UNDER ARBETE - Kursplanering

Transcription

JENSENvuxutbildning
NpMaD v2011
1(34)
UNDER ARBETE
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2011
3
Del I, 11 uppgifter utan miniräknare
4
Del II, 7 uppgifter med miniräknare
8
Skolverkets svar med rättningsnorm, #7 – #15
12
Förslag på fullständiga lösningar
23
Del I: Digitala verktyg är
Del I # 1
(2/0)
Del I # 2
(2/1)
Del I # 3
(2/0)
Del I # 4
(2/0)
Del I # 5
(2/1)
Del I # 6
(1/0)
23
23
24
26
27
28
29
INTE tillåtna
Integrera . . . . . . . . .
3 derivator . . . . . . .
Beräkna områdets area
Primitiv funktion . . .
Lös ekvationen . . . . .
Ordna integraler . . . .
Del II: Digitala verktyg är
Del II # 16
(1/1)
Del II # 17
(1/2/⊗)
Del II # 18
(0/3/⊗)
© G Robertsson
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
tillåtna
30
Bestäm funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Triangel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Kabeldragning, minsta kostnad . . . . . . . . . . . . . 33
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2011
2(34)
Förord
Kom ihåg
● Matematik är att vara tydlig och logisk
● Använd text och inte bara formler
● Rita figur (om det är lämpligt)
● Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
● Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
● Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
● Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
● Värdera och jämföra metoder/modeller.
● Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
Kursprovet Ma4 är cirka 50% MaD och 50% MaE.
Skolverket har endast publicerat ett kursprov för Ma4.
Äldre kurs
Ny
MaD
Ma4
består av delar ur både
Ma3 och Ma4
MaD och MaE
Därför är det lämpligt att också nyttja de äldre kurserna MaD och MaE vid träning inför
kursprov i Ma4.
© G Robertsson
2015-04-06
NpMaD vt 2011
Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 § offentlighets- och sekretesslagen
(2009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 2017-06-30.
Vid sekretessbedömning ska detta beaktas.
NATIONELLT KURSPROV I
MATEMATIK KURS D
VÅREN 2011
Anvisningar
Provtid
240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du
använder högst 135 minuter för arbetet med Del I.
Hjälpmedel
Del I: ”Formler till nationellt prov i matematik kurs D”.
Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del.
Del II: Miniräknare, även symbolhanterande räknare och ”Formler till nationellt
prov i matematik kurs D”.
Provmaterialet
Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv ditt namn och komvux/gymnasieprogram på de papper du lämnar in.
Lösningar till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren.
Redovisa därför ditt arbete med Del I på separat papper. Observera att arbetet
med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Provet
Provet består av totalt 18 uppgifter. Del I består av 11 uppgifter och Del II av
7 uppgifter.
Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett kort svar
anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att
du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer vid
behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt
hjälpmedel.
Uppgift 11 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa fullständigt.
Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning
av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete.
Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet
få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även en påbörjad icke
slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning.
Poäng och
betygsgränser
Provet ger maximalt 45 poäng.
Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få för din lösning.
Om en uppgift kan ge 2 g-poäng och 1 vg-poäng skrivs detta (2/1). Några
uppgifter är markerade med ¤, vilket innebär att de mer än andra uppgifter
erbjuder möjligheter att visa kunskaper som kan kopplas till MVG-kriterierna.
Undre gräns för provbetyget
Godkänt:
13 poäng.
Väl godkänt:
26 poäng varav minst 7 vg-poäng.
Mycket väl godkänt:
26 poäng varav minst 14 vg-poäng.
Du ska dessutom ha visat prov på flertalet av de
MVG-kvaliteter som de ¤-märkta uppgifterna ger
möjlighet att visa.
NpMaD vt 2011
Del I
Denna del består av 11 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina
lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din
miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
3
1.
Beräkna  (4  x 2 ) dx
(2/0)
0
2.
3.
4.
Derivera
a)
f ( x)  sin 3 x
Endast svar fordras
(1/0)
b)
g ( x)  (1  2 x)11
Endast svar fordras
(1/0)
c)
h( x )  x 2  e3 x
Endast svar fordras
(0/1)
Figuren visar ett område som begränsas av y-axeln, kurvan y  6 x  3x 2  2
och linjen y  x . Beräkna områdets area.
Bestäm den primitiva funktion F (x ) till f ( x ) 
villkoret F (1)  5
(2/0)
2
 3 som uppfyller
x
(2/0)
NpMaD vt 2011
5.
Lös ekvationen cos 2 x  0 ,9 om cos 26  0 ,9
6.
Figuren visar grafen till funktionen f.
(2/1)
Ordna talen A, B och C i storleksordning. Börja med det minsta.
3
A

