Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin

Transcription

Capitolul 1
Ecuaţii diferenţiale de ordinul
ı̂ntâi rezolvabile prin metode
elementare
Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul ı̂ntâi este o relaţie de dependenţǎ
funcţionalǎ de forma
g(t, x, ẋ) = 0
(1.1)
ı̂ntre funcţia identicǎ t 7→ t definitǎ pe intervalul I necunoscut, o funcţie
necunoscutǎ x şi derivata ei ẋ definite pe acelaşi interval.
În ecuaţia (1.1) funcţia g se considerǎ cunoscutǎ, iar rezolvarea ecuaţiei
ı̂nseamnǎ determinarea funcţiilor necunoscute x care verificǎ ecuaţia.
Definiţia 1.0.2 O funcţie realǎ x de clasǎ C 1 definitǎ pe un interval deschis
I ⊂ IR1 se numeşte soluţie a ecuaţiei (1.1) dacǎ pentru orice t ∈ I tripletul
(t, x(t), ẋ(t)), aparţine domeniului de definiţie al lui g şi
g(t, x(t), ẋ(t)) = 0.
(1.2)
Graficul unei soluţii: Γ = {(t, x(t))|t ∈ I} se numeşte curbǎ integralǎ.
La ı̂nceput vom prezenta câteva cazuri particulare de asemenea ecuaţii,
care se rezolvǎ cu metode elementare şi probleme concrete din diferite domenii
care au condus la asemenea ecuaţii.
1
2
CAPITOLUL 1
1.1
Problema primitivei. Ecuaţii
diferenţiale de forma ẋ = f (t)
Problema 1.1.1 O conductǎ termicǎ are diametrul 10 (cm) şi este izolatǎ cu un strat cilindric de 10 (cm) grosime. Temperatura conductei este
160 (◦C), iar temperatura mediului exterior este 30 (◦C).
i) Care este legea de variaţie a temperaturii ı̂n stratul izolant ı̂n cazul
staţionar?
ii) Ce cantitate de cǎldurǎ cedeazǎ fiecare metru de conductǎ ı̂n 24 ore?
Se dǎ coeficientul de conductivitate termicǎ k = 0, 07 (W/K · m).
Rezolvare:
Fie t distanţa unui punct din stratul izolant şi axa conductei termice,
t ∈ (5, 15) × 10−2 m şi x(t) temperatura ı̂n acest punct. Temperatura este
funcţia necunoscutǎ şi depinde de t, iar funcţia x = x(t) descrie variaţia
temperaturiii ı̂n stratul izolant.
i) Pentru determinarea funcţiei x(t) folosim legea lui Fourier: cantitatea
de cǎldurǎ Q cedatǎ ı̂n unitatea de timp ı̂n regim staţionar pe suprafaţa
lateralǎ a cilindrului de razǎ t este proporţionalǎ cu produsul dintre aria
lateralǎ a cilindrului şi variaţia temperaturii dx:
−k · S(t) ·
dx
= Q.
dt
(1.3)
unde k este conductivitatea termicǎ a materialului izolant.
Aria lateralǎ a cilindrului de razǎ t şi lungime l, este S(t) = 2π · t · l. Rezultǎ:
dx
Q
1
=−
· .
dt
2π k l t
(1.4)
Prin urmare avem de determinat o funcţie x(t) care veificǎ (1.4).
Din teoria primitivelor rezultǎ cǎ orice funcţie x(t) care verificǎ (1.4) este
datǎ de formula
Q
x(t) = −
· ln t + C
(1.5)
2π k l
ı̂n care t ∈ (5, 15) şi C este o constantǎ oarecare. Determinarea legii de
variaţie cerute revine la selecţionarea acelei funcţii x(t) din familia (1.5) care
3
Problema primitivei. Ecuaţii diferenţiale de forma ẋ = f (t)
verificǎ condiţiile: pentru t1 = 5 (cm) avem x(t1 ) = 160 (◦C), şi pentru
t2 = 15 (cm), x(t2 ) = 30 (◦ C).
Impunând aceste condiţii, rezultǎ
C = 303 + 130 ·
ln 15 · 10−2
= 78, 51(◦K)
ln 3
şi
Q
130
=
,
2π k l
ln 3
de unde
x(t) = 78, 51 − 118, 33 ln t.
ii) Folosind valorile numerice rezultǎ Q iar pentru cantitatea de cǎldurǎ
cedatǎ de fiecare metru liniar (l= 1 m) ı̂n 24 ore, q = Ql · 24 · 3600(s).
Trecem acum la cazul general de rezolvare a unei ecuaţii diferenţiale de
forma ẋ = f (t) ı̂n care f este o funcţie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval
I ⊂ IR1 , consideratǎ cunoscutǎ.
Din teoria primitivelor se ştie cǎ, dacǎ f este o funcţie realǎ continuǎ
definitǎ pe un interval I ⊂ IR1 , atunci existǎ o familie de funcţii reale de
clasǎ C 1 definite pe I a cǎror derivatǎ este funcţia f . Aceste funcţii diferǎ
ı̂ntre ele printr-o constantǎ şi se obţin cu formula:
Z t
x(t) =
f (τ )dτ + C
(1.6)
t∗
ı̂n care C este o constantǎ realǎ iar
Z
t
f (τ )dτ este o primitivǎ a funcţiei f .
t∗
Pentru t0 ∈ I şi x0 ∈ IR1 existǎ o singurǎ soluţie x = x(t) a ecuaţiei (1.6)
care verificǎ condiţia x(t0 ) = x0 şi aceasta este datǎ de formula
Z t
x(t) = x0 +
f (s)ds.
(1.7)
t0
Problema determinǎrii acelei soluţii a ecuaţiei ẋ = f (t) care verificǎ condiţia
x(t0 ) = x0 se numeşte problemǎ cu date iniţiale sau problemǎ Cauchy. Într-o
asemenea problemǎ t0 şi x0 se considerǎ cunoscute şi se numesc date iniţiale.
Problema ı̂n sine se noteazǎ tradiţional astfel:
ẋ = f (t)
x(t0 ) = x0
şi soluţia ei cu x(t; t0 , x0 ).
(1.8)
4
CAPITOLUL 1
Concluzii
1. Existǎ probleme de fizicǎ care conduc la ecuaţii diferenţiale de forma
ẋ = f (t) (numitǎ problema primitivei) ı̂n care f este o funcţie realǎ
continuǎ definitǎ pe un interval deschis (a, b) ⊂ IR1 .
2. Oricare ar fi soluţia x = x(t) a ecuaţiei diferenţiale ẋ = f (t) existǎ o
constantǎ realǎ C astfel ı̂ncât
Z t
x(t) =
f (τ )dτ + C, (∀)t ∈ (a, b).
t∗
3. Oricare ar fi t0 ∈ (a, b) şi x0 ∈ IR1 existǎ o singurǎ funcţie x = x(t)
definitǎ pe (a, b) care este soluţia problemei cu date iniţiale
ẋ = f (t)
x(t0 ) = x0
Exerciţii
1. Sǎ se determine soluţiile urmǎtoarelor ecuaţii diferenţiale (cu calculatorul):
t3 t2
+ +t+C
3
2
a) ẋ = 1 + t + t2 ; t ∈ IR1
R : x(t) =
1
b) ẋ = ; t > 0
t
R: x(t) = ln t + C
c) ẋ = 1 + sin t + cos 2t; t ∈ IR1
R: x(t) = t − cos t +
1
sin 2t + C
2
d) ẋ =
1
; t ∈ IR1
2
1+t
R: x(t) = arctan t + C
e) ẋ =
1
; t ∈ (−1, 1)
t2 − 1
R: x(t) =
f) ẋ = √
1
1−t
ln
+C
2
1+t
√
1
; t ∈ IR1 − [−2, 2] R: x(t) = ln(t + t2 − 4) + C
t2 − 4
5
Problema primitivei. Ecuaţii diferenţiale de forma ẋ = f (t)
1
g) ẋ = e2t + sin t; t ∈ IR1 R: x(t) = e2t − cos t + C
2
2
h) ẋ = et ; t ∈ IR1
R:
se determinǎ numeric o primitivǎ
Z t
2
t2
a lui e , de exemplu
es ds
0
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy şi sǎ se reprezinte grafic
soluţiile (cu calculatorul):
a) ẋ = 1 + t + t2 , t ∈ IR1 ,
x(0) = 1
R: x(t) =
1
b) ẋ = , t > 0,
t
t3 t2
+ +t+1
3
2
x(1) = 0
R: x(t) = ln t
c) ẋ = 1+sin t+cos 2t, t ∈ IR1 ,
x(−π) = 7
1
R: x(t) = −cos t+ sin 2t+t+6+π
2
d) ẋ =
1
, t ∈ IR1 ,
1 + t2
x(−1) = −2
1
R: x(t) = arctan t + π − 2
4
e) ẋ = −
(t2
2
, t < 1,
− 1)2
x(−2) = 0
R: x(t) = ln
f) ẋ = √
1
, t > 0,
t2 + t
x(1) = 1
r
√
t−1
t
2
+2
+ −ln 3
t+1 t −1 3
√
1
2
R: x(t) = ln +t+ t +t +ln 2+1
2
6
CAPITOLUL 1
1.2
Ecuaţii diferenţiale autonome ẋ = g(x)
Problema 1.2.1 O rachetǎ meteorologicǎ este lansatǎ vertical ı̂n sus cu
viteza iniţialǎ de 100 (m/s). Rezistenţa aerului frâneazǎ mişcarea ei şi-i
comunicǎ acceleraţia −k · v 2 (t), v(t) fiind viteza rachetei la momentul t iar
k o constantǎ pozitivǎ.
i) Sǎ se afle timpul ı̂n care racheta atinge ı̂nǎlţimea maximǎ.
ii) Sǎ se afle ı̂nǎlţimea maximǎ la care se ridicǎ racheta.
Rezolvare:
i) Acceleraţia totalǎ a rachetei, ı̂n lansarea pe verticalǎ ı̂n sus este a =
−(g + k v 2 ) unde g ≈ 10 (m/s2 ) este acceleraţia gravitaţionalǎ, iar k o
constantǎ pozitivǎ consideratǎ cunoscutǎ.
Legea de mişcare a rachetei se scrie astfel:
dv
= −(g + k v 2 )
dt
(1.9)
Funcţia v care intervine ı̂n (1.9) reprezintǎ viteza rachetei şi este necunoscutǎ.
Ea trebuie gǎsitǎ pentru ca apoi egalând-o cu zero (aceasta ı̂nseamnǎ cǎ
racheta a atins ı̂nǎlţimea maximǎ) sǎ gǎsim timpul ı̂n care racheta atinge
ı̂nǎlţimea maximǎ.
Din (1.9) şi din inegalitatea g + k v 2 > 0 rezultǎ egalitatea
−
1
dv
·
= 1.
2
g + k v dt
Trecând la primitive se obţine egalitatea
Z t
Z t
1
dv
· dτ =
dτ
−
2
t∗
t∗ g + k v (τ ) dτ
din care printr-o schimbare de variabilǎ rezultǎ
s
s !t
k
k arctan v(τ ) ·
= −kτ |tt∗
g
g ∗
t
sau
v(t) =
s
k
· tan
g
r
g
(−k t + C) .
k
7
Constanta C se determinǎ din condiţia iniţialǎ v(0) = 100 (m/s) şi se obţine
s
s
!
k
k
C=
· arctan
· 100
g
g
iar timpul t1 dupǎ care racheta ajunge la ı̂nǎlţimea maximǎ se determinǎ din
condiţia v(t1 ) = 0 şi se obţine
q arctan 100 kg
√
t1 =
(s)
gk
ii) Pentru a gǎsi ı̂nǎlţimea maximǎ la care se ridicǎ racheta se noteazǎ cu
x(t) ı̂nǎlţimea la care se aflǎ racheta la momentul t. Funcţia x(t) este necunoscutǎ şi pentru determinarea ei se ţine seama cǎ viteza v(t) este derivata
funcţiei x(t):
s
s
"r
!!#
r
g
g
k
k
dx
=
· tan
−k t +
· arctan
· 100
dt
k
k
g
g
şi cǎ x(0) = 0 (racheta pleacǎ de pe sol). Determinarea funcţiei x(t) care
verificǎ aceste condiţii este o problemǎ Cauchy de forma ẋ = f (t), x(t0 ) = x0
şi rezolvarea ei a fost fǎcutǎ ı̂n §1.1. Se determinǎ soluţia x(t; 0, x0 ) a problemei Cauchy şi se calculeazǎ apoi x(t1 ; 0, x0 ). Aceasta este ı̂nǎlţimea maximǎ
la care se ridicǎ racheta meteorologicǎ.
Raţionamentul prezentat la rezolvarea punctului i) al problemei 1.2.1
poate fi generalizat pentru determinarea soluţiilor unei ecuaţii diferenţiale
de forma:
ẋ = g(x)
(1.10)
ı̂n care g este o funcţie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval J ⊂ IR1 , care
nu se anuleazǎ (g(x) 6= 0 (∀)x ∈ J) şi este cunoscutǎ.
Într-adevǎr, dacǎ o funcţie realǎ x : I → J este o soluţie a ecuaţiei (1.10)
atunci pentru orice t ∈ I avem
dx
= g(x(t))
dt
sau
1
dx
·
= 1.
g(x(t)) dt
8
CAPITOLUL 1
Trecând la primitive rezultǎ egalitatea
Z t
Z t
dx
1
·
dτ =
dτ
t∗
t∗ g(x(τ )) dτ
din care printr-o schimbare de variabilǎ se obţine
Z x
1
du = t + C.
x∗ g(u)
(1.11)
Rezultǎ ı̂n acest fel cǎ o soluţie x = x(t) a ecuaţiei diferenţiale (1.10) este
soluţie pentru ecuaţia implicitǎ
G(t, x; C) = 0
ı̂n care
G(t, x; C) = t + C −
Z
x
x∗
(1.12)
1
du.
g(u)
(1.13)
Este uşor de arǎtat folosind teorema funcţiilor implicite cǎ, dacǎ x(t; C)
este o soluţie a ecuaţiei (1.12), atunci este şi soluţie a ecuaţiei diferenţiale
(1.10).
Observaţia 1.2.1 Dacǎ funcţia g se anuleazǎ ı̂n x∗ ∈ J, atunci funcţia
constantǎ x(t) = x∗ este soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1.10).
Observaţia 1.2.2 Pentru t0 ∈ IR1 şi x0 ∈ J, problema determinǎrii acelei
soluţii a ecuaţiei (1.10) care verificǎ condiţia suplimentarǎ x(t0 ) = x0 se
numeşte problemǎ Cauchy sau problemǎ cu date iniţiale:
ẋ = g(x)
x(t0 ) = x0
iar soluţia acesteia, x = x(t; t0 , x0 ), este datǎ de ecuaţia implicitǎ:
Z x
1
du = t − t0 .
x0 g(u)
(1.14)
(1.15)
Într-o problemǎ Cauchy t0 şi x0 sunt considerate cunoscute şi se numesc date
iniţiale.
9
Concluzii
ẋ = g(x) ı̂n care g este o funcţie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval
deschis (c, d) ⊂ IR1 şi nu se anuleazǎ.
2. Oricare ar fi soluţia x(t) a ecuaţiei diferenţiale ẋ = g(x) şi oricare ar
fi x∗ ∈ (c, d) existǎ
Z ox constantǎ scalarǎ C astfel ı̂ncât x(t) este soluţia
1
ecuaţiei implicite
du − t − C = 0 şi reciproc, o soluţie a acestei
x∗ g(u)
ecuaţii implicite este soluţie pentru ecuaţia diferenţialǎ.
3. Oricare ar fi t0 ∈ IR1 şi x0 ∈ (c, d) existǎ o funcţie unicǎ x = x(t)
definitǎ pe un interval deschis I0 (care conţine pe t0 ) şi cu valori ı̂n
(c, d) care este soluţia problemei cu date iniţiale ẋ = g(x), x(t0 ) = x0 .
4. Dacǎ funcţia g se anuleazǎ ı̂ntr-un punct x∗ ∈ (c, d) atunci funcţia
constantǎ x(t) ≡ x∗ este soluţie a ecuaţiei diferenţiale.
Exerciţii
a) ẋ = 1 + x2 , x ∈ IR1
R: x(t) = tan(t + C), t + C 6= (2k + 1) ·
b) ẋ = e−x , x ∈ IR1
R: x(t) = ln(t + C), t + C > 0
c) ẋ = k · x, x > 0
R: x(t) = C · ek t , C > 0, t ∈ IR1
d) ẋ = k · x, x < 0
R: x(t) = C · ek t , C < 0, t ∈ IR1
e) ẋ = x2 , x > 0
R: x(t) = −
1
, t+C <1
t+C
π
2
10
CAPITOLUL 1
soluţiile cu calculatorul:
a) ẋ = k x,
x(0) = x0
R: x(t) = x0 ekt
x0
x0 − et (x0 − 1)
b) ẋ = −x + x2 , x(0) = x0
R: x(t) =
c) ẋ = 1 + x2 ,
x(0) = x0
R: x(t) = tan(t + arctan x0 )
d) ẋ = x2 ,
x(0) = x0
R: x(t) = −
x0
t x0 − 1
11
Ecuaţii diferenţiale cu variabile separate
1.3
Ecuaţii diferenţiale cu variabile
separate
O ecuaţie diferenţialǎ cu variabile separate are forma
ẋ = f (t) · g(x),
(1.16)
unde f şi g sunt funcţii reale continue, f : (a, b) → IR1 , g : (c, d) → IR1
şi se considerǎ cunoscute. Dacǎ funcţia g nu se anuleazǎ pe intervalul (c, d)
(g(x) 6= 0, (∀)x ∈ (c, d)) atunci soluţiile ecuaţiei (1.16) se determinǎ fǎcânduse un raţionament asemǎnǎtor cu cel din paragraful precedent.
Dacǎ x : I ⊂ (a, b) → (c, d) este o soluţie a ecuaţiei (1.16) atunci pentru
orice t ∈ I are loc
dx
= f (t) · g(x(t))
dt
sau
1
dx
·
= f (t)
g(x(t)) dt
Trecând la primitive rezultǎ
Z
t
t∗
1
dx
·
dτ =
g(x(τ )) dτ
Z
t
f (τ )
t∗
care printr-o schimbare de variabilǎ conduce la egalitatea
Z
x
x∗
1
du =
g(u)
Z
t
f (τ ) + C.
(1.17)
t∗
Am obţinut ı̂n acest fel cǎ o soluţie a ecuaţiei (1.16) este soluţie pentru
ecuaţia implicitǎ
G(x, t; C) = 0
(1.18)
ı̂n care funcţia G(x, t; C) este datǎ de egalitatea:
G(x, t; C) =
Z
t
t∗
f (τ ) + C −
Z
x
x∗
1
du.
g(u)
(1.19)
Folosind teorema funcţiilor implicite se aratǎ uşor cǎ dacǎ x(t, C) este o
soluţie a ecuaţiei (1.18) atunci este soluţie şi a ecuaţiei diferenţiale (1.16).
12
CAPITOLUL 1
Exemplul 1.3.1 Sǎ se determine soluţiile ecuaţiei diferenţiale:
ẋ =
1
(1 + x2 ),
1 + t2
În acest caz f : IR1 → IR1 , f (t) =
t ∈ IR1 , x ∈ IR1
şi g : IR1 → IR1 , g(x) = 1 + x2 , iar
1
1+t2
G(t, x; C) = arctan t + C − arctan x
Ecuaţia implicitǎ este:
arctan t + C − arctan x = 0
de unde
x(t) = tan(arctan t + C)
Observaţia 1.3.1 Dacǎ funcţia g din ecuaţia (1.16) se anuleazǎ ı̂ntr-un
punct x∗ ∈ (c, d) atunci funcţia constantǎ x(t) = x∗ este soluţia ecuaţiei
diferenţiale (1.16).
Observaţia 1.3.2 Pentru t0 ∈ (a, b) şi x0 ∈ (c, d) problema determinǎrii
acelei soluţii a ecuaţiei (1.16) care verificǎ condiţia suplimentarǎ x(t0 ) = x0
se numeşte problemǎ Cauchy sau problemǎ cu date iniţiale şi se noteazǎ cu
ẋ = f (t) · g(x),
x(t0 ) = x0 .
(1.20)
Soluţia acestei probleme se noteazǎ de obicei cu x = x(t; t0 , x0 ) şi este datǎ
de ecuaţia implicitǎ
Z x
Z t
du
−
f (τ )dτ = 0.
(1.21)
x0 g(u)
t0
Într-o problemǎ Cauchy, t0 si x0 sunt considerate cunoscute şi se numesc
condiţii iniţiale.
Observaţia 1.3.3 O clasǎ particularǎ importantǎ de ecuaţii diferenţiale cu
variabile separate sunt ecuaţiile diferenţiale de ordinul ı̂ntâi liniare şi omogene. Aceste ecuaţii sunt de forma
ẋ = A(t) · x,
t ∈ (a, b), x ∈ IR1
(1.22)
13
ı̂n care A(t) este o funcţie realǎ continuǎ pe (a, b). Conform celor arǎtate,
soluţiile ecuaţiei (1.22) sunt date de formula
Rt
x(t) = C · e
t∗
A(τ )dτ
(1.23)
ı̂n care C este o constantǎ realǎ oarecare.
Soluţia problemei Cauchy
ẋ = A(t) · x,
t0 ∈ (a, b), x0 ∈ IR1
(1.24)
Rt
(1.25)
x(t0 ) = x0
este datǎ de formula:
x(t; t0 , x0 ) = x0 · e
t0
A(τ )dτ
.
Problema 1.3.1 O pâine scoasǎ din cuptor are temperatura 100◦ C şi capǎtǎ
temperatura de 60◦ C ı̂n decurs de 20 minute. Temperatura aerului fiind de
20◦ C, peste cât timp, ı̂ncepând din momentul rǎcirii, pâinea va cǎpǎta temperatura de 25◦ C?
Rezolvare:
Notǎm cu x(t) temperatura pâinii la momentul t şi folosim legea lui Newton dupǎ care, viteza de rǎcire a unui corp cu temperatura x(t), situat ı̂ntr-un
mediu cu temperatura x0 , este proporţionalǎ cu diferenţa x(t) − x0 :
ẋ(t) = k [x(t) − x0 ].
Funcţia y(t) = x(t) − x0 verificǎ ecuaţia
ẏ(t) = k · y(t)
care este o ecuaţie liniarǎ şi omogenǎ. Rezultǎ
y(t) = C ek t
şi astfel
x(t) = x0 + C ek t .
În aceastǎ egalitate x0 = 20◦ C. Pentru determinarea constantelor C şi k
ţinem seama de condiţiile x(0) = 100◦C şi x(20) = 60◦ C. Rezultǎ x(t) =
20t
1
◦
◦
20 C + 80 C ·
. Dacǎ t∗ este timpul dupǎ care temperatura devine
2
t∗
20
1
25◦ C rezultǎ 25◦ C = 20◦ C + 80◦ C ·
, de unde t∗ = 80 minute.
2
14
CAPITOLUL 1
Concluzii
ẋ = f (t) · g(x), numite ecuaţii cu variabile separate, ı̂n care f şi g sunt
funcţii reale continue, funcţia f este definitǎ pe un interval (a, b) ⊂ IR1 ,
iar funcţia g este definitǎ pe un interval (c, d) ⊂ IR1 şi nu se anuleazǎ
ı̂n nici un punct (g(x) 6= 0, (∀)x ∈ (c, d)).
2. Oricare ar fi soluţia x(t) a ecuaţiei diferenţiale cu variabile separate şi
oricare ar fi t∗ ∈ (a, b) şi x∗ ∈ (c, d), existǎ o constantǎ C astfel ı̂ncât
x(t) este soluţia ecuaţiei implicite
Z x
Z t
du
−
f (τ )dτ − C = 0
x∗ g(u)
t∗
şi reciproc, oricare ar fi t∗ ∈ (a, b), x∗ ∈ (c, d) şi C ∈ IR1 , o soluţie
x = x(t) a ecuaţiei implicite este soluţie pentru ecuaţia diferenţialǎ.
3. Oricare ar fi t0 ∈ (a, b) şi x0 ∈ (c, d) existǎ o funcţie unicǎ x = x(t)
definitǎ pe un interval deschis I0 (care conţine punctul t0 ) şi cu valori
ı̂n intervalul (c, d), x : I0 ⊂ (a, b) → (c, d) care este soluţia problemei
cu date iniţiale ẋ = f (t) · g(x), x(t0 ) = x0 .
4. Dacǎ funcţia g se anuleazǎ ı̂ntr-un punct x∗ ∈ (c, d) atunci funcţia
constantǎ x(t) = x∗ este soluţie a ecuaţiei diferenţiale.
Exerciţii
t
·
a) ẋ = − √
1 + t2
√
√
√
1 + x2
, x < 0, t ∈ IR1 R:
x2 +1+ t2 +1 = C
x
t
(1 − x), t > −1, x > 1
1+t
2
1
x +1
c) ẋ = 1 +
· 2
, t > 0, x ∈ IR1
t
x +2
b) ẋ =
R:
1+t
= C · et
1−x
R: x+arctan x = ln t+t+C
15
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy şi sǎ se reprezinte soluţiile (cu
calculatorul):
a) ẋ =
√
t x, t > 0, x > 0,
t0 = 1, x0 = 0
R:
b) ẋ = −2t
c) ẋ =
√
x(t) = 0
4−x2
, t ∈ IR1 , x ∈ (0, 2), t0 = 0, x0 = 1
x
√
√
4−x2 −t2 − 3 = 0
R:
1 1−x2
·
, t < 1, x ∈ (0, 1),
1−t x
t0 = 0
R:
x0 =
1
2
r
3
3 1
x(t) = − t2+ t+
4
2 4
16
1.4
CAPITOLUL 1
Ecuaţii omogene ı̂n sens Euler
Ecuaţiile omogene ı̂n sens Euler sunt ecuaţii de forma
ẋ =
P (t, x)
Q(t, x)
(1.26)
ı̂n care funcţiile P (t, x) şi Q(t, x) sunt funcţii omogene ı̂n sens Euler de acelaşi
grad, considerate cunoscute:
P (λt, λx) = λk · P (t, x) şi Q(λt, λx) = λk · Q(t, x).
(1.27)
Din (1.27) rezultǎ egalitatea:
P 1, xt
P (t, x)
, (∀)t 6= 0
=
Q(t, x)
Q 1, xt
şi prin urmare ecuaţia omogenǎ (1.26) are forma canonicǎ
x
, (∀)t 6= 0
ẋ = g
t
ı̂n care
g
x
t
(1.28)
(1.29)
P 1, xt
.
=
Q 1, xt
Funcţia realǎ g este consideratǎ continuǎ şi cunoscutǎ.
Pentru determinarea soluţiilor ecuaţiei (1.29) se introduc noile funcţii
x
necunoscute y = care verificǎ ecuaţia:
t
1
ẏ = [g(y) − y].
t
(1.30)
Ecuaţiile diferenţiale (1.26) şi (1.30) sunt echivalente ı̂n sensul urmǎtor: dacǎ
x(t)
o funcţie x(t) este soluţie pentru ecuaţia (1.26) atunci funcţia y(t) =
t
este soluţie pentru ecuaţia (1.30) şi reciproc.
În acest fel, rezolvarea ecuaţiei omogene ı̂n sens Euler se reduce la rezolvarea ecuaţiei cu variabile separate (1.30).
Problema 1.4.1 Ce suprafaţǎ de rotaţie trebuie sǎ reprezinte oglinda unui
proiector, pentru ca toate razele de luminǎ ce pleacǎ de la o sursǎ punctiformǎ
sǎ fie reflectate paralel cu o direcţie datǎ?
Ecuaţii omogene ı̂n sens Euler
17
Rezolvare:
Considerǎm un plan meridian pe care ı̂l luǎm ca fiind planul (tOx). Axa
Ot o alegem paralelǎ cu direcţia dupǎ care lumina trebuie reflectatǎ, iar
originea axelor ı̂n sursa de luminǎ.
Figura 2 - Reflexia razelor de luminǎ pe o oglindǎ parabolicǎ
Dupǎ legile reflexiei ∢OP M = ∢MP Q şi ∢RP O = ∢R′ P Q şi deci v = 2u.
x
2 tan u
Cum tan v = şi tan u = ẋ iar tan 2u =
rezultǎ
t
1 − tan2 u
√
x
2ẋ
−t ± t2 + x2
=
sau ẋ =
.
t
1 − ẋ2
x
Ecuaţia diferenţialǎ este omogenǎ ı̂n sens Euler (este de
forma(1.29))
C
şi se rezolvǎ dupǎ modul prezentat obţinându-se x2 = 2C t +
. Deci
2
curba meridianǎ este o parabolǎ cu vârful pe Ot iar oglinda un paraboloid
de rotaţie.
Concluzii
1. Existǎ probleme
de fizicǎ care conduc la ecuaţii diferenţiale de forma
x
ẋ = g
(numite ecuaţii omogene ı̂n sens Euler) ı̂n care g este o
t
funcţie realǎ continuǎ definitǎ pe un interval I ⊂ IR1 .
18
CAPITOLUL 1
x
2. O funcţie x = x(t) este soluţie a ecuaţiei ẋ = g
dacǎ şi nut
x
mai dacǎ funcţia y =
este soluţie a ecuaţiei cu variabile separate
t
ẏ = 1t [g(y) − y].
x
3. Rezolvarea problemei Cauchy ẋ = g
, x(t0 ) = x0 se reduce la
t
x0
1
rezolvarea problemei Cauchy ẏ = [g(y) − y], y(t0) = y0 = .
t
t0
Exerciţii
1. Sǎ se determine soluţiile urmǎtoarelor ecuaţii diferenţiale:
a) ẋ =
b) ẋ =
x
x
+ et
t
R: ln(t) = e− t + C
x2 + t2
t·x
R: x2 = 2t2 ln(t) + C · t2
x
r
x
x2
R: arctan −ln
+1 = ln t+C
2
t2
r
t
x
R:
− ln = ln t + C
x
t
t+x
c) ẋ =
t−x
x
√
t − 2 tx
soluţiile (cu calculator):
d) ẋ =
a) ẋ =
b) ẋ =
c) ẋ =
4tx − x2
, t0 = 1, x0 = 1
2t2
2tx
, t0 = 0, x0 = 0
− x2
3t2
2t + x
,
4t − x
d) ẋ = −
x+t
,
5x + t
R: x(t) =
2t2
t+1
R: x(t) = 0
t0 = 1, x0 = 1
R: x(t) = t
t0 = 1, x0 = 0
1 1√
R: x(t) = − t+ −4t2 +5
5 5
19
Ecuaţii omogene generalizate
1.5
Ecuaţii omogene generalizate
Ecuaţiile omogene generalizate sunt ecuaţii diferenţiale de forma:
at + bx + c
ẋ = f
a1 t + b1 x + c1
(1.31)
ı̂n care funcţia realǎ f este consideratǎ continuǎ şi cunoscutǎ, şi unde c21 +c2 6=
0 (dacǎ c1 = c = 0, ecuaţia este omogenǎ ı̂n sens Euler). Pentru determinarea
soluţiilor acestei ecuaţii ţinem seama de urmǎtoarele rezultate:
b
a
Propoziţia 1.5.1 Dacǎ
6=
atunci ı̂n urma schimbǎrii de variabilǎ
a1
b1
independentǎ t şi de funcţie necunoscutǎ x definite de formulele:
τ = t − t0 şi y = x − x0
(1.32)
ecuaţia diferenţialǎ (1.31) se transformǎ ı̂n ecuaţia diferenţialǎ omogenǎ ı̂n
sens Euler:
aτ + by
dy
=f
(1.33)
dτ
a1 τ + b1 y
unde (t0 , x0 ) este soluţia sistemului de ecuaţii algebrice
at + bx + c = 0
(1.34)
a1 t + b1 x + c1 = 0.
Demonstraţie: Prin calcul.
În urma schimbǎrii de funcţie necunoscutǎ definitǎ prin
y
z=
(1.35)
τ
ecuaţia (1.33) se transformǎ ı̂n ecuaţia diferenţialǎ cu variabile separate
dz
1
a + bz
=
f
−z .
(1.36)
dτ
τ
a1 + b1 z
a
b
Propoziţia 1.5.2 Dacǎ
=
= m, atunci ı̂n urma schimbǎrii de funcţie
a1
b1
necunoscutǎ x definitǎ de
y(t) = a1 t + b1 x(t)
(1.37)
ecauţia diferenţialǎ (1.31) se transformǎ ı̂n ecuaţia diferenţialǎ autonomǎ
my + c
ẏ = a1 + b1 · f
.
(1.38)
y + c1
20
CAPITOLUL 1
Exerciţii
1. Sǎ se rezolve urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale:
3t−4x+7
a) ẋ =
4t−5x+11
b) ẋ = −
c) ẋ =
3t+3x−1
t+x+1
2(x+2)2
(t+x+2)2
1
4
1p
2
2
R: x(t) = −5−
− (t+1)+
(t+9) C +5
C
5
5
1
R: − (x+t)−ln(x+t−1) = t+C
2
R: 2 arctan
−x−2
−x−2
−ln
−ln t−C = 0
t
t
21
Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul ı̂ntâi
1.6
O ecuaţie diferenţialǎ de forma
ẋ = A(t)x + B(t)
(1.39)
se numeşte ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul ı̂ntâi. În ecuaţia (1.39) A
şi B sunt funcţii reale continue A, B : (a, b) → IR1 şi se considerǎ cunoscute.
