Speciell Relativitetsteori

1
Den Speciella Relativitetsteorin
Den speciella relativitetsteorin är en fysikalisk teori om lades fram av Albert Einstein år
1905.
Denna teori beskriver framför allt hur utfallen (dvs
resultaten) från alla tänkbara fysikaliska experiment
1
är oberoende av vilken
hastighet observatören har. Men även (som konsekvens av detta) hur koncept
som tid och rum beter sig när förmål färdas i hastigheter som är jämförbara
med ljusetshastighet.
1.1
Ljusetshastighet
Ljus som färdas i vakuum har en ungefärlig hastighet på
300000000 m/s.
Att
mäta hastigheten hos ljus är ett typiskt exempel på ett fysikaliskt experiment
som ska vara oberoende av vilken hastighet den som mäter ljuset faktiskt har.
Detta innebär att om du mäter hastigheten på ljuset från en bil så kommer
resultatet att vara desamma oavsett om bilen står stilla, färdas mot dig eller
ifrån dig. (Jämför med uppgift
12.03).
Ett experiment som bekräftade denna hypotes var det s.k. Michelson-Morley
experimentet som kan läsas om i boken.
För att förklara hur detta resultat (som till en första anblick kan verka
väldigt konstigt) kan stämma så behöver man introducera två fenomen som
2
går under namnen tidsförlängning samt längdkontraktion. .
1.2
All rörelse är relativ
Eftersom vi inte kan avgöra om vi rör oss med konstant hastighet eller inte
med hjälp av fysikaliska experiment så kan man fråga sig vad som faktiskt
är i vila samt vad som rör sig?
Svaret på denna fråga är att det nns ingen s.k. absolut rörelse. Istället kan
man bara tala om rörelse mellan föremål. Så länge ett föremål inte accelererar
så nns det ingen mening med att säga att detta föremålet rör sig utan att
referera till vad man jämför med.
I vardagliga samtal är det så klart underförstått att det är jorden vi jämför med. Men i t.ex. astrofysiken så nns det ingen mening med att säga att
vår galax färdas genom rymden med en hastighet av
400000
km/h utan att
referera till något. Istället så gäller det att vår galax närmar sig Andromeda
galaxen med en hastighet av
400000km/h.
Man säger att hastigheter är relativa, vilket innebär att det endast är meningsfulla som jämförelser mellan objekt.
1 Med
2 Även
undantag för vissa special fall inom astrofysiken.
kallat tidsdilatation
1
Hastigheten beskriver hur fort ett föremål färdas samt i vilken riktning
- dess dimension är meter per sekund.
Om det underliga påståendet att
ljusetshastighet är desamma för alla observatörer stämmer så måste även
koncepten tid och rum bete sig på ett speciellt sätt.
1.3
Tiden går långsammare
På lektionen härledde David en ekvation på formen:
T0
T =q
1−
.3
v2
c2
När ett föremål, t.ex. ett rymdskepp, färdas relativt oss så upplever vi att tiden yter långsammare för detta föremålet.
Vi ser allt som händer på skeppet i slow-motion.
Denna ekvation beskriver följande:
Men eftersom personerna på detta rymdskepp upplever att dem är i vila och
vi på jorden som rör oss så upplever de att tiden på jorden yter långsammare.
Man skulle kunna fråga sig vem som har rätt, eller om det ens går att
tala om rätt eller fel? Faktum är att det inte är någon som har rätt i detta
fallet, men vi ska komma tillbaka till den diskussionen senare.
1.4
Längder blir kortare
Fenomenet längdkontraktion är av samma karaktär som tidsdilatationen men
gäller istället rummet. Det som händer här är att objekt som färdas relativt
oss även tycks bli ihop tryckta eller kontraherade i den riktning som de
färdas i - de upplevs som kortare.
Ekvationen som beskriver detta är på
följande form:
l
l0 = q
1−
.
v2
c2
Lägg märket till den återkommande faktorn:
γ=q
1
1−
,
v2
c2
denna faktor dyker upp jämt och ständigt när man betraktar saker som rör
sig i förhållande till varandra i relativitetsteorin, den är därför fått ett namn
som är
gammafaktorn, γ .
