Harjoitus 2

HY / Avoin yliopisto
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015
Harjoitus 2
Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 17.8.2015 klo 16.15.
Tehtäväsarja I
Seuraavat tehtävät liittyvät materiaalin lukuun 19.
1. Merkitään P1 = {a0 + a1 x | a0 , a1 ∈ R}. Tämä enintään ensimmäistä astetta olevien
polynomien joukko on vektoriavaruus, kun yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään tavalliseen tapaan kuten esimerkissä 15.5.
Tarkastellaan kuvausta T : R2 → P1 , jolla T (v̄) = (v1 − v2 ) + (v1 + v2 )x kaikilla
v̄ = (v1 , v2 ) ∈ R2 .
(a) Laske T (2, −7) ja T (4, 1).
(b) Keksi tai etsi jokin w̄ ∈ R2 , jolla T (w̄) = 2 + 2x.
(c) Onko T lineaarikuvaus?
2. Tarkastellaan kuvausta S : R2×2 → R, jolla S(A) = a11 a22 kaikilla A ∈ R2×2 . Toisin
sanottuna matriisin A kuvavektori saadaan laskemalla matriisin A lävistäjäalkioiden
tulo. Onko S lineaarikuvaus?
3. Tarkastellaan enintään 2. astetta olevien polynomien muodostamaa vektoriavaruutta
P2 = {a0 +a1 x+a2 x2 | a0 , a1 , a2 ∈ R}. Onko olemassa lineaarikuvausta L : R3 → P2 ,
jolla L(2, 1, 0) = 1 + x, L(3, 0, 2) = 2 − x + x2 ja L(0, 6, −8) = −2 + 2x2 ?
4. Tarkastellaan kuvausta T : R5 → R4 , jolla
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) 7→ (x1 − x3 + x5 , x2 + x4 , x1 + x2 − x4 − x5 , x1 − x2 + x3 − x4 + x5 ).
Onko T lineaarikuvaus? Apu: lause 19.8 ja esim. 19.10.
Tehtäväsarja II
Seuraavat tehtävät liittyvät erityisesti materiaalin kappaleeseen 19.2
5. Selitä omin sanoin ilman matemaattisia symboleita, mitä seuraava tulos kertoo:
”Oletetaan, että L : V → U on lineaarikuvaus. Oletetaan lisäksi, että v̄1 , . . . , v̄k ∈ V
ja merkitään W = span(v̄1 , . . . , v̄k ). Tällöin LW = span(L(v̄1 ), . . . , L(v̄k )).”
6. Todista tehtävän 5 tulos. Vihje: voit soveltaa esimerkissä 19.19 käytettyä tekniikkaa.
7. Tarkastellaan lineaarikuvausta
L : R3 → R3 ,
L(x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2 , x1 + 2x2 + 2x3 , −2x1 − 4x2 ).
Merkitään W = span((0, 1, 2), (3, 0, 4)). Etsi joukolle LW virittäjät ja selitä, millainen joukko LW on. Vihje: tehtävä 5.
8. Oletetaan, että L : V → U on lineaarikuvaus. Oletetaan lisäksi, että W on vektoriavaruuden V aliavaruus. Osoita, että aliavaruuden W kuva LW = {L(w̄) | w̄ ∈ W }
on vektoriavaruuden U aliavaruus (ts. todista kurssimateriaalin lause 19.20).
Tehtäväsarja III
Tutustu materiaalin lukuun 20, jossa selviää, mitä ovat lineaarikuvauksen ydin ja kuva.
Tehtävissä 9–10 tutkitaan lineaarikuvausta L : P2 → R2 , jolla L(a+bx+cx2 ) = (a−b, b+c).
9. (a) Mitkä seuraavista polynomeista kuuluvat kuvauksen L ytimeen Ker L?
i.
1+x
x − x2
ii.
1 + x − x2
iii.
(b) Määritä joukko Ker L. Apu: esim. 20.2–20.4.
10. (a) Mitkä seuraavista vektoreista kuuluvat kuvauksen L kuvaan Im L?
i.
(0, 0)
ii.
(1, 0)
iii.
(0, 1)
(b) Määritä joukko Im L. Apu: lauseet 20.12 ja 16.11 sekä a-kohta.
Tehtävissä 11–13 tarkastellaan lineaarikuvausta
L : R3 → R3 ,
L(x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x1 + x2 + 2x3 , −2x1 − 2x2 ).
11. (a) Määritä kuvauksen L ydin Ker L.
(b) Onko lineaarikuvaus L injektio? Apu: lause 20.6.
(c) Selitä omin sanoin, mitä b-kohdan vastaus tarkoittaa.
12. (a) Määritä kuvauksen L kuva Im L. Vihje: esim. 20.10.
(b) Onko lineaarikuvaus L surjektio?
(c) Selitä omin sanoin, mitä b-kohdan vastaus tarkoittaa.
13. Määritä ytimen Ker L ja kuvan Im L dimensiot. Apu: Dimensiolause 22.2.
Tehtäväsarja IV
Tutustu materiaalin lukuun 21, jossa kohdataan isomorfismin käsite.
14. Mitkä seuraavista vektoriavaruuksista ovat isomorfisia keskenään? Apu: lause 22.5
sekä esimerkit 18.2–18.3.
R3
R4
R2×2
R2×3
P3
P4
D3
W
Tässä D3 on kaikkien 3 × 3-lävistäjämatriisien muodostama vektoriavaruus ja W on
kaikkien antisymmetristen 3 × 3-matriisien muodostama vektoriavaruus.
15. Jatkoa tehtävään 14. Kirjoita näkyviin jokin isomorfismi
(a) avaruudesta Rn johonkin polynomiavaruuteen (voit valita luvun n sopivasti)
(b) jostain matriisiavaruudesta johonkin polynomiavaruuteen
(c) avaruudesta W johonkin toiseen avaruuteen.
Kuvausta ei tarvitse perustella isomorfismiksi, mutta kannattaa silti miettiä, täyttääkö se isomorfismin määritelmän vaatimukset.
16. Oletetaan, että V , U ja W ovat vektoriavaruuksia. Osoita, että jos V ∼
= U ja
U∼
= W , niin V ∼
= W (ts. todista lauseen 21.7 c-kohta).
Vihje: Kannattaa tutustua lauseen 21.7 b-kohdan todistukseen. Myös lauseista 19.14,
21.5 ja 21.6 on apua.
Tehtäväsarja V
Tutustu lukuun 22, jossa on paljon tärkeitä tuloksia lineaarikuvauksista.
17. Oletetaan, että L : R5 → R7 on lineaarikuvaus. Mitkä seuraavista väitteistä ovat
tosia? Mitkä ovat epätosia? Muista perustella. Vihje: lauseet 22.2. ja 18.15.
(a) Jos dim(Ker L) = 1, niin dim(Im L) = 4.
(b) Jos dim(Im L) = 3, niin dim(Ker L) = 4.
(c) On mahdollista, että lineaarikuvaus L on injektio.
(d) On mahdollista, että lineaarikuvaus L on surjektio.
18. Oletetaan, että L : R6 → R6 on lineaarikuvaus. Mitkä seuraavista väitteistä ovat
tosia? Mitkä ovat epätosia? Muista perustella.
(a) Jos L on injektio, niin dim(Im L) = 5.
(b) Jos L on injektio, niin se on bijektio.
(c) Jos L ei ole surjektio, niin se ei ole myöskään injektio.
19. Jatkoa tehtävään 18. Selvitä itsellesi lauseen 22.4 todistus.
20. Merkitään W = {A ∈ R2×2 | A> = −A} ja U = {B ∈ R2×2 | B > = B}.
(a) Etsi kanta vektoriavaruudelle W . Esimerkin 16.10 tekniikasta voi olla apua.
