doc1 Stokastisista differentiaaliyhtälöistä
download 
Report Transcription
1 Stokastisista differentiaaliyhtälöistä
Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a 1 ' $ 1 Stokastisista differentiaaliyht¨ alo a ¨ist¨ 1.1 Kalvo 1 Tavallisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a • Differentiaaliyhta oiden ratkaisut ovat funktioita. Ne kuvaavat ¨l¨ reaalimaailman prosessien muutosta tai dynamiikkaa annetulla ajan jaksolla • Jos halutaan differentiaaliyht¨ al¨ on yksik¨ asitteinen ratkaisu, niin pit¨ aisi tiet¨ a¨ a alkuehto x(0) = x0 . T¨ all¨ oin, jos l¨ ahdet¨ a¨ an liikkeelle pisteest¨ a x0 hetkell¨ a t = 0, niin funktio on t¨ aydellisesti m¨ a¨ ar¨ atty tulevaisuudessa, eli kun t > 0. • Differentiaaliyhta oiden eksplisiittiset ratkaisut ovat ¨l¨ poikkeuksellisia, yleens¨ a on turvauduttava differentiaaliyht¨ al¨ oiden numeerisiin ratkaisuihin. & % ' $ • Integroimalla differentiaaliyht¨ al¨ o x0 (t) = dx(t) = a(t, x(t)), dt x(0) = x0 puolittain, saadaan integraaliyhta o: ¨l¨ Z t x(t) = x(0) + a(s, x(s))ds. 0 Kalvo 2 T¨ at¨ a muotoa ei yleens¨ a k¨ aytet¨ a etsitt¨ aess¨ a etsitt¨ aess¨ a differentiaaliyht¨ al¨ on ratkaisua, mutta t¨ ast¨ a voidaan saada idea, kuinka stokastinen differentiaaliyht¨ al¨ o voidaan m¨ a¨ aritell¨ a: stokastisena integraaliyht¨ al¨ on¨ a. 1.2 Ito’n stokastiset differentiaaliyht¨ al¨ ot Mik¨ a on stokastinen differentiaaliyht¨ al¨ o? & % Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a 2 ' $ Tarkastellaan deterministist¨ a differentiaaliyht¨ al¨ o¨ a dx(t) = a(t, x(t))dt, x(0) = x0 . Helpoin keino saada satunnaisuutta yht¨ al¨ o¨ on on satunnaistaa alkuehto. Eli ratkaisusta x(t) tulee t¨ all¨ oin stokastinen prosessi (Xt , t ∈ [0, T ]): dXt = a(t, Xt )dt, Kalvo 3 X0 (ω) = Y (ω). T¨ allaista yht¨ al¨ o¨ a voidaan kutsua satunnaiseksi differentiaaliyht¨ al¨ oksi. Se ratkaisu ei vaadi stokastista laskentaa, vaan voimme k¨ aytt¨ a¨ a klassisia menetelmia huomioimalla alkuehdon satunnaisuuden. Yleisemmin differentiaaliyht¨ al¨ on satunnaisuus esitet¨ a¨ an lis¨ a¨ am¨ all¨ a siihen kohina-termi: dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dBt , X0 (ω) = Y (ω), (1.1) & % ' $ miss¨ a B = (Bt , t ≥ 0) on Brownin liike ja a(t, x) ja b(t, x) ovat deterministisi¨ a prosesseja. Ratkaisu X, jos se on olemassa, on t¨ all¨ oin stokastinen prosessi. Ratkaisun X = (Xt , t ∈ [0, T ]) satunnaisuus ilmenee t¨ all¨ oin alkuehdossa sek¨ a kohinassa, jonka generoi Brownin liike. Kalvo 4 Yksinkertainen yht¨ al¨ on (1.1) tulkinta kertoo, ett¨ a muutos dXt = Xt+dt − Xt aiheutuu ajan muutoksen dt, tekij¨ all¨ a a(t, Xt ), ja Brownin liikkeen muutoksen dBt = Bt+dt − Bt , kerrottuna tekij¨ all¨ a b(t, Xt ) kombinaatiosta. Mutta koska Brownin liikkeell¨ a ei ole differentioituvat otospolut, niin seuraava kysymys nousee esiin Miss¨ a mieless¨ a yht¨ al¨ o¨ a (1.1) voidaan tulkita? Esiteta al¨ o stokastisena integraaliyht¨ al¨ on¨ a ¨a ¨n yht¨ Z t Z t Xt = X0 + a(s, Xs )ds + b(s, Xs )dBs , 0 & 0 ≤ t ≤ T, (1.2) 0 % Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a 3 ' $ miss¨ a ensimm¨ ainen integraali on Riemaan-integraali ja toinen Ito integraali. T¨ at¨ a yht¨ al¨ o¨ a kutsutaan Iton stokastiseksi differentiaaliyht¨ al¨ oksi. Brownin liikett¨ a kutsutaan Iton stokastisen differentiaaliyht¨ al¨ on ajavaksi prosessiksi. Kalvo 5 Mik¨ a on Iton stokastisen differentiaaliyht¨ al¨ on ratkaisu? T¨ ah¨ an ei ole yksik¨ asitteist¨ a vastausta. Stokastisille differentiaaliyht¨ al¨ oille l¨ oydet¨ a¨ an kahdenlaisia ratkaisuja, heikkoja ja vahvoja ratkaisuja. Iton stokastisen differentiaaliyht¨ al¨ on vahva ratkaisu on stokastinen prosessi X = (Xt , t ∈ [0, T ]), joka toteuttaa seuraavat ehdot • X on adaptoitu Brownin liikkeen generoimaan filtraatioon eli hetkell¨ a t X on Brownin liikkeen Bs , s ≤ t funktio. • Integraali (1.2) on hyvin m¨ a¨ aritelty sek¨ a Riemannin ett¨ a Iton stokastisena integraalina. & % ' $ • X on Brownin liikkeen polkujen ja kerroinfunktioiden a(t, x) ja b(t, x) funktio. Edella ¨ olevan nojalla vahva ratkaisu pohjautuu Brownin liikkeen polkuihin. Jos Brownin liike korvataan toisella Brownin liikkeell¨ a saadaan toinen vahva ratkaisu. Mik¨ a on heikko ratkaisu? Kalvo 6 Heikoilla ratkaisuilla polkujen k¨ ayt¨ os ei ole t¨ arke¨ a¨ a, silloin olemme kiinnostuneita vain prosessin X jakaumasta. Heikko ratkaisu on riitta ¨va ¨ antamaan prosessin ominaisuuksia, kuten odotusarvo, varianssi tai kovarianssi, n¨ aiden l¨ oyt¨ amiseen ei ole v¨ altt¨ am¨ at¨ ont¨ a tuntea X:n otospolkuja. Iton stokastisen differentiaaliyht¨ al¨ on vahva tai heikko ratkaisu X on diffuusio. Erityisesti, jos a(t, x) = 0 ja b(t, x) = 1, niin n¨ ahd¨ a¨ an, ett¨ a Brownin liike on diffuusio prosessi. & % Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a 4 ' $ Ratkaisujen olemassaolo on tietenkin t¨ arke¨ a kysymys: Oletetaan, ett¨ a alkuehdolla X0 on ¨ a¨ arellinen toinen momentti 2 EX0 < ∞ ja se on riippumaton Brownin liikkeest¨ a (Bt , t ≥ 0). Oletetaan lisa ¨ksi, etta ¨ kaikille t ∈ [0, T ] ja x, y ∈ R kerroinfunktiot a(t, x) ja b(t, x) toteuttavat seuraavat ehdot: • Funktiot ovat jatkuvia. Kalvo 7 • Funktiot toteuttavat Lipschitz ehdon toisen muuttujan suhteen |a(t, x) − a(t, y)| + |b(t, x) − b(t, y)| ≤ K|x − y|. T¨ all¨ oin Iton stokastisella differentiaaliyht¨ al¨ oll¨ a on yksik¨ asitteinen vahva ratkaisu X joukossa [0, T ]. Kalvo 8 Kirjasta Grigoriu, M. , Stochastic Calculus application in science and engineering. Birkh¨ auser, Boston. 