Oblig 1

MAT1140 H15: Obligatorisk oppgave 1
Innlevering: Innleveringsfristen er torsdag 1. oktober 2015, kl.14.30, og innleveringsstedet er 7. etasje i Niels Nenrik Abels hus. Oppgaven skal leveres med
en offisiell forside som du finner her:
https://www.mn.uio.no/math/studier/admin/obligatorisk-innlevering/obligforside.pdf
Se for øvrig
http://www.mn.uio.no/math/studier/admin/obligatorisk-innlevering/
for nærmer informasjon om obligatoriske oppgaver ved Matematisk institutt.
Husk spesielt å søke om utsettelse til studieinfo@math.uio.no før innleveringsfristen dersom du blir syk!
Instruksjoner: Oppgaven er obligatorisk, og studenter som ikke får besvarelsen
godkjent, vil ikke få adgang til avsluttende eksamen. For å få besvarelsen godkjent
må man ha minst 60% score, og det vil bli lagt vekt på at man har en klar og
ryddig besvarelse med gode begrunnelser. Alle delspørsmål (punktene 1, 2a), 2b)
osv.) teller like mye. Du kan få poeng på en oppgave selv om du ikke er kommet
frem til et svar, og det er derfor viktig at du leverer inn alt du har kommet frem
til. Er det et punkt du ikke får til, kan du likevel bruke resultatet derfra i resten
av besvarelsen. Studenter som ikke får sin opprinnelige besvarelse godkjent, men
som har vist at de har gjort et reelt forsøk på å løse oppgavene, vil få én mulighet
til å levere en revidert besvarelse.
Det er lov å samarbeide og å bruke alle slags hjelpemidler. Den innleverte
besvarelsen skal imidlertid være skrevet av deg og gjenspeile din forståelse av
stoffet. Alle svar skal begrunnes. Er vi i tvil om at du virkelig har forstått det
du har levert inn, kan vi be deg om en muntlig redegjørelse.
Oppgave 1: La X være mengden av alle par (a, b) der a, b ∈ R2 . Definér en
relasjon ∼ på X ved
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ b − a = d − c
Vis at ∼ er en ekvivalensrelasjon og beskriv ekvivalensklassene til ∼ geometrisk.
Oppgave 2: En node i en graf kalles et blad dersom den tilhører nøyaktig én
kant.
a) Vis at ethvert tre med minst én kant har minst to blader.
b) Anta at G = (V, E) er en graf, V 6= ∅, der hver node har minst to kanter.
Vis at G har en sykel.
1
Oppgave 3: I denne oppgaven er ≤ en total ordning på en ikke-tom mengde
X. Hvis a, b ∈ X og a < b, definerer vi det åpne intervallet (a, b) ved
(a, b) = {x ∈ X : a < x < b}
a) Vis at dersom c ≤ a og b ≤ d, så er (a, b) ⊆ (c, d).
b) Anta at {(an , bn )}n∈N er en voksende følge av åpne intervaller, dvs. at
an+1 ≤ an og bn ≤ bn+1 for alle n ∈ N. Anta dessuten at det finnes
elementer c, d ∈ X slik at c ≤ an og bn ≤ d for alle n. Vis at dersom (X, ≤)
harSden minste øvre skranke egenskapen (least upper bound property), så
er n∈N (an , bn ) et åpent intervall.
c) Vis ved et eksempel at konklusjonen i b) ikke behøver å gjelde når (X, ≤)
mangler den minste øvre skranke egenskapen.
Oppgave 4: I denne oppgaven er X en ikke-tom mengde. En familie T av
delmengder av X kalles en topologi dersom:
(i) ∅, X ∈ T .
(ii) Unionen
S av en familie av mengder i T er alltid selv i T , dvs. hvis O ⊆ T ,
så er O∈O O ∈ T .
(iii) Et endelig snitt av mengder i T er alltid selv i T , dvs. hvis O1 , O2 , . . . , On
er et endelig antall mengder i T , så er O1 ∩ O2 ∩ . . . ∩ On ∈ T .
(De to siste egenskapene oppsummeres gjerne ved å si at T er lukket under
vilkårlige unioner og endelige snitt).
a) Anta at T er en topologi på X. Kall en delmengde F av X lukket dersom
F c ∈ T (komplementer er med hensyn på X, dvs. F c = X \ F ), og la F
være familien av alle lukkede mengder. Vis at
(i) ∅, X ∈ F.
T
(ii) Hvis G ⊂ F, så er F ∈G F ∈ F.
(iii) Hvis F1 , F2 , . . . , Fn er et endelig antall mengder i F, så er F1 ∪ F2 ∪
. . . ∪ Fn ∈ F.
I resten av oppgaven antar vi at ≤ er en total ordning på en ikke-tom mengde
X.
b) Vis at enhver endelig delmengde A av X har et største element c og et
minste element d (dvs. det finnes elementer c, d ∈ A slik at d ≤ a ≤ c for
alle a ∈ A).
c) Vi antar nå at ordningen ≤ ikke har noe største eller minste element, og
vi definerer åpne intervaller i X på samme måte som i oppgave 3, dvs.
(a, b) = {x ∈ X : a < x < b}
når a < b. Vi kaller en mengde O ⊆ X åpen dersom det for hver x ∈ O,
finnes et åpent intervall (a, b) slik at x ∈ (a, b) ⊆ O (vi regner også ∅
som åpen siden den ikke inneholder noen x). Vis at familien av alle åpne
mengder er en topologi på X.
Lykke til!
2