(b) Etsi kanta vektoriavaruudelle U .
(c) Ovatko vektoriavaruuden W ja U isomorfiset? Apu: lause 22.5.
Tehtäväsarja VI
Seuraavat tehtävät liittyvät kappaleeseen 22.1, jossa jatketaan lineaarikuvausten ja matriisien välisen yhteyden tutkimista.
21. Etsi matriisi, jonka määräämä lineaarikuvaus
(a) peilaa tason vektorit suoran S1 = span((1, 1)) suhteen
(b) projisoi tason vektorit suoralle S2 = span((0, 1)).
Apu: esim. 22.10 sekä lause 22.7 ja määritelmä 22.8.
22. Merkitään edelleen S1 = span((1, 1)) ja S2 = span((0, 1)). Etsi tehtävän 21 ja lauseen
19.15 avulla matriisi, jonka määrämä lineaarikuvaus
(a) peilaa tason vektorit suoran S1 suhteen ja sen jälkeen projisoi ne suoralle S2 .
(b) projisoi tason vektorit suoralle S2 ja sen jälkeen peilaa ne suoran S1 suhteen.
Tehtäväsarja VII
Seuraavien tehtävien on tarkoitus valoittaa lineaarialgebran käyttömahdollisuuksia robotiikassa ja tietokonegrafiikassa.
23. Esimerkissä 19.9 mainitaan, että vektoreita voidaan kiertää kulman ϕ verran origon
ympäri lineaarikuvauksella, joka vastaa matriisilla
"
#
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ
cos ϕ
kertomista. Ohjaat robottikättä, joka lähtee origosta ja ulottuu pisteeseen (4, 2).
Käytä edellä mainittua lineaarikuvausta ja kierrä robotin kättä 120◦ origon ympäri positiiviseen kiertosuuntaan eli vastapäivään. Mihin pisteeseen robottikäsi tämän
jälkeen ulottuu? Toisin sanottuna, missä pisteessä robottikäden pää tämän jälkeen
on?
24. Seuraavaksi sinun pitäisi siirtää robottikäden päätä kolme askelta vasemmalle ja kaksi
ylös eli vektorin (−3, 2) verran. Lineaarialgebran kirjaa selailemalla löydät kuvauksen
fa,b : R2 → R2 , fa,b (x1 , x2 ) = (x1 + a, x2 + b). Se näyttää siirtävän tason pisteitä juuri
oikealla tavalla, jos valitaan a = −3 ja b = 2. Rajoituksena kuitenkin on, että
robottia ohjaillaan matriisikertolaskun avulla.
(a) Onko f−3,2 lineaarikuvaus?
(b) Onko olemassa matriisi A, jolla f−3,2 (x̄) = Ax̄ kaikilla x̄ ∈ R2 ?
Vihje: lause 19.8.
25. Niin sanotuissa homogeenisissa koordinaateissa vektori (x1 , x2 ) ∈ R2 esitetään avaruuden R3 vektorina (x1 , x2 , 1). Oletetaan, että a, b, ϕ ∈ R ja tarkastellaan matriiseja




1 0 a
cos ϕ − sin ϕ 0



cos ϕ 0
A = 0 1 b  ja B =  sin ϕ
.
0 0 1
0
0
1
(a) Laske kuvavektorit LA (x1 , x2 , 1) ja LB (x1 , x2 , 1). Vertaa tuloksia tehtävän 24
kuvaukseen fa,b ja tehtävän 23 ratkaisuun.
(b) Ohjaa robottikäden päätä homogeenisten koordinaattien avulla tehtävän 23 lopputilanteesta kolme askelta vasemmalle ja kaksi ylös eli vektorin (−3, 2) verran.
Missä pisteessä robottikäden pää tämän jälkeen on?
(c) Millainen on matriisi, jonka avulla robottikättä saadaan kierrettyä kulman ϕ
verran origon ympäri ja sen jälkeen siirrettyä vektorin (a, b) verran?