algebra og ligninger

ALGEBRA OG LIGNINGER · SIDE 54-73
OM KAPITLET
I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære
at regne med variable, og få erfaringer med at benytte
variable til at løse hverdagsproblemer. Eleverne skal
arbejde med at kunne opstille og anvende ligninger i
forskellige sammenhænge, og de skal udvikle metoder
til løsning af ligninger.
60
ELEVMÅL FOR KAPITLET
HUSKELISTE
Målet er, at eleverne:
PRINTARK
• ved, hvilken betydning variable har i et algebraisk
• A4 Ligningsspil
udtryk
• E3 Begreber og fagord - Algebra og ligninger
• kan anvende algebra til at beskrive egenskaber
ved geometriske figurer
• kan omskrive matematiske udtryk, hvor der indgår
variable
MATERIALER
• A4 papir
•Saks
• ved, hvilke regneregler der gælder for beregninger
med variable
• kan anvende digitale værktøjer til løsning af ligninger
DIGITALT VÆRKTØJ
• kan udvikle metoder til løsning af ligninger
• Dynamisk geometriprogram, fx GeoGebra
• kan opstille og løse ligninger både fra hverdags­
situationer og inden for matematikken.
FAGLIGE BEGREBER
FÆLLES MÅL
I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og
begreber:
På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke
•algebra
Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.
•variabel
•led
•reduktion
• regningsarternes hierarki
•parenteser
•ligningsregler.
61
ALGEBRA OG LIGNINGER · SIDE 54-55
ALGEBRA OG LIGNINGER
Algebra og ligninger
AKTIVITET
SPIL MED LIGNINGER
I dette kapitel skal du arbejde med algebra og
Du kan oversætte algebra til regning med variable
ligninger.
eller regning med bogstaver. Når du regner med
Aktivitet for to til fem personer.
Materialer: Ligningsspil (A4), saks, et stykke
variable, så skal du huske, at variable er symboler
blankt papir og evt. et digitalt værktøj.
for tal.
Klip kortene fra Ligningsspil (A4) ud, bland dem
I den første del af kapitlet er der fokus på, hvorfor
og læg kortene i en bunke med bagsiden opad.
det kan være nyttigt at benytte variable i matematik­
På et blankt stykke papir skriver I ligningen:
ken fx til at forklare, hvorfor en regneregel altid
x = 5. Denne ligning er udgangspunktet.
gælder.
Spilleregler:
I den anden del af kapitlet skal du arbejde med at
• Hver spiller trækker fire af kortene fra bunken.
opstille og anvende ligninger, når du fx skal løse
• Den første spiller forsøger at ændre ligningen
hverdagsproblemer, ligesom du skal udvikle metoder
OPGAVE 4
til løsning af ligninger.
En hundeejer vil bruge 120 m hegn til at lave en
•
kvadratisk hundegård.
MÅL, FAGORD OG BEGREBER
Målet er, at du:
• ved, hvilken betydning variable har i et
algebraisk udtryk
• kan anvende algebra til at beskrive egenskaber
ved geometriske figurer
• kan omskrive matematiske udtryk, hvor der
indgår variable
• ved, hvilke regneregler der gælder for
A Opstil en ligning, som du kan bruge til at beregne
Du skal arbejde med:
sidelængden i hundegården.
• algebra
B Beregn sidelængden.
• variabel
Efter at have tænkt sig om kommer hundeejeren
• led
frem til, at han hellere vil bruge hegnet til en cirkel­
• reduktion
rund hundegård.
• regningsarternes hierarki
C Opstil en ligning til beregning af diameteren af
• parenteser
hundegården.
• ligningsregler.
D Beregn forskellen i arealet af en kvadratisk og
regning med variable
en rund hundegård, når omkredsen på begge
• kan anvende digitale værktøjer til løsning af
hundegårde er 120 m.
ligninger
OPGAVE 5
• kan opstille og løse ligninger både fra hver­
En anden hundeejer skal også have nyt hegn om­
dagssituationer og inden for matematikken.
kring en hundegård, som har form som et rektangel.
De længste sider er tre gange så lange som de
korteste sider. Der skal i alt bruges 120 m hegn til
FORHÅNDSVIDEN
hundegården. Længden af den korteste side kaldes
OPGAVE 2
Lav ligninger, som du kan bruge til at beregne:
A én sidelængde i en ligesidet trekant,
når omkredsen er 12 m.
for x.
Reducer udtrykkene.
A 2∙a+2∙
1
4
A Hvor lang er den længste side udtrykt med x?
∙ a – 12 ∙ a
B Opstil en ligning, som du kan bruge til at beregne
B 3∙a+2∙b–a+3∙b
den korte side, x, i hundegården.
B længden i et rektangel, når bredden er 4 m, og
omkredsen er 40 m.
C Lises timeløn, når hun på en uge arbejder otte
timer, og hun får udbetalt 416 kr.
OPGAVE 3
C Hvor lang er den længste side i hundegården?
Arealet af en trekant er 24 cm2, og højden h er
Hundegården flyttes hen til huset, så den ene af
12 cm.
de længste sider erstattes af en mur. Længden af
A Opstil en ligning, som du kan bruge til at beregne
grundlinjen g i trekanten.
hundegården er den samme.
D Hvor mange meter bliver bredden af hunde­
B Beregn længden af grundlinjen g.
gården, når der stadig skal bruges 120 m hegn?
FACIT
OPGAVE 1
A x + x + x = 12
B 40 = 2 · 4 + 2 · x
C 8 · x = 416
OPGAVE 2
A–9,5a
B2a + 5b
OPGAVE 3
A
1
2
· 12 · g = 24
B g = 4 cm
OPGAVE 4
A4x = 120
B Sidelængden er 30 m
C
 · d = 120
D 245,92 m2
OPGAVE 5
A3x
B 120 = 8x
C 45 m
D 37,5 m
62
en af de fire regningsarter i hver tur. Hvis
spilleren kan omskrive ligningen på papiret, så
den bliver magen til en af ligningerne på et af
spillerens egne kort, lægges kortet til side.
De øvrige spillere vurderer, om omskrivningen
er korrekt. Der kan evt. bruges et digitalt
værktøj.
• Derefter er det den næste spillers tur. Spilleren
forsøger at omskrive ligningen x = 5, så den
kommer til at ligne en af ligningerne på spille­
rens kort. Hvis det lykkes, så lægges kortet til
side.
• Man må ikke lave den samme ligning to gange
i træk.
• kan udvikle metoder til løsning af ligninger
OPGAVE 1
x = 5, så den kommer til at ligne en af lignin­
gerne på ét af de fire kort. Der må kun bruges
• Den spiller, der først lægger alle sine kort
vinder spillet.
A Spil spillet tre gange.
B Lav to nye kort hver, der passer til spillet, og
spil spillet endnu to gange.
C Forklar, hvorfor det ikke er alle kort, der passer
til spillet.
55
ALGEBRA OG LIGNINGER · SIDE 56-57
56
ALGEBRA OG LIGNINGER
ALGEBRA OG LIGNINGER
I teoriboksen er det beskrevet, at a + b = b + a.
Tegn en figur med en omkreds, der er:
Undersøg med taleksempler, hvorvidt det samme
A 10b
gælder for
B 6x + 4y
A subtraktion, at a – b = b – a.
Tegn to forskellige figurer med et areal, der er:
Der bruges ofte bogstaver i matematik i stedet for
LED
Tal, der i et regneudtryk adskilles af + (plustegn)
for tal. En variabel, fx x, står i stedet for tal, der kan
eller – (minustegn) kaldes led. Det algebraiske
udtryk a + b består af to led, 3 ∙ a + 2 ∙ b består
variere.
Den del af matematikken, hvor bogstaver benyttes
til blandt andet at generalisere matematiske sam­
menhænge kaldes algebra.
også af to led, mens
1
2
∙ h ∙ g er ét led.
ændre på rækkefølgen af tallene.
betyder det, at det skal gøres så kort som muligt,
Algebra kan oversættes til regning med variable
eller regning med bogstaver. Der gælder de samme
regler for regning med bogstaver, som for regning
med tal.
men stadig have samme værdi.
BElevforklaring
C 10a
2
D 10a
OPGAVE 14
Skriv to regneudtryk til hver figurskitse, der kan
bruges til at beregne figurens omkreds.
OPGAVE 9
I opgave 8 arbejdede du med to tal, som byttede
plads i regneudtrykket.
y+2
A
A Undersøg, fx ved at illustrere det med en geome­
SAMLE LED
Omkredsen af figuren herunder kan skrives som:
5a + 3a + 2b + b + 3a + 3a + b.
a + a = 2 ∙ a og a + 2 ∙ b + 2 ∙ a = 3 ∙ a + 2 ∙ b.
ikke er nul.
D Formuler en regel, som beskriver, hvornår du kan
REDUKTION
Når man skal reducere et regneudtryk, så
REGNING MED VARIABLE
B multiplikation, at a ∙ b = b ∙ a.
C division, at a : b = b : a, når a og b er tal, der
y
trisk tegning, om det også er muligt at ændre på
OPGAVE 11
rækkefølgen ved addition med tre eller flere tal.
B Formuler resultatet af opgave A med et udtryk,
3a
hvor der indgår variable.
Ved multiplikation med bogstaver udelader man ofte
C Undersøg om dit udtryk fra opgave B også
2b
gangetegnet, så a ∙ b = ab.
4x
gælder for multiplikation.
B
2a
OPGAVE 10
5a
b
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
3x – 2
A Efterprøv sammenhængen med fem
2a
1
2
∙ h ∙ g eller
ord.
b
3a
du beskrive generelle sammenhænge. Det kan
OPGAVE 11
C
Der er mange led, som kan samles til
a ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ c
sammenhængen, som er vist med illustrationen
3 ∙ 3a + 5a + 2 ∙ b + 2b. Det kan igen reduceres
herunder, at a + b = b + a.
