Luku 2

2
2.1
Riemann-integraali
Porrasfunktion integraali
Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
Määritelmä 2.1 (Porrasfunktion integraali). Olkoon f : [a, b] → R porrasfunktio
ja P = {x0 , x1 , . . . , xn } sellainen välin [a, b] jako, että
f (x) = aj
∀x ∈ ]xj−1 , xj [ ,
kun j = 1, 2, . . . , n. Olkoon lisäksi
`(Ij ) = xj − xj−1
jaon P osavälin Ij = ]xj−1 , xj [ pituus (j = 1, 2, . . . , n). Tällöin porrasfunktion f
integraali yli välin [a, b] on
Zb
a
f =
Zb
f (x) dx =
n
X
aj · `(Ij ).
j=1
a
Huomautus. Porrasfunktion integraalin merkinnässä dx tarkoittaa, että integroitavan porrasfunktion integraalia lasketaan muuttajan x suhteen.
Huomautus 2.1. Porrasfunktion integraali ei riipu valitusta välijaosta P (harjoitustehtävä).
Huomautus 2.2. Porrasfunktion integraali ei riipu millään tavalla funktion arvosta
välijaon jakopisteissä.
Esimerkki 2.1. Määritetään porrasfunktion (ks. esimerkki 1.1) f : [−1, 3] → Z,
f (x) = bxc = suurin kokonaisluku, joka on ≤ x,
porrasintegraali yli välin [−1, 3].
Tarkastellaan välin [−1, 3] jakoa P = {−1, 0, 1, 2, 3}. Tällöin kunkin osavälin
pituus on yksi, joten
Z3
f = (−1) · 1 + 0 · 1 + 1 · 1 + 2 · 1
−1
= −1 + 0 + 1 + 2
= 2.
8
Esimerkki 2.2. Vakiofunktio f (x) = c (c ∈ R) on porrasfunktio millä tahansa
välillä [a, b], sillä tarvittavaksi jaoksi voidaan valita P = {a, b} (eli vain yksi jakoväli).
Tällöin
Zb
f (x) dx =
Zb
a
c dx = c · (b − a).
a
Esimerkki 2.3. Olkoon n ∈ Z+ ja Pn välin [0, 1] jako, jonka jakopisteet ovat
Pn =
p
∈ Q p = 0, 1, . . . , n, q = 1, 2, . . . , n, p ≤ q .
q
Määritetään porrasfunktion
hn (x) =


1,
kun x ∈ Pn ,
1

 ,
kun x ∈ [0, 1] \ Pn ,
n
porrasintegraali yli välin [0, 1].
Olkoon k jaon Pn jakovälien lukumäärä, ja olkoot `(I1 ), `(I2 ), . . . , `(Ik ) jaon Pn
jakovälien pituudet. Tällöin
Z1
hn (x) dx =
0
k
X
k
1
1
1 X
1
`(Ij ) =
· `(Ij ) =
·1 = .
n
n
n
n
j=1
j=1
Esitetään sitten muutamia porrasintegraalien perusominaisuuksia. Ominaisuudet
ovat ilmeisiä porrasfunktioden määrittelyn perusteella. Täsmälliset todistukset
jätetään osin harjoitustehtäväksi.
Lause 2.3. Jos g ja h ovat porrasfunktioita ja g ≤ h välillä [a, b], niin
Zb
g ≤
a
Zb
h.
a
Todistus. Harjoitustehtävä.
Lause 2.4 (Lineaarisuus). Jos f ja g ovat välin [a, b] porrasfunktioita ja λ ∈ R,
niin
Zb
(λf ) = λ
a
Zb
f
Zb
ja
a
a
Todistus. Harjoitustehtävä.
9
(f + g) =
Zb
a
f+
Zb
a
g.
Lause 2.5 (Additiivisuus). Olkoon f välin [a, b] porrasfunktio ja c ∈ ]a, b[. Tällöin
Zb
f =
a
Zc
f+
a
Zb
f.
c
Todistus. Koska f on välin [a, b] porrasfunktio ja c ∈ ]a, b[, niin f on porrasfunktio1
myös väleillä [a, c] ja [c, b] (huomautus 1.10, s. 6).
Olkoon nyt P jokin välin [a, b] jako, joka sisältää kaikki funktion f porraspisteet
välillä [a, b], ja P 0 = {x0 , x1 , . . . , xn } välin [a, b] jako P 0 = P ∪ {c}. Oletetaan lisäksi,
että
f (x) = aj
∀x ∈ ]xj−1 , xj [ ,
kun j = 1, 2, . . . , n.
Tällöin c = xk jollakin k ∈ {1, 2, . . . , n−1}. Lisäksi {x0 , x1 , . . . , xk } on välin [a, c]
jako, joka sisältää kaikki funktion f porraspisteet välillä [a, c], ja {xk , xk+1 , . . . , xn }
on välin [c, b] jako, joka sisältää kaikki funktion f porraspisteet välillä [c, b]. Koska
porrasfunktion integraali on riippumaton välitusta välijaosta, niin
Zb
f =
n
X
aj · (xj − xj−1 )
j=1
a
=
k
X
aj · (xj − xj−1 ) +
j=1
=
Zc
a
1
f +
n
X
aj · (xj − xj−1 )
j=k+1
Zb
f.
c
Täsmällisesti ottaen porrasfunktioita ovat funktion f rajoittumat kyseisille väleille.
10
2.2
Ala- ja yläintegraali
Jos funktio f on rajoitettu välillä [a, b], niin on olemassa sellaiset vakiot m ∈ R ja
M ∈ R, että
m ≤ f (x) ≤ M
∀x ∈ [a, b] .
Jos lisäksi g ja h ovat sellaisia porrasfunktioita, että g ≤ f ≤ h välillä [a, b], niin
g≤M
ja
h≥m
välillä [a, b]. Koska vakiofunktio on porrasfunktio, niin lauseen 2.3 (s. 9) nojalla
Zb
g ≤
Zb
a
a
Zb
Zb
M = M ·(b − a)
ja
h ≥
a
m = m·(b − a).
a
Siis joukko
(2.1)
A =
 b
Z

a
g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [a, b]



on ylhäältä rajoitettu ja joukko
(2.2)
B =
 b
Z

a
h h on porrasfunktio ja f ≤ h välillä [a, b]



on alhaalta rajoitettu. Lisäksi kumpikaan joukoista ei selvästikään ole tyhjä joukko.
Täten voidaan asettaa seuraava määritelmä.
Määritelmä 2.2. Olkoon f välillä [a, b] rajoitettu funktio, ja olkoot A ja B ehdoissa
(2.1) ja (2.2) määritellyt joukot. Tällöin
IL (f, [a, b]) = sup A
on funktion f alaintegraali yli välin [a, b] ja
IU (f, [a, b]) = inf B
on funktion f yläintegraali yli välin [a, b].
11
Esimerkki 2.4. Määritetään Dirichlet’n funktion

1,
f (x) = 
kun x ∈ Q,
0, kun x ∈ R \ Q,
ala- ja yläintegraali yli välin [a, b].
Funktio f on selvästi rajoitettu välillä [a, b], joten etsittävät ala- ja yläintegraali
ovat olemassa. Määritetään ensin alaintegraali IL (f, [a, b]).
1◦ : Olkoon g jokin sellainen porrasfunktio, että g ≤ f välillä [a, b]. Olkoot
lisäksi I1 , I2 , . . . , In porrasfunktion g jotakin jakoa vastaavat (avoimet) jakovälit
ja a1 , a2 , . . . , an funktion g (vakio)arvot jakoväleillä I1 , I2 , . . . , In . Tällöin aj ≤ 0
(j = 1, 2, . . . , n), sillä jokainen reaalilukuväli sisältää irrationaalipisteitä. Täten
Zb
g =
n
X
aj · `(Ij ) ≤
j=1
a
n
X
0 · `(Ij ) = 0,
j=1
missä `(Ij ) on osavälin Ij pituus. Siis
IL (f, [a, b]) ≤ 0.
2◦ : Tarkastellaan porrasfunktiota g(x) = 0 kaikilla x ∈ [a, b]. Tällöin g ≤ f
välillä [a, b] ja
Zb
g =
a
Zb
0 = 0·(b − a) = 0.
a
Siis supremumin perusominaisuuksien nojalla
IL (f, [a, b]) ≥ 0.
Täten kohtien 1◦ ja 2◦ perusteella
IL (f, [a, b]) = 0.
Määritetään sitten vastaavalla tavalla yläintegraali IU (f, [a, b]).
3◦ : Olkoon h jokin sellainen porrasfunktio, että f ≤ h välillä [a, b]. Olkoot
lisäksi I1 , I2 , . . . , In porrasfunktion h jotakin jakoa vastaavat (avoimet) jakovälit
ja a1 , a2 , . . . , an funktion h (vakio)arvot jakoväleillä I1 , I2 , . . . , In . Tällöin aj ≥ 1
(j = 1, 2, . . . , n), sillä jokainen reaalilukuväli sisältää rationaalipisteitä. Täten
Zb
a
h =
n
X
aj · `(Ij ) ≥
j=1
n
X
j=1
12
1 · `(Ij ) = b − a,
missä `(Ij ) on osavälin Ij pituus. Siis
IU (f, [a, b]) ≥ b − a.
4◦ : Tarkastellaan porrasfunktiota h(x) = 1 kaikilla x ∈ [a, b]. Tällöin f ≤ h
välillä [a, b] ja
Zb
a
h =
Zb
1 = 1·(b − a) = b − a.
a
Siis infimumin perusominaisuuksien nojalla
IU (f, [a, b]) ≤ b − a.
Täten kohtien 3◦ ja 4◦ perusteella
IU (f, [a, b]) = b − a.
Ala- ja yläintegraalin määrittelyn sekä porrasfunktioiden ja supremumin sekä
infimumin perusominaisuuksien nojalla voidaan esittää seuraavat huomautukset.
Huomautus 2.6. Lauseiden 1.5 (s. 2) ja 2.3 (s. 9) nojalla aina
IL (f, [a, b]) ≤ IU (f, [a, b]),
mutta välttämättä ei päde (ks. esimerkki 2.4)
IL (f, [a, b]) = IU (f, [a, b]).
Huomautus 2.7. Jos g ja h ovat porrasfunktioita ja g ≤ f ≤ h välillä [a, b], niin
huomautuksen 2.6 sekä supremumin ja infimumin perusominaisuuksien nojalla
Zb
g ≤ IL (f, [a, b]) ≤ IU (f, [a, b]) ≤
a
Zb
h.
a
Huomautus 2.8. Jos f on välin [a, b] porrasfunktio, niin huomautuksen 2.7 perusteella
IL (f, [a, b]) = IU (f, [a, b]) =
Zb
a
13
f.
Lause 2.9 (Additiivisuus). Olkoon f : [a, b] → R rajoitettu ja c ∈ ]a, b[. Tällöin
IL (f, [a, b]) = IL (f, [a, c]) + IL (f, [c, b])
ja
IU (f, [a, b]) = IU (f, [a, c]) + IU (f, [c, b]).
Todistus. Todistetaan alaintegraaleja koskeva tulos. Yläintegraaleja koskeva tulos todistetaan vastaavasti (harjoitustehtävä). Alaintegraalin määritelmästä sekä
lauseista 1.4 (s. 2) ja 2.5 (s. 10) seuraa, että1
IL (f, [a, b])
=
L2.5
=
L1.4
=
 b
Z
sup 
a
 c
Z
sup 
sup
g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [a, b]
g+
a
 c
Z

Zb
c


g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [a, b]
g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [a, c]
a
+ sup



 b
Z

=


c
g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [c, b]



IL (f, [a, c]) + IL (f, [c, b]).
1
Täsmällisesti ottaen väleillä [a, c] ja [c, b] kyseessä ovat funktioiden f ja g rajoittumat kyseisille
väleille.
14
2.3
Riemann-integraali ja Riemann-integroituvuus
Määritellään sitten Riemann-integraali ala- ja yläintegraalin avulla.
Määritelmä 2.3 (Riemann-integraali). Rajoitettu funktio f : [a, b] → R on Riemann-integroituva välillä [a, b], jos
IL (f, [a, b]) = IU (f, [a, b]).
Tällöin funktion f Riemann-integraali yli välin [a, b] on
Zb
a
f =
Zb
f (x) dx = IL (f, [a, b]) = IU (f, [a, b]).
a
Huomautus. Riemann-integraalin merkinnässä dx tarkoittaa, että integroitavan
funktion integraalia lasketaan muuttajan x suhteen.
Huomautus 2.10. Huomautuksen 2.8 (s. 13) nojalla porrasfunktiot ovat Riemann-integroituvia ja porrasfunktion Riemann-integraali on sama kuin luvussa 2.1
tarkasteltu porrasfunktion integraali. Täten porrasfunktion integraalille ja Riemannintegraalille on luontevaa käyttää samaa merkintää.
Huomautus 2.11. Jos funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b], niin huomautuksen 2.7 (s. 13) nojalla
Zb
g ≤
a
Zb
f ≤
a
Zb
h
a
aina, kun g ja h ovat sellaisia välin [a, b] porrasfunktioita, että g ≤ f ≤ h.
Esimerkki 2.5. Esimerkin 2.4 perusteella Dirichlet’n funktio

1,
kun x ∈ Q,
f (x) = 
0, kun x ∈ R \ Q,
ei ole Riemann-integroituva millään reaalilukuvälillä [a, b].
Funktion Riemann-integroituvuuden tutkiminen ala- ja yläintegraaleja laskemalla on yleisesti ottaen melko hankalaa. Seuraava yksinkertainen havainto helpottaa
jonkin verran asiaa.
15
Lause 2.12 (Riemannin ehto). Välillä [a, b] rajoitettu funktio f on Riemannintegroituva välillä [a, b] täsmälleen silloin, kun jokaista lukua ε > 0 kohti on
olemassa sellaiset välin [a, b] porrasfunktiot g ja h, että g ≤ f ≤ h välillä [a, b] ja
Zb
h−
a
Zb
g < ε.
a
Todistus. Väite seuraa suoraan Riemann-integraalin määritelmästä ja lauseesta 1.6
(s. 3), kun tutkitaan ala- ja yläintegraalin määrittelyssä esiintyneitä joukkoja
A =
 b
Z





g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [a, b]
a

ja
B =
 b
Z

a
h h on porrasfunktio ja f ≤ h välillä [a, b] .