3
f ( x ) dx
B   f ( x ) dx
-1
7.
0
0
C
 f ( x ) dx
Endast svar fordras
(1/0)
-1
För funktionen f gäller att f ( 2)  3 och f ( x )  0,5 för alla x.
6
Beräkna
 f ( x) dx .
(0/2)
2
8.
Visa att
sin 2v  sin v
 sin v
2 cos v  1
för alla v där uttrycken i båda led är definierade.
(0/1/¤)
NpMaD vt 2011
9.
10.
I den spetsvinkliga triangeln ABC är sin A  0,6
a)
Bestäm värdet av sin( B  C )
(0/1)
b)
Bestäm värdet av cos( B  C )
(0/2/¤)
Timo och Peder har fått i uppgift att lösa följande problem utan räknare:
F ( x)  ( x  2)( x  2) 3 är en primitiv funktion till f ( x)  4( x  1)( x  2) 2
3
Beräkna
 ( x  1)( x  2)
2
dx
2
Timo säger att han först tänker utveckla ( x  1)( x  2) 2 och sedan beräkna
integralen. Peder påstår att det finns ett snabbare sätt att lösa uppgiften.
a)
Beskriv en metod som Peder kan ha tänkt använda.
b)
Lös uppgiften med valfri metod.
(0/1/¤)
(0/1)
NpMaD vt 2011
Vid bedömningen av ditt arbete med denna uppgift kommer läraren att ta hänsyn till:
 Hur väl du utför dina beräkningar
 Hur långt mot en generell lösning du kommer
 Hur väl du motiverar dina slutsatser
 Hur väl du redovisar ditt arbete
 Hur väl du använder det matematiska språket
11.
I den här uppgiften ska du jämföra storleken av areorna av två områden A och B.
Område A begränsas av positiva y-axeln, positiva x-axeln och linjen y  2  kx
Område B begränsas av positiva y-axeln, positiva x-axeln och kurvan y  2 cos kx
Nedan visas areorna som bildas när k  1

Beräkna arean av de skuggade områdena A och B när k  1 , det vill säga
då y  2  x och y  2 cos x

Skriv av nedanstående tabell och beräkna de värden som saknas.
k
1
2
3
Arean av A
Arean av B

Jämför areorna av områdena A och B för samma värde på k. Formulera en
slutsats av din jämförelse.

Visa att din slutsats gäller för alla k  0
(2/4/¤)
NpMaD vt 2011
Del II
Denna del består av 7 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
12.
Lombard Street i San Fransisco är berömd för att den ligger på en sluttning som är
så brant att vägen anlagts i sicksack.
Den brantaste delen av sluttningen är 400 meter lång och på den sträckan är
höjdskillnaden 182 meter.
Hur många grader lutar sluttningen mot horisontalplanet?
(2/0)
NpMaD vt 2011
13.
En prognos för de årliga koldioxidutsläppen i världen för de kommande tusen åren
beskrivs med hjälp av grafen nedan. Tiden t  0 motsvarar år 2000.
Uppskatta med hjälp av grafen hur mycket koldioxid som kommer att släppas ut
mellan åren 2100 och 2400.
(2/0)
NpMaD vt 2011
14.
Avståndet mellan de två punkterna A och B på var sin sida om en sjö ska
bestämmas, se figur.
En lantmätare som befinner sig i A kan inte se B som skyms av en trädbevuxen
holme i sjön. Från de två punkterna C och D, som tillsammans med A ligger längs
en rät linje, kan hon se B. Hon mäter upp vinkeln ACB till 60 och vinkeln ADB
till 48 samt sträckan AC till 220 m och sträckan CD till 110 m.
Beräkna avståndet AB.
15.
(2/1)
Luftledningar tål större strömbelastning då det blåser.
För en viss luftledning ges den tillåtna strömbelastningen av funktionen
S ( x)  342  (1  4 x) 0,25
där x är vindstyrkan i m/s och S (x ) är den tillåtna strömbelastningen i ampere, A.
a)
Bestäm den tillåtna strömbelastningen när det är vindstilla.
(1/0)
b)
Vid vilken vindstyrka ökar den tillåtna strömbelastningen
med en hastighet av 50 A/(m/s) ?
(0/2)
NpMaD vt 2011
16.
Bestäm en funktion på formen y  A sin kx  B som uppfyller villkoren nedan:

A0

värdemängden är  4  y  2

de lokala maximipunkterna har x-koordinaterna x 
π
π
 n  för alla heltal n (1/1)
8
2
17.
Armand arbetar som silversmed och hans specialitet är smycken i form av olika
geometriska figurer. Han har bestämt sig för att göra ett smycke i form av en
triangel. Till sitt förfogande har han en 9,0 cm lång silvertråd som han kan böja
och klippa.
Armand betecknar triangeln ABC och bestämmer sig för att vinkeln A ska vara
30 , sidan AB 4,2 cm och sidan BC 3,2 cm.
Utred på vilket eller vilka sätt smycket kan utformas.
18.
(1/2/¤)
Punkterna A och B ligger på var sin sida av en 30 m bred kanal, se figur.
En kabel ska dras från punkt A till punkt B. Kabeln ska först gå genom vattnet till
en punkt P och därefter på land längs kanalens kant till punkt B.
Kostnaden för kabeldragningen är 2500 kr/m i vattnet och 1500 kr/m på land.
Bestäm vinkeln v så att kostnaden för kabeldragningen blir så liten som möjligt. (0/3/¤)
NpMaD vt 2011
Uppg.
Bedömningsanvisningar
Poäng
7.
Max 0/2
Godtagbar ansats, ritar grafen till f eller bestämmer f ( x )  0,5 x  2
+1 vg
med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar (16)
+1 vg
8.
Max 0/1/¤
Godtagbart genomfört bevis där vissa motiveringar kan saknas eller
där beviset t ex bygger på den likhet som ska visas
MVG-kvalitet
visar eleven i denna uppgift genom att:
Formulerar och utvecklar problem,
använder generella metoder/modeller
vid problemlösning
Analyserar och tolkar resultat, drar
slutsatser samt bedömer rimlighet
Genomför bevis och/eller analyserar
matematiska resonemang
genomföra beviset formellt korrekt.
Värderar och jämför metoder/modeller
Redovisar välstrukturerat med korrekt
matematiskt språk
Exempel på en elevlösning och hur den poängsätts ges nedan. Andra lösningsförslag ska
bedömas på likvärdigt sätt.
Elevlösning 1 (1 vg)
Kommentar: Elevens lösning bygger på likheten som ska visas och uppvisar därför inte
MVG-kvaliteten för bevis.
9
+1 vg
NpMaD vt 2011
Uppg.
Poäng
9.
Max 0/3/¤
a)
Godtagbar lösning med korrekt svar (0,6)
+1 vg
b)
Godtagbar ansats, t ex bestämmer att cos 2 ( B  C )  0,64
+1 vg
med korrekt svar (0,8)
+1 vg
MVG-kvalitet
vid problemlösning
motivera att cos( B  C )  0 .
matematiskt språk
Elevlösning 1 (2 vg och en av MVG-kvaliteterna)
Kommentar: Eleven motiverar att cos( B  C )  0 genom att poängtera att eftersom vinkeln A
är spetsig är cos A  0,8 . Sammantaget ger lösningen 2 vg-poäng och MVG-kvaliteten för bevis.
10
NpMaD vt 2011
Uppg.
Poäng
10.
Max 0/2/¤
a)
Godtagbar ansats, t ex anger att
1
F ( x) är en primitiv funktion
4
till den givna integranden
MVG-kvalitet
+1 vg
vid problemlösning
dra slutsatsen att det sökta värdet är
1
F ( x)32 .
4
matematiskt språk
b)
5
Godtagbar lösning med korrekt svar  
4
11
+1 vg
NpMaD vt 2011
Uppg.
Poäng
11.
Max 2/4/¤
Uppgiften ska bedömas med s.k. aspektbedömning. Bedömningsanvisningarna innehåller
två delar:
 Först beskrivs i en tabell olika kvalitativa nivåer för tre olika aspekter på kunskap som
läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av elevens arbete.
 Därefter ges exempel på bedömda elevlösningar med kommentarer och poängsättning.
Bedömningen avser
Kvalitativa nivåer
Lägre
Total
Högre poäng
Metodval och
genomförande
I vilken grad eleven kan
tolka en problemsituation
och lösa olika typer av
problem.
Hur fullständigt och hur
väl eleven använder metoder och tillvägagångssätt
som är lämpliga för att
lösa problemet.
Eleven bestämmer
båda areorna under
punkt 1 korrekt.
(2 a.e.)
Matematiska resonemang
Förekomst och kvalitet hos
värdering, analys, reflektion, bevis och andra former av matematiskt resonemang.
Eleven gör en relevant
observation utifrån något av
specialfallen,
t ex ”Arean för områdena är
lika stora”.
Eleven visar säkerhet i lösning av
problemet genom
att bestämma areorna korrekt för de
tre specialfallen.
(2 a.e., 1 a.e.,
2
a.e.)
3
Eleven påbörjar en
generell lösning,
t ex bestämmer de
övre integrationsgränserna i de generella fallen.
π 
2
 respektive

2k 
k
1 g och 1 vg
1 g och 2 vg
1g
1g
1/2
Eleven drar slutsatsen att
områdena har lika stora areor
för respektive värde på k.
Slutsatsen baseras på minst tre
specialfall eller en generell
lösning.
1 g och 1 vg
1/1
Redovisningen är lätt att följa
och förstå. Det matematiska
språket är acceptabelt.
Redovisning och
matematiskt språk
Hur klar, tydlig och fullständig elevens redovisning är och hur väl eleven
använder matematiska
termer, symboler och konventioner.
1 vg
Summa
MVG-kvaliteterna beskrivs på nästa sida.
12
0/1
2/4
NpMaD vt 2011
MVG-kvalitet
vid problemlösning
använda en generell metod för att teckna ett korrekt generellt uttryck för arean av något av områdena.
visa att areorna i det generella fallet är lika stora
2

 a.e.  .
k

matematiskt språk
redovisa välstrukturerat med ett i huvudsak korrekt
matematiskt språk. Redovisningen omfattar den
generella behandlingen av uppgiften.
Exempel på elevlösningar och hur de poängsätts ges på följande sidor. Andra lösningsförslag
ska bedömas på likvärdigt sätt.
13
NpMaD vt 2011
Elevlösning 1 (2 g och 2 vg)
Bedömning
Kvalitativa nivåer
Metodval och
Genomförande
Redovisning och
matematiskt språk
Summa
Poäng
X
1/1
X
1/1
X
0/0
Motiveringar
Eleven visar säkerhet genom att
beräkna samtliga tre fall korrekt.
Eleven drar slutsatsen att
areorna är lika stora.
Skärningspunkterna med xaxeln är inte motiverade.
2/2
Kommentar: Eleven beräknar areorna i de tre specialfallen och drar en slutsats om att areorna
är lika stora, dock är motiveringen att det gäller oberoende av värde på k bristfällig.
Lösningen anses inte uppnå vg-nivå för redovisning och matematiskt språk då skärningspunkterna med x-axeln inte är motiverade i något fall då y  2 cos kx .
14
NpMaD vt 2011
Elevlösning 2 (2 g och 3 vg och en av MVG-kvaliteterna)
Bedömning
Kvalitativa nivåer
Poäng
Metodval och
Genomförande
Redovisning och
matematiskt språk
Summa
X
X
X
1/2
1/1
0/0
Motiveringar
Eleven genomför en generell
lösning i det ena fallet.
Eleven drar korrekt slutsats
baserat på tre specialfall.
Skärningspunkterna med xaxeln är inte tillräckligt väl
motiverade.
2/3
Kommentar: Eleven gör en generell lösning som är korrekt i fallet för område A men innehåller en felaktig beräkning för område B. Lösningen anses uppnå MVG-kvaliteten gällande användandet av generella metoder men uppnår inte MVG-kvaliteten gällande bevis eftersom det
ena generella fallet inte är korrekt beräknat.
15
NpMaD vt 2011
Elevlösning 3 (2 g och 4 vg och tre av MVG-kvaliteterna)
16
NpMaD vt 2011
Bedömning
Kvalitativa nivåer
Poäng
Metodval och
Genomförande
Redovisning och
matematiskt språk
Summa
X
1/2
X
1/1
X
0/1
Motiveringar
2/4
Kommentar: Eleven gör en generell lösning och drar korrekta slutsatser. Redovisningen är
välstrukturerad och innehåller ett korrekt matematiskt språk. Lösningen anses uppnå
samtliga möjliga MVG-kvaliteter.
17
NpMaD vt 2011
Uppg.
Poäng
Del II
12.
Max 2/0
Godtagbar ansats, t ex ställer upp ekvationen sin v 
182
400
+1 g
med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar (27)
