Fys. matem. menet. IIa Harjoitus 3 Kevät 2015

Fys. matem. menet. IIa
Harjoitus 3
Kevät 2015
(Palautetaan ti 3.2. klo. 16 mennessä, käsitellään ti 10.2. ja pe 13.2.)
Huom! Merkitse vastauspaperiin, mihin laskariryhmään olet tulossa.
1. Minkä tyyppinen (hyperbolinen, elliptinen, parabolinen) on toisen asteen differentiaaliyhtälö utx = 0? Suorita muuttujanvaihdos, joka saattaa sen normaalimuotoon. Mitä
fysikaalista ilmiötä kyseinen yhtälö kuvaa?
2. Luokittele seuraavat yhtälöt, etsi niiden karakteristikat ja kirjoita yleiset vastaukset karakteristikoiden avulla:
(a) uxx − (x − 1)2 uyy = 0,
√
(b) xuxx + 2 xyuxy − 3yuyy = 0.
3. Vuodenaikojen mukainen lämmönvaihtelu: Olkoon T (t) juuri arktisen ikiroudan
yläpuolella mitattu ilman lämpötila ajan funktiona. Oletetaan että T (t) voidaan kehittää
Fourier-sarjaksi
∞
X
T (t) = T0 +
Tn cos nωt ,
n=1
missä periodi (jakso) tp ≡ 2π/ω on yksi vuosi. Ratkaise maakerroksen lämpötilaa kuvaava
lämpöyhtälö
∂ 2T
∂T
=κ 2 , 0<z<∞,
∂t
∂z
missä κ on lämmönjohtumiskerroin, koordinaatti z = 0 maan pinnalla ja kasvaa syvemmälle mentäessä, ja lämpötila T (t, z) syvyydellä z ajanhetkenä t toteuttaa reunaehdon
T (t, z = 0) = T (t) ,
missä T (t) on edellä mainittu maanpinnalla mitattu ilman lämpötila. Osoita että:
(a) Maanpinnan alainen lämpötila vaihtelee samalla jaksolla tp kuin ilman lämpötila,
mutta vaihesiirrolla (viiveellä) joka riippuu syvyydestä.
(b) Pisimmän jakson omaavat lämpötilanvaihtelut (eli hitaimmat muutokset) etenevät
syvimmälle maan alle.
Vihje: Esitä jokainen T (t, z):n Fourier-komponentti muodossa Re[Tn (z)einωt ], missä
Tn (z) : t voivat olla kompleksiarvoisia funktioita.
4. Sisälämpötilan vaikutus energiankulutukseen: Tarkastellaan ikkunattoman seinän
lämpötilaa pakkassäällä. Yksinkertaistuksena seinä voidaan olettaa täysin homogeeniseksi, jolloin sitä voidaan mallintaa lämpöyhtälöllä
~ 2T ,
∂t T = D∇
missä D on jokin vakio. Oletetaan, että lämpötila on pitkien pakkasten aikana saavuttanut
tasapainoaseman, jolloin ∂t T = 0. Seinän ulkopinta on vakiolämpötilassa Tu = −15◦ C,
mutta sisäpinnalla lämpötila on jokin funktio f (x, y). Näistä saamme reunaehdot
T (z = 0) = Tu
ja T (z = d) = f (x, y) .
Oletetaan lisäksi, että lämpövuo on nolla seinän sivuilla eli
Tx (x = 0) = Tx (x = L) = Ty (y = 0) = Ty (y = h) = 0 .
(a) Ratkaise lämpöyhtälö annetuilla reunaehdoilla.
(b) Laske lämpövuo seinän läpi
Z
L
Z
dyTz (z = 0) ,
dx
Φ=
0
h
0
ja kirjoita se seinän sisäpinnan keskimääräisen lämpötilan funktiona
Z L Z h
1
Tavg =
dyf (x, y) .
dx
hL 0
0
(c) Kuinka monta prosenttia lämpövuo (eli energiahukka) pienenee, kun keskimääräistä
lämpötilaa lasketaan kahdella asteella +22◦ C:sta?
5. Veden virtaus sillanpylvään ympäri: Pyörteetöntä virtausta voidaan mallintaa
Laplacen yhtälöllä
~ 2Φ = 0 ,
∇
missä Φ on nopeuden potentiaali. Toisin sanoen virtausnopeus on potentiaalin Φ gradientti
~ .
~v = ∇Φ
Tarkastellaan veden virtausta pyöreän sillanpylvään (säde R) ympäri hitaasti virtaavassa
joessa. Tarkastelu on järkevintä tehdä polaarikoordinaateissa niin, että pylväs sijaitsee
origossa. Vesi ei tietenkään voi virrata pylvään läpi, joten sen pinnalla pätee reunaehto
n̂ · ~v = 0 ,
kun r = R ,
missä ~n = r̂ on pylvään pinnan normaali. Kaukana pylväästä taas vesi tasaisella nopeudella, joten täytyy olla
~v → ~v0 , kun r → ∞ .
Ratkaise potentiaali Φ polaaritasossa.
Vihje: Kannattaa jättää ehto ~v → ~v0 viimeiseksi ja muistaa, että polaarikoordinaateissa
x = r sin φ ja y = r cos φ. Wikipediasta löytyy myös hyvä kooste nablasta sylinteri- ja
pallokoordinaateissa
http://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates