potens ikke kan blive negativt).
Når vi løser en ligning ved at manipulere, er det som at spille et spil med nogle givne regler.
Ligningens sandhedsværdi ændres ikke når vi bruger gyldige regler.
Det er tilladt at addere (+ ), subtrahere ( −), multiplicere (⋅) og dividere (÷) med et
hvilket som helt tal på begge sider af lighedstegnet. Dog er det ikke tilladt at multiplicere
eller dividere med 0 på begge sider af et lighedstegn. Lad os løse 3 x + 7 = 25 ved simpel
ligningsmanipulation:
3x + 7 = 25
3 x = 18
x=6
( − 7 på begge sider)
(dividere med 3 begge sider)
(x er nu isoleret og ligningen er løst )
Denne ligning har altså netop en løsning, nemlig 6. Vi kan altid tjekke bagefter:
3 ⋅ 6 + 7 = 25 (det passer!)
Når vi skal manipulere ligninger mere avanceret , kan vi også bruge potenser og
logaritmefunktionen, som vi skal se senere.
8
Nogle simple og nyttige ligningsløsningsregler
Vi vil gerne løse ligningen
3=
x
12
Når et tal er lig en brøk og x er ubekendt i brøkens tæller, skal vi blot gange tallet
med brøkkens nævner → x = 3 ⋅12 = 36
Vi vil gerne løse ligningen
10 =
110
x
Når et tal er lig en brøk og x er ubekendt i brøkens nævner, skal vi blot bytte om på
tallet og x → x =
110
= 11
10
Vi vil gerne løse ligningen
2 x
=
3 12
Når en brøk er lig en brøk kan vi altid ophæve brøkstreger ved at bruge
"gange over kryds / kors reglen"
→ 2 ⋅12 = 3x
24 = 3 x (bytte rundt på venstre/højre side)
3 x = 24 (divider med 3 på begge sider)
x =8
De ovennævnte regler er især nyttige når vi når til geometri og indekstal.
9
Når er er paranteser i en ligning
3( x − 2) + 7 = 25
Vi vil gerne løse ligningen
(gange ind i parantes)
3x − 6 + 7 = 25 (slå tal sammen på venstre side)
3x + 1 = 25 (trække 1 fra på begge sider)
3x = 24
x =8
(dividere med 3 på begge sider)
Når der er potenser i en ligning
x3 = 27
Vi vil gerne løse ligningen
Her har vi en ligning med en potens, hvor den ubekendte variabel x er grundtal og tallet 3
eksponenten i potensen x3 . Nu vil vi udnytte en potensregneregel:
Reglen er → (23 ) 4 = 2(3⋅4) = 212 = 4096.
x3 = 27
(x3 )
( 13 )
= 27
(opløfte til ( 13 ) på begge sider)
( 13 )
x = 27
Vi vil gerne løse ligningen
( 13 )
(bruge potensregneregel)
= 3 (tjek 33 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27)
3x = 28 (x må her være lidt større end 3. Hvorfor?)
Her har vi en ligning hvor den ubekendte variabel x er eksponent og 3 grundtallet i
beregningen 3x . Nu vil vi udnytte en regneregel for logaritmer:
Reglen er → log(23 ) = 3 ⋅ log(2) (vi kan altså trække eksponenten 3 ud foran log)
3x = 28
log(3 ) = log(28)
x ⋅ log(3) = log(28)
x
x=
(logaritmen på begge sider)
(bruger regneregel for logaritmer)
(divider med log(3) på begge sider)
log(28)
= 3,033103256 (x var lidt større end 3)
log(3)
10
Procentregning:
Procentregning er slet ikke så vanskeligt, når blot vi lærer visse grundlæggende principper.
Vi kan dele procentregningen op i flere tilfælde :
Tilfælde 1) hvor mange procent udgør et tal af et andet tal ?
f.eks. hvor mange procent udgør 3 af 11? Udregnes således:
3
⋅100% = 27,3%
11
Tilfælde 2) Hvilken fremskrivningsfaktor a skal vi gange et tal B med, så B stiger p%?
F.eks. hvilken fremskrivningsfaktor a skal vi gange 20 med, så 20 stiger 15%?
Her skal vi sige: 20 ⋅ (1 +
15
) = 20 ⋅ 1,15 = 23 (20 stiger til 23 = ↑ 15%)
100
Altså når vi ganger 20 med en fremskrivningsfaktor a = 1,15 vil tallet 20 stige til 23
og det svarer til en stigning på 15%.
Tilfælde 3) Hvilken fremskrivningsfaktor a skal vi gange et tal B med, så B falder p %?
F.eks. hvilken fremskrivningsfaktor a skal vi gange 20 med, så 20 falder 30%?
Her skal vi sige: 20 ⋅ (1 −
30
) = 20 ⋅ 0,70 = 14 (20 falder til 14 = ↓ 30%)
100
Altså når vi ganger 20 med en fremskrivningsfaktor a = 0,70 vil tallet 20 falde til 14
og det svarer til et fald på 30%.
De sidste tilfælde giver en tydelig sammenhæng mellem en fremskrivningsfaktor a
og ændringer i procent, som det vil fremgå af næste side.
11
Fremskrivningsfaktor a og ændringer i procent:
Fra procentændring → fremskrivningsfaktor a
Det fremgår af eksempler på forrige side. Her er endnu et eksempel. Vi ønsker at tallet
40 skal stige 35%. Her er procentændringen givet = 35%. Nu kan vi omregne
procentændringen (35%) til fremskrivningsfaktor a ved at benytte formlen:
Fremskrivningsfaktor a = 1 +
procentændringen
35
= 1+
= 1,35
100
100
(∗)
Altså fremskrivningsfaktor a = 1, 35. Vi skal altså blot sige 40 ⋅ 1, 35 = 54.
Konklusion: når tallet 40 stiger 35% svarer det til at gange med
fremskrivningsfaktoren a = 1, 35.
Fra fremskrivningsfaktor a → procentændring
Her gør vi det modsatte af fomel (∗) ovenover. I stedet for at lægge 1 til og dividere
med 100, trækkes der 1 fra og ganges med 100.
Eksempel.
Vi ganger tallet 65 med fremskrivningsfaktoren a = 1,45 → 65 ⋅ 1,45 = 94, 25.
Tallet 65 stiger altså til 94,25 når vi ganger med fremskrivningsfaktoren a = 1,45.
Hvad svarer det til i procentstigning? Her bruger vi formlen:
Procentændringen = (fremskrivningsfaktor a − 1) ⋅100% = (1, 45 − 1) ⋅100% = 45%
( ∗∗)
Konklusion: når tallet 65 ganges med fremskrivningsfaktoren a = 1,45 svarer det til
at 65 stiger 45%.
12
Tilfælde 4) En begyndelsesværdi B falder/stiger til en slutværdi S,
hvad svarer det til i relativ vækst ?
A) Relativ stigning: tallet 20 stiger til tallet 25, hvad er den relative stigning i procent ?
Vi udregner den relative stigning i procent således:
S 
 25 
 − 1 ⋅100% =  − 1 ⋅100% = 25 %
B 
 20 
Altså når 20 stiger til 25 svarer det til en relativ stigning på 25 %
B) Relativt fald: tallet 30 falder til tallet 20, hvad er det relative fald i procent ?
Vi udregner det relative fald efter samme opskrift som før:
S 
 20 
 − 1 ⋅100% =  − 1 ⋅100% = −33,3%
B 
 30 
Altså når 30 falder til 20 svarer det til et relativt fald på − 33,3%
Absolut og relativ vækst:
Tilfælde 4 kaldes relativ vækst i procent, som vi har set er positiv hvis slutværdien S
er større end begyndelsesværdien B og negativ hvis slutværdien er mindre.
S 
I begge tilfælde bruges formlen:  − 1 ⋅100%
B 
Absolut vækst er blot forskellen mellem slutværdi og begyndelsesværdi (S − B).
Tilfælde A) giver absolut stigning på 5 og tilfælde B) giver absolut fald på − 10.
13
Rentesregning:
Kapitalfremskrivningsformlen (renteformlen) ser således ud:
K n = K 0 ⋅ (1 + r ) n
K 0 : startkapitalen
K n : slutkapitalen
r : rentefoden eller vækstraten
n : antal terminer
Hvis der f.eks. indsættes 10000 kroner på en opsparingskonto med en årlig rente
5
= 0,05
på 5%, vil beløbet vokse i løbet af 7 år. Først findes rentefoden r =
100
Nu bruger vi formlen direkte:
K 7 = 10000 ⋅ (1 + 0, 05)7 = 10000 ⋅ (1,05)7 = 14071 kroner på konto efter 7 år.
Dette kaldes at fremskrive en kapital. Der fremskrives altid et helt antal terminer n.
Lad os se formlen igen (isolere K 0 ):
K n = K 0 ⋅ (1 + r ) n (divider med (1 + r ) n på begge sider)
Kn
(1 + r )n
Hvis f.eks. et beløb på 10 år er vokset til 20000 på en opsparingskonto med en
K0 =
årlig rente på 5%, så kan vi bruge formlen til at finde startkapitalen K 0 :
K0 =
20000
20000
=
= 12278,3
10
(1 + 0,05)
(1,05)10
Dette kaldes at tilbageskrive en kapital.
14
Lad os se på formlen igen (isolere r ):
K n = K 0 ⋅ (1 + r ) n (divider med K 0 på begge sider)
(1 + r ) n =
1+ r =
r=
Kn
K0
(opløfte til
( )
( − 1 på begge sider)
1
Kn ( n )
K0
( )
1
Kn ( n )
K0
1
n
på begge sider)
−1
Hvis f.eks. en startkapital på 5000 kr er vokset til en slutkapital på 15000 kr i
løbet af 4 år på en opsparingskonto, så kan vi finde den årlige rentefod:
r = ( 15000
5000 )
( 14 )
− 1 = ( 155 )
( 14 )
(1)
− 1 = 3 4 − 1 = 0,316.....
Denne rentefod svarer så til en årlig rente på 31,6% (gang r med 100%).
Ovenover så vi manipulation af ligning ved hjælp af potenser.
15
Lad os endnu engang se på renteformlen (isolere n):
K n = K 0 ⋅ (1 + r ) n (divider med K 0 på begge sider)
(1 + r ) n =
Kn
K0
(logaritmen på begge sider)
K 
log ( (1 + r ) n ) = log  n 
 K0 
(regneregel for logaritmer)
K 
n ⋅ log (1 + r ) = log  n 
 K0 
(divider med log ( (1 + r ) ) på begge sider)
K 
log  n 
 K0 
n=
log (1 + r )
(∗)
Eksempel :
en startkapital på K 0 = 4000,- kr vokser til det dobbelte på en opsparingskonto,
med en årlig rente på 5%, altså K n = 8000,- kr.
 8000 
log 

log(2)
4000 

Vi udregner nu: n =
=
= 14, 2066....
log (1 + 0, 05 ) log(1,05)
Men da n jo kun er defineret for hele positive tal, runder vi op til nærmeste hele tal ,
dvs. efter n = 15 år er kapitalen fordoblet.
16
Lineær sammenhæng:
2 variable x og y siges at følge en lineær sammenhæng , hvis de 2 variable kan opskrives
i ligningen:
y = ax + b (a og b kan være alle tal)
Når ( x, y ) data hentes fra virkeligheden, f.eks. fra fysik eller biologi, siges ofte at ( x, y )
tilnærmelsesvist ligger på en ret linje i et koordinatsystem, og ikke fuldstændigt præcist
på en ret linje som perler på en lige snor. I et koordinatsystem er det normalt at vi har x på
den vandrette akse og y på den lodrette akse.
Figur 1 skulle netop forestille et forsøg i fysik,
y = 0,5 ⋅ x + 2
y
hvor ( x, y ) data er plottet i et koordinatsystem (cirklerne).
Det betyder at den lineære sammenhæng kan bruges
til med tilnærmelse af beskrive fænomener i virkelighedens verden,
dvs. som matematisk model.
Figur 1
x
I matematikkens verden er en lineær sammenhæng præcist en ret linje i et koordinatsystem.
a kaldes hældningskoefficienten eller stigningstallet og b er linjens skæringspunkt med
y aksen.
Hældningskoefficienten a siger hvor meget y værdien ændres (dvs. stiger eller falder),
når x øges med 1.
Hvis 2 punkter ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) ligger på en lineær sammenhæng har vi denne formel:
a=
( y2 − y1 )
( x2 − x1 )
Eksempel) vi kender punkterne ( x1 , y1 ) = (1,3) og ( x2 , y2 ) = (5,6) og finder a :
a=
( y2 − y1 ) (6 − 3) 3
=
= = 0, 75
( x2 − x1 ) (5 − 1) 4
Altså den lineære sammenhæng kan nu skrives: y = 0,75 x + b
Nu skal vi blot finde b og nu sætter vi bare et af de kendte punker ind i ligningen,
f.eks. (1,3) :
3 = 0,75 + b ( − 0,75 på begge sider)
b = 3 − 0, 75 = 2, 25
Altså y = 0, 75 x + 2, 25 er den rette linjes ligning gennem punkterne (1,3) og (5,6).
17
Lad os igen se på ligningen for en lineær sammenhæng:
y = ax + b
ax = y − b
x=
( − b på begge sider)
(divider med a på begge sider)
( y − b)
(formel (∗) til at finde x når y er kendt)
a
Eksempel) vi har denne lineære sammenhæng:
y = −2 x + 10 (her er a = −2 og b = 10)
Spørgsmål : hvad er x når y = 50 ?
Vi bruger blot formlen (∗) ovenover:
x=
( y − b) (50 − 10) 40
=
=
= −20
a
−2
−2
Vi kan altid tjekke om det passer:
50 = −2 ⋅ (−20) + 10
(det passer!)
18
Potenssammenhæng:
2 variable x og y siges at følge en potenssammenhæng hvis de 2 variable kan opskrives
i ligningen:
y = b ⋅ x a (b > 0, a vilkårlig)
En potenssammenhæng er ikke nogen ret linje i et almindeligt koordinatsystem, men
en voksende eller aftagende buet graf (se figur 7 side 46).
Til gengæld er en potenssammenhæng præcis en ret linje på dobbeltlogaritmisk
papir. Det betyder at data (x, y ) fra den virkelige verden med tilnærmelse
er en potenssammenhæng, hvis data med tilnærmelse følger en ret linje på
dobbeltlogaritmisk papir.
Hvis 2 punkter ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) ligger på en potenssammenhæng har vi formlen:
y 
log  2 
 y1 
a=
x 
log  2 
 x1 
Eksempel) vi kender punkterne ( x1 , y1 ) = (5,100) og ( x2 , y2 ) = (50,10) og finder a :
y 
log  2  log  10 
 y1  =
 100  = −1
a=
x 
 50 
log  2  log  
 5 
 x1 
Altså potenssammenhængen kan nu skrives: y = b ⋅ x −1
Nu skal vi blot finde b og nu sætter vi bare et af de kendte punker ind i ligningen,
f.eks. (5,100) :
100 = b ⋅ 5−1 (divider med 5−1 på begge sider)
b=
100
= 500
5−1
Altså y = 500 ⋅ x −1 er ligningen for potenssammenhængen
gennem punkterne (5,100) og (50,10).
19
Lad os igen se på ligningen for en potenssammenhæng:
y = b ⋅ xa
y
xa =
b
 y
x= 
b
( 1a )
(divider med b på begge sider)
(opløfte til
1
a
på begge sider)
(formel ( ∗∗) til at finde x når y er kendt)
Eksempel) vi har denne potenssammenhæng:
y = 5 ⋅ x −2 (her er a = −2 og b = 5)
Spørgsmål : hvad er x når y = 20 ?
Vi bruger blot formlen ( ∗∗) ovenover:
 y
x= 
b
( 1a )
 20 
= 
 5 
( −12 )
=4
( − 12 )
= 0,5
Vi kan altid tjekke om det passer:
20 = 5 ⋅ (0,5) −2
(det passer!)
Når x ændres med en faktor k , vil y ændre sig med en faktor k a .
Procentregning har lært os, at det at gange med en faktor, svarer til en bestemt procent ændring.
Eksempel) se på potenssammenhængen y = 2 ⋅ x3 (b = 2 og a = 3, voksende)
Vi lader nu x vokse med en faktor k = 1,10 (hvilket jo betyder at x vokser med 10%).
Så vil y ændre sig med en faktor k a = 1,103 = 1,331 (hvilket jo betyder at y vokser med 33,1%).
a


p 
Følgende formel gælder:  1 +
− 1 ⋅100%, og er det antal procent y ændrer sig hvis

  100 



x vokser p % (B).
I eksemplet ovenover vokser x med p% = 10%, som derefter indsættes i formlen:
3


10 
3
y ændrer sig med:   1 +
− 1 ⋅100% = (1,10 ) − 1 ⋅100% = 33,1%

  100 



Opgave: med hvor mange procent skal x vokse, hvis y skal ændre sig med 40%?
(
)
20
Eksponentiel udvikling:
2 variable x og y siges at følge en eksponentiel udvikling , hvis de 2 variable kan opskrives
i ligningen:
y = b ⋅ a x (a > 0, b > 0)
En eksponentiel udvikling er ikke nogen ret linje i et almindeligt koordinatsystem, men
en voksende eller aftagende buet graf (se figur 8 side 48).
Til gengæld er en eksponentiel udvikling præcis en ret linje på enkeltlogaritmisk
papir. Det betyder at data (x, y ) fra den virkelige verden med tilnærmelse
er en eksponentiel udvikling, hvis data med tilnærmelse følger en ret linje på
enkeltlogaritmisk papir.
a kaldes fremskrivningsfaktoren og b er skæringen med y aksen (begyndelsesværdien).
Hvis 2 punkter ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) ligger på en eksponentiel udvikling har vi formlen:
y 
a= 2 
 y1 
1
)
2 − x1
(x
Eksempel) vi kender punkterne ( x1 , y1 ) = (2, 4) og ( x2 , y2 ) = (4,16) og finder a :
y 
a= 2 
 y1 
1
)
2 − x1
(x
 16 
= 
 4
( 4 1− 2 )
=4
( 12 )
=2
Altså den eksponentielle udvikling kan nu skrives: y = b ⋅ 2 x
Nu skal vi blot finde b og nu sætter vi bare et af de kendte punker ind i ligningen,
f.eks. (2, 4) :
4 = b ⋅ 22 (divider med 22 på begge sider)
4
b = 2 =1
2
Altså y = 2 x er ligningen for den eksponentielle udvikling
gennem punkterne (2, 4) og (4,16).
21
Lad os igen se på ligningen for en eksponentiel udvikling:
y = b ⋅ ax
y
ax =
b
 y
log ( a x ) = log  
b
 y
x ⋅ log(a) = log  
b
(divider med b på begge sider)
(logaritmen på begge sider)
(brug regneregel for logaritmen)
(divider med log(a ) på begge sider)
 y
log  
b
x=
log(a )
(formel ( ∗∗∗) til at finde x når y er kendt)
Eksempel) vi har denne eksponentielle udvikling:
y = 8 ⋅1, 2 x
(her er a = 1, 2 og b = 8)
Spørgsmål : hvad er x når y = 100 ?
Vi bruger blot formlen ( ∗∗∗) ovenover:
 y
 100 
log   log 