2
1.5
Exemplet med Myoner
Låt oss använda våra ekvationer ovan för att se hur allting hänger ihop. En
4
av alla elementarpartiklarna i universum är den s.k. myonen. Denna partikel
har precis samma egenskap som elektronen fast en högre massa och bildas
10km över
marknivå. Dessa färdas då med en hastighet på ca 0.98c ≈ 294000000m/s
samtidigt som de har en halveringstid på ca t 1 = 1.56µs. Låt oss nu räkna på
hela tiden när kosmisk strålning kommer in i vår atmosfär ca
2
detta skeende ur ett klassiskt perspektiv samt med hjälp av relativitetsteori.
1.5.1
Den klassiska bilden
Klassiskt sett så kommer det att
s
100000m
=
≈ 0.00034 sekunder
v
294000000m/s
t=
för myonerna att nå marken. Delar vi detta med halveringstiden så ser vi
att detta motsvarar,
3.4 · 10−4
t
≈ 21.8 halveringstider.
=
t1
1.56 · 10−6
2
1 21.8
≈ 0.3 · 10−6 , ca tre miljondelar av
2
alla myoner kommer att nå jordens yta. Experimentellt sett så detekterar
Med andra ord förväntar vi oss att,
vi många er myoner vilket visar på att något är fel. Låt oss nu ta till den
speciella relativitetsteorin.
1.5.2
Fenomenet sett från jorden
När vi arbetar med den speciella relativitetsteorin så får vi välja utifrån vems
perspektiv vi ska se det hela ifrån. Låt oss börja med att vi står på jorden.
Detta innebär att vi upplever det som att myonens tid går långsammare. Vi
kommer fortfarande uppleva det som att det tar
0.00034
sekunder för dem
att nå marken, men deras halveringstid blir längre eftersom det som sker för
myonen för oss ser ut att gå i slow-motion. Detta ger då en halveringstid på:
Ny
tGammal
1
t1 = q 2
2
1−
4 Dvs
(0,98c)2
c2
1.56 · 10−6 s
=p
≈ 7.84 · 10−6 s.
2
1 − 0,98
de partiklar som vi inte funnit någon innre struktur för.
3
Delar vi tiden som det tar för myonen att färdas dessa
10
km med den nya
halveringstiden så får vi
Detta innebär att,
3.4 · 10−4
≈ 4,36 halveringstider.
7,84 · 10−6
1 4.36
= 0.049, 49000 miljondelar
2
av alla myoner når
jordens yta!
1.5.3
Fenoment sett från myonen
När det kommer till hur myonen upplever det hela så kommer den se det
som att allt på jorden går i slow-motion. Detta kommer dock inte påverka
resultatet så man kan fråga sig om myonen kommer att hålla med om våra
mätresultat? Lösningen är längdkontraktion.
Utifrån myonens perspektiv så färdas jorden (med moln, berg, hav och allt
därtill) med 0.98c i motsatt riktning. Detta innebär att myonen kommer att
uppleva att sakerna på jorden blir ihop tryckta.
De
10km
som är mellan
atmosfären där de bildas samt marken kommer nu istället motsvara,
10000 ·
p
1 − 0,982 ≈ 2000 m.
Myonen upplever det således som att den endast färdas
2 km mellan atmosfär
och marknivå!
Låt oss gå vidare med beräkningen. Myonen upplever alltså att den färdas
2000m med en hastighet på
t=
0.98c
in i jorden. Detta ger en tid på:
2000m
s
=
= 6,8 · 10−6 s.
v
0,98c
Delar vi denna med dess halveringstid så nner vi återigen talet
4.36.
Alltså, även om vi jordbor och myonen upplever det hela annorlunda så
ger våra beräkningar helt identiska resultat. Relativitetsteorin är konsekvent.
2
Behovet av en rumtid
Än är vi inte färdiga med konsekvenserna av att ljusetshastighet alltid är
konstant. Låt oss göra ett tankeexperiment.
2.1
Vad innebär det att saker sker samtidigt?