Dacǎ funcţia B este identic nulǎ, atunci ecuaţia (1.39) se numeşte ecuaţie
diferenţialǎ de ordinul ı̂ntâi liniarǎ omogenǎ şi soluţiile ei sunt date de formula:
Rt
x̃(t) = C · e t∗ A(τ )dτ
(1.40)
ı̂n care C este o constantǎ realǎ oarecare (a se vedea §1.3).
Pentru a determina soluţiile ecuaţiei (1.39) remarcǎm faptul cǎ diferenţa
a douǎ soluţii ale acestei ecuaţii este o soluţie a ecuaţiei liniare şi omogene.
Acest fapt se verificǎ uşor prin calcul. Rezultǎ de aici cǎ dacǎ x este o soluţie
oarecare a ecuaţiei (1.39) şi x̄ este o soluţie fixatǎ a ecuaţiei (1.39), atunci
diferenţa x − x̄ este soluţie pentru ecuaţia liniarǎ şi omogenǎ, şi prin urmare
Rt
x(t) − x̄(t) = C · e
sau
Rt
x(t) = C · e
t∗
A(τ )dτ
t∗
A(τ )dτ
+ x̄(t).
(1.41)
Egalitatea (1.41) aratǎ cǎ o soluţie oarecare x(t) a ecuaţiei (1.39) se obţine
adǎugând la o soluţie particularǎ x̄(t) aR acestei ecuaţii, o soluţie oarecare a
t
ecuaţiei liniare şi omogene x̃(t) = C · e t∗ A(τ )dτ . În acest mod determinarea
tuturor soluţiilor ecuaţiei (1.39) se reduce la determinarea unei soluţii particulare a acestei ecuaţii.
Determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei (1.39) se face cu ”metoda
variaţiei constantei a lui Lagrange”.Aceasta ı̂nseamnǎ cǎ pentru ecuaţia (1.39)
se cautǎ o soluţie particularǎ x̄(t) care are forma funcţiei datǎ de (1.40),
deosebirea fiind cǎ C nu mai este o constantǎ realǎ ci este o funcţie de t
(C = C(t)):
Rt
x̄(t) = C(t) · e t∗ A(τ )dτ .
(1.42)
Pentru a impune funcţiei x̄(t) sǎ verifice ecuaţia (1.39) se admite cǎ
funcţia C(t) este derivabilǎ şi din faptul cǎ x̄(t) verificǎ (1.39) se obţine:
Rt
Ċ(t) e
t∗
A(τ )dτ
Rt
+ A(t) C(t) e
t∗
A(τ )dτ
Rt
= A(t) C(t) e
t∗
A(τ )dτ
+ B(t)
22
CAPITOLUL 1
sau
Ċ(t) = B(t) e−
Rt
t∗
A(τ )dτ
.
În §1.1 am vǎzut cǎ toate funcţiile care verificǎ (1.43) sunt date de
Z t
Ru
C(t) =
B(u) e− t∗ A(τ )dτ du + C ′
(1.43)
(1.44)
t∗
Întrucât avem nevoie de o singurǎ soluţie, considerǎm C ′ = 0 şi ı̂nlocuind ı̂n
(1.42) avem:
Z t
R
R
t
− tu∗ A(τ )dτ
B(u) e
du e t∗ A(τ )dτ
(1.45)
x̄(t) =
t∗
Rezultǎ ı̂n acest mod cǎ toate soluţiile ecuaţiei (1.39) sunt date de:
Z t
R
Rt
R
t
− tu∗ A(τ )dτ
∗ A(τ )dτ
t
x(t) = C e
+
B(u) e
du e t∗ A(τ )dτ .
(1.46)
t∗
Pentru t0 ∈ (a, b) şi x0 ∈ IR1 ecuaţia (1.39) are o singurǎ soluţie x care
verificǎ x(t0 ) = x0 şi este datǎ de formula:
Z t
Rt
Rt
A(τ )dτ
t0
+
B(u) e u A(τ )dτ du.
(1.47)
x(t; t0 , x0 ) = x0 e
t0
Problema 1.6.1 Unei bobine cu inductanţa L = 1 (H) şi rezistenţa R =
2 (Ω) i se aplicǎ tensiunea electromotoare u = sin 3t (V ). Care este intensitatea curentului prin bobinǎ?
Rezolvare:
Legea lui Kirchoff aplicatǎ circuitului format din bobinǎ şi sursa de tensiune ne dǎ
L · ẋ + R · x = sin 3t,
x(t) fiind intensitatea curentului. Ţinând seama de datele numerice rezultǎ
ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul ı̂ntâi
ẋ + 2x = sin 3t.
Conform celor arǎtate obţinem cǎ intensitatea curentului este:
x(t) =
3 −2t
2
3
e +
sin 3t −
cos 3t.
13
13
13
(S-a considerat cǎ la momentul iniţial intensitatea curentului ı̂n circuit este
zero).
23
Concluzii
ẋ = A(t)x + B(t) (numite ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul ı̂ntâi) ı̂n
care A, B sunt funcţii reale continue definite pe un interval real I ⊂ IR1 .
2. Oricare ar fi soluţia x = x(t) a ecuaţiei şi oricare ar fi t∗ ∈ I existǎ o
constantǎ realǎ C astfel ı̂ncât sǎ avem
Z t R
Rt
t
A(τ
)dτ
∗
x(t) = C e t
+
e τ A(s)ds B(τ )dτ, (∀)t ∈ I.
t∗
3. Oricare ar fi t0 ∈ (a, b) şi x0 ∈ IR1 existǎ o singurǎ funcţie x = x(t)
definitǎ pe I care este soluţia problemei cu date iniţiale ẋ = A(t)x +
B(t), x(t0 ) = x0 şi aceastǎ funcţie este datǎ de formula:
Z t R
Rt
t
A(τ
)dτ
x(t) = x0 e t0
+
e τ A(s)ds B(τ )dτ.
t0
Exerciţii
1. Sǎ se rezolve urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale (cu calculatorul):
1
a) ẋ = x − 1
t
R: x(t) = t (− ln t + C)
2
(−t2 + 2t + C) (t + 1)2
b) ẋ = − 2
x+2t+2 R: x(t) =
t −1
1 − t2
2
4t
4
(t+1)2
x+
R:
x(t)
=
4
ln(t+1)+
+C
·
c) ẋ = − 2
t −1
1−t2
t+1
1−t2
d) ẋ = x − t2
R: x(t) = t2 + 2t + 2et C
24
CAPITOLUL 1
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme cu date iniţiale şi sǎ se reprezinte
grafic soluţiile lor (cu calculatorul):
e−1
1
1 1 2
R: x(t) = t2 − + e−t +1
2
2
2 2
1 2
t0 = 1, x0 = 1
R: x(t) = − ln t+1 t
2
a) ẋ = −2tx + t3 , t0 = 0, x0 =
1
b) ẋ = x − ln t,
t
c) ẋ = −x + 2et ,
t0 = 0, x0 = 2
d) ẋ = −ax+bep t , t0 = 0, x0 = 1
R: x(t) = et + e−t
e−a t
R: x(t) = be(p+a)t−b+p+a ·
a+p
25
Ecuaţia diferenţialǎ a lui Bernoulli
1.7
Ecuaţia diferenţialǎ a lui Bernoulli are forma
ẋ = A(t) x + B(t) xα
(1.48)
ı̂n care funcţiile A şi B sunt funcţii reale continue A, B : (a, b) → IR1 şi
se considerǎ cunoscute, α este un numǎr real diferit de 0 şi 1 cunoscut, iar
funcţia necunoscutǎ x(t) este pozitivǎ.
Pentru a determina soluţiile x (pozitive) ale ecuaţiei (1.48) se introduce
o nouǎ funcţie necunoscutǎ y = x1−α . Aceasta verificǎ ecuaţia:
dy
= (1−α) A(t) y + (1−α) B(t).
dt
(1.49)
Ecuaţia (1.49) este o ecuaţie liniarǎ de ordinul ı̂ntâi şi soluţiile ei sunt date
de formula:
Rt
(1.50)
y(t) = C e(1−α) t∗ A(τ )dτ +
Z t
Ru
Rt
+
(1−α)
B(u) e−(1−α) t∗ A(τ )dτ du e(1−α) t∗ A(τ )dτ .
t∗
Soluţiile pozitive x(t) ale ecuaţiei (1.48) se determinǎ din y(t) cu formula
1
x(t) = y(t) 1−α şi ı̂n general sunt definite pe (a, b).
Pentru t0 ∈ (a, b) şi x0 > 0 ecuaţia (1.48) are o soluţie care verificǎ
x(t0 ) = x0 şi este datǎ de formula
1
x(t; t0 , x0 ) = y 1−α (t; t0 , x0 )
(1.51)
unde:
(1−α)
y(t; t0 , y0 ) = y0 e
Rt
t∗
A(τ )dτ
+ (1−α)
Z
t
t0
B(u) e−(1−α)
Rt
u
A(τ )dτ
du
(1.52)
şi y0 = x1−α
0 .
Observaţia 1.7.1 Ecuaţia Bernoulli apare ı̂n studiul mişcǎrii corpurilor ı̂n
medii care opun o rezistenţǎ la mişcare de forma R = k1 v + k2 v α , v fiind
viteza corpului.
26
CAPITOLUL 1
Problema 1.7.1 Sǎ se determine curba r = r(u) ştiind cǎ aria sectoarelor
limitate de curbǎ, raza vectoare a punctului P0 (r0 , u0 ) şi raza vectoare a punctului P (r, u) este proporţionalǎ cu produsul r·u, coeficientul de proporţionalitate
fiind a.
Rezolvare:
Conform enunţului avem:
1
2
Z
u
r 2 du = a r u
u0
din care prin derivare obţinem:
r 2 = 2a (ṙ u + r)
care este o ecuaţie Bernoulli.
Concluzii
ẋ = A(t) x + B(t) xα , (α ∈ IR1 , α 6= 0, 1) (numitǎ ecuaţia diferenţialǎ
a lui Bernoulli) ı̂n care A, B sunt funcţii reale continue definite pe un
interval I ⊂ IR1 .
2. O funcţie pozitivǎ x = x(t) este soluţie a ecuaţiei Bernoulli dacǎ şi
numai dacǎ funcţia y(t) = [x(t)]1−α este soluţie a ecuaţiei diferenţiale
liniare de ordinul ı̂ntâi ẏ = (1−α) A(t) y + (1−α) B(t).
3. Determinarea soluţiilor pozitive ale ecuaţiei Bernoulli se reduce la rezolvarea unei ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul ı̂ntâi.
27
Exerciţii
1. Sǎ se determine soluţiile pozitive ale ecuaţiilor:
1
1
a) ẋ = − x + 2 x2
t
t
b) ẋ = 4t x + tx1/2
2t
1 + 2t2 C
p
1
R:
x(t) = − − ln t + C · t2 = 0
2
R: x(t) =
1
c) ẋ = − x + tx2
t
R: x(t) = −
1
d) ẋ = x − 2tx2
t
R: x(t) =
1
(t − C) t
2t3
3t
+ 3C
2. Sǎ se rezolve urmǎtoarele probleme Cauchy:
1
a) ẋ = − x+tx2 ,
t
t0 = 1, x0 = 1 R: x(t) = −
1
t(t−2)
1
b) ẋ = x−2tx2 ,
t
t0 = 1, x0 = 1 R: x(t) =
3t
+1
2t3
2
1
2t2
c) ẋ = x+ 2 x2 , t0 = 1, x0 = 1 R: x(t) =
t
2t
3−t
28
1.8
CAPITOLUL 1
Ecuaţia diferenţialǎ a lui Riccati
Ecuaţia diferenţialǎ a lui Riccati are forma
ẋ = A(t) x2 + B(t) x + C(t)
(1.53)
ı̂n care A, B, C sunt funcţii reale A, B, C : (a, b) → IR1 continue (A(t) ≡ 0,
C(t) ≡ 0) considerate cunoscute.
Propoziţia 1.8.1 Dacǎ x1 (t) este o soluţie fixatǎ a ecuaţiei (1.53) şi x(t)
este o soluţie oarecare a aceleiaşi ecuaţii, atunci funcţia y(t) = x(t) − x1 (t)
este o soluţie a ecuaţiei Bernoulli
ẏ = A(t) y 2 + (2A(t) x1 + B(t)) y.
(1.54)
Demonstraţie: Se verificǎ prin calcul.
Propoziţia precedentǎ reduce determinarea soluţiilor ecuaţiei Riccati la
determinarea soluţiilor unei ecuaţii Bernoulli. Trebuie subliniat cǎ aceastǎ
reducere se face ı̂n ipoteza cǎ se cunoaşte o soluţie x1 (t) a ecuaţiei Riccati. În
general dacǎ nu se cunoaşte o soluţie pentru ecuaţia lui Riccati, determinarea
soluţiilor acestei ecuaţii nu se poate face cu metode elementare.
Observaţia 1.8.1 Prin schimbarea de funcţie y(t) = x(t) − x1 (t) rezolvarea
ecuaţiei lui Riccati (1.53) se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de tip Bernoulli
care, conform cu §1.7 se reduce la o ecuaţie diferenţialǎ de ordinul ı̂ntâi
liniarǎ.
Observaţia 1.8.2 Rezolvarea ecuaţiei lui Riccati se poate reduce direct la
rezolvarea unei ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi liniarǎ cu necunoscuta
z(t) dacǎ se face schimbarea de funcţie
x(t) =
1
+ x1 (t).
z(t)
29
Ecuaţia diferenţialǎ a lui Riccati
Exerciţii
1. Sǎ se determine soluţiile urmǎtoarelor ecuaţii diferenţiale Riccati:
a) ẋ = −sin t·x2 +2
sin t
,
cos2 t
x1 (t) =
R: x(t) =
a
a
c) ẋ = x2 − x − 2 ,
t
t
1
cos t
6 cos 2t+6
1
+
cos t −cos 3t−3 cos t+12 C
x1 (t) =
a
t
a
a+1
R: x(t) = +
t −t+t−a (a+1) C
a) ẋ = −
4t+1
4t
1
x2 +
x−
, x1 (t) = 1, t0 = 2, x0 = 1
t(2t−1)
t(2t−1)
t(2t−1)
R: x(t) =
4
4
b) ẋ = −x2 + x − 2 ,
t
t
t(2t−1)
+1
5−t
1
x1 (t) = ,t0 = 1, x0 = 0
t
R: x(t) =
3
1
+
t(t+2) t
30
1.9
CAPITOLUL 1
Ecuaţii cu diferenţialǎ totalǎ exactǎ.
Factor integrant
O ecuaţie diferenţialǎ de forma:
ẋ = −
P (t, x)
Q(t, x)
(1.55)
este cu diferenţialǎ totalǎ exactǎ dacǎ existǎ o funcţie U de clasǎ C 1 cu
proprietatea:
dU = P dt + Q dx.
(1.56)
Acesta ı̂nseamnǎ cǎ existǎ o funcţie U de clasǎ C 1 a cǎrei diferenţialǎ este
∂U
∂U
egalǎ cu P dt + Q dx. Altfel spus, P =
şi Q =
.
∂t
∂x
Propoziţia 1.9.1 Dacǎ ecuaţia diferenţialǎ (1.55) este cu diferenţialǎ totalǎ
exactǎ şi o funcţie realǎ U = U(t, x) de clasǎ C 1 are proprietatea (1.56),
atunci pentru orice soluţie x = x(t) a ecuaţiei (1.55)
U(t, x(t)) = const.
Demonstraţie: Pentru a demonstra cǎ funcţia U(t, x(t)) nu depinde de t,
se deriveazǎ ı̂n raport cu t şi se obţine:
d
∂U ∂U dx
P (t, x)
U(t, x(t)) =
+
·
= P (t, x(t))+Q(t, x(t))· −
=
dt
∂t ∂x dt
Q(t, x)
= P (t, x(t)) − P (t, x(t)) = 0
Aceastǎ propoziţie aratǎ cǎ o soluţie x(t) a ecuaţiei cu diferenţialǎ totalǎ
exactǎ este o soluţie a ecuaţiei implicite:
U(t, x) = C
(1.57)
ı̂n care C este o constantǎ realǎ.
Este uşor de verificat cǎ şi afirmaţia reciprocǎ este adevǎratǎ: o soluţie
x = x(t) a ecuaţiei implicite (1.57) este o soluţie a ecuaţiei cu diferenţialǎ
totalǎ (1.55).
Astfel, determinarea soluţiilor ecuaţiei cu diferenţialǎ totalǎ (1.55) se reduce la determinarea soluţiilor ecuaţiei implicite (1.57). Acest rezultat conduce ı̂n mod natural la urmǎtoarele douǎ probleme:
31
Ecuaţii cu diferenţialǎ totalǎ exactǎ. Factor integrant
1. Cum ne dǎm seama cǎ ecuaţia (1.55) este cu diferenţialǎ totalǎ?
2. Cum se determinǎ o funcţie U = U(t, x) a cǎrei diferenţialǎ este egalǎ
cu P dt + Q dx?
Un rǎspuns la aceste ı̂ntrebǎri este dat de urmǎtoarea propoziţie.
Propoziţia 1.9.2 Dacǎ funcţiile P şi Q sunt de clasǎ C 1 pe un domeniu Ω
∂P
∂Q
şi
=
, atunci pentru orice (t0 , x0 ) ∈ Ω existǎ un r > 0 şi o funcţie
∂x
∂t
realǎ U = U(t, x) definitǎ pe discul centrat ı̂n (t0 , x0 ) şi de razǎ r astfel ı̂ncât
sǎ aibe loc relaţia (1.56).
Demonstraţie: Pentru un punct (t0 , x0 ) ∈ Ω se considerǎ r > 0 astfel ca
discul centrat ı̂n (t0 , x0 ) şi de razǎ r > 0 sǎ fie inclus ı̂n Ω. Z
Pornind de la faptul
t
∂U
cǎ pe disc trebuie sǎ avem
= P deducem cǎ U(t, x) =
P (τ, x)dτ +Ψ(x)
∂t
t0
∂U
=Q
unde Ψ este o funcţie de clasǎ C 1 necunoscutǎ. Impunând condiţia
∂x
obţinem egalitatea:
Z t
∂P
(τ, x) dτ + Ψ′ (x) = Q(t, x).
∂x
t0
Ţinând seamǎ acum de egalitatea
Z
t
t0
∂P
∂Q
=
deducem cǎ:
∂x
∂t
∂Q
(τ, x) dτ + Ψ′ (x) = Q(t, x).
∂t
Efectuând integrarea se obţine egalitatea:
Q(t, x) − Q(t0 , x) + Ψ′ (x) = Q(t, x)
din care rezultǎ:
Ψ′ (x) = Q(t0 , x).
Prin urmare funcţia Ψ(x) este datǎ de formula:
Z x
Ψ(x) =
Q(t0 , y) dy + C
x0
(1.58)
32
CAPITOLUL 1
ı̂n care C este o constantǎ realǎ. Revenind la funcţia U(t, x) obţinem cǎ
aceasta este datǎ de formula:
Z t
Z x
U(t, x) =
P (τ, x) dτ +
Q(t0 , y) dy + C.
(1.59)
t0
x0
Formula aceasta defineşte o mulţime de funcţii U(t, x) care au proprietatea
exprimatǎ prin relaţia (1.56).
∂Q
∂P
Comentariu: Propoziţia aratǎ cǎ egalitatea
=
este o condiţie
∂x
∂t
suficientǎ pentru ca sǎ existe ı̂n vecinǎtatea oricǎrui punct (t0 , x0 ) ∈ Ω o
funcţie U(t, x) de clasǎ C 2 astfel ca dU = P dt + Q dx.
Menţionǎm cǎ şi reciproca acestei afirmaţii este adevǎratǎ. Mai precis
este adevǎratǎ urmǎtoarea afirmaţie: dacǎ existǎ r > 0 şi o funcţie U(t, x)
de clasǎ C 2 pe discul centrat ı̂n (t0 , x0 ) şi razǎ r astfel ca dU = P dt + Q dx
pentru orice (t, x) din acest disc, atunci funcţiile P şi Q sunt de clasǎ C 1
∂P
∂Q
şi
=
pentru orice (t, x) din disc. Acest rezultat se obţine folosind
∂x
∂t
posibilitatea inversǎrii ordinii de derivare, stabilit de Schwartz.
Observaţia 1.9.1 Dacǎ funcţiile P şi Q sunt de clasǎ C 1 pe Ω ⊂ IR2
∂P
∂Q
dar
6=
atunci ecuaţia (1.55) nu este o ecuaţie cu diferenţialǎ totalǎ
∂x
∂t
exactǎ şi metoda prezentatǎ nu poate fi utilizatǎ pentru determinarea soluţiilor
ecuaţiei. În acest caz este util sǎ observǎm cǎ ecuaţia (1.55) are aceleaşi
soluţii ca şi ecuaţia
P (t, x) · µ(t, x)
(1.60)
ẋ = −
Q(t, x) · µ(t, x)
ı̂n care µ(t, x) este o funcţie de clasǎ C 1 care nu se anuleazǎ.
Datoritǎ acestui fapt apare natural sǎ ı̂ncercǎm sǎ determinǎm funcţia
µ(t, x) astfel ca ecuaţia (1.60) sǎ fie cu diferenţialǎ totalǎ. Impunând aceastǎ
condiţie rezultǎ cǎ funcţia µ(t, x) trebuie sǎ verifice relaţia:
∂P
∂µ
∂Q
∂µ
µ+P
=
µ+Q
.
∂x
∂x
∂t
∂t
(1.61)
O funcţie care verificǎ (1.61) se numeşte factor integrant, iar relaţia de
dependenţǎ funcţionalǎ (1.61) se numeşte ecuaţia factorului integrant.
33
Ecuaţii cu diferenţialǎ totalǎ exactǎ. Factor integrant
Exerciţii
1. Sǎ se rezolve urmǎtoarele ecuaţii cu diferenţiale totale:
4tx − xetx
a) ẋ = tx
te − 2t2
b) ẋ =
tm +2tx2 + 1t
xn +2t2 x+ x1
c) ẋ = −
2tx − 2x3
t2 − 6tx2
R: 2t2 x(t) + et x(t) = C
R:
tm+1 x(t)n+1 2
+
+t x(t)2 +ln(t x(t)) = C
m+1 n+1
R: t2 x(t) − 4t x(t)3 = C
a) ẋ = −
√
t+x
, t0 = 0, x0 = 1 R: x(t) = t + 2t2 + 1
t−x
t2
b) ẋ = − 2 ,
x
t0 = 1, x0 = 1 R: x(t) =
√
3
−t3 + 2
3. Sǎ se rezolve ecuaţiile diferenţiale ştiind cǎ ele admit factor integrant
µ = µ(t):
a) ẋ = −
t sin x + x cos x
R: µ(t) = et
t cos x − x sin x
et [(t − 1) sin x(t) + x(t) cos x(t)] = C
b) ẋ = −
1 − t2 x
t2 (x − t)
R: µ(t) =
1
t2
x(t)2
1
− t x(t) − = C
2
t
34
CAPITOLUL 1
4. Sǎ se rezolve ecuaţiile diferenţiale ştiind cǎ ele admit factor integrant
µ = µ(x):
a) ẋ = −
x(1 − t x)
−t
R: µ(x) =
1
x2
t2
t
− =C
x(t)
2
b) ẋ = −
2t x
3x2 − t2 + 3
R: µ(x) =
1
x2
t2
+ 3x(t) = C
x(t)
35
Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor de ordinul ı̂ntâi
1.10
Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor
diferenţiale de ordinul ı̂ntâi
Foarte multe dintre modelele matematice ale unor fenomene din realitate
conţin cel puţin o ecuaţie diferenţialǎ. Toate softurile comerciale de matematicǎ (Maple, Mathematica, Mathcad) oferǎ posibiltatea sǎ rezolvǎm numeric
aceste probleme.
Exemplele de rezolvare numericǎ care sunt ı̂n acest curs vor fi prezentate
ı̂n programul Maple 9, versiune care acoperǎ toate celelate versiuni de Maple
ı̂n momentul de faţǎ.
Pentru rezolvarea numericǎ a ecuaţiilor diferenţiale cu programul Maple se
foloseşte funcţia dsolve (solve ordinary differential equations - ODEs) cu una
din urmǎtoarele sintaxe :
dsolve(ODE);
dsolve(ODE, x(t), extra.args);
dsolve({ODE, ICs}, x(t), extra.args);
ı̂n care:
ODE
x(t)
ICs
extra.args
-
ecuaţia diferenţialǎ ordinarǎ pe care dorim sǎ o rezolvǎm
funcţia necunoscutǎ pe care dorim sǎ o determinǎm
condiţiile iniţiale
argumente opţionale care se folosesc pentru schimbarea
formei de afişare a soluţiei (explicitǎ, implicitǎ, parametricǎ),
a metodei de rezolvare a ecuaţiei (separarea variabilelor,
Bernoulli, Riccati, etc.).
Pentru exemplificare, considerǎm ecuaţia diferenţialǎ de ordinul ı̂ntâi:
ẋ =
t
· (1 − x);
1+t
t ∈ R − {−1},
x ∈ R − {1}.
(1.62)
Aceastǎ ecuaţie este cu variabile separate (caz particular de ecuaţie liniarǎ).
Prin utilizarea sintaxei dsolve(ODE) se obţine mulţimea soluţiilor ecuaţiei
date (ecuaţia familiei de curbe integrale scrisǎ sub formǎ explicitǎ):
36
CAPITOLUL 1
>
dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)));
t
e
x (t) = 1+t
+ C1 (e−t + e−t t).
Dacǎ dorim ca soluţiile sǎ fie afişate sub formǎ parametricǎ, atunci se
foloseşte argumentul opţional ‘parametric‘ şi obţinem:
>
dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(t),‘parametric‘);
−t
−t
x (t) = 1 − eC1 − eC1t .
Se mai poate utiliza ca argument opţional ”metoda de rezolvare a
ecuaţiei”. Dacǎ dorim sǎ se rezolve ecuaţia diferenţialǎ ca o ecuaţie
liniarǎ, atunci se foloseşte argumentul opţional [linear] şi obţinem:
>
dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(t),[linear]);
t
e
x (t) = 1+t
+ C1 (e−t + e−t t),
iar dacǎ dorim sǎ se rezolve ecuaţia diferenţialǎ ca fiind o ecuaţie
cu variabile separate, atunci folosim argumentul opţional [separable] şi
obţinem:
dsolve(diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(t),[separable]);
( C1 et −1−t)e−t
x (t) =
.
C1
Nespecificând metoda de rezolvare Maple va alege una dintre ele.
>
Deoarece ı̂n secvenţele de mai sus nu s-a dat nici o condiţie iniţialǎ, Maple a
afişat rǎspunsul cu ajutorul unei constante necunoscute. Dacǎ specificǎm şi
condiţia iniţialǎ atunci calculatorul va rezolva o problemǎ cu condiţii iniţiale
(Problemǎ Cauchy) şi va afişa soluţia acesteia.
Pentru ecuaţia diferenţialǎ (1.62) vom considera douǎ Probleme Cauchy
deoarece domeniul de definiţie al membrului drept este reuniunea
(−∞, −1) × IR1 ∪ (−1, +∞) × IR1 .
Dacǎ considerǎm t > −1 şi condiţia iniţialǎ x(2) = 4, atunci se obţine
soluţia:
>
dsolve({diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(2)=4},x(t));
t
−2 e2 −4
e
x (t) = 1+t
− 1/3 e e−2
(e−t + e−t t),
iar dacǎ considerǎm t < −1 şi condiţia iniţialǎ x(−2) = 0, atunci se
obţine soluţia:
>
dsolve({diff(x(t),t)=(t/(1+t))*(1-x(t)),x(-2)=0},x(t));
x (t) =
et
1+t
37
+ e−2 (e−t + e−t t).
Pentru reprezentarea graficǎ a soluţiei unei probleme cu date iniţiale, programul Maple foloseşte funcţia plot (create a two-dimensional plot of functions).
Utilizarea acesteia implicǎ urmǎtoarea sintaxǎ:
plot(f,h,v);
ı̂n care:
f
h
v
- funcţia care trebuie reprezentatǎ grafic;
- domeniul de definiţie al funcţiei pe axa orizontalǎ;
- (opţional) domeniul de variaţie al funcţiei pe axa verticalǎ.
Soluţia Problemei Cauchy a ecuaţiei (1.62) corespunzǎtoare condiţiei iniţiale
x(2) = 4 este reprezentatǎ pe Figura 2.
>
f1:=(exp(t)/(1+t)-1/3*(exp(-2)*exp(2)-4)/exp(-2))*
(exp(-t)+exp(-t)*t):
>
plot(f1,t=-1..infinity);
Figura 2
iar soluţia Problemei Cauchy corespunzǎtoare condiţiei iniţiale x(−2) = 0
este reprezentatǎ pe Figura 3.
38
CAPITOLUL 1
Figura 3
Dupǎ cum se poate observa din instrucţiunile de mai sus s-a atribuit variabilei
f 1 funcţia soluţie a Problemei Cauchy şi apoi am folosit ı̂n instrucţiunea plot.
În general, este recomandabil sǎ se atribuie unor expresii matematice variabile, deoarece aceasta simplificǎ scrierea.
În cele ce urmeazǎ, continuǎm exemplificarea rezolvând trei probleme cu
date iniţiale şi, ı̂n fiecare caz, vom reprezenta grafic soluţia:
1. Ecuaţia liniarǎ
ẋ = −x + 2et
(1.63)
>
dsolve(diff(x(t),t)=-x(t)+2*exp(t),x(t),[linear]);
>
x (t) = et + e−t C1
dsolve({diff(x(t),t)=-x(t)+2*exp(t),x(0)=2},x(t),
[linear]);
>
x (t) = et + e−t
plot(exp(t)+exp(-t),t=-2..2);
39
Figura 4
sau
>
plot(exp(t)+exp(-t),t=-2..2,color=black,style=point,
axes=boxed);
Figura 5
ı̂n care am folosit diferite comenzi opţionale referitoare la modalitatea
de afişare a graficului.
2. Ecuaţia de tip Riccati
ẋ = −x2 +
4
4
· x − 2,
t
t
t>0
(1.64)
40
CAPITOLUL 1
>
eq:=diff(x(t),t)=-x(t)^2+(4/t)*x(t)-4/t^2;
>
− 4 t−2
eq := dtd x (t) = − (x (t))2 + 4 x(t)
t
dsolve(eq,‘explicit‘,[Riccati]);
>
x (t) = ( C1 − 1/3 t−3)
dsolve(eq,[Riccati]);
>
x (t) = ( C1 − 1/3 t−3)
dsolve({eq,x(1)=2},x(t));
x (t) =
>
−1 −4
t
+ 4 t−1
−1 −4
+ 4 t−1
t
4 t3 +2
(2+t3 )t
dsolve({eq,x(1)=2},x(t),[Riccati]);
−1
>
>
>
x (t) = (−1/6 − 1/3 t−3 ) t−4 + 4 t−1
sol1:=(4*t^3+2)/((2+t^3)*t):
sol2:=1/((-1/6-1/3/t^3)*t^4)+4/t:
plot([sol1,sol2],t=0..90,x=0..3,color=[red,blue],
style=[point,line]);
Figura 6
41
În secvenţele de mai sus observǎm cǎ, argumentul opţional ı̂n care
cerem sǎ se afişeze soluţia sub formǎ explicitǎ este inutil, deoarece
acest lucru este fǎcut automat de dsolve. Deasemenea, dacǎ folosim
argumentul opţional [Riccati] soluţia ecuaţiei diferǎ doar aparent (cele
douǎ soluţii afişate coincid dupǎ cum se poate observa din Figura 6
unde am reprezentat simultan ”ambele” forme ale soluţiei ı̂n acelaşi
sistem de coordonate).
3. Ecuaţia cu factor integrant
ẋ = −
>
>
>
3x2 − t2 + 3 6= 0
(1.65)
dsolve(diff(x(t),t)=-2*t*x(t)/(3*x(t)^2-t^2+3),‘explicit‘);
p
x (t) = −1/6 C1 ± 1/6
C1 2 − 12 t2 + 36
dsolve(diff(x(t),t)=-2*t*x(t)/(3*x(t)^2-t^2+3),‘implicit‘);
t2
x(t)
>
2·t·x
,
− t2 + 3
3x2
+ 3 x (t) − 3 (x (t))−1 + C1 = 0
dsolve({diff(x(t),t)=-2*t*x(t)/(3*x(t)^2-t^2+3),x(0)=1});
√
x (t) = 1/6 36 − 12 t2
plot(1/6*(36-12*t^2)^(1/2), t=-1..1);
Figura 7
42
CAPITOLUL 1
Ecuaţia cu factor integrant a fost rezolvatǎ de Maple fǎrǎ specificarea
factorului integrant µ = µ(t, x) iar soluţia a fost afişatǎ sub formǎ
explicitǎ ı̂n primul caz, respectiv sub formǎ implicitǎ ı̂n al doilea caz. În
Figura 7 este reprezentatǎ soluţia Problemei Cauchy corespunzǎtoare.
Capitolul 2
Ecuaţii diferenţiale de ordin
superior rezolvabile prin
metode elementare
Definiţia 2.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul n ≥ 2 este o relaţie de
dependenţǎ funcţionalǎ de forma
g(t, x, ẋ, ..., x(n) ) = 0
(2.1)
ı̂ntre funcţia identicǎ t 7→ t definitǎ pe un interval I ⊂ IR1 necunoscut, o
funcţie necunoscutǎ x(t) şi derivatele ei ẋ, ẍ, ..., x(n) pânǎ la ordinul n definite
pe acelaşi interval.
În ecuaţia (2.1) funcţia g se considerǎ cunoscutǎ şi rezolvarea ecuaţiei
ı̂nseamnǎ determinarea funcţiilor necunoscute x care verificǎ ecuaţia.
Definiţia 2.0.2 O funcţie realǎ x de clasǎ C n definitǎ pe un interval deschis
I ⊂ IR1 se numeşte soluţie a ecuaţiei (2.1) dacǎ pentru orice t ∈ I, sistemul
ordonat (t, x(t), ẋ(t), ..., x(n) (t)) aparţine domeniului de definiţie a lui g şi
g(t, x(t), ẋ(t), ..., x(n) (t)) = 0
(2.2)
Vom prezenta câteva cazuri de asemenea ecuaţii care se rezolvǎ cu metode
elementare şi probleme concrete din diferite domenii care au condus la asemenea ecuaţii.
43
44
2.1
CAPITOLUL 2
Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul al
doilea cu coeficienţi constanţi
Problema 2.1.1 Sǎ se determine variaţia curentului ı̂ntr-un circuit format
dintr-o rezintenţǎ R, o bobinǎ cu inductanţǎ L şi un condensator de capacitate C legaţi ı̂n serie şi conectaţi la o sursǎ de curent alternativ de tensiune
electromotoare E = E0 · cos ωt
Rezolvare: Fie i(t) intensitatea curentului din circuit la momentul t. Cǎderile
de tensiune pe elementele circuitului sunt:
uR = R · i;
di
uL = L · ;
Z dt
1
i(t)dt;
uC =
C
conform celei de-a doua legi a lui Kirchhoff, suma cǎderilor de tensiune pe
bobinǎ, rezistenţǎ şi condensator este egalǎ ı̂n orice moment cu tensiunea
electromotoare a generatorului. Prin urmare avem:
Z
di
1
L·
+R·i+
i(t)dt = E0 · cos ωt,
dt
C
iar prin derivare se obţine cǎ intensitatea a curentului verificǎ egalitatea:
di
1
d2 i
+R·
+ i = −E0 · ω · sin ωt.
(∗)
2
dt
dt C
Prin urmare avem de determinat o funcţie i(t) care ı̂mpreunǎ cu derivatele
ei de ordinul ı̂ntâi şi doi verificǎ relaţia de dependenţǎ funcţionalǎ (∗). În (∗)
cu excepţia funcţiei i totul este cunoscut.
Pentru a determina funcţia necunoscutǎ i(t) vom arǎta ı̂n continuare
cum se rezolvǎ o ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al doilea cu coeficienţi
constanţi.
O ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi
este o ecuaţie diferenţialǎ de forma:
L·
a2 ẍ + a1 ẋ + a0 x = f (t)
(2.3)
ı̂n care a0 , a1 , a2 sunt constante reale cunoscute, a2 6= 0, f (t) funcţie continuǎ
cunoscutǎ şi x este o funcţie realǎ de clasǎ C 2 necunoscutǎ.
Ecuaţii diferenţiale de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi
45
Observaţia 2.1.1 Dacǎ f = 0 atunci ecuaţia (2.3) se numeşte ecuaţie diferenţialǎ
liniarǎ de ordinul doi cu coeficienţi constanţi omogenǎ, iar dacǎ f 6= 0 ecuaţia
(2.3) se numeşte ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul doi cu coeficienţi
constanţi neomogenǎ.
Vom determina mai ı̂ntâi soluţiile ecuaţiei omogene urmând apoi sǎ determinǎm şi soluţiile ecuaţiei neomogene.
Fie ecuaţia omogenǎ ataşatǎ ecuaţiei (2.3):
a2 ẍ + a1 ẋ + a0 x = 0
(2.4)
Dacǎ a2 = 0 atunci ecuaţia (2.4) este o ecuaţie liniarǎ de ordinul ı̂ntâi:
a1 ẋ + a0 x = 0
şi soluţiile ei sunt date de formula
a
− a0 t
x(t) = Ce
1
a0
din
a1
exponent, este
soluţia ecuaţiei algebrice a1 · λ + a0 = 0, iar la formula soluţiei
a
− a0 t
x(t) = Ce 1 se poate ajunge nu numai pe calea descrisǎ ı̂n Capitolul 1 § 6
ci şi cǎutând soluţii de forma x(t) = Ceλt . Aceasta este ideea pe care o vom
folosi pentru a determina soluţiile ecuaţiei (2.4).
Impunând unei funcţii de forma x(t) = Ceλt sǎ verifice ecuaţia (2.4)
rezultǎ cǎ λ trebuie sǎ verifice ecuaţia de gradul al doilea:
ı̂n care C este o constantǎ realǎ oarecare. Observǎm cǎ raportul −
a2 λ2 + a1 λ + a0 x = 0.
(2.5)
Dacǎ rǎdǎcinile λ1 şi λ2 ale ecuaţiei (2.5) sunt reale şi distincte, atunci
funcţiile
x1 (t) = C1 eλ1 t şi x2 (t) = C2 eλ2 t
sunt soluţii ale ecuaţiei (2.4) şi funcţia
x(t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t
este de asemenea soluţie a ecuaţiei (2.4).
Mai mult, pentru orice
t0 , x00 , x10 ∈ IR1 putem determina ı̂n mod unic constantele C1 şi C2 astfel
ı̂ncât sǎ aibǎ loc
x(t0 ) = x00 şi ẋ(t0 ) = x10 .
(2.6)
46
CAPITOLUL 2
În adevǎr, impunând condiţiile (2.6) funcţiei x(t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t ,
obţinem urmǎtorul sistem de ecuaţii algebrice:
x00 = C1 eλ1 t0 + C2 eλ2 t0
x10 = C1 eλ1 t0 + C2 eλ2 t0
ı̂n care necunoscutele sunt C1 şi C2 .
Determinantul acestui sistem este e(λ1 +λ2 )t0 · (λ2 − λ1 ) şi este nenul
(λ1 6= λ2 ), fapt pentru care sistemul are o soluţie unicǎ.
În particular rezultǎ de aici cǎ formula:
x(t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t
(2.7)
reprezintǎ toate soluţiile ecuaţiei (2.4) ı̂n cazul ı̂n care ecuaţia (2.5) are
rǎdǎcini reale distincte.
Dacǎ ecuaţia (2.5) are rǎdǎcinile confundate λ1 = λ2 = λ atunci pe lângǎ
funcţia x1 (t) = C1 eλt şi funcţia x2 (t) = C2 t · eλt este soluţie a ecuaţiei (2.4).
Prin urmare orice funcţia x(t) de forma
x(t) = C1 eλt + C2 t · eλt
adicǎ
x(t) = eλt · (C1 + C2 t)
(2.8)
este soluţie a ecuaţiei (2.4).
Mai mult, pentru orice t0 , x00 , x10 ∈ IR1 putem determina ı̂n mod unic
constantele C1 şi C2 astfel ı̂ncât sǎ aibe loc x(t0 ) = x00 şi ẋ(t0 ) = x10 .
În adevǎr, impunând aceste condiţii funcţiei datǎ de (2.8) rezultǎ urmǎtorul
sistem de ecuaţii algebrice:
x00 = eλt0 (C1 + C2 t0 )
x10 = λeλt0 · C1 + C2 eλt0 + eλt0 · t0 · λ · C2
al cǎrui determinant este e2λt0 6= 0.
În particular rezultǎ de aici cǎ, formula (2.8) reprezintǎ toate soluţiile
ecuaţiei (2.4) ı̂n cazul ı̂n care ecuaţia (2.5) are rǎdǎcinile confundate.
Rǎmâne sǎ considerǎm cazul ı̂n care ecuaţia (2.5) are rǎdǎcinile complex
conjugate λ1 = µ + iν şi λ2 = µ − iν. În acest caz considerǎm funcţiile
x1 (t) = C1 eµt · cos νt şi x2 (t) = C2 eµt · sin νt
47
(C1 , C2 constante reale) şi arǎtǎm cǎ fiecare din acestea este soluţie a ecuaţiei
(2.4).
Demonstraţia se face prin verificare. Pentru exemplificare facem acest
calcul ı̂n cazul funcţiei x1 (t):
ẋ1 (t) = C1 µ · eµt · cos νt − C1 ν · eµt · sin νt
ẍ1 (t) = C1 µ2 · eµt · cos νt − 2C1 µν · eµt · sin νt − C1 ν 2 · eµt · cos νt
şi ı̂nlocuind ı̂n ecuaţia (2.5) avem:
a2 ẍ1 + a1 ẋ1 + a0 x1 = C1 · eµt · cos νt (µ2 − ν 2 )a2 + µa1 + a0 +
+ C1 · eµt · sin νt [−2µνa2 − νa1 ] .
Deoarece
a2 (µ + iν)2 + a1 (µ + iν) + a0 = 0
avem
(µ2 − ν 2 )a2 + µa1 + a0 + i [2µνa2 + νa1 ] = 0
şi prin urmare:
(µ2 − ν 2 )a2 + µa1 + a0 = 0
şi
2µνa2 + νa1 = 0.
Ţinând seama de aceste egalitǎţi deducem egalitatea
a2 ẍ1 + a1 ẋ1 + a0 x1 = 0
care aratǎ cǎ funcţia x1 (t) = C1 · eµt · cos νt este soluţie a ecuaţiei diferenţiale
(2.4).
La fel se aratǎ cǎ funcţia x2 (t) = C2 · eµt · sin νt este soluţie a ecuaţiei
diferenţiale (2.4).
Astfel, rezultǎ cǎ orice funcţie
x(t) = C1 · eµt · cos νt + C2 · eµt · sin νt
(2.9)
este soluţie a ecuaţiei (2.4).
Arǎtǎm ı̂n continuare cǎ pentru orice t0 , x00 , x10 ∈ IR1 putem determina
constantele C1 şi C2 ı̂n mod unic astfel ı̂ncât sǎ aibe loc x(t0 ) = x00 şi ẋ(t0 ) =
x10 .
48
CAPITOLUL 2
Impunând aceste condiţii funcţiei (2.9) rezultǎ urmǎtorul sistem de ecuaţii
algebrice:
x00 = eµt0 · [C1 · cos νt0 + C2 · sin νt0 ]
x10 = eµt0 · [C1 · (µ cos νt0 − ν sin νt0 ) + C2 · (µ sin νt0 + ν cos νt0 )]
având ca necunoscute constantele C1 , C2 .
Determinantul acestui sistem algebric este ν · e2µt0 şi este diferit de zero.
În particular, rezultǎ de aici cǎ formula (2.9) reprezintǎ toate soluţiile
ecuaţiei (2.4) ı̂n cazul ı̂n care ecuaţia (2.5) are rǎdǎcinile complexe.
Am ajuns ı̂n acest fel sǎ determinǎm toate soluţiile ecuaţiei (2.4).
Aceasta ı̂nsǎ nu permite ı̂ncǎ sǎ rezolvǎm problema 2.1.1 pusǎ la ı̂nceputul
paragrafului, pentru cǎ aceasta conduce de fapt la ecuaţia (2.3), adicǎ:
a2 ẍ + a1 ẋ + a0 x = f (t)
ı̂n care funcţia f este datǎ.
Reamintim cǎ, deosebirea dintre ecuaţiile (2.4) şi (2.3) constǎ ı̂n faptul cǎ
ı̂n membrul drept al ecuaţiei (2.3) este o funcţie continuǎ care nu neapǎrat
este funcţia identic nulǎ, adicǎ este o ecuaţie diferenţialǎ de ordinul al doilea
cu coeficienţi constanţi neomogenǎ.
Pentru determinarea soluţiilor ecuaţiei (2.3) este important sǎ observǎm
la ı̂nceput cǎ, dacǎ x
e(t) este o soluţie fixatǎ a ecuaţiei (2.3) şi x(t) este o
soluţie oarecare a aceleiaşi ecuaţii, atunci diferenţa
x
e(t) = x(t) − x(t)
este o soluţie oarecare a ecuaţiei (2.4). Întrucât soluţiile x
e(t) ale ecuaţiei
(2.4) sunt cunoscute, determinarea soluţiilor x(t) ale ecuaţiei (2.3) revine la
determinarea unei singure soluţii x(t) ale acestei ecuaţii.
O soluţie particularǎ x(t) pentru ecuaţia (2.3) se determinǎ cu metoda
variaţiei constantelor a lui Lagrange (un procedeu asemǎnǎtor cu cel descris
ı̂n Cap 1 § 6).
În continuare prezentǎm aceastǎ metodǎ ı̂n cazul ı̂n care ecuaţia algebricǎ (2.5) are rǎdǎcinile reale distincte λ1 , λ2 . În acest caz soluţiile ecuaţiei
omogene (2.4) se scriu sub forma (2.7):
x
e(t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t .
49
Soluţia particularǎ x(t) a ecuaţiei neomogene (2.3) se cautǎ sub aceeaşi
formǎ considerând ı̂nsǎ C1 , C2 funcţii de clasǎ C 1 de variabila t:
x(t) = C1 (t)eλ1 t + C2 (t)eλ2 t
(2.10)
Pentru a impune funcţiei x(t) sǎ verifice ecuaţia (2.3) calculǎm derivata
acesteia şi obţinem:
ẋ(t) = Ċ1 (t)eλ1 t + Ċ2 (t)eλ2 t + C1 (t)λ1 eλ1 t + C2 (t)λ2 eλ2 t
(2.11)
În continuare ar trebui sǎ calculǎm derivata de ordinul al doilea ẍ prin
derivare ı̂n raport cu t ı̂n expresia (2.11). Aceasta ar introduce derivatele
de ordinul al doilea ale funcţiilor C1 (t), C2 (t) de existenţa cǎrora nu ne-am
asigurat. De aceea impunem condiţia suplimentarǎ:
Ċ1 (t)eλ1 t + Ċ2 (t)eλ2 t = 0
(2.12)
Cu aceasta (2.11) devine:
ẋ(t) = C1 (t)λ1 eλ1 t + C2 (t)λ2 eλ2 t
(2.13)
iar prin derivare obţinem:
ẍ(t) = Ċ1 (t)λ1 eλ1 t + Ċ2 (t)λ2 eλ2 t + C1 (t)λ21 eλ1 t + C2 (t)λ22 eλ2 t .
(2.14)
Înlocuind (2.13) şi (2.14) ı̂n (2.3) rezultǎ:
C1 (t)(a2 λ21 + a1 λ1 + a0 )eλ1 t + C2 (t)(a2 λ22 + a1 λ2 + a0 )eλ2 t +
+ Ċ1 (t)a2 λ1 eλ1 t + Ċ2 (t)a2 λ2 eλ2 t = f (t)
sau
Ċ1 (t)λ1 eλ1 t + Ċ2 (t)λ2 eλ2 t =
1
f (t)
a2
(2.15)
Astfel, sistemul de ecuaţii algebrice format din ecuaţiile (2.12) şi (2.15):
Ċ1 (t)eλ1 t
λ1 t
Ċ1 (t)λ1 e
+
Ċ2 (t)eλ2 t
λ2 t
+ Ċ2 (t)λ2 e
=
0
1
f (t)
=
a2
(2.16)
50
CAPITOLUL 2
ı̂n care necunoscutele sunt Ċ1 (t), Ċ2 (t) (derivatele funcţiilor C1 (t) şi C2 (t)),
are determinantul (λ2 − λ1 )e(λ1 +λ2 )t 6= 0 şi permite determinarea funcţiilor
Ċ1 (t) şi Ċ2 (t):
Ċ1 (t) = −
Ċ2 (t) =
1
· e−(λ1 +λ2 )t · eλ2 t · f (t)
a2 (λ2 − λ1 )
Rezultǎ de aici cǎ funcţiile C1 (t) şi C2 (t) sunt date de:
Z t
1
C1 (t) = −
e−λ1 τ · f (τ )dτ
a2 (λ2 − λ1 ) t∗
C2 (t) =
1
a2 (λ2 − λ1 )
Z
t∗
Z t
1
λ2 t
+
·e
e−λ2 τ · f (τ )dτ.
a2 (λ2 − λ1 )
t∗
Rezultǎ cǎ o soluţie oarecare a ecuaţiei (2.3) este datǎ de
x(t) = x
e(t) + x(t)
1
· eλ1 t
x(t) = C1 e + C2 e −
a2 (λ2 − λ1 )
Z t
1
λ2 t
+
·e
a2 (λ2 − λ1 )
t∗
λ1 t
λ2 t
(2.18)
t
iar soluţia particularǎ a ecuaţiei neomogene (2.3) este:
Z t
1
λ1 t
·e
e−λ1 τ · f (τ )dτ +
x(t) = −
a2 (λ2 − λ1 )
t∗
adicǎ:
(2.17)
1
· e−(λ1 +λ2 )t · eλ1 t · f (t)
a2 (λ2 − λ1 )
Z
(2.19)
t
t∗
e−λ1 τ · f (τ )dτ +
(2.20)
Fǎcând un raţionament asemǎnǎtor ı̂n cazul ı̂n care ecuaţia algebricǎ
(2.5) are rǎdǎcini reale egale λ1 = λ2 = λ, pentru ecuaţia (2.3) gǎsim soluţia
particularǎ:
Z
Z t
1 t −λτ
t
λt
−λτ
x(t) = e −
e
· τ · f (τ )dτ +
e
· f (τ )dτ
a2 t∗
a2 t∗
51
şi soluţia generalǎ
x(t) = eλ1 t (C1 + C2 t) +
Z
Z t
t
1 t −λτ
−λτ
+e −
e
· τ · f (τ )dτ +
e
· f (τ )dτ
a2 t∗
a2 t∗
λt
(2.21)
În cazul ı̂n care ecuaţia algebricǎ (2.5) are rǎdǎcinile complexe λ1 = µ+iν
şi λ1 = µ − iν, cu metoda variaţiei constantelor gǎsim soluţia particularǎ:
Z t
1
µt
x(t) = −
· e · cos νt
e−µτ · sin ντ · f (τ )dτ +
a2 ν
∗
Z tt
1
+
· eµt · sin νt
e−µτ · cos ντ · f (τ )dτ
a2 ν
t∗
şi soluţia generalǎ
x(t) = C1 eµt · cos νt + C2 eµt · sin νt −
1
−
· eµt · cos νt
a2 ν
1
+
· eµt · sin νt
a2 ν
Z
t
t∗
Z
e−µτ · sin ντ · f (τ )dτ +
t
t∗
e−µt · cos ντ · f (τ )dτ
(2.22)
În general pentru orice t0 , x00 , x10 ∈ IR1 putem determina constantele C1 şi
C2 din formula de reprezentare a soluţiei x(t) a ecuaţiei neomogene ((2.20),
(2.21), (2.22)) astfel ı̂ncât sǎ avem x(t0 ) = x00 şi ẋ(t0 ) = x10 .
Folosind una din formulele (2.20), (2.21), (2.22), determinatǎ de natura
1
rǎdǎcinilor ecuaţiei L · λ2 + R · λ +
= 0, putem determina toate soluţiile
C
ecuaţiei (∗) din problema 2.1.1. Cunoscând valoarea i0 a curentului la momentul t0 şi valoarea variaţiei curentului i10 la momentul t0 , se determinǎ constantele C1 şi C2 din formulele de reprezentare a soluţiei astfel ı̂ncât soluţia
oarecare i(t) a ecuaţiei sǎ verifice condiţiile iniţiale i(t0 ) = i0 şi i̇(t0 ) = i10 .
Exerciţii
1. Rezolvaţi urmǎtoarele probleme cu date iniţiale:
a)
ẍ − x = 0
x(0) = 2, ẋ(0) = 0
52
CAPITOLUL 2
R: x(t) = et + e−t
b)
ẍ + 2ẋ + x = 0 x(0) = 0, ẋ(0) = 1
R: x(t) = t · e−t
c)
d)
ẍ − 4ẋ + 4x = 0 x(1) = 1, ẋ(1) = 0
R: x(t) = 3e2t−2 − 2t · e2t−2
π π x
= 1, ẋ
=0
2
2
ẍ + x = 0
R: x(t) = sin t
e)
ẍ + ẋ + x = 0
x(0) = 0, ẋ(0) = 1
1
2√
R: x(t) =
3 · e− 2 t · sin
3
2. Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale :
a) ẍ + 3ẋ + 2x =
2√
3t
3
1
1 + et
R: x(t) = e−t · ln(1 + et ) + e−2t · ln(1 + et ) − e−2t · C1 + e−t · C2
b) ẍ − 6ẋ + 9x =
9t2 + 6t + 2
t3
R: x(t) = e3t · C1 + t · e3t · C2 +
c) ẍ + x =
1
t
et e−t
+
2
2
1
R: x(t) = C1 · sin t + C2 · cos t + (e2t + 1) · e−t
4
d) ẍ − 3ẋ + 2x = 2e2t
R: x(t) = (2tet − 2et + C1 et + C2 )et
e) ẍ − 4ẋ + 4x = 1 + et + e2t
R: x(t) = C1 · e2t + C2 t · e2t +
1 1 2 2t
+ t e + et
4 2
f ) ẍ + x = sin t + cos 2t
R: x(t) = C1 sin t + C2 cos t −
1 1
2
cos t2 + − t cos t
3
3 2
g) ẍ − 2(1 + m)ẋ + (m2 + 2m)x = et + e−t ,
R: x(t) = C1 · emt + C2 · e(m+2)t +
h) ẍ − 5ẋ + 6x = 6t2 − 10t + 2
m ∈ IR1
((m + 3)e2t + m − 1) · e−t
m3 + 3m2 − m − 3
R: x(t) = C1 · e3t + C2 · e2t + t2
i) ẍ − 5ẋ = −5t2 + 2t
1
1
R: x(t) = t3 + e5t · C1 + C2
3
5
j) ẍ + x = te−t
1
R: x(t) = C1 sin t + C2 cos t + (−1 + t) · et
2
k) ẍ − x = tet + t + t3 e−t
1
(−4te2t + 2e2t − 16tet − 2t4 +
16
+4t2 e2t − 4t3 − 6t2 − 6t − 3) · e−t
R: x(t) = C1 e−t + C2 et +
l) ẍ − 7ẋ + 6x = sin t
R: x(t) = C1 · et + C2 · e6t +
7
5
cos t +
sin t
74
74
m) ẍ − 4ẋ + 4x = sin t · cos 2t
10
191
R: x(t) = C1 e2t + C2 te2t −
sin t · cos t2 −
sin t+
169
4225
24
788
+
cos t3 −
cos t
169
4225
53
54
CAPITOLUL 2
n) ẍ + x = cos t − cos 3t
R: x(t) = C1 sin t + C2 cos t +
1
1
1
· t sin t + cos t3 − cos t
2
2
8
Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi constanţi
2.2
55
Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n
cu coeficienţi constanţi
O ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficienţi constanţi este o
ecuaţie diferenţialǎ de forma
an x(n) + an−1 x(n−1) + . . . + a1 ẋ + a0 x = f (t)
(2.23)
ı̂n care a0 , a1 , . . . , an−1 , an sunt constante reale cunoscute, an 6= 0, f (t) funcţie
cunoscutǎ continuǎ şi x este funcţie realǎ de clasǎ C n necunoscutǎ.
Observaţia 2.2.1 Dacǎ f = 0, atunci ecuaţia (2.23) se numeşte ecuaţie
diferenţialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficienţi constanţi omogenǎ, iar dacǎ
f 6= 0 ecuaţia (2.23) se numeşte ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul n cu
coeficienţi constanţi neomogenǎ.
Rezolvǎm mai ı̂ntâi ecuaţia omogenǎ ataşatǎ ecuaţiei (2.23):
an x(n) + an−1 x(n−1) + . . . + a1 ẋ + a0 x = 0
(2.24)
Pentru determinarea soluţiilor ecuaţiei (2.24) se cautǎ soluţii de forma
x(t) = C · eλt . Impunând unei asemenea funcţii sǎ verifice ecuaţia (2.24)
rezultǎ cǎ λ trebuie sǎ verifice ecuaţia algebricǎ
an λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 = 0
(2.25)
numitǎ ecuaţie caracteristicǎ.
Dacǎ ecuaţia (2.25) are toate rǎdǎcinile reale şi distincte λ1 , λ2 , . . . λn
atunci funcţiile xi (t) = Ci · eλi t , i = 1, n sunt soluţii ale ecuaţiei (2.24) şi orice
funcţie x(t) datǎ de:
x(t) = C1 · eλ1 t + C2 · eλ2 t + . . . + Cn · eλn t
(2.26)
este soluţie a ecuaţiei (2.24) (C1 , C2 , . . . , Cn sunt constante reale oarecare).
Mai mult, oricare ar fi t0 , x00 , x10 , ..., xn−1
∈ IR1 putem determina ı̂n mod
0
unic constantele C1 , C2 , . . . , Cn astfel ı̂ncât sǎ aibǎ loc
x(t0 ) = x00 , ẋ(t0 ) = x10 , ... , x(n−1) (t0 ) = x0n−1 .
În particular rezultǎ de aici cǎ formula (2.26) reprezintǎ toate soluţiile
ecuaţiei (2.24) ı̂n acest caz.
56
CAPITOLUL 2
Dacǎ printre rǎdǎcinile ecuaţiei caracteristice (2.25) existǎ şi rǎdǎcini
complexe simple, de exemplu λ = µ + iν şi λ = µ − iν, atunci fiecǎrei perechi
de rǎdǎcini complex conjugate ı̂i corespund soluţiile
x1λ (t) = Cλ1 · eµt · cos νt şi x2λ (t) = Cλ2 · eµt · sin νt
Pentru µ = 0 aceste soluţii devin:
x1λ (t) = Cλ1 · cos νt şi x2λ (t) = Cλ2 · sin νt
Astfel, dacǎ ecuaţia caracteristicǎ are 2k rǎdǎcini complexe simple λj =
µj + iνj şi λj = µj − iνj , j = 1, k şi n − 2k rǎdǎcini reale simple λ2k+1 , . . . , λn ,
atunci orice funcţie x(t) datǎ de:
x(t) =
k
X
Cj1
j=1
µj t
·e
· cos νj t +
k
X
j=1
Cj2
µj t
·e
· sin νj t +
n
X
j=2k+1
Cj · eλj t (2.27)
este soluţie a ecuaţiei (2.24) (Cj1 , Cj2 , j = 1, k şi Cj , j = 2k + 1, n sunt constante reale oarecare).
0
1
2
unic constantele Cj , Cj , j = 1, k şi Cj , j = 2k + 1, n astfel ı̂ncât sǎ aibǎ loc
x(t0 ) = x00 , ẋ(t0 ) = x10 , ..., x(n−1) (t0 ) = xn−1
. În particular rezultǎ de aici cǎ
0
formula (2.27) reprezintǎ toate soluţiile ecuaţiei (2.24) ı̂n acest caz.
Dacǎ ecuaţia caracteristicǎ (2.25) are k rǎdǎcini reale λ1 , . . . , λk având ordine de multiplicitate q1 , . . . , qk şi l rǎdǎcini complex conjugate µ1 ±iν1 , . . . , µl ±
iνl având ordine de multiplicitate r1 , . . . , rl , atunci orice funcţie x(t) datǎ de
formula:
x(t) =
k
X
j=1
λj t
e
· Pqj −1 (t) +
l
X
j=1
eµj t · Qrj −1 (t) · cos νj t + Rrj −1 (t) · sin νj t
(2.28)
este soluţie a ecuaţiei (2.24), unde Pqj −1 (t) sunt polinoame de grad qj − 1 cu
coeficineţi reali nedeterminaţi şi Qrj −1 , Rrj −1 sunt polinoame de grad rj − 1
cu coeficienţi reali nedeterminaţi.
0
unic coeficienţii polinoamelor Pqj −1 , Qqj −1 , Rqj −1 astfel ı̂ncât sǎ aibǎ loc x(t0 ) =
x10 , ẋ(t0 ) = x20 , ..., x(n−1) (t0 ) = xn−1
.
0
În particular rezultǎ de aici cǎ formula (2.28) reprezintǎ toate soluţiile
ecuaţiei (2.24) ı̂n acest caz.
57
Reamintim cǎ obiectul acestui paragraf este rezolvarea ecuaţiei diferenţiale
de ordinul n, cu coeficienţi constanţi neomogenǎ (2.23):
an x(n) + an−1 x(n−1) + . . . + a1 ẋ + a0 x = f (t)
ı̂n care a0 , a1 , . . . , an−1 , an sunt constante reale date, an 6= 0, f funcţie cunoscutǎ continuǎ şi x este funcţie realǎ de clasǎ C n necunoscutǎ.
Pentru determinarea soluţiilor ecuaţiei (2.23) este important sǎ observǎm
cǎ dacǎ x(t) este o soluţie fixatǎ a ecuaţiei (2.23) şi x(t) este o soluţie oarecare
a aceleiaşi ecuaţii, atunci diferenţa x(t) − x(t) = x
e(t) este o soluţie oarecare a
ecuaţiei diferenţiale liniare omogene cu coeficienţi constanţi, (2.24). Întrucât
soluţiile x
e(t) ale ecuaţiei omogene (2.24) sunt date ı̂n general de (2.28), determinarea soluţiilor x(t) ale ecuaţiei (2.23) revine la determinarea unei singure
soluţii x(t) ale acestei ecuaţii.
O soluţie particularǎ x(t) pentru ecuaţia (2.23) se determinǎ cu metoda
variaţiei constantelor a lui Lagrange, un procedeu asemenǎtor cu cel descris
ı̂n paragraful precedent.
Vom ilustra acest procedeu pe un exemplu (n = 3):
Exemplul 2.2.1 Sǎ se determine soluţiile ecuaţiei:
...
x + 4ẍ + 5ẋ = 4et
Considerǎm ecuaţia omogenǎ
...
x + 4ẍ + 5ẋ = 0
Ecuaţia caracteristicǎ asociatǎ este:
λ3 + 4λ2 + 5λ = 0
ale cǎrei rǎdǎcini sunt:
λ0 = 0, λ1 = −2 − i, λ2 = −2 + i.
Soluţiile ecuaţiei omogene sunt date de:
y(t) = C1 + C2 · e−2t · cos t + C3 · e−2t · sin t.
Cǎutǎm x(t), o soluţie particularǎ pentru ecuaţia neomogenǎ, sub forma
x(t) = C1 (t) + C2 (t) · e−2t · cos t + C3 (t) · e−2t · sin t
58
CAPITOLUL 2
ı̂n care C1 (t), C2 (t), C3 (t) sunt funcţii de clasǎ C 1 care trebuiesc determinate.
Calculǎm derivata ı̂ntâi a funcţiei x(t) şi obţinem:
ẋ = Ċ1 + Ċ2 · e−2t · cos t + Ċ3 · e−2t · sin t − 2C2 · e−2t · cos t−
− 2C3 · e−2t · sin t − C2 · e−2t · sin t + C3 · e−2t · cos t
Impunem ca Ċ1 , Ċ2 , Ċ3 sǎ verifice:
şi obţinem:
Ċ1 + Ċ2 · e−2t · cos t + Ċ3 · e−2t · sin t = 0
ẋ = −C2 · e−2t · (2 cos t + sin t) + C3 · e−2t · (cos t − 2 sin t)
Calculǎm derivata a doua a funcţiei x(t) şi obţinem:
ẍ = −Ċ2 · e−2t · (2 cos t + sin t) + Ċ3 · e−2t · (cos t − 2 sin t)+
+2C2 · e−2t · (2 cos t + sin t) − 2C3 · e−2t · (cos t − 2 sin t)−
−C2 · e−2t · (−2 sin t + cos t) + C3 · e−2t · (− sin t − 2 cos t) =
= −Ċ2 · e−2t · (2 cos t + sin t) + Ċ3 · e−2t · (cos t − 2 sin t)+
+C2 · e−2t · (3 cos t + 4 sin t) + C3 · e−2t · (3 sin t − 4 cos t).
Impunem ca Ċ2 , Ċ3 sǎ verifice:
−Ċ2 · e−2t · (2 cos t + sin t) + Ċ3 · e−2t · (cos t − 2 sin t) = 0
şi obţinem
ẍ = C2 · e−2t · (3 cos t + 4 sin t) + C3 · e−2t · (3 sin t − 4 cos t)
De aici calculǎm derivata a treia a funcţiei x(t) şi obţinem:
...
x = Ċ2 · e−2t · (3 cos t + 4 sin t) + Ċ3 · e−2t · (3 sin t − 4 cos t)−
−2C2 · e−2t · (3 cos t + 4 sin t) − 2C3 · e−2t · (3 sin t − 4 cos t)+
+C2 · e−2t · (−3 sin t + 4 cos t) + C3 · e−2t · (3 cos t + 4 sin t) =
= Ċ2 · e−2t · (3 cos t + 4 sin t) + Ċ3 · e−2t · (3 sin t − 4 cos t)+
+C2 · e−2t · (−2 cos t − 11 sin t) + C3 · e−2t · (−2 sin t + 11 cos t).
59
Înlocuind toate acestea ı̂n ecuaţia datǎ rezultǎ:
Ċ2 · e−2t · (3 cos t + 4 sin t)
+C2 · e−2t · (−2 cos t − 11 sin t)
+C2 · e−2t · (12 cos t + 16 sin t)
−C2 · e−2t · (10 cos t + 5 sin t)
+Ċ3 · e−2t · (3 sin t − 4 cos t)
+C3 · e−2t · (−2 sin t + 11 cos t)
+C3 · e−2t · (12 sin t − 16 cos t)
+C3 · e−2t · (5 cos t − 10 sin t)
+
+
−
= 4et
sau
Ċ2 · e−2t · (3 cos t + 4 sin t) + Ċ3 · e−2t · (3 sin t − 4 cos t) = 4et
Aceastǎ egalitate ı̂mpreunǎ cu sistemul de condiţii impus pe parcurs
funcţiilor Ċ1 , Ċ2 , Ċ3 conduce la urmǎtorul sistem liniar de ecuaţii algebrice
ı̂n necunoscutele Ċ1 , Ċ2, Ċ3 :

Ċ1 +Ċ2 · e−2t · cos t
+Ċ3 · e−2t · sin t
=0





−Ċ2 · e−2t · (2 cos t + sin t)
+Ċ3 · e−2t · (cos t − 2 sin t)
=0





Ċ2 · e−2t · (3 cos t + 4 sin t) +Ċ3 · e−2t · (−4 cos t + 3 sin t) = 4et
Din ultimele douǎ ecuaţii rezulǎ sistemul algebric:

 Ċ2 · (−2 cos t − sin t) +Ċ3 · (cos t − 2 sin t)

=0
Ċ2 · (3 cos t + 4 sin t) +Ċ3 · (−4 cos t + 3 sin t) = 4e−t
Determinantul sistemului este:
∆ =
−
=
−
(−2 cos t − sin t)(−4 cos t + 3 sin t)
(cos t − 2 sin t)(3 cos t + 4 sin t) =
8 cos2 t − 6 sin t cos t + 4 sin t cos t − 3 sin2 t − 3 cos2 t −
4 sin t cos t + 6 sin t cos t + 8 sin2 t = 8 − 3 = 5
şi soluţiile sunt date de:
4
Ċ2 = − · et (cos t − 2 sin t)
5
Ċ3 =
4 t
· e (−2 cos t − sin t).
5
60
CAPITOLUL 2
Înlocuind Ċ2 , Ċ3 ı̂n prima ecuaţie, se obţine Ċ1 :
4 −t
4
· e cos t(cos t − 2 sin t) + · e−t sin t(2 cos t + sin t) =
5
5
4 −t
2
2
=
· e [cos t + sin t] =
5
4 −t
=
·e
5
Ċ1 =
Astfel au fost gǎsite derivatele funcţiilor necunoscute Ċ1 , Ċ2 , Ċ3 :
4 −t
·e
5
4
= − · et [cos t − 2 sin t]
5
4
= − · et [2 cos t + sin t]
5
Ċ1 =
Ċ2
Ċ3
de unde rezultǎ:
4
C1 = − · e−t
5
1
C2 =
· et [−12 cos t + 4 sin t]
10
1
C3 =
· et [4 cos t + 12 sin t]
10
Obţinem de aici:
4
1
x(t) = − · e−t +
· e−t [−12 cos t + 4 sin t] · cos t +
5
10
1
· e−t [4 cos t + 12 sin t] · sin t
+
10
de unde avem cǎ soluţia generalǎ a ecuaţiei neomogene
x(t) = x
e(t) + x(t)
este:
x(t) = C1 + c2 e−2t cos t + C3 e−2t sin t −
4 −t
·e +
5
1
· e−t [−12 cos t + 4 sin t] · cos t +
10
1
+
· e−t [4 cos t + 12 sin t] · sin t
10
+
61
Exerciţii
1. Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale (cu calculatorul):
...
a) x − 2ẍ − ẋ + 2x = 0
R: x(t) = C1 · et + C2 · e2t + C3 · e−t
b) x(4) − 5ẍ + 4x = 0
R: x(t) = C1 · et + C2 · e2t + C3 · e−t + C4 · e−2t
...
c) x − 6ẍ + 12ẋ − 8x = 0
R: x(t) = C1 · e2t + C2 · t · e2t + C3 · t2 · e2t
d) x(7) + 3x(6) + 3x(5) + x(4) = 0
R: x(t) = C1 ·e−t +C2 ·t·e−t +C3 ·t2 ·e−t +C4 +C5 ·t+C6 ·t2 +C7 ·t3
...
e) x − ẍ + ẋ − x = 0
R: x(t) = C1 · et + C2 sin t + C3 cos t
f ) x(4) + 2ẍ + x = 0
R: x(t) = C1 sin t + C2 cos t + C3 t · sin t + C4 t · cos t
...
g) x(4) − 3 x + 5ẍ − 3ẋ + 4x = 0
R: x(t) = C1 sin t + C2 cos t + C3 e
√ !
3
7
+C4 e 2 t · cos
t
2
3
t
2
· sin
√ !
7
t +
2
2. Determinaţi soluţiile urmǎtoarelor probleme cu date iniţiale:
...
a) x − 2ẍ − ẋ + 2x = 0 x(0) = 0, ẋ(0) = 1 ẍ(0) = 2
62
CAPITOLUL 2
1
2
1
R: x(t) = − et + e2t − e−t
2
3
6
...
b) x − ẍ + ẋ − x = 0 x(1) = 0, ẋ(1) = 1 ẍ(1) = 2
R: x(t) = et−1 − (sin 1) · sin t − (cos 1) · cos t
...
c) x(4) − 5ẍ + 4x = 0 x(0) = 0, ẋ(0) = 1 ẍ(0) = 2, x (0) = 3
1
1
1
1
R: x(t) = − · et + · e−2t − · e−t + · e2t
6
6
2
2
3. Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale:
...
a) x − 2ẍ − ẋ + 2x = t + 1
R: x(t) =
3 1
+ · t + C1 et + C2 e2t + C3 e−t
4 2
...
b) x − 6ẍ + 12ẋ − 8x = sin t
R: x(t) = −
11
2
cos t−
sin t+C1 e2t +C2 t2 ·e2t +C3 t3 ·e2t
125
125
Reducerea ecuaţiei diferenţiale liniare de ordinul n a lui Euler la o ecuaţie liniarǎ
2.3
63
Reducerea ecuaţiei diferenţiale liniare de
ordinul n a lui Euler la o ecuaţie diferenţialǎ
liniarǎ de ordinul n cu coeficienţi constanţi
Definiţia 2.3.1 Ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul n de forma:
an · tn · x(n) + an−1 · tn−1 · x(n−1) + . . . + a1 · t · ẋ + a0 · x = 0
(2.29)
ı̂n care a0 , a1 , . . . , an sunt constante reale, se numeşte ecuaţie diferenţialǎ
liniarǎ de ordinul n a lui Euler.
Propoziţia 2.3.1 Prin schimbarea de variabilǎ |t| = eτ ecuaţia diferenţialǎ
(2.29) se reduce la o ecuaţie diferenţialǎ liniarǎ de ordinul n cu coeficienţi
constanţi.
Demonstraţie: Fie x = x(t) o soluţie a ecuaţiei (2.29) şi y funcţia y(τ ) =
x(eτ ). De aici, pentru t > 0, avem cǎ x(t) = y(ln t) iar prin derivare succesivǎ
obţinem:
dx
dy 1
=
·
dt
dτ t
d2 x
d2 y 1
dy 1
1
=
· 2−
· 2 = 2·
2
2
dt
dτ t
dτ t
t
d3 x
2
=
−
·
dt3
t3
=
1
·
t3
d2 y dy
−
dτ 2 dτ
1
+ 3·
t
d3 y
d2 y
dy
−
3
+
2
dτ 3
dτ 2
dτ
d2 y dy
−
dτ 2 dτ
d3 y d2 y
−
dτ 3 dτ 2
Dacǎ presupunem cǎ pentru 1 ≤ k < n avem
k
dk x
1 X k di y
=
·
c ·
dtk
tk i=1 i dτ i
atunci printr-o nouǎ derivare deducem egalitatea
k+1
dk+1 x
1 X k+1 di y
=
·
c
· i
dtk+1
tk+1 i=1 i
dτ
=
64
CAPITOLUL 2
Rezultǎ ı̂n acest fel cǎ derivatele de orice ordin (1 ≤ k ≤ n) ale funcţiei
1
x se exprimǎ ca un produs ı̂ntre k+1 şi o combinaţie liniarǎ a derivatelor de
t
ordin i ≤ k + 1 ale funcţiei y.
Înlocuind ı̂n (2.29) se obţine cǎ funcţia y verificǎ o ecuaţie diferenţialǎ
liniarǎ de ordinul n cu coeficienţi constanţi.
Se determinǎ soluţiile y = y(τ ) ale acestei ecuaţii şi apoi soluţiile x(t) ale
lui (2.29) pentru t > 0:
x(t) = y(ln t).
Pentru t < 0 se raţioneazǎ la fel şi se obţine:
x(t) = y(ln |t|).
Exerciţii:
Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale:
1. t2 ẍ + tẋ − x = 0
R: x(t) = C1 · t + C2 ·
1
t
...
2. 12t3 x − 25t2 ẍ + 28tẋ − 6x = 0
1
R: x(t) = C1 · t2 + C2 · t 12 + C3 · t3
3. t2 ẍ + tẋ = 0
R: x(t) = C1 + C2 · ln t
4. t2 ẍ − tẋ + x = 0
R: x(t) = C1 · t + C2 · t · ln t
65
Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor de ordinul n
2.4
diferenţiale de ordinul n
Pentru rezolvarea numericǎ a ecuaţiilor diferenţiale de ordin superior
(n ≥ 2) Maple foloseşte aceeaşi funcţie dsolve (solve ordinary differential
equations - ODEs) care a fost prezentatǎ ı̂n capitolul anterior.
Noutatea care apare aici constǎ ı̂n scrierea sintaxei pentru derivatele de ordin
superior. De exemplu, derivata de ordinul al doilea a funcţiei x(t) poate fi
scrisǎ ı̂ntr-unul din urmǎtoarele moduri:
diff(x(t),t,t)
diff(x(t),t$2)
(D@@2)(x)(t)
Pentru exemplificare, vom rezolva câteva ecuaţii şi probleme cu date
iniţiale:
1. Ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi
omogenǎ:
ẍ − 4ẋ + 4x = 0;
(2.30)
>
eq1:=diff(x(t),t,t)-4*diff(x(t),t)+4*x(t)=0;
>
eq1 := dtd 2 x (t) − 4 dtd x (t) + 4 x (t) = 0
dsolve(eq1,x(t));
>
x (t) = C1 e2 t + C2 e2 t t
dsolve({eq1,x(1)=1,D(x)(1)=0},x(t));
2
2t
>
>
2t
x (t) = 3 ee2 − 2 ee2 t
sol1:=3*exp(2*t)/exp(2)-2*exp(2*t)*t/exp(2):
plot(sol1,t=-infinity..infinity);
66
CAPITOLUL 2
Figura 8
Se observǎ cǎ, dacǎ nu s-a dat nici o condiţie iniţialǎ soluţia generalǎ
este afişatǎ cu ajutorul a douǎ constante. Mai precis, numǎrul constantelor este acelaşi cu ordinul ecuaţiei, ı̂n cazul ecuaţiei de ordinul al
doilea soluţia generalǎ exprimându-se cu ajutorul a douǎ constante.
Pentru ca Maple sǎ afişeze soluţia unei Probleme Cauchy ı̂n cazul unei
ecuaţii de ordin superior trebuie sa-i dǎm n condiţii iniţiale:
x(t0 ) = x00 , ẋ(t0 ) = x10 , ... , x(n−1) (t0 ) = xn−1
.
0
2. Ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al patrulea cu coeficienţi constanţi
omogenǎ:
x(4) − 5ẍ + 4x = 0;
(2.31)
>
eq2:=diff(x(t),t,t,t,t)-5*diff(x(t),t,t)+4*x(t)=0;
>
eq2 := dtd 4 x (t) − 5 dtd 2 x (t) + 4 x (t) = 0
eq2:=diff(x(t),t$4)-5*diff(x(t),t$2)+4*x(t)=0;
>
>
>
4
2
4
2
eq2 := dtd 4 x (t) − 5 dtd 2 x (t) + 4 x (t) = 0
eq2:=(D@@4)(x)(t)-5*(D@@2)(x)(t)+4*x(t)=0;
eq2 := D (4) (x) (t) − 5 D (2) (x) (t) + 4 x (t) = 0
dsolve(eq2,x(t));
x (t) = C1 e−2 t + C2 e−t + C3 e2 t + C4 et
dsolve({eq2,x(0)=0,D(x)(0)=1,(D@@2)(x)(0)=2,
(D@@3)(x)(0)=3},x(t));
x (t) = −1/2 e−t + 1/6 e−2 t + 1/2 e2 t − 1/6 et
>
sol2:=-1/2*exp(-t)+1/6*exp(-2*t)+1/2*exp(2*t)-
>
1/6*exp(t):
plot(sol2,t=-2..2);
67
Figura 9
Din instrucţiunile de mai sus reiese cǎ, ı̂n rezolvarea Problemei Cauchy
pentru o ecuaţie diferenţialǎ de ordinul patru s-au folosit patru condiţii
iniţiale. Se observǎ deasemenea, sintaxa corespunzǎtoare derivatelor de
ordin superior a fost scrisǎ ı̂n cele trei moduri prezentate la ı̂nceputul
paragrafului.
3. Ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al treilea cu coeficienţi constanţi
neomogenǎ:
...
x − 6ẍ + 12ẋ − 8x = sin t;
(2.32)
>
eq3:=diff(x(t),t,t,t)-6*diff(x(t),t,t)+12*diff(x(t),t)
-8*x(t)=sin(t);
d3
x (t)
dt3
2
eq3 :=
− 6 dtd 2 x (t) + 12 dtd x (t) − 8 x (t) = sin (t)
>
dsolve(eq3);
11
2
x (t) = − 125
cos (t) − 125
sin (t) + C1 e2 t + C2 e2 t t + C3 e2 t t2
>
dsolve({eq3,x(0)=0,D(x)(0)=2,(D@@2)(x)(0)=4});
11
2
11 2 t
19 2 t 2
x (t) = − 125
cos (t) − 125
sin (t) + 125
e + 46
e2 t t − 10
e t
25
>
sol3:=-11/125*cos(t)-2/125*sin(t)+11/125*exp(2*t)+
>
46/25*exp(2*t)*t-19/10*exp(2*t)*t^2:
plot(sol3,t=-4..1);
68
CAPITOLUL 2
Figura 10
În cele ce urmeazǎ, vom mai prezenta o altǎ funcţie de plotare DEtools
[DEplot] (plot solutions to an equation or a system of DEs) pentru a
vizualiza soluţia acestei probleme cu date iniţiale. Utilizarea acesteia nu
necesitǎ rezolvarea ecuaţiei ı̂n avans deoarece ecuaţia este inclusǎ direct
ı̂n instrucţiune. Sintaxa acestei funcţii poate avea una din urmǎtoarele
forme:
with(DEtools):DEplot(deqns, vars, trange, options);
with(DEtools):DEplot(deqns, vars, trange, inits, options);
with(DEtools):DEplot(deqns, vars, trange, xrange, yrange, options);
with(DEtools):DEplot(deqns, vars, trange, inits, xrange, yrange, options);
ı̂n care:
deqns
vars
trange
inits
xrange
yrange
options
>
69
- ecuaţia diferenţialǎ de orice ordin pe care dorim sǎ o
rezolvǎm sau lista de ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi
(ı̂n cazul sistemelor)
- variabila independentǎ sau lista variabilelor independente
- domeniul de definiţie al variabilei independente
- lista de condiţii iniţiale
- domeniul de variaţie al primei variabile dependente
- domeniul de variaţie al celei de-a doua variabile
dependente
- diferite opţiuni: modul de afişare al soluţiei, metoda de
rezolvare, etc.
with(DEtools):DEplot(eq3,x(t),t=-4..1,[[x(0)=0,D(x)(0)=2,
(D@@2)(x)(0)=4]],x=-0.6..1.8,stepsize=.05,title=‘Solutia
Problemei Cauchy‘);
Figura 11
4. Ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al treilea cu coeficienţi variabili
de tip Euler:
...
t2 x + 5tẍ + 4ẋ = ln t,
t>0
(2.33)
>
eq4:=t^2*diff(x(t),t,t,t)+5*t*diff(x(t),t,t)+
4*diff(x(t),t)=ln(t);
3
>
2
eq4 := t2 dtd 3 x (t) + 5 t dtd 2 x (t) + 4 dtd x (t) = ln (t)
dsolve({eq4,x(2)=2,D(x)(2)=1/2,(D@@2)(x)(2)=3});
70
CAPITOLUL 2
>
))·ln(t)
x (t) = −2 ln(2 ) + 19 + (−29 +2 ln(2
+
t
32 ln(2 )−2 (ln(2 ))2 −32
+ 1 /4t(ln(t)) − 2
t
sol4:=-2*ln(2)+19+(-29+2*ln(2))*ln(t)/t+(32*ln(2)-
>
2*ln(2)^2-32)/t+1/4*t*(ln(t)-2):
plot(sol4,t=0.1..infinity,axes=boxed);
Figura 12
Capitolul 3
Sisteme de ecuaţii diferenţiale
de ordinul ı̂ntâi liniare cu
coeficienţi constanţi
3.1
Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul
ı̂ntâi liniare cu coeficienţi constanţi omogene
Definiţia 3.1.1 Un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi liniare
cu coeficienţi constanţi omogen este un sistem de n relaţii de dependenţǎ
funcţionalǎ de forma:
ẋ1 = a11 · x1 + a12 · x2 + . . . + a1n · xn
ẋ2 = a21 · x1 + a22 · x2 + . . . + a2n · xn
..
.
ẋn = an1 · x1 + an2 · x2 + . . . + ann · xn
(3.1)
dintre un sistem de n funcţii necunoscute x1 , x2 , . . . , xn şi derivatele acestora
x˙1 , x˙2 , . . . , x˙n . În sistemul (3.1) coeficienţii aij sunt constante considerate
cunoscute.
Definiţia 3.1.2 Un sistem ordonat de n funcţii reale x1 , x2 , . . . , xn de clasǎ
71
72
CAPITOLUL 3
C 1 este soluţie a sistemului (3.1) dacǎ verificǎ
n
dxi X
=
aij · xi (t)
dt
j=1
pentru orice t ∈ IR1 .
Definiţia 3.1.3 Fiind date t0 ∈ IR′ şi (x01 , x02 , . . . , x0n ) ∈ IRn problema determinǎrii soluţiei (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) a sistemului (3.1) care verificǎ
xi (t0 ) = x0i i = 1, n se numeşte problemǎ cu date iniţiale sau problemǎ
Cauchy.
Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (3.1) notǎm cu A matricea
pǎtraticǎ care are ca elemente constantele aij : A = (aij )i,j=1,n şi cu X matricea coloanǎ X = (x1 , x2 , . . . xn )T . Cu aceste matrice sistemul (3.1) se scrie
sub forma matricealǎ:
Ẋ = A · X.
(3.2)
În aceastǎ problemǎ derivarea funcţiei matriceale X = X(t) ı̂nseamnǎ derivarea
elementelor matricei, iar produsul A · X ı̂nsemnǎ produsul dintre matricea A
şi matricea X.
Problema Cauchy (problema cu date iniţiale) se scrie matriceal sub forma:
Ẋ = A · X,
X(t0 ) = X 0
(3.3)
şi constǎ ı̂n determinarea funcţiei matriceale X = X(t) care verificǎ ecuaţia
(3.2) şi condiţia iniţialǎ X(t0 ) = X 0 .
Teorema 3.1.1 (de existenţǎ a soluţiei problemei Cauchy)
Pentru orice t0 ∈ IR1 şi X 0 = (x01 , x02 , . . . x0n )T problema Cauchy (3.3) are o
soluţie definitǎ pe IR1 .
Demonstraţie: Considerǎm şirul de funcţii matriceale definite astfel:
Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi liniare omogene
73
X 0 (t) = X 0 = I · X 0
Z t
(t − t0 ) · A
1
0
X (t) = X +
A · X 0 (τ )dτ = [I +
] · X0
1!
t
Z 0t
(t − t0 ) · A (t − t0 )2 · A2
A · X 1 (τ )dτ = [I +
+
] · X0
X 2 (t) = X 0 +
1!
2!
t
Z 0t
X 3 (t) = X 0 +
A · X 2 (τ )dτ =
t0
(t − t0 ) · A (t − t0 )2 · A2 (t − t0 )3 · A3
+
+
] · X0
1!
2!
3!
...
Z t
m
0
X (t) = X + A·X m−1 (τ )dτ =
= [I +
t0
...
(t − t0 ) · A (t − t0 )2 · A2
(t − t0 )m · Am
= [I +
+
+ ...+
] · X0
1!
2!
m!
Funcţiile din acest şir verificǎ inegalitatea
m+p
kX
m+p
m
(t) − X (t)k ≤
X |t − t0 |k · kAkk
· kX 0k, (∀) m, p ∈ IN, (∀) t ∈ IR1
k!
k=m+1
şi prin urmare şirul de funcţii {X m (t)}m∈n este uniform fundamental pe orice
compact K ⊂ IR1 . Rezultǎ cǎ şirul este uniform convergent pe orice compact
K ⊂ IR1 şi se poate trece la limitǎ ı̂n egalitatea
Z t
m
0
X (t) = X +
A · X m−1 (τ )dτ.
t0
pentru m → ∞.
Trecând la limitǎ obţinem cǎ limita X(t) a şirului X m (t)
X(t) = lim X m (t)
m→∞
verificǎ egalitatea
0
X(t) = X +
Z
t
t0
A · X(τ )dτ
74
CAPITOLUL 3
sau
0
X(t) = X + A ·
Z
t
X(τ )dτ.
t0
De aici rezultǎ cǎ funcţia X(t) este de clasǎ C 1 şi derivata ei verificǎ Ẋ(t) =
A · X(t), adicǎ X(t) este soluţia sistemului de ecuaţii diferenţiale sub formǎ
matricealǎ (3.2). Punând t = t0 ı̂n egalitatea
0
X(t) = X + A ·
Z
t
X(τ )dτ
t0
obţinem egalitatea X(t0 ) = X 0 care aratǎ cǎ X(t) este soluţia problemei
Cauchy (3.3). Am arǎtat ı̂n acest fel cǎ problema Cauchy (3.3) are o soluţie.
Observaţia 3.1.1 În aceastǎ demonstraţie norma matricei pǎtratice A kAk
este datǎ de kAk = sup k A · X k.
kXk≤1
Observaţia 3.1.2 Şirul de matrice pǎtratice care intervine ı̂n aceastǎ
demonstraţie:
U m (t; t0 ) = I +
(t − t0 ) · A (t − t0 )2 · A2
(t − t0 )m · Am
+
+ ...+
1!
2!
m!
este de asemenea fundamental.
Într-adevǎr:
m+p
kU
m+p
m
(t; t0 ) − U (t; t0 ) k≤
X | t − t0 |k · k A kk
, (∀)m, p ∈ IN , t ∈ IR1
k!
k=m+1
şi prin urmare şirul de funcţii matriceale {U m (t; t0 )}m∈IN este uniform convergent pe orice compact K ⊂ IR1 . Limita acestui şir este suma seriei de
matrice
∞
X
(t − t0 )m · Am
m=0
m!
care se noteazǎ cu e(t−t0 )·A :
(t−t0 )·A
e
∞
X
(t − t0 )m · Am
=
m!
m=0
75
Observaţia 3.1.3 Funcţia matricealǎ e(t−t0 )·A se numeşte matricea rezolvantǎ
a sistemului (3.2). O soluţie a problemei Cauchy (3.3) se obţine ı̂nmulţind
matricea e(t−t0 )·A cu matricea X 0 :
X(t; t0 , X 0 ) = e(t−t0 )·A · X 0 .
Aceastǎ soluţie este definitǎ pe IR1 .
Teorema 3.1.2 (de unicitate a soluţiei problemei Cauchy)
Problema Cauchy (3.3) are o singurǎ soluţie.
Demonstraţie: Presupunem prin absurd cǎ problema Cauchy (3.3), pe
lângǎ soluţia X(t; t0 , X 0 ) determinatǎ ı̂n teorema precedentǎ mai are o soluţie
e
X(t).
Pe intervalul I
de definiţie a acestei soluţii
(I ∋ t0 ) scriem egalitǎţile :
Z t
0
0
X(t; t0 , X ) = X + A ·
X(τ ; t0 , X 0 )dτ, (∀)t ∈ I
t0
şi
e = X0 + A ·
X(t)
şi deducem succesiv:
e
X(t; t0 , X ) − X(t)
0
=A·
Z
t
t0
Z
t
t0
e )dτ,
X(τ
(∀)t ∈ I
e )]dτ
[X(τ ; t0 , X 0 ) − X(τ
Z t
0
e
e )kdτ <
kX(t; t0 , X ) − X(t)k
≤ kAk · kX(τ ; t0 , X ) − X(τ
0
t0
Z t
0
e )kdτ < ε + kAk · kX(τ ; t0 , X ) − X(τ
t0
(∀)ε > 0 (∀)t ∈ I.
Pentru t > t0 rezultǎ ı̂n continuare:
ε+
Z
t
e
kX(t; t0 , X 0 ) − X(t)k
e )kdτ
kAk · kX(τ ; t0 , X ) − X(τ
0
t0
≤1 ⇔
76
CAPITOLUL 3
ε+
ln ε +
Z
ε+
Z
t
t0
t
Z
e )kdτ
kAk · kX(τ ; t0 , X ) − X(τ
0
t
t
e ) k dτ
kAk · kX(τ ; t0 , X ) − X(τ
0
t0
≤ kAk ⇔
e ) k dτ
ε+
kAk · kX(τ ; t0 , X ) − X(τ
t0
Z t
e )kdτ
ε+
kAk · kX(τ ; t0 , X 0 ) − X(τ
0
t0
ε+
ln
e
kAk · kX(t; t0 , X 0 ) − X(t)k
t0
d
dt
Z
Z
t
t0
≤ kAk ⇔
− ln(ε) ≤k A k (t − t0 ) ⇔
e ) k dτ
kAk · kX(τ ; t0 , X 0 ) − X(τ
ε
) ≤k A k ·(t − t0 ) ⇔
e ) k dτ ≤ ε · ekAk·(t−t0 ) , (∀)t ≥ t0 , ε > 0.
kAk · kX(τ ; t0 , X 0 ) − X(τ
e
=⇒ kX(t; t0 , X 0 ) − X(t)k
< εekAk(t−t0 ) , (∀)t ≥ t0 , (∀)ε > 0
Pentru t fixat şi ε → 0 rezultǎ
e
kX(t; t0 , X 0) − X(t)k
= 0.
e = X(t; t0 , X 0 ).
Astfel am arǎtat cǎ pentru orice t ≥ t0 şi t ∈ I avem X(t)
e
Raţionǎm analog pentru t ≤ t0 , t ∈ I şi obţinem X(t)
= X(t; t0 , X 0 ). Se
obţine ı̂n final egalitatea
e = X(t; t0 , X 0 )
X(t)
e
pentru orice t ∈ I, care aratǎ cǎ soluţia X(t)
coincide cu soluţia X(t; t0 , X 0 )
gǎsitǎ ı̂n teorema de existenţǎ.
Observaţia 3.1.4 Din teorema de existenţǎ şi cea de unicitate rezultǎ cǎ
orice soluţie a sistemului (3.2) este definitǎ pe IR1 şi se obţine cu formula
X(t) = e(t−t0 )·A · X 0 .
Într-adevǎr fie X(t) o soluţie oarecare a sistemului (3.2) definitǎ pe un interval
77
I. Considerǎm t0 ∈ I şi X(t0 ) = X 0 . Soluţia consideratǎ X(t), conform
teoremei de unicitate, coincide cu funcţia X(t; t0 , X 0 ) = e(t−t0 )·A · X 0 soluţie
a problemei Cauchy (3.3):
X(t) ≡ X(t; t0 , X 0 ) ≡ e(t−t0 )·A · X 0 .
Teorema 3.1.3 Mulţimea S a soluţiilor sistemului diferenţial liniar cu coeficienţi
constanţi de ordinul ı̂ntâi este un spaţiu vectorial n-dimensional.
Demonstraţie: Fie X 1 (t) şi X 2 (t) douǎ soluţii ale sistemului(3.2) şi α, β
douǎ constante reale. Ţinând seama de egalitatea:
α · X 1 (t) + β · X 2 (t) = e(t−t0 )·A · [α · X 1 (t0 ) + β · X 2 (t0 )]
rezultǎ cǎ funcţia α·X 1 (t)+β ·X 2 (t) este soluţie a sistemului (3.2). Obţinem
ı̂n acest fel cǎ mulţimea S a soluţiilor sistemului (3.2) este spaţiu vectorial.
Pentru a demonstra cǎ dimensiunea spaţiului vectorial S este n, considerǎm
baza canonicǎ b1 , b2 , . . . , bn ı̂n IRn :
b1 = (1, 0, 0, . . . , 0)T , b2 = (0, 1, 0, . . . , 0)T , . . . , bn = (0, 0, 0, . . . , 1)T
şi sistemul de soluţii
X i (t) = et·A · bi , i = 1, n.
Vom arǎta cǎ sistemul de soluţii X 1 (t), X 2 (t), . . . , X n (t) este o bazǎ ı̂n spaţiul
soluţiilor S. Pentru aceasta, fie la ı̂nceput c1 , c2 , . . . , cn , n constante reale
astfel ca
n
X
ck · et·A · bk = 0
k=1
1
(∀)t ∈ IR . În particular pentru t = 0 avem
n
X
k=1
ck · bk = 0
de unde rezultǎ c1 = c2 = . . . = cn = 0. Rezultǎ astfel cǎ sistemul de funcţii
X i (t) = et·A · bi , i = 1, n este liniar independent.
Considerǎm acum o soluţie oarecare X(t) a sistemului (3.2), şi vectorul X(0).
Pentru acest vector X(0) ∈ IRn existǎ n constante reale c1 , c2 , . . . , cn astfel
ca
n
X
X(0) =
ck · bk .
k=1
78
CAPITOLUL 3
Construim funcţia
e =
X(t)
n
X
k=1
ck · X k (t)
şi remarcǎm cǎ aceasta este o soluţie a sistemului (3.2) şi verificǎ:
e
X(0)
=
n
X
k=1
k
ck · X (0) =
n
X
k=1
ck · bk = X(0).
În baza teoremei de unicitate rezultǎ cǎ:
e = X(t), (∀)t.
X(t)
Am obţinut astfel cǎ, o soluţie oarecare X(t) este combinaţia liniarǎ
X(t) =
n
X
k=1
ck · X k (t)
a soluţiilor X k (t).
Definiţia 3.1.4 Un sistem de n soluţii {X k (t)k=1,n } ale ecuaţiei (3.2) se
numeşte sistem fundamental dacǎ sistemul de funcţii {X k (t)k=1,n } este liniar
independent.
Teorema 3.1.4 Un sistem de n soluţii {X k (t)k=1,n } ale ecuaţiei (3.2) este
sistem fundamental dacǎ şi numai dacǎ funcţia realǎ definitǎ prin:
W (X 1 (t), . . . , X n (t)) = det(xij (t)),
numitǎ wronskianul sistemului, nu se anuleazǎ. Am notat:
X i (t) = (xi1 (t), xi2 (t), . . . , xin (t))T .
Demonstraţie: Arǎtǎm la ı̂nceput necesitatea condiţiei. Raţionǎm prin reducere la absurd şi admitem cǎ,
deşi sistemul de soluţii
1
2
n
X (t), X (t), . . . , X (t) este fundamental existǎ un punct t0 ∈ IR1 ı̂n care
wronskianul sistemului de soluţii se anuleazǎ: det(xij (t0 )) = 0. În aceste
condiţii, sistemul algebric liniar şi omogen de n ecuaţii cu n necunoscute
c1 , c2 , . . . , cn
n
X
ci · xij (t0 ) = 0 j = 1, n
i=1
79
are o soluţie nebanalǎ ci = c0i , i = 1, n. Cu o asemenea soluţie nebanalǎ
ci = c0i , i = 1, n (c0i nu sunt toate nule) construim funcţia:
X(t) =
n
X
i=1
c0i · X i (t) t ∈ IR1 .
Funcţia X(t) construitǎ astfel este soluţie a sistemului (3.2) şi se anuleazǎ ı̂n
t0 :
n
X
X(t0 ) =
c0i · X i (t0 ) = 0.
i=1
În virtutea teoremei de unicitate rezultǎ cǎ funcţia X(t) este identic nulǎ:
n
X
i=1
c0i · X i (t) = 0, (∀)t ∈ IR1 .
Aceastǎ ı̂nsǎ este absurd, deoarece sistemul de n soluţii {X i (t)i=1,n } este independent.
Trecem acum sǎ arǎtǎm suficienţa condiţiei. Presupunem cǎ wronskianul
W (X 1 (t), . . . , X n (t)) = det(xij (t)) nu se anuleazǎ şi arǎtǎm cǎ sistemul de
soluţii {X i (t)i=1,n } este fundamental.
Raţionǎm prin reducere la absurd şi presupunem cǎ sistemul de soluţii {X i(t)i=1,n }
nu este fundamental (nu este liniar independent). În aceastǎ ipotezǎ existǎ
un sistem de constante {c0i }, i = 1, n, nu toate nule astfel cǎ
n
X
i=1
1
c0i · X i (t) = 0
pentru orice t ∈ IR . Egalitatea aceasta implicǎ egalitǎţile
n
X
i=1
c0i · xij (t) = 0 (∀)t ∈ IR1 j = 1, n
ceea ce aratǎ cǎ det(xij (t)) = 0 (∀)t ∈ IR1 ; absurd.
Teorema 3.1.5 (Liouville). Un sistem de n soluţii {X i (t)i=1,n } ale sistemului (3.2) este fundamental dacǎ şi numai dacǎ existǎ un punct t0 ∈ IR1 ı̂n
care wronskianul sistemului de soluţii
W (X 1 (t), . . . , X n (t)) = det(xij (t))
este nenul.
80
CAPITOLUL 3
Demonstraţie: Având ı̂n vedere teorema precedentǎ este suficient sǎ arǎtǎm
cǎ dacǎ existǎ t0 ∈ IR1 astfel ca
W (X 1 (t0 ), . . . , X n (t0 )) 6= 0
atunci pentru orice t ∈ IR1 , W (X 1(t), . . . , X n (t)) 6= 0. Calculǎm derivata
wronskianului sistemului de soluţii {X i (t)i=1,n } şi obţinem
!
n
X
d
W (X 1 (t), . . . , X n (t)) =
aii · W (X 1 (t), . . . , X n (t)
dt
i=1
De aici rezultǎ egalitatea:
W (X 1 (t), . . . , X n (t)) = W (X 1 (t0 ), . . . , X n (t0 )) · exp
"
n
X
i=1
!
aii ·(t−t0 )
#
care aratǎ cǎ pentru orice t ∈ IR1 avem W (X 1 (t), . . . , X n (t)) 6= 0.
Observaţia 3.1.5 În demonstraţia teoremei care afirma cǎ soluţiile sistemului (3.2) formeazǎ un spaţiu vectorial n dimensional am vǎzut cǎ dacǎ
b1 = (1, 0, 0, . . . , 0)T , b2 = (0, 1, 0, . . . , 0)T , . . . , bn = (0, 0, 0, . . . , 1)T
atunci sistemul de funcţii
X 1 (t) = et·A · b1 , X 2 (t) = et·A · b2 , . . . , X n (t) = et·A · bn
este un sistem fundamental de soluţii. Dacǎ ţinem seama de faptul cǎ soluţia
X i (t) este coloana i a matricei pǎtratice et·A atunci deducem cǎ putem construi soluţiile ecuaţiei (3.2) dacǎ cunoaştem elementele matricei et·A .
Pentru determinarea elementelor matricei et·A ţinem seama de urmǎtoarele
rezultate de algebrǎ liniarǎ:
Propoziţia 3.1.1 Dacǎ matricea A este similarǎ cu matricea A0 adicǎ
A = S · A0 · S −1
atunci matricea et·A este similarǎ cu matricea et·A0 adicǎ
et·A = S · et·A0 · S −1 .
81
Aceasta ı̂ntrucât pentru orice k ∈ IN avem Ak = S · Ak0 · S −1 .
Propoziţia 3.1.2 (teorema lui Jordan)
Pentru orice matrice A existǎ o matrice ”diagonalǎ”
A0 = diag(A01 , A02 , . . . A0m )
şi o matrice nesingularǎ S cu urmǎtoarele proprietǎţi:
i) A0j este matrice pǎtratǎ de ordin qj , j = 1, m şi
m
X
qj = n;
j=1
ii) A0j este matrice de forma A0j = λj · Ij + Nj , j = 1, m, unde λj este
valoare proprie pentru matricea A, Ij este matricea unitate de ordin
qj , Nj este matricea nilpotentǎ : Nj = bjkl , k, l = 1, qj cu bjk,k+1 = 1
şi bjkl = 0, pentru l 6= k + 1, şi qj este cel mult egal cu ordinul de
multiplicitate al valorii proprii λj ;
iii) A = S · A0 · S −1 .
Propoziţia 3.1.3 Matricea et·A0 are forma:
et·A0 = diag et·A01 , et·A02 , . . . , et·A0m
şi matricea et·A0 are forma:

1
t
1!
t2
2!
t
1!
···


···
et·A0j = eλj ·t ·  0 1
 ... ... ... ...
0 0 0 ···
tqj −1
(qj −1)!
tqj −2
(qj −2)!
...
1





Teorema 3.1.6 Elementele matricei et·A = S · et·A0 · S −1 sunt funcţii de
forma:
uij (t) =
p
X
k=1
λk t
e
Pqijk−1 (t)+
l
X
k=1
ij
eµk t Qij
rk−1 (t) cos νk t+Rrk−1 (t) sin νk t ,
i, j = 1, n
unde λ1 , . . . , λp sunt valorile proprii reale ale lui A cu ordinele de multiplicitate respectiv q1 , . . . , qp , µk + iνk , k = 1, l sunt valorile proprii complexe ale
lui A cu ordin de multiplicitate rk , iar Pqk −1 , Qrk −1 şi Rrk −1 sunt polinoame
de grad qk − 1 şi rk − 1 respectiv, cu coeficienţi reali.
82
CAPITOLUL 3
Rezultatul este imediat ı̂n baza propoziţiilor (3.1.1, 3.1.2, 3.1.3).
Teorema 3.1.7 Soluţiile sistemului (3.2) sunt funcţii de forma:
λk t
e
Pqk −1 (t) +
l
X
k=1
eµk t [Qrk −1 (t) cos νk t + Rrk −1 (t) sin νk t] , i, j = 1, n
unde λ1 , . . . , λp sunt valorile proprii reale ale lui A cu ordin de multiplicitate
respectiv q1 , . . . , qp ; µk + iνk , k = 1, l sunt valorile proprii complexe ale lui A
cu ordin de multiplicitate rk ; Pqk −1 , Qrk −1 şi Rrk −1 sunt vectori coloanǎ ai
cǎror elemente sunt polinoame de grad qk − 1 respectiv rk − 1.
Exerciţii
1. Rezolvaţi urmǎtoarele sisteme:
x˙1 = −x1 + 8x2
x1 (t) = c1 · e3t + c2 · e−3t
a)
R:
x˙2 = x1 + x2
x2 (t) = 12 · c1 · e3t − 41 · c2 · e−3t
b)
c)
x˙1 = −3x1 + 2x2
x˙2 = −2x1 + x2
R:
x˙1 = 2x1 − x2
x˙2 = x1 + 2x2
R:
x1 (t) = c1 · e−t +
c2 · t · e−t
2t+1
−t
x2 (t) = c1 · e + 2 · c2 · e−t
x1 (t) = c1 · cos t · e2t + c2 · sin t · e2t
x2 (t) = c1 · sin t · e2t − c2 · cos t · e2t

 x˙1 = 3x1 + 12x2 − 4x3
x˙2 = −x1 − 3x2 + x3
d)

x˙3 = −x1 − 12x2 + 6x3

c1 · e2t + c2 · et + c3 · e3t
 x1 (t) =
R: x2 (t) = − 38 c1 · e2t − 12 c2 · et − 13 c3 · e3t

x3 (t) = − 78 c1 · e2t − c2 · et − c3 · e3t

 x˙1 = 2x1 − x2 − x3
x˙2 = 3x1 − 2x2 − 3x3
f)

x˙3 = −x1 + x2 + 2x3

c2 + c3 · et
 x1 (t) =
R: x2 (t) = c1 · et +3 c2

x3 (t) = − c1 · et − c2 + c3 · et

 x˙1 = x1 + x2 − 2x3
x˙2 = 4x1 + x2
e)

x˙3 = 2x1 + x2 − x3

+ 14 c3 · et
 x1 (t) = − 12 c1 · e−t +
−t
t
c1 · e + c2 · e + c3 · t · et
R: x2 (t) =

x3 (t) =
+ 12 c2 · et + 12 c3 · t · et

 x˙1 = −x1 −x2
x˙2 =
−x2 −x3
g)

x˙3 =
−x3
2.
83

 x1 (t) = c1 · e−t − c2 · t · e−t + 12 c3 · t2 · e−t
+ c2 · e−t − c3 · t · e−t
R: x2 (t) =

x3 (t) =
c3 · e−t
Rezolvaţi urmǎtoarele probleme Cauchy (cu date iniţiale):
x˙1 = x2
x1 (0) = 1
x1 (t) = 21 e−t + 12 et
a)
R:
x˙2 = x1
x2 (0) = 0
x2 (t) = − 12 e−t + 12 et
b)
c)
3.
x˙1 = 11x1 + 16x2
x˙2 = −2x1 − x2
x1 (1) = 0
x2 (1) = 1
x˙1 = x1 − x2
x˙2 = −4x1 − 2x2
x1 (1) = 1
x2 (1) = 1
R:
R:
x1 (t) = 4e3t−3 + 4e7t−7
x2 (t) = 2e3t−3 − e7t−7
x1 (t) = 53 e2t−2 + 25 e−3t+3
x2 (t) = − 35 e2t−2 + 85 e−3t+3
Se considerǎ sistemul de ecuaţii diferenţiale
x˙1 = a · x1 + b · x2
x˙2 = c · x1 + d · x2
cu a · d − b · c 6= 0. Arǎtaţi cǎ:
i) dacǎ (a − d)2 + 4 · b · c ≥ 0 şi a + d < 0 şi a · d − b · c > 0, atunci orice
soluţie nenulǎ a sistemului tinde la (0, 0).
ii) dacǎ (a − d)2 + 4 · b · c ≥ 0 si a + d > 0 şi a · d − b · c > 0, atunci orice
soluţie nenulǎ a sistemului tinde ı̂n normǎ la +∞.
iii) dacǎ (a − d)2 + 4 · b · c < 0 si a + d < 0, atunci toate soluţiile nenule
ale sistemului tind la (0, 0).
iv) dacǎ (a − d)2 + 4 · b · c < 0 si a + d > 0, atunci toate soluţiile nenule
ale sistemului tind ı̂n normǎ la +∞.
v) dacǎ (a − d)2 + 4 · b · c < 0 si a + d = 0, atunci toate soluţiile nenule
ale sistemului sunt periodice.
84
3.2
CAPITOLUL 3
Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul
ı̂ntâi liniare cu coeficienţi constanţi neomogene
Definiţia 3.2.1 Un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi liniare
cu coeficienţi constanţi neomogen este un sistem de n relaţii de dependenţǎ
funcţionalǎ de forma:
ẋ1 = a11 · x1 + a12 · x2 + . . . + a1n · xn +f1 (t)
ẋ2 = a21 · x1 + a22 · x2 + . . . + a2n · xn +f2 (t)
..
.
ẋn = an1 · x1 + an2 · x2 + . . . + ann · xn +fn (t)
(3.4)
dintre un sistem de n funcţii necunoscute x1 , x2 , . . . , xn şi derivatele acestora
x˙1 , x˙2 , . . . , x˙n .
În sistemul (3.4) coeficienţii aij sunt constante cunoscute, iar funcţiile reale
fi : IR1 → IR sunt continue şi cunoscute.
Definiţia 3.2.2 Un sistem ordonat de n funcţii reale x1 , x2 , . . . , xn de clasǎ
C 1 este soluţie a sistemului (3.4) dacǎ verificǎ:
n
dxi X
=
aij · xj + fi (t) (∀)t ∈ IR
dt
j=1
Definiţia 3.2.3 Fiind datǎ t0 ∈ IR1 şi (x01 , x02 , . . . , x0n ) ∈ IRn , problema
determinǎrii soluţiei (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) a sistemului (3.4) care verificǎ
xi (t0 ) = x0i i = 1, n, se numeşte problemǎ cu date iniţiale sau problemǎ
Cauchy.
Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (3.4) notǎm cu A matricea
pǎtratǎ n × n care are ca elemente constantele aij : A = (aij )i,j=1,n , cu F (t)
matricea coloanǎ F (t) = (f1 (t), f2 (t), . . . , fn (t)) şi cu X(t) matricea coloanǎ
X = (x1 , x2 , . . . , xn )T . Cu aceste matrice sistemul (3.4) se scrie sub forma
matricealǎ:
Ẋ = A · X + F (t)
(3.5)
iar problema Cauchy se scrie sub forma
Ẋ = A · X + F (t),
X(t0 ) = X 0
(3.6)
Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi liniare neomogene
85
Teorema 3.2.1 (de existenţǎ şi unicitate şi de reprezentare a soluţiei problemei cu date iniţiale).
Dacǎ funcţia F (t) este continuǎ pe IR1 , atunci pentru orice t0 ∈ IR1 şi
X 0 ∈ IRn problema cu date iniţiale (3.6) are soluţie unicǎ definitǎ pe IR1
şi aceastǎ soluţie se reprezintǎ sub forma:
0
(t−t0 )·A
X(t; t0 , X ) = e
Z
0
·X +
t
t0
e(t−s)·A · F (s)ds
(3.7)
Demonstraţie: Pentru a demonstra cǎ problema Cauchy (3.6) are cel mult
o soluţie, presupunem prin absurd cǎ X 1 (t) şi X 2 (t) sunt douǎ soluţii ale
problemei (3.6) şi considerǎm funcţia X 3 (t) = X 1 (t) − X 2 (t).
Se verificǎ uşor cǎ funcţia X 3 (t) este soluţia problemei Cauchy
Ẋ 3 = A · X 3 , X 3 (t0 ) = 0.
Din teorema de unicitate a soluţiei problemei Cauchy pentru sisteme omogene
rezultǎ cǎ:
X 3 (t) = 0, (∀)t.
Prin urmare
X 1 (t) − X 2 (t) ≡ 0,
ceea ce contrazice ipoteza X 1 (t) 6= X 2 (t).
Rǎmâne sǎ arǎtǎm cǎ funcţia Z(t) definitǎ prin:
(t−t0 )·A
Z(t) = e
0
·X +
Z
t
t0
e(t−s)·A · F (s)ds
pentru orice t ∈ IR1 verificǎ (3.6).
Remarcǎm cǎ funcţia Z(t) este corect definitǎ; este de clasǎ C 1 pe IR1 şi
derivata ei verificǎ:
Z t
(t−t0 )·A
0
Ż(t) = A · e
· X + F (t) +
A · e(t−s)·A · F (s)ds = A · Z + F (t).
t0
Prin urmare funcţia Z(t) este soluţie a ecuaţiei neomogene (3.5). În plus calculând Z(t0 ) gǎsim Z(t0 ) = X 0 şi astfel teorema a fost complet demonstratǎ.
86
CAPITOLUL 3
Problema 3.2.1 O substanţǎ A se descompune ı̂n alte douǎ substanţe B
şi C. Viteza de formare a fiecǎreia din ele este proporţionalǎ cu cantitatea
de substantǎ nedescompusǎ. Sǎ se determine variaţia cantitǎţilor x şi y, ce
se formeazǎ ı̂n funcţie de timp.
Se dau cantitatea iniţialǎ de substanţǎ a şi cantitǎţile de substanţe B şi C
3a
a
formate dupǎ trecerea unei ore: şi
.
8
8
Rezolvare: La momentul t cantitatea de substanţǎ A este a − x − y.
Deci vitezele de formare ale substanţelor B şi C vor fi:
ẋ = k1 · (a − x − y)
ẏ = k2 · (a − x − y)
sau
ẋ = −k1 · x − k1 · y + k1 · a
ẋ = −k2 · x − k2 · y + k2 · a
−k1 −k1
Matricea A ı̂n acest caz este A =
.
−k2 −k2
Valorile proprii ale matricei A sunt rǎdǎcinile ecuaţiei
(k1 + λ) · (k2 + λ) − k1 · k2 = 0.
Aceste rǎdǎcini sunt λ1 = −(k1 + k2 ) şi λ2 = 0, iar matricea et·A este:
1
−k1 · e−(k1 +k2 )·t + k2
e−(k1 +k2 )·t − 1
t·A
e =
k1 + k2 k1 · k2 · e−(k1 +k2 )·t − k1 · k2 k1 + k2 · e−(k1 +k2 )·t
De aici ı̂n virtutea formulei (3.7) rezultǎ:
x(t)
y(t)
(t−1)·A
=e
·
a/8
3/8
+
Z
1
t
(t−s)·A
e
k1 · a
k2 · a
Exerciţii
1. Rezolvaţi urmǎtoarele sisteme de ecuaţii neomogene:
a)
x˙1 =
x2
x˙2 = x1
+et + e−t
ds
87
Sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi liniare neomogene
R:
b)

 x1 (t) =

c)
x2 (t) = − c1 · e−t + c2 · et + ( 21 t + 14 )et + ( 12 t − 14 )e−t
x˙1 = 11x1 + 16x2 +
t
x˙2 = −2x1 − x2 + 1 − t
R:
c1 · e−t + c2 · et + ( 12 t − 14 )et − ( 21 t + 14 )e−t

 x1 (t) =

c1 · e3t + c2 · e7t +
23
49
− 57 t
x2 (t) = − 12 c1 · e3t − 41 c2 · e7t −
18
49
+ 73 t
x˙1 = x1 − x2 + 3t2
x˙2 = −4x1 − 2x2 + 2 + 8t
R:

 x1 (t) =

c1 · e2t + c2 · e−3t − t2
x2 (t) = − c1 · e2t + 4c2 · e−3t + 2t + 2t2
88
CAPITOLUL 3
3.3
Reducerea ecuaţiilor diferenţiale de ordinul n liniare cu coeficienţi constanţi la
un sistem de n ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi liniare cu coeficienţi constanţi
Considerǎm ecuaţia diferenţialǎ de ordinul n liniarǎ omogenǎ cu coeficienţi
constanţi:
an · x(n) + an−1 · x(n−1) + . . . + a1 · ẋ + a0 · x = 0
(3.8)
ı̂n care coeficientul an este presupus diferit de zero.
Ecuaţia diferenţialǎ (3.8) are aceleaşi soluţii ca şi ecuaţia diferenţialǎ:
x(n) + bn−1 · x(n−1) + . . . + b1 · ẋ + b0 · x = 0
(3.9)
Ẏ = A · Y
(3.10)
ai
. Ecuaţia (3.9) la rândul ei, este ”echivalentǎ” cu sistemul de
an
ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi liniare cu coeficienţi constanţi:
ı̂n care bi =
ı̂n care matricea coloanǎ Y este Y = (x, u1 , u2 , . . . , un−1 ), iar matricea pǎtratǎ
A este:


0
1
0 0 0 ...
0
 0

0
1 0 0 ...
0


 0

0
0
1
0
.
.
.
0


A =  ...
... ... ... ... ...
... 


