8 Eksamens trening

384
8 Eksamenstrening
8 Eksamens trening
Uten hjelpemidler
E1 (Kapittel 1)
Polynomfunksjonen P er gitt ved
P (x ) = x 3 − 7x 2 + 14x − 8, DP = .
a Det kan vises at alle heltallige løsninger av P(x) = 0 går opp i
konstantleddet (−8).
Bruk dette til å finne et nullpunkt.
b Faktoriser P(x) i førstegradsfaktorer.
x 3 − 7x 2 + 14x − 8
≥ 0.
c Løs ulikheten
x2 − 1
(Eksamen våren 2014)
E2 (Kapittel 1)
På figuren er det tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved
f (x ) = (x − 1)(x − 3) og g (x ) = x − 1
En elev skulle bestemme skjæringspunktene mellom grafene ved regning.
Eleven besvarte oppgaven slik:
y
5
f (x ) = g (x )
(x − 1)(x − 3) = x − 1
f
4
(x − 1) ⋅ (x − 3) = (x − 1)
g
(x − 3) = 1
x = 4
y = 4 −1= 3
3
2
1
Skjæringspunktet er (4 , 3).
–2
a Kommenter elevens besvarelse.
b Bestem skjæringspunktene
mellom grafene ved regning slik
du mener oppgaven bør løses.
(Eksamen høsten 2012)
–1
1
–1
–2
2
3
4
5
x
Uten hjelpemidler
E3 (Kapittel 1)
En polynomfunksjon f er gitt ved
f (x ) = x 3 + ax 2 − 13x + 15 .
a Bestem a slik at f(x) blir delelig med (x − 1).
b Løs ulikheten f (x ) f 0 for denne a-verdien.
(Eksempeloppgave 2014)
E4 (Kapittel 1)
La p være et oddetall større enn 1.
p 1
p 1
a Forklar at
og
begge er hele tall.
2
2
2
2
⎛ p + 1⎞ − ⎛ p − 1⎞
.
b Regn ut ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
Bruk resultatet til å skrive 151 som differansen mellom to kvadrattall.
(Eksamen våren 2014)
E5 (Kapittel 2)
Sammenhengen mellom lydstyrken L dB (desibel) og lydintensiteten I W/m2
er gitt ved
I
L = 10 ⋅ lg .
I0
I0 = 10−12 er en konstant.
a Vis at formelen kan skrives som
L = 10 ⋅ lgI + 120
b På en arbeidsplass blir lydintensiteten målt til 10−4 W/m2.
Hvor mange desibel er lydstyrken på arbeidsplassen?
c På en klassefest blir lydstyrken målt til 100 dB.
Hvilken lydintensitet svarer det til?
(Eksamen høsten 2014)
E6 (Kapittel 2)
Skriv disse tallene fra størst til minst:
103lg2
0,01
lg1001
ln e
E7 (Kapittel 1 og 2)
Skriv så enkelt som mulig.
x +1
x
1
−
+
a
x + 6 x 2 − 36 x 2 − 6x
⎛ a3 ⎞
c ln a ⋅ b 2 − 2ln ⎜ ⎟ + ln a5
⎝ b⎠
(
)
( )
(10 )
−2 2
3
b
0,027
lg0,13
a −2 ⋅ ab 0
(ab )
−2 −1
d lg x lg
x
100
385
386
8 Eksamenstrening
E8 (Kapittel 1 og 2)
Løs likningene og ulikhetene.
x
1
=
a
b lg10x " 2
x + 1 1− x2
c
ex
e
2
3
2
−7
d lg x − lg (x + 2) = 1
=1
⎛ 3⎞
⋅⎜ ⎟
⎝ 4⎠
x2 − x
2
3
8
=
f
3 ⎛ 2⎞ x
9
⋅⎜ ⎟ ≤
2 ⎝ 3⎠
4
h ln (x − 8) < 0
g e2x − 5 ⋅ ex > 0
E9 (Kapittel 1 og 2)
Du skal i denne oppgaven ta for deg logaritmeuttrykkene
0,001
f (x ) = lg x 4 + lg2x og g (x ) = lg 3 x − lg
.
3 2
x
a Vis at vi kan forenkle til f (x ) = 5lg x + lg2 og g (x ) = lg x + 3.
f (x ) − lg2
b Løs ulikheten
< 1.
g (x ) + 1
E10 (Kapittel 3)
Nedenfor er grafen til en funksjon f gitt der Df = ← , 2 ∪ 2 , → .
Bestem hvor funksjonen er kontinuerlig, ikke kontinuerlig, deriverbar og
ikke deriverbar.
Avgjør om grafen til f har topp- eller bunnpunkter.
y
3
2
f
1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
(Eksempeloppgave 2012)
E11 (Kapittel 3)
Funksjonen f er gitt ved
f (x ) = x 3 − x , Df = .
Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at f ′(x ) = 3x 2 − 1.
(Eksamen høsten 2014)
7
8 x
Uten hjelpemidler
E12 (Kapittel 1 og 3)
x3 + 1
Ta for deg den rasjonale funksjonen g gitt ved g (x ) = 2
.
x
+ 2x 3
a Løs ulikheten g (x ) f 0 .
b Bestem likningen for eventuelle horisontale og vertikale asymptoter for
grafen til g.
