Inneh˚all - Kursplanering

JENSENvuxutbildning
NpMaD ht2000 för Ma4
1(17)
VERSION UNDER ARBETE.
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2000
3
Skolverkets svar, #1 – #15
10
Några lösningar till D-kursprov ht 2000
13
Digitala verktyg
Uppgift # 1
Uppgift # 2
Uppgift # 3
Uppgift # 16
13
13
14
14
15
c G Robertsson
är tillåtna hela provet
(2/0)
Ange alla . . . . . . .
(2/0)
Figuren visar . . . . .
(2/0)
Grafen till . . . . . .
(4/5)
Maximera triangelns
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
yta . . . . . .
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD ht2000 för Ma4
2(17)
Förord
Utformningen av de nationella proven i matematik har varierat över tid. Uppgifter till
den äldre kursen Matematik D duger utmärkt för träning till kurser enligt Gy 2011.
Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma4. Innehållet i den äldre
kursen MaD hör nu främst till Ma4 men också till Ma3. I tabellen nedan framgår vilka
uppgifter som är lämpliga till respektive kurs.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 15
16
Ma
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
NpMaD ht 2000
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om
sekretess i 4 kap. 3 § sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen
fram till utgången av december 2010.
Anvisningar
Provtid
240 minuter utan rast.
Hjälpmedel
Grafritande räknare och ”Formler till nationellt prov i matematik
kurs C, D och E”.
Provmaterialet
Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv ditt namn och komvux/gymnasieprogram på de papper du
lämnar in.
Provet
Provet består av 16 uppgifter.
Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver
bara ett kort svar anges.
Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan
det krävs att du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina
tankegångar, att du ritar figurer vid behov och att du vid
numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt
hjälpmedel.
Uppgift 16 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att
lösa fullständigt. Det är viktigt att du prövar på denna uppgift. I
uppgiften finns en beskrivning av vad läraren ska ta hänsyn till
vid bedömningen av ditt arbete.
Pröva på alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i
slutet av provet få någon poäng för en påbörjad lösning eller
redovisning. Även en påbörjad icke slutförd redovisning kan ge
underlag för positiv bedömning.
Poäng och
betygsgränser
Provet ger maximalt 48 poäng.
Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få
för din lösning. Om en uppgift kan ge 2 g-poäng och 1 vg-poäng
skrivs detta (2/1).
Undre gräns för provbetyget
Godkänd:
14 poäng
Väl godkänd:
26 poäng varav minst 7 vg-poäng
Namn:
Komvux/gymnasieprogram:
Skola:
NpMaD ht 2000
1.
2.
Ange alla primitiva funktioner F (x) till f ( x) = 10 x 2 + 100
Endast svar fordras
Figuren visar en enhetscirkel.
(2/0)
y
v
x
3.
a)
Bestäm sin v
Endast svar fordras
(1/0)
b)
Bestäm sin(180° − v)
Endast svar fordras
(1/0)
Grafen till den linjära funktionen f är ritad i figuren.
Bestäm en primitiv funktion till f
(2/0)
y
y = f (x)
1
1
x
4
4.
Beräkna integralen ∫ (4 − x 3 )dx med hjälp av primitiv funktion.
(2/0)
1
5.
I triangeln ABC är AB = 36,4 cm, AC = 25,2 cm och vinkeln C = 120,0°
Hur lång är sidan BC?
(3/0)
NpMaD ht 2000
6.
7.
Funktionen f definieras genom f ( x) = x ⋅ e x
a)
Bestäm f ′(x )
(1/0)
b)
Lös ekvationen f ′( x ) = 0
(1/0)
I figuren nedan återges grafen till funktionen y = f (x)
y = f (x)
y
4
2
-3π/6
-π/6
π/6
3π/6
5π/6
x
-2
-4
a)
b)
Vilken av graferna i figur A – D återger bäst derivatan till funktionen
Endast svar fordras
y = f (x) ?
Motivera ditt svar.
B
A
-3π/6
y
y
4
4
2
2
-π/6
π/6
3π/6
5π/6
x
-3π/6
-π/6
-2
-2
-4
-4
C
-3π/6
(1/0)
(0/2)
π/6
3π/6
5π/6
x
π/6
3π/6
5π/6
x
D
y
y
4
4
2
2
-π/6
π/6
3π/6
5π/6
x
-3π/6
-π/6
-2
-2
-4
-4
NpMaD ht 2000
8.
Graferna till de tre funktionerna f, g och h är ritade i figuren nedan.
4
a)
Bestäm värdet av integralen ∫ ( g ( x) − f ( x)) dx
Endast svar fordras
(1/0)
Teckna med hjälp av integraler ett uttryck för arean av det markerade
området i figuren.
Endast svar fordras
(0/1)
0
b)
y
y = g(x)
y = f (x)
y = h(x)
5
1
1
5
x
9.
Visa att y = 3e 3 x + e − x är en lösning till differentialekvationen y ′ − 3 y = −4e − x
10.
I ekvationen
a
∫
1
11.
(1/1)
2x
dx = 1 är a > 1
3
a)
Bestäm a.
(2/0)
b)
Integralen i ekvationen kan tolkas som en area.
Rita en figur som visar denna area.
(0/2)
Vinkeln v är markerad i figuren. Bestäm cos v exakt.
3
v
2
(0/2)
NpMaD ht 2000
12.
Linus rör sig på en linje som är 60 m lång. För att kunna beskriva var Linus
befinner sig på linjen är den graderad från −30 till 30 som framgår av figuren
nedan.
x
-30
-20
-10
0
10
20
30
Linus startar vid tidpunkten t = 0. Hans position x(t ) m på linjen bestäms av
tiden t s enligt ekvationen x(t ) = (t − 2) 2 (6 − t )
13.
14.
a)
Var på linjen befinner sig Linus vid tidpunkten t = 0?
Endast svar fordras (1/0)
b)
Bestäm ett uttryck för Linus hastighet vid tiden t.
(0/2)
c)
Hastigheten är noll när Linus vänder. Vid vilka tidpunkter sker detta ?
(1/0)
Det verkar som om x-axeln är tangent till kurvan y = sin( x − sin x) i origo
(se figur)
Bestäm ett uttryck för derivatan och undersök med hjälp av den om x-axeln
verkligen tangerar kurvan i origo.
(0/2)
Funktionen y = 1 − 2(sin x − cos x ) 2 är given.
Visa att y = 2 sin 2 x − 1
(0/2)
NpMaD ht 2000
15.
Ett par mil öster om Ystad uppe på den 42 m höga Kåsebergaåsen, ligger Ales
stenar. Stensättningen är 70 m lång, 18 m bred och består av 59 stenar.
Stensättningens form har gjort att man länge trott att det var frågan om en
skeppssättning från vikingatiden. Senare forskning tyder på att det kan vara en
kultplats från bronsåldern.
Stenarnas placering som visas i figuren nedan kan antas följa två motställda
parabler (= grafen till andragradsfunktioner). Din uppgift är att
a)
ta fram en lämplig funktion för en av parablerna.
(0/3)
b)
beräkna arean av det område som stenarna innesluter.
(0/2)
NpMaD ht 2000
16.
I denna uppgift ska du undersöka hur stor area triangeln ABC nedan kan ha. De
två första punkterna i uppgiften kan du använda som ett stöd för undersökningen.
Du väljer om du vill utföra den generella undersökningen (tredje punkten) direkt
eller om du vill utföra uppgiften stegvis genom alla de tre punkterna.
(cm)
A
C
3,00
B
I triangeln ABC är sidan AB 3,00 cm lång och sidan AC är dubbelt så lång som
sidan BC.
•
Välj ett värde på längden för sidan BC och beräkna arean av triangeln ABC
genom att först beräkna vinkeln C.
•
Finn ett värde för längden av sidan BC som ger en triangelarea som är större
än den du beräknade i föregående punkt.
•
Undersök hur stor area triangeln ABC kan ha.
(4/5)
Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta hänsyn till:
• hur långt mot en generell lösning du lyckas komma
• hur väl du redovisar ditt arbete
• hur väl du motiverar dina slutsatser
Np MaD ht 2000
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om
sekretess i 4 kap. 3 § sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen
fram till och med utgången av december 2010.
Bedömningsanvisningar (MaD ht 2000)
Exempel på godtagbara svar anges inom parentes. Bedömningen ”godtagbar” ska tolkas
utifrån den undervisning som föregått provet.
Uppg.
Bedömningsanvisningar
1.
Angett en primitiv funktion


10 x 3
Angett alla primitiva funktioner  F ( x) =
+ 100 x + C 


3


2.
Poäng
Max 2/0
+1 g
+1 g
a)
Godtagbart svar (0,8)
Max 2/0
+1 g
b)
Godtagbart svar (0,8)
+1 g
3.
Redovisat godtagbar metod


3x 2
− 3x 
med godtagbart svar  F ( x ) =
4


4.
Max 2/0
+1 g
+1 g
Korrekt primitiv funktion
med korrekt svar ( − 51,75 )
Max 2/0
+1 g
+1 g
Redovisat godtagbar metod
med godtagbart svar (16,5 cm)
Max 3/0
+1-2 g
+1 g
a)
Korrekt genomförd derivering ( f ′( x ) = x ⋅ e x + e x )
Max 2/0
+1 g
b)
Korrekt lösning av ekvationen ( x = −1)
5.
6.
+1 g
Np MaD ht 2000
Uppg.
Bedömningsanvisningar
Poäng
7.
a)
b)
Korrekt svar (C)
Godtagbar ansats till motivering (t.ex. utnyttjat att f ′(0) = 0
och f ′( x) < 0 för 0 < x <
π
6
)
+1 vg
En fullständig motivering
+1 vg
8.
Max 1/1
+1 g
a)
Korrekt svar (12)
b)
7
4

Korrekt svar  ∫ ( f ( x) − h( x))dx + ∫ ( g ( x) − h( x))dx 
4
0

9.
+1 vg
Korrekt derivata ( y ′ = 9e 3 x − e − x )
Verifierat att funktionen satisfierar differentialekvationen
Max 1/1
+1 g
+1 vg
Godtagbar metod för lösning av ekvationen
Max 2/2
+1 g
10.
a)
Max 1/2
+1 g
a
2 a
2


 t.ex. 2 x dx =  x  = a − 1 = 1
 
∫1 3

3 3 
 3 1


med korrekt svar (a = 2)
b)
+1 g
Godtagbar figur t.ex.
+1-2 vg
y
2
y=2x/3
1
0
0
1
2 x=a 3
x
11
Tecknat ett godtagbart samband ur vilket cos v kan bestämmas