b
8 


x=
=
= 13,85
log(a)
log(1,2)
Vi kan altid tjekke om det passer:
100 = 8 ⋅1, 213,85
(det passer!)
En eksponentiel udvikling er voksende når a er større end 1 og aftagende
når a er mellem 0 og 1.
22
For en eksponentiel udvikling (y = b ⋅ a x ) gælder der:
Hvis den er voksende (dvs. fremskrivningsfaktoren a er større end 1), kan vi
log(2)
tale om fordoblingskonstanten:
T2 =
log(a )
Eksempel) se på den eksponentielle udvikling y = 2 ⋅1,3x (b = 2 og a = 1,3)
Vi udregner fordoblingskonstanten T2 =
log(2) log(2)
=
= 2, 6
log(a ) log(1,3)
Det betyder, at hvis x vokser med T2 = 2,6 så vil y fordobles.
Hvis den er aftagende (dvs. a er mellem 0 og 1), kan vi
tale om halveringskonstanten:
T½ =
log(½)
log(a)
Eksempel) se på den eksponentielle udvikling y = 2 ⋅ 0,8x (b = 2 og a = 0,8)
Vi udregner halveringskonstanten T½ =
log(½) log(½)
=
= 3,1
log(a ) log(0,8)
Det betyder, at hvis x vokser med T½ = 3,1 så vil y halveres.
For eksponentielle udviklinger gælder der noget særligt, når x vokser med 1.
Der gælder nemlig at y vil ændre sig med samme procentværdi, hver gang
x vokser med 1. Denne procentværdi findes således: (a − 1) ⋅100%
Eksempel) se igen på den eksponentielle udvikling y = 2 ⋅1,3x (b = 2 og a = 1,3)
y ændrer sig altså med (1,3 − 1) ⋅100% = 30% når x vokser med 1.
Dette stemmer godt overens med at udviklingen er voksende.
Eksempel) se igen på den eksponentielle udvikling y = 2 ⋅ 0,8 x (b = 2 og a = 0,8)
y ændrer sig altså med (0,8 − 1) ⋅100% = −20% når x vokser med 1.
Dette stemmer godt overens med at udviklingen er aftagende.
23
Deskriptiv statistik, grupperede observationer:
vægt (g)
]140,150] ]150,160] ]160,170] ]170,180] ]180,190] ]190, 200] ]200, 210]
hyppighed
12
48
102
175
92
57
14
frekvens
( %)
2,4
9,6
20,4
35
18,4
11,4
2,8
kumuleret
frekvens
(%)
2,4
12
32,4
67,4
85,8
97,2
100
Tabel 1. Statistiske deskriptorer. N = 500 er observationssættets størrelse.
500 = 12 + 48 + 102 + 175 + 92 + 57 + 14 æbler er blevet vejet. Tabel 1 viser hvordan æblernes
vægt i gram fordeler sig på forskellige vægtintervaller, hyppigheden, dvs. hvor mange æbler der
havde en vægt indenfor det givne interval. Dette er karakteristisk for grupperede observationer,
at vi interesserer os for hvor mange observationer, der forekommer i givne intervaller.
I dette tilfælde er observationssættets størrelse N = 500, fordi 500 æbler er undersøgt.
hyppighed
⋅100%
For at udregne frekvensen i % bruges denne formel:
N
12
Frekvensen for det første interval:
⋅100% = 2, 4%
500
48
Frekvensen for det andet interval:
⋅100% = 9,6% osv. for de andre intervaller.
500
For at beregne kumuleret frekvens for et interval, skal vi blot summere alle frekvenser for
intervaller til og med det givne interval, f.eks. er kumuleret frekvens for intervallet
]170,180] lig med 2,4% + 9, 6% + 20, 4% + 35% = 67, 4%
I dette eksempel kender vi observationssættets størrelse og vi kender hyppighederne,
så kan vi beregne observationssættets middelværdi M således:
M=
(12 ⋅145 + 48 ⋅155 + 102 ⋅165 + 175 ⋅175 + 92 ⋅185 + 57 ⋅195 + 14 ⋅ 205)
= 175, 3
500
Her har vi brugt alle interval-midtpunkter og hyppigheder.
24
vægt (g)
frekvens
( %)
]140,150] ]150,160] ]160,170] ]170,180] ]180,190] ]190, 200] ]200, 210]
2,4
9,6
20,4
35
18,4
11,4
2,8
Tabel 2. Vi kan bruge frekvenserne til at beregne middeltallet.
Kan vi beregne middelværdien M hvis vi kun kender intervallerne og frekvenserne som i tabel 2 ?
Ja! vi ganger alle frekvenserne med interval-midtpunkter og dividerer til sidst med 100:
M=
(2, 4 ⋅145 + 9,6 ⋅155 + 20, 4 ⋅165 + 35 ⋅175 + 18, 4 ⋅185 + 11, 4 ⋅195 + 2,8 ⋅ 205)
= 175, 3
100
Altså samme resultat som på forrige side. For at beregne middelværdien M, er det altså
nok at kende intervallerne og frekvenserne.
Typeinterval: når alle intervaller er lige store som i dette tilfælde med æbler,
er typeintervallet blot det interval med den største frekvens, altså
intervallet ]170,180]. Hvis ikke alle intervaller er lige store, skal
typeintervallet findes på anden måde. Dette vil jeg komme ind på
i undervisningen.
25
Kumuleret frekvens (%)
100
×
×
×
×
Sumkurve
(æble undersøgelsen)
50
×
×
×
Figur 2
×
150
160
170
180
190
200
210
observation
(vægt i gram)
Når vi skal tegne en sumkurve for et grupperet observationssæt, skal vi afsætte en række punkter
( x, y ) i et koordinatsystem, hvor vi på x − aksen har observationerne og på y − aksen kumuleret
frekvens.
Punkterne afsættes efter opskriften:
(1. intervals venstre endepunkt, 0)
(1. intervals højre endepunkt, kumuleret frekvens)
(2. intervals højre endepunkt, kumuleret frekvens)
osv. osv...
(sidste intervals højre endepunkt, 100)
Ser vi på tabel 1 skal vi altså afsætte punkterne:
(140, 0)
(150, 2.4)
(160, 12)
(170, 32.4)
(180, 67.4)
(190, 85.8)
(200, 97.2)
(210, 100)
26
Kumuleret frekvens (%)
100
×
×
×
75
×
Sumkurve
(æble undersøgelsen)
50
×
25
×
×
Figur 3
×
150
160
170
180
190
200
210
observation
(vægt i gram)
Når disse punkter er afsæt i koordinatsystemet, er det vigtigt at bruge en lineal til at tegne
en ret linje mellem de afsatte punkter, som vist ovenover.
Når først sumkurven er tegnet, er det ligetil at aflæse kvartilsættet, dvs. 25%, 50%
og 75% fraktilerne. Her er det også vigtigt at bruge lineal og tegne præcise vandrette og
lodrette linjer. 25% fraktilen findes ved at tegne en vandret linje fra 25% på y − aksen,
hen til sumkurven og derfra lodret ned til x − aksen. På x − aksen aflæser vi
25% fraktilen til 166, 50% fraktilen til 175 og 75% fraktilen til 184.
75% fraktilen siger altså, at 75% af æblerne havde en vægt der var mindre eller lig
med 184 gram (kaldes også øvre kvartil ).
50% fraktilen siger altså, at 50% af æblerne havde en vægt der var mindre eller lig
med 175 gram (kaldes også medianen).
25% fraktilen siger altså, at 25% af æblerne havde en vægt der var mindre eller lig
med 166 gram (kaldes også nedre kvartil ).
27
Frekvens (%)
Typeintervallet findes altid som
den højeste kasse på et histogram
40
30
Histogram
(æble undersøgelsen)
20
10
Figur 4
150
160
170
180
190
200
210
observation
(vægt i gram)
Når vi skal tegne et histogram for et grupperet observationssæt, skal vi tegne nogle kasser
i et koordinatsystem, hvor vi på x − aksen har observationerne og på y − aksen frekvensen
i % (dette gælder kun hvis alle intervaller er lige store. Hvis ikke intervallerne er lige store
vil jeg komme ind på i undervisningen, hvordan histogram så laves).
For at tegne histogram, har vi tegnet kasser der er ligeså brede som intervallerne og
ligeså høje som de enkelte intervallers frekvenser i % (se tabel 1).
Opsummering: for grupperede observationer har vi følgende centrale begreber:
interval, intervalhyppighed, intervalfrekvens, kumuleret frekvens,
middelværdi, typeinterval, histogram, sumkurve og kvartilsættet.
Kvartilsættet aflæses på sumkurve. Det er vigtigt selv at aflæse
kvartilsættet og ikke bare overlade det til læseren.
28
Deskriptiv statistik, ikke – grupperede observationer:
Her er en rodebutik af tal:
7 4 7 7 12 7 7 4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 2 7 10 10 4 10 10 2 2