E13 (Kapittel 2 og 3)
Ta for deg funksjonen f gitt ved f (x ) = 3lg (x + 6).
a Forklar at Df = −6 , → .
b Bestem nullpunktet til f ved regning.
c Gitt at lg2 ~ 0,3, og at lg5 ~ 0,7.
Vis nødvendige beregninger, og skriv av og fyll ut tabellen.
x
−5,5
–5
−4
−2
−1
2
4
f(x)
d Tegn grafen til f.
e Løs ulikheten 3lg(x + 6) ≤ 2 grafisk.
E14 (Kapittel 4)
Deriver funksjonene.
a f (x ) = 0,05x 3 + 5ln x − e− x
2x − 1
c h(x ) =
x +1
b g (x ) " x 4e2x
kx
d i (x ) " kx
e
E15 (Kapittel 4)
Den deriverte av en funksjon f er gitt ved f ′(x ) = (2 − x ) ln x .
Bestem eventuelle ekstremalpunkter for f.
E16 (Kapittel 4)
Funksjonene f og g er gitt ved
f (x ) = x 2 + 2
g (u ) = 2u − 2
Bestem minimumsverdien til g (f (x )).
(Eksempeloppgave 2012)
f’(x)
2
(–2,1 , 1)
(–0,9 , 0)
(–3 , 0)
–4
–3
1
–2
–1
(1 , 0)
1
–1
(0,2 , –0,9)
2 x
E17 (Kapittel 4)
Figuren viser grafen til den deriverte av en
funksjon f.
Bruk figuren til å finne
a ekstremalpunktene til f
b monotoniegeneskapene til f
c for hvilke x-verdier f ′′(x ) = 0
d hvor grafen til f vender den hule siden opp
387
388
8 Eksamenstrening
y
3
2
1
–4
–3
–2
–1
1
2
3
x
E18 (Kapittel 4)
Figuren viser grafen til den deriverte av en
funksjon f.
a I hvilket intervall stiger grafen til f, og i
hvilket intervall synker den?
b Grafen til f går gjennom punktet P = (−3 , 5) .
Finn likningen for tangenten til grafen f i
punktet P.
–1
E19 (Kapittel 4)
a Bestem hvilken graf til venstre som er grafen
til f, f′ og f′′.
b Forklar sammenhengen mellom de tre
grafene når det gjelder
ä WRSSRJEXQQSXQNWS§JUDIHQWLOf
ä YHQGHSXQNWS§JUDIHQWLOf
(Eksempeloppgave 2012)
y
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
–1
1
2
3
x
–0,5
E20 (Kapittel 1 og 4)
Ta for deg polynomfunksjonen P gitt ved P (x ) = x 4 + 5x 3 + 3x 2 − 9x .
a Skriv P (x ) som et produkt av førstegradsfaktorer.
b Bestem likningen for tangenten til grafen til P i punktet (2 , P (2)) .
E21 (Kapittel 2 og 4)
Funksjonen h er gitt ved
h(x ) = x x , x > 0
a Forklar at vi kan skrive h(x ) = ex ⋅ln x .
b Bestem h e(x ) .
(Eksamen våren 2014)
389
Uten hjelpemidler
E22 (Kapittel 2 og 4)
ex
Ta for deg logaritmefunksjonen L gitt ved L(x ) = ln x 2 − ln 5 .
x
a Vis at funksjonsuttrykket for L kan omformes til L(x ) = 7ln x − x .
b Løs ulikheten L(x ) + x ≤ 0.
c Bestem koordinatene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på
grafen til L.
E23 (Kapittel 3 og 4)
Funksjonen f er gitt ved
f (x ) = x 3 − 3x 2 , x ∈ −1, 4 .
a Bestem eventuelle null-, topp- og bunnpunkter på grafen til f.
b Tegn en skisse av grafen til f.
c Bestem likningen for tangenten i det punktet på grafen der x = 1.
Forklar hvorfor denne tangenten kalles en «vendetangent».
(Eksempeloppgave 2014)
E24 (Kapittel 5)
På figuren til høyre har vi tegnet
kvadratene ABCD og AEFC.
Vi setter siden i kvadratet ABCD lik a.
a Vis at kvadratet AEFC har dobbelt
så stort areal som kvadratet ABCD.
b Konstruer et kvadrat med areal
eksakt lik 50 cm2.
(Eksamen høsten 2014)
D
A
C
a
E25 (Kapittel 5)
Et linjestykke med lengde x er gitt:
B
F
E
x
1
I en trekant ABC er AB " x , AC " x og ∠C = 90°.
4
a Konstruer UABC .
b Konstruer den innskrevne sirkelen til UABC .
E26 (Kapittel 5)
I UABC er sidene a, b og c slik figuren viser.
Den innskrevne sirkelen i trekanten har sentrum S og radius r.
C
a Vis at vi kan uttrykke arealet T av
trekanten ved
1
T = ⋅ r ⋅ (a + b + c )
a
r
r
2
b
b Konstruer trekanten med den
S
innskrevne sirkelen når
r
a = 5 cm, b = 4 cm og c = 6 cm.
Skriv konstruksjonsforklaring.
A
c
B
390
8 Eksamenstrening
E27 (Kapittel 5)
I en rettvinklet UABC er det innskrevet en sirkel med radius r.
Trekantens sider tangerer sirkelen i D, E og F. Vi setter BE = α og EC = β .
C
E
r
F
S
r
r
A
B
D
a Forklar at CF = β og BD = α , og at arealet av trekanten ABC er gitt ved
AUABC = (α + β ) ⋅ r + r 2.
Pytagorassetningen brukt på UABC gir at (α + r )2 + (β + r )2 = (α + β )2.
b Vis at denne likningen kan omformes til
r 2 + (α + β ) ⋅ r = α ⋅ β
og videre at
AUABC = α ⋅ β
c Vi setter α = 3 og β = 2 . Bestem AUABC og r.
(Eksempeloppgave 2014)
E28 (Kapittel 5)
På figuren nedenfor er ACB en halvsirkel med sentrum i O, og AEC er en
halvsirkel med sentrum i D. ∠CAB = ∠ABC = 45°.
a Konstruer figuren nedenfor når du setter r = 5,0 cm. Ta med
konstruksjonsforklaring.
b På figuren nedenfor har Hippokrates-månen blå farge.
Vis ved regning at arealet av Hippokrates-månen er lik arealet av UAOC
når radien i halvsirkelen ACB er r.
E
C
D
r
45°
A
45°
r
(Eksamen våren 2013)
O
r
B
Uten hjelpemidler
E29 (Kapittel 6)
5
Du får oppgitt de to vektorene u = ⎡⎣t 2 , 3 ⎤⎦ og v = ⎡2 , t − ⎤ .
⎢
3 ⎦⎥
⎣
a Bestem u š v .
b Bestem t ved regning slik at u og v blir ortogonale vektorer.
c Finn t slik at v blir parallell med x-aksen.
5
d 1 Forklar hvorfor v har sin minste verdi for t " .
3
2 Finn den minste lengden v kan ha.
e Bestem t slik at u " 5 .
E30 (Kapittel 5 og 6)
En sirkel er gitt ved likningen
x 2 + y 2 − 4x + 6y − 12 = 0
Bestem sentrum og radius i sirkelen.
(Eksempeloppgave 2014)
E31 (Kapittel 5 og 6)
To sirkler S1 og S2 er gitt ved
S1 : x 2 + y 2 = 25
S2 : (x − a)2 + y 2 = 9
a Tegn sirklene i et koordinatsystem når a = 6.
b For hvilke verdier av a vil sirklene tangere hverandre?
(Eksamen høsten 2013)
E32 (Kapittel 2 og 6)
En partikkel har posisjonsvektoren
r (t ) = [ 4ln(t + 1) , t − 4 ] , t ∈ [0 ,11]
Du får vite at ln2 ~ 0,7, ln3 ~ 1,1 og ln5 ~ 1,6.
a Finn skjæringspunktene mellom grafen til r og koordinataksene.
b Tegn grafen til r .
c Finn fartsvektoren v (t ).
d Finn v (4), og tegn den på figuren i oppgave b.
391
392
8 Eksamenstrening
E33 (Kapittel 4, 5 og 6)
Funksjonen f er gitt ved f (x ) = x 2 + 2.
En tangent på grafen til f i punktet (x1 , y 1) er gitt ved
y − y 1 = f ′(x1)(x − x1)
En normal på grafen til f i (x1 , y 1) er gitt ved
1
y − y1 =
(x1 − x )
f ′(x1)
a Vis at tangenten og normalen på grafen til f i punktet (1 , 3) er gitt ved
y Tangent = 2x + 1
y Normal = −0,5x + 3,5
b Bestem parameterframstillinger for tangenten og normalen, og vis at de
står vinkelrett på hverandre.
(Eksempeloppgave 2012)
E34 (Kapittel 1, 2, 3, 4 og 6)
Sett inn ett av symbolene ⇔, ⇒ eller ⇐ mellom utsagnene.
Skriv i hvert tilfelle en begrunnelse for valget ditt.
a lg x ! 5
b u +v = 0
c
0 ! x ! 100 000
u v
2+x = 4−x
3x
d f ′(x ) = 3e
x =2 ∨ x =7
f (x ) = e3x
e La f være en rasjonal funksjon.
2 er nullpunkt for nevneren i f(x)
x = 2 er vertikal asymptote for
grafen til f
E35 (Kapittel 7)
Fra en gruppe på 7 jenter og 5 gutter skal det trekkes ut 3 representanter.
Bestem sannsynligheten for at 2 jenter og 1 gutt representerer gruppa hvis
uttrekket er tilfeldig.
(Eksempeloppgave 2014)
E36 (Kapittel 7)
På en skole går det en tredel gutter og to tredeler jenter.
Skolen skal ha aktivitetsdag, og elevene kan velge mellom ballspill og
natursti. Tre firedeler av guttene og halvparten av jentene har valgt ballspill.
Vi velger tilfeldig én elev og ser på hendelsene:
G: eleven er en gutt
B: eleven har valgt ballspill
a Bestem sannsynlighetene P (B | G ) og P (B ).
b Bestem sannsynligheten P (G | B ) .
Uten hjelpemidler
E37 (Kapittel 7)
Et quizlag er med i en konkurranse.
I første omgang får laget åtte spørsmål. For hvert av de åtte spørsmålene er
det gitt to svaralternativer, hvorav ett er riktig.
a På hvor mange måter kan laget svare på de åtte spørsmålene?
I andre omgang får laget oppgitt seks mulige temaer, og de skal velge to av
dem.
b På hvor mange måter kan laget velge de to temaene?
Det er to gutter og to jenter på quizlaget. I tredje omgang skal bare to av dem
svare på spørsmålene.
c Laget bestemmer seg for å trekke lodd om hvem som skal svare.
Hva er sannsynligheten for at én gutt og én jente blir trukket ut?
E38 (Kapittel 7)
Ved en videregående skole går det 40 % jenter og 60 % gutter. Helsesøsteren
ved skolen fikk gjennomført en undersøkelse om elevenes bruk av snus.
Den viste at 20 % av guttene og 10 % av jentene snuste jevnlig.
Vi velger tilfeldig én elev og ser på hendelsene:
J: eleven er en jente
S: eleven bruker snus
a Forklar med ord hva vi mener med J Š S , og finn sannsynligheten for
denne hendelsen.
b Finn P (S ) og P (J | S ), og forklar hva disse sannsynlighetene betyr.
c Er hendelsene J og S uavhengige?
E39 (Kapittel 7)
Du har to terninger. Terning A er en vanlig terning med seks sider og
verdiene 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Terning B har også seks sider. Men på denne
terningen har to av sidene verdien 1, to av sidene har verdien 2, og to av
sidene har verdien 3.
Du trekker tilfeldig én av terningene og kaster den to ganger.
a Hva er sannsynligheten for at du får treer i begge kastene?
Du fikk treer i begge kastene.
b Hva er sannsynligheten for at du kastet med terning B?
E40 (Kapittel 7)
Koden til en kodelås består av fire bokstaver.
Hver av de fire bokstavene kan velges blant bokstavene A, B, C, D og E.
a Hvor mange koder kan du lage til denne låsen?
b Hvor mange koder kan du lage der alle bokstavene er forskjellige?
c Hvor mange koder kan du lage der minst to bokstaver er like?
393
394
8 Eksamenstrening
Med hjelpemidler
E41 (Kapittel 1)
Når grafen til en polynomfunksjon tangerer x-aksen i x = a, har funksjonen
minst to ulike (sammenfallende) nullpunkter i x = a.
y
y
y
8
9
8
2
Figur 1
x
–1
3
x
Figur 2
–2
2
Figur 3
a Grafen til en andregradsfunksjon f er vist på figur 1.
Grafen tangerer x-aksen i x = 2. Forklar at f (x ) = 2 ⋅ (x − 2)2.
b Grafen til en tredjegradsfunksjon g er vist på figur 2.
Grafen tangerer x-aksen i x = 3.
Forklar at funksjonsuttrykket til g kan skrives på formen
g (x ) = k ⋅ (x − 3)2 ⋅ (x + 1). Bestem k.
c Grafen til en fjerdegradsfunksjon h er vist på figur 3.
Grafen tangerer x-aksen i x = −2 og i x " 2 .
Bestem funksjonsuttrykket h(x).
(Eksamen høsten 2013)
E42 (Kapittel 1)
Tallene 1, 3, 6, 10, 15, … kalles trekanttall. For lettere å forstå hvordan de
framkommer, er det vanlig å illustrere dem som halve rektangler.
Nedenfor ser du de fire første.
a Forklar at det n-te trekanttallet er gitt ved
n(n 1)
.
2
Tallene 1, 4, 9, 16, 25, … kalles kvadrattall.
Det n-te kvadrattallet er gitt ved n 2 .
Oldtidsgrekeren Plutark formulerte følgende sammenheng mellom
trekanttall og kvadrattall:
Et hvilket som helst trekanttall vil gi et kvadrattall hvis det multipliseres med
åtte, og dette produktet så adderes til én.
b Vis at Plutarks setning gjelder for de fire første trekanttallene.
c Hvilket kvadrattall fås ifølge Plutark fra trekanttall nummer hundre?
d Bevis Plutarks setning.
x
Med hjelpemidler
E43 (Kapittel 1)
Du skal her ta for deg uttrykket U (n) = 25n − 1, der n er et naturlig tall.
a 1 Regn ut U (1), U (2) og U (3).
2 Undersøk om svarene er delelig med 3.
b Begrunn at U (n ) = 5n − 1 ⋅ 5n + 1 .
c Bevis at U (n ) er delelig med 3 for alle naturlige tall n.
(
)(
)
E44 (Kapittel 1)
I denne oppgaven skal vi undersøke påstanden:
Alle primtall som er større enn 2, kan skrives som differansen mellom to kvadrattall.
a Skriv av og fyll ut tabellen.
Primtall
Naturlige tall
Kvadrattall
Differanse
p
n1
n2
n21
n22
n21 − n22
3
2
1
2
2
12
3
2
2
2
5
5
3
2
3
7
4
3
42
32
7
5
2
2
11
11
6
6
5
13
17
19
I tabellen er p primtall, og n1 og n2 er naturlige tall, slik at
n1 + n2 = p
n1 − n2 = 1
p +1
p −1
b Vis at vi kan skrive n1 =
og n2 =
.
2
2
c Bevis at påstanden i ruta ovenfor er riktig.
(Eksamen våren 2011)
E45 (Kapittel 2)
Vi skal løse likningen nedenfor med hensyn på x.
x lg x
nn ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟
= x n , x > 0, n > 0
⎝n⎠
a Vis at denne likningen kan omformes til
lg x
n
⎛x⎞
⎛x⎞
lg ⎜ ⎟
= lg ⎜ ⎟
⎝n⎠
⎝n⎠
b Vis at denne likningen videre kan skrives
(lg x − n) ⋅ (lg x − lgn) = 0
c Bruk likningen i oppgave b til å bestemme x uttrykt ved n.
(Eksamen våren 2014)
395
396
8 Eksamenstrening
E46 (Kapittel 2 og 3)
Mediebedriftenes Landsforening (MBL) publiserer hvert år lesertall for alle
norske aviser. De siste årene har en rekke aviser opplevd en dramatisk
nedgang i lesertallene sine. Tallene fra MBL viser at i 2012 hadde papirutgaven til avisen Verdens Gang (VG) en nedgang i antallet lesere på 10 %.
Avisen Dagbladets papirutgave hadde en nedgang på 6 % i samme periode.
Vi antar at den prosentvise nedgangen for VG og Dagbladet holder seg
konstant i årene som kommer. VG hadde ved utgangen av 2012 i snitt
663 000 lesere, mens Dagbladet hadde 326 000 lesere.
a 1 Hvor mange lesere hadde VGs papirutgave ved utgangen av 2013?
2 Hvor mange lesere vil Dagbladet ha ved utgangen av 2017?
b Hvor lang tid vil det ta før Dagbladet har mistet 100 000 lesere?
I motsetning til VG og Dagbladet opplevde avisen Dagens Næringsliv (DN) en
oppgang i antallet lesere av sin papirutgave. DN økte med 3,4 % i
2013-målingen til 272 000 lesere.
c Løs ulikheten 272 000 ⋅ 1,034t ≥ 350 000. Hva forteller svaret?
d Forklar med ord hva vi finner ut ved å løse ulikheten
272 000 ⋅ 1,034t ≥ 326 000 ⋅ 0,94t .
e 1 Løs ulikheten i oppgave d ved å bruke CAS.
2 Løs ulikheten i oppgave d ved å bruke graftegner.
E47 (Kapittel 3 og 4)
Et jordlag har et visst vanninhold v(t) som er gitt ved funksjonen
v (t ) = 10 − 8,2 ⋅ e−0,2t , t ∈ [0 , 24 ]
der v(t) er målt i millimeter (mm), og t måles i timer (h).
a Tegn grafen til v og bestem vanninnholdet i jordlaget etter 5 h.
b Bestem v e(4). Hva forteller dette svaret?
c Forklar hvordan v e(t ) endrer seg etter hvert som timene går.
Hva forteller dette om vanninnholdet?
(Eksempeloppgave 2012)
E48 (Kapittel 4)
En funksjon f er gitt ved
f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , Df = .
Grafen til f har toppunkt T når x = p og
bunnpunkt B når x = q.
Bruk CAS til å vise at x-koordinaten til
vendepunktet V (infleksjonspunktet) ligger
midt mellom x-koordinaten til toppunktet og
x-koordinaten til bunnpunktet.
(Eksempeloppgave 2014)
y
T
f
V
B
p
r
q
x
Med hjelpemidler
E49 (Kapittel 4)
s
s
Sideflate: Urs
s
h
2Ur
r
r
Bunn: Ur2
En rett kjegle skal ha volum på 0,5 L = 0,5 dm3.
Bestem radius og høyde i kjegla slik at overflaten av kjegla blir minst mulig.
(Eksempeloppgave 2012)
E50 (Kapittel 4)
En rett linje har negativt stigningstall a
og går gjennom punktet (2 , 1).
B
Linja skjærer x-aksen i punktet A og
y-aksen i punktet B.
a Vis at likningen for den rette linja er
(2 , 1)
y = ax − 2a + 1 for a < 0.
b La F(a) være arealet av UOAB .
O
−(2a − 1)2
Vis at F (a) =
.
2a
c Bestem likningen for den rette linja når F(a) er minst mulig.
(Eksempeloppgave 2012)
A
E51 (Kapittel 4)
Funksjonen f er gitt ved
f (x ) = 6x ⋅ e
−
x2
8 ,
Df = .
a Bruk produktregelen og kjerneregelen til å vise at
x2
−
3
f ′(x ) = (4 − x 2 ) ⋅ e 8
2
b Tegn grafen til f e for x ∈ −6 , 6 .
c Bruk grafen til f e til å bestemme eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter
på grafen til f.