Esimerkki 2.6. Kurssilla Analyysi 1 tarkasteltiin Thomaen funktiota1
f (x) =


0,




1,


1



 ,
q
kun x ∈ R \ Q,
kun x = 0,
kun x ∈ Q ja x =
p
(p 6= 0, q > 0) on supistetussa muodossa,
q
joka on jatkuva kaikilla x ∈ R \ Q ja epäjatkuva kaikilla x ∈ Q. Osoitetaan
Riemannin ehtoa käyttäen, että f on Riemann-integroituva välillä [0, 1].
Valitaan mielivaltainen ε > 0. Olkoon n jokin sellainen kokonaisluku, että
1
n> .
ε
Olkoon lisäksi g sellainen porrasfunktio, että g(x) = 0 kaikilla x ∈ [0, 1], ja h
esimerkin 2.3 (s. 9) porrasfunktio hn . Tällöin
Z1
g = 0
ja
0
Z1
h =
1
.
n
0
Täten on olemassa sellaiset porrasfunktiot g ja h, että g ≤ f ≤ h välillä [0, 1]
(harjoitustehtävä) ja
Z1
0
h−
Z1
g =
1
1
−0 =
< ε.
n
n
0
Siis f on välillä [0, 1] Riemann-integroituva Riemannin ehdon nojalla.
1
Funktiota kutsutaan myös popcorn-, sadepisara- tai viivotinfunktioksi.
16
Seuraava lause helpottaa joskus Riemannin ehdon käyttöä tutkittaessa funktion
Riemann-integroituvuutta. Lause antaa myös tavan määrittää integraalin arvo.
Lause 2.13. Olkoon f : [a, b] → R. Jos on olemassa sellaiset porrasfunktiot gn ja
hn (n = 1, 2, . . . ), että gn ≤ f ≤ hn välillä [a, b] ja
lim
Zb
n→∞
gn = n→∞
lim
a
Zb
hn ,
a
niin f on Riemann-integroituva välillä [a, b] ja
Zb
f = lim
Zb
n→∞
a
gn = lim
Zb
n→∞
a
hn .
a
Todistus. Väite seuraa suoraan Riemann-integraalin määritelmästä ja seurauksesta 1.7 (s. 3), kun tutkitaan ala- ja yläintegraalin määrittelyssä esiintyneitä joukkoja
A =
 b
Z





