Kappale 36 luentodiat

Luku 36
Diffraktio
PowerPoint® Lectures for
University Physics, Twelfth Edition
– Hugh D. Young and Roger A. Freedman
Lectures by James Pazun
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Johdanto
• Ääni kuuluu helposti nurkan taakse
• Myös valo voi taipua nurkan taakse
• Ilmiötä sanotaan diffraktioksi
• Seurausta valon aaltoluonteesta
• Kysymys monen valoaallon
yhdistymisestä
• Ilmiö selittää DVD-levyn heijastukset
• Molekyylien rakenteen määrittämisessä
käytettävä röntgenmenetelmä ja
holografia perustuu diffraktioon
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Fresnelin ja Fraunhoferin diffraktio
• Geometrisen optiikan mukaan
pistemäinen valonlähde, joka valaisee
varjostimen edessä olevaa esinettä,
tuottaa terävän varjon
• Näin ei tapahdukaan valon
aaltoluonteesta johtuen
• Tapahtuu interferenssiä, jota kutsutaan
diffraktioksi eli valon taipumiseksi
• Diffraktiota tapahtuu, kun valo kulkee
äärellisen kokoisen aukon läpi tai
esineen reunan läheltä
• Ilmiön havaitseminen vaatii
monokromaattisen, pistemäisen
valolähteen  ei havaita arkielämässä
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Fresnelin ja Fraunhoferin diffraktio
• Kuva alla: partaterä asetettu monokromaattisen pistelähteen ja varjostimen
puoleen väliin  valoa taipunut (vähän) varjon puolelle, valoisa puoli koostuu
interferenssijuovista
• Diffraktiokuvio voidaan analysoida Huygensin periaatteen avulla:
aaltorintaman jokainen piste toimii sekundäärisen palloaallon lähteenä
• Fresnelin diffraktio: valon lähde, este ja varjostin ovat lähellä toisiaan
• Fraunhoferin diffraktio: lähde, este ja varjostin kaukana toisistaan
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktio kapeassa raossa
• Monokromaattinen tasoaalto (samansuuntaiset säteet) saapuu
rakoon
• Valo taipuu pystysuunnassa, muodostuu diffraktiokuvio
• Vaakasuora taipuminen mitätöntä, koska rako on hyvin pitkä
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktio kapeassa raossa
• Kokonaisamplitudi pisteessä P saadaan laskemalla raosta tulevien
sekundääristen osa-aaltojen amplitudit yhteen, huomioiden vaihe-erot
• Jos varjostin kaukana, niin aallot saman suuntaisia (Fraunhoferin
diffraktio)
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktio kapeassa raossa
• Jos raon yläosasta ja keskeltä lähtevien säteiden matkaero (a/2) sin = /2,
säteet kumoavat toisensa
• Myös kaikki muut sädeparit näiden alapuolella kumoavat toisensa
• Tumma juova kohdissa
• Yleisemmin (jakamalla rako useampaan osaan):
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktio kapeassa raossa
• Tummien kohtien välissä kirkkaat
juovat (myös keskellä)
• Pienillä kulmilla sin    tummille
juoville
• Jos x on varjostimen etäisyys raosta,
m:nnen tumman juovan etäisyys
keskimaksimista
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Esim. 36.1
Kapeaa rakoa valaistaan laservalolla, jonka aallonpituus on 633 nm.
Diffraktiokuviota havaitaan 6 m:n päässä olevalla varjostimella. Päämaksimin
molemmin puolin olevien ensimmäisten minimien välimatkaksi mitataan 32 mm.
Kuinka leveä on rako?
