MS-C1420 Fourier-analyysi (Aalto-yliopisto) Turunen / Mustonen

MS-C1420 Fourier-analyysi (Aalto-yliopisto)
Turunen / Mustonen
Harjoituskierros 8/12 (30.9.-2.10.2015)
Jos signaali s : R → C on 1-jaksollinen eli s(t+1) = s(t) kaikilla t ∈ R, merkitään
silloin s : R/Z → C. Tällaisen 1-jaksollisen signaalin Fourier-muunnos on funktio
sb : Z → C, missä Fourier-kertoimet lasketaan kaavalla
Z
Z 1
e−i2πt·ν s(t) dt.
(1)
sb(ν) :=
e−i2πt·ν s(t) dt =
0
R/Z
Seuraavia tehtäviä nro 1–4 lasketaan paikalla harjoituksessa
(1p aktiivisesta osallistumisesta: keskity erityisesti itsellesi uusiin asioihin).
1. Laske Fourier-kertoimet, kun s : R/Z → C, s(t) = t2 (missä |t| ≤ 1/2).
2. Miten derivaatan s0 ja signaalin s : R/Z → C Fourier-kertoimet liittyvät
toisiinsa?
3. Kurssilla käyttämämme ”moderni” Fourier-sarja on muotoa
X
s(t) =
ei2πt·ν sb(ν).
ν∈Z
Monissa lähteissä käytetään kömpelöä trigonometrista versiota
∞
s(t) =
a0 X
+
(ak cos(2πtk) + bk sin(2πtk)) .
2
k=1
Etsi muunnoskaavat vakioiden ak , bk ja Fourier-kerrointen sb(ν) välillä.
4. Näytä, että
∞
X
π2
1
=
.
n2
6
n=1
Vihje: Tarkastele tapauksessa s(t) = t (kun |t| < 1/2) Fourier-sarjaa
X
s ∗ s(t) =
ei2πt·n sd
∗ s(n)
n∈Z
kohdassa t = 0. Laske siis s ∗ s(0) ja sd
∗ s(n).
Tässä signaalien q, r : R/Z → C konvoluutio lasketaan
Z
q ∗ r(t) :=
Z
q(t − u) r(u) du =
1
q(t − u) r(u) du.
0
R/Z
—————————————————————————————————
1
Kotitehtävä 8. (3p) Palautus pe 9.10.2015 klo 12:00 mennessä palautuslokeroon:
Tällä kertaa tarkastelussa on Gibbs-ilmiö (Gibbs phenomenon: tutustu
esimerkiksi Wikipedian artikkeliin tai vastaavaan lähteeseen).
(a) Kokeile seuraavassa ohjelmassa muuttujan arvoja p ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}:
clear all;
p=8; q=2^p;
n=2^10; h=1/n; t=h:h:1;
f=zeros(1,n);
for k=1:q,
f=f+sin(2*pi*t*(2*k-1))/(2*k-1);
end;
plot(t,f);
(b) Kirjoita lyhyt kuvailu aiheesta ”Fourier-sarjan Gibbs-ilmiö”. Käytä
esimerkkinä tämän tehtävän (a)-kohdan laskentaa eri arvoilla q = 2p : montako prosenttia (a)-kohdassa on Gibbs-ylilyönti (engl. overshoot)? Ilmiön
tarkkaa syytä ei tarvitse selittää, mutta kuvitus mukaan!
STACK-tehtävät 4. (2p) Tee verkossa (su 4.10.2015 klo 23:00 mennessä).
2