g g on porrasfunktio ja g ≤ f välillä [a, b]
a

ja
B =
 b
Z

h h on porrasfunktio ja f ≤ h välillä [a, b] .
a

Esimerkki 2.7. Lauseen 2.13 nojalla esimerkin 2.6 Thomaen funktion f Riemannintegraaliksi yli välin [0, 1] saadaan
Z1
f = n→∞
lim
0
Z1
hn = n→∞
lim
1
= 0.
n
0
Lausetta 2.13 käytettäessä vaadittavat porrasfunktiot gn ja hn muodostetaan
usein valitsemalla porrasfunktion gn arvoiksi välin [a, b] jotakin jakoa vastaavilla
(avoimilla) jakoväleillä I1 , I2 , . . . , In arvot m1 , m2 , . . . , mn , missä
n
o
mj = inf f (x) x ∈ Ij ,
j = 1, 2, . . . , n.
Vastaavasti porrasfunktion hn arvoiksi (avoimilla) jakoväleillä I1 , I2 , . . . , In valitaan
M1 , M2 , . . . , Mn , missä
n
o
Mj = sup f (x) x ∈ Ij ,
17
j = 1, 2, . . . , n.
Tarvittavat porrasfunktioiden jonot muodostuvat tällöin jakovälien määrän lisääntyessä. Porrasfunktioiden arvoiksi kunkin jaon jakopisteissä voidaan valita esimerkiksi funktion f arvo kyseisissä pisteissä.
Jos funktio on jatkuva välillä [a, b], voidaan infimumin ja supremumin sijasta
käyttää funktion pienintä ja suurinta arvoa kullakin jakovälillä. Tämä tietysti
helpottaa porrasfunktioiden muodostamista oleellisesti.
Käytännössä tarkastellaan usein tasavälistä jakoa. Jos porrasfunktioita gn ja hn
vastaavassa tasavälisessä jaossa on n osaväliä, kunkin jakovälin pituudeksi t saadaan
t =
b−a
.
n
Tällöin gn ≤ f ≤ hn sekä
Zb
gn =
n
X
t·mj =
n
b−a X
·
mj
n
j=1
t·Mj =
n
b−a X
·
Mj .
n
j=1
j=1
a
ja
Zb
n
X
hn =
j=1
a
Jos nyt
lim
Zb
n→∞
gn = lim
Zb
n→∞
a
hn = S,
a
niin f on Riemann-integroituva välillä [a, b] ja
Zb
f (x) dx = S.
a
Esimerkki 2.8. Osoitetaan, että funktio f (x) = kx (k > 0) on Riemann-integroituva välillä [a, b], ja määritetään
Zb
kx dx.
a
Tarkastellaan välin [a, b] tasavälistä jakoa {a, a + t, a + 2t, . . . , a + nt} (n ∈ Z+ ),
missä
b−a
t =
.
n
Olkoon lisäksi
gn (x) = k · (a + (j − 1)t)
ja
18
hn (x) = k · (a + jt),
kun x ∈ [a + (j − 1)t, a + jt[ (j = 1, 2, . . . , n), ja
gn (b) = hn (b) = f (b) = kb.
Tällöin gn ja hn ovat porrasfunktioita ja gn ≤ f ≤ hn välillä [a, b] (sillä f on
kasvava). Edelleen
Zb
gn =
n
X
t · k · (a + (j − 1)t)
j=1
a
n
X
= tka
n
X
2
1+tk
j=1
(j − 1)
j=1
n(n − 1)
2
= tka · n + t2 k ·
b−a
=
· ka · n +
n
= (b − a)ka +
b−a
n
2
·k·
n(n − 1)
2
n−1
(b − a)2
·k·
2
n }
| {z
→1
2
→ (b − a)ka +
(b − a)
k,
2
kun n → ∞,
ja
Zb
a
hn =
n
X
t · k · (a + jt)
j=1
= tka
n
X
1 + t2 k
j=1
n
X
= tka · n + t2 k ·
n(n + 1)
2
b−a
=
· ka · n +
n
= (b − a)ka +
j
j=1
b−a
n
2
·k·
n(n + 1)
2
(b − a)2
n+1
·k·
2
n }
| {z
→1
→ (b − a)ka +
(b − a)2
k,
2
19
kun n → ∞.
Täten f on lauseen 2.13 nojalla Riemann-integroituva välillä [a, b] ja
Zb
kx dx = (b − a)ka +
a
(b − a)2
b − a
b 2 − a2
k = k(b − a) a +
.
= k·
2
2
2
Seuraava esimerkkiä 2.8 koskeva huomio vähentää joskus tarvittavia laskutoimituksia.
Huomautus. Jos esimerkissä 2.8 riittää vain osoittaa Riemann-integroituvuus,
selvitään vähemmillä laskutoimituksilla. Tällöin ei tarvitse laskea raja-arvoja, vaan
riittää osoittaa, että jokaista lukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen n ∈ Z+ , että
Zb
a
hn −
Zb
gn
=
n
X
t · k · (a + jt) −
j=1
a
=
n
X
t · k · (a + (j − 1)t)
j=1
t · k · (a + nt) − t · |k{z· a}
|
{z
}
=f (b)
=
t · (kb − ka)
=
b−a
· k · (b − a)
n
=
k(b − a)2
n
<
ε.
=f (a)
Vaadittu luku n ∈ Z+ löytyy nyt valitsemalla
n >
k(b − a)2
.
ε
Huomautus. Edellinen huomautus koskee muitakin vastaavia tapauksia.
20
2.4
Integroituvia funktioita
Lause 2.14. Välillä [a, b] monotoninen funktio on Riemann-integroituva välillä [a, b].
Todistus. Todistetaan tapaus, jossa funktio f on kasvava välillä [a, b]. Tapaus, jossa
funktio on vähenevä, todistetaan vastaavasti (harjoitustehtävä).
Olkoon siis f kasvava välillä [a, b]. Jos f (a) = f (b), niin f on vakiofunktiona
porrasfunktio ja siten Riemann-integroituva välillä [a, b]. Täten voidaan olettaa,
että f (a) < f (b).
Valitaan mielivaltainen ε > 0. Olkoon nyt {a, a + t, a + 2t, . . . , a + nt} sellainen
välin [a, b] tasavälinen jako, että jakovälin pituus
t =
ε
b−a
<
.
n
f (b) − f (a)
Olkoon lisäksi
g(x) = f (a + (j − 1)t)
ja
h(x) = f (a + jt),
kun x ∈ [a + (j − 1)t, a + jt[ (j = 1, 2, . . . , n), sekä g(b) = h(b) = f (b). Tällöin g
ja h ovat porrasfunktioita ja g ≤ f ≤ h välillä [a, b] (sillä f on kasvava). Täten
Zb
a
h−
Zb
g
=
n
X
t · f (a + jt) −
j=1
a
=
n
X
t · f (a + (j − 1)t)
j=1
t · f (a + nt) −t · f (a)
|
{z
= f (b)
}
=
t · (f (b) − f (a))
<
ε
· (f (b) − f (a))
f (b) − f (a)
=
ε.
Siis f on Riemannin ehdon nojalla Riemann-integroituva välillä [a, b].
Esimerkki 2.9. Olkoon a > 0 ja n ∈ Z+ . Tällöin
f (x) =
1
xn
on aidosti vähenevänä funktiona Riemann-integroituva välillä [a, b].
21
Huomautus 2.15. Tutkimalla lauseen 2.14 todistuksen porrasfunktioita havaitaan
(harjoitustehtävä), että jos {x0 , x1 , . . . , xn } on jokin välin [a, b] jako ja funktio f on
kasvava välillä [a, b], niin
n
X
f (xj−1 )(xj − xj−1 ) ≤
j=1
Zb
f (x) dx ≤
n
X
f (xj )(xj − xj−1 ).
j=1
a
Jos vastaavasti f on vähenevä, niin
n
X
f (xj )(xj − xj−1 ) ≤
Zb
j=1
f (x) dx ≤
n
X
f (xj−1 )(xj − xj−1 ).
j=1
a
Lause 2.16. Välillä [a, b] jatkuva funktio on Riemann-integroituva välillä [a, b].
Todistus. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Koska suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio
on tällä välillä myös tasaisesti jatkuva, on olemassa sellainen δ > 0, että
(2.3)
|f (x) − f (y)| <
ε
b−a
aina, kun x, y ∈ [a, b] ja |x − y| < δ.
Olkoon nyt {x0 , x1 , . . . , xn } sellainen välin [a, b] tasavälinen jako, että jakovälin
pituus
b−a
t =
< δ.
n
Tällöin siis |xj − xj−1 | < δ, kun j = 1, 2, . . . , n.
Olkoon edelleen g(xj ) = h(xj ) = f (xj ), kun j = 0, 1, . . . , n, ja
n
o
g(x) = mj = min f (x) x ∈ [xj−1 , xj ] ,
kun x ∈ ]xj−1 , xj [ ,
ja
n
o
h(x) = Mj = max f (x) x ∈ [xj−1 , xj ] ,
kun x ∈ ]xj−1 , xj [ ,
kun j = 1, 2, . . . , n. Tällöin g ja h ovat porrasfunktioita ja g ≤ f ≤ h välillä [a, b].
Koska f on suljetulla välillä jatkuva funktio, tarvittavat minimi- ja maksimiarvot
ovat olemassa kullakin osavälillä ja lisäksi f saavuttaa kyseiset arvot jossakin
osavälin pisteessä. Täten kullakin osavälillä [xj−1 , xj ] (j = 1, 2, . . . , n) on olemassa
sellaiset pisteet xj 0 , xj 00 ∈ [xj−1 , xj ], että
mj = f (xj 0 )
ja
Mj = f (xj 00 ).
Koska |xj 0 − xj 00 | < δ ja Mj ≥ mj , niin ehdon (2.3) nojalla
Mj − mj <
ε
b−a
22
∀j = 1, 2, . . . , n.
Täten
Zb
a
h−
Zb
g =
n
X
Mj (xj − xj−1 ) −
j=1
a
=
n
X
<
j=1
mj (xj − xj−1 )
j=1
(Mj − mj ) (xj − xj−1 )
j=1
n
X
n
X
|
{z
>0
}
ε
(xj − xj−1 )
b−a
=
n
ε X
(xj − xj−1 )
b − a j=1
=
ε
· (b − a)
b−a
= ε.
Siis f on Riemannin ehdon nojalla Riemann-integroituva välillä [a, b].
Esimerkki 2.10. Polynomifunktiot ovat jatkuvina funktioina Riemann-integroituvia millä tahansa suljetulla välillä [a, b].
Huomautus 2.17. Jos f on välillä [a, b] Riemann-integroituva funktio ja g on
sellainen välillä [a, b] määritelty funktio, että f (x) = g(x) välillä [a, b] lukuun
ottamatta pisteitä x1 , x2 , . . . , xn ∈ [a, b], niin myös g on Riemann-integroituva
välillä [a, b] ja
Zb
f (x) dx =
a
Zb
g(x) dx
a
(harjoitustehtävä). Siis funktion arvot äärellisessä pistejoukossa eivät ole oleellisia
integraalin arvon tai integroituvuuden kannalta.
Määritelmä 2.4. Funktio f : [a, b] → R on paloittain jatkuva välillä [a, b], jos
funktiolla f on välillä [a, b] korkeintaan äärellinen määrä epäjatkuvuuskohtia ja kussakin epäjatkuvuuskohdassa funktiolla on vasemmanpuoleinen ja oikeanpuoleinen
raja-arvo.
Lause 2.18. Välillä [a, b] paloittain jatkuva funktio on Riemann-integroituva välillä [a, b].
Todistus. Harjoitustehtävä.
23
2.5
Riemannin summa
Olkoon funktio f rajoitettu välillä [a, b] ja P = {x0 , x1 , . . . , xn } jokin välin [a, b]
jako. Luvussa 1.2 (huomautus 1.8, s. 5) mainittiin jo jakoon P liittyvä Riemannin
summa
n
SP (f, ξ) =
X
f (ξj )(xj − xj−1 ),
j=1
missä ξj ∈ [xj−1 , xj ] on mielivaltainen välin [xj−1 , xj ] piste.
Huomautus. Jos g(x) = f (ξj ) kaikilla x ∈ ]xj−1 , xj [ (ja kaikilla j = 1, 2, . . . , n),
niin Riemannin summa SP (f, ξ) on porrasfunktion g integraali. Porrasfunktion g
arvoiksi jakopisteissä voidaan valita esimerkiksi g(xj ) = f (xj ), kun j = 0, 1, . . . , n.
Merkitään
|P | = max{xj − xj−1 | 1 ≤ j ≤ n},
eli |P | on jaon P pisimmän osavälin pituus. Tihennetään sitten jakoa siten, että
|P | → 0, ja tutkitaan raja-arvoa
lim SP (f, ξ).
|P |→0
Tällöin
lim SP (f, ξ) = L,
|P |→0
jos jokaista lukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että jokaiselle jaolle
|P | < δ pätee
|SP (f, ξ) − L| < ε,
valittiinpa pisteet ξj miten tahansa.
Riemannin summaa käyttämällä saadaan vaihtoehtoinen tapa määritellä Riemann-integraali.
Lause 2.19. Rajoitettu funktio f : [a, b] → R on Riemann-integroituva, jos ja vain
jos Riemannin summilla on raja-arvo
lim SP (f, ξ),
|P |→0
missä SP (f, ξ) on funktion f välin [a, b] jakoon P liittyvä Riemannin summa. Tällöin
Zb
a
f = lim SP (f, ξ).
|P |→0
24
Todistus. 1◦ : Todistetaan ensin suunta ”⇒”. Oletetaan siis, että f on rajoitettu ja
Riemann-integroituva välillä [a, b], ja osoitetaan, että
lim SP (f, ξ) =
|P |→0
Zb
f,
a
missä SP (f, ξ) on funktion f välin [a, b] jakoon P liittyvä Riemannin summa.
Valitaan mielivaltainen ε > 0. Koska f on rajoitettu, on olemassa sellainen
M > 0, että
|f (x)| ≤ M
(2.4)
kaikilla x ∈ [a, b], ja koska f on Riemann-integroituva, niin Riemannin ehdon
nojalla on olemassa sellaiset välin [a, b] porrasfunktiot g ja h, että g ≤ f ≤ h ja
Zb
(2.5)
a
h−
Zb
g <
a
ε
.
2
Olkoon edelleen P0 = {z0 , z1 , . . . , zm0 } jokin sellainen välin [a, b] jako, että P0
sisältää kaikki sekä porrasfunktion g että porrasfunktion h porraspisteet. Merkitään
ε
δ =
.
8m0 ·M
Olkoon nyt P = {x0 , x1 , . . . , xn } jokin sellainen välin [a, b] jako, että |P | < δ.
Tällöin jokaista Riemannin summaa SP (f, ξ) kohti on olemassa sellainen porrasfunktio s, että
(2.6)
SP (f, ξ) =
Zb
s.
a
Koska g ≤ f ≤ h, niin tällöin
g ≤ s = f (ξk ) ≤ h
(2.7)
kaikilla jaon P osaväleillä Ik = [xk−1 , xk ], jotka eivät sisällä jaon P0 pisteitä.
Tarkastellaan sitten jaon P osavälejä Ik = [xk−1 , xk ], jotka sisältävät jaon P0
pisteitä. Välin [a, b] päätepisteitä lukuun ottamatta kukin jaon P0 piste sisältyy
yhteen tai kahteen jaon P (suljettuun) osaväliin. Täten jaon P0 pisteitä sisältäviä
jaon P osavälejä on korkeintaan 2m0 kappaletta.
Olkoon nyt
(
g̃(x) =
g(x),
−M,
jos x ∈ Ik0 ja 6 ∃j ∈ {0, 1, . . . , m0 } s.e. zj ∈ Ik ,
jos x ∈ Ik0 ja ∃j ∈ {0, 1, . . . , m0 } s.e. zj ∈ Ik ,
25
ja
(
h̃(x) =
jos x ∈ Ik0 ja 6 ∃j ∈ {0, 1, . . . , m0 } s.e. zj ∈ Ik ,
jos x ∈ Ik0 ja ∃j ∈ {0, 1, . . . , m0 } s.e. zj ∈ Ik ,
h(x),
M,
missä Ik0 = ]xk−1 , xk [ ja Ik = [xk−1 , xk ] (k = 1, 2, . . . , n). Jaon P jakopisteissä
asetetaan g̃(xk ) = −M ja h̃(xk ) = M (k = 0, 1, 2, . . . , n). Tällöin g̃ ja h̃ ovat välillä
[a, b] porrasfunktioita ja ominaisuuden g ≤ f ≤ h sekä epäyhtälöiden (2.4) ja (2.7)
perusteella
g̃ ≤ f ≤ h̃
ja
g̃ ≤ s ≤ h̃.
Täten Riemann-integraalin määrittelyn ja lauseen 2.3 (s. 9) nojalla
Zb
g̃ ≤
a
Zb
f ≤
a
Zb
Zb
ja
h̃
a
g̃ ≤
a
Zb
s ≤
a
Zb
h̃
a
ja edelleen
b
Z
Zb s − f
(2.8)
a
≤
a
Zb
h̃ −
a
Zb
g̃.
a
Koska g ≤ h välillä [a, b], niin lauseen 2.3 (s. 9) nojalla
Zxk
g ≤
xk−1
Zxk
h
xk−1
jokaisella jaon P osavälillä [xk−1 , xk ] (k = 1, 2, . . . , n). Lisäksi jaon P0 pisteitä
sisältäviä jaon P osavälejä on korkeintaan 2m0 kappaletta ja porrasfunktion arvolla
jakopisteessä ei ole vaikutusta porrasintegraalin arvoon. Täten
(2.9)
Zb
a
h̃ −
Zb
a
g̃ ≤
Zb
h−
a
Zb
(2.5)
g + 2m0 ·|P |·2M <
a
ε
+ 4m0 ·|P |·M.
2
Siis
Zb SP (f, ξ) − f (2.6)
=
a
(2.8)
≤
b
Z
Zb s − f
a
a
Zb
Zb
a
(2.9)
h̃ −
g̃
a
<
ε
+ 4m0 ·|P |·M
2
<
ε
ε
+ 4m0 ·
·M
2
8m0 ·M
26
=
ε
ε
+
2
2
=
ε.
Siis
lim SP (f, ξ) =
|P |→0
Zb
f.
a
2◦ : Todistetaan sitten suunta ”⇐”. Oletetaan siis, että f on rajoitettu välillä [a, b]
ja
lim SP (f, ξ) = L,
|P |→0
missä SP (f, ξ) on funktion f välin [a, b] jakoon P liittyvä Riemannin summa, ja
osoitetaan, että f on Riemann-integroituva välillä [a, b] ja
Zb
f = L.
a
Valitaan mielivaltainen ε > 0. Raja-arvon määritelmän nojalla on olemassa
sellainen δ > 0, että jos |P | < δ, niin
|SP (f, ξ) − L| < ε.
(2.10)
Olkoon nyt P = {x0 , x1 , . . . , xn } sellainen välin [a, b] jako, että |P | < δ. Valitaan
sellaiset pisteet ξ k , ξ k ∈ [xk−1 , xk ] (k = 1, 2, . . . , n), että
f (ξ k ) ≤
inf f +
[xk−1 , xk ]
ja
f (ξ k ) ≥ sup f −
[xk−1 , xk ]
ε
b−a
ε
.
b−a
Olkoon edelleen
g(x) = f (ξ k ) −
ε
,
b−a
kun x ∈ [xk−1 , xk [ (k = 1, 2, . . . , n),
h(x) = f (ξ k ) +
ε
,
b−a
kun x ∈ [xk−1 , xk [ (k = 1, 2, . . . , n),
ja
27
sekä g(b) = h(b) = f (b). Tällöin g ja h ovat porrasfunktioita ja g ≤ f ≤ h
välillä [a, b] sekä
Zb
a
h−
Zb
g =
n X
k=1
a
=
n
X
n
X
ε
ε
(xk − xk−1 ) −
(xk − xk−1 )
f (ξ k ) −
b−a
b−a
k=1
f (ξ k ) +
f (ξ k )(xk − xk−1 ) +
k=1
|
{z
n
X
ε
(xk − xk−1 )
k=1 b − a
}
Merk. SP (f,ξ)
−
n
X
f (ξ k )(xk − xk−1 ) +
k=1
|
{z
n
X
ε
(xk − xk−1 )
k=1 b − a
}
Merk. SP (f,ξ)
=
SP (f, ξ) +
n
X
n
X
ε
ε
(xk − xk−1 ) − SP (f, ξ) +
(xk − xk−1 )
k=1 b − a
k=1 b − a
=
SP (f, ξ) +
n
n
ε X
ε X
(xk − xk−1 ) −SP (f, ξ) +
(xk − xk−1 )
b − a k=1
b − a k=1
|
{z
= b−a
|
}
=
SP (f, ξ) + ε − SP (f, ξ) + ε
=
SP (f, ξ) − L + ε + L − SP (f, ξ) + ε
≤
SP (f, ξ) − L
{z
= b−a
}
+ ε + L − SP (f, ξ) + ε
(2.10)
<
ε+ε+ε+ε
=
4ε.
Siis f on Riemannin ehdon nojalla Riemann-integroituva välillä [a, b] (alussa olisi
voitu valita apumuuttuja ε0 = 4ε ).
Huomautus 2.20. Lausetta 2.19 käytettäessä riittää tarkastella tasavälisiä jakoja
(harjoitustehtävä).
Funktion f : [a, b] → R Riemann-integroituvuuden osoittamiseksi riittää siis
osoittaa, että
lim SP (f, ξ) = L,
|P |→0
missä P on tasavälinen jako ja SP (f, ξ) on funktion f välin [a, b] jakoon P liittyvä
Riemannin summa.
28
Pisteen ξ pitää kuitenkin olla mielivaltainen välin piste. Funktion Riemann-integroituvuutta osoitettaessa ξ ei voi olla kiinteästi esimerkiksi osavälin päätepiste
(toisin kuin esimerkiksi määritettäessä jo integroituvaksi tiedetyn funktion integraalin arvoa) ilman, että samalla suoritetaan myös mahdollisen virhetermin tarkastelu.
Huomautus. Funktion f : [a, b] → R Riemannin summa voitaisiin muodostaa,
vaikka f ei ole rajoitettu välillä [a, b]. Voidaan kuitenkin osoittaa, että jos f ei ole
rajoitettu välillä [a, b], niin
lim SP (f, ξ)
|P |→0
ei ole olemassa (harjoitustehtävä).
29
2.6
Perusominaisuuksia
Esitetään aluksi kaksi määritelmää tai sopimusta, joilla helpotetaan käytännön
laskutoimituksia.
Määritelmä 2.5. Olkoon f välillä [a, b] Riemann-integroituva funktio. Tällöin
Za
f (x) dx = −
Zb
f (x) dx.
a
b
Määritelmä 2.6. Olkoon f pisteessä a ∈ R määritelty funktio. Tällöin
Za
f (x) dx = 0.
a
Riemann-integraalin additiivisuus on helppo todistaa hyödyntämällä ala- ja
yläintegraalin additiivisuutta.
Lause 2.21 (Additiivisuus). Olkoon f : [a, b] → R rajoitettu ja c ∈ ]a, b[. Tällöin f
on Riemann-integroituva välillä [a, b], jos ja vain jos f on Riemann-integroituva
väleillä [a, c] ja [c, b]. Tällöin
Zb
f =
a
Zc
f+
a
Zb
f.
c
Todistus. 1◦ : Todistuksen suunta ’⇐’ on ilmeinen. Jos f on Riemann-integroituva
väleillä [a, c] ja [c, b], niin
IL (f, [a, c]) = IU (f, [a, c]) =
Zc
f
ja IL (f, [c, b]) = IU (f, [c, b]) =
a
c
joten ala- ja yläintegraalin additiivisuuden (lause 2.9, s. 14) nojalla
IL (f, [a, b]) = IU (f, [a, b])
=
Zb
!
f .
a
Täten f on Riemann-integroituva välillä [a, b] ja lauseen 2.9 nojalla
Zb
a
f =
Zb
Zc
f+
a
30
Zb
c
f.
f,
2◦ : Tarkastellaan sitten suuntaa ’⇒’. Olkoon f Riemann-integroituva välillä [a, b].
Tällöin
IL (f, [a, b]) = IU (f, [a, b])
=
Zb
!
f ,
a
joten ala- ja yläintegraalin additiivisuuden (lause 2.9, s. 14) nojalla
IL (f, [a, c]) + IL (f, [c, b]) = IU (f, [a, c]) + IU (f, [c, b]).
Koska huomautuksen 2.6 (s. 13) nojalla
IL (f, [a, c]) ≤ IU (f, [a, c])
ja
IL (f, [c, b]) ≤ IU (f, [c, b]),
IL (f, [a, c]) = IU (f, [a, c])
ja
IL (f, [c, b]) = IU (f, [c, b]).
niin1
Siis f on Riemann-integroituva väleillä [a, c] ja [c, b] ja lauseen 2.9 nojalla
Zc
f+
a
Zb
f =
c
Zb
f.
a
Huomautus 2.22. Lauseen 2.21 kaava pätee kaikilla a, b, c ∈ R (olivatpa luvut
missä tahansa järjestyksessä), jos f on Riemann-integroituva kyseisillä väleillä
(harjoitustehtävä).
Lause 2.23 (Lineaarisuus). Olkoot f ja g Riemann-integroituvia välillä [a, b] ja
λ ∈ R. Tällöin myös λf ja f + g ovat Riemann-integroituvia välillä [a, b] ja
Zb
a
(λf ) = λ
Zb
f
Zb
ja
a
(f + g) =
Zb
a
f+
a
Zb
g.
a
Todistus. Todistetaan väite summafunktiolle f + g hyödyntämällä Riemannin summia. Vakiolla kertomisen todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Koska
n
X
(f + g)(ξj )(xj − xj−1 ) =
j=1
1
n
X
f (ξj )(xj − xj−1 ) +
j=1
n
X
g(ξj )(xj − xj−1 ),
j=1
Jos s1 ≤ t1 , s2 ≤ t2 ja s1 + s2 = t1 + t2 , niin s1 = t1 ja s2 = t2 (s1 , s2 , t1 , t2 ∈ R).
31
niin lauseen 2.19 (s. 24) nojalla
Zb
(f + g) =
a
=
=
=
lim SP (f + g, ξ)
|P |→0
lim SP (f, ξ) + SP (g, ξ)
|P |→0
lim SP (f, ξ) + lim SP (g, ξ)
|P |→0
Zb
|P |→0
f +
Zb
g,
a
a
missä SP (f, ξ) on funktion f välin [a, b] jakoon P liittyvä Riemannin summa.
Seuraus 2.24. Jos f ja g ovat Riemann-integroituvia välillä [a, b] ja λ1 , λ2 ∈ R,
myös λ1 f + λ2 g on Riemann-integroituva välillä [a, b] ja
Zb
(λ1 f + λ2 g) = λ1
a
Zb
f + λ2
a
Zb
g.
a
Huomautus 2.25. Seuraus 2.24 voidaan induktiolla yleistää muotoon
Zb X
n
λi f i =
a i=1
n
X
i=1
λi ·
Zb
fi ,
a
missä f1 , f2 , . . . , fn ovat Riemann-integroituvia välillä [a, b] ja λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R.
32
2.7
Integraalien arviointia
Integraaleja ei useinkaan pystytä laskemaan tarkasti. Siksi on tärkeää pystyä
arvioimaan integraaleja esimerkiksi sopivien epäyhtälöiden avulla.
Lause 2.26. Olkoon f Riemann-integroituva välillä [a, b] sekä
m = inf f (x)
M = sup f (x).
ja
x ∈ [a,b]
x ∈ [a,b]
Tällöin
m(b − a) ≤
Zb
f (x) dx ≤ M (b − a).
a
Todistus. Koska g(x) = m ja h(x) = M ovat porrasfunktioita ja m ≤ f ≤ M
välillä [a, b], niin
m(b − a) =
Zb
m dx ≤
a
Zb
f (x) dx ≤
Zb
a
M dx = M (b − a).
a
Seuraus 2.27. Jos f jatkuva välillä [a, b] ja m = min f (x) sekä M = max f (x),
x ∈ [a,b]
niin
m(b − a) ≤
Zb
x ∈ [a,b]
f (x) dx ≤ M (b − a).
a
Seuraus 2.28. Olkoon f Riemann-integroituva ja ei-negatiivinen välillä [a, b].
Tällöin
Zb
f (x) dx ≥ 0.
a
Seuraus 2.29. Olkoot f ja g Riemann-integroituvia välillä [a, b] ja f (x) ≤ g(x)
kaikilla x ∈ [a, b]. Tällöin
Zb
f (x) dx ≤
a
Zb
g(x) dx.
a
Esimerkki 2.11. Olkoon b > 1. Osoitetaan, että
(b − 1) · e ≤
Zb x
e
1
x
33
dx ≤
b−1 b
·e .
b
Tarkastellaan funktiota
ex
x
ja väliä [1, b]. Jatkuvana funktiona f on Riemann-integroituva välillä [1, b]. Lisäksi
f (x) =
ex · x − ex
ex (x − 1)
=
≥ 0
x2
x2
f 0 (x) =
∀x ∈ [1, b],
joten f on kasvava funktio välillä [1, b]. Siis
Zb x
e
x
1
Zb 1
e
dx ≥
1
1
dx =
Zb
e dx = e · (b − 1)
1
ja
Zb x
e
1
x
dx ≤
Zb b
e
dx =
b
1
eb
b−1 b
· (b − 1) =
·e .
b
b
Lause 2.30. Olkoon f jatkuva ja ei-negatiivinen välillä [a, b]. Jos
Zb
f (x) dx = 0,
a
niin f (x) = 0 kaikilla x ∈ [a, b].
Todistus. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen c ∈ [a, b], että f (c) > 0.
Oletetaan, että c ∈ ]a, b[ (tapaukset c = a ja c = b vastaavasti). Koska f on jatkuva,
on olemassa sellainen δ > 0, että [c − δ, c + δ] ⊆ [a, b] ja
f (x) ≥
f (c)
> 0
2
∀x ∈ [c − δ, c + δ].
Täten
Zb
f (x) dx =
a
c−δ
Z
f (x) dx +
a
≥
c−δ
Z
c+δ
Z
f (x) dx +
c−δ
0 dx +
a
= 0+
c+δ
Z
c−δ
missä on ristiriita, sillä f (c) > 0 ja δ > 0.
34
f (x) dx
c+δ
Zb
f (c)
dx +
0 dx
2
f (c)
· 2δ + 0
2
= f (c) · δ,
Zb
c+δ
2.8
Itseisarvo- ja tulofunktio
Tutkitaan seuraavaksi itseisarvofunktion ja kahden funktion tulofunktion Riemannintegroituvuutta.
Määritelmä 2.7. Olkoon f : A → R. Tällöin f + : A → R,
f + (x) = max{f (x), 0} =