13.
+1 g
Max 2/0
Godtagbar ansats, t ex uppskattar arean med hjälp av ruträkning
+1 g
med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar
( 3300 3600 miljarder ton)
+1 g
14.
Max 2/1
Godtagbar ansats, t ex bestämmer vinklarna i triangeln BCD
+1 g
med godtagbar beräkning av sidan BC eller BD
+1 g
med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar (340 m)
15.
+1 vg
Max 1/2
a)
Godtagbar lösning med korrekt svar (342 A)
+1 g
Elevlösning 1 (1 g)
Kommentar: Eleven visar förståelse för att det värde som ska beräknas är när x  0 . Trots att
enheten saknas ges lösningen 1 g-poäng. En elev som endast svarar ”342 A” visar ingen godtagbar lösning och anses därmed inte uppfylla kravet för att få poäng på uppgiften.
18
NpMaD vt 2011
Uppg.
b)
Poäng
Godtagbar ansats, t ex inser att det sökta värdet är lösning till S ' ( x)  50
+1 vg
med i övrigt godtagbar lösning med godtagbart svar (3,0 m/s)
+1 vg
Exempel på elevlösningar och hur de poängsätts ges nedan. Andra lösningsförslag ska
Kommentar: Eleven ger endast rätt svar till uppgiften men motiverar inte på något sätt hur
räknaren använts.
Kommentar: Eleven inser att det sökta värdet är lösningen till S ' ( x )  50 men motiverar inte
på något sätt hur räknaren använts.
Kommentar: Eleven inser att det sökta värdet är lösningen till S ' ( x )  50 och motiverar med
hjälp av en enkel skiss hur räknaren använts.
19
NpMaD vt 2011
Del I
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2011
lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din
Del I # 1
(2/0)
23(34)
Integrera
3
1.
Beräkna  (4  x 2 ) dx
(2/0)
0
4(8)
Använd FORMELSAMLINGEN, där finns primitiva funktioner.
2.
Derivera
a)
f ( x)  sin 3 x
b)
g ( x)  (1  2 x)11k
Primitiva
funktioner
c)
3.
Funktion
Endast svar fordras
Primitiv funktion
(1/0)
kxEndast
+ C svar fordras
(1/0)
n +1
x
+ C svar fordras
Endast
1
n+
n
h( x)  x 2  e3 x x ( n ≠ −1)
1
ln x + C ( x > 0)
x
e x områdets area.
ex + C
och linjen y  x . Beräkna
e kx
e kx
+C
k
a x ( a > 0, a ≠ 1)
ax
+C
ln a
sin x
− cos x + C
cos x
sin x + C
(0/1)
(2/0)
Komplexa
tal
3
x3 3
33
03
(4 − x ) dx = [4x − ] = 4 ⋅ 3 −
−(4
2 ⋅0− ) = 3
∫
4. 0 Bestäm den primitiva funktion
3 0 F (x ) till f (3x )   3 som
3 uppfyller
° ¯ x´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
2
Representation
12
9
0
z = x + iy = reiv = r (cos v + i sin v) där i 2 = −1
(2/0)
Svar Integralen är 3.
Argument
arg z = v
Absolutbelopp
z = r = x2 + y2
© G Robertsson
Konjugat
tan v =
y
x
Om z = x + iy så z = x − iy
2015-04-06
Del I
ex
ex
lösningar på denna del görs på
k ⋅ einkxinnan du får tillgång till din
e kxseparat papper som ska lämnas
1
x
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2011
−
1
x2
24(34)
3
Beräkna  (4  x 2 ) dx sin x
1.
Del I # 2
2.
0
(2/1)
Derivera
3 derivator
cos x
− sin x
tan x
1 + tan 2 x =
a)
f ( x)  sin 3 x
b)
g ( x)  (1  2 x)11
c)
h( x )  x 2  e3 x
(2/0)
cos x
f (x) + g (x)
f ( x) ⋅ g ( x)
1
cos 2 x
Endast svar fordras
(1/0)
f ′(x) + g ′(x)
Endast svar fordras
