Fysiikan ratkaisut 2013 - Diplomi-insinööri

Fysiikan ratkaisut 2013 - Diplomi-insinööri

Diplomi-insino¨ orien
¨
ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013
Insino¨ orivalinnan
¨
fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut
A1
Ampumahiiht¨aj¨a ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipis¨
tett¨a. Luodin l¨ahtonopeus
on v0 = 445 m/s ja et¨aisyys maalitauluun s =
50,0 m.
a) Kuinka pitk¨a on luodin lentoaika?
b) Kuinka kauaksi maalitaulun keskipisteen alapuolelle luoti osuu?
Sarjoittaiset arvot:
v0
s
(m/s) (m)
A
445
50,0
B
415
50,0
C
355
50,0
D
385
50,0
a) Luodin maanpinnan tason suuntainen liike on tasaista . Nopeuden
m¨aa¨ ritelm¨an mukaan
∆s
v=
,
∆t
joten luodin lentoaika
s
t=
= 0,112 s
v0
a)-kohta:
t
s
A 0,112
B 0,120
C 0,141
D 0,130
b)-kohta:
d
(m)
A 0,0619
B 0,0712
C 0,0973
D 0,0827
b) Valitaan positiivinen maanpintaa vastaan kohtisuora akselisuunta alasp¨ain.
T¨ah¨an suuntaan luodin liike on tasaisesti kihtyv¨aa¨ ja kiihtyvyys on a = g .
Ajan t kuluttua luoti on pudonnut matkan ∆d, joka toteuttaa
1
∆d = vy0 t + gt2 ,
2
jossa vy0 = 0 m/s . N¨ain luoti osuu maalitaulun keskipisteen alapuolelle
et¨aisyydelle
1
∆d = gt2 = 0,0619 m
2
(c) DIA-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Diplomi-insino¨ orien
¨
ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013
Insino¨ orivalinnan
¨
fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut
A2
Vuoristoradan vaunu liikkuu kitkattomasti pitkin rataa. Vaunu l¨ahtee liikkeelle levosta korkeudelta h = 43 m.
a) Kuinka suuri on vaunun nopeus radan lopussa pisteess¨a B? (2p)
A
b) Vuoristoradassa on silmukka, jonka korkeus on d = 38 m. M¨aa¨ rit¨a
h
d
voima, jonka rata kohdistaa vauB
nuun silmukan lakipisteess¨a eli kuvan pisteess¨a A. Vaunun massa on
Teht¨av¨an 2 kuva.
m = 290 kg. (4p)
Sarjoittaiset arvot:
m
h
d
(kg) (m) (m)
A 290
43
38
B 290
55
49
C 290
61
55
D 290
52
45
a) Alussa vaunulla on vain potentiaalienergiaa
a=
2v2
v2A
= A.
r
d
Newtonin II lain eli dynamiikan peruslain mukaan pisteess¨a A, kun merkit¨aa¨ n
N = N1 + N2
2v2
∑ Fy = G − N = ma = m dA ,
N = −m
2v2A
+ mg = 1,3 · 103 N.
d
¨ ain ja
Tukivoima siis osoittaa ylosp¨
kannattelee vaunua pisteess¨a A.
ja lopussa pisteess¨a B vain liike-energiaa
1 2
mv .
2 B
Koska vaunun mekaaninen energia s¨ailyy , ovat n¨am¨a yht¨a suuret
E p,a = Ek,l eli mgh =
ja vaunun kiihtyvyys pisteess¨a A on
josta voidaan ratkaista tukivoima
N:
E p,a = mgh
Ek,l =
Pisteess¨a A vaunuun vaikuttavat painovoima G ja radan tukivoima N, jotka
saavat aikaan vaunun kiihtyvyyden. Valitaan positiivinen suunta pisteess¨a A
alasp¨ain, jolloin
G = mg
1 2
mv
2 B
josta voidaan ratkaista vaunun nopeus pisteess¨a B:
p
v B = 2gh = 29 m/s.
b) Vaunun nopeus silmukan lakipisteess¨a A saadaan a)-kohdan tulosta soveltamalla
E p,a = Ek,l + E p,l
N1
G
N2
y
¨ a, on
Kuva. Mik¨ali vaunulla ei ole pyori¨
tukivoimia vain yksi kappale.
a)-kohta:
vB
(m/s)
A
29
B
33
C
35
D
32
b)-kohta:
N
(N)
A 1,4 · 103
B 1,4 · 103
C 1,6 · 103
D 1,1 · 103
joten
vA =
q
2g(h − d).
(c) DIA-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Diplomi-insino¨ orien
¨
ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013
Insino¨ orivalinnan
¨
fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut
A3
Oheisessa kytkenn¨ass¨a on nelj¨a vastusta, joiden resistanssit ovat R1 = 6,0 Ω,
R2 = 4,0 Ω, R3 = 3,0 Ω ja R4 = 5,0 Ω.
a) Kuinka suuri on kytkenn¨an kokonaisresistanssi?
b) Kuinka suuri on vastuksen R2
l¨api kulkeva virta, kun pisteiden A ja B v¨alille kytket¨aa¨ n
j¨annite U = 6,0 V?
R1
R3
R2
A
B
I123 =
R4
Sarjoittaiset arvot:
R1
R2
R3
R4
U
(Ω) (Ω) (Ω) (Ω) (V)
A 6,0 4,0 3,0 5,0 6,0
B 4,0 5,0 7,0 6,0 9,0
C 5,0 7,0 6,0 3,0 6,0
D 3,0 4,0 5,0 6,0 9,0
a) Rinnan kytkettyjen vastusten R1 ja R2 yhteinen resistanssi R12 toteuttaa
1
1
1
=
+
,
R12
R1
R2
josta
R1 R2
= 2,4 Ω
R1 + R2
Vastukset R1 ja R2 on kytketty sarjaan vastuksen R3 kanssa. N¨aiden vastusten
yhteinen resistanssi on
R123 = R12 + R3 = 5,4 Ω
Vastukset R1 , R2 ja R3 on kytketty rinnan vastuksen R4 kanssa. N¨ain ollen
R1234 =
I AB = I123 + I4
T¨ast¨a voidaan ratkaista ylemm¨an haaran virta
Teht¨av¨an 3 kuva.
R12 =
ja toisaalta Kirchhoffin I:n lain mukaan
R123 R4
= 2,6 Ω
R123 + R4
I AB
1+
R123
R4
= 1,1111 A
Ylemm¨ass¨a haarassa virta I123 jakaantuu vastusten R1 ja R2 kesken siten ett¨a
I1 + I2 = I123
ja
R1 I1 = R2 I2 ,
josta
I2 =
I123
1+
R2
R1
= 0,67 A
a)-kohta:
R1234
(Ω)
A
2,6
B
3,6
C
2,2
D
3,2
b)-kohta:
I2
(A)
A 0,67
B 0,43
C 0,28
D 0,57
b) Ohmin lain mukaan pisteiden A ja B v¨alill¨a kulkee virta
I AB =
U
= 2,3111 A
R1234
T¨am¨a jakautuu ylemm¨an haaran virraksi I123 ja alemman haaran virraksi I4 .
Kirchhoffin II:n lain mukaan molempien haarojen yli vaikuttaa sama j¨annite
eli
R123 I123 = R4 I4
(c) DIA-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Diplomi-insino¨ orien
¨
ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013
Insino¨ orivalinnan
¨
fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut
A4
Pieni foliopallo, jonka massa on m = 52 mg, kimpoilee edestakaisin kahden
levyn v¨aliss¨a. Levyn 1 potentiaali on U1 = +2,0 kV ja levyn 2 potentiaali on
U2 = −2,0 kV. Levyjen v¨alinen et¨aisyys on d = 2,0 cm. Foliopallon kapasitanssi on C = 11 pF. Eth¨an ota painovoimaa etk¨a ilmanvastusta huomioon.
a) Kuinka suuri on foliopallon varaus, kun se varautuu levyll¨a 1?
b) Kuinka suuri on foliopallon kiihtyvyys levyjen 1 ja 2 v¨aliss¨a?
c) Kuinka pitk¨a aika foliopallolla kuluu matkaan levylt¨a 1 levylle 2?
Sarjoittaiset arvot:
m
U1
U2
d
C
(mg) (kV) (kV) (cm) (pF)
A
52
+2,0 −2,0
2,0
11
B
52
+2,0 −2,0
2,0
12
C
52
+2,0 −2,0
2,0
8,5
D
52
+2,0 −2,0
2,0
6,0
a) Foliopallo saa levyll¨a 1 varauksen
Q1 = CU1 = 2,2 · 10−8 C = 22 nC
¨
b) S¨ahkokentt¨
a on homogeeninen levyjen v¨aliss¨a ja sen voimakkuus on
E=
U − U2
∆U
= 1
d
d
a)-kohta:
A
B
C
D
Q
(C)
2,2 · 10−8
2,4 · 10−8
1,7 · 10−8
1,2 · 10−8
b)-kohta:
a
(m/s2 )
A
85
B
92
C
65
D
46
c)-kohta:
a
(s)
A 0,022
B 0,021
C 0,025
D 0,029
Kent¨ass¨a foliopalloon kohdistuu voima
FE = Q1 E,
joka saa aikaan Newtonin II:n lain eli dynamiikan peruslain mukaan kiihtyvyyden
F
CU1 (U1 − U2 )
a= E =
= 85 m/s2 .
m
md
c) Levyjen v¨aliss¨a foliopallon liike on tasaisesti kiihtyv¨aa¨ , joten sill¨a kuluu
levyejen v¨aliseen matkaan aika
r
2d
t=
= 0,022 s
a
(c) DIA-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Diplomi-insino¨ orien
¨
ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013
Insino¨ orivalinnan
¨
fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut
A5
Venturinputkea k¨aytet¨aa¨ n nesteen virtausnopeuden m¨aa¨ ritt¨amiseen putkessa.
Mittari kytket¨aa¨ n putkeen, jonka poikkipinta-ala on A1 . Venturinputkessa on
kavennus, jonka poikkipinta-ala on A2 . Nesteen virratessa putken l¨api mitataan paine putkessa (p1 ) ja kavennuksessa (p2 ). M¨aa¨ rit¨a veden virtausnopeus
v1 (m/s) vaakasuorassa vesijohdossa, jonka poikkipinta-ala on
A1 = 64 · 10−4 m2 , kun mitatut paineet ovat p1 = 55 kPa ja p2 = 41 kPa.
Kavennuksen poikkipinta-ala on A2 = 32 · 10−4 m2 .
A1, p1
A2, p2
Teht¨av¨an 5 kuva.
¨ mukaan
Jatkuvuusyht¨alon
A1 v1 = A2 v2
joten
v2 =
A1
v
A2 1
¨ mukaan, kun y1 = y2
Toisaalta Bernoullin yht¨alon
1
1
p1 + ρv21 = p2 + ρv22
2
2
joten eliminoimalla virtausnopeus kavennuksessa v2 saadaan
v
u
u 2( p − p2 )
= 3,1 m/s
v1 = u 1 2
t
A1
ρ
−1
A2
(c) DIA-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Diplomi-insino¨ orien
¨
ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013
Insino¨ orivalinnan
¨
fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut
A6
Tarkastellaan oheisen teoriaosan kuvan B putkea, kun korkeudet ovat
y1 = 1,1 m, y2 = 2,3 m ja poikkipinta-alat ovat A1 = 120 · 10−4 m2 ja
A2 = 250 · 10−4 m2 . Paine putkessa kohdassa A2 on p2 = 280 kPa. Kohdan A1
poikkipinnan l¨api virtaa 3,0 · 10−2 m3 vett¨a sekunnissa.
avulla, josta
a) Kuinka paljon veden virtausnopeus muuttuu (m/s)
kohdasta A1 kohtaan A2 ? (1p)
¨ a paine-ero tekee yhden sekunnin aikana a)-kohdassa
b) Kuinka paljon tyot¨
lasketun nopeusmuutoksen aikaansaamiseksi? (2p)
c) Kuinka paljon putkessa virtaavan veden liike-energia muuttuu yhden sekunnin aikana? (2p)
d) Kuinka paljon veden potentiaalienergia muuttuu yhden sekunnin
aikana? (1p)
Yhden sekunnin aikana vett¨a virtaa putkessa tilavuus
a) Veden tilavuusvirta
1
p1 = p2 + ρg(y2 − y1 ) + ρ(v22 − v21 ) = 289367 Pa.
2
∆V = 3,0 · 10−2 m3
joten paineen tekem¨a tyo¨ yhden sekunnin aikana on
W = ( p1 − p2 )∆V = 280 J
c) Liike-energian muutos yhden sekunnin aikana on
∆Ek =
RV =
∆V
= 3,0 · 10−2 m3 /s
∆t
saadaan, kun massavirta jaetaan veden tiheydell¨a:
RV =
1 ∆m
,
ρ ∆t
1
1
1
(∆m)v22 − (∆m)v22 = ρ∆V (v22 − v21 ) = −72 J
2
2
2
d) Potentiaalienergian muutos yhden sekunnin aikana on
∆Ep = (∆m) gy2 − (∆m) gy1 = ρ∆Vg(y2 − y1 ) = 350 J,
joten ∆E p = W − ∆Ek .
sill¨a ∆m = ρ∆V. T¨ast¨a saadaan tilavuusvirralle
RV =
1
ρA v = A1 v1 = A2 v2
ρ 1 1
¨ mukaan. N¨ain saadaan nesteen virtausnopeudet kohdissa 1
jatkuvuusyht¨alon
ja 2
(
v1 = RAV = 2,5 m/s
1
v2 =
RV
A2
= 1,2 m/s,
joten nesteen virtausnopeuden muutos on
∆v = v2 − v1 = −1,3 m/s.
¨
b) Paine p1 kohdassa 1 on ratkaistava Bernoullin yht¨alon
1
1
p1 + ρgy1 + ρv21 = p2 + ρgy2 + ρv22
2
2
(c) DIA-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto