OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41 Oppgaver til seminaret 14/10

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41
Oppgaver til seminaret 14/10
(Tall i blått angir utgave 6.)
Avsn. 4.3(4.9):
Avsn. 4.4(4.2):
Avsn. 4.6(4.4)
På settet:
29
13, 19
33
S.1, S.2
Oppgaver til gruppene uke 42
(Tall i blått angir utgave 6.)
Avsn. 4.3(4.9):
Avsn. 4.4(4.2):
Avsn. 4.5(4.3):
Avsn. 4.6(4.4):
På settet:
Løs disse først
4, 19, 21
14, 19, 47
17
13
G.1, G.2
så disse
17, 23, 32
30, 35(∗) , 44, 48
31, 33
19, 35(∗) , 40
G.3, G.4, G.5, G.6
Mer dybde
35
46, 49
42
G.7, G.8, G.9
Oppgavene under Mer dybde behandles i 2. time av det raske seminaret 21/10.
(*) Funksjonen er den samme i begge oppgavene.
Obligatoriske oppgaver
Oppgavene 6 og 7 i Obligatorisk innlevering 2 (innleveringsfrist mandag 24/10).
1
2
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41
OPPGAVE S.1 (Eksamen UiB-modifisert)
La
(
ex (x − 1)2
f (x) = √
x + 1,
−2 ≤ x < 0
0 ≤ x ≤ 2.
(a) Avgjør om f er kontinuerlig og/eller derivérbar i x = 0.
(b) Finn uttrykket for f 0 og bestem kritiske punkt for f .
(c) Finn vendepunkt til f og avgjør hvor f er konkav/nedoverkrummet (=”concave
down”) og konveks/oppoverkrummet (=”concave up”).
(d) Bestem alle lokale og globale ekstremalverdier til f .
OPPGAVE S.2 (Deleksamen UiB- H03-Oppg. 1)
Finn dei kritiske punkta til funksjonen
1
1
f (x) = x3 + x2 − 2x + 3
3
2
og avgjer absolutte (globale) minimums eller maksimumsverdiar til f på intervallet
[−3, 3).
OPPGAVE G.1 (Eksamen UiB-V14-Oppg. 4)
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41
OPPGAVE G.2 (Eksamen UiB-V10-Oppg. 7)
OPPGAVE G.3 (Eksamen UiB-H02-Oppg. 9)
OPPGAVE G.4 (Eksamen UiB-V13-OPPGAVE 4 pluss (c) lagt til)
(a) Finn grenseverdien eller vis at den ikke eksisterer:
x−2
lim 2
.
x→2 x − 4
(b) La funksjonen f være definert på intervallet (0, ∞) ved
(
ln x
, for x 6= 1,
f (x) = x−1
1, for x = 1.
Vis at f er kontinuerlig.
(c) Er f fra (b) også derivérbar?
3
4
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41
OPPGAVE G.5 (Eksamen UiO)
La f (x) være definert for alle x > 0 ved
1
.
2x
(a) Undersøk hvor f er voksende og hvor den er avtagende og bestem eventuelle
ekstremalpunkter.
(b) Bestem de intervallende hvor f er konveks (=”concave up”) og konkav (=”concave down”).
(c) Undersøk limx→0+ f (x) og skisser grafen til f .
(d) Drøft hvor mange løsninger ligningen f (x) = a har for forskjellige verdier av
konstanten a.
f (x) = ln x +
OPPGAVE G.6 (Eksamen UiO)
La f være funksjonen definert ved
x
f (x) = arcsin
.
1+x
(a) Vis at definisjonsområdet Df til f er Df = [−1/2, ∞). Angi eventuelle
nullpunkter for f og finn også eventuelle asymptoter for f .
(b) Vis at f er strengt voksende på Df . Har f noen ekstremalpunkter?
(c) Bestem hvor f er konveks og hvor f er konkav. Finn eventuelle vendepunkter
for f og skisser grafen til f .
x
(d) Vis at ligningen 2 arcsin 1+x
− 1 = 0 har presis en løsning x0 på Df og at
0 < x0 < 1.
(e) På Df har f en omvendt funksjon g. Finn definisjonsområdet Dg og verdiområdet Vg til g, og finn også et uttrykk for g på Dg . Skisser grafen til g i samme
aksekors som grafen til f .
OPPGAVE G.7 (Eksamen NTNU)
La y = f (x) være en løsning av differensialligningen
dy p
= xy − 1, for x > 1,
dx
slik at limx→1+ f (x) = 1. Beregn grenseverdiene
(i) lim+
x→1
xf (x) − 1
f (x) − 1
, (i) lim+
.
x→1 (x − 1)3/2
x−1
Hint: du skal ikke løse differensialligningen. Du kan bruke resultatet fra (i) i del
(ii).
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41
5
OPPGAVE G.8 (Eksamen UiO)
Sett
Ln = lim+ x(ln x)n , n = 0, 1, 2, . . .
x→0
Finn L0 og vis rekursjonsformelen Ln = −nLn−1 . Bruk dette til å finne Ln .
OPPGAVE G.9 (Eksamen UiO)
2
Vis at funksjonen f (x) = xe(1−x )/2 er én-til-én på intervallet [−1, 1]. Finn definisjonsområdet til den omvendte funksjonen g og beregn limy→1− (1 − y)[g 0 (y)]2 .
Fasit/hint på neste side
6
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41
Fasit og hint til oppgavene
For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden
http://math.uib.no/adm/Eksamen/content/MAT111/index.html
Oppgave G.4(c). Ja.
Oppgave G.5. (a) Avtagende på (0, 1/2], voksende på [1/2, ∞). Minimum
(1/2, 1 − ln 2). (b) Konveks på (0, 1], konkav på [1, ∞). (c) limx→0+ f (x) = ∞. (d)
To løsninger for a > 1−ln 2, én løsning for a = 1−ln 2, ingen løsning for a < 1−ln 2.
Oppgave G.6. (a) Nullpunkt x = 0, asymptote y = π/2. (b) Abs. min.
(−1/2, −π/2). (c) f er konkav på hele Df . (e) Vg = Df = [−1/2, ∞), Dg = Vf =
sin x
[−π/2, π/2). g(x) = 1−sin
.
x
Oppgave G.7. (i) 1, (ii) 2/3.
Oppgave G.8. L0 = 0. Ln = 0 for alle n.
Oppgave G.9. D(g) = V (f ) = [−1, 1]. Grensen = 14 .
LYKKE TIL!
Andreas Leopold Knutsen