A Efterprøv sammenhængen med fem
til 9a + 5a + 4b, og helt kort kan det skrives som
14a + 4b.
h, g, a og b er variable.
a
b
variable adderes og subtraheres:
3a + 4a = 7a og 8b – 3b = 5b.
egne ord.
x
OPGAVE 12
a
OPGAVE 6
kefølge efter, hvor mange led, der er i opgaverne.
Start med det udtryk, der har færrest led.
a) 5 ∙ a + 3 ∙ a – 2 ∙ a
b) 3 ∙ b – a + 2 ∙ c – b
c) 3 ∙ b ∙ a + b ∙ 2 ∙ a
3a
Reducer følgende udtryk mest muligt:
A 2a + 2ab + 3a – ab
B 2a ∙ b + 5a – 2b
2x
D
OPGAVE 7
A Her ser du tre udtryk. Du skal skrive dem i ræk­
BElevforklaring
x–3
6
taleksempler.
B Skriv en forklaring af sammenhængen med
Når man reducerer et udtryk, så kan samme
b
a
differens.
B Skriv en forklaring af sammenhængen med egne
2
kvadratet er 2a ∙ 2a = 4a .
fx være arealet af en trekant A =
A Eleven efterprøver den distributive lov med en
taleksempler.
3a
Kvadratet her har sidelængden 2a. Arealet af
Med indførelsen af bogstaver i matematikken kan
OPGAVE 10
A Eleven efterprøver den distributive lov med en sum.
OPGAVE 8
VARIABLE OG REDUKTION
tal. Bogstaverne kaldes variable, og er symboler
57
OPGAVE 13
TEORI
x+1
x+3
Lav et regneudtryk, der kan bruges til at beregne
C 2a + 2b + 2c + 2b – c + 3a + d
A omkredsen af rektanglet.
D 2 + 2a – b + 2a ∙ 2 + 3b
B arealet af rektanglet.
OPGAVE 12
6x
A Omkreds: 2 · 3a + 2 · a (= 8a)
BAreal: a · 3a (= 3a2)
FACIT
OPGAVE 13
A Elevfigur med omkreds 10b.
OPGAVE 1
B Elevfigur med omkreds 6x + 4y.
Elevbesvarelser.
C To forskellige elevfigurer med areal 10a.
D To forskellige elevfigurer med areal 10a2.
OPGAVE 2
A 21 000 m2
OPGAVE 14
B 125,66 m
A O = 4 + 2y + 2y eller
C 1200 m
O = 4 + 4y
D 18 540 m2
B O = 8x + 6x –4 eller
2
O = 14x – 4
OPGAVE 6
C O = 6 + x + (x − 3) eller
A Udtryk c (2 led), udtryk a (3 led), udtryk b (4 led).
O = 2x + 3
D O = 2x + (x + 3) + 6x + (x + 1) eller
OPGAVE 7
A5a + ab
B2ab + 5a – 2b
C5a + 4b + c + d
D6a + 2b + 2
OPGAVE 8
A Gælder ikke
BGælder
C Gælder ikke
D Du kan ændre på rækkefølgen ved multiplikation
og addition
OPGAVE 9
A Det er muligt.
B Der er i alt 6 permutationer af de tre led x, y og z:
x+y+z=x+z+y=y+x+z=y+z+x=z+x+y=
z+y+x
Det vil være fint, hvis eleverne har to af disse med i
deres formulering.
C Det gælder også for multiplikation.
64
O = 10x + 4
ALGEBRA OG LIGNINGER · SIDE 58-59
58
ALGEBRA OG LIGNINGER
ALGEBRA OG LIGNINGER
OPGAVE 15
59
OPGAVE 22
OPGAVE 19
OPGAVE 17
Sidelængden i en otte­takket stjerne er a.
Tænk på et tilfældigt tal.
Her ser du to forskellige typer vinduer.
Følg instrukserne nedenfor.
r
h
•
c
a
2a
a
2a
b
2a
A Opstil et regneudtryk til beregning af figurens
omkreds.
B Beregn omkredsen, når a = 4, b = 12 og c = 9.
C Gør rede for, at omkredsen af figuren kan
sidelængderne b og c.
stjernen kan udtrykkes ved a.
B Beregn omkredsen af stjernen, når a = 0,5.
C Skriv et algebraisk udtryk for, hvordan omkred­
sen kan beregnes i en stjerne med n takker.
h = r = 0,75.
OPGAVE 23
C Hvad skal a være, hvis arealet af polygonen
fra opgave 21, hvor det valgte tal er ændret til
2
er 96 cm ?
variablen a.
taget for meget.”
2a
2a
arealerne sammen til sidst”.
tegningen.
b
3a
a
c–a
3a
c
beregning af arealet. Den ene elev har fået udtrykket
a ∙ a + b. Den anden elev har fået udtrykket
a ∙ (a + b).
(adderer 2)
(a + 2) ∙ 6
(multiplicerer med 6)
6a + 12
(regner parentesen ud)
2a + 4
(divider med 3 i begge led)
a+2
(halverer)
a
(subtraherer 2)
skriv den ned som ovenfor.
3a
B Afprøv din egen “Tænk på et tilfældigt tal ” med
nogle tilfældige tal, og skriv dine udregninger.
OPGAVE 21
Her ser I et rudenet.
A Skriv et regneudtryk, som passer til Emilies
beregnes med regneudtrykket 2 ∙ (2a + b).
To elever er nået frem til to forskellige udtryk til
(det valgte tal)
a+2
variable, ved brug af de fire regningsarter, og
3a
a
b
A Forklar, hvorfor omkredsen af rektanglet kan
a
A Lav din egen ”Tænk på et tilfældigt tal” med
a
a
måde at tænke på.
B Skriv et regneudtryk, som passer til Nannas
måde at tænke på.
C Undersøg om begge udtryk, når de er reducerede,
er det samme udtryk.
a
b
b
a
c
b
c
b
= 20
a
d
d
= 18
b
a
a
= 20
= 23
= 22
d
a
=?
= 30
A Arbejd sammen med din makker, og find ud af,
når a = 4, b = 12 og c = 9.
hvilket tal der skal stå i stedet for a, b, c, d og ?.
B Beskriv, hvordan I greb opgaven an.
og b = 1,5.
C Gør rede for, hvilket udtryk der giver den korrekte
Vink: Begynd evt. med at finde ud af, hvad a + b
beregning af arealet af rektanglet.
Beregn arealet af vinduerne når a = h = r = 1,5.
Resultatet er da:
Vindue med trekant: 11,25
Vindue med halvcirkel: 12,53
= 28
D Benyt pigernes regneudtryk til at beregne arealet,
B Udregn værdien af de to udtryk, når a = 3,5
fejl. Opgave B skulle have været:
Hvad bemærker du?
D Kan du forklare, hvorfor resultatet bliver sådan?
Herunder er vist opgaven “Tænk på et tilfældigt tal”
jeg beregner arealet af hver del og lægger
Et rektangel har sidelængderne som vist på
2a ·
360 A I første oplag af MULTI 7 har der indsneget sig en
C Følg instrukserne med to nye tal.
som den variable.
Nanna tænker: “Jeg deler figuren i to dele,
OPGAVE 16
Træk 2 fra.
Hvad er dit nye tal?
frem til det nye resultat.
B Beregn arealet, når a = 1,5 cm.
rektanglet, og så trækker jeg det fra, som jeg har
•
•
A O = 3 · 2a +
B Vis alle de udregninger, du lavede for at komme
A Skriv et udtryk for arealet af polygonen med a,
Emilie tænker: “Jeg finder først arealet af hele
Halver dit resultat.
frem til.
omkredsen af vinduet med den runde bue.
B Beregn arealet af vinduerne, når a = 1,5 og
OPGAVE 20
Emilie og Nanna beregner arealet af figuren fra
opgave 17 og tænker på forskellige måder.
Multiplicer med 6.
Divider med 3.
•
A Skriv tallet du tænkte på, og resultatet du nåede
A Skriv et algebraisk udtryk til beregning af
beregnes som omkredsen af et rektangel med
OPGAVE 18
A Skriv et udtryk for, hvordan omkredsen af
2a
Læg 2 til dit tal.
•
•
OPGAVE 19
OPGAVE 20
er lig med.
A Arealet kan beregnes på mange måder – fx som
arealet af de to (kongruente) trekanter plus arealet af
FACIT
de to (kongruente) kvadrater. I så fald får man:
A = 2 · ½ · 2a · 3a + 2 · 3a · 3a
(= 24a2).
OPGAVE 15
B 54
A O = 16 · a
C2
B O = 8
C O = n · 2 · a
OPGAVE 21
A I første oplag af MULTI 7 er de to tal 30 og 23 i
OPGAVE 16
nederste række af rudenettet forkerte. Der skulle
A Halvdelen af omkredsen er:
have stået 36 i stedet for 30 og 18 i stedet for 23. Så
b + a + a =2a + b, derfor må omkredsen af hele
figuren være 2 · (2a + b).
B Elev 1:
bliver værdierne af de fire variable:
a = 3, b = 11, c = −1, d = 5.
A Elevernes egne forklaringer
a · a + b og 3,5 · 3,5 + 1,5 = 13,75
Elev 2:
OPGAVE 22
a · (a + b) og 3,5 + (3,5 + 1,5) = 8,5
Elevberegninger og -overvejelser.
CUdtrykket a · (a + b) er det rigtige, da man herved får
arealet af rektanglet med siderne a og b med, når a
OPGAVE 23
ganges ind i parentesen.
Elevopgaver.
OPGAVE 17
A O = a + a + b + c + (b − a) + (c − a)
B O = 42
C Når udtrykket fra A reduceres, får man 2(b + c) –
altså netop omkredsen af et rektangel med side­
længderne b og c.
