osittaisderivaatat

T055403 Osa II.
1. Usean muuttujan
funktiot
T055403
1
1.1 Johdantoa
 Usein
yksi muuttuja ei riitä kuvaamaan systeemiä kovinkaan hyvin.
 Esimerkki.
Suorakulmaisen suuntaissärmiön tilavuus riippuu särmien pituuksista x, y
ja z.
T055403
2
 Tilavuus
V on siten kolmen reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio: jokaista positiivilukukolmikkoa (x, y, z)
vastaa yksikäsitteinen reaaliluku V.
V = xyz
T055403
3
 Esimerkki.
Luokkahuoneen lämpötila T voi paikan (x, y, z) lisäksi riippua ajasta t.
Lämpötila on siis neljän reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio:
T = T (x, y, z, t )
T055403
4
 Esimerkki.
Putkessa virtaavan nesteen virtaamisnopeus on hieman erilainen putken eri kohdissa. Lisäksi virtausnopeus vaihtelee ajan funktiona.
v  Fx, y, z, t 
T055403
5
 Virtausnopeus
on siten neljän reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio.
 Tällaista funktiota nimitetään joskus
myös vektorikentäksi.
 Esimerkiksi fysiikassa puhutaan usein
gravitaatio- ja sähkövarauksen ympärilleen aiheuttamasta sähkökentästä.
T055403
6
1.2 Määrittely
 Määritelmä.
Jos jokaista muuttujien x1, x2, x3, …,
xn yhdistelmää vastaa tietty muuttujan z arvo, sanotaan z :aa muuttujien x1, x2, x3, …, xn funktioksi, ja sitä
merkitään
z  f x1 , x2 , x3 ,, xn 
T055403
7
 Funktion
määritysjoukko koostuu
niistä lukupareista, kolmikoista ja ntuplista, joille funktio on määritelty.
T055403
8
1.3 Havainnollistaminen
 Yhden
muuttujan reaaliarvoista
funktiota voidaan havainnollistaa
kuvaajalla.
 Esimerkki.
Funktion kuvaaja:
f x   x sin x
T055403
9
T055403
10
 Kahden
muuttujan reaaliarvoista
funktiota voidaan havainnollistaa monella eri tavalla.
 Kahden muuttujan funktion muuttujana on (esim.) xy-tason piste.
T055403
11
 Esimerkki.
Laske funktion f x, y   4 x  x y
2
3
arvo pisteissä (0, 1) ja (-2, 6).
 Esimerkki.
Mikä on funktion g määrittelyjoukko?
2
sin x
g  x, y  
y  ln x
T055403
12
 Kahden
muuttujan funktion f (x, y )
kuvaaja on pinta. Pinta muodostuu
niistä xyz - avaruuden pisteistä (x, y,
z), joille on voimassa
z  f x, y 
T055403
13
 Esimerkki.
Funktion f (x, y) = x sinx + y 2 kuvaaja on xyz - koordinaatiston pinta.
T055403
14
T055403
15
 Kahden
muuttujan funktiosta voidaan
piirtää myös tasa-arvokäyrä.
 Esimerkki.
Piirretään funktion
x  xy  1
f  x, y   2 2
x y 1
3
kuvaaja ja tasa-arvokäyriä.
T055403
16
T055403
17
T055403
18
T055403
19
 Kahden
muuttujan funktion tasa-arvokäyrät saadaan piirtämällä käyrät
f (x, y ) = c .
 Tasa-arvokäyrä
on kuin karttakuva.
 Funktion kuvaaja on kuin maisema.
T055403
20
 Mikäli
f on kolmen muuttujan reaaliarvoinen funktio, niin kysymyksessä
on tällöin 4-ulotteisen avaruuden 3ulotteinen pistejoukko.
 Sitä ei voi havainnollistaa muuten
kuin tasa-arvopintojensa avulla, mikäli funktio on riittävän säännöllinen.
T055403
21
2. Usean muuttujan
funktioiden differentiaalilaskenta
T055403
22
2.1 Raja-arvo ja jatkuvuus
 Jos
funktio on jatkuva
määrittelyjoukkonsa jokaisessa
pisteessä, sanotaan, että funktio on
jatkuva.
 Tarkempi määrittely ja raja-arvojen
laskutekniikan käsittely sivuutetaan.
T055403
23
Muutama havainnollistus
xy
 Funktiolla f  x, y   2
2 ei ole rajax y
arvoa origossa, joten se ei voi olla
jatkuva.
x y
 Funktiolla g  x, y  
2 on raja0.2  y
arvo origossa ja se on jatkuva.
2
T055403
2
24
T055403
25
T055403
26
2.2 Differentiaalilaskenta
 ”Muutosnopeus”
Tutki seuraavasta kuvaajasta, kuinka
kahden muuttujan funktion arvot
muuttuvat kuljettaessa
a) x - akselin suuntaisesti
b) y -akselin suuntaisesti.
T055403
27
 Funktion
f (x, y) osittaisderivaatta
muuttujan x suhteen saadaan pitämällä y vakiona. Tällöin käytetään
seuraavanlaisia merkintöjä
f
, f x , f x '  x, y 
x
T055403
28
 Funktion
f (x, y) osittaisderivaatta
muuttujan y suhteen saadaan pitämällä x vakiona. Tällöin käytetään
seuraavanlaisia merkintöjä
f
, f y ' , f y ' x, y 
y
T055403
29
 Täsmällisesti
määriteltynä

f  x  x, y   f  x, y 
f  x, y   lim
x 0
x
x
f x, y  y   f x, y 

f x, y   lim
y 0
y
y
T055403
30
 Täsmällisen
määrittelyn ja esimerkin
perusteella osittaisderivaatta muuttujan x suhteen ilmoittaa funktion
arvojen muutosnopeuden liikuttaessa
x-akselin suuntaisesti.
 Vastaava päättely voidaan tehdä osittaisderivaatalle muuttujan y suhteen.
T055403
31
 Esimerkki.
Määritä funktion
f (x, y, z) = xy - yz + 3xz
ensimmäiset osittaisderivaatat.
T055403
32
 Esimerkki.
Muodosta seuraavan funktion kaikki
ensimmäiset ja toiset osittaisderivaatat.
f x, y   e
T055403
x 3 2y 3
33
 Voidaan
osoittaa, että edellisessä esimerkissä havaittu ilmiö on yleisesti
voimassa, mikäli kaikki toisen kertaluvun derivaatat ovat jatkuvia.
 Siis: derivointijärjestys ei vaikuta
lopputulokseen, kunhan funktio on
riittävän säännöllinen.
T055403
34
 Huomautus:
Kun derivoidaan ensin muuttujan x
suhteen ja sitten muuttujan y suhteen on merkintä tällöin
 f
yx
2
T055403
35