f (x),
kun f (x) ≥ 0,
0,
kun f (x) < 0,
on funktion f positiiviosa ja f − : A → R,
f − (x) = max{−f (x), 0} =

−f (x),
kun f (x) ≤ 0,
0,
kun f (x) > 0,
on funktion f negatiiviosa.
Huomautus. Määrittelystä seuraa suoraan, että
f + (x) ≥ 0
ja
f − (x) ≥ 0
funktion f määrittelyalueella.
Huomautus. Poistiivi- ja negatiiviosan määrittelyn perusteella
f (x) = f + (x) − f − (x)
|f (x)| = f + (x) + f − (x)
ja
funktion f määrittelyalueella.
Lause 2.31. Funktio f on Riemann-integroituva välillä [a, b], jos ja vain jos sekä
f + että f − ovat Riemann-integroituvia välillä [a, b]. Tällöin
Zb
f =
a
Zb
+
f −
a
Zb
f −.
a
Todistus. Todetaan jo aluksi ennen Riemann-integroituvuuden tarkastelua, että
koska f = f + − f − , niin integraalin laskusääntöjen (lause 2.23, s. 31) nojalla
Zb
a
f =
Zb
+
f −
a
Zb
f −,
a
jos kaikki kyseiset funktiot ovat Riemann-integroituvia.
35
’⇐’: Koska f = f + − f − , niin integraalin laskusääntöjen (lause 2.23, s. 31)
nojalla f on Riemann-integroituva, jos f + ja f − ovat Riemann-integroituvia.
’⇒’: Osoitetaan ensin, että f + on Riemann-integroituva välillä [a, b]. Valitaan
mielivaltainen ε > 0. Jos f on Riemann-integroituva välillä [a, b], niin Riemannin
ehdon nojalla on olemassa sellaiset välin [a, b] porrasfunktiot g ja h, että g ≤ f ≤ h
ja
Zb
(2.11)
h−
a
Zb
g < ε.
a
Funktioiden positiiviosia muodostettaessa ainoa muutos on, että funktioiden
negatiiviset arvot korvataan nollilla. Ei-negatiiviset arvot pysyvät ennallaan. Täten
myös g + ja h+ ovat välin [a, b] porrasfunktioita ja g + ≤ f + ≤ h+ välillä [a, b].
Lisäksi porrasfunktioiden g ja h porraspisteet sisältävän jaon osaväleillä positiiviosiin siirryttäessä erotus h − g pysyy ennallaan, jos kyseisellä välillä g (ja siis
myös h) on ei-negatiivinen tai g = h. Jos taas g on negatiivinen ja g < h, niin
erotus h − g vähenee. Siis
h+ − g + ≤ h − g.
(2.12)
välillä [a, b]. Täten porrasintegraalin perusominaisuuksien nojalla
Zb
a
+
h −
Zb
g
+
=
a
Zb h+ − g +
a
(2.12)
≤
Zb
(h − g)
a
=
Zb
a
h−
Zb
g
a
(2.11)
<
ε,
joten f + on Riemannin ehdon nojalla Riemann-integroituva välillä [a, b].
Koska f − = f + − f , niin integraalin laskusääntöjen (lause 2.23, s. 31) nojalla
myös negatiiviosa f − on Riemann-integroituva välillä [a, b].
36
Seuraus 2.32. Jos f on Riemann-integroituva välillä [a, b], myös |f | on Riemannintegroituva välillä [a, b] ja
Zb
|f | =
a
Zb
+
f +
a
Zb
f −.
a
Todistus. Koska |f | = f + + f − , väite seuraa suoraan lauseesta 2.31 ja integraalin
laskusäännöistä (lause 2.23, s. 31).
Lause 2.33. Olkoon funktio f Riemann-integroituva välillä [a, b]. Tällöin
b
Z
f (x) dx
Zb
≤
|f (x)| dx.
a
a
Todistus. Jos f on Riemann-integroituva välillä [a, b], niin seurauksen 2.32 perusteella myös |f | on Riemann-integroituva välillä [a, b]. Lisäksi itseisarvon perusominaisuuksista seuraa, että
− |f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|
kaikilla x ∈ [a, b]. Täten seurauksen 2.29 (s. 33) nojalla
Zb
− |f (x)| dx ≤
a
Zb
f (x) dx ≤
Zb
a
a
Zb
Zb
|f (x)| dx
ja edelleen (lause 2.23, s. 31)
−
Zb
|f (x)| dx ≤
a
f (x) dx ≤
a
|f (x)| dx.
a
Siis itseisarvon perusominaisuuksien perusteella
b
Z
f (x) dx
Zb
≤
a
|f (x)| dx.
a
Huomautus. Koska lauseessa 2.33 oletetaan integroituvuus välillä [a, b], niin a < b.
Lauseen tulos pätee tietysti myös, jos a = b, mutta jos b < a, niin lauseen 2.33
epäyhtälö on muutettava muotoon (harjoitustehtävä)
b
Z
f (x) dx
a
≤
b
Z
|f (x)| dx .
a
37
Huomautus 2.34. (a) Lauseen 2.33 epäyhtälö voi olla myös aito. Esimerkiksi
(esimerkin 2.8 (s. 18) nojalla)
Z1
12 − (−1)2
= 0,
2
x dx =
−1
mutta toisaalta lauseiden 2.21 (s. 30) ja 2.23 (s. 31) sekä esimerkin 2.8 (s. 18)
perusteella
Z1
|x| dx =
−1
Z0
|x| dx +
Z1
−1
=
|x| dx
0
Z0
−x dx +
−1
Z1
x dx
0
= −
Z0
x dx +
−1
= −
Z1
x dx
0
12 − 0
0 − (−1)2
+
2
2
= 1.
Siis
Z1
Z1
x dx <
−1
|x| dx.
−1
(b) Funktion f : [a, b] → R kuvaajan ja x-akselin väliin välillä [a, b] jäävän
alueen pinta-ala on
Zb
|f | =
a
Zb
+
f +
a
Zb
f −.
a
Lause 2.35. Jos funktiot f ja g ovat Riemann-integroituvia välillä [a, b], myös
tulo f g on Riemann-integroituva välillä [a, b].
Todistus. 1◦ : Oletetaan ensiksi, että f, g ≥ 0. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Riemann-integroituvina funktioina f ja g ovat rajoitettuja välillä [a, b], joten on olemassa sellainen M > 0, että f, g ≤ M . Lisäksi Riemannin ehdon nojalla on olemassa
sellaiset välin [a, b] porrasfunktiot gf , hf ja gg , hg , että gf ≤ f ≤ hf ja gg ≤ g ≤ hg
sekä
(2.13)
Zb
a
hf −
Zb
a
gf
ε
<
2M
ja
Zb
a
38
hg −
Zb
a
gg <
ε
.
2M
Koska 0 ≤ f, g ≤ M , niin todistuksen yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa
(lause 1.11, s. 7), että
0 ≤ gf ≤ f ≤ hf ≤ M
0 ≤ gg ≤ g ≤ hg ≤ M.
ja
Tällöin gf gg ja hf hg ovat porrasfunktiota (huomautus 1.9, s. 6) ja
gf gg ≤ f g ≤ hf hg .
Lisäksi huomautuksen 1.9 (s. 6) ja muiden porrasfunktioiden perusominaisuuksien
sekä lauseen 2.23 (s. 31) ja seurauksen 2.29 (s. 33) nojalla
Zb
hf hg −
a
Zb
Zb
=
gf gg
a
hf hg −
a
Zb
=
≤
Zb
gf hg +
a
(hf − gf ) hg +
Zb
a
a
Zb
Zb
M
gf hg −
a
(hf − gf ) M +
a
=
Zb
Zb
gf gg
a
gf (hg − gg )
M (hg − gg )
a
Zb
(hf − gf ) + M
a
(2.13)
<
M·
=
ε,
Zb
(hg − gg )
a
ε
ε
+ M·
2M
2M
joten f g on Riemannin ehdon nojalla Riemann-integroituva välillä [a, b].
2◦ : Olkoot sitten f ja g mielivaltaisia välillä [a, b] Riemann-integroituvia funktioita. Koska f = f + − f − ja g = g + − g − , niin
fg =
f+ − f−
g+ − g−
= f +g+ − f +g− − f −g+ + f −g−,
joka on kohdan 1◦ nojalla välillä [a, b] Riemann-integroituvien funktioiden summana
Riemann-integroituva välillä [a, b] (lause 2.23, s. 31).
Huomautus 2.36. Yleensä
Zb
a
(f g) 6=
Zb
a
39
f·
Zb
a
g.
Huomautus 2.37 (Cauchy-Schwarzin epäyhtälö). Jos funktiot f ja g ovat Riemannintegroituvia välillä [a, b], niin
 b
2
Z
 f g
≤
Zb
a
a
2
f ·
Zb
g2.
a
Todistus. Harjoitustehtävä (vrt. vastaavan tuloksen todistus summalausekkeille).
40
2.9
Integraalilaskennan väliarvolause
Seuraavaksi tarkastellaan integraalilaskennan väliarvolausetta.
Lause 2.38 (Integraalilaskennan väliarvolause). Olkoon funktio f jatkuva välillä
[a, b]. Tällöin on olemassa sellainen ξ ∈ ]a, b[, että
(2.14)
Zb
f (x) dx = f (ξ)(b − a).
a
Todistus. Koska f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], on olemassa sellaiset pisteet
x1 , x2 ∈ [a, b], että
m = f (x1 ) = min {f (x) | x ∈ [a, b]} ja M = f (x2 ) = max {f (x) | x ∈ [a, b]}.
Lisäksi seurauksen 2.27 (s. 33) nojalla
(2.15)
m(b − a) ≤
Zb
f (x) dx ≤ M (b − a).
a
Koska f on jatkuva, niin integraalin laskusääntöjen ja lauseen 2.30 (s. 34) perusteella
yhtäsuuruus epäyhtälöissä (2.15) on voimassa vain silloin, kun f on vakiofunktio
välillä [a, b].
Jos f on vakiofunktio, niin mikä tahansa välin ]a, b[ piste kelpaa pisteeksi ξ. Jos
taas f ei ole vakio, niin
m(b − a) <
Zb
f (x) dx < M (b − a).
a
Koska b − a > 0 (ts. [a, b] on väli), niin tällöin
b
1 Z
m <
f (x) dx < M.
b−a a
Lisäksi x1 =
6 x2 . Todistuksen yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että x1 < x2 .
Funktio f on nyt jatkuva suljetulla välillä [x1 , x2 ], joten se saavuttaa tällä
välillä kaikki suurimman ja pienimmän arvonsa väliset arvot. Koska f (x1 ) = m ja
f (x2 ) = M , on täten olemassa sellainen ξ ∈ ]x1 , x2 [ (jolloin myös ξ ∈ ]a, b[ ), että
b
1 Z
f (x) dx
f (ξ) =
b−a a
41
eli
Zb
f (x) dx = f (ξ)(b − a).
a
Huomautus. Integraalilaskennan väliarvolauseesta käytetään usein lyhennettä
IVAL.
Huomautus 2.39. Integraalilaskennan väliarvolauseessa oletettiin, että a < b (eli
[a, b] on väli). Lauseen tulos eli kaava (2.14) pätee myös, kun b < a, mutta tällöin
on tietysti oletettava, että ξ ∈ ]b, a[.1
Todistus. Olkoon f jatkuva välillä [b, a], missä b < a. Integraalilaskennan väliarvolauseen nojalla on tällöin olemassa sellainen ξ ∈ ]b, a[, että
Zb
f (x) dx = −
a
Za
IVAL
f (x) dx
−f (ξ)(a − b) = f (ξ)(b − a).
=
b
Lause 2.40 (Yleistetty integraalilaskennan väliarvolause). Olkoon funktio f jatkuva
ja funktio g ei-negatiivinen ja Riemann-integroituva välillä [a, b]. Tällöin on olemassa
sellainen ξ ∈ [a, b], että
Zb
(2.16)
f (x)g(x) dx = f (ξ)
a
Zb
g(x) dx.
a
Todistus. Koska f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], on olemassa sellaiset pisteet
x1 , x2 ∈ [a, b], että
m = f (x1 ) = min {f (x) | x ∈ [a, b]} ja M = f (x2 ) = max {f (x) | x ∈ [a, b]}.
Lisäksi g ≥ 0, joten mg ≤ f g ≤ M g. Siis seurauksen 2.29 (s. 33) nojalla
(2.17)
m · Ig =
Zb
a
mg(x) dx ≤
Zb
f (x)g(x) dx ≤
a
missä
Ig =
Zb
M g(x) dx = M · Ig
a
Zb
g(x) dx.
a
1
Usein tiedolla, onko ξ ∈ ]a, b[ vai ξ ∈ ]b, a[, ei ole merkitystä, mutta joskus tietysti on.
42
Jos nyt Ig = 0, niin epäyhtälöketjun (2.17) nojalla myös
Zb
f (x)g(x) dx = 0.
a
Täten molemmat integraalit kaavassa (2.16) ovat nollia ja mikä tahansa välin ]a, b[
piste kelpaa pisteeksi ξ.
Jos taas Ig 6= 0, niin Ig > 0, sillä g ≥ 0. Täten epäyhtälöketjun (2.17) nojalla
b
1 Z
m ≤
· f (x)g(x) dx ≤ M.
Ig a
Jatkuvana funktiona f saavuttaa suljetulla välillä [a, b] kaikki suurimman ja pienimmän arvonsa väliset arvot. Täten on olemassa sellainen ξ ∈ [a, b], että
b
1 Z
f (ξ) =
· f (x)g(x) dx
Ig a
eli
Zb
f (x)g(x) dx = f (ξ)
a
Zb
g(x) dx.
a
Huomautus. Vastaavasti kuin huomautuksessa 2.39 voidaan osoittaa, että yleistetyn integraalilaskennan väliarvolauseen tulos eli kaava (2.16) pätee myös, kun
b < a. Tällöin on tietysti oletettava, että ξ ∈ [a, b].
43