(1/0)
f ( x) ⋅ g ′( x) + f ′( x) ⋅ g ( x)
Endast svar fordras
(0/1)
f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x)
f ( x)
( g ( x ) ≠ 0)
g ( x)
( g ( x)) 2
3.
Figurenär
visar
ett område
som begränsas av
y-axeln, kurvan
y  6kedjeregeln
x  3x 2  2 som finns på
Deluppgiftena
exempel
på sammansatta
funktioner.
Använd
linjen y  x . Beräkna områdets area.
(2/0)
sidan 3 ioch
FORMELSAMLINGEN.
Kedjeregeln
a)
Om y = f ( z ) och z = g ( x) är två deriverbara funktioner
så gäller för y = f ( g ( x )) att
dy dy dz
= ⋅
y ′ = f ′( g ( x )) ⋅ g ′( x ) eller
dx dz dx
Derivera
f (x) = sin 3x.
© Skolverket
Den yttre funktionen är f = sin( ) med derivatan f ′ = cos( ). Den inre funktionen är
g = 3x med derivatan g ′ = 3. Vi får:
f ′ (x) = cos(3x) ⋅ 3
13-01-24
Svar a)
b)
4.
f ′ (x) = 2 cos 2x.
Derivera
2
 3 som uppfyller
x
(2/0)
g(x) = (1 + 2x)11
Den yttre funktionen är f = ( )11 med derivatan f ′ = 11 ( )10 . Den inre funktionen är
g = 1 + 2x med derivatan g ′ = 2. Vi får:
g ′ (x) = 11 (1 + 2x)10 ⋅ 2 = 22 (1 + 2x)10
Svar b)
g ′ (x) = 22 (1 + 2x)10 .
© G Robertsson
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
c)
NpMaD v2011
25(34)
Derivera
h(x) = x2 ⋅ e3x
d
d
h′ (x) = x2 ⋅ ( e3x ) + ( x2 ) ⋅ e3x
dx
dx
′
2
3x
h (x) = x ⋅ (3 e ) + (2x) ⋅ e3x
h′ (x) = (3x2 + 2x) ⋅ e3x
Svar c)
h′ (x) = (3x2 + 2x) ⋅ e3x .
© G Robertsson
2015-04-06
2.
Derivera
a)
f ( x)  sin 3 x
b)
g ( x)  (1  2 x)11
JENSENvuxutbildning
c)
3.
(1/0)
Endast svar fordras
(1/0)
NpMaD v2011
h( x )  x 2  e3 x
Del I # 3
Endast svar fordras
26(34)
Endast svar fordras
(2/0)
(0/1)
Beräkna områdets area
och linjen y  x . Beräkna områdets area.
(2/0)
2
 3 som uppfyller
x är y = x. Integralen som ska lösas är
Den övre funktionen är y = 6x − 3x2 + 2 och den undre
(2/0)
4.
2
A = ∫ (6x − 3x2 + 2 − x ) dx.
0
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ®
övre
undre
där integrationsgränserna är x = 0 och x = 2. Förenkla och integrera
2
A = ∫ (5x − 3x2 + 2) dx
0
2
2
x2
x2
5 2
5
3
A = [5 − 3 + 2 x] = [ x − x + 2 x] = 22 − 23 + 2 ⋅ 2 = 6
2
3
2
2
0
0
Svar 6 a.e.
© G Robertsson
2015-04-06
Formler till nationellt prov i matematik kurs 4
vuxutbildning
Algebra
JENSEN
Regler
NpMaD v2011
( a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Del I # 4
27(34)
funktion
( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a (2/0)
− b) 2 = a 2 − 2abPrimitiv
+ b2
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
2
Bestäm den primitiva funktion F (x ) till f ( x )  a33+som
b 3 =uppfyller
( a + b)( a 2 − ab + b 2 )
x 3
a − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 ) (2/0)
4.
4(8)
2
p
 p
Använd
FORMELSAMLINGEN där
x 2 +finns
px + qprimitiva
=0
Andragradsekvationer
xfunktioner.
= − ±   −q
2
2
Primitiva
funktioner
Aritmetik
Prefix
Potenser
F (x)
T
Funktion
Primitiv funktion
k
kx + C
x
nG
M
( n ≠ −1)
k
tera
giga
mega
kilo
1012
1109
x
106
103
x y x x+ y
= ln x +a3 ax +=eCa
ax
a
y
x nd+1
c
+C
n + 1 centi
hekto deci
h
102
= a x− y
Bestäm C.
F (1)=5
???
e kx
x xx=1
a b = (ab) x
ax
a
= 
x
b
b
x

«
©
F (1) = ln 1 + 3 ⋅ 1 +x C
a ( a > 0, a ≠ 1)
m
µ
n
p
milli
mikro
nano
piko
10-6
10-9
10-12
-1
-2
-3
)
ln10x + C 10( x > 010
(a x ) y = a xy
ex + C
a− x =
e kx 1
+C
k an = n a
a0 = 1
1
ax
ax
+C
n ln a
a ( k − 1)
Geometrisk
a + ak + ak 2 + ... + ak n −1 =
där k ≠ 1
Vadsumma
är ln 1? Använd FORMELSAMLINGEN,
där finns
av naturliga logaritmen.
k − 1 −definitionen
sin x
cos x + C
Logaritmer
y = 10 x ⇔ x = lg y
cos x
y = e x ⇔ x = ln y
sin x + C
lg x + lg y = lg xy
lg x − lg y = lg
x
y
lg x p = p ⋅ lg x
Komplexa tal a = a
Absolutbelopp

Det x som passar till
F (1)=5
ln 1=0
om a ≥ 0
1 =e−xa⇔om
x =aln< 10 är x = 0. Vi får
x=1

«
©
F (1) = ln 1 + 3 ⋅ 1 +z =Cx + iy = reiv = r (cos v + i sin v) där i 2 = −1
Representation
®
C=2
Svar
Primitiv funktion är Farg
(x)z =
= vln x + 3 xtan
+ 2v = y
Argument
x
13-01-24
Absolutbelopp
© G Robertsson
Konjugat
z = r = x2 + y2
Om z = x + iy så z = x − iy
© Skolverket
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Del I # 5
5.
NpMaD v2011
(2/1)
28(34)
NpMaD
2011
Lösvtekvationen
(2/1)
Rita enhetscirkel. Lös ekvationen cos 2v = 0,9.
6.
cos 2x = 0,9
●
26°
●
-26°
2x = ±26° + n ⋅ 360°
x = ±13° + n ⋅ 180°
Svar x = ±13°
3 + n 180°
A

f ( x ) dx
-1
7.
3
B   f ( x ) dx
0
0
C
 f ( x ) dx
Endast svar fordras
(1/0)
-1
6
Beräkna
 f ( x) dx .
(0/2)
2
8.
Visa att
sin 2v  sin v
 sin v
2 cos v  1
© G Robertsson
(0/1/¤)
2015-04-06
NpMaD vt 2011
JENSENvuxutbildning
5.
29(34)
Del I # 6
6.
NpMaD v2011
(1/0)
(2/1)
Ordna integraler
3
A

3
f ( x ) dx
0
B   f ( x ) dx
-1
C
0
 f ( x ) dx
Endast svar fordras
(1/0)
-1
Integral är övre minus undre funktion.
7.
y
6
Beräkna
 f ( x) dx .
(0/2)
2
C
-1
8.
0
3
B
sin 2v  sin v
 sin v
Visa att
2 cos v  1
3
0
x
(0/1/¤)
3
∫−1 f (x) dx = ∫−1 f (x) dx + ∫0 f (x) dx
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
A
C>0
B<0
Svar B < A < C.
© G Robertsson
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Del II # 16
16.
NpMaD v2011
(1/1)
NpMaD
vt 2011
Best
äm
30(34)
funktion

