Høsten 2015

Høsten 2015
1
Oppgave 2
p: Det snør
q: Det er kaldt
p bare hvis q blir: p → q eller det kontrapositive ¬ q → ¬ p
Både p og q blir: p ∧ q
Verken p eller q blir: ¬ p ∧ ¬ q eller ¬( p ∨ q)
q hvis ikke p blir: ¬ p → q
ikke p og ikke q blir : ¬ p ∧ ¬ q (Når det er oppholdsvær snør det ikke, og når det
er varmt er det ikke kaldt)
f) q er tilstrekkelig for p blir: q → p
g) «Det er nødvendig at q for p», kan omskrives til «q er nødvendig for p» og blir: : p
→ q.
Det at q er nødvendig p for å betyr at hvis p er usann så må q være usann og kan
oversettes til ¬ p → ¬ q. Men dette er det kontrapositive utsagnet til p → q og
dermed det samme.
a)
b)
c)
d)
e)
Oppgave 3
P(x) : x har en Mac Q(x) : x har en iPad
a) «Det er en student som . . . » betyr at «det finnes en x som . . ». Dermed må vi bruke
eksistenskvantoren. Med andre ord slik: x(P(x) Q(x))
b) Når vi har «Alle» må vi bruke all-kvantoren, dvs. slik: x(P(x) Q(x))
c) «Det finnes en . . » betyr at vi må bruke eksistenskvantoren:
x(P(x) Q(x))
d) Dette kan vi skrive slik: For alle studenter gjelder at hvis studenten har en iPad, så har
studenten en Mac. «For alle» gir at vi må bruke all-kvantoren og «hvis» at vi har en
implikasjon. Dette kan settes opp slik:
x(Q(x)P(x)) . Det er mulig å skrive det annerledes. Husk at hvis a og b er to
utsagn, så er ab ekvivalent med a b. Dermed får vi at x(Q(x)P(x)) er
ekvivalent med x(Q(x) P(x)) som igjen er ekvivalent med (DeMorgans lov)
x(Q(x) P(x)) . Dette oversettes til: «Det er ingen studenter som har iPad uten at
de har Mac.»
e) «Det er ingen» betyr at vi må bruke eksistenskvantoren med et ikke foran. Dvs. slik:
x((P(x)Q(x))) . Det er ekvivalent med (DeMorgans lov): x(P(x)Q(x)).
2
Oppgave 7
i) AB = {3, 4, 5}
ii) AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
iii)
= {6, 7, 8}
iv)
= {1, 2, 8}
vi)
= {1, 2, 6, 7, 8}
vii)
= { 1, 2, 6, 7, 8}
3
viii)
={8}
ix)
={8}
Oppgave 9
La D være mengden av de som tar Diskret matematikk, P de som tar Programmering og W de
som tar Webprosjekt. En oppgave av denne typen kan løses på flere måter. En måte er å bruke
formler for antall i mengder. En annen måte er å «fylle ut» et Venn-diagram. Det er normalt
enklest å bruke Venn-diagram.
1) Formler for antall i mengder
Inklusjon-eksklusjonsformelen sier at
| DPW| | D| | P | |W| | DP | | DW| | PW| | DPW|
a) Vi får | DPW| = 180 + 166 + 178 – 156 – 160 – 152 + 150 = 206. Dvs. 206 som tar
minst ett emne. Da blir det 220 – 206 = 14 som ikke tar noen emner.
b) Vi skal finne antallet i DP W. Denne mengden er lik DP DPW og
siden DPW er en delmengde av DP får vi at | DP DPW| blir lik
| DP | | DPW|. Dermed blir svaret 156 – 150 = 6.
c) På samme måte som i b) kan vi finne at |DWP | = 10 og | PWD| = 2. Svaret
blir derfor 6 + 10 + 2 = 18.
d) Her skal vi finne antallene i D(WP), P (DW) og W(DP).
Antallet i D(WP) er lik antallet i DD(WP) og | DD(WP) | =
| D| | D(WP) |. Videre har vi at D(WP) (DW) (DP). Dermed
blir | D(WP) | | DW| | DP | | DPW| . Til sammen får vi at
|D(WP) | = 180 – (160 + 156– 150) = 14. Antallet til P (DW) blir 8 og antallet
til W(DP) blir 16. Svaret blir derfor 14 + 8 + 16 = 38.
2) Bruk av Venn-diagram
4
Dette er normalt den enkleste og raskeste metoden. Opplysningene legges inn i et
Venndiagram slik at hvert tall står for antallet elementer i den delen der tallet står. Da
starter vi med å fylle området i midten. Det representerer mengden DPW der antallet er
150. Så fortsetter vi utover. Mengden DP har to deler. Det er DPW og DP DPW.
Siden antallet i DP er 156 og antallet i DPW er 150, blir antallet i DP DPW
lik 156 – 150 = 6. Osv. Det gir oss flg. utfylte Venn-diagram:
a) Her skal vi finne antallet i mengden U (D P W). Det blir 220– 206 = 14
b) Her skal vi finne antallet i mengden (D P) W. Det blir 6.
c) Her skal vi finne antallet i mengden ((D P) W) ((P W) D) ((D W) P).
Det blir 6 + 10 + 2 = 18.
d) Her skal vi finne antallet i mengden (D(P W) (P (D W) (W (D P)) .
Det blir 14 + 8 + 16 = 38.
Oppgave 9
5
Vi ser at f er en-til-en siden det ikke går mer enn én pil inn til noe element i B. f er også på
siden det går en pil til alle elementene i B.
Funksjonen g er derimot ikke en-til-en siden det går to piler inn til elementet x. Men g er på
siden det går en pil til alle elementene i C.
Vi får h(1) x, h(2) y , h(3) x og h(4) z . Funksjonen h har ingen invers siden den
ikke er en-til-en.
Oppgave 10
6
7