OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41 Oppgaver til seminaret 14/10
Transcription
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41 Oppgaver til seminaret 14/10
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41 Oppgaver til seminaret 14/10 (Tall i blått angir utgave 6.) Avsn. 4.3(4.9): Avsn. 4.4(4.2): Avsn. 4.6(4.4) På settet: 29 13, 19 33 S.1, S.2 Oppgaver til gruppene uke 42 (Tall i blått angir utgave 6.) Avsn. 4.3(4.9): Avsn. 4.4(4.2): Avsn. 4.5(4.3): Avsn. 4.6(4.4): På settet: Løs disse først 4, 19, 21 14, 19, 47 17 13 G.1, G.2 så disse 17, 23, 32 30, 35(∗) , 44, 48 31, 33 19, 35(∗) , 40 G.3, G.4, G.5, G.6 Mer dybde 35 46, 49 42 G.7, G.8, G.9 Oppgavene under Mer dybde behandles i 2. time av det raske seminaret 21/10. (*) Funksjonen er den samme i begge oppgavene. Obligatoriske oppgaver Oppgavene 6 og 7 i Obligatorisk innlevering 2 (innleveringsfrist mandag 24/10). 1 2 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41 OPPGAVE S.1 (Eksamen UiB-modifisert) La ( ex (x − 1)2 f (x) = √ x + 1, −2 ≤ x < 0 0 ≤ x ≤ 2. (a) Avgjør om f er kontinuerlig og/eller derivérbar i x = 0. (b) Finn uttrykket for f 0 og bestem kritiske punkt for f . (c) Finn vendepunkt til f og avgjør hvor f er konkav/nedoverkrummet (=”concave down”) og konveks/oppoverkrummet (=”concave up”). (d) Bestem alle lokale og globale ekstremalverdier til f . OPPGAVE S.2 (Deleksamen UiB- H03-Oppg. 1) Finn dei kritiske punkta til funksjonen 1 1 f (x) = x3 + x2 − 2x + 3 3 2 og avgjer absolutte (globale) minimums eller maksimumsverdiar til f på intervallet [−3, 3). OPPGAVE G.1 (Eksamen UiB-V14-Oppg. 4) OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41 OPPGAVE G.2 (Eksamen UiB-V10-Oppg. 7) OPPGAVE G.3 (Eksamen UiB-H02-Oppg. 9) OPPGAVE G.4 (Eksamen UiB-V13-OPPGAVE 4 pluss (c) lagt til) (a) Finn grenseverdien eller vis at den ikke eksisterer: x−2 lim 2 . x→2 x − 4 (b) La funksjonen f være definert på intervallet (0, ∞) ved ( ln x , for x 6= 1, f (x) = x−1 1, for x = 1. Vis at f er kontinuerlig. (c) Er f fra (b) også derivérbar? 3 4 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41 OPPGAVE G.5 (Eksamen UiO) La f (x) være definert for alle x > 0 ved 1 . 2x (a) Undersøk hvor f er voksende og hvor den er avtagende og bestem eventuelle ekstremalpunkter. (b) Bestem de intervallende hvor f er konveks (=”concave up”) og konkav (=”concave down”). (c) Undersøk limx→0+ f (x) og skisser grafen til f . (d) Drøft hvor mange løsninger ligningen f (x) = a har for forskjellige verdier av konstanten a. f (x) = ln x + OPPGAVE G.6 (Eksamen UiO) La f være funksjonen definert ved x f (x) = arcsin . 1+x (a) Vis at definisjonsområdet Df til f er Df = [−1/2, ∞). Angi eventuelle nullpunkter for f og finn også eventuelle asymptoter for f . (b) Vis at f er strengt voksende på Df . Har f noen ekstremalpunkter? (c) Bestem hvor f er konveks og hvor f er konkav. Finn eventuelle vendepunkter for f og skisser grafen til f . x (d) Vis at ligningen 2 arcsin 1+x − 1 = 0 har presis en løsning x0 på Df og at 0 < x0 < 1. (e) På Df har f en omvendt funksjon g. Finn definisjonsområdet Dg og verdiområdet Vg til g, og finn også et uttrykk for g på Dg . Skisser grafen til g i samme aksekors som grafen til f . OPPGAVE G.7 (Eksamen NTNU) La y = f (x) være en løsning av differensialligningen dy p = xy − 1, for x > 1, dx slik at limx→1+ f (x) = 1. Beregn grenseverdiene (i) lim+ x→1 xf (x) − 1 f (x) − 1 , (i) lim+ . x→1 (x − 1)3/2 x−1 Hint: du skal ikke løse differensialligningen. Du kan bruke resultatet fra (i) i del (ii). OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41 5 OPPGAVE G.8 (Eksamen UiO) Sett Ln = lim+ x(ln x)n , n = 0, 1, 2, . . . x→0 Finn L0 og vis rekursjonsformelen Ln = −nLn−1 . Bruk dette til å finne Ln . OPPGAVE G.9 (Eksamen UiO) 2 Vis at funksjonen f (x) = xe(1−x )/2 er én-til-én på intervallet [−1, 1]. Finn definisjonsområdet til den omvendte funksjonen g og beregn limy→1− (1 − y)[g 0 (y)]2 . Fasit/hint på neste side 6 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 41 Fasit og hint til oppgavene For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden http://math.uib.no/adm/Eksamen/content/MAT111/index.html Oppgave G.4(c). Ja. Oppgave G.5. (a) Avtagende på (0, 1/2], voksende på [1/2, ∞). Minimum (1/2, 1 − ln 2). (b) Konveks på (0, 1], konkav på [1, ∞). (c) limx→0+ f (x) = ∞. (d) To løsninger for a > 1−ln 2, én løsning for a = 1−ln 2, ingen løsning for a < 1−ln 2. Oppgave G.6. (a) Nullpunkt x = 0, asymptote y = π/2. (b) Abs. min. (−1/2, −π/2). (c) f er konkav på hele Df . (e) Vg = Df = [−1/2, ∞), Dg = Vf = sin x [−π/2, π/2). g(x) = 1−sin . x Oppgave G.7. (i) 1, (ii) 2/3. Oppgave G.8. L0 = 0. Ln = 0 for alle n. Oppgave G.9. D(g) = V (f ) = [−1, 1]. Grensen = 14 . LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen