doc
MS-A0002 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / 2022 Mallit / Alkuviikko
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
MS-A0002 Matriisilaskenta
Laskuharjoitus 6 / 2022
Mallit / Alkuviikko
Tehtävä 1 (L): Etsi unitaarinen matriisi U ∈ C
2×2
siten, että D := U
∗AU ∈ C
2×2 on diagonaali nen, missä
A :=
−3 −3
−3 −3
∈ R
2×2
.
Tarkista, että A = UDU∗
.
Ratkaisu: Olkoon
A =
−3 −3
−3 −3
−3 −3
−3 −3
−3 −3
−3 −3
=
18 18
18 18
kummin päin tahansa kerrottuna, joten matriisi A voidaan diagonalisoida unitaarisesti eli se voi daan esittää muodossa A = UDU∗
, missä D = U
∗AU. Lasketaan ensin ominaisarvot:
det(A − λI) =
−3 − λ −3
−3 −3 − λ
⇒ λ1 = 0, λ2 = −6
Lasketaan ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit:
λ1 = 0 :
−3 −3 0
−3 −3 0
⇒ v1 =
−t
t
λ2 = −6 :
3 −3 0
−3 3 0
⇒ v2 =
t
t
missä t kuuluu reaalilukuihin. Vektorit v1 ja v2 ovat ortogonaaliset, kuten pitääkin. Löytääksemme
unitaarimatriisin U saadut ominaisvektorit täytyy normeerata ykkösen pituiseksi, joten tarvittavat
vektorit ovat:
v1 =
1
√
2
−1
1
, v2 =
1
√
2
1
1
.
1
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
Näistä saadaan ratkaisuksi
U =
1
√
2
−1 1
1 1
, U −1 = U
∗ =
1
√
2
−1 1
1 1
.
Tarkistuksessa matriisille A saadaan siis unitaarinen diagonalisointi
A = UDU∗ =
1
√
2
−1 1
1 1 0 0
0 −6
1
√
2
−1 1
1 1
.
Tehtävä 2 (L): Näytä laskemalla, että matriisi A ∈ C
2×2
ei riipu luvuista a, b, c, d ∈ C, kun
A =
u1 a
u2 b
σ 0
0 0 v1 c
v2 d
∗
.
Ratkaisu: Huomioimatta kompleksiosan merkin vaihtoa (ei oleellista tehtävässä),
v1 c
v2 d
∗
=
v1 v2
c d
Nyt kertomalla matriisit yhteen saadaan lopputulokseksi
u1 · v1 · σ u1 · v2 · σ
u2 · v1 · σ u2 · v2 · σ
mistä nähdään, että luvuilla a, b, c, d ∈ C ei ole merkitystä.
Tehtävä 3 (P): Tutkitaan diagonaalimatriisia Λ =
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · λn
∈ C
n×n
. Millä arvoilla
λk ∈ C seuraavat ominaisuudet pätevät? Perustele!
(a) Λ on positiivinen.
(b) Λ on symmetrinen.
(c) Λ on normaali.
(d) Λ on unitaarinen.
Ratkaisu:
(a) Jos kaikki matriisin ominaisarvot ovat positiivisia ja matriisi on symmetrinen, matriisi on posi tiivinen. Siispä matriisi on positiivinen, kun kaikki sen ominaisarvot λk ∈ R ovat positiivisia.
(b) Symmetrinen matriisi on neliömatriisi, jonka konjugaattitranspoosi vastaa alkuperäistä matrii sia. Lisäksi symmetrisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia. Niinpä annettu matriisi on
symmetrinen kaikilla λk ∈ R, koska kaikki diagonaalin ulkopuoliset alkiot ovat nollia.
(c) Normaalille matriisille A∗A = AA∗
. Diagonaalimatriisille tämä pätee millä tahansa diagonaa lin arvoilla, joten annettu matriisi on normaali kaikilla λk ∈ C.
(d) Matriisi on unitaarinen, jos sen kompleksikonjugaatti on sen käänteismatriisi. Diagonaalimat riisille näin on, jos sen ominaisarvot ovat itseisarvoltaan 1.
2
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
Tehtävä 4 (P): Todista seuraavat väitteet (a,b,c,d), jotka koskevat normaalia matriisia A ∈ C
n×n
ja sen kaikkia ominaisarvoja λ ∈ C:
(a) A∗ = A−1
(unitaarinen A) jos ja vain jos |λ| = 1.
(b) A∗ = A (symmetrinen A) jos ja vain jos λ ∈ R.
(c) ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 kaikille x ∈ C
n
(positiivinen A) jos ja vain jos λ ≥ 0.
(d) A∗ = A = A2
(ortogonaaliprojektio A) jos ja vain jos λ ∈ {0, 1}.
Ratkaisu:
A ∈ C
n×n on normaali, joten sillä on ortogonaalidiagonalisointi muotoa A = UΛU
∗
, missä U
on unitaarinen, (eli U
∗ = U
−1
) ja Λ on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat A:n omi naisarvot λi
.
(a) A∗ = A−1 ⇔ |λi
| = 1∀i.
Tämän voi osoittaa molempiin suuntiin saman kaltaisella laskulla. Olkoon v ominaisarvoa λ vas taava ominaisvektori.
"⇒"
⟨v, v⟩ = ⟨Iv, v⟩ = ⟨A
∗Av, v⟩ = ⟨Av, Av⟩ = ⟨λv, λv⟩
= λλ¯⟨v, v⟩ = |λ|
2
⟨v, v⟩.
Koska v on ominaisvektori, on ||v|| =
p
⟨v, v⟩ > 0. Nyt siis ⟨v, v⟩ = |λ|
2
⟨v, v⟩, eli 1 = |λ|
2
, joten
|λ| = 1.
"⇐"
Vastaavasti, seuraamalla "⇒"osaa takaperin, voidaan kaikilla ominaisarvoilla ja -vektoreilla voi daan kirjoittaa:
⟨Iv, v⟩ = |λ|
2
⟨v, v⟩ = ⟨A
∗Av, v⟩.
Koska normaalin matriisin ominaisvektorit kantavat koko avaruuden C
n
, ja normaalin matriisin
ominaisvektorit ovat ortogonaaliset, voidaan ominaisvektori v korvata millä tahansa vektorilla x:
⟨Ix, x⟩ = ⟨A
∗Ax, x⟩,
jolloin heikon muotoilun lauseen perusteella A∗A = I, ja siten A∗ = A−1
.
(b) A∗ = A ⇔ λ ∈ R
"⇒"
Olkoon v ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori.
λ⟨v, v⟩ = ⟨λv, v⟩ = ⟨Av, v⟩ = ⟨v, A∗
v⟩ = ⟨v, Av⟩
= ⟨v, λv⟩ = λ¯⟨v, v⟩.
3
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
Taas, ⟨v, v⟩ > 0, joten λ = λ¯, jolloin on oltava λ ∈ R.
"⇐"
Muistetaan, että A:lla on oltava ortogonaalidiagonalisaatio. Kirjoitetaan A = UΛU
∗
ja muiste taan, että Λ:n diagonaalilla on A:n ominaisarvot, jotka ovat oletuksen mukaan reaalisia. Nyt siis
konjugaattitranspoosin tulosäännön mukaan:
A
∗ = (UΛU
∗
)
∗ = UΛ
∗U
∗ = UΛU
∗ = A,
missä kolmas yhtäsuuruus seuraa Λ:n alkioiden reaalisuudesta.
(c) ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 ∀x ∈ C
n ⇔ λi ≥ 0
Tässä tehtävässä on huomioitava, että ehto λi ≥ 0 edellyttää myös λi ∈ R.
"⇒
Tehdään vastaoletus: A:lla on ominaisarvo λ < 0, jota vastaa ominaisvektori v.
Ominaisarvon määritelmän avulla:
⟨Av, v⟩ = ⟨λv, v⟩ = λ⟨v, v⟩ < 0,
missä epäyhtälö seuraa taas ominaisvektorin positiivisesta pituudesta, ja vastaoletuksesta λ < 0.
Saatiin ristiriita, joten vastaoletus on epätosi. On siis oltava λ ≥ 0.
"⇐"
Oletuksen mukaan λ ≥ 0, jolloin myös λ ∈ R. Tällöin kohdan (b) mukaan, tiedetään että A = A∗
.
Koska tehtävässä A on normaali, tiedetään myös sille olevan ortogonaalidiagonalisointi. Tällöin
∀x ∈ C
n
:
⟨Ax, x⟩ = ⟨UΛU
∗x, x⟩ = ⟨ΛU
∗x, U∗x⟩.
Koska U
∗ on unitaarinen, ja siten kääntyvä, tiedetään että kaikilla vektoreilla y ∈ C
n on olemassa
vastine x ∈ C
n
, jolle pätee y = U
∗x. (Ts. x = Uy).
Koska lisäksi Λ on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalilla on A:n ominaisarvot, ja ominaisarvot
tiedetään ei-negatiivisiksi, voidaan kirjoittaa:
⟨Λy, y⟩ =
Xn
i=1
λi
|yi
|
2 ≥ 0.
Koska tämä pätee kaikilla y, ja vastaavasti kaikilla x, saatiin siis ⟨Ax, x⟩ ≥ 0.
(d) A∗ = A = A2 ⇔ λi ∈ {0, 1}
"⇒"
Ominaisarvojen määritelmästä:
λv = Av = A
2
v = Aλv = λAv = λ
2
v.
Koska v on ominaisvektori ja siten v ei voi olla nollavektori, on oltava λ = λ
2
, jolloin λ ∈ {0, 1}.
"⇐"
Kirjoitetaan A2 Hyödyntämällä A:n ortogonaalidiagonalisointia.
4
MS-A0002 Matriisilaskenta, III/2022 Turunen / Bergman
A
2 = (UΛU
∗
)
2 = UΛU
∗UΛU
∗ = UΛΛU
∗ = UΛ
2U
∗
.
Koska Λ on diagonaalimatriisi, jonka alkiot ovat A:n ominaisarvoja, joiden tiedetään olevan λi ∈
{0, 1}, on oltava Λ
2 = Λ. Tällöin:
A
2 = UΛ
2U
∗ = UΛU
∗ = A
Siis A2 = A. A∗ = A seuraa (b) kohdasta.
5