(Eksamen våren 2014)
397
398
8 Eksamenstrening
E52 (Kapittel 4)
Vi skal lage et kar med form som et rett prisme
uten lokk. Grunnflaten skal være et kvadrat med
side x dm, og karet skal ha høyde h dm. Vi vil
lage karet slik at det samlede overflatearealet
blir 12 dm2.
h
a Forklar at x 2 + 4xh = 12 .
x
x
Bestem et uttrykk for h.
b Bestem hvilke verdier x kan ha.
c Bestem et uttrykk for volumet V(x) av karet.
d Vi ønsker å fylle vann i karet. Bruk CAS til å bestemme x slik at karet
rommer mest mulig vann. Hvor mange liter blir det da plass til?
(Eksamen våren 2014, noe endret)
E53 (Kapittel 4)
y
Figuren til høyre viser grafen til funksjonen
f gitt ved
f (x ) = x 2 + 21, x ∈ 0 , → .
Rektanglet PSRQ lages slik at P ligger på
grafen til f, punktene S og R ligger på
x-aksen, og R og Q har førstekoordinat
x = 12. Punktet S ligger mellom origo og R.
a Forklar at arealet av rektanglet PSRQ
kan skrives som
A(x ) = −x 3 + 12x 2 − 21x + 252, x ∈ 0 , 12 .
b Bestem A e(x ) og bruk den til å bestemme
største og minste verdi som arealet av
rektanglet kan ha.
c Tegn grafen til A, og kontroller om
svarene dine fra oppgave b stemmer.
(Eksamen høsten 2013)
f
P
S(x , 0)
Q
R(12 , 0)
E54 (Kapittel 4)
En bonde har tapt et veddemål med naboen og må derfor gi fra seg et
sirkulært og et kvadratisk jordstykke. De to områdene skal inngjerdes med
til sammen 400 m gjerde, men bonden står fritt til å velge hvor stor del av
gjerdet som skal brukes til å gjerde inn hvert av de to jordstykkene.
La delen av gjerdet som brukes til å avgrense det sirkulære jordstykket,
være x m.
x2
a Vis at arealet S av det sirkulære jordstykket er gitt ved S (x ) =
,
4π
og at arealet K av det kvadratiske jordstykket er gitt ved
1 2
K (x ) =
x − 50x + 10 000 . Arealene er målt i m2.
16
b Hva er det minste arealet bonden må gi fra seg etter det tapte
veddemålet?
x
Med hjelpemidler
E55 (Kapittel 4)
1
x-linje
f’’(x)
0
a Hva forteller fortegnsskjemaet om grafen til f?
I tillegg til fortegnsskjemaet får du oppgitt at f ′(−1) = 0 og f ′(3) = 0.
b Tegn en graf som oppfyller opplysningene om f.
E56 (Kapittel 4)
2
På figuren ser du grafen til funksjonen f gitt ved f (x ) = e1 − x .
Under grafen er det innskrevet et rektangel ABCD med høyde h, der 0 ! h ! e.
y
D
C
A
x
B
a Vis at lengden av AB er 2 ⋅ 1 − ln h .
b Bestem det størst mulige arealet …ABCD kan få.
E57 (Kapittel 5)
Figuren til høyre er fra en leirtavle fra
Mesopotamia (ca. 1700 f.Kr.)
Babylonerne regnet ut radius r i sirkelen til
høyre ved å bruke pytagorassetningen.
Dette er trolig verdens eldste bruk av
pytagorassetningen, ca. 1200 år før
Pytagoras selv levde!
C
r
50
r
Bestem radius r i sirkelen ved hjelp av
pytagorassetningen.
(Eksempeloppgave 2014)
A
O
60
50
r
B
399
400
8 Eksamenstrening
E58 (Kapittel 5)
…ABCD er innskrevet i en sirkel der AC er diameter.
Buen AD " u , og buen BC " v .
Forlengelsene av AD og BC skjærer hverandre i P.
Vi setter ∠P = α . Tilsvarende skjærer
forlengelsene av AB og DC hverandre i Q,
D
u
og vi setter ∠Q = β .
a La u = 120° og v = 90°.
A
Forklar at da er ∠BAD = 75°.
b Vis at α = β = 15° i dette tilfellet.
c Vis at α = β for alle verdier av
v
B
u og v (når u | v ).
(Eksamen høsten 2012)
P
_
C
`
Q
E59 (Kapittel 5 og 6)
En sirkel har radius r " 2 10 og sentrum i punktet S = (4 , 4).
Punktet P = (19 , 9) ligger utenfor sirkelen.
En linje l gjennom P og S skjærer sirkelen i to punkter A og B, der A ligger
nærmest P.
a Finn en parameterframstilling for l.
b Finn eksakt verdi for avstanden mellom P og S, og mellom P og A.
c Bruk vektorregning til å finne koordinatene til A og B.
E60 (Kapittel 4 og 5)
En drage har målene 5,0 dm og 12,0 dm.
Se figuren til høyre.
a Vis at arealet av dragen kan beskrives
ved funksjonen A gitt ved
A(x ) = x
(
)
A
5,0 dm
5,0 dm
y
D
x
x
B
25 − x 2 + 144 − x 2 .
b Bruk graftegner til å bestemme det
største arealet dragen kan ha.
(Eksempeloppgave 2014)
h–y
12,0 dm
h
12,0 dm
C
Med hjelpemidler
E61 (Kapittel 4 og 5)
UDEF er innskrevet i UABC . Begge trekantene er likebeinte, og DE AB .
Vi setter DE = x.
Høyden fra C til AB er 8, og høyden fra F til DE er h. Videre er AF = FB = 3.
Se figuren.
C
x
D
E
h
A
3
F
3
B
a Forklar at UABC ~ UDEC . Bruk dette til å vise at
4
h = 8 − x.
3
b Bestem et uttrykk T(x) for arealet av UDEF .
c Bestem den største verdien av T(x). Forklar at UABC i dette tilfellet
består av fire kongruente trekanter.
(Eksamen høsten 2012)
E62 (Kapittel 6)
En fotballspiller tar frispark 30 m fra mål.
Ballens bane er tilnærmet gitt ved r (t ) = ⎡⎣25t , − 5t 2 + 8t ⎤⎦ .
Her er t tiden i sekunder.
a Framstill kurven grafisk. Velg t-verdier mellom 0 og 2.
b Hvor er ballen etter 1 sekund?
c Finn fartsvektoren og banefarten etter 1 sekund.
Tegn fartsvektoren i denne posisjonen på kurven.
d Finn akselerasjonsvektoren og absoluttverdien av akselerasjonen etter
1 sekund. Tegn akselerasjonsvektoren i denne posisjonen på kurven.
e Målet er 2,1 meter høyt. Går ballen over målet?
f Etter hvor mange sekunder er ballen høyest?
g Hvor stor fart har ballen når vinkelen mellom fartsvektoren og bakken er
10 grader?
401
402
8 Eksamenstrening
E63 (Kapittel 6)
Posisjonen til et fly A og posisjonen
til et fly B beskrives av
vektorfunksjonene a(t ) og b (t ) gitt ved
a(t ) = ⎡⎣70t + 2 ,140t 2 ⎤⎦ ,
t ∈⎡⎣0 , t1 ⎤⎦
b (t ) = ⎣⎡ −204t + 17 , 432t 2 − 72t + 3 ⎤⎦ , t ∈⎡⎣0 , t1 ⎤⎦
Fly A skal lette, mens fly B skal lande (ved tidspunkt t1). Tiden måles i timer,
og alle avstander måles i kilometer. Nedenfor ser du hvordan kursen er for
de to flyene. x-aksen ligger langs landingsbanen, mens høyden over
landingsbanen måles langs y-aksen.
y (km)
Høyde over landingsbane
Fly A
Fly B
P
Landingsbane
x (km)
a Bestem tidspunktet t1 for når fly B lander.
b Bestem farten til fly B når t = 0,08.
Vi ser at flyenes kurs krysser hverandre i punkt P.
c Avgjør om flyene vil kollidere.
(Eksempeloppgave 2014)
E64 (Kapittel 4 og 6)
En sirkel er gitt ved
x 2 + y 2 + 6x + 4 y − 12 = 0
a Bestem sirkelens sentrum og radius.
b Sirkelen har to tangenter for x = −2.
6
Vis at det eksakte stigningstallet til tangentene er t
.
12
(Eksempeloppgave 2012)
E65 (Kapittel 2, 3, 4 og 6)
En partikkel har posisjonsvektoren
r (t ) = ⎡⎣lnt , t 2 − 4t ⎤⎦ , t > 0
a Tegn grafen til r og bestem skjæringspunktene med koordinataksene ved
å bruke CAS.
b Bestem fartsvektoren v (t ) og bruk den til å bestemme eventuelle topp- og
bunnpunkter på grafen til r . Tegn inn v (1) på grafen.
1
c Vis at akselerasjonsvektoren er a (t ) = ⎡ − 2 , 2 ⎤ . Bestem a (t ) når t → ∞.
⎥⎦
⎢⎣ t
Kommenter svaret.
(Eksamen våren 2013, noe endret)
Med hjelpemidler
E66 (Kapittel 4, 5 og 6)
I et kvadrat ABCD med side 4 er det innskrevet et parallellogram EFGH.
Vi setter AE = CG = x og BF = DH = 2x. Se skissen nedenfor.
G x
D
C
2x
H
4
F
2x
A
x E
B
a Vis at arealet T av parallellogrammet EFGH er
T (x ) = 4x 2 − 12x + 16, x ∈ [0 , 2] .
b Bestem x slik at arealet av parallellogrammet EFGH blir halvparten av
arealet av kvadratet ABCD.
c Bestem x slik at arealet av parallellogrammet EFGH blir minst mulig.
Bestem det minste arealet.
Vi legger figuren inn i et koordinatsystem slik at A ligger i origo og B på
positiv x-akse.
d Bestem vektorene HE og HG uttrykt ved x, og bruk dette til å bestemme x
slik at parallellogrammet EFGH blir et rektangel.
(Eksamen høsten 2014)
E67 (Kapittel 7)
Ved et politikammer har de fått nye promilleapparater. Disse apparatene er
ikke 100 % pålitelige. Erfaringene med slike apparater er at hvis en person
er beruset, vil apparatet avsløre det i 98 % av tilfellene. Hvis en person ikke er
beruset, vil apparatet likevel indikere at personen er beruset i 0,2 % av
tilfellene. Politiet regner med at sannsynligheten er 1,2 % for at en tilfeldig
valgt bilist som blir kontrollert, er beruset. En tilfeldig bilist blir stoppet, og
promillen kontrollert.
a Hva er sannsynligheten for at apparatet vil indikere at personen er beruset?
b Anta at apparatet indikerer at personen er beruset.
Hva er sannsynligheten for at han virkelig er det?
E68 (Kapittel 7)
a Skriv opp alle primtallene fra og med 2 til og med 25.
25 like kuler som er merket med tallene fra og med 1 til og med 25, ligger
i en bolle. Vi trekker tilfeldig 5 kuler fra bollen uten tilbakelegging og leser
av tallene.
b Bestem sannsynligheten for at vi trekker ut akkurat 2 primtall.
c Bestem sannsynligheten for at vi trekker ut minst 3 primtall.
(Eksamen høsten 2014)
403
404
8 Eksamenstrening
E69 (Kapittel 7)
En skole vil arrangere aktivitetsdag. Det pleier å regne 8 % av dagene på
denne tiden av året. Værmeldingen har vært korrekt 90 % av de dagene det
faktisk regner. Når det har vært oppholdsvær, har meteorologene meldt regn
10 % av dagene.
Vi definerer hendelsene:
A: Det regner på aktivitetsdagen
B: Det er meldt regn på aktivitetsdagen
a Bestem P (A) og P (A ).
b Bestem P (B | A), P (B | A ) og P (B ).
Det er meldt regn den dagen skolen ønsker å arrangere aktivitetsdag.
c Bestem sannsynligheten for at det ikke regner denne dagen selv om det
altså er meldt regn.
(Eksamen våren 2012)
E70 (Kapittel 7)
I et lokallag av Natur og Ungdom er det 12 gutter og 16 jenter. Lokallaget
skal sende fire representanter til årsmøtet i fylkeslaget. Siden alle
medlemmene gjerne vil være med på årsmøtet, blir de enige om å trekke
lodd om hvem som skal representere lokallaget.
a Hva er sannsynligheten for at lokallaget blir representert med to gutter
og to jenter?
b Hva er sannsynligheten for at lokallaget blir representert med én gutt og
tre jenter?
c Hva er sannsynligheten for at lokallaget blir representert med minst én
av hvert kjønn?
I et annet lokallag av Natur og Ungdom er det 10 medlemmer.
Dette lokallaget velger to representanter til årsmøtet ved loddtrekning.
5
Sannsynligheten er for at lokallaget velger én gutt og én jente som
9
representanter til årsmøtet.
d Hvor mange gutter er det i lokallaget?
E71 (Kapittel 7)
På bordet står det to esker. Eskene er merket A og B.
Eske A inneholder to svarte, tre grønne og fem røde kuler.
Eske B inneholder tre svarte, tre grønne og fire røde kuler.
Mira velger tilfeldig én av eskene og trekker etter tur tre kuler fra den uten å
legge tilbake mellom hver trekning.
a Hva er sannsynligheten for at hun trekker tre røde kuler?
Mira trakk tre røde kuler.
b Hva er sannsynligheten for at Mira har trukket kulene fra eske A?
Med hjelpemidler
E72 (Kapittel 7)
I en klasse er det 12 gutter og 16 jenter.
Det skal trekkes ut en gruppe på 5 elever på en tilfeldig måte.
a Bestem sannsynligheten for at det blir med akkurat én gutt i gruppa.
44
Sannsynligheten er
for at et bestemt antall gutter blir med i gruppa.
117
b Hvor mange gutter blir det da med i gruppa?
Arne og Betsy går i klassen. Vi definerer følgende hendelser:
A: Arne blir med i gruppa.
B: Betsy blir med i gruppa.
c
1 26
(
1) ⋅ ( 3 )
Forklar at P (A | B ) =
og bestem sannsynligheten.
27
(4)
(Eksamen våren 2014)
E73 (Kapittel 7)
Ved en videregående skole skal elevene velge fag.
Hendelsene M og F definerer vi slik:
M : Eleven velger matematikk.
F : Eleven velger fysikk.
Vi får opplyst at P (M ) " 0,64 , P (F ) " 0,32 og P (M ∪ F ) = 0,30.
a Bestem P (M Š F ) og P (M Š F ).
b Bestem P (F | M ). Undersøk om hendelsene M og F er uavhengige.
c Bruk Bayes’ setning til å bestemme P (M | F ).
(Eksamen høsten 2013)
E74 (Kapittel 7)
Vi har røde og svarte kuler i en eske. Vi skal trekke tilfeldig to kuler uten
tilbakelegging. Vi definerer følgende hendelser:
A: Vi trekker to kuler med ulik farge.
B: Vi trekker to kuler med samme farge.
Anta at vi har 6 røde og 4 svarte kuler i esken.
a Bestem P(A).
b Bestem P(B).
Anta at vi har 6 røde og et ukjent antall svarte kuler i esken, og at
hendelsene A og B skal ha lik sannsynlighet.
c Hvor mange svarte kuler kan det være i esken?
(Eksamen våren 2013)
405