 0

0
0
0
0
.
.
.
1
 a0
a1
an−1 
−
−
... ... ... ... −
an
an
an
Valorile proprii ale acestei matrice sunt rǎdǎcinile ecuaţiei algebrice
an · λn + an−1 · λn−1 + . . . + a1 · λ + a0 = 0.
(3.11)
Rezultǎ ı̂n acest fel cǎ soluţiile ecuaţiei diferenţiale de ordinul n liniare (3.8)
sunt funcţii de forma:
x(t) =
p
X
j=1
λj t
e
Pqj −1 (t) +
l
X
j=1
eµj t Qrj −1 (t) cos νj t + Rrj −1 (t) sin νj t
89
Reducerea ecuaţiilor diferenţiale liniare de ordinul n la un sistem
ı̂n care λj , j = 1, k sunt rǎdǎcinile reale ale ecuaţiei (3.11) cu ordin de multiplicitate respectiv q1 , . . . , qp ; µj + iνk , k = 1, l sunt rǎdǎcinile complexe ale
ecuaţiei (3.11) cu ordin de multiplicitate rj , iar Pqj −1 , Qrj −1 şi Rrj −1 sunt
polinoame de grad qj − 1 respectiv rj − 1.
Dacǎ ecuaţia diferenţialǎ de ordinul n liniarǎ cu coeficienţi constanţi este
neomogenǎ:
an · x(n) + an−1 · x(n−1) + . . . + a1 · ẋ + a0 · x = f (t)
(3.12)
şi an 6= 0, iar f (t) este o funcţie continuǎ pe IR1 , atunci orice soluţie x = x(t)
a acestei ecuaţii este de forma:
x(t) =
p
X
j=1
λj t
e
Pqj−1 (t)+
l
X
j=1
eµj t Qrj−1 (t) cos νj t+Rrj−1 (t) sin νj t + x̄(t)
unde x(t) este o soluţie fixatǎ a ecuaţiei (3.12).
Dacǎ ecuaţia (3.12) nu are rǎdǎcini pur imaginare şi f este periodicǎ de
perioadǎ T , atunci ecuaţia (3.12) are o singurǎ soluţie periodicǎ de perioadǎ
T.
Problema 3.3.1 Arǎtaţi cǎ ecuaţia diferenţialǎ:
L·
d2 i
di
1
+R·
+ · i = −E0 · ω sin ωt
2
dt
dt C
care guverneazǎ evoluţia intensitǎţii curentului ı̂ntr-un circuit R, L, C (R, L, C
constante pozitive) cuplat la o sursǎ de curent alternativ are o singurǎ soluţie
2π
periodicǎ pe perioadǎ
şi toate celelalte soluţii tind la aceastǎ soluţie.
ω
Rezolvare: Se considerǎ o soluţie particularǎ de forma
i(t) = A · cos ωt + B · sin ωt
care se ı̂nlocuieşte ı̂n ecuaţie şi se determinǎ constantele A şi B. Aceasta este
soluţia periodicǎ cǎutatǎ.
Dupǎ aceasta, se scrie formula unei soluţii oarecare i(t) şi se face diferenţa
i(t) − i(t) care este o soluţie a ecuaţiei omogene (f (t) = 0). Deoarece R > 0
se obţine cǎ i(t) − i(t) → 0 pentru t → ∞ adicǎ, i(t) → i(t).
90
CAPITOLUL 3
Exerciţii
Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale de ordin superior liniare cu coeficienţi constanţi prin metoda reducerii la un sistem de ecuaţii diferenţiale de
ordinul ı̂ntâi liniare cu coeficienţi constanţi:
1.
a) ẍ − x = 0
x(0) = 2
ẋ(0) = 0
R: x(t) = et + e−t
b) ẍ + 2ẋ + x = 0
x(0) = 0
ẋ(0) = 1
R: x(t) = t · e−t
c) ẍ − 4ẋ + 4x = 0 x(1) = 1
ẋ(1) = 0
R: x(t) = 3e2t−2 − 2te2t−2
π = 1 ẋ
d) ẍ + x = 0
x
e) ẍ + ẋ + x = 0
x(0) = 0
2
π
2
= 0 R: x(t) = sin t
ẋ(1) = 1
R: x(t) =
√
2 3 − 12 t
e
3
2.
√ sin 23
...
a) x − 2ẍ − ẋ + 2x = 0 x(0) = 0 ẋ(0) = 1 ẍ(0) = 2
R: x(t) =
b)
...
x − ẍ + ẋ − x = 0
1
2
· et + 23 · e2t − 16 · e−t
x(1) = 0 ẋ(1) = 1 ẍ(1) = 2
R: x(t) = et−1 + (sin 1) · sin t − (cos 1) · cos t
c) x(4) − 5ẍ + 4x = 0
x(0) = 0 ẋ(0) = 1 ẍ(0) = 2
...
x (0) = 3
R: x(t) = − 61 · et + 16 · e−2t − 12 · e−t + 12 · e2t
Calculul simbolic al soluţiilor sistemelor de ecuaţii liniare
3.4
91
Calculul simbolic al soluţiilor sistemelor
de ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi
liniare cu coeficienţi constanţi
Pentru rezolvarea numericǎ a sistemelor de ecuaţii diferenţiale de ordin
ı̂ntâi Maple foloseşte funcţia dsolve (solve ordinary differential equations ODEs) care a fost prezentǎ ı̂n capitolele precedente.
În scrierea sintaxei ecuaţia diferenţialǎ va fi ı̂nlocuitǎ cu lista de ecuaţii
diferenţiale de ordinul ı̂ntâi care formeazǎ sistemul de ecuaţii, respectiv condiţia
iniţialǎ va fi ı̂nlocuitǎ cu lista condiţiilor iniţiale xi (t0 ) = x0i corespunzǎtoare
fiecǎrei funcţii necunoscute xi (t), i = 1, n:
dsolve({ODE1, ODE2, ..., ODEn});
dsolve({ODE1, ODE2, ..., ODEn}, {x1(t), x2 (t), ..., xn (t)}, extra.args);
dsolve({ODE1, ODE2, ..., ODEn, x1(t0 )=x01 , x2 (t0 )=x02 , ..., xn (t0 )=x0n },
{x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)}, extra.args);
Pentru exemplificare, vom rezolva urmǎtoarele siteme de ecuaţii diferenţiale
de ordinul ı̂ntâi liniare cu coeficienţi constanţi:
1. Sistemul de douǎ ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi
omogen:
x˙1 = −x1 + 8x2
(3.13)
x˙2 = x1 + x2
Pentru acest sistem vom considera condiţiile iniţiale x1 (0) = 0, x2 (0) =
1 şi soluţia problemei cu date iniţiale va fi reprezentatǎ grafic utilizând
trei instrucţiuni de plotare:
>
sys1_Eq1:=diff(x1(t),t)=-x1(t)+8*x2(t);
sys1 Eq1 :=
>
d
x1
dt
(t) = −x1 (t) + 8 x2 (t)
sys1_Eq2:=diff(x2(t),t)=x1(t)+x2(t);
sys1 Eq2 :=
d
x2
dt
(t) = x1 (t) + x2 (t)
92
CAPITOLUL 3
>
dsolve(sys1_Eq1,sys1_Eq2,x1(0)=1,x2(0)=1,x1(t),x2(t));
{x2 (t) = 5/6 e3 t + 1/6 e−3 t , x1 (t) = 5/3 e3 t − 2/3 e−3 t }
>
sol_x1:=5/3*exp(3*t)-2/3*exp(-3*t):
>
sol_x2:=5/6*exp(3*t)+1/6*exp(-3*t):
>
plot([sol_x1,sol_x2],t=0..1,color=[red,blue],
style=[line,point]);
Figura 13
Soluţia problemei cu date iniţiale asociatǎ acestui sistem va fi consideratǎ
>
with(DEtools):
>
DEplot(sys1_Eq1,sys1_Eq2,x1(t),x2(t),t=0..1,
>
[[x1(0)=1,x2(0)=1]],x1=0..40,x2=0..20,scene=
[x1(t),x2(t)]);
Figura 14
>
>
>
93
with(DEtools):
DEplot3d(sys1_Eq1,sys1_Eq2,x1(t),x2(t),t=0..1,
[[x1(0)=1,x2(0)=1]],x1=0..40,x2=0..20,scene=
[t,x1(t),x2(t)]);
Figura 15
Se observǎ cǎ, funcţia de plotare plot afişeazǎ curbele plane x1 = x1 (t)
şi x2 = x2 (t) ı̂n acelaşi sistem de coordonate. Funcţia with(DEtools) :
DEplot, odatǎ cu rezolvarea sistemului afişeazǎ perechile de puncte
(x1 (t), x2 (t)) care corespund domeniului de variaţie a variabilei independente t. Funcţia with(DEtools) : DEplot3d permite reprezentarea
ı̂n trei dimensiuni a curbei spaţiale ce reprezintǎ soluţia sistemului considerat.
2. Sistemul de trei ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi omogen:

 x˙1 = −x1 −x2
x˙2 =
−x2 −x3
(3.14)

x˙3 =
−x3
Pentru acest sistem considerǎm condiţiile iniţiale x1 (0) = 1, x2 (0) = 1,
x3 (0) = 2, determinǎm soluţia problemei cu date iniţiale şi apoi o vom
reprezenta grafic:
94
CAPITOLUL 3
>
sys2_Eq1:=diff(x1(t),t)=-x1(t)-x2(t);
>
sys2 Eq1 := dtd x1 (t) = −x1 (t) − x2 (t)
sys2_Eq2:=diff(x2(t),t)=-x2(t)-x3(t);
>
sys2 Eq2 := dtd x2 (t) = −x2 (t) − x3 (t)
sys2_Eq3:=diff(x3(t),t)=-x3(t);
>
>
sys2 Eq3 := dtd x3 (t) = −x3 (t)
dsolve({sys2_Eq1,sys2_Eq2,sys2_Eq3},{x1(t),x2(t),x3(t)});
{ x1 (t) = 1/2 ( C3 t2 − 2 C2 t + 2 C1 ) e−t ,
x2 (t) = − ( C3 t − C2 ) e−t ,
x3 (t) = C3 e−t }
dsolve({sys2_Eq1,sys2_Eq2,sys2_Eq3,x1(0)=1,x2(0)=0,
x3(0)=2});
>
{ x1 (t) = 1/2 (2 t2 + 2) e−t
x2 (t) = −2 te−t ,
x3 (t) = 2 e−t }
plot([1/2*(2*t^2+2)*exp(-t),-2*t*exp(-t),2*exp(-t)],
t=-1.3..8,colour=[green,black,blue],thickness=[3,4,1],
style=[line,point,line]);
Figura 16
3. Sistemul de douǎ ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi neomogen:
x˙1 = x1 − x2 + 3t2
(3.15)
x˙2 = −4x1 − 2x2 + 2 + 8t
95
Pentru acest sistem considerǎm condiţiile iniţiale x1 (1) = 1,
x2 (1) = 0, determinǎm soluţia problemei cu date iniţiale reprezentǎm
grafic acaestǎ soluţie:
>
sys3_Eq1:=diff(x1(t),t)=x1(t)-x2(t)+3*t^2;
>
sys3 Eq1 := dtd x1 (t) = x1 (t) − x2 (t) + 3 t2
sys3_Eq2:=diff(x2(t),t)=-4*x1(t)-2*x2(t)+2+8*t;
>
>
>
>
>
sys3 Eq2 := dtd x2 (t) = −4 x1 (t) − 2 x2 (t) + 2 + 8 t
dsolve({sys3_Eq1,sys3_Eq2});
{ x1 (t) = e−3 t C2 + e2 t C1 − t2
x2 (t) = 4 e−3 t C2 − e2 t C1 + 2 t + 2 t2 , }
dsolve({sys3_Eq1,sys3_Eq2,x1(1)=1,x2(1)=0});
e−2 e2 t − 2/5 e3e−3 t − t2 ,
{ x1 (t) = 12
5
12 −2 2 t
x2 (t) = − 5 e e − 8/5 e3 e−3 t + 2 t + 2 t2 }
x1:=12/5*exp(-2)*exp(2*t)-2/5*exp(3)*exp(-3*t)-t^2:
x2:=-12/5*exp(-2)*exp(2*t)-8/5*exp(3)*exp(-3*t)+2*t+
2*t^2:
plot([x1,x2],t=-0.1..2,color=[red,green],style=
[line,point]);
Figura 17
Capitolul 4
Teoreme de existenţǎ şi
unicitate. Metode numerice.
Proprietǎţi calitative ale
soluţiilor. Integrale prime
4.1
Teoreme de existenţǎ şi unicitate
pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul
ı̂ntâi neliniare
Fie problema cu date iniţiale
ẋ = f (t, x);
x(t0 ) = x0
(4.1)
cu f : Ω ⊂ IR2 −→ IR1 şi (t0 , x0 ) ∈ Ω.
Vom enunţa şi demonstra o teoremǎ referitoare la existenţa unei soluţii
(locale) a problemei cu date iniţiale (4.1). Considerǎm ı̂n acest scop douǎ
numere a > 0 şi b > 0, astfel ca dreptunghiul
∆ = { (t, x)| |t − t0 | ≤ a şi |x − x0 | ≤ a}
sǎ fie inclus ı̂n Ω ; ∆ ⊂ Ω.
Teorema 4.1.1 (Cauchy- Lipschitz de existenţǎ a unei soluţii locale) Dacǎ
funcţia f este continuǎ pe dreptunghiul ∆ şi este lipschitzianǎ ı̂n raport cu
96
Teoreme de existenţǎ şi unicitate pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi
97
variabila x pe ∆, atunci problema cu date iniţiale (4.1) are o soluţie localǎ
b
1
definitǎ pe intervalul Ih = [t0 − h, t0 + h], unde h = min a, ,
,
M K +1
M = max |f (t, x)| şi K este constanta lui Lipschitz pe ∆:
(t,x)∈△
|f (t, x) − f (t, y)| ≤ K|x − y|,
∀(t, x), (t, y) ∈ △.
Demonstraţie: Considerǎm funcţia constantǎ x0 (t) ≡ x0 şi pornind de la
ea, construim şirul de funcţii {xn (t)}n∈IN definit astfel:
x1 (t) = x0 +
x2 (t) = x0 +
x3 (t) = x0 +
Z
t
Zt0t
Zt0t
f (τ, x0 (τ ))dτ ;
f (τ, x1 (τ ))dτ ;
f (τ, x2 (τ ))dτ ;
t0
.........
Z t
xn (t) = x0 +
f (τ, xn−1 (τ ))dτ ;
t0
.........
(∀)t ∈ Ih .
Arǎtǎm la ı̂nceput cǎ funcţiile din acest şir sunt bine definite. Aceasta
revine la a arǎta cǎ pentru orice n ≥ 1 şi t ∈ Ih avem (t, xn (t)) ∈ Ω.
Folosim metoda inducţiei matematice, vom arǎta cǎ pentru orice t ∈ Ih
avem (t, xn (t)) ∈ ∆.
Etapa I (a verificǎrii):
Pentru n = 1 avem:
Z t
x1 (t) = x0 +
f (τ, x0 (τ ))dτ ;
t0
şi deci |x1 (t) − x0 | ≤ M|t − t0 | ≤ Mh ≤ b, (∀)t ∈ Ih .
Rezultǎ astfel cǎ (t, x1 (t)) ∈ ∆ pentru orice t ∈ Ih .
Pentru n = 2 avem:
Z t
x2 (t) = x0 +
f (τ, x1 (τ ))dτ ;
t0
98
CAPITOLUL 4
şi deci |x2 (t) − x0 | ≤ M|t − t0 | ≤ Mh ≤ b, (∀)t ∈ Ih . Rezultǎ astfel cǎ
(t, x2 (t)) ∈ ∆ pentru orice t ∈ Ih .
Etapa II (a implicaţiei):
Presupunem cǎ (t,xn(t)) ∈ ∆, (∀) t ∈ Ih şi arǎtǎm cǎ (t, xn+1 (t)) ∈ ∆,
(∀) t ∈ Ih .
Pentru aceasta calculǎm xn+1 (t) şi gǎsim
Z t
xn+1 (t) = x0 +
f (τ, xn (τ ))dτ
t0
de unde |xn+1 (t) − x0 | ≤ M|t − t0 | ≤ Mh ≤ b, (∀) t ∈ Ih . Rezultǎ
(t, xn+1 (t)) ∈ ∆ pentru orice t ∈ Ih .
Astfel am arǎtat cǎ pentru (∀)n ≥ 1 şi (∀)t ∈ Ih avem (t, xn (t)) ∈ ∆.
Trecem acum sǎ evaluǎm maximul modulului |xn+1 (t) − xn (t)| pe Ih .
Pentru aceasta, ţinem seamǎ de egalitǎţile:
Z t
xn+1 (t) = x0 +
f (τ, xn (τ ))dτ
t0
xn (t) = x0 +
pe care le scǎdem şi obţinem:
Z
t
f (τ, xn−1 (τ ))dτ
t0
|xn+1 (t) − xn (t)| ≤ |K
Z
t
t0
|xn (τ ) − xn−1 (τ )|dτ |
De aici rezultǎ inegalitatea:
max |xn+1 (t) − xn (t)| ≤
t∈Ih
din care deducem:
K
max |xn (τ ) − xn−1 (τ )|
K + 1 τ ∈Ih
n
K
· max |x1 (t) − x0 | ≤
max |xn+1 (t) − xn (t)| ≤
t∈Ih
t∈Ih
K +1
n
n
K
K
≤
·M ·h≤
·b
K +1
K +1
99
Scriem acum funcţia xn = xn (t) sub forma:
xn (t) = x0 (t) +
n−1
X
i=0
(xi+1 (t) − xi (t))
şi remarcǎm cǎ, şirul xn (t) este şirul sumelor parţiale ale seriei de funcţii
x0 (t) +
∞
X
n=0
(xn+1 (t) − xn (t)).
K
K +1
n
Deoarece |xn+1 (t) − xn (t)| ≤
· b, (∀) t ∈ Ih , din convergenţa seriei
n
∞ X
K
numerice b ·
, cu teorema lui Weierstrass, rezultǎ cǎ seria de
K +1
n=0
∞
X
funcţii x0 (t) +
(xn+1 (t) − xn (t)) este absolut şi uniform convergentǎ pe
n=0
intervalul Ih , la o funcţie x = x(t). Prin urmare şirul sumelor parţiale, adicǎ
şirul xn (t) converge uniform la funcţia x(t).
Observǎm ı̂n continuare cǎ pentru (∀) t ∈ Ih avem
Z t
[f (s, xn (s)) − f (s, x(s))]ds ≤ K · h · max |xn (s) − x(s)|
s∈Ih
t0
şi prin urmare, avem egalitatea:
Z t
Z t
lim
f (s, xn (s))ds =
f (s, x(s))ds, (∀)t ∈ Ih .
n→∞
t0
t0
Trecem acum la limitǎ ı̂n egalitatea
Z t
xn+1 (t) = x0 +
f (τ, xn (τ ))dτ
t0
100
CAPITOLUL 4
şi obţinem egalitatea
x(t) = x0 +
Z
t
f (τ, x(τ ))dτ.
t0
Aceasta aratǎ cǎ funcţia x(t) este de clasǎ C 1 şi verificǎ ẋ(t) = f (t, x(t));
x(t0 ) = x0 .
Am demonstrat ı̂n acest fel cǎ problema cu date iniţiale (4.1) are o soluţie
definitǎ pe intervalul Ih . S-ar putea ca problema (4.1) sǎ aibe soluţie definitǎ
pe un interval mai mare ca intervalul Ih . Aceasta este motivul pentru care
soluţia gǎsitǎ se numeşte soluţie localǎ.
Teorema 4.1.2 (Cauchy-Lipschitz de unicitate a soluţiei locale)
Dacǎ sunt ı̂ndeplinite condiţiile din teorema lui Cauchy-Lipschitz de existenţǎ
a unei soluţii locale a problemei cu date iniţiale (t0 , x0 ), atunci problema (4.1)
nu poate avea douǎ soluţii diferite pe un interval J, Ih ⊃ J ∋ t0
Demonstraţie: Presupunem prin absurd cǎ funcţiile x, y : J ⊂ Ih → IR1
sunt douǎ soluţii locale ale problemei cu date iniţiale. Aceste soluţii verificǎ:
Z t
Z t
x(t) = x0 +
f (τ, x(τ ))dτ,
y(t) = y0 +
f (τ, y(τ ))dτ.
t0
t0
Rezultǎ de aici cǎ, funcţiile x(t) şi y(t) verificǎ inegalitatea:
Z t
|x(t) − y(t)| < ε + K |x(τ ) − y(τ )|dτ (∀)t ∈ J. (∀)ε > 0.
t0
De aici rezultǎ cǎ:
|x(t) − y(t)| ≤ ε · eK|t−t0 |
(∀)t ∈ J,
(∀)ε > 0.
Pentru t ∈ J, t fixat, trecem la limitǎ pentru ε → 0 şi obţinem cǎ
x(t) = y(t), (∀)t ∈ J.
Problema 4.1.1
Se ştie cǎ materia radioactivǎ se dezintegreazǎ şi viteza de dezintegrare este
101
proporţionalǎ, la orice moment, cu cantitatea de materie radioactivǎ rǎmasǎ.
Dacǎ x(t) reprezintǎ cantitatea de materie radioactivǎ rǎmasǎ atunci
ẋ = −a · x,
unde a este o constantǎ pozitivǎ.
1
În cazul dezintegrǎrii carbonului radioactiv C 14 , a =
şi deci ı̂n acest
8000
1
caz, ecuaţia devine ẋ = −
· x.
8000
Arǎtaţi cǎ, dacǎ la un moment t0 se cunoaşte cantitatea de carbon radioactiv C 14 dintr-o mostrǎ de animal sau plantǎ gǎsitǎ ı̂ntr-un strat geologic,
atunci se poate reconstitui vârsta acelei mostre.
Rezolvare
Fie x0 cantitatea de carbon radioactiv C 14 dintr-o mostrǎ la momentul t0 .
Problema cu date iniţiale:
(
1
·x
8000
x(t0 ) = x0
ẋ = −
are soluţie unicǎ şi aceasta este datǎ de
1
x(t; t0 , x0 ) = x0 e− 8000 (t−t0 ) .
Dacǎ x1 este valoarea normalǎ a cantitǎţii de carbon radioactiv C 14 ı̂n starea
vie a animalului sau plantei atunci, egalând
1
x1 = x0 e− 8000 (t−t0 )
gǎsim o ecuaţie ı̂n t, care ne dǎ timpul t ı̂n care animalul sau planta erau vii,
iar diferenţa t − t0 aratǎ vârsta mostrei.
Problema 4.1.2
Un rezervor cilindric are o gaurǎ circularǎ la bazǎ prin care lichidul din
rezervor se poate scurge. O ı̂ntrebare asemǎnǎtoare cu cea din Problema
4.1.1 este urmatoarea: dacǎ la un moment dat vedem cǎ rezervorul este gol
putem oare sǎ ştim dacǎ acesta a fost odatǎ plin şi când?
Rǎspunsul este evident nu. Cum se explicǎ?
102
CAPITOLUL 4
Rezolvare:
Fie x(t) ı̂nǎlţimea lichidului din rezervor la momentul t. Notǎm cu A aria
bazei cilindrului şi cu a aria gǎurii. Dupǎ legea lui Toricelli avem:
√
ap
ẋ = −
2g · x
A
Dacǎ I este ı̂nǎlţimea rezervorului, atunci x = I corespunde la situaţia când
rezervorul este plin şi x = 0 la situaţia când rezervorul este gol. Dacǎ la
momentul t = 0 rezervorul este plin, atunci x(0) = I şi avem:
√
ap
2 u|xI = −
2g · t
A
de unde:
2
√
a p
x(t) =
I−
2g · t .
2A
s
2A I
şi deci:
Timpul de golire este t∗ =
a
2g
 p
2
a
a p


2g · t∗ −
· 2g · t
pentru 0 ≤ t ≤ t∗
2A
2A
x(t) =


0
pentru
t ≥ t∗
reprezintǎ legea de golire a rezervorului dacǎ acesta a fost plin la
momentul t = 0.
Existǎ o infinitate de soluţii x(t) ale ecuaţiei
√
ap
2g · x
ẋ = −
A
care pentru t = t∗ sunt egale cu zero. Acestea sunt date de formula:

2g · a2


(t∗ − t − τ )2 pentru
− τ ≤ t ≤ t∗ − τ
2
4A
xτ (t) =


0
pentru
t ≥ t∗ − τ
Soluţia xτ (t) reprezintǎ legea de golire a rezervorului care la momentul −τ a
fost plin. Pe lângǎ aceste soluţii problema Cauchy
√

a 2g √

 ẋ = −
· x
A


x(t∗ ) = 0
103
mai are ca soluţie funcţia identic nulǎ x(t) = 0.
Aceastǎ soluţie
corespunde situaţiei ı̂n care rezervorul nu a fost umplut niciodatǎ. Rezultǎ
astfel cǎ soluţiile problemei Cauchy descriu toate situaţiile posibile şi multitudinea acestora se manifestǎ prin neunicitatea soluţiei problemei Cauchy.
Concluzii
1. Dacǎ variabila de stare x(t) a unui proces fizic sau chimic este soluţia
unei probleme cu date iniţiale ẋ = f (t, x), x(t0 ) = x0 , atunci aceastǎ
variabilǎ de stare trebuie cǎutatǎ printre soluţiile acestei probleme
Cauchy.
2. Dacǎ problema cu date iniţiale ı̂n cauzǎ are o singurǎ soluţie, atunci
gǎsind-o este clar cǎ aceasta este cea care descrie evoluţia ı̂n timp a
variabilei de stare.
3. Dacǎ problema cu date iniţiale ı̂n cauzǎ are mai multe soluţii, atunci
gǎsind una din aceste soluţii nu avem nici un drept sǎ susţinem cǎ
aceasta este aceea care descrie evoluţia ı̂n timp a variabilei de stare.
Mai precis, avem nevoie de informaţii suplimentare care sǎ permitǎ
identificarea acelei soluţii care descrie evoluţia variabilei de stare.
4. În caz de neunicitate gǎsirea unei soluţii a problemei cu date iniţiale
nu ı̂nseamna rezolvarea problemei de fizicǎ.
104
4.2
CAPITOLUL 4
Teoreme de existenţǎ şi unicitate pentru
sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul
ı̂ntâi neliniare
Definiţia 4.2.1 Un sistem de ecuaţii diferenţiale neliniare de ordinul ı̂ntâi
explicit este un sistem de n relaţii de dependenţǎ funcţionalǎ de forma:

ẋ1 = f1 (t, x1 , x2 , ..., xn )



ẋ2 = f2 (t, x1 , x2 , ..., xn )
(4.2)
...................................



ẋn = fn (t, x1 , x2 , ..., xn )
dintre un sistem de n funcţii necunoscute x1 , x2 , ..., xn şi derivatele acestora
ẋ1 , ẋ2 , ..., ẋn .
În sistemul (4.2) funcţiile f1 , f2 , ..., fn sunt funcţii reale considerate cunoscute definite pe I × D; I ⊂ IR1 , I interval deschis şi D ⊂ IRn , D domeniu.
Definiţia 4.2.2 Un sistem ordonat de n funcţii reale x1 , x2 , ..., xn definite
pe un interval J ⊂ I, de clasǎ C 1 este o soluţie a sistemului (4.2) dacǎ
(t, x1 (t), ..., xn (t)) ∈ I × Ω, (∀)t ∈ J şi:

dx1


= f1 (t, x1 (t), x2 (t), ..., xn (t))


dt


 dx2
= f2 (t, x1 (t), x2 (t), ..., xn (t))
dt


..................................................




 dxn = fn (t, x1 (t), x2 (t), ..., xn (t))
dt
pentru orice t ∈ J.
Definiţia 4.2.3 Fiind date: t0 ∈ I şi (x01 , ..., x0n ) ∈ D problema determinǎrii
soluţiei x1 (t), ..., xn (t) a sistemului (4.2) care verificǎ xi (t0 ) = x0i pentru
i = 1, n, se numeşte problemǎ cu date iniţiale sau problemǎ Cauchy.
Pentru reprezentarea matricealǎ a sistemului (4.2) notǎm F : I × D → IRn
funcţia matricealǎ definitǎ prin
F (t, x1 , x2 , ..., xn ) = (f1 (t, x1 , ..., xn ), f2 (t, x1 , ..., xn ), ..., fn (t, x1 , ..., xn ))T
Teoreme de existenţǎ şi unicitate pentru sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi105
şi cu X matricea coloanǎ (x1 , x2 , ..., xn )T . Cu aceste notaţii sistemul (4.2) se
scrie sub forma matricealǎ:
Ẋ = F (t, X).
(4.3)
În aceastǎ problemǎ derivarea funcţiei matriceale X(t) ı̂nseamnǎ derivarea
elementelor matricei.
Observaţia 4.2.1 Problema cu date iniţiale (problema Cauchy) se scrie matriceal sub forma:

 Ẋ = F (t, X)
(4.4)

X(t0 ) = X 0
şi constǎ ı̂n determinarea funcţiei matriceale X(t) care verificǎ (4.3) şi condiţia
iniţialǎ X(t0 ) = X 0 .
Observaţia 4.2.2 O funcţie X : J ⊂ I → IRn de clasǎ C 1 este soluţie a
problemei (4.4) dacǎ Ẋ = F (t, X(t)), (∀)t ∈ J şi X(t0 ) = X 0 (se presupune
cǎ t0 ∈ J).
Considerǎm a > 0, b > 0 astfel ca cilindrul ∆:
∆ = (t, x) : |t − t0 | ≤ a şi k x − x0 k≤ b
sǎ fie inclus ı̂n domeniul I × D.
Teorema 4.2.1 (Cauchy-Lipschitz de existenţǎ a unei soluţii locale) Dacǎ
funcţia F este continuǎ pe ∆ şi este lipschitzianǎ ı̂n raport cu X pe ∆, atunci
problema cu date iniţiale (4.4) areo soluţie localǎ
definitǎ pe intervalul
b
1
Ih = [t0 − h, t0 + h] unde h = min a, ,
; M = max kF (t, X)k şi
(t,x)∈∆
M K +1
K este constanta lui Lipschitz:
kF (t, X ′ ) − F (t, X ′′ )k ≤ K kX ′ − X ′′ k , (∀) (t, X ′ ), (t, X ′′ ) ∈ ∆.
106
CAPITOLUL 4
Demonstraţie: Construim urmǎtorul şir de funcţii:
X 0 (t) = X 0
1
0
X (t) = X +
Z
t
F (τ, X 0 (τ ))dτ
t
Z 0t
X 2 (t) = X 0 +
F (τ, X 1 (τ ))dτ
t0
................
Z
t
X k+1(t) = X 0 +
F (τ, X k (τ ))dτ
t0
................
Funcţiile din acest şir sunt corect definite, ı̂ntrucât pentru orice t ∈ Ih
şi k ∈ IN are loc apartenenţa (t, X k (t)) ∈ ∆ (demonstraţia se face prin
inducţie). Urmând raţionamentul din paragraful precedent evaluǎm diferenţa
max kX k+1(t) − X k (t)k şi gǎsim:
t∈Ih
K
max kX k (t) − X k−1(t)k,
K + 1 t∈Ih
max kX k+1 (t) − X k (t)k ≤
t∈Ih
de unde deducem inegalitatea
max kX
k+1
t∈Ih
k
(t) − X (t)k ≤
K
K +1
k
· b.
Scriem acum funcţia X k (t) sub forma:
X k (t) = X0 (t) +
k−1
X
i=0
şi remarcǎm cǎ, şirul
funcţii
X i+1 (t) − X i (t)
k X (t) k∈IN este şirul sumelor parţiale ale seriei de
0
X (t) +
∞
X
i=0
Deoarece
kX
k+1
k
X i+1 (t) − X i (t) .
(t) − X (t)k ≤
K
K +1
k
·b
Teoreme de existenţǎ şi unicitate pentru sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi107
k
∞ X
K
pentru orice t ∈ Ih , din convergenţa seriei numerice b·
, folosind
K +1
k=0
teorema lui Weierstrass, rezultǎ cǎ seria de funcţii
0
X (t) +
∞
X
k=0
X k+1(t) − X k (t)
este absolut şi uniform convergentǎ pe intervalul Ih , la o funcţie X(t). Astfel,
şirul sumelor parţiale adicǎ şirul X k (t), converge uniform la funcţia X(t).
Inegalitatea:
Z t
k
[F (τ, X (τ )) − F (τ, X(τ ))]dτ ≤ K · h · max X k (τ ) − X(τ )
τ ∈Ih
t0
valabilǎ pentru orice t ∈ Ih şi k ∈ IN permite sǎ obţinem egalitatea:
Z t
Z t
k
lim
F (τ, X (τ ))dτ =
F (τ, X(τ ))dτ.
k→∞
t0
t0
Trecem acum la limitǎ ı̂n egalitatea:
X
k+1
Z
0
(t) = X +
t
F (τ, X k (τ ))dτ
t0
şi obţinem:
0
X(t) = X +
Z
t
F (τ, X(τ ))dτ.
t0
Aceasta aratǎ cǎ funcţia X(t) este de clasǎ C 1 şi verificǎ

 Ẋ(t) = F (t, X(t))