Det er 26 elevers karakterer ved en eksamen. Når statistikken er ikke − grupperet, samler vi
ikke observationerne i intervaller; vi tæller blot hvor mange gange den samme observation optræder,
altså hyppigheden af observationen.
karakterer
2
4
7
10
12
hyppighed
3
6
12
4
1
frekvens
(%)
11,5
23,1
46,2
15,4
3,8
Tabel 3. Statistiske deskriptorer. N = 26 er observationssættets størrelse.
Middeltallet M kan nu findes:
M=
(2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 6 + 7 ⋅ 12 + 10 ⋅ 4 + 12 ⋅ 1)
= 6,4
26
Her har vi brugt alle hyppighederne.
Til sidst divideres med observationssættets størrelse N = 26.
Vi kunne også beregne middeltallet, blot ved at bruge frekvenserne og til sidst dividre med 100:
M=
(2 ⋅ 11,5 + 4 ⋅ 23,1 + 7 ⋅ 46, 2 + 10 ⋅ 15,4 + 12 ⋅ 3,8)
= 6, 4
100
Det betyder at middeltallet sagtens kan beregnes, selvom der i en opgave kun er oplyst
observationerne, samt deres frekvenser i procent.
Typetallet = 7, da karakteren 7 har den største hyppighed.
29
hyppighed
Typetallet findes altid som den
højeste stolpe på et stolpediagram.
16
12
Stolpediagram
8
4
Figur 5
2
4
6
8
10
12
observation
(karakter)
Et stolpediagram er velegnet til at danne sig et grafisk overblik over et talmateriale.
30
Vi vil gerne finde kvartilsættet. Oplist de 26 karakterer i en stigende rækkefølge :
2 2 2 4 4 4 4 4 4 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 10 10 10 10 12
Efter som antallet af karakterer er lige kan vi ikke pege på et tal præcis i midten, men vi
kan dele listen i 2 lige dele som vist med kasser (13 tal i hver). Nu finder vi tallet midt
mellem det sidste tal i første kasse (7) og første tal i sidste kasse (7). Tallet mellem 7 og 7
må være 7. Derfor er medianen m = 7.
For at finde nedre kvartil finder vi blot første kasses median og eftersom første kasse har
et ulige antal tal kan vi pege på et tal i midten:
2 2 2 4 4 4 4 4 4 7 7 7 7 (første kasse). Derfor er Q1 = 4.
For at finde øvre kvartil finder vi blot anden kasses median:
7 7 7 7 7 7 7 7 10 10 10 10 12 (anden kasse). Derfor er Q3 = 7
Lad os se et eksempel med ulige antal observationer (7):
Stigenede rækkefølge → 2 4 6 10 11 13 18
Tallet præcis i midten er 10, så medianen m = 10. Medianen for første kasse er 4, så Q1 = 4.
Medianen for sidste kasse er 13, så Q3 = 13. Bemærk hvordan der ses bort fra tallet præcis
i midten når de 2 kasser laves for ulige antal observationer. Lommeregner TI - 30XS kan
hurtigt beregne kvartilsættet for ikke − grupperede observationssæt.
m = Q3
min
max
Q1
Boksplot
(de 26
karakterer)
observation
(karakter)
Figur 6. Når vi kender øvre/nedre kvartil, medianen, mindste og største
observation, kan vi tegne et boksplot. I eksemplet er medianen lig
med øvre kvartil. Dette kunne aldrig ske for grupperede observationer.
2
4
6
8
10
12
31
Pythagoras læresætning:
?
Pythagoras læresætning gælder kun for retvinklede trekanter, altså hvor en
af vinklerne er 900 . Sætningen siger at hypotenusen i anden er lig den ene katete
i anden plus den anden katete i anden. Så hvis vi kender 2 af de 3 sider i en retvinklet
trekant, kan vi beregne den sidste ved at udnytte Pythagoras læresætning.
Hvis vi f.eks. gerne vil beregne kateten b på figuren gør vi således:
32 + b 2 = 52
(Pythagoras læresætning)
9 + b 2 = 25
( − 9 på begge sider)
b = 16
2
(kvadratrod på begge sider)
b=4
Vi har altså brugt Pythagoras sætning til at beregne, at kateten b har længden 4.
Hypotenuse og katete er kun noget vi kalder siderne i retvinklede trekanter.
Den længste side i en retvinklet trekant er altid hypotenusen, men de 2 andre sider
altid kaldes kateter.
Arealet af en vilkårlig trekant:
Arealet af en trekant er en halv højde gange grundlinjen. Hvis vi lader T angive
arealet af trekanten ovenover har vi:
T = ½ ⋅ h ⋅ AB , hvor AB angiver længden af linjestykket AB (grundlinjen)
Hvis trekanten er retvinklet er trekantens areal T = ½ ⋅ katete1 ⋅ katete 2 (hvorfor?)
Summen af de 3 vinkler i en trekant er altid 1800 .
32
Trigonometri (retvinklede trekanter)
Vinkel B`s hosliggende katete
Vinkel A`s modstående katete
Vinkel A`s hosliggende katete
Vinkel B`s modstående katete
Sinus, cosinus og tangensformlerne gælder kun for de 2 spidse vinkler i en retvinklet
trekant, altså vinkel A og B på figuren ovenover.
For vinkel A ser formlerne således ud:
cos A =
A`s hosliggende katete
hypotenusen
sin A =
A`s modstående katete
hypotenusen
tan A =
A`s modstående katete
A`s hosliggende katete
(Disse formler vil vi ikke bevise)
For vinkel B ser formlerne ud på samme måde, blot skal alle A`er i formlerne
erstattes af B`er.
På næste side er der eksempler på anvendelse af formlerne.
33
15
400
3 eksempler :
Vinkel A = 400 og hypotenusen c = 15.
Beregn vinkel A`s modstående katete a :
Her vil det være oplagt at benytte sinusformlen:
sin 400 =
A`s modstående katete a
= , dvs. a = sin 400 ⋅15 = 9,6
hypotenusen
15
Beregn vinkel A`s hosliggende katete b :
Her vil det være oplagt at benytte cosinusformlen:
cos 400 =
A`s hosliggende katete b
= , dvs. b = cos 400 ⋅15 = 11,5
hypotenusen
15
Bemærkning: det er vigtigt at lommeregneren er indstillet til "DEG",
når sinus, cosinus og tangensformlerne bruges
34
B
5
11
Vinkel B`s modstående katete er 11.
Vinkel B`s hosliggende katete er 5.
Beregn vinkel B :
Her vil det være oplagt at benytte tangensformlen:
tan B =
B`s modstående katete 11
=
B`s hosliggende katete 5
 11 
Men så er vinklen B = tan −1   = 65,60
5
35
Trigonometri (vilkårlige trekanter)
B
Sinusrelationen:
Trekant 1
49,50
sin A sin B sin C
=
=
a
b
c
a = 6, 4
På trekant 1 kendes to vinkler (A og B) og en side (a).
Nu kan sinusrelationen bruges til at beregne siden b :
A
63,20
sin A sin B
=
(herefter indsættes de kendte størrelser)
a
b
sin 63, 20 sin 49,50
=
(nu bruges "gange over kryds" reglen)
6, 4
b
C
b
sin 63, 20 ⋅ b = 6, 4 ⋅ sin 49,50 (nu divideres med sin 63, 20 på begge sider)
6, 4 ⋅ sin 49,50
b=
= 5, 45
sin 63, 20
På trekant 2 kendes to sider (a og b) og en vinkel (B).
Nu kan sinusrelationen bruges til at beregne vinklen A :
sin A sin B
=
(igen indsættes de kendte størrelser)
a
b
sin A sin 96,90
=
(igen bruges "gange over kryds" reglen)
3, 2
4,8
sin A ⋅ 4,8 = 3, 2 ⋅ sin 96,90 (nu divideres med 4,8 på begge sider)
3, 2 ⋅ sin 96,90
sin A =
= 0,661... (sin −1 på begge sider)
4,8
A = sin −1 (0,661...) = 41, 40
Trekant 2
C
a = 3, 2
B 96,90
b = 4,8
A
36
Trigonometri (vilkårlige trekanter)
Cosinusrelationen (beregn side):
Trekant 3
a 2 = c 2 + b 2 − 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos A
A
På trekant 3 kendes en vinkel (A) og dens to ben (b og c).
Nu kan cosinusrelationen bruges til at beregne siden a :
B
c = 4,6
122,90
b = 2,9
a
a = c + b − 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos A
2
2
2
a 2 = 4,62 + 2,92 − 2 ⋅ 4,6 ⋅ 2,9 ⋅ cos122,90
C
a = 44,061...
2
a = 44,061... = 6,64
Vinklen B → b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B
Vinklen C → c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C
 (c 2 + b 2 − a 2 ) 
Cosinusrelationen (beregn vinkel): A = cos 

 (2 ⋅ c ⋅ b) 
På trekant 4 kendes alle tre sider (a, b og c).
Nu kan cosinusrelationen bruges til at beregne f.eks. vinklen A :
−1
2
2
2
 (c 2 + b 2 − a 2 ) 
−1  (4, 27 + 3,87 − 3,97 ) 
A = cos 
 = cos 

(2 ⋅ 4, 27 ⋅ 3,87)
 (2 ⋅ c ⋅ b) 


A = cos −1 ( 0,527...) = 58,10
Trekant 4
B
−1
 (a 2 + c 2 − b 2 ) 
Vinkel B → B = cos 

 (2 ⋅ a ⋅ c) 
 (a 2 + b 2 − c 2 ) 
Vinkel C → C = cos −1 

 (2 ⋅ a ⋅ b) 
c = 4, 27
a = 3,97
−1
C
A
b = 3,87
En hvilken som helst vinkel kan derfor beregnes hvis alle sider er kendte.
37
Ensvinklede trekanter:
z
To trekanter er ensvinklede hvis trekanterne har præcis de samme vinkler. Det gælder
for eksempel for de 2 trekanter ovenover. Begge trekanter har vinklen •, vinklen • • og
vinklen • • • . Den ene trekant er blot større end den anden.
Når vi har 2 ensvinklede trekanter som ovenover, er det meget hensigtsmæssigt at
orientere dem på samme måde. De 2 trekanter er ikke orienteret på samme måde, f.eks.
peger vinkel • • opad på den store trekant, mens det er vinkel • • • der peger opad
på den lille trekant. Så er det ikke så nemt at regne på ensvinklede trekanter.
Men vi kan dreje den lille trekant:
z
Nu er trekanterne orienteret på samme måde. Nu er det meget lettere at spotte
ensliggende sider i de 2 trekanter:
x og a er ensliggende (ligger mellem • og • •)
y og b er ensliggende (ligger mellem • • og • ••)
z og c er ensliggende (ligger mellem • og • ••)
Når vi skal regne på ensvinklede trekanter,
er det nok at kende længden af 2 ensliggende sider (se næste side).
38
5
2,8
10
12
Nu er der kommet sidelængder på nogle af siderne i de 2 trekanter, men vigtigst;
2 ensliggende sider er kendte, nemlig siden 10 på store trekant og siden 5 på
10
5
eller .
5
10
Måske er det mest naturligt med den længste side i tælleren og den korteste side
10
i nævneren, således at skalafaktoren k =
= 2.
5
Nu ved vi, at vi blot skal gange alle siderne i den lille trekant med 2, for at finde
lille trekant. Nu kan vi finde en skalafaktor på 2 måder: Vi kan sige
længden på den tilsvarende / ensliggende side i den store trekant.
Derfor er y = 2 ⋅ 2,8 = 5,6
Derfor er 12 = 2 ⋅ c, dvs. c = 6
Opsummering: når vi regner på ensvinklede trekanter er det vigtigt at orientere
trekanterne på samme måde, sådan at det er let at spotte ensliggende
sider. Hvis en opgave handler om ensvinklede trekanter og
trekanterne ikke er orienteret ens i opgaven, så sørg for at tegne
trekanterne, så de er orienteret ens på et stykke papir.
39
Ligefrem og omvendt proportionalitet:
2 variable y og x (de behøver ikke hedde y og x) kaldes omvendt proportionale,
hvis y kan skrives som en konstant k divideret med x :
dvs.
y=
k
x
(x må naturligvis ikke være 0)
Ganges med x på begge sider af lighedstegnet fås: y ⋅ x = k
Eksempel :
Per cykler hver dag 5 km til skole. De 2 variable tiden t (timer) Per er om at cykle til skole
og gennemsnitshastigheden v (km/t) Per cykler til skole med er omvendt proportionale, fordi:
v ⋅ t = 5 km
Hvis f.eks. Per cykler med gennemsnitshastigheden v = 20 km/t, vil han være 0,25 timer
om turen (dvs. 15 minutter) og v ⋅ t = 5 km = (20 km/t) ⋅ 0,25 t = 5 km. Hvis Per cykler hurtigere
vil tiden også være kortere og i alle tilfælde vil v ⋅ t = 5 km.
2 variable y og x (de behøver ikke hedde y og x) kaldes ligefrem proportionale,
hvis y kan skrives som en konstant k ganget med x :
dvs.
y =k⋅x
(en lineær sammenhæng med b = 0)
Eksempel :
Det koster 15 kr pr. kilometer at blive transporteret af en bestemt cykeltaxa.
Hvis y er prisen turen koster og x er antal kilometer vi ønsker at blive transporteret,
så er y og x ligefrem proportionale, eftersom y = 15 ⋅ x
Her skulle der ikke betales noget startgebyr for turen. Hvis cykeltaxa havde krævet et
startgebyr på 20 kr, så havde vi haft denne lineære sammenhæng: y = 15 ⋅ x + 20
40
Indekstal:
Basisår
År
2000
2001
2002
2003
2004
Pris (kr)
9000
9200
9800
10200
10800
Indekstal
?
?
100
?
?
Tabel 5. Prisudvikling og indekstal .
Indekstal er bare en "omdøbning" af allerede kendte tal. Tabel 5 viser f.eks. en vares
prisudvikling i perioden 2000 − 2004. Først fastsættes et basisår, hvor indekstallet
pr. definition er 100. Nu kan vi nemt beregne indekstallet for de øvrige år.
For at beregne indekstallet for et år, skal vi bare udregne for mange procent
varens pris det år, udgør af varens pris i basisåret:
Indekstal år 2000:
9000
⋅100 = 91,8
9800
Indekstal år 2001:
9200
⋅100 = 93,9
9800
Indekstal år 2003:
10200
⋅100 = 104,1
9800
Indekstal år 2004:
10800
⋅100 = 110, 2
9800
For at beregne absolut ændring af varens pris fra et år til et andet, skal de
oprindelige tal benyttes, f.eks. er prisens absolutte ændring fra 2002 − 2003
lig med (10200 − 9800) kr = 400 kr.
De relative ændringer i varens pris kan godt findes ud fra indekstal og da
indekstallet i 2003 er 104,1 er det nemt at se at den relative stigning i procent må
være 4,1% ( ( 104,1
100 − 1) ⋅ 100% = 4,1% ).
Vi kunne også beregne den relative ændring 2002 − 2003 ud fra de oprindelige tal:
10200
(
− 1) ⋅100% = 4,1%
9800
Men hvis udgangspunktet er året hvor indekstallet er 100, er det nemmere at aflæse
de relative ændringer ud fra indekstallene, som blot trækkes fra hinanden.
41
Annuitetslån (supplerende stof):
GRYN - formlen for et annuitetslån (f.eks. boligfinansiering ) ser således ud:
G = y⋅
(1 − (1 + r ) − n )
r
G : det lånte beløb (hovedstolen)
r : rentefoden pr. termin (givne rente divideret med 100)
y : ydelsen (det faste afdragsbeløb)
n : antal afdrag
Eksempel :
Hvis renten pr. måned er 1, 2% (dvs. r = 0,012) og vi kan betale y = 1500, −kr
hver måned i n = 72 afdrag, giver GRYN − formlen hvor meget vi kan låne G:
G = y⋅
(1 − (1 + r ) − n )
(1 − (1 + 0,012) −72 )
(1 − (1,012) −72 )
= 1500 ⋅
= 1500 ⋅
= 72044, − kr
r
0,012
0,012
Vi kan altså låne 72044, − kr. Vi skal i 72 måneder betale 1500, − kr, altså skal der i alt
tilbagebetales (72 ⋅1500) kr = 108000, − kr.
Så har renteudgifter været (108000 − 72044) kr = 35956, − kr
Det har altså kostet en del penge at optage annuitetslånet.
Den faste tilbagebetalingsydelse y = 1500, −kr skal både dække renteudgifter og afdrag på lånet.
42
Supplerende noter:
A
⋅ 100%
B
p 

2) B ⋅ 1 +

 100 
p 

3) B ⋅ 1 −

 100 
1)
S

4)  − 1 ⋅ 100%
B 
5) S − B
(så meget udgør tallet A af B i procent)
(tallet B stiger p %, p > 0)
(tallet B falder p %, p > 0)
(B`s relative ændring i procent, når B vokser/falder til S )
(B`s absolutte ændring, når B vokser/falder til S )
1) (Per er 16 år gammel og Pia er 43 år gammel)
16
⋅ 100% = 37, 2% (er det antal procent som Pers alder udgør af Pias alder)
43
2) (Vand har en temperatur på 20 C0 . Vandet opvarmes og efter et stykke er vandets
temperatur steget 75%)
75 

20 ⋅ 1 +
(er vandets nye temperatur)
 = 20 ⋅ 1,75 = 35
100


3) (en computer koster 7000,-kr men nedsættes med 12% under januarudsalg)
12 

7000 ⋅ 1 −
(er computerens nye pris)
 = 7000 ⋅ 0,88 = 6160
 100 
4) (en landsby er på et år vokset fra 500 til 700 indbyggere)
 700 
− 1 ⋅ 100% = 40%
(så mange procent er antallet af indbyggere vokset)

500


5) (vandtemperaturen stiger fra 20 grader til 75 grader)
75 − 20 = 55
(er den absolutte ændring af vandtemperaturen)
43
y = a⋅x+b
(ligningen for en lineær sammenhæng, x og y variable)
(a og b kan være alle tal )
(a er hældningskoefficienten og b er skæringen med y − aksen)
(det er a der afgør om linjen er voksende, aftagende eller vandret i et koordinatsystem)
a>0
a<0
a=0
Hvis 2 punkter ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) er kendte på en lineær sammenhæng, så er:
a=
Løsninger x til ligningen:
( y2 − y1 )
( x2 − x1 )
og
b = y1 − a ⋅ x1
a1 x + b1 = a2 x + b2
parallelle
Hvis a1 = a2 og b1 = b2 er alle x løsninger.
Hvis a1 = a2 og b1 ≠ b2 er der ingen løsninger:
Hvis a1 ≠ a2 er der netop en løsning:
Eksempel (kalorieforbrug under fysisk aktivitet)
x
I et forsøg antages det at der er en lineær sammenhæng mellem
bevægehastighed (x, km/t) og kalorieforbrug (y, kalorier) for hastigheder
mellem 5 og 15 km/t. ( x1 , y1 ) = (5,100) og ( x2 , y2 ) = (12.8,600) er kendte målinger:
a=
( y2 − y1 ) (600 − 100) 500
=
=
= 64,1 og b = y1 − a ⋅ x1 = 100 − 64,1 ⋅ 5 = −220,5
( x2 − x1 )
(12,8 − 5)
7,8
Altså er den lineære model: y = 64,1 ⋅ x − 220,5
44
y = b ⋅ xa
(ligningen for en potenssammenhæng, x og y variable)
b > 0, a kan være alle tal
(præcisering af konstanterne a og b).
(a kaldes eksponenten. b har ikke noget særskilt navn.
I et koordinatsytem vil en potenssammenhæng foregå i 1. kvadrant, se side 46).
Tilfælde 1) a < 0 (aftagende)
Tilfælde 2) a = 0 (kontant y = b)
Tilfælde 3) 0 < a < 1 (voksende)
Tilfælde 4) a = 1 (y = b ⋅ x)
Tilfælde 5) a > 1 (voksende)
(potenssammenhænge er defineret for x > 0)
Hvis 2 punkter ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) er kendte på en potenssammenhæng, så er:
y 
log  2 
 y1 
a=
x 
log  2 
 x1 
og b =
y1
x1a
a


p 
1
+
−
1
 
 ⋅ 100%, og er det antal procent y ændrer sig hvis x vokser p %.

100




Eksempel) Sammenhørende værdier mellem (se tabel 6 side 47)
Saturns måners omløbstid i døgn (x) og afstanden til Saturn i Saturnradier (y ), plottes
ind på dobbeltlogaritmisk papir. Det ses at data med god tilnærmelse følger en ret linje.
På papiret indtegnes den bedste rette linje gennem punkterne ( x1 , y1 ) = (7,12)
og ( x2 , y2 ) = (70,58). Nu kan a og b beregnes:
y 
log  2  log  58 
 y1  =
 12  = 0,684...
a=
x 
 70 
log  2  log  
 7 
 x1 
b=
y1
12
= 0,684 = 3,169...
a
x1
7
Derfor er sammenhængen y = b ⋅ x a = 3,169 ⋅ x 0,684
Hvis x (omløbstid) vokser med 20%, vil y (afstand) ændre sig med:
a
0,684




p 
20 
− 1 ⋅ 100% = 13,29%
 1 +
 − 1 ⋅ 100% =  1 +


  100 

  100 

45
Grafer for potenssammenhænge:
y
a >1
a<0
y = b ⋅ xa
0 < a <1
Figur 7
x
Hvordan ser grafen ud hvis b = 2 og a = 0?
Hvordan ser grafen ud hvis b = 3 og a = 1?
Indtegn på millimeterpapir og skitsèr på figur 7.
46
Sammenhørende værdier mellem omløbstiden i døgn ( x )
for Saturns måner og afstanden til Saturn i Saturnradier ( y )
x
y
1,37
3,9
1,89
2,74
4,52
15,95
21,28
79,33
4,9
6,2
9,7
20,2
24,5
58,9
Tabel 6
Afsæt disse (x, y ) data på dobbeltlogaritmisk funktionspapir.
Hvad ser du?
47
y = b ⋅ ax
(ligningen for at eksponentiel udvikling, x og y variable)
b > 0, a > 0
(præcisering af konstanterne a og b)
(a kaldes fremskrivningsfaktoren og b kaldes begyndelsesværdien)
a >1
Tilfældet a = 1: y = b ⋅ 1x = b
0 < a <1
Tilfældet a > 1 (voksende) :
Figur 8
Tilfældet 0 < a < 1 (aftagende) :
(a − 1) ⋅ 100%
(central egenskab: når x vokser med 1 ændres y med den procent)
Eksempel) Eksponentiel udvikling som matematisk model.
Jordens befolkning: i 1984 var der 4,7 milliarder mennesker på jorden.
Befolkningsantallet vokser med ca. 1,8% om året.
Så er begyndelsesværdien b = 4,7 milliarder.
1,8
Fremskrivningsfaktoren a = 1,018 (lav udregningen 1 + 100
, se side 12).
Modellen er derfor y = 4,7 ⋅ 1,018 x
48
Grafer
potenssammenhæng
eksponentiel udvikling
y = b ⋅ xa
y = b ⋅ ax
lineær sammenhæng
y = a⋅x +b
(5,14)
(7,10)
(−2, 5)
(5, 4)
(−3,1)
(2,1)
Figur 9
Figur 1 viser 2 kendte punkter (x1 , y1 ) og (x2 , y2 ) på en lineær sammenhæng ,
en eksponentiel udvikling og en potenssammenhæng.
(y − y )
Lineær sammenhæng: a = 2 1
og b = y1 − a ⋅ x1
( x2 − x1 )
y 
Eksponentiel udvikling: a =  2 
 y1 
 1 


 x2 − x1 
y 
log  2 
 y1 
a=
x 
log  2 
 x1 
Potensammenhæng:
og
og
b=
b=
y1
x1a
y1
a x1
Eksempel: vi vil gerne finde ligningen for den eksponentielle udvikling gennem
punkterne (x1 , y1 ) = (−3,1) og (x2 , y2 ) = (5,14) på figur 1.


1



1

 y2  x2 − x1   14  5−( −3) 
(1)
Først findes a =  
= 
= (14 ) 8 = 1,3908....
1
 y1 
y
1
Dernæst findes b = x11 =
= 2,6902... altså
y = 2, 690 ⋅1,391x
( −3)
a
1,3908
49
Oversigt over modeller:
Tabel 7. De 3 sammenhænge sammenlignes. Meget centralt kernestof.
(x. y ) sammenhænge
x
y = ax + b
absolut stigning på 1
y = b⋅x
a
relativ stigning på p %
y = b ⋅ ax
absolut stigning på 1
y
absolut ændring på a
a


p 
relativ ændring på  1 +
− 1  ⋅100%

  100 



relativ ændring på (a − 1) ⋅100%
Tabel 8. Karakteristisk vækstforhold for hver sammenhæng. For grafer, se figur 9 side 49.
50
sin A =
a
c
cos A =
b
c
tan A =
a
b
a
A = sin −1  
c
a = sin A ⋅ c
c=
a
sin A
Eksempel) flagstang på skrånende terræn
BC
13,9
BC = sin 8,5 ⋅ 13,9 = 2,05
DB
13,9
DB = cos 8,5 ⋅ 13,9 = 13,75
AB
13,75
AB = tan 36 ⋅ 13,75 = 9,99
sin 8,5 =
cos 8,5 =
tan 36 =
A
Altså AC = AB + BC = 9,99 + 2,05 = 12,04
D
360
8,50
13,9 m
B
C
51
Matematisk bevisførelse:
a
Sætning: i en retvinklet trekant er c 2 = a 2 + b 2
Bevis :
c
b
v1
v2
c
b
v2
a
c
v1
b
a
kvadret med
sidelængder a − b
v1
a
b
v2
a
b
c
c
v2
v1
Da v1 + v2 = 900 har vi et stort kvadret med sidelængder c.
Arealet af store kvadrat må være c 2 . Arealet af det store kvadratet kan også findes
som arealet af det lille kvadrat i midten med sidelængder a − b plus arealet af de 4
retvinklede trekanter.
Arealet af de 4 retvinklede trekanter må være 4 ⋅ (½ ⋅ a ⋅ b) = 2 ⋅ a ⋅ b
Arealet af lille kvadrat i midten må være (a − b) 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b
Derfor er c 2 = 2 ⋅ a ⋅ b + a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b = a 2 + b 2
52
Sætning om trekanter:
i en trekant er vinkelsummen 1800
Bevis:
Topvinkler (hvorfor?) og ensliggende vinkler er lige store.
v
v
w w
v
v
C B A
B
A
C
Af nederste tegning fremgår, at A + B + C = 1800
53
Sætning om trekanter:
Arealet af en trekant, T, er en halv højde gange grundlinje, dvs.
med figurens betegnelser T = ½ ⋅ h ⋅ G
B
T1
A
Bevis:
h
T2
b
a
C
G (grundlinje)
der må gælde, at T = T1 + T2 , altså summen af de 2 retvinklede
trekanter på figuren. Da arealet af en retvinklet trekant er
en halv gange produktet af de 2 kateter fås:
T = T1 + T2 = ½ ⋅ a ⋅ h + ½ ⋅ b ⋅ h
(kommer ½ ⋅ h udenfor en parantes)
T = ½ ⋅ h ⋅ ( a + b)
(udnytter at G = a + b)
T =½⋅h⋅G
54
Sætning om lineære sammenhænge y = a ⋅ x + b :
Hvis punkterne ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) ligger på en lineær sammenhæng, så er:
a=
( y2 − y1 )
( x2 − x1 )
Bevis:
Vi har, at y2 = a ⋅ x2 + b og y1 = a ⋅ x1 + b. Vi ser på en differens:
y2 − y1 = a ⋅ x2 + b − (a ⋅ x1 + b)
(ophæver minusparantesen)
y2 − y1 = a ⋅ x2 + b − a ⋅ x1 − b
(kan fjerne b)
y2 − y1 = a ⋅ x2 − a ⋅ x1
(kommer a udenfor en parantes)
y2 − y1 = a ⋅ ( x2 − x1 )
(dividerer med (x2 − x1 ) på begge sider)
a=
( y2 − y1 )
( x2 − x1 )
55
Sætning om potenssammenhænge y = b ⋅ x a :
Hvis punkterne ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) ligger på en potenssammenhæng, så er:
y 
log  2 
 y1 
a=
x 
log  2 
 x1 
Bevis:
Vi har, at y2 = b ⋅ x2 a og y1 = b ⋅ x1a . Vi ser på en brøk:
y2 b ⋅ x2 a
=
y1 b ⋅ x1a
(kan forkorte b væk)
y2 x2 a
=
y1 x1a
(bruger en potensregneregel)
y2  x2 
= 
y1  x1 
a
(logaritmen på begge sider)
  x a 
 y2 
log   = log   2  
  x1  
 y1 