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Vaiheenosoitindiagrammi
• Sinimuotoiset funktiot voidaan esittää
pyörivän vektorin avulla, jonka vaakaakselin suuntainen projektio esittää
funktion hetkellistä arvoa
• Viereisessä kuvassa tarkastellaan
vektoreiden
resultanttiamplitudin EP määrittämistä
• Molempia aaltoja esittävät vektorit
näkyvät vaaka-akselilla
• Hetkellä t aallon 2 vektori muodostaa
kulman t vaaka-akselin kanssa
• Aallon 1 vektori muodostaa kulman 
edellisen vektorin kanssa
• Kuvan perusteella voidaan määrittää
resultanttiaaltoa kuvaava vektori ja
sen amplitudi
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Kapean raon diffraktiokuvion intensiteetti
• Jaetaan raon kohdalla tasoaalto joukoksi
sekundäärisiä pistelähteitä
• Resultanttiamplitudi pisteessä P
lasketaan vaiheenosoitusdiagrammilla
• Etäisyys jokaisesta lähteestä
keskipisteeseen O on sama  ei vaiheeroja  vaiheenosoittimet saman
suuntaisia  asettuvat vaaka-akselille
hetkellä t = 0
• Resultanttiamplitudi E0
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Kapean raon diffraktiokuvion intensiteetti
• Aaltojen saapuessa pisteeseen P
kulmassa   0 peräkkäisten
sekundääristen lähteiden aalloilla (vakio)
vaihe-ero
• Resultanttiamplitudi osa-aaltojen
vaihevektorien summa (kuva c)
• Jos raon tasoaalto jaetaan äärettömän
moneksi sekundääriseksi lähteeksi, osaaallot muodostavat ympyrän (sektorin)
kaaren (kuva d), kaaren pituus E0
• Resultanttiamplitudi:
• Intensiteetti:
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Kapean raon diffraktiokuvion intensiteetti
• Reunimmaisten säteiden välinen
matkaero on a sin   vaihe-ero

• Tummat juovat kohdissa, joissa
osoittaja on nolla (/2 = m):
• Kirkkaat raidat suunnilleen (ei tarkasti)
sinifunktion maksimikohdissa sin(/2) =
1:
• Tarkasti 1. sivumaksimi 2.869, toinen
 4.918
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Kapean raon diffraktiokuvion intensiteetti
• Sivumaksimien approksimatiiviset
intensiteetit:
• Approksimaation tulokset:
• Tarkat tulokset:
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Kapean raon diffraktiokuvion intensiteetti
• Ensimmäisten minimien kulmat:  = /a
 Diffraktiokuvion leveä kun raon leveys a aallonpituuden luokkaa
• Ääniaallon aallonpituus metrin luokkaa  taipuu voimakkaasti oviaukosta
• Valon aallonpituus noin 500 nm  ei taivu oviaukosta
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Esim. 36.2
Laske kapean raon diffraktiokuvion intensiteetti suunnassa, jossa raon
äärimmäisten pisteiden välinen vaihe-ero on 66 radiaania. Jos kyseinen suunta on θ
= 7,0°, niin laske montako aallonpituutta raon leveys on.
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Esim. 36.3
Laske sivun esimerkin 36.1 koejärjestelyssä intensiteetti varjostimen pisteessä, joka
on 3,0 mm:n päässä keskimaksimista.
