Inneh˚all - Kursplanering

Transcription

JENSENvuxutbildning
NpMaD v2005
1(34)
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2005
3
Del I, 9 uppgifter utan miniräknare
4
Del II, 8 uppgifter med miniräknare
7
Förslag på lösningar till D-kursprov vt 2005
Del I: Digitala verktyg är
Del I # 1
(2/0)
Del I # 2
(2/1)
Del I # 3
(0/1)
Del I # 4
(1/1)
Del I # 5
(1/1)
Del I # 6
(0/1)
Del I # 7
(1/1)
Del I # 8
(0/1/⊗)
Del I # 9
(0/2/⊗)
INTE tillåtna
Bestämd integral .
Derivera . . . . . .
3 Primitiv funktion
Ordna tal . . . . . .
Bestäm konstanter
Förenkla uttryck .
Starar . . . . . . .
Trigonometri bevis
Integral . . . . . .
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
11
12
13
14
15
17
18
19
Del I: Digitala verktyg är tillåtna
Del II # 10
(2/0)
Area hos triangel . . . . . .
Del II # 11
(3/0)
Area . . . . . . . . . . . . .
Del II # 12
(2/2)
Area hos fyrhörning . . . .
Del II # 13
(2/1)
Samtliga lösningar . . . . . .
Del II # 14
(1/1)
Antal lösningar . . . . . . .
Del II # 15
(0/4/⊗) Korrugerad plåt . . . . . . .
Del II # 16
(1/2/⊗) Lokalt maximum . . . . . .
Del II # 17
(3/4/⊗) En parabel och en rektangel
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
22
23
25
26
27
30
31
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Appendix, D-kursproblem
33
Del II # 15
(0/4/⊗) Korrugerad plåt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
© G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2005
2(34)
Förord
Uppgifter till kursen Matematik D duger utmärkt för träning till kursen Ma4.
Kom ihåg
● Matematik är att vara tydlig och logisk
● Använd text och inte bara formler
● Rita figur (om det är lämpligt)
● Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
● Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
● Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
● Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
● Värdera och jämföra metoder/modeller.
● Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
© G Robertsson
2015-04-06
NpMaD vt 2005 Version 1
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i
4 kap. 3 § sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med den 10
juni 2005.
NATIONELLT KURSPROV I
MATEMATIK KURS D
VÅREN 2005
Anvisningar
Provtid
240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder
högst 60 minuter för arbetet med Del I.
Hjälpmedel
Del I: ”Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E”.
Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del.
Del II: Miniräknare och ”Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E”.
Provmaterialet
Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv ditt namn och komvux/gymnasieprogram på de papper du lämnar in.
Lösningar till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren. Redovisa därför ditt arbete på Del I på separat papper. Observera att arbetet med Del II
kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Provet
Provet består av totalt 17 uppgifter. Del I består av 9 uppgifter och Del II av 8
uppgifter.
Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett kort svar
anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att
du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer vid behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt hjälpmedel.
Uppgift 17 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa fullständigt.
Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning av
vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete.
Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet få
någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även en påbörjad icke
slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning.
Poäng och
betygsgränser
Provet ger maximalt 44 poäng.
Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få för din lösning. Om en
uppgift kan ge 2 g-poäng och 1 vg-poäng skrivs detta (2/1). Några uppgifter är markerade med ¤, vilket innebär att de mer än andra uppgifter erbjuder möjligheter att visa
kunskaper som kan kopplas till MVG-kriterierna.
Undre gräns för provbetyget
Godkänd:
13 poäng.
Väl godkänd:
26 poäng varav minst 7 vg-poäng.
Mycket väl godkänd:
Utöver kraven för Väl godkänd ska du ha visat prov på
flertalet av de MVG-kvaliteter som de ¤-märkta uppgifterna ger möjlighet att visa. Du ska dessutom ha minst
13 vg-poäng.
Namn:
Komvux/gymnasieprogram:
Skola:
Del I
Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du
får tillgång till din miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
3
1.
Beräkna ∫ ( x 2 − 1) dx
(2/0)
1
2.
3.
Bestäm f ´(x) om
a)
f ( x) = 4 cos 3 x
Endast svar fordras
(1/0)
b)
f ( x) = (3 − 2 x) 6
Endast svar fordras
(1/0)
c)
f ( x) = x 2 ⋅ e 3 x
Endast svar fordras
(0/1)
Vilka två av funktionerna F (x) nedan är primitiv funktion
till f ( x) = 3x 5 + 1 ?
Endast svar fordras
(1/0)
3x 4
4
A
F ( x) =
B
F ( x) = 15 x 4
C
F ( x) = 0,5 x 6 + x
D
F ( x) = x 6 + 2 x
E
x6
F ( x) =
+ x +1
3
F
F ( x) =
x6
+ x − 14
2
4.
5.
6.
Ordna följande tal i storleksordning:
a = sin 24° , b = cos 100° och c = sin 165°
Motivera ditt svar.
(1/1)
Figuren visar grafen till funktionen y = a + b sin 2 x
Bestäm konstanterna a och b.
Endast svar fordras
(1/1)
Vilket av följande uttryck A – F kan förenklas till 1?
Endast svar fordras
2
A
(sin x + cos x)
B
(sin x − cos x) 2
C
(sin x + cos x)(sin x − cos x)
D
cos x(tan x ⋅ sin x + cos x)
E
sin x cos x
+
cos x sin x
F
2(sin x + cos x)
(0/1)
7.
Antalet starar i Sverige har undersökts sedan 1979. Resultaten av denna undersökning kan matematiskt beskrivas med differentialekvationen:
dy
= − 0,03 ⋅ y , där y är antalet starar vid tiden t år från 1979.
dt
Förklara med egna ord innebörden av differentialekvationen i detta sammanhang. (1/1)
8.
9.
I triangeln ABC är vinkeln A = 90°
Visa att sin B = cos C
(0/1/¤)
Funktionen F är primitiv funktion till f
Figuren nedan visar y = F (x)
5
Bestäm
∫ f ( x ) dx
0
(0/2/¤)
Del II
Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
10.
11.
12.
13.
I triangeln ABC är sidorna AC och BC lika långa.
Beräkna triangelns area.
(2/0)
Beräkna med hjälp av primitiv funktion arean av det område som begränsas av
funktionerna f ( x) = x 2 + x + 1 och g ( x) = 9 − x
(3/0)
Daniel och Linda tittar på en lägenhet. Enligt uppgift är vardagsrummet 31,2 m2.
De vill kontrollera om detta stämmer och mäter väggarna och ritar en skiss över
rummet. De vet att ett hörn i rummet är rätvinkligt. Så här ser deras skiss ut.
Vilken area har vardagsrummet enligt Daniels och Lindas skiss?
(2/2)
Bestäm samtliga lösningar till ekvationen sin 3 x = 0,421
(2/1)
14.
Bestäm antalet lösningar till ekvationen sin 2 x =
x2
−1 ,
10
där x mäts i radianer.
15.
(1/1)
En korrugerad plåt tillverkas genom att en plan plåt veckas. Sedd från sidan har
den korrugerade plåten på bilden formen av en sinuskurva med perioden 0,20 m
och amplituden 0,050 m.
a)
Bestäm en formel för ”plåtkurvan” på formen f ( x) = A sin kx
(0/1)
Det finns en formel för beräkning av kurvlängd. Enligt denna gäller att längden s
av en kurva y = f (x) från x = a till x = b kan beräknas som:
b
s = ∫ 1 + ( f ′( x)) 2 dx
a
b)
16.
Hur lång plan plåt ska man utgå ifrån för att den korrugerade plåtens längd
ska bli 5,0 m?
(0/3/¤)
För vilka värden på konstanterna a och b gäller det att funktionen
f ( x) = ax 2 + bx − sin 3 x har ett lokalt maximum för x = 0?
(1/2/¤)
Vid bedömning av ditt arbete med uppgiften kommer läraren att ta hänsyn till:
• Hur väl du utför dina beräkningar
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Hur väl du redovisar ditt arbete
• Hur väl du använder det matematiska språket
17.
Figuren visar en parabel och en rektangel i ett koordinatsystem. Det skuggade
området är begränsat av parabeln och x-axeln. Arean av det skuggade området
kallas i fortsättningen parabelarean.
Två av rektangelns hörn sammanfaller med kurvans skärningspunkter med x-axeln.
En av rektangelsidorna tangerar
kurvans maximipunkt.
I den här uppgiften ska du undersöka förhållandet mellan parabelarean och rektangelarean.
Låt parabelns ekvation vara y = b − ax 2 , där a och b är positiva tal.
•
Du kan då börja t.ex. med att sätta b = 9 och a = 1 och rita grafen till funktionen y = 9 − x 2 . Bestäm därefter förhållandet mellan parabelarean och rektangelarean.
•
Välj själv andra exempel och försök formulera en slutsats utifrån dina valda
exempel.
•
Undersök om din slutsats även gäller i det allmänna fallet med parabeln
y = b − ax 2
Om du vill kan du istället undersöka det allmänna fallet direkt.
(3/4/¤)
Del I
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2005
får tillgång
miniräknare.till D-kursprov vt 2005
Förslag
påtillldin
ösningar
Del I # 1
(2/0)
10(34)
Bestämd integral
3
1.
Beräkna ∫ ( x 2 − 1) dx
(2/0)
1
3
x3
27
1
20
∫1 (x − 1)dx = ( 3 − x)] = ( 3 − 3) − ( 3 − 1) = 3
2.
Bestäm f ´(x) om
1
2
Svar Den bestämda integralen är 20
3 = 63.
3
3.
2
a)
f ( x) = 4 cos 3 x
Endast svar fordras
(1/0)
b)
f ( x) = (3 − 2 x) 6
Endast svar fordras
(1/0)
c)
f ( x) = x 2 ⋅ e 3 x
Endast svar fordras
(0/1)
till f ( x) = 3 x 5 + 1 ?
Endast svar fordras
(1/0)
3x 4
4
A
F ( x) =
B
F ( x) = 15 x 4
C
F ( x) = 0,5 x 6 + x
D
F ( x) = x 6 + 2 x
E
F ( x) =
x6
+ x +1
3
F
F ( x) =
x6
+ x − 14
2
© G Robertsson
2015-04-06
får tillgång till din miniräknare.
JENSENvuxutbildning
3
1.
NpMaD v2005
11(34)
Beräkna ∫ ( x − 1) dx
2
(2/0)
1
Del I # 2
2.
(2/1)
Derivera
Bestäm f ´(x) om
a)
f ( x) = 4 cos 3 x
Endast svar fordras
(1/0)
b)
f ( x) = (3 − 2 x) 6
Endast svar fordras
(1/0)
c)
f ( x) = x 2 ⋅ e 3 x
Endast svar fordras
(0/1)
d
f (g(x)) = f ′ (g(x)) ⋅ g ′ (x)
a) Använd kedjeregeln i FORMELSAMLINGEN dx
f (x) = 4 cos 3x
3.
f ′ (x) = 4 (− sin 3x) ⋅ 3 = −12 sin 3x
till f ( x) = 3 x 5 + 1 ?
Endast svar fordras
Svar a) f ′ (x) = −12 sin 3x
(1/0)
d
3 x i FORMELSAMLINGEN dx
b) Använd
kedjeregeln
f (g(x)) = f ′ (g(x)) ⋅ g ′ (x)
A
F ( x) =
f (x) 4 = (3 − 2x)6
f ′ (x) = 6 (3 − 2x)5 ⋅ (−2) = −12 (3 − 2x)5
B b) F (fx)′ (x)
= 15 x=4 −12 (3 − 2x)5
Svar
4
C produktregeln
F ( x) = 0,5 x 6 +i FORMELSAMLINGEN
x
c) Använd
f (x)
f ′ (x)
′
x6
Svar
E c) F (fx)(x)
=
D
© G Robertsson
= f (x) ⋅ g ′ (x) + f ′ (x) ⋅ g(x)
= x2 ⋅ e3x
= 2x ⋅ e3x + x2 ⋅ e3x ⋅ 3 = (2x + 3 x2 ) e3x
2
3x
=+ x (2x
+1 + 3x )e
F ( x) = x 6 + 2 x
3
F
d
dx [f (x) ⋅ g(x)]
F ( x) =
x6
+ x − 14
2
2015-04-06
2.
Bestäm f ´(x) om
a)
f ( x) = 4 cos 3 x
Endast svar fordras
(1/0)
b)
f ( x) = (3 − 2 x) 6
Endast svar fordras
(1/0)
Endast svar fordras
(0/1)
JENSENvuxutbildning
2
c)
Del I # 3
3.
NpMaD v2005
f ( x) = x ⋅ e 3 x
(0/1)
12(34)
3 Primitiv funktion
till f ( x) = 3 x 5 + 1 ?
Endast svar fordras
(1/0)
3x 4
4
A
F ( x) =
B
F ( x) = 15 x 4
C
F ( x) = 0,5 x 6 + x
D
F ( x) = x 6 + 2 x
E
F ( x) =
x6
+ x +1
3
F
F ( x) =
x6
+ x − 14
2
Integrera
f (x) = 3 x5 + 1
3 x6
x6
F (x) =
+ x + konstant =
+ x + konstant
6
2
Svar Alternativ C
(med konstant = 0)
och F
(med konstant = −14).
Kommentar Du kan också derivera funktionerna A – F.
© G Robertsson
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Del I # 4
4.
NpMaD v2005
(1/1)
13(34)
Ordna tal
Ordna följande tal i storleksordning:
Motivera ditt svar.
(1/1)
7(8)
Använd FORMELSAMLINGEN
5.
Endast svar fordras
(1/1)
Trigonometri
Definitioner
a
c
b
cos v =
c
a
tan v =
b
sin v =
Enhetscirkeln
sin v = y
cos v = x
tan v =
y
x
sin Auttryck
sin BA –sin
C
följande
=
= F kan förenklas till 1?
c cos och tan utanför
Endast
svarkvadranten.
fordras
Rita alltid enhetscirkel anär dub har sin,
första
2
A
(sin x + cos
x)
Cosinussatsen
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
6.
Vilket av
Sinussatsen
sin 24° > 0
cos 100° < 0
(0/1)
sin 165° = sin 15° > 0
2
(sin x − cos xab
) sin C
T=
2
C
(sin
x
+
cos
x
)(sin
x − cos x)
Trigonometriska
B
Areasatsen
formler
D
E
F
sin 2 v + cos 2 v = 1
sin(v + u ) = sin v cos u + cos v sin u
sin x cos x
+ sin(v − u ) = sin v cos u − cos v sin u
x
cos x sin
2(sin x + cos(
cos xv)+ u ) = cos v cos u − sin v sin u
cos(v − u ) = cos v cos u + sin v sin u
Svar cos 100° < sin 165°
< sin 24°.
sin 2v = 2 sin v cos v
© G Robertsson
⇒ robertrobertsson@tele2.se
2
cosbuggar
v − sin 2 v (1)