OPGAVE 18
A A = b · c − ( a · (c − a))
B A = a · a + c · (b − c)
C Begge udtryk kan reduceres til
a2 + bc − ac.
D88
66
ALGEBRA OG LIGNINGER · SIDE 60-61
60
ALGEBRA OG LIGNINGER
.
TEORI
OPGAVE 27
REGNINGSARTERNES HIERARKI
Længden af et rektangel er 6a. Bredden er halvt så
Karl er vild med at bruge parenteser. Han sætter
lang som længden.
mange parenteser og også parenteser, som ikke er
ALGEBRA OG LIGNINGER
A Tegn rektanglet og skriv et regneudtryk, som du
nødvendige.
I en opgave står der: 25 ∙ 3 + 3 ∙ (12 – 2).
For at løse opgaven er det nødvendigt at vide, i
hvilken rækkefølge de forskellige beregninger skal
udføres.
Inden for regningsarterne er der et hierarki.
På illustrationen kan du se, hvad der skal regnes
først, og hvad der skal regnes til sidst.
PARENTESER
kan benytte til beregning af omkredsen.
Parenteser skal udregnes først.
for at gøre beregningerne mere overskuelige
for at bryde regnehierarkiet og udføre bereg­
OPGAVE 28
ningerne i en anden rækkefølge.
A Omkredsen af et kvadrat er 12a + 8b.
Fx 5 + 3 ∙ 11 = 5 + 33 = 38,
Hvor lang kan sidelængden af kvadratet være?
mens (5 + 3) ∙ 11 = 8 ∙ 11 = 88
B Hvilken sidelængde vil et kvadrat have, når
Regnetegnet foran en parentes får betydning, når
()
Først udregnes parenteser
Så rødder og potenser
man regner.
C Hvilken sidelængde vil et kvadrat have, når
omkredsen er halvt så stor som 12a + 8b?
plusparenteser, fx 49a + (35a – 30a).
OPGAVE 29
Når der er minus foran parentesen, kaldes det en
∙
:
+
–
Derefter multiplikation
og division
minusparentes, fx 30a – (15a + 4a).
Nynne har lige tjent 125 kr., og hun vil betale sin
gæld. Hun skylder 53 kr. til sin far og 28 kr. til sin
bror.
Hun tænker: “Jeg kan regne ud, hvor meget jeg
Til sidst udregnes
addition og
subtraktion
har tilbage ved først at trække 53 kr. fra 125 kr. og
derefter trække 28 kr. fra. Men kan jeg ikke også
lægge min gæld sammen og derefter trække hele
gælden fra 125 kr.?”
A Skriv et regneudtryk for de to måder, som Nynne
OPGAVE 24
•
3 + (4 – 2) + 2 ∙ (5 + 3)
•
(4 – 2) ∙ 3 – (2 ∙ 5)
•
17 + (4 – 5) – (6 + 1)
OPGAVE 31
Herunder er der vist et 100­kort.
omkredsen er dobbelt så stor som 12a + 8b?
Når der er plus foran parentesen, kaldes det en
a aa
tænker på.
OPGAVE 25
B Beregn for begge regneudtryk, hvor mange
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100
Beregn
Beregn
A 37 ∙ 3 + (4 ∙ 10)
A 78 – (35 + 13 + 6)
B 37 ∙ 3 + 4 ∙ 10
B 78 – 35 + 13 + 6
C 18 + (3 + (5 – 2))
C 78 – 35 – 13 – 6
Tallet, der ligger lige over det valgte tal, er så n – 10
OPGAVE 26
Tallet lige til højre for n vil være n + 1 (58).
penge Nynne har tilbage, når hun har betalt sin
gæld.
D 18 + 3 + 5 – 2
Hvis vi vælger et tal, der ikke ligger på kanten –
fx 57, kunne vi generelt kalde tallet for n.
(i eksemplet 47).
Storm skal rette fem opgaver, som Thomas har
regnet. Der er fejl i nogle af besvarelserne.
1) 2 + 8 ∙ 0,5 + 16 : 8 – 3 ∙ 2 = 5 + 2 – 6 = 1
2) 2 ∙ 3,5 ∙ 9 + 9 ∙ 4 : 3 – 2 + 4 =
A Hvad kan man generelt kalde et tal der ligger lige
under n?
B Hvad kan man generelt kalde et tal, der ligger
lige til venstre for n?
7 ∙ 18 ∙ 4 : 1 + 4 = 508
C Skriv et generelt udtryk for summen af tallene
3) 4 ∙ 8a – 4a ∙ 2 + 5 = 32a – 28a = 4a
lige over, lige under, lige til venstre og lige til højre
4) 13b – 2 ∙ 3b + 4a – 2,5 ∙ 6a = 7b – 11a
5) 9a : 2 – 1 + 2a = 6,5a – 1
A Elevtegning af rektangel med siderne 3a og 6a.
parenteser er nødvendige.
beregne arealet af rektanglet.
•
•
OPGAVE 27
A Undersøg ved hjælp af din lommeregner, om alle
B Skriv et regneudtryk, som du kan benytte til at
De bruges:
61
OPGAVE 30
for n.
O = 2 · 6a + 2 · 3a
B A = 3a · 6a = 18a2
OPGAVE 28
A3a + 2b
B6a + 4b
C1,5a + b
D Skriv et regneudtryk for summen af tallet lige
under n og tallet lige til højre for n. Tallet lige over
A Regn selv de fem opgaver.
Hvilke opgaver har Thomas regnet rigtigt?
B Hvad kan Thomas have gjort galt i de opgaver,
hvor han har regnet forkert? Skriv en forklaring
n skal derefter subtraheres.
E Reducer udtrykket.
F Skriv fire nye regneopgaver. Byt med din makker
og regn hinandens opgaver.
til Thomas.
OPGAVE 29
A 125 – 53 – 28
FACIT
125 – (53 + 28)
B 44 kr.
OPGAVE 24
OPGAVE 30
A151
A 3 + (4 – 2) + 2 ∙ (5 + 3).
B151
C24
B (4 – 2) ∙ 3 – (2 ∙ 5).
D24
Første parentes er ikke nødvendig.
Anden parentes er ikke nødvendig.
C 17 + (4 – 5) – (6 + 1).
OPGAVE 25
Den første parentes er ikke nødvendig.
A 24
B62
OPGAVE 31
C24
A n + 10
B n – 1
OPGAVE 26
C(n – 10) + (n + 1) + (n + 10) + (n – 1) = 4n
A Facits til de fem opgaver er:
D n + 10 + n + 1 – (n – 10)
1. 2
E n + 21
2. 77
F Elevens egne opgave. Opgavebytning.
3. 24a + 5
4. –11a + 7b
5. 6,5a · 1
Thomas har regnet rigtigt i opgave 4 og 5
B Thomas’ fejl er:
Opgave 1:
2 + 8 · 0,5 bliver til 10 · 0,5 = 2, dvs.
Thomas adderer, før han multiplicerer.
Opgave 2:
Thomas regner, som om der stod parenteser
således:
2 · 3,5 · (9 + 9) : (3 · 2) + 4.
Han foretager altså additioner og subtraktioner før
multiplikationer og divisioner.
Opgave 3:
Thomas regner, som om der var sat parenteser
således: 4 · 8a · 4a · (2 + 5).
68
ALGEBRA OG LIGNINGER · SIDE 62-63
62
ALGEBRA OG LIGNINGER
.
TEORI
ALGEBRA OG LIGNINGER
4,5
GANGEPARENTESER
Regnetegnene foran parenteser har betydning,
Hver dag købes pølsehorn til 12 kr. og en flaske
når du skal regne videre med regneudtrykket.
vand til 6,95 kr. På fem hverdage bliver det til
En parentes betyder “Regn dette ud først”.
5 ∙ 12 kr. + 5 ∙ 6,95 kr. = 94,75 kr.
Et par bukser koster 246 kr. og en trøje koster
250 kr. Der er 30 kr. rabat på trøjen.
Den samlede pris for bukser og trøje kan beregnes
ved
246 kr. + (250 kr. – 30 kr.) = 246 kr. + 220 kr. = 466 kr.
Prisen kan også beregnes som:
246 kr. + 250 kr. – 30 kr. = 466 kr.
Det kan skrives med variable: a + (b – c) = a + b – c.
Regel: Plusparenteser kan man hæve, uden at det
ændrer noget ved resultatet.
MINUSPARENTESER
Per har 76 kr. Han køber en is til 23 kr. og en pose
slik til 28 kr.
Først lægges udgifterne sammen, og derefter
trækkes de samlede udgifter fra de 76 kr.
76 kr. – (23 kr. + 28 kr.) = 76 kr. – 51 kr. = 25 kr.
Restbeløbet kan også beregnes som:
76 kr. – 23 kr. – 28 kr. = 25 kr.
Det kan skrives med variable: a – (b + c) = a – b – c
og a – (b – c) = a – b + c.
Regel: Man kan hæve en minusparentes, når man
samtidig ændrer fortegnene på alle led i parentesen.
skal beregne omkredsen af rektanglet. Udtrykket
Udgiften kan også beregnes, som den samlede
skal være så kort som muligt.
B A = 4a · (4,5 + 7a) = 28a2 + 18a
B Skriv et regneudtryk, som du kan bruge til
5 ∙ (12 kr. + 6,95 kr.) = 5 ∙ 18,95 kr. = 94,75 kr.
beregning af arealet af rektanglet.
Det kan skrives med variable:
OPGAVE 37
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c.
Et rektangel har en omkreds, der kan beregnes med
Gangetegnet foran parentesen kan udelades,
udtrykket: 2(3a + 4b).
så der står: a(b + c) = a ∙ b + a ∙ c.
A Angiv en mulig længde og bredde af rektanglet.
Regel: Når et tal ganges med en parentes med
Arealet af et andet rektangel kan beregnes med
to eller flere led, så skal tallet ganges med alle
udtrykket: 4(2a + b).
led i parentesen.
B Angiv en længde og bredde, som rektanglet kan
OPGAVE 34
DIVISIONSPARENTESER
Karl sætter stadig mange parenteser i sine regne­
I en pose er der 20 skruer, og i en anden pose er
udtryk, også parenteser, som ikke er nødvendige.
der 32 skruer. Skruerne skal deles i fire portioner.
Herunder kan du se tre af Karls regneudtryk.
Først deles skruerne i den ene pose i fire dele, og
•
3a + (4a – 2a) + 2(a + b)
derefter deles skruerne i den anden pose i fire dele.
•
(4b – 2b) ∙ 3 – (2b ∙ 5)
20 : 4 + 32 : 4 = 13.
•
17a + (4a – 5a) – (6a + a)
Alle skruerne kan også lægges sammen og
A Fjern de unødvendige parenteser i
derefter deles.
regneudtrykkene.
B Gør rede for, hvorfor de er unødvendige.
(20 + 32) : 4 = 52 : 4 = 13
OPGAVE 37
have.
C Beregn omkredsen og arealet af hvert af dine to
rektangler, når a = 3 og b = 4,5.
OPGAVE 38
a
A Længden kan være 3a og bredden kan være 4b.
b
a
Der mange andre muligheder, fx 2a og 4b + a, a og
b
b
a
C Reducer udtrykkene.
Det kan skrives med variable:
(a + c) : b = a : b + c : b.
OPGAVE 35
Regel: Når en parentes med to eller flere led skal
divideres med et tal, skal hvert led i parentesen
På figuren herunder er alle vandrette og lodrette
a
4b + 2a osv.
b
c
sider lige lange, og alle de skrå sider er lige lange.
divideres med tallet.
c
c
a
b
A Skriv et regneudtryk til beregning af omkredsen
OPGAVE 32
OPGAVE 33
Udregn og skriv, hvilke regler du bruger.
Søren har problemer med parenteser. Han har regnet
A a + (2a – b)
nogle opgaver, men ikke alle er rigtige.
B a – (2a – b + c)
Regn opgaverne, og skriv en forklaring til ham om,
C (a + 5) ∙ b
hvorfor nogle af opgaverne er løst forkert.
D (12a + 6b) : 6
A (3a + 7a) – 5a = 5a
E 2a + (27b – 3a) : 9
A Skriv et regneudtryk, som du kan bruge, når du
udgift multipliceret med antal dage.
OPGAVE 36
A O = 22a + 9
7a
4a
PARENTESER
PLUSPARENTESER
63
OPGAVE 36
REGN MED PARENTESER
a
af figuren og reducer udtrykket.
B Benyt regneudtrykket til at beregne omkredsen,
når a = 3, b = 2,5 og c = 1,5.
A Skriv et regneudtryk, der viser, hvordan du kan
B 46 + (376 – 57) – (45 + 88) = 408
beregne omkredsen af figuren. Udtrykket skal
C 36b – (45b – 10b) = 1
være så kort som muligt.
B Længden kan være 4 og bredden kan være 2a + b.
Der er mange andre muligheder, fx 1 og 8a + 4b, 2
OPGAVE 39
Omkredsen af et rektangel er 2(2a + (5 + b)).
A Hvad kan sidelængderne i rektanglet være?
B Beregn omkredsen, når a = 2 og b = 2,5.
D 49 + 63 : 7 = 16
og 4a + 2b osv.
C Rektangel 1: O =54
FACIT
Rektangel 2: O =42
Svarene her gives for det først nævnte forslag
i A og B.
OPGAVE 32
A3a – b. Hævning af plusparentes.
B–a + b – c. Hævning af minusparentes.
Omkreds O = 54
C ab + 5b. Tallet 5 ganges med begge led i parentesen.
Areal A = 162 (Ved andre forslag vil dette tal ændres).
Rektangel 1:
D2a + b. Begge led i parentesen divideres med 6.
E1 23 a + 3b. Der divideres i begge led i parentesen og
hæves en plusparentes.
Rektangel 2:
Omkreds O = 29 (Ved andre forslag vil dette tal
ændres).
OPGAVE 33
Areal A = 42
ARigtigt.
B Resultat: 232. Søren har glemt at lægge sammen i
den sidste parentes, før han subtraherer.
C Resultat: b. Søren hæver tilsyneladende minuspa­
OPGAVE 38
A O = 4a + 4b + 3c
B Omkredsen: 26,5
rentesen rigtigt (eller husker at udregne parentesens
indhold før han trækker det fra). Han regner på talle­
OPGAVE 39
ne og får 1, men glemmer, at det er b’er, der er tale
A Det “oplagte” svar (når omkredsen er skrevet som
om og skriver 1 i stedet for 1b (= b).
D Resultat: 58. Søren glemmer at dividere, før han
adderer.
2(2a + (5 + b)) er, at siderne kan være 2a og 5 + b.
Der er imidlertid mange andre muligheder, og hvis
omkredsen fx var skrevet som 2(a + (a + 5 + b)),
ville det oplagte svar være a og a + 5 + b. Kravet et
OPGAVE 34
blot, at de to valgte sidelængder tilsammen giver
A 1. 3a + 4a − 2a + 2(a+b)
2a + b + 5.
2. (4b − 2b) · 3 − 2b · 5
3. 17a + 4a − 5a − 6a + a
BElevredegørelse.
C 1. 7a + 2b
2. −4b
3. 11a
OPGAVE 35
A O =4a + 4b
B O = 18
70
ALGEBRA OG LIGNINGER · SIDE 64-65
64
.
ALGEBRA OG LIGNINGER
ALGEBRA OG LIGNINGER
OPGAVE 42
Løs ligningerne og skriv, hvilke regneregler
Bent har løst ligningen herunder på denne måde:
du benytter.
x + 2 – 1 = 2x + 5 : 3
A 2x + 7 = 23
3(x + 2) – 3 = 2x + 5
LIGHEDSTEGNET
Man må trække det samme tal fra på begge
Nogle gange gælder et lighedstegn altid.
sider af lighedstegnet.
Når vi fx skriver 2 ∙ (3a + b) = 6a + 2b, så er værdien
x + 9 = 12
af venstre side den samme som værdien af højre
Der trækkes 9 fra på begge sider af ligheds­
side. Det gælder for alle tal, som vi sætter ind i
tegnet.
stedet for a og b.
x + 9 – 9 = 12 – 9
Men når vi skriver en ligning som fx 2x + 3 = 5,
så er de to sider af ligningen ikke ens for enhver
værdi af x.
I en ligning gælder det om at finde de tal, der kan
sættes i steder for x, sådan at ligningens venstre
side (2x + 3) har samme værdi som højre side (5).
LIGNINGER OG REGNEREGLER
Når lighedstegnet er en del af en ligning, kan man
benytte forskellige regneregler så længe ligevægten
opretholdes.
x=3
65
B 2x – 7 = 23
3x + 2 – 3 = 2x + 5
C 2x = 16
3x – 1 = 2x + 5
D 0,5x = 32
3x – 1 + 1 = 2x + 5
E 8 – 2x = 6x
3x = 2x + 5
F 2x – 3 = 7 + x
3x + 2x = 2x + 2 – 2x
Man må gange med det samme tal på begge
sider af lighedstegnet. Man skal huske at gange i
alle led. Man må ikke gange med nul.
x + 2 = 3x – 1
Der ganges med 3 på begge sider af
lighedstegnet
G 3,5x + 2 = 5 – 2,5x
5x = ?
(x + 2) ∙ 3 = (3x – 1) ∙ 3
3x + 6 = 9x – 3
OPGAVE 43
han benytter regnereglerne for ligningsløsning
Muhammed har fundet værdien for x i ligningen:
korrekt, og hvor han ikke gør.
x + 2 – 1 = (2x + 5) : 3.
OPGAVE 45
3x + 6 – 3 = 2x + 5
Løs ligningerne herunder. For hvert skridt, du tager
3x + 3 = 2x + 5
ved løsningen, skal du
3x + 3 – 3 = 2x + 5 – 3
•
forklare, hvad du gør.
3x = 2x + 2
•
angive hvilken regel, du har brugt.
3x – 2x = 2x + 2 – 2x
Ligevægten er opretholdt.
x=2
Man må lægge det samme tal til på begge sider af
A Skriv forklaringer ud for hvert skridt i lignings­
Man må dividere med samme tal på begge sider
x+3=4
af lighedstegnet. Man skal huske at dividere i alle
løsningen, hvor du blandt andet angiver, hvilke
regler der er brugt.
A x+2=
(3x + 2)
4
B 3(4x + 2) = 4x + 15
C
(x + 2)
5
=5
Der lægges 4 til på begge sider af lighedstegnet.
led. Man må ikke dividere med nul.
x+3+4=4+4
3x – 9 = 6x + 3.
OPGAVE 46
x+7=8
Der divideres med 3 på begge sider af ligheds­
Løs mindst fem af ligningerne.
Ligevægten er opretholdt.
tegnet.
A 10 + 21x = 4x + 1
(3x – 9) : 3 = (6x + 3) : 3.
B 112x – 75 = 800 + 12x
x – 3 = 2x + 1.
C (10x + 6) + (12 – 4x) = 0
Ligevægten er opretholdt.
D 4 + x = 5x – 9 – (2x – 3)
E –22 = 64 – (4x + 2)
F 3x – (16,5 – 7,5x) = 10,5x – (x + 16,5)
G 50 – 18x = (18x – 2) + 10 – (8x + 2)
OPGAVE 40
OPGAVE 41
H 7x + 3(2 – x) = 2
Gør ligningernes højresider færdige, når du ved at
Adrians lykketal er atten, fordi det er det første
I
naturlige tal, der starter med bogstavet a.
J (30x + 40) : 5 = 50
Hjælp Adrian med at konstruere ligningerne færdig,
K 19 = (18x + 24) : 6 + 3(2x – 1)
B 5+4=x+
så x = 18.
C 3(x + 2) =
A x = 12 +
B x – 12 = 2 +
OPGAVE 44
A x + 2 – 1 = 2x + 5 : 3
3(x + 2) – 3 = 2x + 5
6 = 6(2x – 4) + 3x
x = 5, og der skal være ligevægt.
A 2x + 5 =
C 2x = 24 + x
x = 2 (reducerer på højre og venstre side af ligheds­
tegnet)
B Find ud af, hvad værdien for x skal være.
Han har løst den som vist herunder.
3(x + 2) – 3 = 2x + 5
lighedstegnet.
E x + 3 = 2x +
af lighedstegnet)
A Skriv forklaringer til Bent, som viser ham, hvor
Ligevægten er opretholdt.
D 2x = 5(x – 1) –
3x – 2x = 2x + 2 – 2x (subtraherer 2x på begge sider
OPGAVE 44
TEORI
LIGHEDSTEGNET OG LIGNINGER OG REGNEREGLER
(Divisoren 3 på højre side dukker “på mystisk vis” op
som subtrahend på venstre side).
D 19x = 1
E 3(x + 12) = 20
3x + 2 – 3 = 2x + 5
FACIT
OPGAVE 40
A2x + 5 = 15
multipliceres med 3).
3x –1 = 2x + 5
3x– 1 + 1= 2x + 5
B 5 + 4 = x + (– 4)
C3(x + 2) = 21
D2x = 5(x – 1) –10
E X + 3 = 2x + (–2)
(Fejl på venstre side. Begge led i parentesen skal
(Fejl. Adderer kun tallet 1 på venstre side af ligheds­
tegnet)
3x = 2x + 5
3x + 2x = 2x + 2 – 2x
(Fejl. Subtraherer 2x på højre side af lighedstegnet,
men adderer 2x på venstre side af lighedstegnet).
OPGAVE 41
A x = 12 + 6
5x = ?
B x – 12 = 2 + 4
Her giver Bent åbenbart op. Hjælp ham!
C 2x = 24 + x – 6
D 19x = 1 + 341
B x=−
2
3
E 3(x + 12) = 20 + 70
OPGAVE 45
OPGAVE 42
Eleverne skal i hver ligning forklare, hvad de gør og
Eleverne skal notere de regneregler, de bruger. Herunder
angive den eller de regler, de bruger.
er blot anført ligningernes løsninger.
A x = –6
A x = 8
Bx=
B x = 15
C x = 23
9
8
(≈ 1,125)
C x = 8
D x = 64
OPGAVE 46
E x = 1
9
(≈ –0,5294)
A x = − 17
F x = 10
B x = 8,75
G x = 0,5
C x = –3
Dx=5
OPGAVE 43
E x = 21
A 3(x + 2) – 3 = 2x + 5
F x=0
3x + 6 – 3 = 2x + 5(multiplicerer ind i parentesen)
Gx=
3x + 3 = 2x + 5 (reducerer udtrykket på venstre side
H x = –1
af lighedstegnet)
3x + 3 – 3 = 2x + 5 – 3 (subtraherer 3 på begge sider
af lighedstegnet)
3x = 2x + 2 (reducerer på højre side af lighedstegnet)
72
11
7
I x=2
Jx=7
Kx=2
(≈ 1,5714)
ALGEBRA OG LIGNINGER · SIDE 66-67
66
.
ALGEBRA OG LIGNINGER
ALGEBRA OG LIGNINGER
TEORI
OPGAVE 49
Sanne er taget på udsalg. Hun køber to par bukser,
Et rektangel har en omkreds på 36 cm. Længden af
VARIABLE
OG PROBLEMLØSNING
der koster det samme pr. par. Hun køber også to
den ene side er 6 cm.
trøjer, der normalt koster 120 kr. hver. Trøjerne er
A Skriv en ligning til beregning af den anden sides
LIGHEDSTEGNET
Bogstaver kan bruges til at løse forskellige
problemer.
Gitte har to børn. Gitte er otte gange så gammel
nedsat med 25 %. I alt betaler hun 680 kr.
A Skriv en ligning, som Sanne kan bruge, når hun
ældre end sin bror. Tilsammen er de tre 42 år.
OPGAVE 50
OPGAVE 55
Hvor gammel er Gitte og hendes to børn?
Lav en regnehistorie til hver af de tre ligninger.
Sigurd forklarer sin metode til at løse ligninger på til
Du kan prøve dig frem, for at løse problemet, og
A 7,5x + 25 = 400
sin makker.
du kan skrive en ligning.
B x(5,75 + 9,25) + 2,5 = 122,5
Han skal løse ligningen
Gittes alder beskrives i forhold til det yngste barn,
det samme gør det ældste barn. Det yngste barns
alder kan derfor beskrives med x.
Gitte må være 8 ∙ x, og broderen er x + 2.
Det yngste barns alder kan beregnes med lignin­
gen x + 8 ∙ x + x + 2 = 42. Når værdien for x er
beregnet, kan du beregne Gittes og broderens
OPGAVE 47
B 12 cm
(4 + x)
2
C 4 m og 12 m
+ 7 = 10.
C x + (x + 3) + x : 2 – 3 = 75
OPGAVE 51
Fie tænker på et tal. Hvis hun ganger tallet med 6 og
lægger 13 til, får hun 61.
Jeg ved, at jeg skal lægge et tal til 7,
og at summen er 10.
A Opstil en ligning til beregning af Fies tal.
B Benyt ligningen til at beregne det tal, som Fie
(4 + x)
2
tænker på.
alder.
A Hvor gammel er Gitte og hendes to børn?
A 36 = 2 · x + 12
side er tre gange så lang som den anden side.
Hvor lange er rektanglets sider?
bukser.
OPGAVE 54
længde.
B Beregn længden af den anden side.
C Et andet rektangel har et areal på 48 m2. Den ene
skal beregne prisen på et par bukser.
B Benyt ligningen til at udregne prisen på et par
som det yngste barn. Det ældste barn er 2 år
67
OPGAVE 54
skal derfor være 3, for 3 + 7 = 10.
Jeg kan nu lave en ny ligning
(4 + x)
2
OPGAVE 55
= 3.
OPGAVE 52
Når brøken skal være 3, så må tælleren
Din makker skal udregne udtrykket (36 – 2 ∙ 6) : 2.
være 6, for 6 : 2 = 3.
Han spørger dig, hvordan han skal gøre det.
Det giver 4 + x = 6. Derfor er x = 2.
OPGAVE 57
Til sidst prøver jeg at sætte 2 ind i
Mia, Mille og Mads spiller lotto sammen, men de
A Skriv en forklaring til din makker, hvor du skriver,
hvordan han skal løse opgaven.
ligningen
B Byt forklaring med din makker og beregn
(4 + x)
2
+ 7 = 10.
udtrykket ved at følge forklaringen.
spiller ikke for lige mange penge. De har vundet
156 000 kr. Mia skal have tre gange så meget som
Mads. Mille skal have 6000 kr. mindre end Mads.
C Sammenlign resultaterne og juster eventuelt
A Opstil en ligning og beregn, hvor meget de tre
forklaringerne.
personer hver skal have af gevinsten.
OPGAVE 53
A Kontroller Sigurds resultat.
Lise har et fritidsjob. Hun har en grundløn på 400 kr.
om ugen, og hun tjener desuden 30 kr. i timen.
Benyt Sigurds metode til at løse ligningerne:
B 6−
En uge tjener Lis 1660 kr.
A Skriv en ligning, som du kan bruge, når du
beregner Lises arbejdstimer.
B Hvor mange timer arbejdede hun?
5
x–2
=2
C 15 −
12 + x
4
= 14
D 20 +
5·x
2
= 32,5
OPGAVE 58
Astrid har været på indkøb. Hun købte en T­shirt og
hårelastikker til sig selv, samt fire plader chokolade.
En til sig selv og tre til sin mor. Hun tog ikke bonen
med hjem, så hun kan ikke huske, hvad chokoladen
kostede. Astrid kan huske, at hun betalte i alt 319 kr.
T­shirten kostede 199 kr., og hårelastikkerne kostede
OPGAVE 48
OPGAVE 56
25 kr.
I en skole er der 636 elever. Der er tre gange så
Rami og hans tvillingsøster er tilsammen halvt så
A Opstil en ligning, der gør det muligt for Astrid at
mange piger som drenge.
gammel som deres mor. Hun er 4 år yngre end Ramis
far. Ramis forældre er i alt 96 år.
A Skriv en ligning, som du kan bruge til at
beregne antallet af drenge.
A Opstil en ligning og beregn, hvor gamle Rami,
B Hvor mange drenge og piger er der?
søsteren og forældrene er.
beregne, hvor mange penge, hun skal have af sin
mor.
B Benyt ligningen og beregn, hvor meget Astrids
A Elevkontrol af Sigurds resultat.
B Ligningsløsning med Sigurds metode.
Her er et bud:
6–
mor skylder hende for chokoladen.
5
x–2
=2
1. Hvad skal jeg trække fra 6 for at få 2? Svar: 4
5
x–2
=4
2. Hvad skal dividere 5 med for at få 4? Svar:
FACIT
5
4
– og her vil en del elever behøve hjælp!
5
4
x–2=
= 1 14
3. Hvad skal jeg trække 2 fra for at få 1 14 ?
OPGAVE 47
Svar: 3 14
A Gitte er 32 år, det yngste barn er 4 år og det ældste
Løsning: x = 3 14
6 år
C Ligningsløsning med Sigurds metode. Her er et bud:
OPGAVE 48
15 –
12 + x
4
= 14
A 636 = x + 3x
1. Hvad skal jeg trække fra 15 for at få 14? Svar: 1
B 159 drenge og 477 drenge
12 + x
4
=1
2. Hvad skal jeg dividere med 4 for at få 1? Svar: 4
OPGAVE 49
12 + x = 4
A 680 = 2x + 240 · 0,75
3. Hvad skal jeg lægge til 12 for at få 4? Svar: –8
Løsning: x = –8.
B 250 kr.
D Ligningsløsning med Sigurds metode
OPGAVE 50
20 +
5·x
2
= 32,5
A-C Elevernes regnehistorier til tre ligninger.
1. Hvad skal jeg lægge til 20 for at få 32,5?
OPGAVE 51
A 61 = x · 6 + 13
2. Hvad skal jeg dividere med 2 for at få 12,5?
B Fie tænkte på tallet 8.
Svar: 25
Svar: 12,5
5·x
2
= 12,5
5x = 25
OPGAVE 52
3. Hvad skal jeg gange med 5 for at få 25? Svar: 5
A Skriftlig forklaring på, hvordan regneudtrykket
Løsning: x = 5.
(36 – 2 · 6) : 2 udregnes.
B Eleverne bytter regneudtryk og følger makkerens
forklaring.
C Resultatsammenligning og evt. justering af
forklaringer.
OPGAVE 56
Hvis vi betegner moderens alder med x, ved vi,
at tvillingerne tilsammen er
x
2
år, og at Ramis far er
x + 4.
Da forældrene tilsammen er 96 år, kan vi opstille
OPGAVE 53
følgende ligning:
A 1660 = 30 · x + 400
A 96 +
B 42 timer
Mor: 46 år
Far: 50 år
Rami og søster: 13 år
74
x
2
=x+4+x+
x
2
OPGAVE 57
Hvis Mads’ andel kaldes x, har vi:
A 156 000 = (3 · x) + x + (x – 6000)
Mads: 32 400 kr.
Mille: 26 400 kr.
Mia: 97 200 kr.
OPGAVE 58
A 319 = 199 + 25 + 4 · x
B Astrid skylder sin mor 71,25 kr.
75
ALGEBRA OG LIGNINGER · SIDE 68-69
68
ALGEBRA OG LIGNINGER
ALGEBRA OG LIGNINGER
69
EVALUERING
TEMA
FORMLER OG LIGNINGER MED DIGITALE VÆRKTØJER
EVALUERING
På denne side skal I enten bruge arket Begreber og
DEL 3
I skal i fælleskab løse opgaverne både med et
fagord ­ Algebra og ligninger (E3) eller jeres egen
Peters forældre betaler i alt 80 kr. i ugepenge til
regneark og et geometriprogram.
begrebsbog. I kan bruge relevante digitale værktøjer.
DEL 2
•
•
Tema for to personer.
Undersøg, hvad højden og grundlinjen kan
bror Ib får halvdelen af det beløb, som Peter får,
DEL 1
være i forskellige trekanter med samme
I denne evalueringsopgave skal I arbejde to til fire
og de mindste søstre deler det sidste ligeligt.
areal. I skal finde mindst fem forskellige
elever sammen.
A Skriv en ligning til regnehistorien.
trekanter.
A Lav syv kort. Skriv ét af følgende fagord eller
B Hvor mange kroner får hver af de fire
Der kan dannes mange forskellige
begreber på hvert kort: Algebra, variabel, led,
trekanter med et areal på 24.
reduktion, regningsarternes hierarki, parenteser,
Forklar, hvorfor det kan lade sig gøre.
ligningsregler.
25 cm og 50 cm. Undersøg, hvilke naturlige tal
geometriprogram og et regneark.
der kan være længde på cirklens diameter.
Når I arbejder med algebra og ligninger, så kan I
bruge forskellige digitale værktøjer.
I dette tema skal I arbejde med ligninger og formler,
som I kender fra fx geometri. I skal med udgangs­
punkt i formlerne arbejde med et CAS­værktøj,
et geometriprogram og et regneark. Formålet er,
DEL 3
Vælg til hver opgave ét af de digitale værktøjer
til at løse opgaverne. Begrund, hvorfor I har valgt
at løse opgaven med netop dét værktøj.
A Alma, Emilie og Olivia har vundet 900 kr., som
de skal dele. Alma skal have 100 kr. mere end
at I får nogle erfaringer i dels at anvende de digitale
Emilie. Olivia skal have dobbelt så meget som
værktøjer, og dels at vælge et hensigtsmæssigt
Emilie.
digitalt værktøj til at løse opgaven med. Når I løser

om, hvordan I bruger værktøjet til at løse opgaven.
B På et bord står tre skåle med kirsebær, og der
Hvor mange penge får de hver?
ligger 17 kirsebær på bordet.
På et andet bord er der seks skåle med
I skal i fællesskab løse opgaverne både med et
kirsebær, og på dette bord ligger der fem
CAS­værktøj og et regneark.
kirsebær på bordet.
Der er lige mange kirsebær på de to borde,
A Løs ligningen
og der er lige mange kirsebær i hver skål.
•
2x – 3 = x + 7
•
6 + 7x = 6x + 32
Hvor mange kirsebær er der i hver skål?
B Et rektangel har omkredsen 36 og
sidelængderne l og b.
ALGE
DEL 4
BRA
VAR IAB EL RARKI
NES HIE
INGSARTER
LE D REGN
L IG N
IN
K T IO N R E N T EGSES RRE
U
D
E
GLE
R
PA
R
1
3
b
1
3
h
DEL 1 OG DEL 2
Elevaktivitet. Eleverne forklarer betydningen af de
begreber, de har lært om.
2b
B Læg kortene på bordet, så I kan se dem.
3a
begrebet for de andre i gruppen. Når alle i grup­
2a
pen har forstået begrebet, så lægges kortet til
side. I skiftes til at trække et kort og fortsætter
til alle begreber er forklaret og forstået. Det kan
0,5b
være en god ide, at skrive stikord til de enkelte
forklaringer undervejs.
D Hvis der er begreber, som I ikke kan forklare eller
forstå, så hænger I kortene med disse begreber
op på tavlen.
E Når alle grupper har forklaret de begreber, de
C
b
3b
C Vælg på skift et kort, som I kan forklare. Forklar
opgaverne på denne side så tal undervejs sammen
DEL 1
søskende?
2b
B Omkredsen på en cirkel skal være mellem
Materialer: Et CAS-værktøj, et dynamisk
deres fire børn. Peter får halvdelen af pengene,
fordi han har flest opgaver i hjemmet. Hans lille­
A En trekant har arealet 24.
kan, så skal begreberne på tavlen forklares for
A Beregn omkredsen af trapezet og reducer
udtrykket.
B I femkanten er omkredsen 5a + 5b. Beregn
den manglende sidelængde i femkanten.
DEL 3
AHvis x beskriver det beløb, Peter får, kan x findes af
C Beregn omkredsen af figurerne, når a = 2
ligningen:
og b = 5.
hele klassen. Det kan være en elev eller læreren,
l
der hjælper med at forklare begrebet.
3a
Vis og forklar for hinanden, hvordan I løser
b
3a
•
Undersøg, hvilke naturlige tal der kan være
DEL 5
•
sidelængder i rektanglet.
Skriv en formel for omkredsen af figuren.
DEL 2
ligningerne.
For hvert af de syv ord og begreber, du lige har
A 2x – 3 = x
arbejdet med, skal du
B 2(x + 4) – 6 = 1
Hvilke naturlige tal kan a være, hvis
A vise et eksempel eller en tegning.
omkredsen skal være mellem 50 og 150?
C 3 – (3x + 2) = 1 – 2x
B skrive din egen forståelse af begrebet.
D (4x – 8) : 2 = 2
x+
x
2
+
x
4
= 80
Hvis x beskriver det beløb, Ib får, kan x findes af
ligningen:
FACIT
2x + x + 2 ·
x
2
= 80
Hvis x beskriver det beløb, de to mindste får hver,
kan x findes af ligningen:
TEMA: FORMLER OG LIGNINGER I DIGITALE
4x + 2x + 2x = 80
VÆRKTØJER
B Peter får 40 kr., Ib får 20 kr. og de to mindste får
hver 10 kr.
DEL 1
Opgaverne løses med et CAS-værktøj og et regneark.
DEL 4
A Første ligning: x = 10
A O = 2b +
Anden ligning: x = 26
B Opgaven kan fx løses med et regneark således:
DEL 2
A Eleverne finder (mindst) fem forskellige trekanter
med areal 24. Et resultat, hvor h · g = 48 vil være
korrekt, fx (h, g) = (1, 48); (2, 24); (3, 16); (4, 12); (6, 8).
Elevernes forklaring på, hvorfor der findes (uendeligt)
mange trekanter med areal 24.
B Diameteren d skal opfylde: 8 ≤ d ≤ 15.
DEL 3
Eleverne begrunder deres valg af digitalt værktøj.
A Alma: 300 kr.
Emilie: 200 kr.
Olivia: 400 kr.
BHvis x angiver antallet af kirsebær i hver skål, har vi
x + 17 = 6x + 5 ⇔ x = 4
Der er altså 4 kirsebær i hver skål
C O = 6a + 3a ·p
76
Naturlige tal: 4 ≤ a ≤ 9.
1
3
b + 3b +
1
3
b = 5 23 b
B Den manglende sidelængde er 2,5b.
CFor a = 2 og b = 5 er
Figur 1: O = 28 13
Figur 2: O = 35
ALGEBRA OG LIGNINGER · SIDE 70-71
70
ALGEBRA OG LIGNINGER
ALGEBRA OG LIGNINGER
TRÆN 1 · FÆRDIGHEDER
TRÆN 2 · FÆRDIGHEDER
OPGAVE 1
OPGAVE 1
OPGAVE 7
Beregn resultatet af regneudtrykkene.
A Find tre talpar (a, b), der passer ind i ligningen
A 3 ∙ (5 + 7) – (13 + 2) =
2(a + b) = 64.
B 6 + (3 ∙ 8) + 13 ∙ (2 – 3) =
C 6 + (3 ∙ 8) – (3 + 3) =
OPGAVE 8
OPGAVE 8
Beregn resultatet af regneudtrykkene.
Reducer udtrykkene.
A 3 + (3 – 17) + (2 – 2)
A 4c + 2a(3 – b) – 2(a – c)
B 13(5 – 1 ) + 7(2 – 5)
B (16a – 8b) : 8 + b
C 2(3(5 – 2 ) + 2)
C –3(a + b) + 3b + 2(a – b)
OPGAVE 2
OPGAVE 9
1,25a
OPGAVE 2
Løs ligningerne.
Løs ligningerne.
A 11x + 8 = 85
A 2x – 2 = 34
A 15 – (12x + 3) + (27x – 3) = 75 – 18x
B 30x – 3 = 27
B x + x – 13 + x = x + 25
B 100 – 36x = –(16x + 4) + 20 + (36x – 4)
C 15x + 10 = –15x – 20
C x + 2 + x + 2 + x + 2 = 27
Løs ligningerne.
a
OPGAVE 9
a + 3+
3
4
a−
3
4
C a(3 + a) – 4(a + b) – a(a – 6)
b
2b
OPGAVE 4
3b
.
A Skriv et udtryk for den samlede omkreds af
syvkanten og reducer det så meget som muligt.
B Beregn omkredsen af syvkanten, når a = 3
a
2
.
OPGAVE 5
a
A Skriv et regneudtryk for omkredsen af rektanglet.
B Beregn arealet af rektanglet, når b = 2.
A Omkredsen af rektanglet er 2(a + (5 + b)).
OPGAVE 10
B Beregn arealet af rektanglet.
Hvad er længden af rektanglet?
Skriv regnehistorier til ligningerne.
A x ∙ 27 + 38 = 173
OPGAVE 5
B 4x – 20 = 120
A Et rektangel har arealet 4a + 8.
Hvad kan sidelængderne i rektanglet være?
C 15x + 9x = 200 – x
B I et kvadrat er omkredsen 8a + 4b.
Julias mor køber stort ind til weekenden. Hun køber
Hvad er sidelængden i kvadratet?
5 L letmælk á 6,75 kr., 5 L yoghurt á 9,95 kr. og fem
OPGAVE 11
poser kaffe á 31,50 kr. Hun køber også slagterens
Hæv parenteserne og reducer regneudtrykket.
tilbud på fem pakker kød til i alt 250 kr.
A (3a + c) – (c – 2b)
A Opstil to forskellige regneudtryk, der viser,
OPGAVE 6
a + 3x = 2(x – 3) + 4.
B 3(a – b) + 2(a – b)
C (12a – 9b) : 3 + b
A Bestem tallet a, når ligningen har løsningen x = 1.
B Beregn prisen ved at benytte de to regneudtryk.
D 2a – (a + 4b + c) + 2(a + b).
B Bestem tallet a, når ligningen har løsningen x = 2.
OPGAVE 6
OPGAVE 12
Et kvadrat har en omkreds på 10a.
Løs ligningerne med Sigurds metode (opgave 55)
hvordan den samlede pris kan beregnes.
A Beregn sidelængden.
B Beregn arealet af kvadratet.
OPGAVE 8
b
I en syvkant er der to sider med længden a,
der er tre sider med længden b og to sider med
og b =
løsninger.
A 3a – (a – 2b) + 4(b – 2a) + 3
OPGAVE 4
a
2
Alle talpar (a, b), der opfylder, at b = 32 − a, vil være
B (3a – 15b) : 3 + 3(a – 2b)
C 0,75c + 0,33d – 0,25c + 2 ∙ 0,2d
længden
4 = 14x + 3(4 – 2x)
Reducer regneudtrykkene.
Reducer regneudtrykkene.
A 3a + 4b – a + 2 ∙ 2b
1
2
A Flere løsninger fx, (9, 23) (10, 22) (2,30)
OPGAVE 3
B Beregn arealet af figuren, når a = 4.
OPGAVE 3
B
OPGAVE 7
D –2(x + 1) + 4(3 – x) = (12x – 6) : 3 – 6(x – 5)
A Beregn omkredsen af figuren.
D –72 + x = –8x + 9
C
71
OPGAVE 7
og kontroller dine løsninger med et CAS­program.
B 16 +
C 9–
14 – 2x
3
(2x – 4)
2
Skriv en regnehistorie til hver ligning.
A 1175 = 150 ∙ x + 50
B x–
A 3 + 2x = 9
1
4
= 300
C (3x + x) + 11= 59
= 18
OPGAVE 10
I 7. b skal 24 elever til klassefest. Hver elev skal til
festen have
1
2
pizza, to sodavand, 3 dL popcorn
og en is. Der skal desuden være to hele pizzaer i
reserve. Kald prisen for en pizza for a, prisen for en
sodavand for b, prisen for 3 dL popcorn for c og
B A = 26,28
prisen for en is for d.
A Skriv et algebraisk udtryk, der viser, hvor mange
penge der skal indkøbes for til festen.
OPGAVE 11
Et trapez er sat sammen af tre kongruente ligesidede
trekanter. Sidelængden i trekanterne er alle 1,5a.
A Skriv et udtryk til beregning af omkredsen.
B Benyt udtrykket fra opgave A til at beregne
omkredsen, når a = 2.
=1
A O = 3,5a + 2· a
OPGAVE 9
A O = 12b
B A = 32
FACIT
OPGAVE 10
A I 7. B er der 26 elever. De skal sammen med deres
TRÆN 1 – FÆRDIGHED
klasselærer løbe 5 km til skolens motionsdag.
Klassen har købt en flaske vand til hver deltager og
OPGAVE 1
en hel kasse æbler til 38 kr. I alt betaler de 173 kr.
A21
B17
B Olga har købt 4 par strømper, men hun har glemt,
C24
Hvad er prisen på en flaske vand?
hvad ét par kostede. Hun betalte i alt 120 kr., og så
havde hun fået 20 kr. i rabat.
OPGAVE 2
A x = 7
B x = 1
Hvad kostede et par strømper (før rabatten trækkes
fra)?
C Til sin fødselsdag køber Rita nogle poser slik til
C x = −1
15 kr. pr stk., og hun køber lige så mange
D x = 9
chokoladebarer, som koster 9 kr. pr stk. Ved kassen
skal hun betale 200 kr., men hun får samme antal
OPGAVE 3
kroner i rabat som antallet af chokoladebarer, hun
A2a + 8b
har købt. Hvor mange poser slik og chokoladebarer
B1,25a − 0,75b + 3
køber hun
C0,5c + 0,73d
OPGAVE 11
OPGAVE 4
A O = 3a + 3b + (2 2a ) = 3a +3b
B O = 13,5
OPGAVE 5
A Skrivemåde 1:
5 · 6,75 + 5 · 9,95 + 5 · 31,5 + 250
Skrivemåde 2:
5 · (6,75 + 9,95 + 31,5) + 250
B 491 kr.
A3a + 2b
B5a – 5b
C4a – 2b
D3a – 2b – c
OPGAVE 12
A 3 + 2x = 9
Sigurd tænker: Jeg ved, jeg skal lægge et tal til 3, så
summen bliver 9. 2x er derfor 6.
Jeg ved så, jeg skal gange et tale med 2, og det skal
blive 6. Tallet er derfor 3.
OPGAVE 6
A Sidelængde: 2,5a
B 16 +
B Areal: 6,25a2
x = 3.
14 – 2x
3
= 18
Sigurd tænker: Jeg ved, at jeg skal lægge et tal til
16, og at resultatet skal blive 18.
78
tallet må derfor være 2, dvs.
14 – 2x
3
= 2.
Jeg ved nu, at jeg skal dividere et tal med 3, og at
OPGAVE 6
resultatet skal blive 2.
A–3
Så må tallet være 6, dvs. 14 − 2x = 6.
B–4
Nu skal jeg trække et tal fra 14, så resultatet bliver 6,
Så må tallet være 8, dvs. 2x = 8.
OPGAVE 7
Nu kan jeg se, at x må være 4, for 2 · 4 = 8.
Elevernes egne regnehistorier.
Løsning: x = 4.
C 9 –
(2x – 4)
2
=1
OPGAVE 8
Sigurd tænker: Jeg skal trække et tal fra 9,
A4a + 6c − 2ab
så resultatet bliver 1. Tallet er så 8, dvs. 2x – 4 = 8.
B2a
Nu skal jeg finde et tal, som divideret med 2 giver 8.
C–a – 2b
2
Det må være 16, dvs. 2x − 4 = 16.
Hvis jeg skal trække 4 fra et tal, så resultatet bliver
OPGAVE 9
16, må tallet være 20, dvs. 2x = 20.
A x = 2
Nu kan jeg se, at x = 10.
B x =
11
7
C x = −1
D x = −4,5
TRÆN 2 – FÆRDIGHEDER
OPGAVE 10
A14a + 48b + 24c + 24d
OPGAVE 1
A−11
B31
OPGAVE 11
C20
A O = 5 · 1,5a = 7,5a
B Omkredsen er 15.
OPGAVE 2
A x = 18
B x = 19
C x = 7
OPGAVE 3
A–a + 6b + 3
B4a − 11b
C5a – 4b
OPGAVE 4
A 5 + b
B a · (5 + b) = 5a + ab
OPGAVE 5
A Der er uendeligt mange muligheder, men hvis vi
ønsker, at der udelukkende skal indgå naturlige tal i
udtrykket, er der kun 3 løsninger:
Side 1
Side 2
1
4a+ 8
2
2a + 4
4
a+2
B2a + b
79
ALGEBRA OG LIGNINGER · SIDE 72-73
72
ALGEBRA OG LIGNINGER
ALGEBRA OG LIGNINGER
TRÆN 1 · PROBLEMLØSNING
TRÆN 2 · PROBLEMLØSNING
OPGAVE 4
OPGAVE 1
OPGAVE 5
A Skriv et udtryk op ved at følge kommandoerne.
Anton tænker på tallet 37. Han ganger sit tal med
På ferien skal du veksle danske kroner til euro.
et andet tal. Derefter lægger han 51 til produktet.
Du får 250 euro til en kurs på 744. Du betaler i alt
Han får nu tallet 236.
1900 kr., som er inklusiv vekslegebyr.
A Skriv en ligning op, som du kan bruge til at
A Opstil en ligning til beregning af størrelsen af
beregne tallet, som Anton ganger med.
Vælg et tal. Gå to felter ned, gå tre felter til
felt op. Gå et felt til venstre, og du er tilbage ved
udgangspunktet.
B Gør rede for, hvorfor du slutter ved tallet du
B Hvor meget betaler du for at veksle?
OPGAVE 5
OPGAVE 2
Et tal kan beskrives ved
Når du køber en vare, er momsen indregnet.
tænkte på.
2
3
4
5
6
7
8
10
Momsen er 25 %.
1
9
n + (n + 1) + (n – 1) + (n + 10) + (n – 10) = 1720.
A Hvilket tal er n?
En vare til 40 kr. uden moms, vil i butikken koste
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
40 kr. + 25 % af 40 kr. = 50 kr.
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Et tal kan beskrives ved
A En vare i butikken koster 825 kr. Opstil en ligning
n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) = 330.
til beregning af prisen uden moms.
B Hvilket tal er n?
Agnes, Anouk og Vilma kigger i slikskålen, den
B En vare koster x kroner uden moms.
Hvad er prisen med moms?
OPGAVE 6
indeholder to poser slik med samme antal stykker og
Regningen fra automekanikeren er revet i stykker.
15 ekstra stykker i bunden af skålen. I alt indeholder
Du kan kun læse, at momsen udgør 350 kr.
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
C Opstil et udtryk til beregning af prisen med
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100
skålen 53 stykker slik.
A Lav en udregning, der viser, hvor meget slik
der er i hver af slikposerne.
2
1
11
12
3
13
5
4
14
15
6
16
7
17
9
8
18
19
10
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
OPGAVE 2
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
A Omkredsen af et kvadrat er 4a + 16b.
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
B Skriv en ligning til historien.
Vilma finder fire stykker slik ved siden af skålen.
C Afgør, hvor mange stykker slik pigerne skal
have hver, hvis de deler ligeligt.
Hvor lange er siderne?
B Hvilken sidelængde vil et kvadrat have,
når omkredsen er dobbelt så stor som 4a + 16b?
C Hvilken sidelængde vil kvadratet have,
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100
fra opgave A, B og C.
OPGAVE 3
Søren har løst en matematikopgave, men han har
kun noteret følgende i sit hæfte:
OPGAVE 6
“Omkredsen af kvadratet er 8a + 14b”.
hæfte, beregne arealet af kvadratet?
B Udregn omkreds og areal, når b = 3 og a = 5.
40a
A Hvilket tal tænker Tobias på?
Fx 1 = (3 – 2) : 1
Hvordan kan man så skrive summen af det tal,
der ligger to rækker over n og det tal, der ligger
tal. Du må gerne lave flercifrede tal fx 32 eller 12.
to rækker under n?
A 44
B n – 20 + n + 20 = 2n
57a
Karo har målt sin have op ved at skridte rundt om
at kalde det skridt, har Karo kaldt det a.
A Skriv et udtryk for havens omkreds udtrykt ved a.
B Beregn havens omkreds, når a = 60 m.
2=1+3–2
B Det tal, Tobias tænker på, kalder vi n.
regningsarter og parenteser, og du skal bruge
OPGAVE 6
den. Havens længste side er 120 skridt. I stedet for
Du må bruge de fire regningsarter og parenteser.
netop ét 1­tal, ét 2­tal og ét 3­tal og ingen andre
B 84
80a
skrive ved hjælp af regneudtryk.
Du må gerne lave flercifrede tal fx 12 og 23.
OPGAVE 3
A 344
40a
40a
ét total og ét tretal.
A Skriv regneudtryk, der viser, hvordan du kan få
60a
60a
OPGAVE 4
A Undersøg, hvor mange af de naturlige tal, du kan
tallet, der ligger to til venstre for tallet sammen med
tallet, der ligger to til højre for tallet.
120a
A Hvordan kan han ud fra det, han har skrevet i sit
Tobias tænker på et tal på taltavlen. Han lægger
Han får summen 88.
resultaterne fra 1 til 9. Du må bruge de fire
moms.
Til hvert regneudtryk skal du bruge netop ét ettal,
når omkredsen er halvt så stor.
D Udregn omkreds og areal af de tre kvadrater
OPGAVE 5
venstre, gå et felt op, gå fire felter til højre, gå et
vekslegebyret.
B Beregn tallet.
OPGAVE 1
73
C Beskriv to forskellige måder til at beregne havens
...
areal.
32 = 32 : 1
D Vælg en af dine måder, og beregn arealet.
...
Fx: 1 = (1 + 2) : 3 og 7 = 2 ∙ 3 + 1
TRÆN 2 – PROBLEMLØSNING
OPGAVE 1
A 1900 = 250 · 7,44 + x
FACIT
B 40 kr.
TRÆN 1 – PROBLEMLØSNING
OPGAVE 2
A 825 = x + 25 %
OPGAVE 1
B x + 25 %
A Der er (53 – 15) : 2 = 19 stykker i hver pose.
C Når momsen udgør 25 % af prisen uden moms,
B 53 = 15 + 2 · x
vil den udgøre 20 % af prisen med moms, dvs.
C Pigerne skal have 19 stykker slik hver.
hvis vi kalder prisen med moms for p, gælder:
p · 0,20 = 350. Det søgte regneudtryk er derfor:
OPGAVE 2
A a + 4b
Pris med moms = 350 : 0,2 (prisen med moms er
1750 kr.).
B (2a + 8b)
C ( 12 a + 2b)
OPGAVE 3
D Omkreds A: 4a + 16b
A Søren kan først beregne sidelængden i kvadratet,
Areal A: (a + 4b) ∙ (a + 4b)= a + 16b + 8ab
2
da den er
2
Omkreds B: 8a + 32b
Areal B: (2a + 8b) ∙ (2a + 8b)= 4a2 + 64b2 + 32ab
Omkreds C: 2a + 8b
Areal C: ( 2a + 2b) ∙ ( 2a + 2b) =
1
4
af omkredsen, dvs. 2a + 3,5b.
Derefter kan Søren beregne kvadratets areal til
(2a + 3,5b)2 = 4a2 + 12,25b2 + 14ab.
B Omkreds = 82
a2
4
+ 4b2 + 2ab
Areal = 420,25
OPGAVE 4
Bemærk opgaveformuleringen: ”Undersøg, hvor mange
OPGAVE 3
tal du kan skrive …” – ikke ”Undersøg, hvor mange tal
A Der er flere mulige løsninger. Her er et forslag:
der kan skrives…”. Der er altså ikke tale om en forvent­
1
2
3
(1 + 2) : 3 (1 + 3) : 2 3 · (2 – 1)
4
3+2–1
5
6
7
8
(3 + 2) · 1
1·2·3
3·2+1
2 · (1 + 3)
9
3 · (2 + 1)
ning om, at eleven finder det eksakte antal eller finder
alle tal, der kan skrives på den omtalte måde. Fokus er
således mere på processen end på produktet.
Angående tallene fra 1 til 9: se opgave 3 i “TRÆN 1 –
PROBLEMLØSNING”. Muligheden for at skabe nye tal
af de tre 1-cifrede tal 1, 2 og 3 ved brug af parenteser
og de fire regningsarter er hermed udtømt.
Af to af de tre cifre kan der sammensættes i alt seks
2-cifrede tal: 12, 21, 13, 31, 23, 32.
OPGAVE 4
Nu kan vi undersøge, om disse tal sammen med det
A 236 = 37 · x + 51
sidste ciffer kan give nye tal ved regningsarterne addi­
B 5
tion, subtraktion, multiplikation og division (hvis divisio­
nen går op). Se tabel øverst næste side.
80
2-cifret tal
3. tal
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
123 159 36 4
21 3 2418 63
7
13 2 1511 2631 2 3329 6223 1 2422 23 23
32 1 3331 32 32
Det giver følgende tal, som vi ikke har fundet før:
11, 15, 18, 22, 24, 26, 29, 33, 36, 62 og 63.
I alt 11 nye tal.
Desuden: Af cifrene 1, 2 og 3 kan der sammensættes
seks 3-cifrede tal: 123, 132, 213, 231, 312, 321
Der kan således i alt dannes 9 + 11 + 6 = 26 tal på den
omtalte måde.
OPGAVE 5
A n → n + 20 → n + 20 − 3 → n + 20 − 3 − 10 → n
+ 20 − 3 − 10 + 4 → n + 20 − 3 −10 + 4 −10 → n +
20 − 3 − 10 + 4 − 10 − 1
B Når det sidste led reduceres giver det n.
OPGAVE 6
I første oplag af MULTI 7 er der en trykfejl i spørgsmål B.
Skridtlængden skal ikke være 60 m, men 0,60 m
(60 cm). Det giver følgende facits:
A 497a
B 497 · 0,6 = 298,2 m
C Eleven beskriver to forskellige metoder til beregning
af havens areal.
D Havens areal er 4032 m2.
81