Harjoitus 1

Elektrodynamiikka II, kl 2016
Harjoitus 1, 31.3.2016
Emme järjestä näiden tehtävien etukäteisesittelyä.
Ratkaisut palautetaan 29.3.2016 kello 12 mennessä.
1. Osoita huolellisella suoralla derivoinnilla, että
ϕ(r, t) =
1
4π0
Z
V
ρ(r0 , t − |r − r0 |/c)
dV 0
|r − r0 |
toteuttaa potentiaalin epähomogeenisen aaltoyhtälön.
2. Lähtien divergenssiteoreemasta todista Greenin ensimmäinen kaava
Z
(ϕ∇2 ψ + ∇ϕ · ∇ψ) dV =
V
I
ϕ∇ψ · n dS
S
ja Greenin teoreema (Greenin toinen kaava)
Z
(ψ∇2 ϕ − ϕ∇2 ψ) dV =
I
V
(ψ∇ϕ − ϕ∇ψ) · n dS .
S
3. Määritä ilma-atomien polarisoituvuus ilmamolekyyleissä N2 ja O2 käyttäen
Clausiuksen ja Mossottin yhtälöä. Laske tämän avulla ilmamolekyylin atomin
keskimääräinen säde (vihje Reiz, Milford, Christie, kappale 5–2).
4. Klassinen elektroni liikkuu protonin sähköstaattisen vetovoiman alaisena ympyrärataa, jonka säde on 5, 3 · 10−11 m.
(a) Kuinka suurta virtaa tämä vastaa?
(b) Kuinka suuri vääntömomentti vaikuttaa tähän “virtasilmukkaan” 2 T magneettikentässä?
(c) Kuinka suuri on elektronin rataliikkeestä aiheutuva magneettikenttä protonin kohdalla?
5. Bonustehtävä
Virran ja potentiaalieron välillä ei väliaineesta ja tilanteesta riippuen tarvitse
olla lineaarista Ohmin lakia. Tarkastellaan esimerkkinä kahta levymäisen elektrodia, joiden välinen potentiaaliero V ja välimatka d. Oletetaan, että elektroneja pystyy siirtymään määrättömästi katodilta anodille. Ennen pitkää saavutetaan tasapainotila, jolloin varaustiheys elektrodien välissä ei enää riipu
ajasta. Osoita, että sähkövirta on silloin verrannollinen V 3/2 :een.
Vihje: Lopputulos tunnetaan Childin ja Langmuirin lakina.