sygeeksamen august 2015

GUX
Matematik
A-Niveau
August 2015
Kl. 9.00 -14.00
Prøveform a
GUX152 - MAA
1
Matematik A
Prøvens varighed er 5 timer.͒
Prøven består af opgaverne 1 til 10 med i alt 25 spørgsmål.
De 25 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse.
Alle hjælpemidler er tilladt.
I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt
vægt på, om eksaminandens tankegang klart fremgår, herunder om der i opgavebesvarelsen er:
en kort præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte spørgsmål går ud på
en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen
dokumentation af beregninger og anvendt fremgangsmåde ved hjælp af mellemregninger,
forklarende tekst og brug af it-værktøjer
brug af figurer og illustrationer͒med en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer
en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart
sprog og med brug af sædvanlig matematisk notation.
GUX matematik A august 2015 side 1 af 7
Opgave 1
De grønlandske fartøjer fisker i større og større grad i andre farvande. Tabellen viser udviklingen i dette fiskeri.
Årstal
2010
2011
2012
2013
Samlet fiskerifangst (ton)
19071
25800
38677
51678
En model for udviklingen i den samlede fiskerifangst i andre farvande har formen
f ( x) b ˜ a x
hvor x er antal år efter 2010, og f ( x) er den samlede fiskerifangst i andre farvande målt i ton.
a)
Benyt tabellens data til at bestemme a og b, og forklar betydningen af a.
b)
Bestem den samlede fiskerifangst i 2016 ifølge modellen.
Bestem hvilket år, den samlede fiskerifangst første gang overstiger 200000 ton ifølge modellen.
Opgave 2
For en parabol med diameter d, dybde L
og brændvidde b gælder følgende sammenhæng
b
d2
16 L
L
De tre størrelser d, L og b angives i meter.
a)
Bestem dybden L for en parabol med en
brændvidde på b 2,5 m og en
diameter på d 8 m.
b)
Bestem brændvidden b for en parabol med dybde L 2, 4 m og diameter d 12 m.
Med hvor mange procent øges brændvidden b for en parabol med dybde L 2, 4 m, når diameteren d øges
med 10 %?
Foto: Michael Hollerup
GUX matematik A august 2015 side 2 af 7
Opgave 3
Funktionen f er bestemt ved forskriften
f ( x) 2 ˜ x 2 ln x 3 ,
x  @ 0;3@
Nedenfor er det lokale maksimumspunkt for f bestemt. Bilag 1 kan benyttes.
a)
Forklar med ord hvad der sker i hvert trin i beregningerne.
Funktionen f differentieres.
f c( x) 4 x 1
x
2x 2 differentieres og bliver til 2 ˜ 2 x 4 x .
1
.
x
Konstanten 3 bliver 0, når den differentieres.
ln( x) differentieres og bliver til
4x 1
x
0
____________________________________________
1
eller x
2
1
2
____________________________________________
Løsningen er x
1
2
____________________________________________
x
Funktionen har lokalt maksimum i
punktet 0,5;1,81
b)
Bestem monotoniforholdene for funktionen f.
____________________________________________
GUX matematik A august 2015 side 3 af 7
Opgave 4
På en arbejdsplatform til offshoreindustri er der monteret en
helikopterlandingsplads.
På figuren ses en model af en helikopterlandingsplads
indlagt i et koordinatsystem. Enheden på akserne er 1m.
Størrelsesforholdene er ikke korrekte
Punkterne har koordinaterne F(4;2;1), H(3;4;1) og L(3,3;2,3;1).
a)
Bestem en ligning for den plan D , som indeholder helikopterlandingspladsen med punkterne F, H og L.
Benet LP fra helikopterlandingspladsen til den vandrette plan E : z
0 ligger på linjen l med
parameterfremstillingen
§x·
¨ ¸
¨ y¸
¨z¸
© ¹
b)
§ 3,3 · § 0,3 ·
¨
¸ ¨ ¸
¨ 2,3 ¸ t ¨ 0,3 ¸
¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸
©
¹ © ¹
Bestem længden af benet LP, og bestem vinklen mellem benet LP og E .
GUX matematik A august 2015 side 4 af 7
Opgave 5
En cirkel C er givet ved ligningen x 7 y 6 2
En ret linje l er givet ved ligningen y
a)
2
25 .
y
2 x 10 .
Bestem de to skæringspunkter P og Q mellem den
rette linje l og cirklen C.
C
l
(7,6)
P
b)
v
Bestem længden af korden PQ .
Gør rede for, at centervinklen v 53,13D .
Q
x
Linjen l og cirklen C afgrænser et gråt område som vist
på figuren.