(bruger en logaritme regneregel)
y 
x 
log  2  = a ⋅ log  2 
 y1 
 x1 
(dividerer med log( xx12 ) på begge sider)
y 
log  2 
 y1 
a=
x 
log  2 
 x1 
56
Sætning om potenssammenhænge y = b ⋅ x a :
a


p 
1
+
−
1
 
 ⋅ 100%

100




(så mange procent ændres y, hvis x vokser p %)
Bevis:
Lad k være et tal større end 0 (k > 0). Nu ganger vi k med x, altså k ⋅ x,
som indsættes i ligningen for potenssammenhængen:
y′ = b ⋅ ( k ⋅ x ) a
(bruger potensregneregel)
y′ = b ⋅ k a ⋅ x a
(faktorernes orden er ligegyldig)
y′ = k a ⋅ b ⋅ x a
(udnytter at y = b ⋅ x a )
y′ = k a ⋅ y
Hvis x ganges med en faktor k , vil y ganges med en faktor k a .
Antag, at x vokser p %.Vi ved fra procentregning, at det svarer til
p
at gange x med en faktor k = 1 +
(se side 2).
100
a
p 

Men så vil y blive ganget med en faktor k = 1 +
 .
 100 
Omregnes den faktor til procent (se side 4 ), har vi at y ændres med:
a
a


p 
−
1
 1 +
 ⋅ 100%

100




57
Sætning om eksponentielle udviklinger y = b ⋅ a x :
Hvis punkterne ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) ligger på en eksponentiel udvikling, så er:
y 
a= 2 
 y1 
1
)
2 − x1
(x
Bevis:
Vi har, at y2 = b ⋅ a x2 og y1 = b ⋅ a x1 . Vi ser på en brøk:
y 2 b ⋅ a x2
=
y1 b ⋅ a x1
(kan forkorte b væk)
y2 a x2
=
y1 a x1
(bruger en potensregneregel)
y2
= a ( x2 − x1 )
y1
(opløfte til
y 
a= 2 
 y1 
1
( x2 − x1 )
på begge sider)
1 )
2 − x1
(x
58
Sætning om eksponentielle udviklinger y = b ⋅ a x :
en voksende eksponentiel udvikling (dvs. a > 1) har
fordoblingskonstanten T2 =
log ( 2 )
log ( a )
Bevis:
b ⋅ a ( x +T2 ) = 2 ⋅ b ⋅ a x
a ( x+T2 ) = 2 ⋅ a x
log ( a ( x+T2 ) ) = log ( 2 ⋅ a x )
( x + T2 ) ⋅ log ( a ) = log ( 2 ) + log ( a x )
x ⋅ log ( a ) + T2 ⋅ log ( a ) = log ( 2 ) + x ⋅ log ( a )
T2 ⋅ log ( a ) = log ( 2 )
T2 =
(divider med b)
(log på begge sider)
(log regler)
(gange ind og log regel)
( − x ⋅ log(a ))
(divider med log(a ))
log ( 2 )
log ( a )
Bemærkning: for at bevise, at halveringskonstanten for en aftagende
eksponentiel udvikling (dvs. 0 < a < 1) er T½ =
log (½ )
log ( a )
skulle vi blot starte med ligningen b ⋅ a ( x +T½ ) = ½ ⋅ b ⋅ a x
59
Arbejdsspørgsmål:
Tænk på et tal mellem 1 og 9 (1 og 9 er med).
Husk tallet. Det tal du tænker på fordobler du nu.
Så skal du lægge 6 til. Nu skal du halvere.
Endeligt skal du trække det tal fra du tænkte på i begyndelsen.
Hvilket tal giver det? 3 forhåbentligt! Hvofor er det sådan?
1. Ligningsløsning
a ) Redegør for metoden der anvendes, når vi løser ligninger,
dvs. når vi isolerer en variabel i en ligning.
b) Hvad sker der med ligningens sandhedsværdi, når vi ændrer
ligningen v.hj.a gyldige operationer på hver side af lighedstegnet?
c) Hvorfor er det ikke en tilladt operation at gange
med 0 på hver side af et lighedstegn?
2. Procentregning
a ) Redegør for grundlæggende procentregningsprincipper.
b) Hvilken enhed har relativ vækst altid?
c) Hvilken enhed har absolut vækst?
d ) Opstil 2 forskellige tilfælde, hvor et tal stiger til et andet tal,
således at den absolutte vækst er den samme i de 2 tilfælde,
men sådan, at den relative vækst ikke er ens.
e) Vi skal lægge 25% til en pris uden moms for at få prisen med moms.
Hvilken faktor svarer det til at gange pris uden moms med?
Hvor mange procent skal vi trække fra prisen med moms,
for at få prisen uden moms?
60
3. Rentesregning
a ) Opskriv renteformlen og redegør for hvad de forskellige
variable betyder.
b) Hvad er sammenhængen mellem en rente i procent på f.eks.
en opsparingskonto og den tilhørende rentefod?
c) Hvad er forskellen på at fremskrive og tilbageskrive en kapital?
d ) n er antal terminer i renteformlen. Hvilke værdier (tal) kan n være?
e) Hvis den årlige rente på en opsparingskonto er 12% og vi ønsker
at overflytte til en konto med månedlig rente, således at
pengeudbyttet bliver det samme, tror du så at den månedlige rente
skal være netop 1 procent, over en procent eller under 1 procent?
4. Lineær sammenhæng
a ) Gå på opdagelse på nettet og find en sammenhæng mellem
2 variable fra virkeligheden, der med tilnærmelse kan beskrives
v.hj.a. en lineær sammenhæng. Forklar hvad det handler om.
b) Diskutèr betydningen af konstanterne a og b i en lineær sammenhæng.
c) y ændrer sig med a, når x vokser med 1. Hvor meget ændrer y sig,
hvis x vokser med hhv. 5, 7 og 21?
5. Potenssammenhæng
a ) Gå på opdagelse på nettet og find en sammenhæng mellem
2 variable fra virkeligheden, der med tilnærmelse kan beskrives
v.hj.a. en potenssammenhæng. Forklar hvad det handler om.
b) Bevis, at en potenssammenhæng altid går gennem puntet (1, b).
c) På hvilken måde hænger potenssammenhænge sammen med
dobbeltlogaritmisk papir?
d ) På hvilken måde hænger procentregning sammen
med potenssammenhænge?
e) Diskuter betydningen af a for grafens forløb.
61
6. Eksponentiel udvikling
a ) Gå på opdagelse på nettet og find en sammenhæng mellem
2 variable fra virkeligheden, der med tilnærmelse kan beskrives
v.hj.a. en eksponentiel udvikling. Forklar hvad det handler om.
b) Diskutèr betydningen af konstanterne a og b i en eksponentiel
udvikling.
c) På hvilken måde hænger eksponentielle udviklinger sammen med
enkeltlogaritmisk papir?
d ) På hvilken måde hænger procentregning sammen
med eksponentielle udviklinger?
e) Hvad ville der ske med formel (∗) side 8, hvis K n er det dobbelte
af K 0 og a = 1 + r ? Kender du formlen?
f ) Hvad er fremskrivningsfaktoren?
7. Statistik
a ) Hvad er forskellen på grupperet og ikke − grupperet
deskriptiv statistik?
b) Hvad er forskellen på middeltallet og medianen?
c) Giv et eksempel på et talmateriale, hvor medianen og
middeltal er ens.
c) Redegør for histogram og sumkurve for grupperede observationer.
d ) Redegør for stolpediagram og boksplot for ikke - grupperede observationer.
e) Hvad er statistiske deskriptorer?
f ) Hvad er kvartilsættet?
g ) Hvordan ville du finde kvartilsættet for grupperede observationer?
h) Hvordan ville du finde kvartilsættet for ikke - grupperede observationer?
i ) Hvad dækker betegnelserne Q1 , m og Q3 over?
62
8. Geometri
a ) Redegør for Pythagoras læresætning for retvinklede trekanter.
b) Hvordan beregnes arealet af en trekant?
c) Redegør for trigonometriske formler i retvinklede trekanter.
d ) Hvad er en skalafaktor for 2 ensvinklede trekanter?
e) En skalafaktor kan både være en forstørrelsesfaktor og en
formindskelsesfaktor. Forklar?
f ) 2 envinklede trekanter har forstørrelsesfaktor 3. Hvor mange
procent er siderne i den store trekant større end de
tilsvarende sider i den lille trekant?
g ) Hvor mange spidse vinkler er der i en retvinklet trekant?
For hvilke vinkler i en retvinklet trekant gælder cosinus,
sinus og tangensformlerne?
9. Ligefrem og omvendt proportionalitet
a ) Redegør for at ligefrem proportionalitet er et specialtilfælde
af lineære sammenhænge.
b) Redegør for at omvendt proportionalitet er et specialtilfælde
af potenssammenhænge.
10. Indekstal
a ) Hvad er indekstallet altid i basisåret?
b) På hvilken måde hænger procentregning sammen med indekstal?
c) På hvilken måde hænger ensvinklede trekanter sammen med indekstal?
11. Modeller
a ) Diskuter forskelle og ligheder mellem de 3 modeller.
2 sønner og 2 fædre er på fisketur. De fanger 3 laks.
De får alle en fisk med hjem. Hvordan lader det sig gøre?
63
Procentregning
Formel
Forklaring
A
⋅100%
B
Så mange procent udgør
tallet A af tallet B.
p 