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Kaksi äärellisen kokoista rakoa
• Jos rakojen leveys on äärellinen, kahden
raon interferenssikuvio moduloituu
yhden raon diffraktiokuviolla
• Kuva a: yhden raon (leveys a)
diffraktiokuvio
• Kuva b: kahden äärettömän kapean raon
(välimatka d = 2a) interferenssikuvio
• Kuva c: Kahden a:n levyisen raon kuvio
• Intensiteetti interferenssin ja diffraktion
intensiteettien tulo:
missä
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Laser Diffraction and Interference:
https://www.youtube.com/watch?v=9D8cPrEAGyc
• Youngin kahden raon kokeessa raot
oletettiin äärettömän kapeiksi
Kahdeksan rakoa
• Kahdeksan rakoa, kapeita verrattuna
aallonpituuteen  aallot leviävät lähes
tasaisesti joka suuntaan
• Konstruktiivinen interferenssi, kun
matkaero vierekkäisistä raoista
pisteeseen P aallonpituuden monikerta
(kuten kahden raon kokeessa):
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Kahdeksan rakoa
• Maksimien välissä minimit, kun
matkaero aallonpituuden puoliluku
(kuten kahdelle raolle), vastaten vaiheeroa , 3, 5… (kuva a)
• Lisäminimit, kun vaihe-ero  on /4:n
monikerta (kuvat b ja c)
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Kahdeksan rakoa
• Maksimien välissä minimit, kun
matkaero aallonpituuden puoliluku
(kuten kahdelle raolle), vastaten vaiheeroa , 3, 5…
• Lisäminimit, kun vaihe-ero on /4:n
monikerta
• Päämaksimit samassa kohtaan kuin
kahden raon kokeessa, mutta niiden
leveys pienempi
• Jos rakojen lukumäärä on N,
päämaksimien välissä (N-1) minimiä, ja
minimit havaitaan, kun vierekkäisten
säteiden vaihe-ero on 2/N:n
monikerta
• Minimien välissä sivumaksimit
• Päämaksimit sitä kapeampia ja
korkeampia, mitä suurempi N (leveys 
1/N, korkeus  N2)
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktiohila
• Kasvattamalla rakojen lukumäärää
saadaan päämaksimeista hyvin kapeita ja
teräviä
• Suuri joukko tasaisin välein d olevia alevyisiä rakoja muodostaa
diffraktiohilan
• Vieressä läpäisyhilan poikkileikkaus,
rakojen välimatka d on hilavakio
• Päämaksimit (hilayhtälö):
• Ensimmäisen kertaluvun maksimeille m
= 1, toisen m = 2
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktiohila
• Kasvattamalla rakojen lukumäärää
saadaan päämaksimeista hyvin kapeita ja
teräviä
• Suuri joukko tasaisin välein d olevia alevyisiä rakoja muodostaa
diffraktiohilan
• Vieressä läpäisyhilan poikkileikkaus,
rakojen välimatka d on hilavakio
• Päämaksimit (hilayhtälö):
• Ensimmäisen kertaluvun maksimeille m
= 1, toisen m = 2
• Jos hilaa valaistaan valkoisella valolla,
jokaiseen kertalukuun muodostuu oma
spektri
• Heijastushilassa raot korvataan
heijastavalla pinnalla, välit ei heijasta
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Esim. 36.4
Hilaa, jossa on 600 rakoa millimetrillä valaistaan kohtisuorasti näkyvällä valolla
(380-750 nm). (a) Laske spektrin kulmaleveys ensimmäisessä kertaluvussa. (b)
Osoita, että kolmannen kertaluvun spektrin violetti reuna ja toisen kertaluvun
punainen reuna menevät päällekkäin.
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktiohila spektrometri
• Diffraktiohila taittaa eri aallonpituudet
eri kulmiin
• Aallonpituudet voidaan laskea
hilayhtälön avulla
• Aallonpituuden ja kulman välinen suhde
helpommin määritettävissä kuin
prismalle
• Kun rakoja paljon, kulmat voidaan
määrittää hyvin tarkasti  hyvä
resoluutio
• Osa auringon valosta absorboituu
kaasumolekyyleihin, absorptiota
vastaavat aallonpituudet näkyvät
tummina juovina diffraktiohilaspektrissä
 voidaan päätellä kaasukehän
koostumus
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktiohila spektrometri
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktiohila spektrometri
• Jos pienin aallonpituus ero, joka voidaan
erottaa, on , laiteen erotuskyky on
• Oletetaan, että kahden aallonpituuden
päämaksimit voidaan vielä erottaa
toisistaan, jos toisen maksimi sattuu
toisen maksimin vieressä olevaan
minimiin
• Päämaksimin vaihe-ero  = m2,
ensimmäisen sivumaksimin  = m2 +
2/N  erotus d = 2/N
• Toisaalta vaihe-ero  = 2dsin/


• Derivoimalla hilayhtälö dsin = m :n
suhteen saadaan dcos d = md


Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Esim.
Montako rakoa hilassa on oltava, jotta natriumin dubletti (aallonpituudet 589,00 ja
589,59 nm) erotetaan ensimmäisessä kertaluvussa? Neljännessä kertaluvussa?
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktio röntgensäteillä
• Röngensäteiden aallonpituus ~10-10 m
• Löysi Wilhelm Röngen vuonna 1895
• Max von Laue 1912: kiteet toimii
diffraktiohiloina röntgensäteille
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktio röntgensäteillä
• SM aallon vuoksi atomeiden varaukset
värähtelevät  tuottavat siroavan aallon
• Maksimi voidaan nähdä,
jos  < 2d/m
• Tason peräkkäisistä atomeista
sironneiden säteiden matkaero sama, jos
tulokulma ja sirontakulma samat: a = r
 diffraktiomaksimi
• NaCl-kiteessä d = 0.282
nm   < 0.564 nm, kun
m = 1  diffraktio vaatii
röngensäteitä
• Kun  = a = r, peräkkäisistä tasoista
sironneiden säteiden matkaero 2dsin 
diffraktiomaksimille (Braggin ehto)
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktio röntgensäteillä
• Diffraktio erisuuntaisista 3D-tasoista
tuottaa maksimin, jos tulokulma ja
siroamiskulma samat
• Rosalind Franklin selvitti DNA:n
kaksoiskierrerakenteen
röngendiffraktion avulla vuonna 1953
(diffraktiokuvio oikealla)
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Esim. 36.5
Röntgensädekimppu, jonka aallonpituus on 0,154 nm, ohjataan piikiteeseen
kidetasojen suunnassa. Kun säteen tulokulmaa kasvatetaan hitaasti, ensimmäinen
voimakas sirontamaksimi havaitaan kulmalla 34,5°. Mikä on kidetasojen
välimatka? Havaitaanko seuraava maksimi suuremmalla kulmalla?
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktio pyöreässä aukossa
• Tummat renkaat:
• Kirkkaat renkaat:
• Keskiympyrää kutsutaan Airyn levyksi
• Ensimmäisen kirkkaan renkaan
intensiteetti vain 1.7% keskikohdan
intensiteetistä
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Diffraktio pyöreässä aukossa ja erotuskyky
• Optisissa systeemeissä diffraktio asettaa
rajan, kuinka lähellä olevat kuvapisteet
voidaan erottaa toisistaan
• Aukon kokoa kasvattamalla saadaan
Airyn levyn kokoa pienennettyä
• Rayleigh’n kriteerin mukaan kaksi
kohdetta on juuri erotettavissa toisistaan,
jos toisen diffraktiokuvion maksimi
sattuu toisen 1. minimin kohdalle
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Esim. 36.6
Kameran f / 2 linssin polttoväli on 50 mm ja se muodostaa kuvan 9,0 m:n päässä
olevasta esineestä. (a) Laske kahden vielä juuri ja juuri toisistaan erotettuvan
esinepisteen etäisyys toisistaan. Mikä on vastaavien kuvapisteiden välimatka? (b)
Miten tilanne muuttuu, kun linssi muutetaan f 16 linssiksi?
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Holografia
• Suoraan tulevan ja esineestä siroavan valon yhteisvaikutuksena filmille
muodostuu hyvin monimutkainen interferenssikuvio
• Filmi kehitetään, jolloin saadaan hologrammi
• Kehitetyn hologrammin läpi ohjataan monokromaattista valoa, jolloin syntyy
kaksi kuvaa, todellinen kuva filmin taakse ja valekuva filmin eteen
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Holografia
• Filmille saapuu samanaikaisesti tasoaalto suoraan lähteestä ja palloaalto
pistemäisestä esineestä P
• Konstruktiivinen interferenssi:
• Koska b0 >> ,
• Kun positiivia valaistaan, syntyy pisteeseen P’ interferenssimaksimi (P:n kuva)
• Lisäksi divergoiva aaltokartio, joka näyttää lähtevän pisteestä P (P:n valekuva)
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley
Holografia
• Kaksi valokuvaa hologrammista eri kulmista  perspektiivi
muuttuu 3D kuvassa
Copyright © 2008 Pearson Education Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley