Triangle rectangle

Transcription

Triangle rectangle

4e A - programme 2011 –mathématiques – ch.G1 – cahier élève
Page 1 sur 18
Ch.G1 : Triangle rectangle
1
CERCLE ET TRIANGLE RECTANGLE
1.1
Pour démontrer qu'un point est sur un cercle
ex 1 et 2
THÉORÈME 1
Si un triangle est rectangle,
alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse.
Remarque 1 :
Voici une autre manière d'énoncer ce théorème : « Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans un
demi-cercle ayant pour diamètre son hypoténuse. »
Exemple 1 :
F
Soit EFG un triangle rectangle en F.
Démontre que le point F appartient au cercle de diamètre [EG].
Solution :
G
E
Données
Le triangle EFG est rectangle en F.
Propriété
Si un triangle est rectangle alors
son cercle circonscrit a pour
diamètre son hypoténuse.
Conclusion
Le point F appartient au cercle de
diamètre [EG].
Exercice n°1 page 141 Construis le cercle circonscrit d'un triangle rectangle
Construis un triangle EFG rectangle en F tel que EG = 8 cm et EF = 5 cm puis trace son cercle circonscrit. Justifie ta
construction.
F
EFG
E
G
F
[EG]
Exercice n°2 page 141 Démontre qu'un point est sur un cercle
Soient ABC et BCD deux triangles rectangles respectivement en A et en D. Démontre que les points A et D
appartiennent au cercle de diamètre [BC].
ABC
A
D
A
[BC]
BCD
D
B
C
[BC]
A
D
[BC]
Exercice n°3 page 142 À partir d'un rectangle
BIEN est un rectangle de centre M.
a) Que représente le point M pour le segment [EB] ? Justifie.
b) Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle BIE ? Pourquoi ?
c) Pourquoi N appartient-il aussi à ce cercle ?
[EB]
BIEN
M
M
[EB]
BIE
I
BIE
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
M
[BE]
http://ndabbaye-nantes.loire-atlantique.e-lyco.fr/
BEN
Page 2 sur 18
N
[BE]
Exercice n°4 page 142 À partir d'un triangle isocèle
a) Trace un triangle ART isocèle en A. On appelle S le milieu de [RT].
b) Montre que le triangle TAS est rectangle en S.
c) Montre que les cercles ( ) de diamètre [AR] et ( ' ) de diamètre [AT] se coupent en S.
A
T
S
ART
R
A
TAS
(AS)
S
TAS
S
TAS
[AT]
ARS
[AR]
( ')
S
( )
( )
( ')
A
S
Exercice n°13 page 143 Triangles rectangles à gogo
E
O
a) Construis ces
A
R
3
m
5c
5
P
cm
cm
I
4
N
M
8 cm
30°
B
cm
triangles sans
utiliser l'équerre.
b) Décris et justifie ta
construction dans
chacun des cas.
C
K
E
O
M
N
R
P
Page 3 sur 18
A
B
I
C

[MN]
OMN
8 cm
O
[MN]
[MN]
O

OM = 3 cm
EKP
K
[EP]
[EP]
10 cm
R
[EP]
K

RK = 4 cm
ABC
A
[BC]
I
B
C
5 cm
A
IAB = 30°
B
I
1.2 Longueur de la médiane
ex 3
THÉORÈME 2
alors la médiane issue du sommet de l'angle droit a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Remarque 2 :
Voici une autre manière d'énoncer ce théorème : « Si un triangle est rectangle alors le milieu de son
hypoténuse est à égale distance des trois sommets du triangle. »
Exemple 2 :
O
Le triangle POT est un triangle rectangle en O tel que TP = 8 cm. Le point
S est le milieu du segment [TP]. Quelle est la longueur du segment [SO] ?
Solution :
P
T
Étape préliminaire : Dans le triangle POT rectangle en O, [OS] joint le sommet O
S
et le milieu S de [TP] donc [OS] est la médiane issue du sommet de l'angle droit O.
Données
Propriété
Conclusion
1
Le triangle POT est
OS = TP
alors la médiane issue du sommet de l'angle
rectangle en O, [OS] est la
2
droit a pour longueur la moitié de la
médiane issue du sommet de
1
OS = × 8 cm
longueur de l'hypoténuse.
l'angle droit O, TP = 8 cm.
2
OS = 4 cm
Page 4 sur 18
Exercice n°3 page 141 Calcule la longueur d'une médiane
Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle rectangle en C, M est le milieu du segment
[AB] et CM = 2 cm. Quelle est la longueur du segment [AB] ? Justifie ta réponse.
M
A
B
C
ABC M
[AB]
ABC
C
(CM)
C (CM)
AB = 2 × CM = 2 × 2 = 4 cm
Exercice n°1 page 142 Vocabulaire
On considère les triangles rectangles suivants :
IJK est un triangle rectangle tel que :
IJ = 12 cm ; IK = 13 cm et JK = 5 cm.
a) Écris trois phrases avec l'expression « … est rectangle en … . ».
b) Écris trois phrases avec l'expression « … est l'hypoténuse de … . ».
c) Pour chaque triangle, précise où se situe le centre de son cercle circonscrit et
calcule son rayon.
B
G
C
A
ABC
A
[BC]
ABC
EFG
G
[EF]
EFG
[IK]
IJK
IJK
J
ABC
EFG
[BC]
BC
2
E
F
IJK
[EF]
EF
2
[IK]
IK 13
=
= 6,5 cm
2
2
Exercice n°2 page 142 Médiane
a) Construis ce triangle puis la médiane issue du sommet E et celle issue du sommet
F.
b) Construis son cercle circonscrit et calcule son rayon.
E
5 cm
G
7 cm
E
EFG
F
E
EFG
[FG]
G
F
FG 7
= = 3,5 cm
2 2
Exercice n°9 page 142
Calcule AB et EF. Justifie.
A
Page 5 sur 18
D
M
B
C
F
CM = 5 cm
E
DN = 8 cm

ABC
N
C
[MC]
C
MC =
AB
2

AB = 2 MC = 2  5 = 10 cm
EDN
EF =
E
[EF]
E
DN 8
= = 4 cm
2
2
1.3 Pour démontrer qu'un triangle est rectangle
ex 4 à 6
THÉORÈME 3
Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés,
alors il est rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse.
Exemple 3 :
Trace le cercle de diamètre [SR] tel que SR = 7 cm puis place sur ce cercle un point H tel que
RH = 4 cm.
Démontre que le triangle RHS est rectangle en H.
Solution :
Données
Propriété
Conclusion
Le point H appartient au
Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre Le triangle RHS est
l'un de ses côtés alors ce triangle est rectangle et
cercle de diamètre [SR].
rectangle en H.
admet ce diamètre pour hypoténuse.
Exercice n°4 page 141 Démontre qu'un triangle est rectangle
Trace un cercle de diamètre [AB] puis place sur ce cercle un point C tel que BAC = 50°. Calcule les mesures des angles
ACB et ABC en justifiant tes réponses.
C
C
[AB]
50°
B
A
ACB = 90°
ABC = 90° – 50° = 40°
Dans chacune des figures ci-contre, nomme tous les triangles
rectangles non tracés en utilisant les points donnés.
Justifie tes réponses.
Figure 1
T
A
ATB
ARB
PGH
NKH
O
G
R
B
P
Figure 2
K
N
H
Page 6 sur 18
Construis un cercle ( ) de centre I et de rayon 5 cm. Place un point P sur ( ) et trace un diamètre [MN] de ( ).
Quelle est la nature du triangle MNP ? Pourquoi ?
MNP
[MN]
P
M
MNP
I
P
N
( ) est un cercle de centre O. A et M sont deux points de ( ) non diamétralement opposés. La perpendiculaire en M à
(AM) recoupe ( ) en B.
a) Fais une figure.
b) Démontre que O est le milieu de [AB].
c) N est un autre point du cercle. Démontre que ANB est un triangle rectangle.
A
O
B
M
N
ABM
M
( )
O
ABM
( )
[AB]
O
ANB
ANB
( )
[AB]
[AB]
N
Page 7 sur 18
R, I et O sont trois points alignés dans cet ordre. ( ) est le cercle de diamètre [RI] et ( ' ) est le cercle de diamètre
[IO]. Soit A un point de ( ) différent de I et R. La droite (AI) coupe ( ' ) en B.
a) Fais une figure.
b) Démontre que les droites (RA) et (BO) sont parallèles.
(C)
(C')
A
O
I
R
B
AIR
( )
AIR
[RI]
A
( ’)
BIO
BIO
[IO]
B
(RA)
(BO)
(AB)
Exercice n°12 page 143 Avec un quadrillage
a) Reproduis la figure ci-contre sur du papier quadrillé.
b) Place sur la droite (d) les points M et N tels que les triangles
AMB et ANB soient rectangles respectivement en M et N.
Justifie.
(d)
B
A
N
AMB
(d)
ANB
M
N
M
B
AMB
ANB
A
[AB]
M
N
(d)
[AB] est un diamètre du cercle.
M
a) Indique les triangles rectangles d'hypoténuse [AB].
Cite la propriété du cours que tu utilises.
b) Explique pourquoi le triangle APB ne peut pas être dans ta liste précédente.
U
P
A
B
V
T
[AB]
N
S
ABU ABM ABS
APB
Page 8 sur 18
[AB]
[AB]
P
APB
[AB]
[AB]
THÉORÈME 4
Si, dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur
de ce côté,
alors ce triangle est rectangle et admet ce côté pour hypoténuse.
Exemple 4 :
O
MON est un triangle, U est le milieu de [MN] et on a : MN = 8 cm ;
OU = 4 cm.
Démontre que le triangle MON est rectangle en O.
Solution :
Étape préliminaire : Dans le triangle MON, [OU] joint le sommet O et le milieu U M
U
N
de [MN] donc [OU] est la médiane relative au côté [MN].
Données
Propriété
Conclusion
Dans le triangle MON,
Si, dans un triangle, la longueur de la
Le triangle MON est
médiane relative à un côté est égale à la
[OU] est la médiane relative au
rectangle en O.
moitié
de
ce
côté
alors
ce
triangle
est
côté [MN],
rectangle et admet ce côté pour hypoténuse.
MN = 8 cm et OU = 4 cm.
Soit RST un triangle isocèle en T et soit U le symétrique du point R par rapport au point T. Démontre que le triangle
RSU est rectangle en S.
U
R
T
U
T
[RU]
RST
T
TR = TS
RSU [ST]
S
[ST]
T
[RU]
[RU]
RSU
T
TS = TR = TU
R
S
S
Exercice n°14 page 143 Triangles encerclés
Pour chaque question, trace un cercle de rayon 3 cm puis inscris dans celui-ci un triangle :
a) isocèle ;
b) équilatéral ;
c) rectangle ;
d) rectangle isocèle.
Explique chacune de tes constructions.
Page 9 sur 18
Activité de découvert Théorème de Pythagore
1) Tracer un triangle ABC rectangle en A.
2) Mesurer les longueurs AB, AC et BC.
3) Calculer AB2 = AB  AB, AC2 = AC  AC et BC2 = BC BC.
4) Quelle relation peut-on remarquer entre AB2, AC2 et BC2 ?
1)
2) AB  …… cm, AC  …… cm et BC  …… cm.
3) AB2  …… cm2, AC2  …… cm2 et BC2  …… cm2.
4) On remarque que BC2  AB2 + AC2.
2 THÉORÈME DE PYTHAGORE
2.1 Théorème direct
ex 7 à 9
THÉORÈME DE PYTHAGORE
alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux
autres côtés.
Exemple 5 :
Le triangle ci-contre est rectangle, donc a2 = b2 + c2.
b
c
a
Exemple 6 : Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit
Soit RAS un triangle rectangle en A tel que RS = 9,7 cm et RA = 7,2 cm. Calcule AS.
Solution :
R
Le triangle RAS est rectangle en A, son hypoténuse est le côté [RS]. Donc, d'après le
théorème de Pythagore, on a :
RS2 = RA2 + AS2
9,72 = 7,22 + AS2
AS 2 = 9,72 – 7,22
AS 2 = 94,09 – 51,84
AS 2 = 42,25.
AS = 42,25 cm.
Donc AS = 6,5 cm.
7,2 cm
A
9 ,7
?
cm
S
Exercice n°7 page 141 Calcule la longueur d'un côté d'un triangle rectangle
TER est un triangle rectangle en T tel que TE = 6 m et TR = 4 m. Calcule la valeur exacte de ER puis donne la valeur
arrondie au centimètre.
TER
T
[ER]
ER2 = ET2 + TR2
ER2 = 62 + 42
ER2 = 36 + 16
ER2 = 52
ER =
Page 10 sur 18
52 m
ER  7,21 m
Exercice n°8 page 141 Calcule la longueur d'un côté d'un triangle rectangle
ARC est un triangle rectangle en A tel que RC = 13 m et AR = 5 m. Calcule la longueur AC.
ARC
A
[RC]
RC2 = RA2 + AC2
132 = 52 + AC2
169 = 25 + AC2
AC 2 = 169 – 25
AC 2 = 144
AC = 144 = 12 m .
Exercice n°16 page 143 Écrire la relation
Pour chacun des triangles suivants, recopie et complète la phrase : « Le triangle ..... est rectangle en ..., son hypoténuse
est .... donc d'après le théorème de Pythagore : …2 = …2 + …2 ».
a)
b) R
c) B
d) XYZ tel que :
B
(XY) ⊥ (YZ).
S
A
C
A
C
T
ABC
e) MNP avec :
MNP = 90°.
B
[AC]
AC2 = BA2 + BC2
RST
T
[RS]
RS2 = TR2 + TS2
ABC
A
[BC]
Y
[XZ]
N
[MP]
BC2 = AB2 + AC2
XYZ
XZ2 = YX2 + YZ2
MNP
MP2 = NM2 + NP2
Exercice n°17 page 143 Relations
En utilisant les données de la figure ci-contre, recopie et complète les égalités suivantes :
EF = … + …
EG2 = …2 + …2
2
2
FG = … – …
GH2 = …
2
2
2
2
FG = EF
2
EG = … – …
EH2 = …
2
2
2
E
F
G
2
2
EF = GE + GF
EG2 = HE 2 + HG
2
2
2
– GE
GH2 = EG2 – HE2
2
2
EG = EF
2
– FG
H
2
EH2 = EG2 – GH2
Soit un triangle EDF rectangle en D.
a) Écris l'égalité de Pythagore pour ce triangle.
b) On donne : EF = 450 mm et DF = 360 mm. Calcule ED2 puis, en utilisant la touche racine carrée de ta calculatrice,
la longueur ED.
c) Calcule DF avec EF = 4,5 dm et ED = 2,7 dm.
EDF
D
[EF]
EF2 = DE2 + DF2
2
2
2
2
450 = ED + 360
202 500 = ED2 + 129 600
ED2 = 202 500 – 129 600
ED2 = 72 900 mm2
2
Page 11 sur 18
2
4,5 = 2,7 + DF
20,25 = 7,29 + DF2
DF2 = 20,25 – 7,29
DF2 = 12,96 dm2
ED = 72 900 = 270 mm
DF = 12,96 = 3,6 dm
MER est un triangle rectangle en E.
R
a) Écris l'égalité de Pythagore pour ce triangle.
b) Le tableau suivant présente plusieurs cas de dimensions du triangle MER.
Recopie et complète-le en
n°1
n°2
n°3
n°4
n°5
écrivant le détail de tes
MR
…
…
5,3 cm 9,1 cm
7m
calculs (tu arrondiras au
RE 15 cm 36 cm
…
9 cm
…m
dixième si nécessaire) :
ME 8 cm 7,7 dm 2,8 cm
…
53 cm
MER
E
M
E
[MR]
MR2 = EM2 + ER2
MR2 = 82 + 152
MR2 = 64 + 225
MR2 = 289 cm2
MR = 289 = 17 cm
RE = 7,7 dm = 77 cm
MR2 = 362 + 772
MR2 = 1 296 + 5 929
MR2 = 7 225 cm2
MR = 7 225 = 85 cm
5,32 = 2,82 + RE2
28,09 = 7,84 + RE2
RE2 = 28,09 – 7,84
RE2 = 20,25 cm2
RE = 20,25 = 4,5 cm
9,12 = ME2 + 92
82,81 = ME2 + 81
ME2 = 82,81 –81
ME2 = 1,81 cm2
ME = 1,81  1,3 cm
ME = 53 cm = 0,53 m.
72 = 0,532 + RE2
49 = 0,2809 + RE2
RE2 = 49 – 0,2809
RE2 = 48,7191 m2
RE = 48,7191  7 m
n°1
n°2
n°3
n°4
n°5
MR
17 cm
43,5 cm
5,3 cm
9,1 cm
7m
RE
15 cm
7,7 cm
4,5 cm
9 cm
7 m
ME
8 cm
36 dm
2,8 cm
1,3 cm
53 cm
ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 48 mm et AC = 64 mm.
a) Construis ce triangle en vraie grandeur.
b) Quelle longueur peux-tu calculer avec le théorème de Pythagore ?
Calcule cette longueur en rédigeant. Vérifie la cohérence de ton calcul sur ta figure.
c) Reprends les questions précédentes avec le triangle MOT rectangle en M tel que TO = 7,4 cm et MT = 2,4 cm.
B
BC
ABC
A
[BC]
BC2 = AB2 + AC2
BC2 = 482 + 642
BC2 = 2 304 + 4 096
BC2 = 6 400 mm2
C
A
BC = 6 400 = 80 mm
O
Page 12 sur 18
MO
MTO
M
[TO]
TO2 = MO2 + MT2
7,42 = MO2 + 2,42
54,76 = MO2 + 5,76
MO2 = 54,76 – 5,76
MO2 = 49 cm2
MO = 49 = 7 cm
M
T
Exercice n°23 page 144 Je rédige et je calcule
Le triangle MNP est rectangle en M avec MN = 5,2 m et MP = 4,8 m.
a) Calcule la valeur de NP arrondie au dixième.
b) Calcule RT dans le triangle RST, rectangle en T tel que : ST = 60 mm et RS = 10,9 cm.
c) Calcule BC. Donne la valeur approchée par excès au centième près.
MNP
M
B
5 ,2
A
cm
6,8 cm
C
[NP]
NP2 = MN2 + MP2
NP2 = 5,22 + 4,82
NP2 = 27,04 + 23,04
NP2 = 50,08 m2
NP = 50,08  7,1 m
RST
T
[RS]
RS2 = TR2 + TS2
10,92 = RT2 + 62
118,81 = RT2 + 36
RT2 = 118,81 – 36
RT2 = 82,81 cm2
RT = 82,81 = 9,1 cm
ABC
B
[AC]
AC2 = BA2 + BC2
6,82 = 5,22 + BC2
46,24 = 27,04 + BC2
BC2 = 46,24 – 27,04
BC2 = 19,2 cm2
BC = 19,2  4,38 cm
Exercice n°25 page 144 Saut d'obstacle
Théo veut franchir, avec une échelle, un mur de 3,50 m de haut devant lequel se trouve un fossé rempli d'eau, d'une
largeur de 1,15 m.
a) Fais un schéma de la situation.
b) Il doit poser l'échelle sur le sommet du mur. Quelle doit être la longueur minimum de cette échelle ? Arrondis au cm.
A
A
Page 13 sur 18
B
ABC
C
B
[AC]
AC2 = BA2 + BC2
3,50 m
AC2 = 3,52 + 1,152
AC2 = 12,25 + 1,3225
AC2 = 13,5725 m2
AC = 13,5725  3,68 m
C
1,15 m B
Sur la figure ci-contre :
AB = 1,5 cm ; AD = 6 cm et BC = 12 cm.
a) Calcule la valeur arrondie au mm de BD.
b) Calcule, en justifiant, la valeur exacte de DC.
C
B
A
ABD
2
2
A
[BD]
B
[CD]
D
2
BD = AB + AD
2
BD = 1,52 + 62
BD2 = 2,25 + 36
BD2 = 38,25 cm2
BD = 38,25  6,2 cm
BCD
CD2 = BC2 + BD2
CD2 = 122 + 38,25
CD2 = 144 + 38,25
CD2 = 182,25 cm2
DC = 182,25 = 13,5 cm
Exercice n°30 page 145 Dans un quadrilatère
Démontre que NR = EI. Justifie toutes les étapes.
13 ,5 cm
N
E
6 cm
R
EIR
I
10,5 cm
I
[RE]
RE2 = RI2 + EI2
RE2 = 10,52 + 62
RE2 = 110,25 + 36
RE2 = 146,25 cm2
ENR
R
[NE]
NE2 = NR2 + RE2
13,52 = NR2 + 146,25
182,25 = NR2 + 146,25
NR2 = 182,25 – 146,25
NR2 = 36
NR = 36 = 6 cm = EI
Page 14 sur 18
Exemple 7 :
NUL est un triangle tel que NU = 42 cm ; LU = 46 cm et LN = 62 cm.
Démontre que NUL n'est pas un triangle rectangle.
Solution :
Remarque préliminaire : Si ce triangle est rectangle, seul le côté [LN] peut être son hypoténuse car c'est le
côté le plus long.
Dans le triangle NUL, le plus long côté est [LN], donc on calcule séparément LN2 et LU2 + NU2 :
D'une part, LN2 = 622 = 3 844.
D'autre part, LU2 + NU2 = 462 + 422 = 2 116 + 1 764 = 3 880.
On constate que LN2 ≠ LU2 + NU2.
Or si le triangle était rectangle, d'après le théorème de Pythagore, il y aurait égalité.
Comme ce n'est pas le cas, le triangle NUL n'est pas rectangle.
Exercice n°9 page 141 Démontre qu'un triangle n'est pas rectangle
Soit DEF un triangle tel que DE = 11 cm ; EF = 13 cm et DF = 15 cm.
Construis le triangle DEF puis démontre que ce n'est pas un triangle rectangle.
DEF
[DF]
DF2 = 152 = 225
DE2 + EF2 = 112 + 132 = 121 + 169 = 290
DF2 ≠ DE2 + EF2
DEF
Exercice n°34 page 145 Rectangle ou non ?
a) Le triangle XYZ est tel que XY = 29,8 cm ; YZ = 28,1 cm ; XZ = 10,2 cm.
Explique pourquoi il n'est pas rectangle.
XYZ
[XY]
XY2 = 29,82 = 888,04 cm2
XZ2 + YZ2 = 10,22 + 28,12 = 104,04 + 789,61 = 893,65 cm2
XY2  XZ2 + YZ2
XYZ
b) Soit le triangle ALE tel que : AL = 13,1 cm ; LE = 11,2 cm ; EA = 6,6 cm.
Construis ce triangle en vraie grandeur.
Est-il rectangle ? Justifie ta réponse.
E
L
A
ALE
[AL]
AL2 = 13,12 = 171,61 cm2
LE2 + EA2 = 11,22 + 6,62 = 125,44 + 43,56 = 169 cm2
AL2  LE2 + EA2
Page 15 sur 18
ALE
2.2 Réciproque du théorème de Pythagore
ex 10 et 11
RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE
Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des
longueurs des deux autres côtés,
alors ce triangle est rectangle et admet ce plus grand côté pour hypoténuse.
Exemple 8 :
NEZ est un triangle tel que NE = 75 cm ; EZ = 45 cm et NZ = 60 cm.
Démontre que ce triangle est rectangle.
Solution :
Dans le triangle NEZ, le plus long côté est [NE], donc on calcule séparément NE2 et EZ2 + NZ2 :
D'une part, NE2 = 752 = 5 625.
D'autre part, EZ2 + NZ2 = 452 + 602 = 2 025 + 3 600 = 5625.
On constate que NE2 = EZ2 + NZ2.
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle NEZ est rectangle en Z.
Exercice n°10 page 141 Démontre qu'un triangle est rectangle à l'aide de la réciproque du théorème
de Pythagore
Soit XYZ un triangle tel que XY = 32 cm ; YZ = 40 cm et XZ = 24 cm.
Démontre que le triangle XYZ est rectangle. Tu préciseras en quel point.
XYZ
[YZ]
YZ2 = 402 = 1 600
YX2 + XZ2 = 322 + 242 = 1 024 + 576 = 1 600
YZ2 = YX2 + XZ2
XYZ
X
Exercice n°11 page 141 Démontre qu'un triangle est rectangle à l'aide de la réciproque du théorème
de Pythagore
Soit UVW un triangle tel que UV = 20 dm ; UW = 2,1 m et VW = 290 cm.
Démontre que le triangle UVW est rectangle. Tu préciseras en quel point.
UV = 20 dm = 200 cm
UVW
UW = 2,1 m = 210 cm
VW = 290 cm
[VW]
VW2 = 2902 = 84 100
VU2 + UW2 = 2002 + 2102 = 40 000 + 44 100 = 84 100
VW2 = VU2 + UW2
UVW
U
Soit le triangle MNP tel que MN = 3 cm ; NP = 5 cm et PM = 4 cm.
a) Construis ce triangle en vraie grandeur.
b) En utilisant ton équerre, peux-tu affirmer que ce triangle est rectangle ?
c) Fais les calculs nécessaires pour pouvoir conclure. Écris le théorème utilisé.
M
P
N
Page 16 sur 18
M
MNP
[NP]
NP2 = 52 = 25 cm2
MN2 + MP2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 cm2
NP2 = MN2 + MP2
MNP
M
Dans chacun des cas ci-dessous,…
 identifie le plus long côté du triangle EFG ;
 calcule, d'une part, le carré de la longueur de ce côté ;
 calcule, d'autre part, la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ;
 compare les résultats obtenus et conclus.
a) EF = 4,5 cm ; FG = 6 cm ; EG = 7,5 cm.
EFG
[EG]
EG2 = 7,52 = 56,25 cm2
FE2 + FG2 = 4,52 + 62 = 20,25 + 36 = 56,25 cm2
EG2 = FE2 + FG2
EFG
F
b) EF = 3,6 cm ; FG = 6 cm ; EG = 7 cm.
EFG
[EG]
EG2 = 72 = 49 cm2
FE2 + FG2 = 3,62 + 62 = 12,96 + 36 = 48,96 cm2
EG2  FE2 + FG2
EFG
c) FG =64 mm ; EF = 72 mm ; EG = 65 mm.
EFG
[EF]
EF2 = 722 = 5 184 mm2
GE2 + GF2 = 652 + 642 = 4 225 + 4 096 = 8 321 mm2
EF2  GE2 + GF2
EFG
d) EF = 3,2 dam ; FG = 25,6 m ; EG = 19,2 m.
EF = 3,2 dam = 32 m
EFG
[EF]
EF2 = 322 = 1 024 m2
GE2 + GF2 = 19,22 + 25,62 = 368,64 + 655,36 = 1 024 m2
EF2 = GE2 + GF2
EFG
G
Page 17 sur 18
Exercice n°39 page 146 Jouer au professeur !
Voici l'énoncé d'un problème :
ABC est un triangle tel que BC = 25 cm ; AB = 24 cm et AC = 7 cm. Démontre que le triangle ABC est un triangle
rectangle.
Quentin a rédigé sur sa copie le texte :
a) Explique pourquoi le raisonnement de Quentin est faux.
b) Recopie la démonstration de Quentin en la corrigeant.
BC2 = AB2 + AC2
ABC
[BC]
BC2 = 252 = 625 cm2
AB2 + AC2 = 242 + 72 = 576 + 49 = 625 cm2
BC2 = AB2 + AC2
ABC
A
Exercice n°40 page 146 Comparaison
Voici ce que l'on peut voir sur une copie :
« AB2 = 3,642
AC2 + BC2 = 0,272 + 3,652
AB2 = 13,2496
AC2 + BC²2 = 0,072 9 + 13,322 5
AC2 + BC2 = 13,395 4
Donc AB2 ≠ AC2 + BC2. D'après le théorème de Pythagore, ABC n'est pas rectangle. »
Est-ce juste ? Justifie ta réponse et corrige cette copie le cas échéant.
C
[BC]
A
BC2 = 3,652 = 13,322 5
AB2 + AC2 = 3,642 + 0,272 = 13,249 6 + 0,072 9 = 13,3225
BC2 = AB2 + AC2
ABC
A
Exercice n°42 page 146 Du parallélogramme au rectangle
On considère le parallélogramme STOP ci-contre dessiné à main levée.
Démontre que le parallélogramme STOP est un rectangle.
S
7 cm
T
5,25 cm
P
STOP
[SP]
O
[TO]
SP = TO = 5,25 cm
STP
[TP]
TP2 = 8,752 = 76,5625 cm2
ST2 + SP2 = 72 + 5,252 = 49 + 27,5625 = 76,5625 cm2
2
2
Page 18 sur 18
2
TP = ST + SP
STP
S
STOP
Exercice n°44 page 146 Fleurs sur une étagère
Sur un mur vertical, Arnaud a installé une étagère pour y poser un pot de fleurs.
Les mesures qu'il a utilisées sont les suivantes :
AT = 42 cm ; AE = 58 cm et TE = 40 cm.
L'étagère d'Arnaud est-elle horizontale ? Justifie.
T
A
E
ATE
[AE]
AE2 = 582 = 3 364 cm2
TA2 + TE2 = 422 + 402 = 1 764 + 1 600 = 3 364 cm2
AE2 = TA2 + TE2
ATE
T

Triangle rectangle

Transcription

Similar documents

N { }) - Achamel

CorrigÃ© DNB Blanc 2015

CorrigÃ© - CollÃ¨ge Henry Dunant d`Aumale

THEOREME DE PYTHAGORE PROBLEMES

QuatriÃ¨me / Cercles et triangles rectangles

Compte rendu n°1

Tutorial – Wavy Triangle

séquence géométrie p24à37

Modèle géométrique du sommet et de la bissectrice d`un

TD3 - Amandine Schreck

Vecteurs - Partie II â Exercices

Fiches-Pédagogiques-1ère-Année-Sec-1

Vous pouvez télécharger gratuitement cette brochure n° 196

stage olympique de grésillon 2011

Télécharger le livre blanc final

GP PARCOURS CM2.indd - Hachette Livre International

Le Tableau Magique RAPPORT DE PROJET ENSIMAG 1998

comité de parents - Commission scolaire de Laval

Téléphone mobile GSM / GPRS bi-bande