cos 2v =  2 cos 2 v − 1
(2)

2
(3)
1 − 2 sin v
2
2015-04-06
2
b
vuxutbildning
JENSEN
NpMaD v2005
4.
Ordna
följande tal i storleksordning:
Motivera ditt svar.
(1/1)
Endast svar fordras
(1/1)
Del I # 5
5.
6.
14(34)
(1/1)
Bestäm konstanter
Endast svar fordras
(0/1)
2
funktionen
Bestäm parametrarna
A
(sin x + cosi x)
y(x) = a + b sin 2x.
För x = 0Bgäller
(sin x − cos x) 2
2 från grafen
0
¬
¬
Cy(0) (sin x=+ cos
x)(sin
x −0cos x)
a+
b ⋅ sin
®
2
vilket gerD
a = 2
och
sin x
för xE= π4 gäller
+
cos x
−1 från grafen
cos x
sin x
1
¬
¬
π
y(
)
=
2
+
b
⋅
sin π2
4
F
2(sin x + cos®
x)
−1
vilket ger
b = −1.
Svar a = 2 och b = −1.
© G Robertsson
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Del I # 6
6.
NpMaD v2005
(0/1)
15(34)
Förenkla uttryck
Endast svar fordras
(0/1)
2
A
(sin x + cos x)
B
(sin x − cos x) 2
C
(sin x + cos x)(sin x − cos x)
D
E
sin x cos x
+
cos x sin x
F
2(sin x + cos x)
Algebraisk lösning
A)
B)
C)
D)
(sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x +2 sin x ⋅ cos x ≠ 1
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
2
trigonometriska ettan
2
2
(sin x − cos x) = sin x + cos x −2 sin x ⋅ cos x ≠ 1
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
2
(sin x + cos x)(sin x − cos x) = sin x − cos2 x ≠ 1
cos x ( tan x ⋅ sin x + cos x) = sin2 x + cos2 x = 1
²
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
sin x
cos x
E)
F)
sin x cos x
+
≠1
cos x sin x
2 (sin x + cos x) ≠ 1
Svar D kan förenklas till 1.
Numerisk lösning
I FORMELSAMLINGEN finns exakta värden för sinus, cosinus och tangens för några olika
vinklar. För att visa att uttryck inte kan förenklas till 1 så räcker det att hitta ett
motexempel.
© G Robertsson
2015-04-06
vuxutbildning
JENSEN
8(8)
Exakta
värden
NpMaD v2005
Vinkel v
(grader)
0°
(radianer)
0
sin v
0
cos v
1
30°
π
6
1
2
3
2
1
0
tan v
3
45°
π
4
1
2
1
2
1
60°
π
3
3
2
1
2
16(34)
90°
π
2
120°
2π
3
3
2
1
−
2
2
1
−
2
3 Ej def. − 3
−1
1
0
135°
3π
4
1
150°
5π
6
1
2
180°
3
2
1
−
3
−1
−
π
0
0
Testa uttrycken med lämplig vinkel.
√ 2 Välj x = 45, (andra vinklar kan också duga).
2
A)
(sin x + cos x ) = ( 2) = 2 ≠ 1
±
±
√
√
2
2
B)
2
2
= (sin x − cos x )2 = 0 ≠ 1
±
±
√
√
2
2
C)
2
2
(sin x + cos x )2 (sin x − cos x )2 =
±
±
±
±
√
√
√
√
2
2
D)
2
2
2
2
1
√
√
2
2
2
2
2
2
¬ ¬
sin x cos x
+
=1+1≠1
cos x sin x
±
±
√
√
2
2
F)
2
2
√
2 √
( 2) = 1
cos x ( tan x ⋅ sin x + cos x ) =
±
±
2
² ±
√
√
√
2
2
E)
2
2
√
2⋅0=0≠1
2
2
√
2 (sin x + cos x ) = 2 2 ≠ 1
±
±
√
√
2
2
2
2
Vi har visat att A, B, C, E och F inte kan förenklas till 1. Med stöd av problemets
formulering kan vi dra slutsatsen att D kan förenklas till 1.
Svar D kan förenklas till 1.
© G Robertsson
13-01-24
2015-04-06
© Skolverket
JENSENvuxutbildning
Del I # 7
NpMaD v2005
(1/1)
17(34)
NpMaDStarar
vt 2005 Version 1
7.
dy
dt
Uppg.
7.
Bedömningsanvisningar
Poäng
I Skolverkets norm för rättning står följande:
Godtagbar
cos Catt antalet starar minskar.
Visaansats,
att sint Bex=anger
8.
Godtagbar förklaring (”Antalet starar har sedan år 1979 minskat med
ändringshastigheten 3 % per år av det aktuella antalet”)
9.
8.
Max 1/1
+1 g
(0/1/¤)
+1 vg
Max 0/1/¤
5
Godtagbar
ansats, ft (ex
en figur och fört in
Bestäm
dx
∫ x)skissat
godtagbara beteckningar
0
MVG-kvalitet
Formulerar och utvecklar problem, använder
generella metoder/modeller vid problemlösning
Analyserar och tolkar resultat, drar slutsatser
samt bedömer rimlighet
Genomför bevis och analyserar matematiska
resonemang
Värderar och jämför metoder/modeller
(0/2/¤)
+1 vg
visar eleven i denna uppgift genom att:
använda generella metoder genom att utnyttja definitionen för
trigonometri eller triangelsatserna.
genomföra bevis genom att visa att likheten gäller för alla
vinklar B och C.
Redovisar välstrukturerat med korrekt matematiskt språk
© G Robertsson
2015-04-06
dy
dt
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2005
18(34)
Del I # 8
8.
(0/1/⊗)
Trigonometri bevis
7(8)
(0/1/¤)
Enligt FORMELSAMLINGEN gäller följande
Trigonometri
9.
Figuren nedan visar ya = F (x)
Definitioner
sin v =
c
5
b
Bestäm ∫ f ( xcos
) dxv =
c
0
a
tan v =
b
(0/2/¤)
Enhetscirkeln
sin v = y
Inför beteckningar enligt figuren. Enligt definitionen av
cos v = x
sinus är
b
y
sin B =
tan v =
a
x
och enligt defintionen av cosinus gäller
b
cos C =
. sin A sin B sin C
=
=
Sinussatsen a
a
b
c
Alltså gäller
sin B = cos C 2 2 2
Cosinussatsen
a = b + c − 2bc cos A
vilket skulle visas.
Areasatsen
Svar Se ovan.
Trigonometriska
formler
T=
B
a
C
c
b
A
ab sin C
2
sin 2 v + cos 2 v = 1
sin(v − u ) = sin v cos u − cos v sin u
cos(v + u ) = cos v cos u − sin v sin u
sin 2v = 2 sin v cos v
© G Robertsson
cos 2 v − sin 2 v (1)

cos 2v =  2 cos 2 v − 1
(2)

2
v robertrobertsson@tele2.se
2 sin ⇒
(3)
1 −buggar
a sin x + b cos x = c sin( x + v ) där c = a 2 + b 2 och tan v =
Cirkelns
ekvation
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
2015-04-06
b
a
vuxutbildning
JENSEN
v2005
8.
I triangeln
ABC är vinkeln A = 90NpMaD
°
19(34)
Del I # 9
9.
(0/1/¤)
(0/2/⊗)
Integral
5
Bestäm
∫ f ( x ) dx
(0/2/¤)
0
Lösning 1
5
5
∫0 f (x) dx = F (x)] = 1 − (−2) = 3
0
® ±
F (5)
F (0)
där F (5) och F (0) avläses i figuren.
y
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-2
-3
-4
-5
-6
1 2 3 4 5 6
x
y = F (x)
Svar Den bestämda integralen blir 3.
© G Robertsson
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2005
20(34)
Uppg.
Lösning
2
Bedömningsanvisningar
Skolverkets rättningsnorm ger följande svar.
Poäng
9.
Max 0/2/¤
5
Redovisad godtagbar metod, t ex
∫
0
5
3

f ( x ) dx = x − 2
5
0
med godtagbart svar (3)
+1 vg
+1 vg
MVG-kvalitet
visar eleven i denna uppgift genom att:
Formulerar och utvecklar problem, använder
utveckla problemet genom att tolka problemsituationen och
Svar Den bestämda
integralen blirvälja
3. att använda integralkalkylens huvudsats för att lösa
generella metoder/modeller
vid problemlösning
problemet.
AnalyserarKommentar
och tolkar resultat,Skolverkets
drar slutsatserlösning går omvägen via att bestämma funktionen på
samt bedömer
rimlighet form, F (x) = 3 x − 2, från grafen av F (x). Detta är onödigt.
parametrisk
5
Genomför bevis och analyserar matematiska
resonemang
Värderar och jämför metoder/modeller
Redovisar välstrukturerat med korrekt matematiskt språk
Del II
10.
Max 2/0
Godtagbar ansats, t ex bestämmer längden av de lika sidorna
+1 g
med i övrigt redovisad godtagbar lösning (7,0 cm2)
+1 g
11.
Max 3/0
Godtagbart tecknad integral för arean
+1 g
med korrekt primitiv funktion
+1 g
med korrekt svar (36 a.e.)
+1 g
© G Robertsson
2015-04-06
Del II
vuxdel
Denna
består av 8 uppgifter och
är avsedd
att genomföras med miniräknare.
JENSEN
utbildning
NpMaD
v2005
Del II # 10
10.
(2/0)
21(34)
Area hos triangel
I triangeln ABC är sidorna AC och BC lika långa.
Beräkna triangelns area.
(2/0)
Kalla mittpunkten på sträckan AB för Z. Då blir
11.
∣CZ∣
funktionerna
f ( x) = x 2 + x + 1 och g ( x) = 9 − x
○
tan 54
=
(3/0)
∣ZB∣
∣CZ∣ = 2,25 ⋅ tan 54○
±
Daniel och ∣ZB∣
Linda tittar på en lägenhet. Enligt uppgift är vardagsrummet 31,2 m2.
där ∣CZ∣De
betecknar
längden
sträckan
motsvarande
ZB.
vill kontrollera
om av
detta
stämmerCZ
ochoch
mäter
väggarna ochförritar
enTriangelns
skiss över area är
1
1
rummet.
att⋅ ett
hörn
är rätvinkligt.
= i rummet
A = De vet
⋅ 4,5
∣CZ∣
⋅ 4,5 ⋅ 2,25
⋅ tan 54○ =Så
7,0här ser deras skiss ut.
12.
2 ° ±
bas höjd
Svar 7,0
13.
2
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
∣CZ∣
cm2 .
(2/2)
Bestäm samtliga lösningar till ekvationen sin 3 x = 0,421
(2/1)
© G Robertsson
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Del II # 11
11.
NpMaD v2005
(3/0)
22(34)
Area
(3/0)
Gör en tabell och en enkel skiss över de två funktionerna.
12.
y
f (x)
rummet. De vet att ett hörn i rummet är rätvinkligt. Så13
här ser deras skiss ut.
x f (x) g(x)
3
13
2
7
7
1
3
0
1
9
-1
1
-2
3
11
-3
7
-4
13
13
7
g(x)
3
-4
0
2
x
Bestäm skärningspunkterna mellan f (x) och g(x) genom att lösa f (x) = g(x)
0 = (x2 + x + 1) − (9 − x) = x2 + 2 x − 8
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¶
Vilken area
har vardagsrummet
enligt Daniels och Lindas skiss?
f (x)
g(x)
Använd pq-formeln.
√ Vi får
x1 = −1 + 12 − (−8) = 2
√
(−8) = −4.
= −1samtliga
− 12 −lösningar
13.x2 Bestäm
till ekvationen sin 3 x = 0,421
För att beräkna arean A lös integralen
(2/2)
(2/1)
2
A = ∫ [ g(x) − f (x) ] dx
−4 ± ±
övre
undre
2
= ∫ [(9 − x) − (x2 + x + 1)] dx
−4
2
= ∫ [8 − 2 x − x2 ] dx
−4
= (8 x − x2 −
x3 2
)] = 36
3 −4
8
64
= (16 − 4 − ) − (−32 − 16 + ) = 36
3
3
Svar 36 areaenheter
© G Robertsson
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
11.
23(34)
Del II # 12
12.
NpMaD v2005
(2/2)
Area hos fyrhörning
(3/0)
rummet. De vet att ett hörn i rummet är rätvinkligt. Så här ser deras skiss ut.
Inför beteckningar enligt figuren nedan.
13. Bestäm samtliga lösningar till ekvationen
6,08 sin 3x = 0,421
D
C
5,25
A
b
c = 6,02
(2/2)
(2/1)
a = 4,50
B
Dela figuren i två trianglar ACD och ABC. Arean av rätvinkliga triangeln ACD är
1
TACD =
⋅ 5,25 ⋅ 6,08 = 15,96.
2
Återstår att bestämma arean av ABC. Pythagoras sats tillämpad på triangeln ACD ger
b2 = 5,252 + 6,082
b = 8,03
Alla tre sidor i triangeln ABC är kända. Använd FORMELSAMLINGEN där finns följande
formler:
© G Robertsson
2015-04-06
Enhetscirkeln
sin v = y
cos v = x
JENSENvuxutbildning
tan v =
NpMaD v2005
y
x
Sinussatsen
sin A sin B sin C
=
=
a
b
c
Cosinussatsen
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
Areasatsen
T=
Trigonometriska
formler
24(34)
ab sin C
2
sin 2 v + cos 2 v = 1
Med areasatsen kan ytan av triangel beräknas när två sidor och mellanliggande vinkel är
kända. Bestäm vinkelnsin(
Avi+triangeln
ABC
med
hjälp
u + cos
v sin
u av cosinusteoremet.
u ) = sin v cos
2
2
2
a = b + c − 2bc cos A
2 − a2
b2 + csin(
v − u ) = sin v cos u − cos v sin u
cos A =
2bc
v + u2)−=4,50
cos v2cos u − sin v sin u
8,032cos(
+ 6,02
=
= 0,8325
2 ⋅ 8,03 ⋅ 6,02
Med trigonometriska
√ ettan kan sin A beräknas,
2 = 0,5540.
sin A =
1 −sin
0,8325
2v = 2 sin
v cos v
b c sin A
TABC =
cos 2 v − sin 2 v (1)
2
8,03 ⋅ 6,02 ⋅ 0,5540

=
cos 2v =  2 cos 2 =v −13,40
1
(2)
2 
2
(3)
− 2 sin v
Arean hos fyrhörningen ABCD
1 är
AABCD = TABD + TABC = 29,36.
± ±
b
15,96
a sin13,40
x + b cos x = c sin( x + v ) där c = a 2 + b 2 och tan v =
Svar Den sökta arean är 29,4 m2 .
Cirkelns
ekvation
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
13-01-24
© G Robertsson
a
© Skolverket
2015-04-06
7(8)
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2005
25(34)
Trigonometri
Del
II # 13
(2/1)
(2/2)
Samtliga lösningar
Definitioner
a
sin v =
c
13. Bestäm samtliga lösningar
till ekvationen sin 3 x = 0,421
b
cos v =
c
a
Använd FORMELSAMLINGEN
tan v =
b
(2/1)
Enhetscirkeln
sin v = y
cos v = x
tan v =
y
x
sin A sin B sin C
=
=
c cos och tan utanför första kvadranten.
Rita alltid enhetscirkel anär dub har sin,
Sinussatsen
Cosinussatsen
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
Areasatsen
ab sin C
T Lösning
=
2
2
Trigonometriska
formler
y
y = 0,421
sin 2 v + cos 2 v = 1
Lösning 1
x
Lösning 1
sin 3x1
24,9○
3x1
x1
Lösning 2
sin 3x2
3x2
x2
sin(v − u ) = sin v cos u − cos v sin u
= 0,421cos(v + u ) = cos v cos u − sin v sin u
= sin−1 0,421
= 24,9○ + n ⋅ 360○
○
2 sin
v cos v
= 8,3○sin
+ 2nv⋅ =120
cos 2 v − sin 2 v (1)
= 0,421

2 ○
v −1
2v =○ +2ncos
(2)
= 180○ cos
− 24,9
⋅ 360

○
○
2
= 51,7 + n ⋅ 120
(3)
1 − 2 sin v
○
○ + n ⋅ 120○ .
b
Svar x1 = 8,3○ + n ⋅ 120
2 =x51,7
a sin och
x + bxcos
x + v ) där c = a 2 + b 2 och tan v =
= c sin(
a
Cirkelns
ekvation
© G Robertsson
13-01-24
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
2015-04-06
© Skolverket
JENSENvuxutbildning
Del II # 14
14.
NpMaD v2005
(1/1)
26(34)
Antal lösningar
x2
−1 ,
10
(1/1)
√
√
x2
Konstatera
att
−1
≤
sin
2x
≤
1
för
alla
x
och
att
−1
≤
−
1
≤
1
då
−
20
≤
x
≤
10 veckas. Sedd från sidan har 20. Gör en
15. En korrugerad plåt tillverkas genom att en plan plåt
enkel skiss
av
de
två
funktionerna.
Räkna
antalet
rötter
(skärningspunkter).
den korrugerade plåten på bilden formen av en sinuskurva
med perioden 0,20Det
m räcker
med en enkel
skiss och 0,050
kunskap
och amplituden
m. för att komma till rätt svar.
1
√
− 20
π
−π
√
20
Svar Ekvationen har 6 lösningar.
Kommentar Enklast gör du skissen genom att använda grafritande miniräknare.
Kommentar Av grafen ser det ut som ±π är två lösningar till ekvationen. Så är det
Bestäm en formel
föratt
”plåtkurvan”
påsin
formen
x) = A sin
kx x = ±π och (0/1)
inte. Föra)sinusfunktionen
gäller
kurvan √
y=
x skärf (x−axeln
√då
x
funktionen y = 10 − 1 skär x−axeln då x = ± 10. π ≈ 3,14 och 10 ≈ 3,16.
b
s = ∫ 1 + ( f ′( x)) 2 dx
a
b)
16.
ska bli 5,0 m?
(0/3/¤)
© G Robertsson
(1/2/¤)
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
14.
NpMaD v2005 x 2
Del II # 15
15.
(0/4/⊗)
10
−1 ,
Korrugerad plåt
27(34)
(1/1)
En korrugerad plåt tillverkas genom att en plan plåt veckas. Sedd från sidan har
den korrugerade plåten på bilden formen av en sinuskurva med perioden 0,20 m
och amplituden 0,050 m.
a)
Bestäm en formel för ”plåtkurvan” på formen f ( x) = A sin kx
(0/1)
b
s = ∫ 1 + ( f ′( x)) 2 dx
a
b)
ska bli 5,0 m?
(0/3/¤)
Bestäm A och k i
16.
f ( x) == axA2 sin
+ bxkx.
− sin 3 x har ett lokalt maximum för x = 0?
f (x)
(1/2/¤)
Givet är amplituden 0,05 m då blir
A = 0,05.
Perioden är 20 cm då blir
© G Robertsson
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2005
28(34)
2π
= 10 π.
0,20
Det första steget i lösningen är att beräkna kurvans längd s över en period.
0,20 √
s = ∫
1 + [f ′ (x)]2 dx
0
k =
där
f ′ (x) =
π
A k cos kx = cos(10π x).
®®
2
0,05 10π
Integralen blir
√
π
s = ∫
1 + [ cos(10π x)]2 dx
2
0
som är den längd plan plåt som krävs för att göra en korrugerad plåt med längden 0,20
meter. Hur löser vi integralen?
√ I πFORMELSAMLINGEN saknas primitiv funktion till
integralen! Att skriva om 1 + ( 2 cos 10π)2 med hjälp av olika trigonometriska formler i
FORMELSAMLINGEN är inte heller någon framkomlig väg. Denna integral kan inte
knäckas (lösas) med matematiska metoder utan måste behandlas numeriskt.
Vi ska alltså beräkna
0,20
√
0,20
∫0
2
π
1 + [ cos(10π x)] dx
2
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
integrand
med en numerisk metod. Detta går enkelt med en grafritande miniräknare. Detta är en
procedur med tre steg.
Steg 1.
Mata in integranden. På Texas-räknare sker detta med knappen Y= .
√
\Y1 = (1 + (π ∗ 0.5 ∗ cos(10 ∗ π ∗ x))∧2)
Steg 2. Rita funktionen. Använd knappen WINDOW för att välja lämpligt fönster.
Lämpligt fönster är XMIN=0 XMAX=0,2 YMIN=0 och YMAX=2. På Texasräknare trycker du
på knappen GRAPH . Du får följande kurva:
2
1
0
© G Robertsson
0,1
0,2
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2005
29(34)
Steg 3. Använd knappen CALC för att integrera funktionen. Välj alternativet
∫ f (x) dx . Mata in gränserna 0 och 0,20.
∫ f (x) dx = 0.29275542
För att göra 0,20 m korrugerad plåt åtgår 0,293 m plan plåt och för att göra 5 m
⋅ 5
≈ 7,3 m.
korrugerad plåt åtgår 0,295
0,20
2π
x)
0,2
Svar a)
Formen för plåtkurvan är f (x) = 0,05 sin(
Svar b)
För 5 m korrugerad plåt åtgår 7,3 m plan plåt.
Kommentar I den äldre kursen MaD ingick numeriska algoritmer för integrering. På
sidan 33 presenteras en lösning anpassad till MaD.
© G Robertsson
2015-04-06
∫
a
vuxutbildning
Hur lång plan plåt ska manNpMaD
utgå ifrånv2005
för att den korrugerade plåtens längd
JENSENb)
ska bli 5,0 m?
Del II # 16
16.
(1/2/⊗)
30(34)
(0/3/¤)
Lokalt maximum
(1/2/¤)
Ett krav för att funktionen f (x) ska ha ett extremvärde för x = 0 är att f ′ (0) = 0.
f (x) = a x2 + b x − sin 3x
f ′ (x) = 2a x + b − 3 cos 3x
Med x = 0 får vi
f ′ (0) = b −3 cos 0 = 0.
®
±
b=3
1
Då b = 3 är punkten (0, f (0)) = (0, 0) antingen max-, min- eller terasspunkt. För b ≠ 3 är
punkten (0, f (0)) inte maximum, (minimum eller terasspunkt). Den funktion vi ska
undersöka är
f (x) = a x2 + 3 x − sin 3x
med derivata och andraderivata
f ′ (x) = 2a x + 3 (1 − cos 3x)
