Luentokalvot

Toinen muotoilu
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Edellinen sääntö toisin:
Lause 2.5. {A1 , A2 , . . . , An } B täsmälleen silloin kun
{A1 , A2 , . . . , An , B ′ } 0,
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
1 / 13
Toinen muotoilu
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Edellinen sääntö toisin:
Lause 2.5. {A1 , A2 , . . . , An } B täsmälleen silloin kun
{A1 , A2 , . . . , An , B ′ } 0,
(0 on aina epätosi lause eli looginen ristiriita).
Tod. ...
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
1 / 13
Toinen muotoilu
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Edellinen sääntö toisin:
Lause 2.5. {A1 , A2 , . . . , An } B täsmälleen silloin kun
{A1 , A2 , . . . , An , B ′ } 0,
(0 on aina epätosi lause eli looginen ristiriita).
Tod. ...
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
Esimerkki 2.17. Osoita, että {A′ ↔ B, B → C, C ′ } A.
Ratk. ...
1 / 13
Tehokas päättelymenetelmä
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio: Ketjusäännön ja epäsuoran todistuksen avulla saatava
päättelysääntö.
Helposti mekanisoitava menetelmä.
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
2 / 13
Tehokas päättelymenetelmä
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Resoluutio: Ketjusäännön ja epäsuoran todistuksen avulla saatava
päättelysääntö.
Helposti mekanisoitava menetelmä.
Ketjusääntö toisin:
"Jos A′ → B on tosi ja B → C on tosi, niin A′ → C on tosi."
{A′ → B, B → C} A′ → C
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
2 / 13
Tehokas päättelymenetelmä
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Resoluutio: Ketjusäännön ja epäsuoran todistuksen avulla saatava
päättelysääntö.
Helposti mekanisoitava menetelmä.
Ketjusääntö toisin:
"Jos A′ → B on tosi ja B → C on tosi, niin A′ → C on tosi."
{A′ → B, B → C} A′ → C
Todistus jatkoa
Toisaalta:
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
A′ → B = A ∨ B , B → C = C ∨ B ′ ja A′ → C = A ∨ C .
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
2 / 13
Tehokas päättelymenetelmä
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Resoluutio: Ketjusäännön ja epäsuoran todistuksen avulla saatava
päättelysääntö.
Helposti mekanisoitava menetelmä.
Ketjusääntö toisin:
"Jos A′ → B on tosi ja B → C on tosi, niin A′ → C on tosi."
{A′ → B, B → C} A′ → C
Todistus jatkoa
Toisaalta:
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
A′ → B = A ∨ B , B → C = C ∨ B ′ ja A′ → C = A ∨ C .
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
Resoluutiosääntö (RS):
"Jos A ∨ B on tosi ja C ∨ B ′ on tosi, niin myös A ∨ C on tosi."
eli
{A ∨ B, C ∨ B ′ } A ∨ C
2 / 13
Resoluutio
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Lauseen 2.5. perusteella voidaan jokainen päättely muuntaa muotoon
{A1 , A2 , . . . , An } 0, joten riittää tarkastella tätä muotoa olevia päättelyjä.
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
3 / 13
Resoluutio
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Lauseen 2.5. perusteella voidaan jokainen päättely muuntaa muotoon
{A1 , A2 , . . . , An } 0, joten riittää tarkastella tätä muotoa olevia päättelyjä.
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Resoluutiomenettely.
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
1) Kirjoitetaan kukin lauseista A1 , A2 , . . . , An konjunktiiviseen
normaalimuotoon, jonka literaalit ovat alkeislauseita tai alkeislauseiden
negaatioita.
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
3 / 13
Resoluutio 2
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Olkoot näin saadut konjunktit C1 , C2 , . . . , Cm .
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
4 / 13
Resoluutio 2
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Olkoot näin saadut konjunktit C1 , C2 , . . . , Cm .
Selvästi A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An = C1 ∧ C2 ∧ · · · ∧ Cm .
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
4 / 13
Resoluutio 2
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Olkoot näin saadut konjunktit C1 , C2 , . . . , Cm .
Selvästi A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An = C1 ∧ C2 ∧ · · · ∧ Cm .
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Nyt
Resoluutio 4
{A1 , A2 , . . . , An } 0
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
täsmälleen silloin kun
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
{A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An } 0
täsmälleen silloin kun
Aksiomatisointi jatkoa
{C1 ∧ C2 ∧ · · · ∧ Cm } 0
täsmälleen silloin kun
{C1 , C2 , . . . , Cm } 0
4 / 13
Resoluutio 3
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
2) Siirrytään tarkastelemaan päättelyä {C1 , C2 , . . . , Cm } 0.
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
5 / 13
Resoluutio 3
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
2) Siirrytään tarkastelemaan päättelyä {C1 , C2 , . . . , Cm } 0.
3) Jos konjunktien C1 , C2 , . . . , Cm joukosta löytyy kaksi sellaista konjunktia,
joista yhdessä on literaalina alkeislause ja toisessa on saman alkeislauseen
negaatio, niin sovelletaan resoluutiosääntöä ja sen avulla päätellään uusi
konjunkti.