Det grå område har et areal A, der kan beregnes ved formlen:
A
r2 § S ˜ v
·
˜¨
sin(v ) ¸
2 © 180q
¹
hvor r er radius i cirklen, og v er centervinklen.
c)
Bestem arealet af det grå område.
Opgave 6
I en model betegner A antallet af personer, der har hørt en nyhed på KNR.
I modellen antages det, at A som funktion af tiden er en løsning til differentialligningen
dA
dt
0,05 ˜ (40000 A)
hvor t er tiden målt i timer efter nyheden er udgivet.
a)
Bestem væksthastigheden, når 1000 personer har hørt nyheden.
b)
Bestem en løsning til differentialligningen, når det antages, at ingen havde hørt nyheden, da den blev
udgivet. Det vil sige A(0) 0 .
c)
Bestem, hvor lang tid der ifølge modellen går, før 9000 personer har hørt nyheden.
GUX matematik A august 2015 side 5 af 7
Opgave 7
Funktionen f er bestemt ved forskriften
f ( x)
a)
x 1 2 ˜ cos( x) , 0 d x d 2S
Bestem en forskrift for den stamfunktion F til f ,
y
som opfylder at F (0) 5 .
f
Et område M afgrænses af grafen for f , koordinatakserne
og linjen med ligningen x
2S , som vist på figuren.
M
b)
Bestem arealet af M.
M
0
c)
x
2S
Bestem rumfanget af det
omdrejningslegeme, der fremkommer,
når M drejes 360q om x-aksen.
Opgave 8
I en model for en bestemt art af hunkalkuner gælder det, at vægten af en hunkalkun som funktion af tiden kan
beskrives ved funktionen
m(t ) 3750 ˜ 1 57,84 ˜ e(0,005166˜t 0,3663) ˜ t 1,096
, 0 d t d 60
hvor t er tiden efter udklækning af et kalkunæg målt i uger, og m(t) er vægten af en hunkalkun målt i gram.
a)
Tegn grafen for m, og benyt modellen til at bestemme de tidspunkter efter udklækning,
hvor en hunkalkun vejer 3000 g.
b)
Benyt modellen til at bestemme det tidspunkt efter udklækning, hvor vægten af en hunkalkun er størst.
GUX matematik A august 2015 side 6 af 7
Opgave 9
Når sneen smelter om foråret, kommer der flere bakterier i drikkevandet i vandsøerne i Grønland. Derfor vælger
mange at koge vandet og stille det i køleskabet, før de drikker vandet.
Nivi sætter en flaske kogt vand i køleskabet. Vandets temperatur g (t ) målt i qC kan beskrives ved funktionen
g (t ) T0 b ˜ a t
hvor tiden t måles i minutter.
Temperaturen i køleskabet er konstant T0
Til tiden t
5qC .
0 sættes vandet i køleskabet, og har temperaturen 100qC .
Efter 12 minutter er vandets temperatur faldet til 91qC .
a)
Vis, at b 95 og a 0,9917 .
Efter 200 minutter drikker Nivi af vandet.
b)
Hvilken temperatur har vandet på det tidspunkt?
Vandet er behageligt at drikke, når temperaturen er 11qC .
c)
Bestem hvor lang tid der går, før vandet er behageligt at drikke.
GUX matematik A august 2015 side 7 af 7
Opgave 10
I en svømmehal er en af siderne på en klatrevæg fastgjort til en vandret stang mellem to spær
med to aluminiumsstænger.
a1
P
w
a2
Q
Længderne af de to aluminiumsstænger a1 og a2 er
a1 105cm
a2 112cm
Der gælder, at | PQ | 129 cm, som er afstanden mellem de to punkter P og Q, hvor a1 og a2 er fastgjort til
klatrevæggen.
a)
Bestem vinklen w mellem a1 og a2 .
På figuren til højre er kræfterne i de to aluminiumsstænger
G
G
vist som vektorerne F1 og F2 , som måles i enheden N.
G
Den vinkel som F2 danner med
G
F2
G
F1
lodret betegnes v og har størrelsen
w
v
v 23,5q
b)
G
FR
G
G
Bestem de vinkler vektorerne F1 og F2 danner med vandret.
G
G
Den lodrette vektor FR har længden FR
G
vektorkoordinaterne er FR
§ 0 ·
¨
¸.
© 1500 ¹
G
G G
Desuden gælder, at FR F1 F2
c)
G
G
Bestem F1 og F2 .
1500 N , og
G
0 , da summen af alle kræfter giver 0.
Q
P
Naqinneqarfia • Tryk: Inerisaavik
12
Ilinniartitaanermut, Kultureqarnermut, Ilisimatusarnermut Ilageeqarnermullu Naalakkersuisoqarfik
Departementet for Uddannelse, Kultur, Forskning og Kirke