2 
Korrekt värde  −

13 

Max 0/2
+1 vg
+1 vg
Np MaD ht 2000
Uppg.
Bedömningsanvisningar
12.
Poäng
Max 2/2
+1 g
a)
Korrekt läge (24 m)
b)
Godtagbar ansats
Godtagbart uttryck för hastigheten (v(t ) = (t − 2)(14 − 3t ))
+1 vg
+1 vg
c)
Motiverade korrekta tider för vändlägen (2,0 s och 4,7 s)
+1 g
13.
Korrekt bestämning av derivatan ( y ′ = cos( x − sin x) ⋅ (1 − cos x))
Visat att y ′(0) = 0
Max 0/2
+1 vg
+1 vg
Godtagbart genomförd redovisning
Max 0/2
+1-2 vg
14.
15.
Max 0/5
a)
b)
Godtagbar ansats ( t.ex. ritat parablerna i ett koordinatsystem och
angett skärningspunkterna på x- och y-axeln)
Parabelns ekvation godtagbart uppställd (t.ex. y = 35 − 0,43x 2 )
Arean korrekt tecknad med t.ex. integral
med godtagbart svar (840 m2)
+1 vg
+1-2 vg
+1 vg
+1 vg
JENSENvuxutbildning
Uppgift # 1
NpMaD ht2000 för Ma4
(2/0)
13(17)
Ange alla . . .
Givet funktionen
f (x) = 10 x2 + 100
Bestäm
4(8) alla primitiva funktioner. Använd FORMELSAMLINGEN
Primitiva
funktioner
Funktion
Primitiv funktion
k
kx + C
x n ( n ≠ −1)
x n +1
+C
n +1
1
x
ln x + C
ex
ex + C
e kx
e kx
+C
k
a x ( a > 0, a ≠ 1)
ax
+C
ln a
sin x
− cos x + C
cos x
sin x + C
( x > 0)
Vi Komplexa
får
10tal3
F (x) =
x + 100 x + C.
3
Representation
z = x + iy = reiv = r (cos v10
+ i sin
v) där i 2 = −1
Svar De primitiva funktionerna ges av uttrycket
x3 + 100 x + C.
3
Argument
arg z = v
Absolutbelopp
z = r = x2 + y2
c G Robertsson
tan v =
y
x
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
Konjugat
Om z = x + iy så z = x − iy
Räknelagar
z1z2 = r1r2 (cos(v1 + v2 ) + i sin(v1 + v2 ))
2015-04-06
Trigonometri
Definitioner
a
c
JENSENvuxutbildning
b NpMaD ht2000 för Ma4
cos v =
c
a
tan
v=
Uppgift # 2
(2/0)
Figuren visar . . .
b
sin v =
14(17)
Enhetscirkeln
sin v = y
cos v = x
tan v =
Sinussatsen
Uppgift # 3
y
x
sin A sin B sin C
=
=
a
b
c
(2/0)
Grafen till . . .
Cosinussatsen
a = b + c − 2bc cos A
Areasatsen
T=
Trigonometriska
formler
2
2
2
ab sin C
2
sin 2 v + cos 2 v = 1
sin(v + u ) = sin v cos u + cos v sin u
sin(v − u ) = sin v cos u − cos v sin u
cos(v + u ) = cos v cos u − sin v sin u
cos(v − u ) = cos v cos u + sin v sin u
sin 2v = 2 sin v cos v
cos 2 v − sin 2 v (1)

cos 2v =  2 cos 2 v − 1
(2)

2
(3)
1 − 2 sin v
a sin x + b cos x = c sin( x + v ) där c = a 2 + b 2 och tan v =
Cirkelns
ekvation
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
13-01-24
c G Robertsson
b
a
© Skolverket
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Uppgift # 16
16.
NpMaD ht2000 för Ma4
(4/5)
Maximera
NpMaD
ht 2000
15(17)
triangelns yta . . .
I denna uppgift ska du undersöka hur stor area triangeln ABC nedan kan ha. De
två första punkterna i uppgiften kan du använda som ett stöd för undersökningen.
Du väljer om du vill utföra den generella undersökningen (tredje punkten) direkt
eller om du vill utföra uppgiften stegvis genom alla de tre punkterna.
(cm)
C
A
B
3,00
I triangeln ABC är sidan AB 3,00 cm lång och sidan AC är dubbelt så lång som
sidan BC.
•
Välj ett värde på längden för sidan BC och beräkna arean av triangeln ABC
genom att först beräkna vinkeln C.
•
Finn ett värde för längden av sidan BC som ger en triangelarea som är större
än den du beräknade i föregående punkt.
•
Undersök hur stor area triangeln ABC kan ha.
(4/5)
Rita figur.
C
2x
x
A
B
3,00 att ta hänsyn till:
Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren
• hur långt mot en generell lösning du lyckas komma
• hur
väl dubeteckningar
redovisar ditt arbete
Inför
följande
• hur väl du motiverar dina slutsatser
|AC| = 2 x
|BC| = x.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD ht2000 för Ma4
16(17)
7(8)
Triangelolikheten1 ger följande.
3 ≤ 2x + x
⇒
Trigonometri
2x ≤ x + 3
2x
Definitioner
x≤ 3+
1≤x
⇒
x≤3
⇒ a −x ≤ 3
sin v =
c
Detta betyder att
b
1 ≤ x ≤ cos
3 v=c
tan v =
a
b
Enhetscirkeln
sin v = y
x = 1,08
T = 0,86
cos v = x
x=
√
5
T = 3,00
x = 2,78
T = 2,19
I FORMELSAMLINGEN finns yföljande för problemet aktuella formler
tan v =
x
Sinussatsen
sin A sin B sin C
=
=
a
b
c
Cosinussatsen
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
Areasatsen
T=
ab sin C
2
Trigonometriska
formler
2
sin 2 v + cos
Arean T , som ska maximeras,
blir vdå= 1
2x · xsin(
· sin
v cos u + cos v sin u
v +Cu ) = sin
= x2 · sin C
(1)
2
u − cos v sin u
sin(v − ux) enligt
= sin v cos
Vinkeln C beror på varabeln
cosinussatsen
2
2
2
3 = (2x) + x − 2 · 2x · x · cos C
cos(v + u ) = cos v cos u − sin v sin u
som förenklad ger
9 = 5 x2 − 4 x2 cos C
cos(v − u ) = cos v cos u + sin v sin u
5 x2 − 9
.
(2)
cos C =
4 x2sin 2v = 2 sin v cos v
Ekvation (2) och trigonometriska ettan, sin2 C + cos2 C = 1 ger
2
2
cos
1
v − sin
v (1) av de två andra sidornas längder. “Kortaste
I en triangel är längden av en sida
mindre
än summan


