Diskreetti matematiikka II Demonstraatio II, 23.1.2015 1. Olkoon Σ

Diskreetti matematiikka II
Demonstraatio II, 23.1.2015
1. Olkoon Σ äärellinen aakkosto. Sana w on palindromi, jos w = wR , missä wR on sanan w
peilisana (ks. luentomoniste).
Esitä induktiivinen määritelmä palindromisanojen joukolle aakkostossa Σ.
2. Reaalilukupolynomien joukko P(x) määritellään induktiivisesti seuraavasti:
P(x) pienin joukko, joka toteuttaa seuraavat ehdot:
(a) Kaikilla a ∈ R, a ∈ P(x), ja x ∈ P(x).
(b) Jos p1 (x), p2 (x) ∈ P(x), niin p1 (x) + p2 (x) ∈ P(x) ja p1 (x) · p2 (x) ∈ P(x).
Määrittele induktiivisesti polynomille p(x) ja reaaliluvulle a käsite "p arvolla a"eli p(a).
Huom. Määritelmän tulee siis vastata tavallista luvun a sijoitusta muuttujan x paikalle.
3. Osoita rakenteelliselle induktiolla, että seuraava lause, ns. jäännöslause, pitää paikkaansa.
Olkoon p(x) polynomi ja a jokin reaaliluku. Silloin on olemassa polynomi q(x), joille
p(x) = (x − a)q(x) + p(a).
4. Propositiologiikan kaavojen joukko Prop määriteltiin demoissa I (teht. 5).
(a) Määrittele induktiivisesti funktio k : Prop → N, missä k(P ) on kaavan P konnektiivien (∧, ∨, →, ↔ ja ¬) esiintymien lukumäärä. Esim. jos P = ((p1 ∨ (¬p2 )) ∧ p1 ), niin
k(P ) = 3.
(b) Demoissa I määriteltiin myös funktio s : Prop → N, jonka arvo on propositiossa
esiintyvien sulkujen lukumäärä.
Osoita rakenteellisella induktiolla, että s(P ) = 2k(P ).
5. Ratkaise rekursio u0 = 1, u1 = 9 ja
un+2 = 9un
kun n ≥ 0.
6. Ratkaise rekursio u0 = 3, u1 = 7 ja
un+2 = 4un+1 − 4un ,
kun n ≥ 0.
7. Olkoon Σ äärellinen aakkosto. Joukkoa L ⊆ Σ∗ kutsutaan kieleksi. Kieli on siis jokin
aakkoston Σ sanojen joukko.
Olkoot L ja K kaksi kieltä. Määritellään kielten yhdiste (tai tulo) L · K seuraavasti:
L · K = LK = {uv | u ∈ L, v ∈ K}
Olkoot L = {ε, a, ab} ja K = {b, bb, bba}. Määritä LK ja KL.