Esimerkki: Ci = A ∨ B ∨ C ∨ D ′ ja Cj = B ∨ D ∨ G
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Uusi konjunkti: A ∨ B ∨ C ∨ G.
Saatu uusi konjunkti lisätään konjunktilistaan C1 , C2 , . . . , Cm .
Aksiomatisointi jatkoa
5 / 13
Resoluutio 4
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Jos toinen konjunkteista on yksiliteraalinen, mutta toinen taas ei, voidaan
yksiliteraalinen konjunkti Ci muuntaa konjunktiksi Ci ∨ 0 ja soveltaa
resoluutiosääntöä.
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
6 / 13
Resoluutio 4
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Jos toinen konjunkteista on yksiliteraalinen, mutta toinen taas ei, voidaan
yksiliteraalinen konjunkti Ci muuntaa konjunktiksi Ci ∨ 0 ja soveltaa
resoluutiosääntöä.
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Esimerkki: Ci = B , Cj = A ∨ B ′ ∨ C . Tulkitaan, että Ci = B ∨ 0, jolloin
resoluutiosääntö antaa uuden konjunktin
A ∨ C ∨ 0 = A ∨ C.
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
6 / 13
Resoluutio 4
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Jos toinen konjunkteista on yksiliteraalinen, mutta toinen taas ei, voidaan
yksiliteraalinen konjunkti Ci muuntaa konjunktiksi Ci ∨ 0 ja soveltaa
resoluutiosääntöä.
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Esimerkki: Ci = B , Cj = A ∨ B ′ ∨ C . Tulkitaan, että Ci = B ∨ 0, jolloin
resoluutiosääntö antaa uuden konjunktin
A ∨ C ∨ 0 = A ∨ C.
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
Jos molemmat konjunktit ovat yksiliteraalisia, eli muotoa Ci = A ja Cj = A′ ,
päätellään 0 ja lopetetaan.
6 / 13
Resoluutio 4
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Jos toinen konjunkteista on yksiliteraalinen, mutta toinen taas ei, voidaan
yksiliteraalinen konjunkti Ci muuntaa konjunktiksi Ci ∨ 0 ja soveltaa
resoluutiosääntöä.
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Esimerkki: Ci = B , Cj = A ∨ B ′ ∨ C . Tulkitaan, että Ci = B ∨ 0, jolloin
resoluutiosääntö antaa uuden konjunktin
A ∨ C ∨ 0 = A ∨ C.
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
Jos molemmat konjunktit ovat yksiliteraalisia, eli muotoa Ci = A ja Cj = A′ ,
päätellään 0 ja lopetetaan.
4)Kohtaa 3) toistetaan kunnes 0 on saatu pääteltyä tai uusia konjunkteja ei
enää synny Resoluutiosäännön avulla.
6 / 13
Esimerkki 2.18.
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Osoita resoluutiomenettelyllä, että {C → A, C ′ → B} A ∨ B .
Ratk. ...
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
7 / 13
Resoluutiomenettelyn täydellisyys
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Lause 2.6. {A1 , A2 , . . . , An } 0 jos ja vain jos resoluutiomenettely
pysähtyy ja 0 on saatu pääteltyä.
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Tod. Äärellisestä literaalimäärästä voi syntyä vain äärellinen literaalimäärä,
joten resoluutiomenettely pysähtyy
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
8 / 13
Resoluutiomenettelyn täydellisyys
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Lause 2.6. {A1 , A2 , . . . , An } 0 jos ja vain jos resoluutiomenettely
pysähtyy ja 0 on saatu pääteltyä.
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Tod. Äärellisestä literaalimäärästä voi syntyä vain äärellinen literaalimäärä,
joten resoluutiomenettely pysähtyy
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
Jos resoluutiomenettelyllä saadaan pääteltyä 0, niin selvästi
{A1 , A2 , . . . , An } 0.
8 / 13
Todistus
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Riittää osoittaa:
Jos resoluutiomenettely pysähtyy, mutta 0:aa ei ole saatu pääteltyä,niin
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
{A1 , A2 , . . . , An } 2 0.
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Toisin: Jos resoluutiomenettely pysähtyy, mutta 0:aa ei ole saatu pääteltyä,
niin lauseiden A1 , A2 , . . . , An (tai vastaavasti konjunktien C1 , C2 , . . . , Cm )
alkeislauseille voidaan valita sellaiset totuusarvot, että kaikki lauseet Ai
(vastaavasti lauseet Cj ) ovat tosia.
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
9 / 13
Todistus jatkoa
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Tarkastellaan niitä konjunkteja, jotka esiintyvät prosessin pysähtyessä ilman,
että 0:aa olisi saatu pääteltyä. Olkoot kaikki tällöin esiintyvät alkeislauseet:
Resoluutio
Resoluutio 2
X1 , X2 , . . . , Xk .
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Rakennetaan literaalijono Y1 , Y2 , . . . , Yk , missä kaikilla i = 1, 2, . . . , k
Yi = Xi tai Yi = Xi′ seuraavasti:
Todistus
Todistus jatkoa
...
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
10 / 13
Resoluutioperiaate ja propositiologiikan päättelyt
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutioperiaatetta käyttäen voidaan siis suorittaa kaikki propositiologiikan
päättelyt.
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
11 / 13
Aksiomatisointi
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Tautologiat ovat yleispäteviä loogisia totuuksia eli lauselogiikan teoreemoja.
Teorian aksiomatisoinnilla tarkoitetaan menettelyä, jossa tietyistä aksiomista
voidaan sovittua/sovittuja päättelysääntöä/päättelysääntöjä käyttäen johtaa
kaikki teorian teoreemat (tai ainakin kyllin suuri osa niistä).
Lauselogiikan aksiomat ovat luonnollisesti tautologioita. Niiden valintoja
tunnetaan lukuisia.
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
12 / 13
Aksiomatisointi
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
Tautologiat ovat yleispäteviä loogisia totuuksia eli lauselogiikan teoreemoja.
Teorian aksiomatisoinnilla tarkoitetaan menettelyä, jossa tietyistä aksiomista
voidaan sovittua/sovittuja päättelysääntöä/päättelysääntöjä käyttäen johtaa
kaikki teorian teoreemat (tai ainakin kyllin suuri osa niistä).
Lauselogiikan aksiomat ovat luonnollisesti tautologioita. Niiden valintoja
tunnetaan lukuisia.
Lauselogiikka voidaan aksiomatisoida seuraavasti:
Aksiomat saadaan seuraavista tautologioista:
1) P → (Q → P );
2) (P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R));
3) (Q′ → P ′ ) → (P → Q),
12 / 13
Aksiomatisointi
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
Tautologiat ovat yleispäteviä loogisia totuuksia eli lauselogiikan teoreemoja.
Teorian aksiomatisoinnilla tarkoitetaan menettelyä, jossa tietyistä aksiomista
voidaan sovittua/sovittuja päättelysääntöä/päättelysääntöjä käyttäen johtaa
kaikki teorian teoreemat (tai ainakin kyllin suuri osa niistä).
Lauselogiikan aksiomat ovat luonnollisesti tautologioita. Niiden valintoja
tunnetaan lukuisia.
Lauselogiikka voidaan aksiomatisoida seuraavasti:
Aksiomat saadaan seuraavista tautologioista:
1) P → (Q → P );
2) (P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R));
3) (Q′ → P ′ ) → (P → Q),
Päättelysääntönä on Modus Ponens.
12 / 13
Aksiomatisointi
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
Tautologiat ovat yleispäteviä loogisia totuuksia eli lauselogiikan teoreemoja.
Teorian aksiomatisoinnilla tarkoitetaan menettelyä, jossa tietyistä aksiomista
voidaan sovittua/sovittuja päättelysääntöä/päättelysääntöjä käyttäen johtaa
kaikki teorian teoreemat (tai ainakin kyllin suuri osa niistä).
Lauselogiikan aksiomat ovat luonnollisesti tautologioita. Niiden valintoja
tunnetaan lukuisia.
Lauselogiikka voidaan aksiomatisoida seuraavasti:
Aksiomat saadaan seuraavista tautologioista:
1) P → (Q → P );
2) (P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R));
3) (Q′ → P ′ ) → (P → Q),
Päättelysääntönä on Modus Ponens.
12 / 13
Aksiomatisointi jatkoa
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Varsinaiset aksiomat (äärettömän monta) saadaan sijoittamalla yo.
tautologioissa esiintyvien symbolien P , Q ja R paikalle kaikilla mahdollisilla
tavoilla kulloinkin käsillä olevista alkeislauseista muodostetut lauseet (jos
tautologiassa esiintyy sama symboli monta kertaa on sen paikalle joka kohtaan
sijoitettava sama lause).
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Aksiomatisointi jatkoa
13 / 13
Aksiomatisointi jatkoa
Toinen muotoilu
Tehokas
päättelymenetelmä
Resoluutio
Resoluutio 2
Resoluutio 3
Resoluutio 4
Varsinaiset aksiomat (äärettömän monta) saadaan sijoittamalla yo.
tautologioissa esiintyvien symbolien P , Q ja R paikalle kaikilla mahdollisilla
tavoilla kulloinkin käsillä olevista alkeislauseista muodostetut lauseet (jos
tautologiassa esiintyy sama symboli monta kertaa on sen paikalle joka kohtaan
sijoitettava sama lause).
Esimerkki 2.18.
Resoluutiomenettelyn
täydellisyys
Todistus
Voidaan osoittaa, että yo. aksiomeilla ja päättelysäännöllä voidaan johtaa
jokainen tautologia.
Todistus jatkoa
Resoluutioperiaate ja
propositiologiikan
päättelyt
Aksiomatisointi
Selvästi muita kuin tautologiota ei voida johtaa, sillä aksiomat ovat tautologioita
ja jos A ja A → B ovat tautologioita, niin myös B on tautologia.
Aksiomatisointi jatkoa
13 / 13