A0

värdemängden är  4  y  2

π
π
8
2
Givet A > 0 och att −1 ≤ sin kx ≤ 1 får vi följande ekvationer
17.
ymax = 2 = A + B
ymin = −4 = −A + B
som har lösningen
A = 3
B = −1.
Återstår att bestämma k. Perioden hos sin kx är
2π
.
period =
k
π
Enligt uppgiften är perioden vilket ger
Armand arbetar som silversmed
och hans specialitet är smycken i form av olika
2
π
2π figurer. Han har bestämt sig för att göra ett smycke i form av en
geometriska
=
2
k sitt förfogande har han en 9,0 cm lång silvertråd som han kan böja
triangel.
Till
med lösningen
och klippa.
k = 4.
Svar y = 3 sin 4x − 1
(1/2/¤)
18.
© G Robertsson
2015-04-06
16.
A0

vux
JENSEN värdemängden
utbildning är  4  y  2NpMaD v2011

31(34)
Del II # 17
(1/2/⊗)
Triangel
π
π
8
2
17.
Armand arbetar som silversmed och hans specialitet är smycken i form av olika
och klippa.
18.
(1/2/¤)
C1
3,2 cm
C2
30°
A
3,2 cm
4,2 cm
B
© G Robertsson
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2011
32(34)
Två sidor är kända. Antag att den tredje sidan är x lång. Cosinussatsen ger följande.
3,22 = 4,22 + x2 − 2 ⋅ 4,2 ⋅ x cos 30°
(1)
2
2
2
0 = x −2 ⋅ 4,2 cos 30° x + 4,2 − 3,2
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
p=−7,2746
q=7,4
¿
2
7, 2746 Á
À( 7,2746 ) − 7,4
±Á
x1,2 =
2
2
x1 = 6, 0518
(2)
x2 = 1, 2228
(3)
Endast roten x2 är intressant då triangelns tredje sida kan längst vara 9 − 4,2 − 3,2 = 1,6cm.
Svar Triangeln är entydigt bestämd av sina tre sidor 1,2 cm, 3,2 cm respektive 4,2 cm.
Kommentar Cosinusteoremet är lämpligare att använda än sinusteoremet vid
triangelberäkningar. Cosinusteoremet ger alltid en entydig vinkel där sinusteoremet ger
två alternativ. I detta exempel beräknas en okänd sida med cosinusteoremet och 2:a
gradsekvationen ger naturligt två olika alternativ.
© G Robertsson
2015-04-06
och klippa.
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2011
Del II # 18
18.
(0/3/⊗)
33(34)
(1/2/¤)
Kabeldragning, minsta kostnad
x
P
75 − x
B
30
A
Lösning, variant v
Skapa kriteriefunktionen.
30
cos v
x = 30 ⋅ tan v
PB = 75 − x
30
f (v) =
⋅ 2500 + (75 − 30 tan v) ⋅ 1500
cos v
Minimera kriteriefunktionen.
AP =
© G Robertsson
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2011
34(34)
f (v) = 30 ⋅ (cos v)−1 ⋅ 2500 + (75 − 30 tan v) ⋅ 1500
f ′ (v) = 30 ⋅ (−1) ⋅ (cos v)−2 ⋅ (− sin v) ⋅ 2500 + (−30
1
) ⋅ 1500
cos2 v
30 ⋅ 2500
(sin v − 0,6)
cos2 v
v = sin−1 0,6 = 36,8698976458440°
Med två signifikanta siffror i indata är det rimligt att svara med två siffror.
f ′ (v) =
Svar Vinkeln som ger minimal kostnad är 37°.
Lösning, variant x
Skapa kriteriefunktionen.
√
AP =
302 + x2
PB = 75 − x
√
302 + x2 ⋅ 2500 + (75 − x) ⋅ 1500
f (x) =
f (x) = (900 + x2 )0,5 ⋅ 2500 + (75 − x) ⋅ 1500
Minimera kriteriefunktionen.
f ′ (x) = 0,5 ⋅ (900 + x2 )−0,5 ⋅ 2x ⋅ 2500 + (−1) ⋅ 1500
f (x) =
′
txtxtxt
x =
x2 =
0, 64 x2 =
x2 =
x =
tan v =
v =
√
x − 0,6 ⋅ 900 + x2
√
− 0, 6) = 2500 (
)
2500 ( √
900 + x2
900 + x2
√
0,6 ⋅ 900 + x2
0,36 ⋅ (900 + x2 )
0, 36 ⋅ 900
0,36
36
⋅ 900 =
⋅ 900
0,64
64
6
⋅ 30 = 22,5
8
22,5
= 0,75
30
arctan 0,75 ≈ 37°
x
Svar Vinkeln som ger minimal kostnad är 37°.
© G Robertsson
2015-04-06