S = B ⋅ 1 +

 100 
p 

S = B ⋅ 1 −

 100 
S

 − 1 ⋅100%
B 
S−B
Resultatet S svarer til at tallet B
er vokset med p %.
Resultatet S svarer til at tallet B
er faldet med p %.
B`s relative ændring i procent
når B vokser/falder til S .
B`s absolutte ændring
når B vokser/falder til S .
64
Lineære sammenhænge
Formel
y = a⋅x+b
(y − y )
a= 2 1
( x2 − x1 )
b = y1 − a ⋅ x1
eller
b = y2 − a ⋅ x2
x=
( y − b)
a
Forklaring
Ligningen for en lineær sammenhæng.
a er hældningskoefficienten og
b er skæringspunktet på y − aksen.
Sådan kan a beregnes når
2 par sammenhørende værdier
(x1 , y1 ) og (x2 , y2 ) er kendte.
Sådan kan b beregnes,
når a er beregnet.
Sådan kan x beregnes,
når y er en kendt værdi.
65
Potenssammenhænge
Formel
Ligningen for en potenssammenhæng.
y = b ⋅ xa
a og b har ikke fået særlige navne.
( x større end 0)
y 
log  2 
 y1 
a=
x 
log  2 
 x1 
b=
y1
y2
eller
b
=
x1a
x2 a
 y
x= 
b
Forklaring
1
 
a
a


p 
 1 +
 − 1 ⋅ 100%
100




a kan være alle tal og b er større end 0.
Sådan kan a beregnes når
2 par sammenhørende værdier
(x1 , y1 ) og (x2 , y2 ) er kendte.
Sådan kan b beregnes,
når a er beregnet.
Sådan kan x beregnes,
når y er en kendt værdi.
Så mange procent vil y værdien
ændre sig når en hvilken som helst
x værdi vokser p %.
66
Eksponentielle udviklinger
Formel
Forklaring
Ligningen for en eksponentiel udvikling.
y = b ⋅ ax
a er fremskrivningsfaktoren
b er begyndelsesværdien.
a og b er begge større end 0.
y 
a= 2 
 y1 

1 


 ( x2 − x1 ) 
y
y
b = x11 eller b = x22
a
a
y
log( )
b
x=
log(a )
log 2
T2 =
log a
Sådan kan a beregnes når
2 par sammenhørende værdier
(x1 , y1 ) og (x2 , y2 ) er kendte.
Sådan kan b beregnes,
når a er beregnet.
Sådan kan x beregnes,
når y er en kendt værdi.
Sådan beregnes fordoblingskonstanten
for voksende eksponentielle udviklinger
(dvs. fremskrivningsfaktor a er større end 1).
67
Eksponentielle udviklinger
(fortsat...)
Formel
Forklaring
log½
T½ =
log a
Sådan beregnes halveringskonstanten
for aftagende eksponentielle udviklinger
(dvs. fremskrivningsfaktor a er mellem 0 og 1).
Så mange procent vil y værdien
(a − 1) ⋅ 100%
a =1+
p
100
ændre sig når en hvilken som helst
x værdi vokser med 1 enhed.
Sådan beregnes fremskrivningsfaktoren a
hvis det om en variabel y gælder
at den ændrer sig med p % når en
variabel x vokser med 1 enhed.
68
Rentesregning
Formel
Forklaring
K n = K 0 ⋅ (1 + r ) n
K0 =
Kn
(1 + r ) n
K 
r = n 
 K0 
1
 
n
Sådan beregnes slutkapital
hvis startkapital, rentefod og
antal terminer er kendte. Husk
renten i %
at r =
.
100
Sådan beregnes startkapital
hvis slutkapital, rentefod og
antal terminer er kendte. Husk
renten i %
at r =
.
100
Sådan beregnes rentefod
−1
hvis startkapital, slutkapital og
antal terminer er kendte
(r gange 100% = renten i procent).
Sådan beregnes antal terminer
K 
log  n 
 K0 
n=
log ( (1 + r ) )
hvis startkapital, slutkapital og
rentefod er kendte. Husk at
renten i %
100
(rund n op til nærmeste hele tal).
r=
69
Geometri
(retvinklede trekanter)
Formel
Forklaring
Dette er Pythagoras læresætning.
c2 = a 2 + b2
Hvis 2 af de 3 sider er kendte
kan den sidste beregnes.
Sådan beregnes arealet.
T = ½ ⋅b ⋅ a
En halv gange den ene katete
gange den anden katete.
Cosinusformlen :
b
cos A =
c
Giver sammenhængen mellem
cosinus til en vinkel, hosliggende
katete og hypotenusen.
Sinusformlen :
sin A =
a
c
Giver sammenhængen mellem
sinus til en vinkel, modstående
katete og hypotenusen.
Tangensformlen :
a
tan A =
b
Giver sammenhængen mellem
tangens til en vinkel, modstående
og hosliggende katete.
Hvis 2 af de 3 vinkler i trekanten
A + B + C = 1800
er kendte kan den sidste beregnes
da vinkelsummen er 180 grader.
70
Geometri
(vilkårlige trekanter)
Formel
Forklaring
Hvis 2 af de 3 vinkler i trekanten
A + B + C = 1800
er kendte kan den sidste beregnes
da vinkelsummen er 180 grader.
Sådan kan arealet beregnes når
T = ½ ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A
en vinkel og vinklens 2 ben
er kendte.
"en halv appelsin formlen"
T = ½ ⋅ h ⋅ grundlinje
sin A sin B sin C
=
=
a
b
c
Arealet kan beregnes
hvis en højde og højdens
grundlinje kendes.
Sinusrelationen :
Forholdet mellem sinus til en vinkel
og siden overfor er ens for alle 3 vinkler.
Cosinusrelationen :
a = (c 2 + b 2 − 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos A)
 (c 2 + b 2 − a 2 ) 
A = cos 

 (2 ⋅ c ⋅ b) 
−1
Sådan beregnes en side hvis vinklen
overfor og dens 2 ben er kendte.
Cosinusrelationen :
Sådan beregnes en vinkel hvis vinklens
2 ben (b, c) og siden overfor (a ) er kendte.
71
Ligefrem proportionalitet
Formel
Forklaring
y = k⋅x
Her er 2 variable (x og y ) ligefrem
proportionale (eller bare proportionale)
fordi y blot er en konstant gange x.
Omvendt proportionalitet
Formel
y=
k
eller y ⋅ x = k
x
Forklaring
Her er 2 variable (x og y ) omvendt
proportionale fordi y gange x er en konstant.
72
Ensvinklede trekanter
2 trekanter er ensvinklede hvis de har samme vinkler og den ene blot er større end den
anden. Hvis den store trekant har siderne a2 , b2 , c2 og de tilsvarende sider i den lille
trekant er a1 , b1 , c1 (Tilsvarende sider vil sige at de ligger mellem de samme vinkler),
så findes en faktor k således at:
k=
c2 b2 a2
= =
c1 b1 a1
Forholdet mellem alle ensliggende sider i de 2 trekanter er derfor en konstant.
her er 2 variable (x og y ) ligefrem
proportionale (eller bare proportionale)
fordi y blot erÅrstal
en konstant gange x År 1
Indekstal
År 2
Originale tal
Tår 1
Tår 2
Indekstal
Iår 1
Iår 2
Der er følgende sammenhæng mellem originale tal og de tilsvarende indekstal:
Tår 2 Iår 2
=
Tår 1 Iår 1
Sagt med ord: originale tal og tilsvarende indekstal står i samme forhold til hinanden.
Hvis 3 af de 4 størrelser i formlen er kendte, kan den sidste beregnes ved at manipulere
lidt med ligningen (gange over kryds reglen).
Indekstallet i basisåret er altid 100.
73
Stikordsregister
Areal vilkårlig trekant 32
Absolut vækst 13
Basisår 41
Brøk − regneregler 2
Boksplot 31
Cosinusrelationen 37
Decimaler 7
Deskriptorer 24
Dobbeltlogaritmisk papir 19
Eksponent 5
Ensliggende vinkler 53
Enkeltlogaritmisk papir 21
Fremskrivningsfaktor generelt 11, 12
Fremskrivningsfaktor eksponentielle udviklinger 21
Fælles brøkstreg 4
Fordoblingskonstant 23
Gange over kryds/kors reglen 9
Grupperede middelværdi 24
Grundtal 5
GRYN − formlen 42
Histogram 28
Hældningskoefficient 17
Halveringskonstant 23
Hypotenuse 32
Ikke − grupperede middelværdi 29
Katete 32
Kumuleret frekvens 24
Kvartilsæt grupperede observationer 27
Kvartilsæt ikke − grupperede observationer 31
Matematiske modeller 17, 48, 50
Mellemregninger 7
Potenser 5
Paranteser 6
Pythagoras læresætning 32
Regnearternes hierarki 6
Relativ vækst 13
Rodeksponent 5
Rødder 5
Regneregel logaritmen 10
Rentefod 14
Skalafaktor 39
Sinusrelationen 36
Stolpediagram 30
Sumkurve 27
Trigonometriske formler 33
Topvinkler 53
Typetal 30
Typeinterval 28
Vækstrate 14
74
Bilag:
( K n = K 0 ⋅ (1 + r ) n )
( y = b ⋅ ax )
Renteformlen
Eksponentiel udvikling
Statistik
Indekstal
Procentregning
Ensvinklede
trekanter
Potenssammenhæng
( y = b ⋅ xa )
( y ⋅ x = k)
( y = a ⋅ x + b)
Lineær sammenhæng
Omvendt proportionalitet
( y = k ⋅ x)
Ligefrem proportionalitet
Tegningen illustrerer forbindelser imellem de forskellige kernestofområder.
75