Bob står på ett tåg med en mätutrustning som består i en lampa som sänder
ut en ljussignal åt två håll varpå dessa sedan registreras av två detektorer
4
på lika långt avstånd från lampan. Oavsett om tåget rör sig relativt jorden
eller inte så kommer Bob att komma fram till samma resultat, nämligen att
ljusstrålarna når detektorerna samtidigt. Detta eftersom ljuset färdas med
ljusetshastighet åt båda håll och sträckan är den samma.
Vi skulle kunna måla situationen för Bob i ett så kallat rumtid diagram,
där y-axeln mäter tid och x-axeln är ett tvärsnitt av tåget. Eftersom händelserna där strålarna när detektorerna ligger på samma horizontala linje,
t = t0
så upplever Bob dem som samtidiga.
Låt oss nu se det hela från Sally's perspektiv som står på perrongen och ser
tåget susa förbi. Utifrån hennes perspektivs så kommer inte alls detektorerna
att mäta ljuset samtidigt. Visserligen kommer ljuset att färdas med samma
hastighet åt båda håll men nu färdas ju även tåget! Detta innebär att den
bakre detektorn kommer att möta ljuset påvägen medan ljuset som skjuts i
färdriktningen får jaga ikapp den främre detektorn. Utifrån Sallys perspektiv
så sker allt enligt:
5
Det verkar som hela begreppet
samtidighet
beror på vem det är som
betraktar skeendet! Enklaste sättet att förklara detta är genom att påstå att
två personer som färdas relativt varandra har olika uppfattning om vilken
riktning tidsaxeln har. Låt oss gå tillbaka till bilden utifrån Bobs perspektiv
men med sträckade linjer måla in vad som Sally uppfattar sker samtidigt. I
detta fallet så får vi bilden som syns i guren nedan.
Sammanfattningsvis då så gäller det att precis som en rotation kan vrida
och vända på vad som är x-axeln och y-axeln i rummet så kan vi vrida och
vända på vad som är tid och rum genom att byta hastighet. Detta leder till
att även samtidigheten är relativ.
6
2.2
Rumtiden
I föregående kapitel så har vi sett hur två personer kan ha olika uppfattning
om vilken riktning tidsaxeln har. Detta är en tanke som helt har kommit ur
Einsteins teorier. Innan Einstein kom in i bilden så var det den Newtonska
fysiken som gällde, där uppfattningen är att alla yter genom tiden med
samma hastighet oavsett hur vi rör oss i rummet. Fenomenet tid och rum är
alltså helt skilda saker.
I Einsteins teorier så måste vi se tid och rum som ett gemensamt större
'rum', nämligen rumtiden (precis som vi gjort i diagrammen ovan). Annars
nns det ingen chans att lyckas förklara fenomen tidsförlägning eller längdkontraktion.
2.3
Rörelsemängd och Energi
På samma sätt som rum och tid roteras in i varandra när man ser analyserar
ett objekt från olika perspektiv så påverkas även rörelsemängd och energi.
Ekvationerna som vi känner igen från klassisk fysik är:
p = mv
samt
Etot
7
mv 2
+ Ep
=
2
vilka istället generaliseras till
mv
p = γmv = q
1−
v2
c2
samt
mc2
Etot = γmc2 + Ep = q
+ Ep .
2
1 − vc2
Observera nu att om vi inte har någon potentiell enerien partikel är i vila så
har vi
v = 0, detta leder i sin tur till att γ = 1.
Sätter vi in detta i ekvationen
för energin ovan så får vi:
Ev=0 = mc2 .
Vi ser alltså att även om en partikel är i vila så har den fortfarande en väldigt
stor energi endast pga sin massa, denna energi kalla för
massenergi.
Slutligen kan vi även hitta ett uttryck för den kinetiska energin. Låt oss
återigen strunta i potentiell energi. En partikel som rör sig har då en energi
2
2
på γmc , medan om den stod stilla skulle den ha en energi på mc . Den
kinetiska energin är skillnaden mellan dessa två värden,
Ek = γmc2 − mc2 = mc2 (γ − 1)
8