Lukujonon raja-arvo CAS

Lukujono raja-arvo CAS-laskin ja GeoGebra
Jussi Kytömäki
Jussi.kytomaki@ylojarvi.fi
FB-Naavaparran matikka
3n  1
Lukujono an 
n 1
1o Määritä raja  arvo a
2o Määritä n , kun  on
0,5; 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001, 0, 00001
Ratkaisut CAS  laskimella ja GeoGebralla
Lukujonon raja-arvo ja kriittiset n:n arvot CAS-laskimella
Määritellään lukujonon yleinen
termi a(n). Huomaa
sijoitusoperaattori :=
Tällä rivillä tehdään kaksi
peräkkäistä komentoa:
Ensin sijoitetaan e:n arvoksi
etäisyys raja-arvosta.
Kaksoispisteen jälkeen
voidaan kirjoittaa etäisyysepäyhtälön ratkaiseva komento.
Tehtävän eri epsilonin e
arvoa vastaavat kriittiset n:n
arvot löytyvät helposti:
Laskin urputtaa määrittelyjoukosta, ihan aiheesta:
Mennään nuolella ylös ja
poimitaan epäyhtälö
editoitavaksi.
Muuta vain e:n arvoa ja sitten
Enter.
Ratkaisu CAS-laskimella suoraan lausekkeiden avulla
Tässä epsilon eli etäisyys
raja-arvosta on 0,001
Itseisarvomerkit voidaan
poistaa:
|n+1|=n+1, koska on
kokonaisluku ja n>0
Jos epäyhtälöön jätetään
lausekkeen itseisarvo,
ratkaisujoukko laajenee.
Pitää muistaa, että n >0.
Vastaus: Jonon jäsenten etäisyys raja-arvosta 3 on pienempi
kuin 0,001 n:n arvosta 4000 lähtien.
Lukujonon raja-arvo ja kriittiset n:n arvot GeoGebralla
GeoGebran CASlaskimella.
Seuraavissa dioissa kriittiset n:n arvot on määritetty graafisesti.
1.
2.
Grafiikaikkunan rajat muutetaan: valitaan väli xMin - xMax ja yMin - yMax
sopivasti (y-arvot rajakohdan a=3 läheltä huomioiden epsilon eli etäisyys.
Ohjelma piirtää punaiset pisteet sopivasti x:n rajojen mukaisesti. Kohta, missä
tunkeudutaan alle epsilonin päähän raja-arvosta, löytyy sitten valitsemalla
sopivat luvut syöttökenttiin Tarkka ala n ja Tarkka lopeta n. Kriittinen n
löydetään liu’un n_epsilon avulla.
Huomaa: kun n kasvaa kymmenkertaiseksi ja y pienenee kymmenesosaan, lukujono
säilyy ”yhdenmuotoisena” eli ”kaarevuus ei muutu”.
Kun n  7, on a (n)  a  0,5
Kun n  39, on a (n)  a  0,1
Kun n  399, on a (n)  a  0, 01
Kun n  3999, on a (n)  a  0, 001