2002. kuten muistakin la ¨hdeluettelon kirjoista lo ¨ytyy esimerkkeja ¨ ratkaisujen olemassa oloon & % ' $ ja ratkaisutyyppeihin liittyen. Nyt siirryta ¨a ¨n tarkastelemaan lyhyita ¨ esimerkkej¨ a, joista voi saada hieman mielikuvaan, millaisia stokastiset differentiaaliyht¨ al¨ ot ovat. & % Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a 5 ' $ 1.3 Muutamia esimerkkej¨ a Teorian soveltaminen ei v¨ altt¨ am¨ att¨ a ole vaikeaa, ymm¨ art¨ aminen kuitenkin vie aikaa ja on vaivalloista. Seuraavana k¨ ayd¨ a¨ an muutamia esimerkkej¨ a stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a. Toivottavasti n¨ am¨ a innostavaa kuulijaa tutustumaan teoriaankin syv¨ allisemmin. Kalvo 9 1.4 Ornstein-Uhlenbeck prosessi O–U -prosessi voidaan ma ¨a ¨ritella ¨ era ¨a ¨n stokastisen differentiaaliyht¨ al¨ on ratkaisuna. T¨ ass¨ a tapauksessa tarkastellaan partikkelin nopeutta, eik¨ a niink¨ a¨ an sen paikkaa hetkell¨ a t. Tarkastellaan nopeuden muutosta dU (t) Brownin liikkeen Kalvo 10 & % ' $ partikkelille ajassa t. Ta ¨llo ¨in differentiaaliyhta ¨lo ¨ksi saadaan α2 dU (t) = −λU (t) dt + αdB (t) , kun t ≥ 0 ja U (0) ∼ N 0, . 2λ (1.3) Ensimm¨ ainen termi on deterministinen ja se kertoo keskim¨ a¨ ar¨ aisen nopeuden hetkell¨ a t, ja toinen termi taas on stokastinen ja se kuvastaa satunnaisia t¨ orm¨ ayksi¨ a ymp¨ ar¨ oiviin partikkeleihin. T¨ orm¨ aysten voimakkuus per¨ akk¨ aisill¨ a pienill¨ a aikav¨ aleill¨ a voidaan esitt¨ a¨ a riippumattomien, odotusarvoltaan nolla olevien satunnaismuuttujien avulla, nyt Brownin liikkeen avulla. Kaavassa (1.3) merkinta ¨ B (t) tarkoittaa Brownin liiketta ¨. Ratkaistaan seuraavaksi kyseinen stokastinen lineaarinen & % Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a 6 ' $ differentiaaliyht¨ al¨ o. Aluksi kerrotaan termill¨ a eλt dU (t) αdB (t) = −λU (t) + dt dt dU (t) αdB (t) eλt = −λeλt U (t) + eλt . dt dt Nyt saadaan muokattua yht¨ al¨ o¨ a Kalvo 11 d λt αdB (t) e U (t) = eλt , dt dt (1.4) sill¨ a ketjus¨ a¨ ann¨ on mukaan d eλt U (t) dU (t) = λeλt U (t) + eλt dt dt (1.5) eli d eλt U (t) (t) λt = −λe U (t) + , dt dt λt dU e (1.6) & % ' $ jolloin saadaan sijoitettua d eλt U (t) αdB (t) −λe U (t) + = −λeλt U (t) + eλt dt dt λt d e U (t) αdB (t) = eλt . dt dt Laskemalla integraalit saadaan Z t λt e U (t) − U (0) = αeλs dB (s) λt Kalvo 12 (1.7) (1.8) (1.9) 0 ja j¨ arjestelem¨ all¨ a ja kertomalla viel¨ a termill¨ a e−λt saadaan n¨ akyviin lopullinen tulos Z t −λt −λt U (t) = e U (0) + e αeλs dB (s) , (1.10) 0 joka on O–U-prosessi. Tutkitaan seuraavaksi prosessia. Kaavasta (1.10) saadaan laskettua & % Kalvo 13 Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a 7 ' $ prosessille odotusarvo ja kovarianssi seuraavasti (olettamalla, ett¨ a s < t) Z t Z t λs λs −λt −λt −λt −λt αe dB (s) αe dB (s) = E e U (0) + E e E e U (0) + e 0 0 = 0, Rt silla o integraali ja E e−λt U (0) = 0, koska U (0) ¨ 0 αeλs dB (s) on Itˆ noudattaa normaalijakaumaa odotusarvolla nolla. Kovarianssifunktio & % ' $ lasketaan seuraavasti Q (t − s) = Q (t, s) Z −λs −λs =E e U (0) + e Kalvo 14 s Z t −λt −λt λs αe dB (r) e U (0) + e αe dB (s) λr 0 0 = E e−λs U (0) e−λt U (0) + e−λs U (0) e−λt Z t λs αe dB (s) 0 −λs Z +E e λr −λt αe dBe 0 & s −λs Z U (0) + e s λr −λt Z αe dB (r) e 0 t αe dB (s) λs 0 % Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a 8 ' $ −λt −λs =e e 2 −λt −λs t Z E U (0) + e e E U (0) Z s −λt −λs λr +e e E U (0) αe dB (r) αe dB (s) λs 0 0 Kalvo 15 −λt −λs +e e Z s 0 =e e 2 2λ αe dB (s) λs αe dB (r) E −λt −λs α t Z λr 0 −λt −λs +e e Z s t Z λr αe dB (r) E αe dB (s) , λs 0 0 koska E U (0) 0 αeλs dB (s) = 0 riippumattomuuden perusteella ja 2 α2 α2 E U (0) = 2λ , sill¨ a U (0) ∼ N 0, 2λ . Kun nyt jaetaan Rt & % ' $ kovarianssi summaksi seuraavasti Z s Z t λr λs E αe dB (r) αe dB (s) Kalvo 16 0 0 Z =E s λr Z αe dB (r) 0 0 s Z αe dB (r) + E λr 0 s λr Z αe dB (r) t αe dB (s) , λs s niin n¨ ahd¨ a¨ an, ett¨ a j¨ alkimm¨ ainen termi on nolla riippumattomuuden & % Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a 9 ' $ perusteella, joten −λt −λs α Q (t − s) = e e = e−λt e−λs Kalvo 17 = e−λt e−λs 2λ e −λt −λs +e e Z α + e−λt e−λs E 2λ 2λ Z λr 0 2 2 s αe dB (r) E α2 + e−λt e−λs E 2λ −λt −λs α =e 2 −λt −λs +e e Z 0 αeλr 2 dr 0 E αe dB (r) λr 2 s λr αe dB (r) 0 s Z s α2 2λs α2 e − 2λ 2λ α2 α2 α2 + e−λ(t−s) − e−λ(t+s) , 2λ 2λ 2λ 2 Rs R s λr 2 miss¨ a E 0 αe dB (r) = E 0 αeλr dr Ito-isometrian = e−λ(t+s) Kalvo 18 & % ' $ mukaisesti. Symmetrisyyden perusteella saadaan kovarianssiksi 2 2 α α2 α2 −λ|t−s| α −λ(t+s) e +e − = e−λ|t−s| . 2λ 2λ 2λ 2λ & % Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a 10 ' 1.4.1 $ Populaation kasvu Tarkastellaan aluksi deterministist¨ a populaationkasvumallia dN = a(t)N (t), dt Kalvo 19 N (0) = N0 (vakio), (1.11) missa ¨ N (t) on populaation koko hetkella ¨ t ja a(t) on kasvukerroin hetkell¨ a t. Todellisuudessa varmastikaan a(t) ei noudata mit¨ a¨ an deterministist¨ a funktiota vaan siin¨ a luonnollisesti tapahtuu koko ajan pient¨ a heilahtelua. T¨ at¨ a muutosta voidaan ottaa huomioon muuttamalla kerrointa hieman a(t) = r(t) + ”kohina”, missa aytt¨ aytymist¨ a van ¨ emme tarkkaan tunne kohinatermin k¨ ainoastaan sen jakauman. Kuinka voisimme ratkaista differentiaaliyhta ¨lo ¨n 1.11 ta¨ssa ¨ tilanteessa? & % ' $ Kuvataan mallia seuraavasti dN = at Nt , N0 annettu, dt miss¨ a at = rt + αWt ja Wt on valkoinen kohina ja α on vakio. Oletetaan lis¨ aksi, ett¨ a rt = r on my¨ os vakio. Yht¨ al¨ o saadaan nyt stokastisen Ito differentiaaliyht¨ al¨ on muotoon dNt = rNt dt + αNt dBt Kalvo 20 (1.12) tai dNt = rdt + αdBt . Nt Valkoinen kohina Wt on m¨a¨ aritelty Brownin liikkeen differentiaalina dBt a nimitt¨ aj¨ a h¨ avi¨ a¨ a kerrottaessa dt:ll¨ a. N¨ ain ei kyll¨ a Wt = dt , miss¨ oikeastaan voitaisi kirjoittaa, sill¨ a kuten tunnettua on, niin Brownin liike ei ole miss¨ a¨ an differentioituva. & % Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a 11 ' $ Edellinen yht¨ al¨ o saadaan integraalimuotoon Z t dNs = rt + αBt , (B0 = 0). 0 Ns (1.13) Arvioidaan integraalin vasenta puolta k¨ aytt¨ aen Ito’n kaavaa funktioon g(t, x) = ln x, x > 0 Kalvo 21 ja saadaan d(ln Nt ) = = = 1 1 1 dNt + − 2 (dNt )2 Nt 2 Nt dNt 1 2 2 − α Nt dt Nt 2Nt2 1 dNt − α2 dt, Nt 2 silla ¨ dt · dt = dt · dBt = dBt · dt = 0 ja dBt · dBt = dt & % ' $ J¨ arjestyst¨ a muokkaamalla saadaan dNt Nt 1 = d(ln Nt ) + α2 dt 2 ja k¨ aytt¨ am¨ all¨ a yht¨ al¨ o¨ a 1.13 saadaan Kalvo 22 1 rdt + αdBt = d(ln Nt ) + α2 dt, 2 joka saadaan muokattua muotoon Nt 1 ln = (r − α2 )dt + αdBt N0 2 tai 1 2 Nt = N0 e(r− 2 α )t+αBt , (1.14) jolloin saimme stokastiselle differentiaaliyht¨ al¨ olle vahvan ratkaisun. Edell¨ a k¨ asitelty stokastinen differentiaaliyht¨ al¨ o on tuttua muotoa eli & % Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a ' 12 $ kyseisen kaltaisia prosesseja kutsutaan geometriseksi Brownin liikkeeksi. Vrt. osakkeiden hinnoittelumalleihin. 1.4.2 Kalvo 23 Poliittinen vakaumus Tarkastellaan poliittista kahtiajakautumista (ei v¨ altt¨ am¨ att¨ a ihan Suomen tilanne) ja mallinnetaan poliittista vakaumusta stokastisen differentiaaliyhta ¨lo ¨n avulla. Olkoon Xt henkilo ¨n poliittinen vakaumus liberaali-konservatiivi-asteikolla, miss¨ a X = 0 kuvaa hyvin liberaalia vakaumusta ja X = 1 konservatiivista vakaumusta. Oletetaan lis¨ aksi, ett¨ a yleisesti ihmiset pyrkiv¨ at kohti poliittista keskitiet¨ a, mutta a¨ arilaitojen kannattajat pit¨ av¨ at tiukemmin kiinni omista ¨ kannoistaan. T¨ all¨ oin diffuusio termi voisi olla σ 2 = εx(1 − x) ja ja stokastinen differentiaaliyht¨ al¨ o p (1.15) dXt = r(G − Xt )dt + εXt (1 − Xt )dBs , & % ' $ kuvaa henkil¨ on liikett¨ a poliittista keskitiet¨ a kohden. Tilastollisessa tasapainotilassa X:n odotusarvo on G riippumatta r:n ja ε:n saamista arvoista. Kalvo 24 Kerron r kuvaa sit¨ a kuinka voimakkaasti yleisesti on tarvetta mukautua keskitiehen, oletamme sen olevan vakio. Toinen kerroin ε on satunnainen ja kuvaa poliittisen vakaumuksen muutosta. Termi saa suurempia arvoja poliittisen myllerryksen aikana ja pysyy pienemp¨ an¨ a, kun ajat ovat seesteisemm¨ at. 1.4.3 Stokastisten differentiaaliyht¨ al¨ oiden numeerisesta simuloinnista Luennon kuuntelemisen helpottamiseksi ja varsinkin harjoitusten tekoa varten ta ¨ytyy tutustua itsena ¨isesti Higham, D. J. artikkeliin , An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic & % Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a 13 ' $ Differential Equations. SIAM Review Volume 43, Number 3 pp. 525-546. Artikkeli l¨ oytyy osoitteesta http://epubs.siam.org/sam-bin/dbq/article/37830 Brownin liikkeen sovelluksia k¨ asittelev¨ ass¨ a luennossa artikkelin alkup¨ a¨ an menetelmi¨ a k¨ aytt¨ aen oli mallinnettu Brownin liikkeen kuvaajia. Kalvo 25 Siirryt¨ a¨ an suoraan artikkelin nelj¨ anteen lukuun 1.4.4 Euler–Maruyama menetelm¨ a . Tarkastellaan Stokastista integraaliyht¨ al¨ o¨ a Z t Z t X(t) = X0 + f (X(s))ds + g(X(s))dW (s), 0 0 ≤ t ≤ T, (1.16) 0 & % ' $ miss¨ a Brownin liikett¨ a kuvaa W ja funktiot f ja g ovat skalaareita ja alkuehto on satunnaismuuttuja. Kuten jo aiemmin todettiin, niin ko. yht¨ al¨ o voidaan kirjoittaa my¨ os differentiaalimuodossa dX(t) = f (X(t))dt + g(X(t))dW (t), X(0) = X0 Kalvo 26 0 ≤ t ≤ T. (1.17) Aluksi diskretoidaan v¨ ali [0, T ]. Olkoon ∆t = TL , jollekin L ∈ N ja τj = j∆t. Kirjoitetaan X(τj ) = Xj . Euler–Maruyama menetelm¨ a on seuraava Xj = Xj−1 + f (Xj−1 )∆t + g(Xj−1 ) (W (τj ) − W (τj−1 )) , j = 1, 2, . . . , L. (1.18) Laskennassa k¨ aytet¨ a¨ an hyv¨ aksi (artikkelissa aiemmin generoitua) Brownin liikett¨ a, jonka avulla lis¨ aykset (W (τj ) − W (τj−1 )) lasketaan. Esimerkkin¨ a otetaan SDY dX(t) = λdt + µX(t)dW (t), X(0) = X0 , miss¨ a µ ja λ ovat reaalisia vakiota. Kyseinen SDY muistuttaa eritt¨ ain & % Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a 14 ' $ la a ja sille saadaan ¨heisesti populaation kasvu esimerkin SDY:t¨ eksakti ratkaisu 1 2 X(t) = X(0)e(λ− 2 µ )t+µW (t) . (1.19) m-tiedostossa on k¨ aytetty arvoja λ = 2, µ = 1 ja X0 = 1. Ja laskenta tapahtuu v¨ alill¨ a [0, 1], miss¨ a muutos δt = 2−8 . Kalvo 27 Seuraavana on lainattu (muutamalla muokkauksella) artikkelin koodi em.m %EM Euler-Maruyama method on linear SDE % % SDE is dX = lambda*X dt + mu*X dW, X(0) = Xzero, % where lambda = 2, mu = 1 and Xzero = 1. % % Discretized Brownian path over [0,1] has dt = 2^(-8). % Euler-Maruyama uses timestep R*dt. & % ' $ % randn(’state’,100) lambda = 2; mu = 1; Xzero = 1; T = 1; N = 2^8; dt = 1/N; dW = sqrt(dt)*randn(1,N); W = cumsum(dW); Kalvo 28 % problem parameters % Brownian increments % discretized Brownian path Xtrue = Xzero*exp((lambda-0.5*mu^2)*([dt:dt:T])+mu*W); plot([0:dt:T],[Xzero,Xtrue],’b-’), hold on R = 4; Dt = R*dt; L = N/R; % L EM steps of size Dt = R*dt Xem = zeros(1,L); % preallocate for efficiency Xtemp = Xzero; for j = 1:L Winc = sum(dW(R*(j-1)+1:R*j)); Xtemp = Xtemp + Dt*lambda*Xtemp + mu*Xtemp*Winc; Xem(j) = Xtemp; & % Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a ' 15 $ end Kalvo 29 plot([0:Dt:T],[Xzero,Xem],’r--*’), hold off xlabel(’t’,’FontSize’,12) ylabel(’X’,’FontSize’,16,’Rotation’,0,’HorizontalAlignment’,’right’) emerr = abs(Xem(end)-Xtrue(end)) & % ' $ & % Kalvo 30 Stokastisista differentiaaliyht¨ al¨ oist¨ a ' 16 $ Ohjelma siis antaa sek¨ a ratkaisupolun E-M menetelm¨ an avulla ja eksaktin ratkaisupolun. Tutustu huolella numeeriseen ratkaisuun. Harjoitusteht¨ aviss¨ a on tarkoitus itse muokata ohjelmaa siten, ett¨ a se antaa E-M menetelm¨ an avulla ratkaisupolkuja muutamille stokastisille diffentiaaliyht¨ al¨ oille. Luentomateriaali pohjautuu p¨ a¨ aosin seuraavaan kirjallisuuteen Kalvo 31 • Cobb, L., Stochastic Differential Equations for the Social Sciences. Mathematical Fronties of the Social and Policy Sciences. Westview Press, 1981. • Grigoriu, M. , Stochastic Calculus application in science and engineering. Birkh¨ auser, Boston. 2002 Kalvo 32 • Higham, D. J., An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations. SIAM Review Volume 43, Number 3 pp. 525-546 & % ' $ • Mikosch, T. , Elementary Stochastic Calculus with finance in view . World Scientific Publishing CO. Pte. Ltd., Singapore. 1998 ¨ • Oksendal,B. Stochastic Differential Equations. Springer-Verlag, 1998 & %