vägen mellan två punkter är en rät linje”. 2
cos 2v =  2 cos v − 1
(2)

2
(3)
1 − 2 sin v
T =
c G Robertsson
Cirkelns
ekvation
a sin x + b buggar
cos x =⇒crobertrobertsson@tele2.se
sin( x + v ) där c = a 2 + b 2 och tan v =
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
b
a
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD ht2000 för Ma4
5x2 − 9
sin C = 1 −
4 x2
17(17)
!2
2
v
u
u
t
!2
5x2 − 9
sin C =
1−
.
4x2
Använd ekvation (3) v
för att eliminera sin C ur ekvation (1). Vi får
(3)
!2
u
u
2 t
x · 1−
5x2 − 9
T =
(4)
4x2
som ska maximeras med avseende på x. Notera att triangelns area T och och dess
kvadrat T 2 har max och min för samma x. Arean är positiv. Kvadrera (4) för att få ett
enklare uttryck att derivera.
Kalla T 2 för U .

!2
"
#
5x2 − 9 
16x4 − (5x2 − 9)2
4 
4
U = x · 1−
=x ·
4x2
16x4
U =
1
1
· [16x4 − (5x2 − 9)2 ] =
· [−9x4 + 90x2 − 81].
|
{z
}
16
16
(5)
25x4 −90x2 +81
Derivering av (5) ger
1
9
U0 =
· [−9x3 · 4 + 90x · 2] = x (5 − x2 ).
16
4
Lös ekvationen U 0 (x) = 0.
0
U (x) = 0
⇒
(6)



√0 : sidlängd noll inte möjligt
5 : intressant rot
x=
 √

− 5 : negativ sidlängd inte möjligt
√
Vi får T ( 5) = 5. Motiv för att detta är maximum behövs.
Variant 1(3) Geometriskt argument. Då x = 1 eller x = 3 är triangelns höjd noll och
arean noll. Vi kontrollerar alltså randpunkter (ändpunkter) och lokala extrempunkter i
intervallet.
Variant 2(3) Andraderivata. Derivera (6) vilket ger U 00 (x) = 94 (5 − 3x2 ) och
√
U 00 ( 5) = 94 (5 − 3 · 5) < 0. Negativ andraderiva ger maximum.
Variant 3(3)
Teckentabell.
U 0 (x)
U (x)
√
√
√
x< 5 x= 5 x> 5
+
0
−
%
max
&
Svar Triangelns maximala area är 3 cm2 .
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06