f ′′ (x) = 2a + 9 sin 3x
Följande gäller
f ′′ (0) = 2a > 0 min
f ′′ (0) = 2a < 0 max
f ′′ (0) = 2a = 0 ??
Vad gäller för fallet a = 0 och b = 3? Studera tecken för derivatan f ′ (x) kring x = 0!
f ′ (x) = 3 (1 − cos 3x) .
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
>0 då x ≠ 0
Funktionen f (x) är alltså växande kring x = 0 och därmed är punkten en terasspunkt.
Svar Funktionen har maximum för a < 0 och b = 3.
© G Robertsson
2015-04-06
Vid bedömning av ditt arbete med uppgiften kommer läraren att ta hänsyn till:
vuxutbildning
JENSEN
• Hur väl
du utför dina beräkningarNpMaD v2005
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Hur väl du redovisar ditt arbete
Del •II Hur
# 17
(3/4/⊗)
En
parabel
väl du använder
det matematiska
språket
17.
31(34)
och en rektangel
Figuren visar en parabel och en rektangel i ett koordinatsystem. Det skuggade
området är begränsat av parabeln och x-axeln. Arean av det skuggade området
kallas i fortsättningen parabelarean.
Två av rektangelns hörn sammanfaller med kurvans skärningspunkter med x-axeln.
En av rektangelsidorna tangerar
kurvans maximipunkt.
I den här uppgiften ska du undersöka förhållandet mellan parabelarean och rektangelarean.
Låt parabelns ekvation vara y = b − ax 2 , där a och b är positiva tal.
•
Du kan då börja t.ex. med att sätta b = 9 och a = 1 och rita grafen till funktionen y = 9 − x 2 . Bestäm därefter förhållandet mellan parabelarean och rektangelarean.
•
Välj själv andra exempel och försök formulera en slutsats utifrån dina valda
exempel.
•
Undersök om din slutsats även gäller i det allmänna fallet med parabeln
y = b − ax 2
Om du vill kan du istället undersöka det allmänna fallet direkt.
(3/4/¤)
Parabelns ekvation är
y = b − a x2
Parabeln har maxvärde y(0) = b som också är rektangelns höjd. Nästa steg är att
bestämma rektangelns bredd. Lös ekvationen y(x) = 0
© G Robertsson
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2005
32(34)
0 = b√
− a x2
b
x = ±
a
√
Rektangelns bredd blir 2 ab . Rektangelns yta AR blir
√
b
AR = b ⋅ 2
a
Parabelns yta AP √beräknas med den bestämda integralen
AP = ∫
−
+
√
b
a
b
a
(b − a x2 )dx.
Genom att utnyttja
symmetrin i problemet kan integralen skrivas som
√
AP = 2 ∫
b
a
(b − a x2 )dx
0
där en gräns är 0 vilket gör √
räkningen lite enklare.
√ ⎤
b
⎡ √
⎢
b
a
b
b ⎥⎥
a x3 a
]
= 2 ⋅ ⎢⎢b
−
AP = 2 ⋅ [b x −
3 0
a 3a
a ⎥⎥
⎢
⎣
⎦
√
√
b
b 2
b
= 2b
AP = 2 ⋅ [b − ]
⋅
3
a
a 3
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
AR
Svar AP = 32 AR
Kommentar Att numeriskt undersöka förhållandet mellan ytorna för olika värden på
parabelns parametrar a och b är jobbigt. Risk finns att drabbas av “sifferdöden”. Ofta är
det enklare att räkna med variabler/bokstäver och lösa det generella problemet direkt.
© G Robertsson
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2005
33(34)
Appendix, D-kursproblem
I den äldre kursen Ma D ingick numeriska algoritmer och differentialekvationer av andra
ordningen. Lösningarna till numeriska problem hanterades med viss insikt i numerisk
analys.
Del II # 15
(0/4/⊗)
Korrugerad plåt
Givet är amplituden 0,05 m då blir
A = 0,05.
Perioden är 20 cm då blir
2π
k =
= 10 π.
0,20
Det första steget i lösningen är att beräkna kurvans längd s över en period.
0,20 √
s = ∫
1 + [f ′ (x)]2 dx
0
där
f ′ (x) =
π
A k cos kx = cos(10π x).
®®
2
0,05 10π
Integralen blir
√
π
s = ∫
1 + [ cos(10π x)]2 dx
2
0
som är den längd plan plåt som krävs för att göra en korrugerad plåt med längden 0,20
meter. Hur löser vi integralen?
√ I πFORMELSAMLINGEN saknas primitiv funktion till 7(8)
integralen! Att skriva om 1 + ( 2 cos 10π)2 med hjälp av olika trigonometriska formler i
NUMERISKA METODER
FORMELSAMLINGEN
är inte heller någon framkomlig väg. Denna integral kan inte
knäckas (lösas) med matematiska metoder utan måste behandlas numeriskt. För detta
f (x )
väljer
vi trapetsmetoden
som finnsiterationsformel:
i FORMELSAMLINGEN
Ekvationslösning
Newton-Raphsons
x = x − tilln kursen MaD.
0,20
n +1
n
f ′( x n )
Intervallet a0 ≤ x ≤ an delas in i n delintervall.
Mittpunkten i varje delintervall betecknas x1 , x2 , ... , xn
Integraler
an
Rektangelmetoden:
∫ f ( x)dx =
a0
an
Trapetsmetoden:
∫ f ( x)dx =
a0
a n − a0
( f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ))
n
a n − a0
( f (a0 ) + 2 f (a1 ) + 2 f (a2 ) + ... + 2 f (an−1 ) + f (an ) )
2n
y ′ = f ( x, y ) ,noterar
steglängdvih att
DifferentialInnan
vi integrerar numeriskt
ekvationer
0,20
0,05
(integrand)
dx = 4 ⋅ ∫ y n(integrand)
dx
metod (tangentmetoden):
∫0 Eulers
+1 = y n + h ⋅ f ( x n , y n )
0
på grund av problemets symmetri. Vi beräknar alltså h

