Møder/ konferencer Restaurant SuRi er den ideelle ramme om

Rækketeori og Fouriertransformation
Engineering Mathematics for Electronic Engineers 1
Kursusoversigt:
Lektion 1:
Lektion 2:
Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Potensrækker og Cauchy-Hadamards formel
Taylorrække- og Maclaurin rækkeudvikling
Periodiske funktioner, Fourier rækkeudvikling
Lektion 3:
Fourier rækkeudvikling (fortsat). Lige og ulige funktioner
Lektion 4:
4
Den tidskontinuerte Fouriertransformation
Fourier-transformation <> Laplace-transformation
Lektion 5:
Sampling og den tidsdiskrete Fouriertransformation,
Diskret Fourier- og Fast Fourier-transformation (DFT/FFT)
Lektion 6:
6
Fouriertransformation af periodiske og tidsdiskrete signaler
Sampling og periodicitet i tid <> Periodicitet og samp. i frekvens
Ingeniøranvendelser af rækketeori samt Fouriertransformation
-------Lektion 7:
Repetition, opsamling og opgaveregning for lektion 1-6
1
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Oversigt over dagens forelæsning
• Formålet med lektionerne 1-6 (talfølger, talrækker og FT)
• Talfølger og deres konvergens
• Uendelige talrækker og deres konvergens
– Harmoniske rækker,
– Alternerende harmoniske rækker
– Geometriske rækker
• Sammenligningstesten, forholdstesten og rodtesten
• Potensrækker og konvergensradius
– Cauchy-Hadamards formel
2
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Talfølger og deres konvergens
En talfølge er en uendelig følge af tal:
z1 , z2 , z3 , . . .
Følgen konvergerer hvis den har en grænse c:
lim zn = c < 
n
Vedr. reelle eller komplekse talfølger findes der for alle ε et N:
|zn – c| < ε for n>N
3
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
A convergent sequence z1, z2,....
4
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Theorem 1:
Talfølgers konvergens
5
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
(Uendelige) Talrækker
En talrække kan være dannet ved summen af værdier i en
talfølge {zn}, f.eks.:
s1 = z1, s2 = z1 +z2, … …, sN =
N
z
n 1
sN kaldes for den N´te afsnitssum
6
n,
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
En uendelig talrække er totalsummen for en talfølge:

z
n 1
Rækken/afsnitssummen
konvergerer mod
s hvis
n

z
n 1
n
s
7
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Theorem 2: Talrækkers konvergens
8
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Konvergenstest for talrækker
Theorem 3:
Theorem 4:
9
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Eksempel: Den harmoniske række 1 
1 1 1
   ..... divergerer.
2 3 4
1 1 1
Eksempel: Den alternerende harmoniske række 1     ..... konvergerer.
2 3 4
Eksempel: Den geometriske række 1 + q + q2 + · · · konvergerer for
|q| < 1 mod summen 1/(1 - q).
En række konvergerer kun, hvis
med konvergens).
zn  0
(men
zn  0
er ikke ensbetydende
Hvis |z1| + |z2| + · · · konvergerer er rækken absolut konvergent.
Absolut konvergens  konvergens.
10
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Eksempel: Den harmoniske række 1 
11
1 1 1
   .....
2 3 4
divergerer
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Eksempel: Den alternerende harmoniske række
konvergerer
12
1
1 1 1
   .....
2 3 4
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Eksempel: Den geometriske række 1 + q + q2 + · · ·
konvergerer tilsvarende for |q| < 1
med summen 1/(1 - q).
13
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Hvis

| z
n 0
n
| konvergerer er rækken absolut konvergent!


n 0
n 0
Hvis  zn er konvergent, men  | zn | er divergent, så er
rækken betinget konvergent!
Absolut konvergens => Konvergens
Den alternerende harmoniske række er betinget konvergent
14
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Sammenligningstesten
Hvis talrækken z1 + z2 + · · · er givet, og vi kan finde en
konvergent række b1 + b2 + · · · med reelle ikke negative
værdier for hvilken:
|z1| ≤ b1 , |z2| ≤ b2 , . . .
så er z1 + z2 + · · · absolut konvergent.
Rækken b1 + b2 + · · · kaldes en majorantrække for
z1 + z2 + · · · .
15
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Forholdstesten
Hvis z1 + z2 + · · · (zn ≠ 0) opfylder
|zn+1/zn| ≤ q < 1 for et givet q og for alle n > N
så konvergerer rækken absolut.
Hvis |zn+1/zn| ≥ 1 for alle n > N så divergerer rækken
16
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Forholdstesten (fortsat)
17
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Forholdstesten (et eksempel)
18
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Rodtesten
19
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Rodtesten (fortsat)
20
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Potensrækker
En potensrække har formen

 a (z  z )
n 0
n
0
n
 a0  a1 ( z  z0 )  a2 ( z  z0 )    
2
hvor z0 er rækkens centrum og {an} rækkens koefficienter.
Rækkens konvergensradius |z - z0| < R findes som
R =
lim|an /an+1|
n
hvor R kan være 0, endelig og uendelig.
21
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
22
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
23
Lektion 1: Talfølger, talrækker og konvergenskriterier
Cauchy-Hadamards formel
24