h 
Mittpunktsmetoden: y n+1 = y n + h ⋅ f  xn + , y n + ⋅ k  där k = f ( x n , y n )
2
2 

© G Robertsson
TRIGONOMETRI
Definitioner
ABC är en rätvinklig triangel.
a
 motstående katet 
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaD v2005
34(34)
√
π
1 + [ cos(10π x)]2 dx
∫0
2
med trapetsmetoden som är den längd plan plåt som går åt för att göra 5 cm korrugerad
plåt.
0,05
x
0
4
1
4
2
4
3
4
4
4
cm
0,0000
0,0125
0,0250
0,0375
0,0500
10πx
cos(10πx)
0
1
π
8
π
4
3π
8
π
2
1,00000
0,92388
0,70711
0,38268
0,00000
π
2
√
cos(10πx)
1 + [ π2
1,57080
1,45123
1,11072
0,60112
0,00000
kurvlängd för 5 cm korrugerad plåt
=
cos(10π x)]2
Trapetsmetod
n=1
n=2
n=4
1,8621
1,7624
1,4946
1,1668
1,0000
1,8621
1,0000
1,0000
1,8621
3,5248
2,9891
2,3335
1,0000
Σ
2,8621
0,07155
5,8512
0,07314
11,7096
0,07318
0,05
2n Σ
1,8621
2,9891
För att göra 0,05 m korrugerad plåt åtgår 0,073 m plan plåt.
Svar För 5 m korrugerad plåt åtgår 7,3 m plan plåt.
√
Kommentar Figuren nedan visar integrand, 1 + [ π2 cos(10π x)]2 , och
approximationen med trapetsregel för fallen n = 1, 2 och 4. För ett problem som detta är
det rimligt att använda n = 2 eller bättre n = 4, n = 1 ska du inte använda.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
© G Robertsson
●
●
●
2015-04-06

Inneh˚all - Kursplanering

Transcription

Similar documents

Dugga 2 i Algebra

Facit till Tentamen (TEN1) TMEI01 Elkraftteknik 16:e Mars, 2015, kl

Document

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Robert Algervik

Uppgifter 2015 - Atomic Physics

Formelsamling för matstat-delen av TMS063 Räknetekniker

Cosinussatsen - Iceclimbers.net

Föreläsning 8

1 Exempel 1 med trigonometriska termer

Lösning januari 2015 - Chalmers tekniska högskola