X(t0 ) = X 0
În concluzie, problema cu date iniţiale (4.4) are o soluţie definitǎ pe intervalul
Ih . Este posibil ca problema(4.4) sǎ aibe soluţie definitǎ pe un interval J
mai mare ca intervalul Ih . Acesta este motivul pentru care soluţia gǎsitǎ se
numeşte soluţie localǎ.
Teorema 4.2.2 (Cauchy-Lipschitz de unicitate a soluţiei locale)
Dacǎ sunt indeplinite condiţiile din teorema Cauchy-Lipschitz de existenţǎ a
unei soluţii locale pentru problema cu date iniţiale (t0 , X 0 ), atunci problema
(4.4) nu poate avea douǎ soluţii diferite pe un interval J ⊂ Ih , t0 ∈ J.
108
CAPITOLUL 4
Demonstraţie: Presupunem prin absurd cǎ funcţiile
X ′ , X ′′ : J ⊂ Ih → IRn (t0 ∈ J)
sunt douǎ soluţii locale ale problemei cu date iniţiale (4.4). Aceste soluţii
verificǎ:
Z t
Z t
′
0
′
′′
0
X (t) = X +
F (τ, X (τ ))dτ, X (t) = X +
F (τ, X ′′ (τ ))dτ.
t0
t0
De aici rezultǎ cǎ X ′ (t), X ′′ (t) satisfac inegalitatea:
Z t
′
′′
′
′′
kX (t) − X (t)k < ε + K kX (τ ) − X (τ )kdτ t0
(∀) t ∈ J, (∀) ε > 0,
de unde se obţine:
kX ′ (t) − X ′′ (t)k < εeK|t−t0 |
(∀)t ∈ J, (∀)ε > 0.
Trecând la limitǎ pentru ε → 0 se obţine egalitatea X ′ (t) = X ′′ (t),
(∀)t ∈ J, t − fixat.
109
Proprietǎţi calitative ale soluţiilor
4.3
Considerǎm I ⊂ IR1 un interval deschis, D ⊂ IRn un domeniu,
F : I × D → IRn o funcţie vectorialǎ şi sistemul de ecuaţii diferenţiale de
ordinul ı̂ntâi scris sub forma matricealǎ:
Ẋ = F (t, X).
(4.5)
Fie X 1 : J1 ⊂ I → D şi X 2 : J2 ⊂ I → D douǎ soluţii locale ale sistemului
(4.5).
Definiţia 4.3.1 Zicem cǎ soluţia localǎ X 2 este o prelungire a soluţiei locale
X 1 şi notǎm X 1 ≤ X 2 , dacǎ J1 ⊂ J2 şi X 1 (t) = X 2 (t) pentru orice t ∈ J1 .
Relaţia binarǎ X 1 ≤ X 2 introdusǎ ı̂n mulţimea soluţiilor locale ale sistemului (4.5) este o relaţie de ordine parţialǎ.
Definiţia 4.3.2 Orice soluţie localǎ a sistemului (4.5) care este element
maximal (i.e. nu mai poate fi prelungitǎ) se numeşte soluţie saturatǎ.
O soluţie saturatǎ este o soluţie care nu este prelungibilǎ.
Teorema 4.3.1 Dacǎ funcţia F : I × D → IRn este de clasǎ C 1 pe domeniul
Ω = I × D şi (t0 , X 0 ) ∈ I × D, atunci problema cu date iniţiale:

 Ẋ = F (t, X)
(4.6)

0
X(t0 ) = X
are soluţie saturatǎ X(t; t0 , X 0 ) unicǎ.
Demonstraţie: Vom face demonstraţia pentru cazul n = 1, cazul n ≥ 2
fǎcându-se analog.
Considerǎm familia de funcţii {xα }α∈Λ , xα : Iα → IR1 , t0 ∈ Iα , formatǎ
cu toate soluţiile locale ale problemei:

 ẋ = f (t, x)
(4.7)

x(t0 ) = x0
Teorema Cauchy-Lipschitz de existenţǎ şi unicitate a soluţiei locale pentru
problema cu date iniţiale ı̂n cazul unei ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi,
asigurǎ faptul cǎ aceastǎ familie de funcţii are cel puţin un element.
110
CAPITOLUL 4
Considerǎm intervalul deschis I =
S
Iα , precum şi funcţia x = x(t)
α∈Λ
definitǎ pe I ı̂n modul urmǎtor:
”pentru t ∈ I considerǎm α ∈ Λ, astfel ca t ∈ Iα şi definim x(t) = xα (t)”.
Aceastǎ definiţie este corectǎ dacǎ, pentru orice t ∈ Iα′ ∩ Iα′′ , avem
xα′ (t) = xα′′ (t). Analizǎm aceastǎ implicaţie pentru t > t0 (cazul t < t0
se trateazǎ la fel).
Raţionǎm prin reducere la absurd şi presupunem cǎ existǎ
t1 > t0 , t1 ∈ Iα′ ∩ Iα′′ , astfel ca xα′ (t1 ) 6= xα′′ (t1 ). Considerǎm ı̂n continuare
t∗ = inf{t1 : t1 > t0 , t1 ∈ Iα′ ∩ Iα′′ , xα′ (t1 ) 6= xα′′ (t1 )}
şi remarcǎm cǎ
xα′ (t∗ ) = xα′′ (t∗ ) = x∗ .
Punctul (t∗ , x∗ ) este ı̂n domeniul Ω, (t∗ , x∗ ) ∈ Ω, şi putem considera
constantele pozitive a∗ , b∗ , K∗ astfel ca:
- dreptunghiul ∆∗ = {(t, x) : |t − t∗ | ≤ a∗ , |x − x∗ | ≤ b∗ } sǎ fie inclus ı̂n
Ω (∆∗ ⊂ Ω);
- intervalul [t∗ , t∗ + a∗ ] sǎ fie inclus ı̂n intersecţia Iα′ ∩ Iα′′ ;
- pentru orice t ∈ [t∗ , t∗ + a∗ ] sǎ avem:
|xα′ (t) − x∗ | ≤ b∗ şi |xα′′ (t) − x∗ | ≤ b∗ ;
- pentru orice (t, x), (t, y) ∈ ∆∗ sǎ avem:
|f (t, x) − f (t, y)| ≤ K∗ |x − y|.
Fie acum t1 ∈ [t∗ , t∗ + a∗ ], astfel ca xα′ (t1 ) 6= xα′′ (t1 ). Din definiţia lui t∗
rezultǎ cǎ, existǎ asemenea puncte t1 , oricât de aproape de t∗
Pentru t1 fixat, fie ε > 0 astfel ca ε < |xα′ (t1 ) − xα′′ (t1 )|e−K∗ ·a∗ .
Pe de altǎ parte, pentru orice t ∈ [t∗ , t∗ + a∗ ] avem:
xα′ (t) = x∗ +
Zt
t∗
f (s, xα′ (s))ds,
111
xα′′ (t) = x∗ +
Zt
f (s, xα′′ (s))ds,
t∗
din care rezultǎ inegalitǎţile:
|xα′ (t) − xα′′ (t)| ≤
Zt
|f (s, xα′ (s)) − f (s, xα′′ (s))|ds ≤
t∗
≤ K∗
Zt
t∗
|xα′ (s) − xα′′ (s)|ds < ε + K∗
Zt
t∗
|xα′ (s) − xα′′ (s))| ds.
Astfel, obţinem cǎ:
|xα′ (t) − xα′′ (t)| < εeK∗ a∗ , (∀) t ∈ [t∗ , t∗ + a∗ ].
iar din modul de alegere a lui ε rezultǎ inegalitatea:
|xα′ (t) − xα′′ (t)| < |xα′ (t1 ) − xα′′ (t1 )|,
(∀) t ∈ [t∗ , t∗ + a∗ ]
care este o contradicţie.
Astfel, rezultǎ ı̂n final cǎ funcţia x = x(t) este corect definitǎ pe intervalul
I.
Urmeazǎ sǎ arǎtǎm cǎ funcţia x = x(t) este soluţie a problemei cu date
iniţiale (4.7).
Deoarece pentru orice α ∈ Λ avem xα (t0 ) = x0 , rezultǎ:
x(t0 ) = x0 .
Fie acum t1 ∈ I şi α1 ∈ Λ, astfel ca t1 ∈ Iα1 . Pentru orice t ∈ Iα1 , avem
x(t) = xα1 (t) şi prin urmare
ẋ(t) = ẋα1 (t) = f (t, xα1 (t)) = f (t, x(t)),
(∀)t ∈ Iα1 .
În particular, pentru t = t1 avem
ẋ(t1 ) = f (t, x(t1 )).
Rezultǎ ı̂n acest fel cǎ funcţia x = x(t) este soluţie a problemei cu date
iniţiale (4.7).
112
CAPITOLUL 4
Urmeazǎ sǎ mai arǎtǎm cǎ funcţia x = x(t) definitǎ pe intervalul I este
o soluţie saturatǎ. Fie ı̂n acest scop y : J → IR1 (J interval deschis, t0 ∈ J)
o soluţie localǎ a problemei cu date iniţiale (4.7).
Evident, funcţia y aparţine familiei {xα }α∈Λ şi prin urmare:
[
J ⊂I =
Iα şi x(t) = y(t).
α∈Λ
Astfel am demonstrat existenţa şi unicitatea soluţiei saturate a problemei
cu date iniţiale (4.7). Aceastǎ soluţie saturatǎ va fi notatǎ cu x = x(t; t0 , x0 )
iar intervalul deschis pe care este definitǎ aceastǎ soluţie saturatǎ va fi notat
cu I0 .
În condiţiile din teorema precedentǎ considerǎm soluţia saturatǎ X(t; t0 , X 0 )
a problemei Cauchy (4.6) definitǎ pe intervalul deschis I0 = (α0 , β0 ) ⊂ I.
Teorema 4.3.2 Pentru orice t1 ∈ I0 soluţia saturatǎ X(t;t1 ,X(t1 ;t0 ,X 0 )) a
problemei cu date iniţiale
Ẋ = F (t, X), X(t1 ) = X(t1 ; t0 , X 0 ) = X 1
(4.8)
coincide cu soluţia saturatǎ X(t; t0 , X 0 ).
Demonstraţie: Vom face demonstraţia pentru cazul n = 1, analog fǎcânduse ı̂n cazul n ≥ 2.
Notǎm cu I1 = (α1 , β1 ) intervalul de definiţie a soluţiei saturate a problemei cu date iniţiale:
ẋ = f (t, x), x(t1 ) = x(t1 ; t0 , x0 ) = x1 .
(4.9)
Deoarece x(t1 ; t0 , x0 ) = x1 , funcţia x = x(t; t0 , x0 ) este soluţie localǎ a
problemei cu date iniţiale (4.9).
Rezultǎ cǎ I0 ⊂ I1 şi x(t; t0 , x0 ) = x(t; t1 , x1 ), (∀) t ∈ I0 .
Pe de altǎ parte, din faptul cǎ x(t; t0 , x0 ) este soluţie saturatǎ, rezultǎ cǎ
I0 ⊃ I1 şi x(t; t0 , x0 ) = x(t; t1 , x1 ).
Teorema 4.3.3 Dacǎ sunt ı̂ndeplinite urmǎtoarele condiţii:
(i) β0 < +∞ (respectiv α0 > −∞);
(ii) şirul de numere {tn }n din I0 converge la β0 (respectiv α0 );
113
(iii) şirul de vectori {X(tn ; t0 , X 0 )}n este convergent la un vector Λ,
atunci punctul (β0 , Λ) (respectiv (α0 , Λ)) aparţine frontierei domeniului Ω =
I × D; (β0 , Λ) ∈ ∂Ω (respectiv (α0 , Λ) ∈ ∂Ω )
Demonstraţie: Facem demonstraţia pentru n = 1 urmând ca pentru n ≥ 2
sǎ se facǎ ı̂n mod analog.
Pentru orice t ∈ I0 punctul (t, x(t; t0 , x0 )) aparţine domeniului Ω şi, prin
urmare, punctul (β0 , λ) aparţine aderenţei domeniului Ω, (β0 , λ) ∈ Ω. Putem
arǎta cǎ (β0 , λ) aparţine frontierei ∂Ω, arǎtând cǎ (β0 , λ) nu aparţine domeniului Ω.
Raţionǎm prin reducere la absurd şi presupunem cǎ (β0 , λ) ∈ Ω.
Considerǎm a > 0, b > 0, K > 0, M > 0 astfel ca dreptunghiul
∆ = {(t, x) : |t − β0 | ≤ a, |x − λ| ≤ b}
sǎ fie inclus ı̂n domeniul Ω (∆ ⊂ Ω), funcţia f sǎ verifice |f (t, x)| ≤ M pentru
orice (t, x) ∈ ∆, şi |f (t, x) − f (t, y)| ≤ K|x
− y| pentru orice (t, x),
(t, y) ∈ ∆.
b − 2ε
1
Fie acum ε > 0 astfel ca ε < min a − 2ε,
,
şi t1 < β0
M
K +1
astfel ca |t1 − β0 | < ε şi |x(t1 ; t0 , x0 ) − λ| < ε.
Soluţia saturatǎ x = x(t; t1 , x(t1 ; t0 , x0 )) a problemei cu date iniţiale
ẋ = f (t, x), x(t1 ) = x(t1 ; t0 , x0 )
este definitǎ cel puţin pe intervalul
b − 2ε
1
,
Iδ = [t1 − δ, t1 + δ] cu δ = min a − 2ε,
M
K +1
şi verificǎ
x(t; t1 , x(t1 ; t0 , x0 )) = x(t; t0 , x0 ), (∀) t ∈ Iδ ∩ I0 .
Întrucât t1 + δ > t1 + ε > β0 , rezultǎ cǎ soluţia saturatǎ x(t; t0 , x0 ) este
prelungibilǎ, ceea ce este absurd.
Teorema 4.3.4 Dacǎ I = IR1 , D = IRn şi β0 < +∞ (respectiv α0 > −∞),
atunci soluţia saturatǎ X(t; t0 , X 0 ) este nemǎrginitǎ pe [t0 , β0 ) (respectiv
(α0 , t0 ]).
114
CAPITOLUL 4
Demonstraţie: Pentru cazul n = 1, raţionǎm prin reducere la absurd şi
presupunem cǎ soluţia saturatǎ x = x(t; t0 , x0 ) este mǎrginitǎ pe [t0 , β0 ).
Considerǎm m > 0, astfel ca |x(t; t0 , x0 )| ≤ m, (∀) t ∈ [t0 , β0 ) şi tn ∈ [t0 , β0 )
astfel ı̂ncât lim tn = β0 . Şirul {x(tn ; t0 , x0 )}n este mǎrgint şi are un subşir
n→∞
convergent la un numǎr λ. Deoarece Ω = IRn punctul (β0 , λ) aparţine lui Ω,
ceea ce este ı̂n contradicţie cu teorema precedentǎ.
Pentru cazul n ≥ 2 se raţioneazǎ ı̂n mod analog.
Teorema 4.3.5 Dacǎ I = IR1 , D = IRn şi F este lipschitzianǎ pe orice
bandǎ de forma ∆ = J ×IRn , unde J ⊂ IR1 este un interval compact oarecare,
atunci orice soluţie saturatǎ este definitǎ pe IR1 .
Demonstraţie: Pentru cazul n = 1, raţionǎm prin reducere la absurd şi
presupunem cǎ intervalul de definiţie I0 = (α0 , β0 ) al soluţiei saturate x =
x(t; t0 , x0 ) este mǎrginit la dreapta: β0 < +∞.
Pentru t ∈ [t0 , β0 ) scriem inegalitatea:
|x(t; t0 , x0 ) − x0 | ≤
Zt
t0
Zt
|f (s, x(s : t0 , x0 ))−f (s, x0)|ds + |f (s, x0 )|ds ≤
≤ Kβ 0
t0
Rt
t0
|x(s; t0 , x0 )−x0 |ds + (β0 − t0 ) sup |f (s, x0 )|.
s∈[t0 ,β0 ]
Rezultǎ de aici cǎ pentru orice t ∈ [t0 , β0 ] avem:
|x(t; t0 , x0 ) − x0 | ≤ (β0 − t0 ) · sup |f (s, x0 )| · eKβ0 (β0 −t0 ) .
s∈[t0 ,β0 ]
Aceastǎ inegalitate aratǎ cǎ funcţia x(t; t0 , x0 ) este mǎrginitǎ pe intervalul
[t0 , β0 ), ceea ce este ı̂n contradicţie cu concluzia din teorema anterioarǎ.
Analog se face raţionamentul pentru cazul n ≥ 2.
Consecinţa 4.3.1 Dacǎ I = (a, b), D = IRn şi β0 a), atunci soluţia saturatǎ este nemǎrginitǎ pe intervalul [t0 , β) (respectiv (α0 , t0 ]).
Consecinţa 4.3.2 Dacǎ I = (a, b), D = IRn şi F este lipschitzianǎ ı̂n raport
cu X pe orice bandǎ de forma J × I, unde J ⊂ IR1 este un interval compact
inclus ı̂n I, atunci orice soluţie saturatǎ este definitǎ pe I.
115
Teorema 4.3.6 Dacǎ funcţia de clasǎ C 1 , F : IR1 × IRn → IRn nu depinde
de t, atunci pentru orice X 0 ∈ IRn şi t1 , t2 ∈ IR1 , avem:
X(t1 + t2 ; 0, X 0) = X(t2 ; 0, X(t1 ; 0, X 0)) = X(t1 ; 0, X(t2 ; 0, X 0))
Demonstraţie: Demonstrǎm teorema pentru n = 1.
Se observǎ cǎ pentru t2 = 0 au loc:
x(t1 + t2 ; 0, x0 ) = x(t2 ; 0, x(t1 ; 0, x0 )) = x(t1 ; 0, x(t2 ; 0, x0 )).
În continuare se remarcǎ faptul cǎ avem egalitatea:
d
x(t + t1 ; 0, x0 ) = f (x(t + t1 ; 0, x0 ))
dt
şi deducem cǎ x(t + t1 ; 0, x0 ) este soluţia saturatǎ a problemei cu date iniţiale
ẋ = f (x),
x(0) = x(t1 ; 0, x0 ).
Rezultǎ ı̂n acest fel egalitatea:
x(t + t1 ; 0, x0 ) = x(t; 0, x(t1 : 0, x0 ),
pentru orice t. În particular, pentru t = t2 , se obţine prima egalitate din
enunţ.
Pentru cazul n ≥ 2 teorema se demonstreazǎ analog.
Fie I un interval real deschis (I ∈ IR1 ), Ω un domeniu deschis ı̂n IRn
(Ω ∈ IRn ) şi F : I ×Ω → IRn , F = F (t, X) o funcţie de clasǎ C 1 . Considerǎm
ı̂n continuare condiţia iniţialǎ (t0 , X 0 ) ∈ I × Ω şi soluţia maximalǎ
X = X(t; t0 , X 0 ) a problemei Cauchy
Ẋ = F (t, X),
X(t0 ) = X 0 .
Notǎm cu I0 intervalul de definiţie al soluţiei maximale X = X(t; t0 , X 0 ).
Teorema 4.3.7 (de dependenţǎ continuǎ de ”poziţia” iniţialǎ X 0 )
Pentru orice interval compact I∗ = [T1 , T2 ], inclus ı̂n intervalul I0 (I∗ ⊂ I0 ),
◦
care conţine punctul t0 ı̂n interior (t0 ∈I ∗ ) şi pentru orice ε > 0, existǎ
116
CAPITOLUL 4
δ = δ(ε, I∗ ), astfel ca, pentru orice X 1 cu kX 1 − X 0 k < δ, soluţia saturatǎ
X 1 = X 1 (t; t0 , X 1 ) a problemei Cauchy

 Ẋ = F (t, X)

X(t0 ) = X 1
este definitǎ cel puţin pe intervalul I∗ şi verificǎ inegalitatea:
kX(t; t0 , X 1 ) − X(t; t0 , X 0 )k < ε,
(∀) t ∈ I∗ .
Demonstraţie: Pentru t ∈ I∗ , fie at > 0 şi bt > 0, astfel ca cilindrul
∆t = {(τ, X) : |τ − t| ≤ at şi kX − X(t; t0 , X 0 )k ≤ bt } sǎ fie inclus ı̂n
mulţimea I × Ω ( ∆t ⊂ I × Ω).
Mulţimea Γ definitǎ prin Γ = {(t, X(t; t0 , X 0 )) : t ∈ I∗ } este compactǎ şi
S ◦
S ◦
este inclusǎ ı̂n mulţimea
∆t ; Γ ⊂
∆t . Existǎ, prin urmare, un numǎr
t∈I∗
t∈I∗
finit de puncte t1 , t2 , . . . , tq ı̂n I∗ , astfel ca Γ ⊂
q
S
◦
∆tj .
j=1
Considerǎm funcţia d(Y, Z) = kY − Zk definitǎ pentru Y ∈ Γ şi Z de pe
q
q
S
S
frontiera mulţimii
∆tj ; Z ∈ ∂( ∆tj ).
j=1
j=1
Existǎ r > 0, astfel ca d(Y, Z) > r, pentru orice Y ∈ Γ şi Z ∈ ∂(
Tubul de securitate ∆, definit prin:
q
S
∆tj ).
j=1
∆ = {(t, X) : t ∈ I∗ şi kX − X(t; t0 , X 0 )k ≤ r}
verificǎ urmǎtoarele incluziuni:
∆⊂
q
[
j=1
◦
∆tj ⊂ I × Ω
şi existǎ K > 0, astfel ca, pentru orice (t, X 1 ), (t, X 2 ) ∈ ∆ sǎ avem:
kF (t, X 1) − F (t, X 2 )k ≤ K · kX 1 − X 2 k
(o funcţie local Lipschitzianǎ este global Lipschitzianǎ pe compacte).
Notǎm cu h = max{T2 − t0 , t0 − T1 } şi considerǎm ε, 0 < ε < r. Fie
δ = δ(ε, I∗ ) = ε · 2−1 · e−Kh şi X 1 , astfel ca kX 1 − X 0 k < δ. Notǎm cu
117
I1 intervalul de definiţie a soluţiei saturate X = X(t; t0 , X 1 ) a problemei
Cauchy:

 Ẋ = F (t, X)

Vom arǎta acum cǎ:
X(t0 ) = X 1 .
kX(t; t0 , X 1 ) − X(t; t0 , X 0 )k <
ε
2
pentru orice t ∈ I∗ ∩ I1 .
Raţionǎm prin reducere la absurd şi admitem cǎ existǎ t1 ∈ I∗ ∩ I1 astfel
ε
ca kX(t1 ; t0 , X 1 ) − X(t1 ; t0 , X 0 )k ≥ . De aici rezultǎ cǎ, cel puţin pentru
2
unul din numerele α1 , α2 , definite prin
n
o
ε
α1 = inf t ∈ I∗ ∩I1 : kX(τ ; t0 , X 1)−X(τ ; t0 , X 0)k < , (∀) τ ∈ [t, t0 ] ,
2
n
o
ε
α2 = sup t ∈ I∗ ∩I1 : kX(τ ; t0 , X 1 )−X(τ ; t0 , X 0 )k < , (∀) τ ∈ [t0 , t] ,
2
are loc egalitatea
ε
kX(αi ; t0 , X 1) − X(αi ; t0 , X 0)k = , i = 1, 2.
2
ε
Sǎ presupunem de exemplu cǎ kX(α2 ; t0 , X 1 ) − X(α2 ; t0 , X 0 )k = .
2
Pe de altǎ parte, pentru orice t ∈ [t0 , α2 ] avem:
+K ·
Zt
kX(t; t0 , X 1 ) − X(t; t0 , X 0 )k ≤ kX 1 − X 0 k+
ε
kX(τ ; t0 , X 1 ) − X(τ ; t0 , X 0 )kdτ ≤ kX 1 − X 0 k · eK·h < .
2
t0
ceea ce constituie o contradicţie şi prin urmare:
kX(t; t0 , X 1 ) − X(t; t0 , X 0 )k <
pentru orice t ∈ I∗ ∩ I1 .
ε
2
118
CAPITOLUL 4
Vom arǎta ı̂n continuare cǎ α = inf I1 ≤ T1 şi cǎ β = sup I1 ≥ T2 .
Din nou raţionǎm prin reducere la absurd şi admitem de exemplu cǎ
β < T2 . Pentru orice t ∈ [t0 , β) avem inegalitǎţile:
kX(t; t0 , X 1 ) − X(t; t0 , X 0 )k ≤ kX 1 − X 0 k+
+K ·
Zt
ε
kX(τ ; t0 , X 1 ) − X(τ ; t0 , X 0 )kdτ ≤ kX 1 − X 0 k · eK·h < .
2
t0
În plus, pentru orice t′ , t′′ cu t0 < t′ < t′′ < β avem inegalitatea:
kX(t′ ; t0 , X 1 ) − X(t′′ ; t0 , X 1 )k ≤ M · |t′′ − t′ |,
unde M = sup kF (t, X)k.
(t,X)∈∆
Acestea demonstreazǎ cǎ existǎ limita:
λ = lim X(t; t0 , X 1 )
t→β
şi (β, λ) ∈ ∆. Contradicţie.
Inegalitǎţile stabilite sunt valabile deci pe ı̂ntreg intervalul I∗ şi astfel
teorema este demonstratǎ.
Teorema 4.3.8 (de dependenţǎ continuǎ de condiţia iniţialǎ (t0 , X 0 ))
Pentru orice interval compact I∗ = [T1 , T2 ], inclus ı̂n intervalul I0 (I∗ ⊂ I0 ),
◦
care conţine punctul t0 ı̂n interior (t0 ∈I ∗ ) şi pentru orice ε > 0, existǎ
δ = δ(ε, I∗ ), astfel ca, pentru orice condiţie iniţialǎ (t1 , X 1 ) cu |t1 − t0 | < δ
şi kX 1 − X 0 k < δ, soluţia saturatǎ
X 1 = X 1 (t; t1 , X 1 ) a problemei Cauchy

 Ẋ = F (t, X)

X(t0 ) = X 1
este definitǎ cel puţin pe intervalul I∗ şi verificǎ inegalitatea:
kX(t; t1 , X 1 ) − X(t; t0 , X 0 )k < ε, (∀) t ∈ I∗ .
119
Demonstraţie: Fie r > 0 şi K > 0, astfel ca tubul ∆, definit prin
∆ = {(t, X) : t ∈ I∗ , kX − X(t; t0 , X 0 )k ≤ r}
sǎ fie inclus ı̂n mulţimea I × Ω (∆
(t, X 1 ), (t, X 2 ) ∈ ∆ sǎ avem
⊂
I × Ω) şi pentru orice
kF (t, X 1) − F (t, X 2 )k ≤ K · kX 1 − X 2 k.
Considerǎm numerele:
h1 = min{T2 − t0 , t0 − T1 }; h2 = max{T2 − t0 , t0 − T1 };
M = sup kF (t, X)k;
(t,X)∈∆
un numǎr ε, 0 < ε < r şi numǎrul δ = δ(ε, I∗ ), definit astfel:
δ = 2−1 · min{h1 , ε · (M + 1)−1 · e−K(h1 +h2 ) }
Pentru (t1 , X 1 ) cu |t1 − t0 | < δ şi kX 1 − X 0 k < δ avem inegalitǎţile:
T1 < t1 < T2 ,
kX 1 − X(t1 ; t0 , X 0 )k ≤ kX 1 − X 0 k + kX 0 − X(t1 ; t0 , X 0 )k <
< δ · (M + 1) <
ε
< r;
2
şi prin urmare (t1 , X 1 ) ∈ ∆ ⊂ I × Ω.
Fie X 1 = X(t; t1 , X 1 ) soluţia maximalǎ a problemei Cauchy:

 Ẋ = F (t, X)

X(t0 ) = X 1
definitǎ pe intervalul I1 .
ε
Vom arǎta cǎ kX(t; t1 , X 1 ) − X(t; t0 , X 0 )k <
pentru orice
2
t ∈ I∗ ∩ I1 .
Raţionǎm prin reducere la absurd şi admitem cǎ existǎ t2 ∈ I∗ ∩ I1 , astfel
ε
ca kX(t2 ; t1 , X 1 ) − X(t2 , t0 , X 0 )k ≥ .
2
Rezultǎ de aici cǎ cel puţin pentru unul din numerele α1 , α2 definite prin
n
o
ε
α1 = inf t ∈ I∗ ∩I1 : kX(τ ; t0 , X 1 )−X(τ ; t0 , X 0 )k < , (∀) τ ∈ [t, t1 ]
2
120
CAPITOLUL 4
n
o
ε
α2 = sup t ∈ I∗ ∩I1 : kX(τ ; t0 , X 1 )−X(τ ; t0 , X 0 )k < , (∀) τ ∈ [t1 , t]
2
se realizeazǎ egalitatea:
ε
kX(αi ; t1 , X 1 ) − X(αi ; t0 , X 0 )k = , i = 1, 2.
2
Sǎ presupunem, de exemplu, cǎ avem:
kX(α2 ; t1 , X 1 ) − X(α2 ; t0 , X 0 )k =
ε
2
Pe de altǎ parte, pentru orice t ∈ [t1 , α2 ] avem inegalitǎţile:
kX(t; t1 , X 1 ) − X(t; t0 , X 0 )k ≤
1
0
≤ kX − X(t1 ; t0 , X )k + K
Zt
kX(τ ; t1 , X 1 ) − X(τ ; t0 , X 0 )kdτ ≤
t1
ε
≤ kX 1 − X(t1 ; t0 , X 0 )k · eK(h1 +h2 ) < (M + 1) · δ · eK(h1 +h2 ) < .
2
Contradicţie.
ε
Prin urmare, kX(t; t1 , X 1 ) − X(t; t0 , X 0 )k < , (∀) t ∈ I∗ ∩ I1 .
2
Vom arǎta ı̂n continuare cǎ α = inf I1 ≤ T1 şi β = sup I1 ≥ T2 .
Raţionǎm prin reducere la absurd şi presupunem de exemplu cǎ β < T2 .
Pentru orice t ∈ [t1 , β) avem inegalitatea:
kX(t; t1 , X 1 ) − X(t; t0 , X 0 )k <
ε
2
şi pentru orice t′ , t′′ ∈ [t1 , β) :
kX(t′ ; t1 , X 1 ) − X(t′′ ; t1 , X 1 )k ≤ M · |t′ − t′′ |
Aceasta aratǎ cǎ existǎ limita λ = lim X(t; t1 , X 1 ) şi (β, λ) ∈ I × Ω.
t→β
Contradicţie.
Inegalitǎţile stabilite sunt valabile pe I∗ şi astfel teorema este demonstratǎ.
121
Fie I ⊂ IR1 un interval deschis, D ⊂ IRn un domeniu, Ω ⊂ IRm un
domeniu, F : I × D × Ω → IRn o funcţie vectorialǎ şi sistemul de ecuaţii
diferenţiale de ordinul ı̂ntâi cu parametru scris sub forma matricealǎ:
Ẋ = F (t, X, µ)
t ∈ I, X ∈ D, µ ∈ Ω.
(4.10)
Considerǎm un punct (t0 , X 0 , µ0 ) ∈ I × D × Ω şi problema Cauchy:

 Ẋ = F (t, X, µ0 )
(4.11)

X(t0 ) = X 0
Presupunem cǎ funcţia F este de clasǎ C 1 ı̂n raport cu (t, X) şi este continuǎ ı̂n raport cu parametrul µ şi considerǎm soluţia saturatǎ X(t; t0 , X 0 , µ0 )
a problemei Cauchy (4.11) definitǎ pe intervalul I0 .
Teorema 4.3.9 (de dependenţǎ continuǎ de parametru)
Pentru orice interval compact I∗ = [T1 , T2 ] ⊂ I0 , care conţine punctul t0 ı̂n
◦
interior (t0 ∈I ∗ ) şi pentru orice ε > 0, existǎ δ = δ(ε, I∗ ) > 0, astfel ı̂ncât,
dacǎ kµ − µ0 k < δ, atunci soluţia saturatǎ X = X(t; t0 , X 0 , µ) a problemei
Cauchy

 Ẋ = F (t, X, µ)

X(t0 ) = X 0
este definitǎ pe intervalul I∗ şi verificǎ inegalitatea:
kX(t; t0 , X 0 , µ) − X(t; t0 , X 0 , µ0 )k < ε
pentru orice t ∈ I∗ .
Demonstraţie: Fie r1 > 0 şi r2 > 0 astfel ca mulţimea ∆ şi S definite
prin:
∆ = {(t, X) : t ∈ I∗ , ||X − X(t; t0 , X 0 , µ0 )|| ≤ r1 }
S = S(µ0 , r2 ) = {µ : ||µ − µ0 || ≤ r2 }
sǎ verifice ∆ ⊂ I × Ω, respectiv S ⊂ Ω1 .
Existǎ K > 0 astfel ı̂ncât sǎ avem:
||F (t, X 1, µ)−F (t, X 2 , µ)|| ≤ K ·||X 1 −X 2 ||, (∀)(t, X 1 , µ), (t, X 2, µ) ∈ ∆×S
122
CAPITOLUL 4
Notǎm h = max{T2 − t0 , t0 − T1 } şi considerǎm un numǎr ε, cu proprietatea
0 < ε < r. Fie δ = δ(ε, I∗) astfel ca pentru 0 < δ < r2 şi ||µ − µ0 || < δ sǎ
avem:
||F (t, X, µ) − F (t, X, µ0 )|| < ε · 2−1 · e−Kh , (∀) (t, X) ∈ ∆.
Pentru µ cu proprietatea ||µ − µ0 || < δ considerǎm soluţia saturatǎ X =
X(t; t0 , X 0 , µ) a problemei Cauchy

 Ẋ = F (t, X, µ)
definitǎ pe intervalul Iµ .

X(t0 ) = X 0
Vom arǎta cǎ:
||X(t; t0 , X 0 , µ) − X(t; t0 , X 0 , µ0 || <
ε
2
pentru orice t ∈ I∗ ∩ Iµ .
Raţionǎm prin reducere la absurd şi admitem cǎ existǎ t1 ∈ I∗ ∩ Iµ astfel ca
ε
||X(t1 ; t0 , X 0 , µ) − X(t1 ; t0 , X 0 , µ0 )|| ≥ .
2
Rezultǎ de aici cǎ, cel puţin pentru unul dintre numerele α1 , α2 definite prin:
o
n
ε
0
0
0
α1 = inf t ∈ I∗ ∩Iµ : ||X(τ ; t0 , X , µ)−X(τ ; t0 , X , µ )|| < , (∀)τ ∈ [t, t0 ]
2
n
o
ε
α2 = sup t ∈ I∗ ∩Iµ : ||X(τ ; t0 , X 0 , µ)−X(τ ; t0, X 0 , µ0 )|| < , (∀)τ ∈ [t, t0 ]
2
are loc egalitatea:
||X(αi; t0 , X 0 , µ) − X(αi ; t0 , X 0 , µ0 )|| =
ε
, i = 1, 2.
2
Sǎ admitem de exemplu cǎ avem:
ε
||X(α2 ; t0 , X 0 , µ) − X(α2 ; t0 , X 0 , µ0 )|| = .
2
Pe de altǎ parte, pentru orice t ∈ [t0 , α2 ] au loc inegalitǎţile:
123
||X(t; t0 , X 0 , µ) − X(t; t0 , X 0 , µ0 )|| ≤
≤
Zt
||F (τ, X(τ ; t0 , X 0 , µ), µ)−F (τ, X(τ ; t0, X 0 , µ0 ), µ0)||dτ ≤
Zt
||F (τ, X(τ ; t0 , X 0 , µ), µ)−F (τ, X(τ ; t0, X 0 , µ0 ), µ)||dτ ≤
Zt
||F (τ, X(τ ; t0 , X 0 , µ0), µ)−F (τ, X(τ ; t0, X 0 , µ0 ), µ0 )||dτ ≤
t0
≤
t0
≤
t0
≤ K·
Zt
||X(τ ; t0 X 0 , µ)−X(τ ; t0 , X 0 , µ0 )||dτ +ε·2−1 ·e−K·h ≤
t0
ε
≤ ε·2−1 ·e−K·h ·eK(t−t0 ) < .
2
Contradicţie.
Prin urmare:
ε
||X(t; t0 , X 0 , µ) − X(t; t0 , X 0 , µ0 )|| < , (∀)t ∈ I∗ ∩ Iµ .
2
Vom arǎta ı̂n continuare cǎ α = inf Iµ ≤ T1 şi β = sup Iµ ≥ T2 . Raţionǎm
prin reducere la absurd presupunând de exemplu β < T2 .
Pentru orice t ∈ [t0 , β) are loc inegalitatea:
||X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0 , X 0 , µ0)|| <
ε
2
şi pentru t′ , t′′ ∈ [t0 , β] avem:
||X(t′; t0 , X 0 , µ) − X(t′′ ; t0 , X 0, µ)|| < M · |t′ − t′′ |
cu
M = sup ||F (t, X, µ)||
∆×S
124
CAPITOLUL 4
Rezultǎ de aici cǎ existǎ limita λ = lim X(t; t0 , X 0 , µ) şi (β, λ) ∈ I × Ω.
t→β
Contradicţie.
Calculele fǎcute sunt valabile pe intervalul I∗ şi astfel teorema este demonstratǎ.
Consecinţa 4.3.3 Dacǎ funcţia F = F (t, X, µ) este liniarǎ ı̂n raport cu
X ∈ IRn , atunci pentru orice interval I∗ (I∗ ⊂ I) care conţine punctul t0
◦
ı̂n interior (I ∗ ∋ t0 ) şi pentru orice ε > 0 existǎ δ = δ(ε, I∗ ) > 0 astfel ı̂ncât
dacǎ ||µ − µ0 || < δ, avem:
||X(t; t0, X 0 , µ) − X(t; t0 , X 0 , µ0)|| < ε
pentru orice t ∈ I∗ .
Demonstraţie:
Cu teorema lui Banach-Steinhaus se obţine cǎ
funcţia ||F (t, ·, µ)|| este mǎrginitǎ pe compacte şi
lim F (t, X, µ) = F (t, X, µ0 ).
µ→µ0
Teorema 4.3.10 (de diferenţiabilitate ı̂n raport cu condiţiile iniţiale) În
condiţiile Teoremei 4.3.7, funcţia (t, t1 , X 1 ) → X(t; t1 , X 1 ) este diferenţiabilǎ
ı̂n raport cu t1 , X 1 şi au loc urmǎtoarele egalitǎţi:
d
∂X 1 X(t; t0 , X 0 ) = ∂X F (t, X(t; t0 , X 0 )) · ∂X 1 X(t; t0 , X 0)
dt
∂X 1 X(t0 ; t0 , X 0 ) = I
d
∂t1 X(t; t0 , X 0 ) = ∂X F (t, X(t; t0 , X 0 )) · ∂t1 X(t; t0 , X 0 )
dt
∂t1 X(t0 ; t0 , X 0 ) = −F (t0 , X 0 )
∂t1 X(t; t0 , X 0 ) = −∂X 1 X(t; t0 , X 0) · F (t0 , X 0 )
125
Demonstraţie: Pentru t ∈ Iδ , X 1 ∈ S(X 0 , δ/2),
Y ∈ IRn considerǎm funcţia:
h ∈ S(0, δ/2) şi
H(t, t0 , X 1 , h, Y ) =
 1

Z

1
1
1
=
∂X F (t, X(t; t0 , X )+s·[X(t; t0, X +h)−X(t; t0 , X )])ds ·Y


0
Funcţia H definitǎ ı̂n acest mod este continuǎ ı̂n raport cu t şi este liniarǎ
ı̂n raport cu Y. În plus funcţia H este continuǎ ı̂n raport cu (t, h).
Fie e1 , e2 , . . . , en baza canonicǎ din Rn şi ξ ∈ R astfel ca |ξ| < δ/2.
Problemele Cauchy:
 k
 Ẏξ = H(t, t0 , X 1 , ξ · ek , Yξk )

Yξk (t0 ) = ek
 k
 Ẏξ = H(t, t0 , X 1 , 0, Y k )

Y k (t0 ) = ek
au soluţii definite pe intervalul Iδ pentru k = 1, 2, . . . , n. În plus pentru orice
interval compact I∗ ⊂ Iδ avem lim Yξk (t) = Y k (t) uniform ı̂n raport cu t ∈ I∗ .
ξ→0
Pe de altǎ parte pentru ξ 6= 0 avem:
1
Yξk (t) = [X(t; t0 , X 1 + ξ · ek ) − X(t; t0 , X 1 )]
ξ
pentru orice t ∈ Iδ .
Prin urmare, existǎ limita
1
lim [X(t; t0 , X 1 + ξ · ek ) − X(t; t0 , X 1 )]
ξ→0 ξ
şi este egalǎ cu Y k (t) pentru t ∈ Iδ .
Aceasta demonstreazǎ cǎ funcţia X(t; t0 , X 1 ) are derivate parţiale ı̂n raport
126
CAPITOLUL 4
cu X 1 ı̂n punctele (t, t0 , X 1 ) şi ı̂n plus avem:
d
dt
∂X
(t, t0 , X 1 )
∂x1k
∂X
1
1
= H t, t0 , X , 0, 1 (t, t0 , X )
∂xk
∂X
(t , t , X 1 ) = ek
1 0 0
∂xk
Funcţia H(t, t0 , X 1 , 0, Y ) fiind continuǎ ı̂n raport cu (t, X 1 ) şi liniarǎ ı̂n raport
∂X
cu Y rezultǎ cǎ soluţia problemei Cauchy precedente
(t, t0 , X 1 ) converge
∂x1k
la soluţia problemei Cauchy:

dY k


= H(t, t0 , X 0 , 0, Y k )
dt

 k
Y (t0 ) = ek
pentru X 1 → X 0 uniform, pe intervale compacte I1 ⊂ Iδ .
Aceasta implicǎ cǎ derivatele parţiale ale funcţiei X(t; t0 , X 1 ) ı̂n raport cu
X 1 sunt funcţii continue ı̂n raport cu X 1 ı̂n punctele (t, t0 , X 0 ). Deci funcţia
X(t; t1 , X 1 ) este diferenţiabilǎ ı̂n raport cu X 1 ı̂n punctele (t, t0 , X 0 ) şi satisfac:
d
∂X 1 X(t; t0 , X 0) = ∂X F (t, X(t; t0 , X 0 )) · ∂X 1 X(t; t0 , X 0 )
dt
∂X 1 X(t0 ; t0 , X 0 ) = I.
Fie acum τ ∈ IR1 astfel ca 0 < |τ | < δ şi apoi funcţia
Xτ (t) =
1 · X(t; t0 + τ, X 0 ) − X(t; t0 , X 0 ) pentru t ∈ Iδ .
τ
127
Avem egalitǎţile:
τ · Xτ (t) = X(t; t0 + τ, X 0 ) − X(t; t0 , X 0 ) =
= X(t; t0 , X(t0 ; t0 + τ, X 0 )) − X(t; t0 , X 0 ) =
= ∂X 1 X(t; t0 , X 0 ) · [X(t0 ; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ]+
+O(||X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ||) =
= ∂X 1X(t; t0 , X 0 )·[X(t0; t0 +τ, X 0)−X(t0 +τ ; t0 +τ, X 0)]+
+O(||X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ||) =
= −τ ∂X 1X(t; t0 , X 0 )
n
P
Fk (t0 +θk τ, X(t0 +θk τ ; t0 +τ, X 0 )·ek+
k=1
+O(||X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 ||)
cu 0 < θk < 1 pentru k = 1, n.
Astfel,
0
Xτ (t) = −∂X 1 X(t; t0 , X )(
+
n
X
k=1
Fk (t0 + θk · τ, X(t0 + θk τ ; t0 + τ, X 0 ))ek )+
O(||X(t0; t0 +τ, X 0)−X 0 ||) ||X(t0 ; t0 +τ, X 0)−X(t0 +τ ; t0 +τ, X 0 )||
·
.
||X(t0; t0 +τ, X 0 )−X 0||
τ
1
· ||X(t0 ; t0 + τ, X 0 ) − X(t0 + τ, t0 + τ, X 0 )|| este mǎrginit
τ
pentru τ → 0 şi ||X(t0; t0 + τ, X 0 ) − X 0 || → 0 pentru τ → 0 uniform pe orice
interval compact I∗ ⊂ Iδ (I∗ ∋ t0 ) rezultǎ cǎ
Deoarece raportul
lim Xτ (t) = −∂X 1 X(t; t0 , X 0 ) · F (t0 , X 0 )
τ →0
şi deci funcţia X(t; t1 , X 1 ) este deiferenţiabilǎ ı̂n raport cu t1 ı̂n (t; t0 , X 0 ).
În plus,
∂t1 X(t; t0 , X 0 ) = −∂X 1 X(t; t0 , X 0 ) · F (t0 , X 0 ).
128
CAPITOLUL 4
Derivabilitatea ı̂n raport cu t a funcţiei ∂t1 X(t; t0 , X 0 ) este o consecinţǎ a
acestei egalitǎţi.
În plus avem egalitǎţile:
d
∂t1 X(t; t0 , X 0 ) =
dt
= −
d
∂X 1 X(t; t0 , X 0 ) F (t0 , X 0 ) =
dt
= −∂X F (t, X(t; t0 , X 0 )) · (∂X 1 X(t; t0 , X 0)) · F (t0 , X 0) =
= ∂X F (t, X(t; t0 , X 0 )) · ∂t1 X(t; t0 , X 0 )
∂t1 X(t0 ; t0 , X 0 ) = −F (t0 , X 0 ).
În acest fel teorema de diferenţiabilitate ı̂n raport cu condiţiile iniţiale este
complet demonstratǎ.
Teorema 4.3.11 (de diferenţiabilitate ı̂n raport cu parametru).
Dacǎ funcţia F = F (t, X, µ) satisface condiţiile din Teorema 4.3.9 şi ı̂n plus
este de clasǎ C 1 ı̂n raport cu µ, atunci funcţia
(t; t0 , X 0, µ) → X(t; t0 , X 0 , µ)
este diferenţiabilǎ ı̂n raport cu µ şi au loc urmǎtoarele egalitǎţi:
d
(∂µX(t;t0 ,X 0,µ0 )) = ∂XF (t, X(t; t0 , X 0 , µ0), µ0 )·∂µX(t; t0 , X 0 , µ0)+
dt
+ ∂µ F (t; X(t; t0, X 0 , µ0 ), µ0 )
∂µ X(t0 ; t0 , X 0 , µ0 ) = 0.
Demonstraţie: Fie e1 , e2 , ..., em baza canonicǎ ı̂n spaţiul IRm .
Pentru t ∈ Iδ , µ1 ∈ S(µ0 , 2δ ), h ∈ IR1 , |h| < 2δ , Y ∈ IRn şi
k = 1, m
129
definim funcţia Hk = Hk (t, t0 , X 0 , µ1, h, Y ) cu formula:
H
t0 , X 0 , µ1, h, Y ) =
k (t,
Z1
=
∂XF(t,X(t;t0 ,X 0, µ1)+s X(t;t0 ,X 0, µ1 +h·ek)−X(t;t0 ,X 0, µ1) ,

0

 1

Z

µ1 + h·ek )ds Y +  ∂µ F (t, X(t; t0 , X 0 , µ1 ), µ1 + s · h · ek )ds · ek .

0
Funcţia Hk este continuǎ ı̂n raport cu t ∈ Iδ , lipschitzianǎ ı̂n raport cu Y
pe intervale compacte I∗ ⊂ I. În plus, funcţia Hk (t, t0 , X 0, µ1 , h, Y ) tinde la
Hk (t, t0 , X 0 , µ1 , 0, Y ) pentru h → 0 uniform pe compacte ı̂n raport cu (t, Y ).
Problemele Cauchy:

dYξk



= Hk (t, t0 , X 0 , µ1 , Yhk )
dt


 Y k (t ) = 0
h 0

dY k


= Hk (t, t0 , X 0 , µ1 , Y k )
dt

 k
Y (t0 ) = 0
au soluţii definite pe Iδ şi lim Yhk (t) = Y k (t) uniform ı̂n raport cu t pe orice
h→0
interval J ⊂ I.
Pe de altǎ parte se verificǎ uşor cǎ pentru h 6= 0 avem:
Yhk (t) =
1
[X(t; t0 , X 0 , µ1 + h · ek ) − X(t; t0 , X 0 , µ1 )]
h
şi deducem cǎ funcţia X(t; t0 , X 0 , µ) are derivate parţiale ı̂n raport cu µk ı̂n
(t, t0 , X 0 , µ1) şi
d ∂X
∂X
0
1
0
1
0
1
(t, t0 , X , µ )
= Hk t, t0 , X , µ , 0,
(t, t0 , X , µ )
dt ∂µk
∂µk
∂X
(t0 , t0 , X 0 , µ1 ) = 0
∂µk
130
CAPITOLUL 4
Pe de altǎ parte:
lim H k (t, t0 , X 0, µ1 , 0, Y ) = H k (t, t0 , X 0 , µ0, 0, Y )
µ1 →µ0
uniform ı̂n raport cu (t, Y ) pe mulţimi compacte.
∂X
∂X
(t, t0 , X 0 , µ1 ) tinde la
t, t0 , X 0 , µ0 pentru µ → µ0 uniform
∂µk
∂µk
pe orice interval compact I∗ ⊂ I.
Deci
Aceasta demonstrazǎ cǎ derivatele parţiale ı̂n raport cu µk ale funcţiei
X(t; t0 , X 0 , µ) sunt continue ı̂n raport cu µ ı̂n (t; t0 , X 0 , µ0 ).
În plus, avem:
d ∂X
0
0
(t, t0 , X , µ ) =
dt ∂µk
∂F
∂X
t; t0 , X 0 , µ0 +
t, X(t; t0 , X 0 , µ0 ), µ0
= ∂X F t, X(t; t0 , X 0 , µ0 ), µ0 ·
∂µk
∂µK
∂X
t0 ; t0 , X 0 , µ0 = 0
∂µk
Prin urmare funcţia X = X(t; t0 , X 0 , µ) este diferenţiabilǎ ı̂n raport cu µ ı̂n
punctul (t, t0 , X 0 , µ0 ) şi pentru orice t ∈ Iδ avem:
d
∂µ X(t; t0 , X 0 , µ0) =
dt
∂X F (t, X(t; t0, X 0 , µ0 ), µ0 ) · ∂µ X(t; t0 , X 0 , µ0 ) + ∂µ F (t, X(t; t0 , X 0 , µ0 ), µ0 )
∂µ X(t0 ; t0 , X 0 , µ0) = 0.
131
Metode numerice
4.4
4.4.1
Metode numerice
Metoda liniilor poligonale a lui Euler de determinare numericǎ localǎ a unei soluţii neprelungibile ı̂n cazul sistemelor diferenţiale de ordinul
ı̂ntâi
Fie I un interval real deschis şi nevid I ⊂ IR1 , D un domeniu nevid ı̂n spaţiul
IRn , D ⊂ IRn şi F o funcţie de clasǎ C 1 , F : I × D → IRn .
Pentru (t0 , X 0 ) ∈ I × D considerǎm soluţia neprelungibilǎ X = X(t; t0 , X 0 )
a problemei cu date iniţiale
X(t0 ) = X 0
Ẋ = F (t, X);
(4.12)
şi notǎm cu I0 = (α0 , β0 ) ⊂ I intervalul de definiţie al acestei soluţii.
O primǎ metodǎ de determinare numericǎ localǎ a soluţiei neprelungibile
X = X(t; t0 , X 0 ) este cea a liniilor poligonale a lui Euler. În cele ce urmeazǎ
vom prezenta aceastǎ metodǎ.
Considerǎm douǎ constante pozitive a şi b, a > 0, b > 0 astfel ca cilindrul
∆ = {(t, X)| |t − t0 | ≤ a şi kX − X 0 k ≤ b}
sǎ fie inclus ı̂n domeniul Ω = I × D; ∆ ⊂ I × D.
Notǎm cu M maximul funcţiei F pe cilindrul compact ∆ :
M = max kF (t, X)k
(t,X)∈∆
b
cu α numǎrul pozitiv α = min a,
M
şi cu Iα intervalul
Iα = [t0 − α, t0 + α].
Considerǎm un numǎr real şi pozitiv ε > 0 şi alegem δ = δ(ε) astfel ca pentru
orice (t′ , X ′), (t′′ , X ′′ ) ∈ ∆ care verificǎ inegalitǎţile:
|t′ − t′′ | < δ(ε) şi kX ′ − X ′′ k < δ(ε)
sǎ avem kF (T ′, X ′ ) − F (t′′ , X ′′ )k < ε.
132
CAPITOLUL 4
Funcţia F = F (t, X) este uniform continuǎ pe cilindrul compact ∆ şi, de
aceea, pentru orice ε > 0, alegerea unui δ(ε) > 0 cu proprietatea menţionatǎ
este posibilǎ.
Considerǎm acum un numǎr pozitiv h > 0 pe care-l vom numi pas şi pe
δ
care ı̂l alegem astfel ı̂ncât sǎ satisfacǎ inegalitatea 0 < h <
. Fie q numǎrul
M
natural cu proprietatea:
tq = t0 + q · h ≤ t0 + α şi tq+1 = t0 + (q + 1) · h > t0 + α.
Pentru i = 1, q considerǎm numerele ti = t0 + ih şi t−i = t0 − ih. Aceste
numere definesc o diviziune a segmentului Iα .
t0 − α ≤ t−q < t−q+1 < · · · < t−1 < t0 < t1 < · · · < tq−1 < tq ≤ t0 + α.
Pe intervalul [t0 , t1 ] definim funcţia X 1 = X 1 (t) cu formula
X 1 (t) = X 0 + (t − t0 ) · F (t0 , X 0 )
iar pe intervalul [t−1 , t0 ] funcţia X −1 = X −1 (t) datǎ de:
X −1 (t) = X 0 + (t − t0 ) · F (t0 , X 0 ).
Aceste funcţii verificǎ urmǎtoarele inegalitǎţi:
kX 1 (t) − X 0 k ≤ b
şi kẊ 1 (t) − F (t, X 1 (t))k < ε,
(∀) t ∈ [t0 , t1 ]
kX −1 (t) − X 0 k ≤ b şi kẊ −1 (t) − F (t, X −1 (t))k < ε, (∀) t ∈ [t1 , t0 ].
În continuare, pe intervalul [t1 , t2 ] definim funcţia X 2 = X 2 (t) cu formula
X 2 (t) = X 1 (t1 ) + (t − t1 ) · F (t1 , X 1 (t1 )).
şi pe intervalul [t−2 , t−1 ] funcţia X −2 = X −2 (t) cu formula
X −2 (t) = X −1 (t−1 ) + (t − t1 ) · F (t−1 , X −1 (t−1 )).
Funcţiile X 2 (t) şi X −2 (t) definite ı̂n acest fel verificǎ urmǎtoarele inegalitǎţi:
kX 2 (t) − X 0 k ≤ b
şi kẊ 2 (t) − F (t, X 2 (t))k < ε,
(∀) t ∈ [t1 , t2 ]
kX −2 (t) − X 0 k ≤ b şi kẊ −2 (t) − F (t, X −2 (t))k < ε, (∀) t ∈ [t−2 , t−1 ]
133
Metode numerice
Sǎ presupunem cǎ ı̂n acest fel am ajuns sǎ construim funcţiile
X = X j (t), respectiv X −j = X −j (t) definite pe intervalul [tj−1 , tj ], respectiv
[t−j , t−j+1] pentru j = 1, j0 , (j0 ≤ q − 1) şi ele verificǎ inegalitǎţile:
j
kX j (t)−X 0 k ≤ b
şi kẊ j (t)−F (t, X j (t))k < ε,
(∀) t ∈ [tj−1 , tj ]
kX−j (t)−X 0 k ≤ b şi kẊ−j (t)−F (t, X−j (t))k < ε, (∀) t ∈ [t−j , t−j+1 ]
Definind ı̂n continuare funcţiile X j0 +1 (t), respectiv X −j0 −1 (t) pe intervalul
[tj0 , tj0 +1 ], respectiv [t−j0 −1 , t−j0 ] cu formulele:
X j0 +1 (t) = X j0 (tj0 ) + (t − tj0 ) · F (tj0 , X j0 (tj0 ))
X −j0−1 (t) = X −j0 (t−j0 ) + (t − t−j0 ) · F (t−j0 , X −j0 (t−j0 ))
putem obţine uşor cǎ acestea verificǎ inegalitǎţile:
kX j0 +1 (t) − X 0 k ≤ b
şi
kẊ j0 +1 (t) − F (t, X j0+1 (t)k < ε,
(∀) t ∈ [tj0 , tj0 +1 ]
kX −j0 −1 (t) − X 0 k ≤ b şi kẊ −j0 −1 (t) − F (t, X −j0−1 (t)k < ε,
(∀) t ∈ [t−j0 −1 , t−j0 ].
Se obţine ı̂n acest fel cǎ pentru orice i = 1, q, formulele:
X i (t) = X i−1 (ti−1 ) +(t − ti−1 ) · F (ti−1 , X i−1 (ti−1 )),
(∀)t ∈ [ti−1 , ti ]
X −i (t) = X −i+1 (t−i+1 ) +(t − t−i+1 ) · F (t−i+1 , X −i+1 (t−i+1 )),
definesc funcţii care verificǎ inegalitǎţile:
kX i (t)−X 0 k ≤ b
(∀)t ∈ [t−i , t−i+1 ]
şi kẊ i(t)−F (t, X i(t))k < ε,
(∀) t ∈ [ti−1 , ti ]
kX−i (t)−X 0 k ≤ b şi kẊ−i (t)−F (t, X−i(t))k < ε, (∀) t ∈ [t−i , t−i+1 ]
Considerǎm acum funcţia X ε (t) definitǎ pentru t ∈ Iα ı̂n modul urmǎtor:
X (t) = X i (t) dacǎ t ∈ [ti−1 , ti ]
ε
134
CAPITOLUL 4
X ε (t) = X −i(t) dacǎ t ∈ [t−i , t−i+1 ]
X ε (t) = X q (tq ) + (t − tq ) · F (tq , X q (tq )) dacǎ t ∈ [tq , t0 + α]
X ε (t) = X −q (t−q ) + (t − t−q ) · F (t−q , X −q (t−q )) dacǎ t ∈ [t0 − α, t−q ]
Funcţia X ε (t) definitǎ ı̂n acest fel este continuǎ pe intervalul Iα , este derivabilǎ pe acest interval cu excepţia eventualǎ a punctelor {ti }i=1,q şi {t−i }i=1,q
şi verificǎ:
kX ε (t) − X 0 k ≤ b şi kẊ ε (t) − F (t, X ε (t))k < ε,
Dacǎ definim funcţia θε (t) prin:
t ∈ Iα .
θε (t) = Ẋ ε (t) − F (t, X ε (t)) pentru t 6= ti , t−i i = 1, q şi
θε (t) = 0
pentru t = ti sau t−i i = 1, q,
atunci avem:
ε
0
X (t) = X +
Zt
F (τ, Xτε ))dτ
t0
+
Z
t
θε (τ )dτ,
t0
pentru orice t ∈ Iα cu kθε (t)k < ε pentru orice t ∈ Iα .
Inegalitatea kX ε (t) − X 0 k ≤ b, adevǎratǎ pentru orice t ∈ Iα , aratǎ cǎ
kX (t)k ≤ b + kX 0 k, (∀) t ∈ Iα . Rezultǎ astfel cǎ familia de funcţii
{X ε (t)}ε>0 este egal mǎrginitǎ pe Iα = [t0 − α, t0 + α].
Egalitatea:
ε
ε
0
X (t) = X +
Zt
ε
F (τ, X (τ ))dτ +
t0
Zt
θε (τ )dτ,
(∀) t ∈ Iα
t0
ı̂mpreunǎ cu inegalitatea:
kθε (τ )k < ε. (∀) τ ∈ Iα
implicǎ:
ε
ε
kX (t1 ) − X (t2 )k ≤
Zt2
t1
ε
kF (τ, X (τ ))kdτ +
Zt2
kθε (τ )kdτ ≤
t1
≤ M|t2 − t1 | + ε|t2 − t1 | ≤ (M + ε)|t2 − t1 |
135
Metode numerice
ceea ce demonstreazǎ cǎ funcţiile X ε (t) sunt echicontinue pe Iα .
Cu teorema lui Arzela-Ascoli rezultǎ cǎ existǎ un şir εn → 0, astfel ca
şirul {X εn }εn sǎ fie uniform convergent pe intervalul Iα la o funcţie continuǎ
X pe intervalul Iα , şi aceasta satisface kX(t) − X 0 k ≤ b, pentru orice t ∈ Iα .
Continuitatea uniformǎ a funcţiei F pe cilindrul ∆ şi convergenţa uniformǎ a şirului de funcţii X εn la funcţia X asigurǎ convergenţa uniformǎ a
şirului de funcţii F (τ, X εn (τ )) la funcţia F (τ, X(τ )) pe intervalul Iα .
Trecem la limitǎ ı̂n egalitatea:
εn
0
X (t) = X +
Zt
εn
F (τ, X (τ ))dτ +
t0
Zt
θεn (τ )dτ
t0
şi obţinem cǎ funcţia X(t) verificǎ
X(t) = X 0 +
Zt
F (τ, X(τ ))dτ,
t0
(∀) t ∈ Iα .
Aceasta demonstreazǎ cǎ limita X = X(t) este soluţia problemei cu date
iniţiale
Ẋ = F (t, X), X(t0 ) = X 0 .
Din teorema de unicitate rezultǎ cǎ funcţia X(t) coincide cu soluţia saturatǎ X(t; t0 , X0 ) pe intervalul Iα :
X(t) = X(t; t0 , X 0),
(∀) t ∈ Iα .
Se obţine ı̂n acest fel cǎ funcţia X ε (t) aproximeazǎ soluţia
neprelungibilǎ X(t; t0 , X 0) pe intervalul Iα .
Valorile funcţiei X ε (t) ı̂n punctele ti se obţin cu formula de recurenţǎ:
X ε (ti ) = X ε (ti−1 ) + h · F (ti−1 , X ε (ti−1 )), i = 1, q
iar ı̂n punctele t−i cu formula de recurenţǎ:
X ε (t−i ) = X ε (t−i+1 ) − h · F (t−i+1 , X ε (t−i+1 )), i = 1, q
ε
Aceste proceduri de trecere de la (ti−1 , Xi−1
) la (ti , Xiε ) ori de la
ε
ε
(t−i+1 , X−i+1) la (t−i , X−i) sunt uşor de programat.
136
CAPITOLUL 4
Pentru exemplificare, utilizând procedura de iteraţie Euler:
ti+1 = ti + h
X i+1 = X i + h · mE
cu
mE = F (ti , Xi ),
vom determina soluţia numericǎ pentru o ecuaţie diferenţialǎ şi respectiv
pentru un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi.
Astfel, vom considera ecuaţia liniarǎ:
ẋ = −x + 2et
(4.13)
a cǎrei soluţie a fost deja determinatǎ prin calcul simbolic ı̂n Capitolul 2:
x(t) = et + e−t .
Programând ı̂n Maple şi utilizând procedura de iteraţie Euler se obţine:
>
h:=0.1: n:=10:
f:=(t,x)->-x(t)+2*exp(t):
>
t:=(n,h)->n*h:
>
x:=proc(n,h);
>
if n=0 then x(0) else
x(n-1,h)+h*f(t(n-1,h),x(n-1,h)) end if;
>
end proc:
>
x(0):=2:
>
x(t):=[seq(x(i,h),i=0..n)];
x (t) := [2, 2.0, 2.021034184, 2.063211317, 2.126861947,
2.212540692, 2.321030877, 2.453351549,
2.610766936, 2.794798428, 3.007239207]
>
t:=[seq(t(i,h),i=0..n)];
t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]
>
137
Metode numerice
Pentru a compara valorile numerice ale soluţiei date de procedura
de iteraţie Euler cu cele obţinute prin calcul simbolic, vom calcula soluţia
(obţinutǎ ı̂n Capitolul 2) ı̂n diferite puncte:
>
>
sol_x(t):=exp(t)+exp(-t):
eval(sol_x(t),t=0);
eval(sol_x(t),t=0.1); eval(sol_x(t),t=0.2);
eval(sol_x(t),t=0.3);eval(sol_x(t),t=0.9);
2
2.010008336
2.040133511
2.090677029
2.866172771
Se observǎ cǎ rezultatele obţinute prin calcul numeric cu procedura de
iteraţie Euler sunt apropiate de cele obţinute prin calcul simbolic doar pentru
valori ale lui t apropiate de condiţia iniţialǎ (zero) aceasta ı̂ntrucât domeniul
de convergenţǎ este mic. În concluzie, metoda liniilor poligonale a lui Euler
ne dǎ o bunǎ aproximare a soluţiei doar pe intervale mici.
În continuare, vom prezenta un alt exemplu ı̂n care vom determina numeric (utilizând procedura de iteraţie Euler) soluţia sistemului de ecuaţii
diferenţiale:

 x˙1 = −x1 + 8x2
(4.14)

x˙2 = x1 + x2
soluţie care a fost deja determinatǎ prin calcul simbolic ı̂n Capitolul 4:
5 3t
·e −
3
5
x2 (t) := · e3t +
6
x1 (t) :=
Programând ı̂n Maple se obţine:
2 −3t
·e ,
3
1 −3t
·e .
6
138
CAPITOLUL 4
>
h:=0.1: n:=10:
f1:=(t,x1,x2)->-x1(t)+8*x2(t):
>
t:=(n,h)->n*h:
>
x1:=proc(n,h);
>
if n=0 then x1(0) else
x1(n-1,h)+h*f1(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h))end if;
>
end proc:
>
x2:=proc(n,h)
>
if n=0 then x2(0)else
x2(n-1,h)+h*f2(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h))end if;
>
end proc:
>
x1(0):=1:
>
x1(t):=[seq(x1(i,h),i=0..n)];
>
f2:=(t,x1,x2)->x1(t)+x2(t):
x2(0):=1:
x1 (t) := [1, 1.7, 2.49, 3.433, 4.6001, 6.07617, 7.966249,
10.4031833, 13.55708001, 17.64726322, 22.95758363]
>
x2(t):=[seq(x2(i,h),i=0..n)];
x2 (t) := [1, 1.2, 1.49, 1.888, 2.4201, 3.12212, 4.041949,
5.2427688, 6.80736401, 8.843808412, 11.49291558]
>
t:=[seq(t(i,h),i=0..n)];
t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]
Pentru a compara valorile numerice ale soluţiei cu cele obţinute
prin calcul simbolic, vom calcula valorile soluţiei obţinute ı̂n Capitolul 4
ı̂n câteva puncte:
>
sol_x1:=5/3*exp(3*t)-2/3*exp(-3*t):
>
sol_x2:=5/6*exp(3*t)+1/6*exp(-3*t):
>
eval(sol_x1(t),t=0);
eval(sol_x1(t),t=0.1);eval(sol_x1(t),t=0.2);
Metode numerice
>
139
1
1.755885866
2.670990243
3.828292078
24.75474919
eval(sol_x2(t),t=0.1); eval(sol_x2(t),t=0.2);
1
1.248352044
1.609900939
2.117430869
12.41097735
Şi ı̂n acest caz se observǎ cǎ, rezultatele obţinute numeric cu procedura
de iteraţie Euler sunt apropiate de cele obţinute prin calcul simbolic doar pe
un interval mic. Deci, şi ı̂n cazul sistemelor de ecuaţii diferenţiale, metoda
liniilor poligonale a lui Euler ne dǎ o bunǎ aproximare a soluţiei doar pe
intervale mici.
4.4.2
Metoda Runge-Kutta de determinare numericǎ
a unei soluţii neprelungibile ı̂n cazul sistemelor
diferenţiale de ordinul ı̂ntâi
Cea mai rǎspânditǎ metodǎ de determinare numericǎ a unei soluţii
neprelungibile este metoda lui Runge-Kutta. Ea a fost pusǎ la punct la
sfârşitul sec. al XIX-lea de matematicienii germani C. Runge şi W. Kutta.
În esenţǎ, este tot o aproximare a soluţiei neprelungibile cu linii poligonale.
Convergenţa cǎtre soluţia saturatǎ este ı̂nsǎ mult mai rapidǎ decât ı̂n cazul
liniilor poligonale a lui Euler. Aceasta datoritǎ modului de alegere a ”pantei”.
În practicǎ, sunt folosite câteva forme particulare ale acestei metode: metoda
Runge-Kutta de ordinul al doilea rk2, al treilea rk3, al patrulea (standard)
140
CAPITOLUL 4
rk4 şi repectiv cea de ordinul al cincilea Fehlberg-Runge-Kutta rkf 45.
Fǎrǎ a intra ı̂n detalii privitoare la convergenţǎ, redǎm aici procedura de
iteraţie a metodei Runge-Kutta standard rk4:
ti+1 = ti + h
X i+1 = X i + h · mR−K
unde
1
mR−K = (m1 + 2m2 + 2m3 + m4 )
6
m1
= F (ti , X i)
m2
= F (ti + h/2, X i + h/2 · m1 )
m3
= F (ti + h/2, X i + h/2 · m2 )
m4
= F (ti + h, X i + h · m3 ).
Aceastǎ procedurǎ de trecere de la (ti , X i ) la (ti+1 , X i+1 ) este uşor de
programat.
Pentru exemplificare vom considera aceleaşi exemple ca şi in cazul metodei
Euler, dupǎ care vom compara rezultatele numerice obţinute.
Programând ı̂n Maple procedura de iteraţie Runge-Kutta standard rk4
corespunzǎtoare ecuaţiei diferenţiale (4.13) obţinem:
>
>
>
>
>
h:=0.1: n:=10:
f:=(t,x)->-x(t)+2*exp(t):
t:=(n,h)->n*h:
x:=proc(n,h) local k1,k2,k3,k4;
if n=0 then x(0) else
k1:=f(t(n-1,h),x(n-1,h));
k2:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k1/2);
k3:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k2/2);
k4:=f(t(n-1,h)+h/2,x(n-1,h)+h*k3);
x(n-1,h)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)
Metode numerice
141
>
end if;
>
end proc:
>
x(0):=2:
>
x(t):=[seq(x(i,h),i=0..n)];
x (t) := [2, 2.008211921, 2.036522685, 2.085215637, 2.154778115,
2.245906324, 2.359512308, 2.496733074, 2.658941974,
2.847762451, 3.065084284]
>
t:=[seq(t(i,h),i=0..n)];
t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]
>
sol_x(t):=exp(t)+exp(-t):
>
eval(sol_x(t),t=0);
2
2.010008336
2.040133511
2.090677029
2.866172771
Comparând aceste rezultate numerice cu cele obţinute cu metoda Euler şi apoi cu cele obţinute prin calculul simbolic (din paragraful precedent),
observǎm cǎ metoda lui Runge-Kutta are domeniul de convergenţǎ ı̂ntreg
intervalul considerat, soluţiile obţinute prin rk4 fiind foarte apropiate de cele
obţinute prin calcul simbolic.
Programând ı̂n Maple procedura de iteraţie Runge-Kutta standard
rk4 corespunzǎtoare sistemului de ecuaţii diferenţiale (4.14) obţinem:
>
h:=0.1: n:=10:
f1:=(t,x1,x2)->-x1(t)+8*x2(t):f2:=(t,x1,x2)->x1(t)+x2(t):
>
t:=(n,h)->n*h:
>
x1:=proc(n,h) local k1,k2,k3,k4;
>
k1:=f1(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h));
k2:=f1(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*k1/2,x2(n-1,h)+h*k1/2);
>
142
CAPITOLUL 4
k3:=f1(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*k2/2,x2(n-1,h)+h*k2/2);
k4:=f1(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*k3,x2(n-1,h)+h*k3);
x1(n-1,h)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)
>
end if;
>
end proc:
>
x2:=proc(n,h) local m1,m2,m3,m4;
>
m1:=f2(t(n-1,h),x1(n-1,h),x2(n-1,h));
m2:=f2(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*m1/2,x2(n-1,h)+h*m1/2);
m3:=f2(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*m2/2,x2(n-1,h)+h*m2/2);
m4:=f2(t(n-1,h)+h/2,x1(n-1,h)+h*m3,x2(n-1,h)+h*m3);
x2(n-1,h)+h/6*(m1+2*m2+2*m3+m4)
>
end if;
>
end proc:
>
x1(0):=1:
>
x1(t):=[seq(x1(i,h),i=0..n)];
x1 (t) := [1., 1.75588586516103406, 2.67099024240189342,
3.82829207712650410, 5.33273206041661840,
7.32072833903442266, 9.97254650756094564,
13.5286455567960680, 18.3114819804437801,
24.7547491716790910, 33.4427034511831920]
>
x2(t):=[seq(x2(i,h),i=0..n)];
x2 (t) := [1., 1.24835204296884550, 1.60990093931829237,
2.11743086851170714, 2.81696313624160988,
3.77192924966291354, 5.06892269795481632,
6.82555099257945131, 9.20109996691309817,
12.4109773422481773, 16.7462452598074308]
>
t:=[seq(t(i,h),i=0..n)];
x2(0):=1:
t := [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0]
>
sol_x1:=5/3*exp(3*t)-2/3*exp(-3*t):
>
sol_x2:=5/6*exp(3*t)+1/6*exp(-3*t):
>
143
Metode numerice
1
1.755885866
2.670990243
3.828292078
24.75474919
>
1
1.248352044
1.609900939
2.117430869
12.41097735
Şi ı̂n cazul sistemului considerat se observǎ o bunǎ convergenţa a metodei
Runge-Kutta rk4.
4.4.3
Calculul numeric al soluţiilor unor ecuaţii
diferenţiale şi sisteme de ecuaţii diferenţiale
În aceastǎ secţiune, utilizând metodele de calcul numeric pe care ni
le oferǎ programul Maple − ı̂n care sunt incluse programele procedurilor
de iteraţie Euler sau Runge-Kutta, vom determina soluţiile unor ecuaţii
diferenţiale şi respectiv sisteme de ecuaţii diferenţiale, dupǎ care, vom reprezenta grafic aceste soluţii.
Primul exemplu se referǎ la ecuaţia diferenţialǎ neliniarǎ de ordinul al
treilea cu coeficienţi variabili:
...
t2 x + 5tẍ + 4ẋ = ln x, x > 0;
>
eq3:=t^2*diff(x(t),t,t,t)+5*t*diff(x(t),t,t)+4*diff(x(t),t)
=ln(x(t));
3
>
(4.15)
2
eq3 := t2 dtd 3 x (t) + 5 t dtd 2 x (t) + 4 dtd x (t) = ln (x (t))
dsolve({eq3,x(2)=2,D(x)(2)=1/2,(D@@2)(x)(2)=3});
Deoarece Maple nu afişeazǎ nimic ı̂nseamnǎ cǎ este incapabil de a gǎsi
o soluţie utilizând calculul simbolic; mai precis, nu poate exprima soluţia
144
CAPITOLUL 4
problemei cu date iniţiale folosind funcţii elementare. În acest caz, vom
rezolva numeric aceastǎ ecuaţie folosind o sintaxǎ dsolve care sǎ permitǎ
rezolvarea ecuaţiei printr-una din metodele numerice clasice: metoda linilor
poligonale a lui Euler, metoda Runge-Kutta de ordin doi, trei sau patru, etc.
Noua sintaxǎ dsolve/numeric/classical (numerical solution of ordinary
differential equations), specificǎ calculului numeric, are una din urmǎtoarele
forme:
dsolve(odesys, numeric, method=classical);
dsolve(odesys, numeric, method=classical[choice], vars, options);
ı̂n care:
odesys
numeric
method = classical
vars
options
- ecuaţia sau lista de ecuaţii şi condiţiile iniţiale
- nume care indicǎ lui dsolve sǎ rezolve prin
metode numerice
- opţionalǎ, se indicǎ numele metodei numerice:
impoly pentru metoda liniilor poligonale
a lui Euler; rk2, rk3, rk4 pentru metoda
lui Runge-Kutta de ordin doi, trei, patru,etc.
- lista de variabile dependente (opţionalǎ)
- diferite opţiuni: output-ul care dorim s,a se
afişeze, numǎrul de puncte, etc.
Dacǎ nu folosim opţiunea ı̂n care sǎ specifiǎm o metodǎ numericǎ atunci, calculatorul va alege metoda Fehlberg-Runge-Kutta de ordinul cinci
(method=rkf45 ) − metodǎ cu cea mai rapidǎ convergenţǎ.
Ecuaţia (4.16) se rezolvǎ numeric cu metoda rk4 astfel:
>
a:=dsolve({eq3,x(2)=2,D(x)(2)=1/2,(D@@2)(x)(2)=3},numeric,
method=classical[rk4],output=listprocedure):
>
sol_x := subs(a,x(t)):
>
sol_x(0.2);sol_x(0.4);sol_x(1);sol_x(2);
sol_x(5);sol_x(8);sol_x(10);sol_x(30);
145
Metode numerice
178.442355332346864
52.2875370423634607
6.30572074481224831
2.0
6.08914601990852234
9.31175162767340581
11.0536870708637434
25.1681506399649386
Prin instrucţiunea dsolve/numeric/classical, Maple a calculat valorile
numerice ale soluţiei ecuaţiei considerate ı̂n punctele domeniului de defniţie.
Pentru afişarea valorilor soluţiei x(t) ı̂n t = 0.2, 0.4, 1, 2, 5, 8, 10, 30 s-a folosit
funcţia subs.
Pentru reprezentarea graficǎ a soluţiei ecuaţiei diferenţiale rezolvatǎ numeric se utilizeazǎ o funcţie de plotare specificǎ metodelor numerice, care
are urmǎtoarea sintaxǎ:
odeplot(dsn, vars, range, options);
ı̂n care:
dsn
vars
range
options
-
numele output-ului ecuaţiei rezolvatǎ numeric
variabila independentǎ şi funcţia care se ploteazǎ (opţional)
opţional
numǎrul de puncte, diferite modalitǎţi de afişare a soluţiei.
Folosind aceastǎ instrucţiune de plotare pentru reprezentarea graficǎ
(Figura 18) a soluţiei ecuaţiei (4.16) se obţine:
>
with(plots):odeplot(sol_x,t=0.2..30,numpoints=100);
146
CAPITOLUL 4
Figura 18
Al doilea exemplu este ecuaţia diferenţialǎ liniarǎ de ordinul al doilea:
d2 i
di
1
L· 2 +R·
+ i = −E0 · ω · sin ωt,
(4.16)
dt
dt C
a cǎrei soluţie i(t) exprimǎ intensitatea curentului ı̂ntr-un circuit
R-L-C (vezi Capitolul 3). Considerând valori numerice pentru R, L, C, E0
şi reducând ecuaţia la un sistem de douǎ ecuaţii diferenţiale se obţine:
>
>
>
>
R:=2: C:=0.1: L:=1: E=10: ω:=Pi/4:
Eq:=L*diff(i(t),t,t)+R*diff(i(t),t)+(1/C)*i(t)=-E* ω *sin(t*ω):
sys_Eq1:=diff(x1(t),t)=x2(t):
sys_Eq2:=diff(x2(t),t)=-10*x1(t)-2*x2(t)-10*Pi/4*sin(t*Pi/4):
Pentru rezolvarea numericǎ a acestui sistem şi pentru vizualizarea soluţiilor
corespunzǎtoare la diferite condiţii iniţiale (Figura 19 şi Figura 20) se folosesc funcţiile:
with(DEtools) : DEplot
with(DEtools) : phaseportrait
with(DEtools) : DEplot3d
>
with(DEtools):DEplot({sys_Eq1,sys_Eq2},{x1(t),x2(t)},
t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0],[x1(0)=1,x2(0)=1],
[x1(0)=3,x2(0)=3]],scene=[t,x1(t)],method=classical[rk4]);
147
Metode numerice
>
Figura 19
with(DEtools):DEplot({sys_Eq1,sys_Eq2},{x1(t),x2(t)},
t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0],[x1(0)=1,x2(0)=1],
[x1(0)=3,x2(0)=3]],scene=[t,x2(t)],method=classical[rk4]);
Figura 20
În aceste figuri sunt reprezentate soluţiile (x1 (t), x2 (t)) pentru trei condiţii
iniţiale. Se observǎ cǎ, indiferent de condiţiile iniţiale, dupǎ un anumit
timp soluţia se stabilizeazǎ ı̂n jurul unei soluţii periodice. Acest fapt,
reiese şi din portretele de fazǎ care se obţin cu:
>
with(DEtools):phaseportrait([sys_Eq1,sys_Eq2],
[x1(t),x2(t)],t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0]],
scene=[x1(t),x2(t)],method=classical[rk4]);
148
>
CAPITOLUL 4
Figura 21
with(DEtools):phaseportrait([sys_Eq1,sys_Eq2],
[x1(t),x2(t)],t=0..15,[[x1(0)=1,x2(0)=1]],
scene=[x1(t),x2(t)],method=classical[rk4]);
Figura 22
Portretele de fazǎ (Figura 21 şi Figura 22) aratǎ faptul cǎ, soluţiile sistemului (intesitatea curentului şi variaţia acesteia) se stabilizeazǎ dupǎ un
anumit timp, tinzând cǎtre un ciclu limitǎ. Mai precis, folosind condiţii
iniţiale din interiorul sau exteriorul ciclului limitǎ soluţiile se stabilizeazǎ
ı̂n jurul unei soluţii periodice. Acelaşi fenomen de stabilizare se observǎ
şi din figura tri-dimensionalǎ (Figura 23):
>
with(DEtools):DEplot3d({sys_Eq1,sys_Eq2},
{x1(t),x2(t)},t=0..15,[[x1(0)=0,x2(0)=0]],
scene=[t,x1(t),x2(t)],method=classical[rk4]);
149
Metode numerice
Figura 23
Un alt exemplu este sistemul lui Lotka-Volterra de douǎ ecuaţii diferenţiale
neliniare care constituie un model matematic utilizat ı̂n biologie care descrie
evoluţia ı̂n timp a douǎ specii pradǎ-prǎdǎtor (de exemplu sardine-rechini):

 ẋ =

x(1 − y)
(4.17)
ẏ = 0.3 · y(x − 1),
unde x(t) reprezintǎ numǎrul sardinelor, iar y(t) numǎrul de rechini. Cu
instrucţiunile with(DEtools) : DEplot (Figura 24 şi Figura 25) şi respectiv with(DEtools) : DEplot3d (Figura 26) se obţine evoluţia ı̂n timp a
celor douǎ specii:
>
with(DEtools):DEplot({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),
diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)},{x(t),y(t)},
t=0..50,[[x(0)=0.8,y(0)=0.5]],scene=[t,x(t)],
linecolor=t/2,method=rkf45);
150
CAPITOLUL 4
Figura 24
>
>
with(DEtools):DEplot({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),
diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)},{x(t),y(t)},
t=0..50,[[x(0)=0.8,y(0)=0.5]],scene=[t,y(t)],
linecolor=t/2,method=rkf45);
Figura 25
with(DEtools):DEplot3d({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),
diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)},{x(t),y(t)},t=0..50,
[[x(0)=0.8,y(0)=0.5]],scene=[t,x(t),y(t)],
stepsize=.2,linecolor=t/2,method=rkf45);
151
Metode numerice
Figura 26
Portretul de fazǎ a evoluţiei celor douǎ specii este prezentatǎ ı̂n Figurile
27:
>
with(DEtools):DEplot([diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),
diff(y(t),t)=.3*y(t)*(x(t)-1)],[x(t),y(t)],t=0..13,
[[x(0)=1.2,y(0)=1.2],[x(0)=1,y(0)=.7],[x(0)=.8,y(0)=.5]],
stepsize=.2,title=‘Lotka-Volterra model‘,
color=[.3*y(t)*(x(t)-1),x(t)*(1-y(t)),.1],
linecolor=t/2,arrows=MEDIUM,method=rkf45);
152
CAPITOLUL 4
Figura 27
Acest sistem are soluţiile staţionare (0, 0), (1, 1) şi soluţii periodice (Figura
26). Interpretarea acestora este urmǎtoarea:
i) soluţia staţionarǎ (0, 0) reprezintǎ dispariţia ambelor specii;
ii) soluţia staţionarǎ (1, 1) reprezintǎ situaţia de echilibru (numǎrul de
sardine este egal cu numǎrul de rechini);
iii) soluţiile periodice care ı̂nconjoarǎ soluţia staţionarǎ (1, 1) reprezintǎ
variaţii ale numǎrului de sardine şi respectiv rechini ı̂ntre douǎ limite.
Aceste variaţii (creşteri sau descreşteri) descriu lipsa sau abundenţa
de hranǎ (sardine) care duce la micşorarea sau creşterea numǎrului de
prǎdǎtori (rechini).
Un alt portret de fazǎ interesant este

 ẋ =
ẏ =

ż =
al sistemului:
y−z
z·x
x − 2y,
(4.18)
153
Metode numerice
care aratǎ cǎ, din orice punct ar pleca soluţiile, toate vor evolua cǎtre
zero (Figura 28):
>
with(DEtools):phaseportrait([D(x)(t)=y(t)-z(t),
D(y)(t)=z(t)-x(t),D(z)(t)=x(t)-y(t)*2],[x(t),y(t),z(t)],
t=-10..50,[[x(0)=3,y(0)=3,z(0)=3]],stepsize=.05,
scene=[z(t),y(t)],linecolour=sin(t*Pi/2),
method=classical[rk4]);
Figura 28
154
4.5
CAPITOLUL 4
Integrale prime
Considerǎm sistemul de ecuaţii diferenţiale neliniare de ordinul ı̂ntâi explicit:

x˙1 = f1 (t, x1 , x2 , ..., xn )



x˙2 = f2 (t, x1 , x2 , ..., xn )
(4.19)
....................................



x˙n = fn (t, x1 , x2 , ..., xn )
ı̂n care funcţiile f1 , f2 , ..., fn sunt funcţii reale de clasǎ C 1 definite pe I × D;
I ⊂ IR1 , I - interval deschis şi D ⊂ IRn - domeniu.
Definiţia 4.5.1 Se numeşte integralǎ primǎ a sistemului (4.19) o funcţie
U : I × D → IR1 de clasǎ C 1 care nu este constantǎ, dar este constantǎ pe
soluţiile sistemului (4.19).
Teorema 4.5.1 Condiţia necesarǎ şi suficientǎ pentru ca o funcţie
U : I × D → IR1 de clasǎ C 1 neconstantǎ sǎ fie integralǎ primǎ este ca U
sǎ verifice:
n
∂U X ∂U
+
· fi = 0
∂t
∂x
i
i=1
(∀) (t, x1 , ..., xn ) ∈ I × D.
Demonstraţie: Fie (t0 , x01 , ..., x0n ) ∈ I×D şi x1 (t), ..., xn (t) soluţia sistemului
(4.19) care verificǎ xi (t0 ) = x0i , i = 1, n şi U(t, x1 (t), ..., xn (t)) o integralǎ
primǎ. Deoarece U(t, x1 (t), ..., xn (t)) este constantǎ, rezultǎ cǎ
dU
(t, x1 (t), ..., xn (t)) ≡ 0.
dt
De aici avem cǎ
n
X ∂U
∂U
(t,x1 (t), ..., xn (t)) +
(t, x1 (t), ..., xn (t))·fi(t, x1 (t), ..., xn (t)) = 0,
∂t
∂x
i
i=1
(∀) t ∈ I.
Pentru t = 0, rezultǎ de aici egalitatea:
n
X ∂U
∂U
(t0 , x01 , ..., x0n ) +
(t0 , x01 , ..., x0n ) · fi (t0 , x01 , ..., x0n ) = 0
∂t
∂x
i
i=1
155
Integrale prime
Întrucât (t0 , x01 , ..., x0n ) este un punct oarecare din mulţimea I × D rezultǎ
n
∂U X ∂U
+
· fi = 0, (∀)(t, x1 , ..., xn ) ∈ I × D.
∂t
∂t
i=1
Sǎ arǎtǎm acum implicaţia reciprocǎ, adica: dacǎU : I×D → IR1 este o funcţie
de clasǎ C 1 , care nu este constantǎ şi verificǎ
n
∂U X ∂U
+
· fi = 0
∂t
∂t
i=1
atunci U este constantǎ pe soluţiile sistemului (4.19).
În acest scop considerǎm o soluţie oarecare x1 (t), ..., xn (t) a
sistemului (4.19) şi funcţia ϕ(t) = U(t, x1 (t), ..., xn (t)). Pentru a arǎta cǎ
funcţia ϕ(t) este constantǎ calculǎm derivata ei şi gǎsim:
dϕ
∂U
=
(t, x1 (t), ..., xn (t)) +
dt
∂t
n
X
∂U
+
(t, x1 (t), ..., xn (t)) · fi (t, x1 (t), ..., xn (t)) = 0,
∂xi
i=1
(∀) t ∈ I.
Astfel, rezultǎ cǎ funcţia ϕ(t) este constantǎ.
Observaţia 4.5.1 Pentru ca o funcţie U : D → IR1 de clasǎ C 1 neconstantǎ
care nu depinde de t sǎ fie integralǎ primǎ este necesar şi suficient ca U sǎ
n
X
∂U
verifice
fi = 0.
∂xi
i=1
Definiţia 4.5.2 Sistemul (4.19) se zice autonom dacǎ funcţiile fi nu depind
de t; fi : D → IRn , fi = f˙i (x1 , x2 , ..., xn ), i = 1, n.
Observaţia 4.5.2 Problema determinǎrii mişcǎrii unui punct material de
masǎ m ı̂ntr-un câmp de forţe potenţial având potenţialul V , revine la determinarea soluţiilor sistemului canonic a lui Hamilton:

dxi
∂H


=

 dt
∂pi
(4.20)
i = 1, 2, 3



 dpi = − ∂H
dt
∂xi
156
CAPITOLUL 4
unde
H(x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 ) =
1 2
(p + p22 + p23 ) + V (x1 , x2 , x3 )
2m 1
este funcţia Hamilton asociatǎ punctului material.
Sistemul (4.20) este autonom, iar condiţia ca o funcţie U(x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 )
sǎ fie integralǎ primǎ pentru (4.20) este ca U sǎ verifice
3 X
∂U ∂H ∂U ∂H
·
−
·
= 0.
∂x
∂p
∂p
∂x
i
i
i
i
i=1
În particular, rezultǎ cǎ funcţia lui Hamilton este integralǎ primǎ pentru
sistemul canonic.
Revenim la cazul general al sistemelor autonome:

x˙1 = f1 (x1 , ..., xn )



x˙2 = f2 (x1 , ..., xn )
(4.21)
............................



x˙n = fn (x1 , ..., xn )
fi : D ⊂ IRn → IR1 , i = 1, n pentru care considerǎm integrale prime Uj ,
j = 1, m care nu depind de variabila independentǎ t; Uj = Uj (x1 , ..., xn ).
Definiţia 4.5.3 Un sistem de m ≤ n integrale
se zice independent dacǎ rangul matricei:

∂U1 ∂U1
∂U1
 ∂x1 ∂x2 ... ∂xn


 ∂U
∂U2
∂U2

2
...

 ∂x1 ∂x2
∂xn
 ..............................

 ∂Um ∂Um ∂Um
...
∂x1
∂x2
∂xn
este egal cu m.
prime ale sistemului (4.19)











În continuare vom arǎta importanţa integralelor prime.
Integrale prime
157
Teorema 4.5.2 Dacǎ se cunosc m < n integrale prime ale sistemului (4.19)
atunci problema determinǎrii soluţiilor sistemului (4.19) revine la problema
determinǎrii soluţiilor unui sistem de n − m ecuaţii diferenţiale de ordinul
ı̂ntâi.
Dacǎ se cunosc n integrale prime atunci problema determinǎrii soluţiilor
sistemului (4.19) revine la rezolvarea unui sistem de ecuaţii implicite.
Demonstraţie: Considerǎm la ı̂nceput m < n integrale prime U1 , ..., Um independente ale sistemului (4.19). Independenţa asigurǎ faptul cǎ din sistemul
de ecuaţii:

U1 (t, x1 , ..., xn ) − c1 = 0



U2 (t, x1 , ..., xn ) − c2 = 0
(4.22)
............................



Um (t, x1 , ..., xn ) − cm = 0
putem exprima m dintre necunoscutele x1 , ..., xn ı̂n funcţie de celelalte necunoscute, şi ı̂n funcţie de t şi de constantele c1 , ..., cm .
Pentru a face o alegere presupunem cǎ x1 , ..., xm se exprimǎ ı̂n funcţie de
t, xm+1 , ..., xn :

x1 = ϕ1 (t, xm+1 , ..., xn , c1 , ..., cm )



x2 = ϕ2 (t, xm+1 , ..., xn , c1 , ..., cm )
....................................................



xm = ϕm (t, xm+1 , ..., xn , c1 , ..., cm )
Dacǎ x1 (t), ..., xn (t) este o soluţie a sistemului (4.19), atunci avem:

x1 (t) = ϕ1 (t, xm+1 (t), ..., xn (t), c1 , ..., cm )



x2 (t) = ϕ2 (t, xm+1 (t), ..., xn (t), c1 , ..., cm )
..............................................................



xm (t) = ϕm (t, xm+1 (t), ..., xn (t), c1 , ..., cm )
Rezultǎ ı̂n acest fel cǎ primele m componente ale soluţiei x1 (t), ..., xm (t)
se construiesc cu restul componentelor xm+1 (t), ..., xn (t) şi a constantelor
c1 , ..., cm prin intermediul funcţiilor ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕm .
Prin ı̂nlocuire ı̂n sistemul (4.19) rezultǎ cǎ xm+1 (t), ..., xn (t) verificǎ urmǎtorul
sistem de ecuaţii diferenţiale:

dxm+1



 dt = fm+1 (t, ϕ1 (t, xm+1,...,xn , c1,...,cm ),...,ϕm (t, xm+1,...,xn , c1,...,cm ), xm+1,...,xn )
....................................................................................................................


dxn


= fn (t, ϕ1 (t, xm+1,...,xn , c1,...,cm ),...,ϕm (t, xm+1,...,xn , c1,...,cm ), xm+1,...,xn )
dt
158
CAPITOLUL 4
Astfel, rezultǎ cǎ funcţiile xm+1 , ..., xn verificǎ un sistem de n − m ecuaţii
diferenţiale de ordinul ı̂ntâi.
Dacǎ m = n atunci sistemul algebric (4.22) este
Uk (t, x1 , x2 , ..., xn ) − ck = 0, k = 1, n
din care obţinem:
xk = ϕ(t, c1 , ..., cm ) k = 1, n.
Imprecis, dar sugestiv putem spune, cu cât avem mai multe integrale
prime cu atât mai mult se reduce dimensiunea sistemului diferenţial. Dacǎ
m = n problema rezolvǎrii sistemului diferenţial se reduce la rezolvarea unui
sistem algebric.
Vom relua ı̂n continuare câteva exemple ı̂n cazul unei singure ecuaţii n = 1
când este nevoie doar de o singurǎ integralǎ primǎ.
Exemple:
1. Arǎtaţi cǎ dacǎ f : (a, b) → IR1 este funcţie continuǎ, atunci funcţia
Z t
U(t, x) = x −
f (τ )dτ
t∗
este integralǎ primǎ pentru ecuaţia diferenţialǎ ẋ = f (t). Deduceţi ı̂n
acest fel cǎ soluţiile acestei ecuaţii diferenţiale sunt soluţiile ecuaţiei
algebrice
Z
t
x−
t∗
f (τ )dτ − c = 0.
2. Arǎtaţi cǎ dacǎ g : (c, d) → IR1 este o funcţie continuǎ care nu se
anuleazǎ, atunci funcţia
Z x
du
U(t, x) = t −
x∗ g(u)
este integralǎ primǎ pentru ecuaţia diferenţialǎ ẋ = g(x).
Deduceţi astfel cǎ soluţiile acestei ecuaţii diferenţiale sunt soluţiile
ecuaţiei algebrice
Z x
du
t−
− c = 0.
x∗ g(u)
Integrale prime
159
3. Arǎtaţi cǎ dacǎ f : (a, b) → IR1 şi g : (c, d) → IR1 sunt funcţii continue
şi funcţia g nu se anuleazǎ, atunci funcţia
Z x
Z t
du
U(t, x) =
f (τ )dτ −
x∗ g(u)
t∗
este integralǎ primǎ pentru ecuaţia diferenţialǎ ẋ = f (t)·g(x). Deduceţi
de aici cǎ soluţiile acestei ecuaţii diferenţiale sunt soluţiile ecuaţiei algebrice.
Revenind la cazul general n > 1, problema naturalǎ care se pune este:
care este numǎrul maxim de integrale prime independente pentru sistemul
(4.19)?
Rǎspunsul la aceastǎ ı̂ntrebare este datǎ de urmǎtoarea teoremǎ.
Teorema 4.5.3 Pentru orice punct (t0 , x01 , ..., x0n ) ∈ I×D existǎ o vecinǎtate
deschisǎ V ⊂ I × D astfel ca pe V sistemul (4.19) are n integrale prime
independente şi orice integralǎ primǎ definitǎ pe V se exprimǎ ca funcţie de
cele n integrale prime independente.
Demonstraţie: Fie X(t; t0 , X 0 ) soluţia saturatǎ a sistemului (4.19) care
verificǎ X(t0 ) = X 0 şi I0 intervalul ei de definiţie. Considerǎm un interval
compact [T1 , T2 ] inclus ı̂n I0 care conţine punctul t0 ı̂n interior.
Conform teoremei de continuitate ı̂n raport cu condiţiile iniţiale existǎ o
vecinǎtate U0 a lui x0 = (x01 , ..., x0n ) astfel ı̂ncât pentru orice X ′ = (x1 ′ , ..., xn ′ ) ∈
U0 soluţia sistemului (4.19) care coincide cu X ′ ı̂n t = t0 este definitǎ pe
[T1 , T2 ]; notǎm cu X(t; t0 , X ′ ) aceastǎ soluţie saturatǎ.
ϕ
Funcţia (t, X ′ ) −→ X(t; t0 , X ′) este de clasǎ C 1 pe baza teoremei de
diferenţiabilitate ı̂n raport cu condiţiile iniţiale. Din aceeaşi teoremǎ rezultǎ
∂
ϕ
cǎ matricea
[X(t; t0 , X ′ )] este nesingularǎ şi prin urmare aplicaţia X ′ −→
′
∂X
X(t; t0 , X ′ ) este local inversabilǎ. Existǎ deci douǎ vecinǎtaţi deschise W1 , W2
ale punctului (t0 , X 0 ) şi o funcţie ψ de clasǎ C 1 , ψ : W2 → W1 cu proprietǎţile: ψ(t, X(t; t0 , X ′ )) ≡ (t, X ′ ) şi X(t; t0 , ψ(t, X ′′ )) ≡ X ′′ (∀) (t, X ′ ) ∈
W1 şi (t, X ′′ ) ∈ W2 .
Componentele scalare ψk ale funcţiei ψ rǎmân constante atunci când
x1 , ..., xn se ı̂nlocuieşte cu o soluţie a sistemului definitǎ ı̂n vecinǎtatea consideratǎ, deci ψksunt integrale prime. În plus ψ(t0 , X ′ ) = (t0 , X ′ ) de unde
∂ψk
= n. Adicǎ integrabile prime ψ1 , ..., ψn sunt inderezultǎ cǎ rang
∂x′r
pendente.
160
CAPITOLUL 4
Fie acum U o integralǎ primǎ oarecare a sistemului (4.1). Conform
definiţiei U(t, X(t; t0 , X ′)) nu depinde de t şi putem scrie
U(t, X(t; t0 , X ′)) = h(X ′ ).
Înlocuind X ′ cu ψ(t, X ′′ ) şi ţinând seama de egalitatea
X(t; t0 , ψ(t, X ′′ )) ≡ X ′′
obţinem:
U(t, X ′′ ) = h(ψ(t, X ′′ )).
Aceastǎ din urmǎ egalitate aratǎ cǎ integrala primǎ U este o funcţie h de
cele n integrale prime independente ψ1 , ..., ψn .
O metodǎ de determinare a integralelor prime este datǎ de ecuaţia:
n
∂U X ∂U
+
· fi = 0
∂t
∂x
i
i=1
În aceastǎ ecuaţie U este funcţie necunoscutǎ şi intervine ı̂n ecuaţie prin intermediul derivatelor parţiale de ordinul ı̂ntâi. De aceea ecuaţia aceasta se
numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi. Orice soluţie a acestei
ecuaţii este o integralǎ primǎ.
Observǎm cǎ dacǎ funcţiile µ0 , µ1 , ..., µn sunt astfel ca
µ0 +
n
X
1
µi · fi = 0
∂U
∂U
= µ0 şi
= µi , atunci funcţia U
∂t
∂xi
este integralǎ primǎ pentru sistemul (4.19).
şi existǎ o funcţie U cu proprietatea
161
Integrale prime
Exerciţii:
1. Fie sistemul de ecuaţii:

 x˙1 = x2

x˙2 = −x1
Sǎ se determine o integralǎ primǎ.


 µ0 = 0, µ1 = x1 , µ2 = x2
R:

 U(x1 , x2 ) = 1 (x2 + x2 )
2
2 1
2. În descrierea mişcǎrii solidului

 A · ṗ
B · q̇

C · ṙ
rigid intervine sistemul:
= (B − C)g · r
= (C − A)r · p
= (A − B)p · q
Sǎ se determine douǎ integrale prime pentru sistemul considerat.
R: U1 (p, q, r) = Ap2 + Bq 2 + cr 2 şi U2 (p, q, r) = A2 p2 + B 2 q 2 + C 2 r 2 .
3. Sǎ se determine douǎ integrale prime pentru sistemul:
dx
dy
dz
=−
=
x
2y
−z
√
R:U1 (x, y, z) = x y şi U2 (x, y, z) = xz.
a)
b)
dx
dy
dz
=
=
z−y
x−z
y−x
R: U1 (x, y, z) = x + y + z şi U2 (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
c)
dx
dy
dz
=
= 2
2
+ z)
−y (z + x)
z (y − x)
x2 (y
R: U1 (x, y, z) = xyz şi U2 (x, y, z) =
1 1 1
+ + .
x y z
162
CAPITOLUL 4
d)
dx
dy
dz
= 2 =
2
2
xy
xy
z(x + y 2)
R: U1 (x, y, z) = x2 − y 2 şi U2 (x, y, z) =
xy
.
z
Capitolul 5
Ecuaţii cu derivate parţiale de
ordinul ı̂ntâi
5.1
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi
liniare
Definiţia 5.1.1 O ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi liniarǎ este
o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma:
n
X
∂u
· fi (x0 , x1 , . . . , xn ) = 0
∂x
i
i=0
(5.1)
ı̂ntre derivatele parţiale de ordinul ı̂ntâi ale funcţiei necunoscute
u = u(x0 , x1 , . . . , xn ).
Funcţiile f0 , f1 , . . . , fn ı̂n ecuaţia (5.1) fi : Ω ⊂ IRn+1 → IR1 se considerǎ
cunoscute şi sunt presupuse funcţii de clasǎ C 1 pe Ω.
Definiţia 5.1.2 O soluţie a ecuaţiei (5.1) este o funcţie
u : Ω′ ⊂ Ω → IR1
de clasǎ C 1 astfel ı̂ncât ı̂n toate punctele (x0 , x1 , . . . , xn ) ∈ Ω sǎ avem verificatǎ identitatea:
n
X
∂u
(x0 , x1 , . . . , xn ) · fi (x0 , x1 , . . . , xn ) ≡ 0
∂xi
i=0
163
164
CAPITOLUL 5
Fie ξ = (ξ0 , ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Ω astfel ı̂ncât
n
X
i=0
fi2 (ξ0 , ξ1, . . . , ξn ) 6= 0.
Existenţa unui punct ξ ∈ Ω cu aceastǎ proprietate poate fi admisǎ pentru
cǎ, ı̂n caz contrar, toate funcţiile fi ar fi identic nule pe Ω de unde ar rezulta
cǎ ecuaţia (5.1) este verificatǎ, oricare ar fi funcţia u de clasǎ C 1 pe Ω.
Putem admite de asemenea cǎ f0 (ξ0 , ξ1 , . . . , ξn ) 6= 0. Aceasta ı̂ntrucât din
n
X
fi (ξ0 , ξ1, . . . , ξn ) 6= 0 rezultǎ cǎ existǎ i0 ∈ {0, 1, . . . , n} astfel ca
ipoteza
i=0
fi0 (ξ) 6= 0. Ceea ce presupunem noi ı̂n plus este faptul cǎ i0 = 0, adicǎ
f0 (ξ) 6= 0.
Dacǎ f0 (ξ) = 0, atunci se face raţionamentul pentru fi0 .
Revenim deci la f0 (ξ) 6= 0 şi deoarece f0 este continuǎ, existǎ o vecinǎtate
Vξ a punctului ξ astfel ca f0 (x) 6= 0 pentru orice x ∈ Vξ . Considerǎm acum
sistemul de ecuaţii diferenţiale:
ẋi = gi (t, x1 , . . . , xn ), i = 1, n
unde
gi (t, x1 , . . . , xn ) =
(5.2)
fi (t, x1 , . . . , xn )
f0 (t, x1 , . . . , xn )
t fiind componenta x0 a vectorului x = (x0 , x1 , . . . , xn ) ∈ Vξ , t = x0 . Sistemul
(5.2) este definit pentru (t, x1 , . . . , xn ) ∈ Vξ ,iar funcţiile gi sunt de clasǎ C 1
pe Vξ .
Teorema 5.1.1 Soluţiile ecuaţiei (5.1) definite pe Ve ⊂ Vξ sunt integrale
prime ale sistemului (5.2) şi reciproc.
Demonstraţie: Fie u : Ve → R1 o soluţie a ecuaţiei (5.1). Cu notaţiile
introduse avem:
∂u
(t, x1 , . . . , xn ) · f0 (t, x1 , . . . , xn )+
∂t
n
X
∂u
(t, x1 , . . . , xn ) · fk (t, x1 , . . . , xn ) ≡ 0
∂x
k
k=1
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi liniare
165
deci
n
X ∂u
fk (t, x1 , . . . , xn )
∂u
(t, x1 , . . . , xn ) +
(t, x1 , . . . , xn ) ·
≡0
∂t
∂xk
f0 (t, x1 , . . . , xn )
k=1
şi prin urmare:
n
X ∂u
∂u
(t, x1 , . . . , xn ) +
(t, x1 , . . . , xn ) · gk (t, x1 , . . . , xn ) ≡ 0
∂t
∂xk
k=1
ceea ce aratǎ cǎ u este integralǎ primǎ a sistemului (5.2).
Cu un raţionament asemǎnǎtor se aratǎ cǎ dacǎ u este integralǎ primǎ pentru
sistemul (5.2) atunci este soluţie pentru ecuaţia (5.1).
Prin urmare, problema determinǎrii soluţiilor ecuaţiei (5.1) revine la problema determinǎrii integralelor prime pentru sistemul (5.2).
Ţinând seama de cele demonstrate pentru integralele prime ale unui sistem,
rezultǎ cǎ soluţiile ecuaţiei cu derivate parţiale (5.1) au urmǎtoarele proprietǎţi:
i) oricare ar fi (x00 , x01 , . . . , x0n ) ∈ Ω, dacǎ f0 (x00 , x01 , . . . , x0n ) 6= 0, atunci
existǎ o vecinǎtate deschisǎ V ⊂ Ω a punctului (x00 , x01 , . . . , x0n ) şi n
funcţii u1 , . . . , un : V → R1 de clasǎ C 1 astfel ı̂ncât:
a) u1 , u2, . . . , un sunt soluţii ale ecuaţiei (5.1);
b) uk (x00 , x1 , . . . , xn ) = xk ;
∂uk
6= 0, k, l = 1, 2, . . . , n.
c) det
∂xl
ii) dacǎ u este o soluţie oarecare a ecuaţiei (5.1) definitǎ pe Ve ⊂ V ,
atunci existǎ o vecinǎtate deschisǎ D a lui (x01 , . . . , x0n ) şi o funcţie
γ : D ⊂ IRn → R1 astfel ca
u(x0 , x1 , . . . , xn ) =
= γ(u1(x0 , x1 , . . . , xn ), u2(x0 , x1 , . . . , xn ), . . . , un (x0 , x1 , . . . , xn )).
Definiţia 5.1.3 (Problema Cauchy pentru ecuaţia (5.1))
Se numeşte problemǎ Cauchy pentru ecuaţia (5.1) problema determinǎrii unei
soluţii u a ecuaţiei (5.1) astfel ca
u(x00 , x1 , . . . , xn ) = h(x1 , . . . , xn ), (∀)(x1 , . . . , xn ) ∈ D ′ ⊂ D,
unde x00 şi funcţia h : D ⊂ IRn → R1 de clasǎ C 1 sunt date; D fiind o
vecinǎtate deschisǎ a lui (x01 , . . . , x0n ).
166
CAPITOLUL 5
Teorema 5.1.2 Dacǎ ı̂n (x00 , x01 , . . . , x0n ) ∈ Ω avem
f0 (x00 , x01 , . . . , x0n ) 6= 0
atunci pentru h de clasǎ C 1 definitǎ ı̂ntr-o vecinǎtate deschisǎ D a lui (x01 , . . . , x0n )
problema Cauchy are soluţie unicǎ.
Demonstraţie: Considerǎm soluţiile u1 , u2, . . . , un ale ecuaţiei (5.1) definite
ı̂n vecinǎtatea deschisǎ V a lui (x00 , x01 , . . . , x0n ) cu proprietatea
uk (x00 , x1 , . . . , xn ) = xk ,
k = 1, . . . , n.
Existǎ o vecinǎtate Ve ⊂ V a lui (x00 , x01 , . . . , x0n ) astfel ca pentru
(x0 , x1 , . . . , xn ) ∈ Ve sǎ avem
(u1 (x0 , x1 , . . . , xn ), . . . , un (x0 , x1 , . . . , xn )) ∈ D.
Fie
u(x0 , x1 , . . . , xn ) = h(u1 (x0 , x1 , . . . , xn ), . . . , un (x0 , x1 , . . . , xn )).
Funcţia u(x0 , x1 , . . . , xn ) definitǎ astfel este de clasǎ C 1 şi verificǎ ecuaţia
(5.1):
n
n
n X
n
X
X
X
∂u
∂u
∂h ∂ul
∂h ∂ul
0
· f0 +
· fk =
·
· f0 +
·
· fk =
∂x0
∂xk
∂yl ∂x0
∂yl ∂xk
k=1
l=1
k=1 l=1
!
n
n
X
X
∂h ∂ul
∂ul
· f0 +
· fk = 0.
=
∂yl ∂x0
∂xk
l=1
k=1
În plus,
u(x00 , x1 , . . . , xn ) = h(u1 (x00 , x1 , . . . , xn ), . . . , un (x00 , x1 , . . . , xn )) =
= h(x1 , . . . , xn )
deci u este soluţia problemei Cauchy.
Pentru unicitate sǎ presupunem cǎ u
e este o altǎ soluţie a problemei Cauchy
e
definitǎ pe V . Rezultǎ cǎ existǎ γ astfel ca
u
e(x0 , x1 , . . . , xn ) = γ(u1 (x0 , x1 , . . . , xn ), . . . , un (x0 , x1 , . . . , xn )).
167
De aici rezultǎ cǎ
h(x1 , . . . , xn ) = u
e(x00 , x1 , . . . , xn ) = γ(x1 , . . . , xn );
şi deci u
e coincide cu u.
Dacǎ ı̂n punctul (x00 , x01 , . . . , x0n ) avem
fk (x00 , x01 , . . . , x0n ) 6= 0,
atunci se poate formula un rezultat analog pentru o funcţie h definitǎ pe o
vecinǎtate deschisǎ a punctului (x00 , x01 , . . . , x0k−1 , x0k+1 , . . . , x0n ).
Problema 5.1.1
O funcţie u = u(x1 , x2 , . . . , xn ) se zice funcţie omogenǎ de grad zero ı̂n sens
Euler dacǎ pentru orice λ ∈ IR1+ avem
u(λ · x1 , λ · x2 , . . . , λ · xn ) = u(x1 , x2 , . . . , xn ).
Arǎtaţi cǎ funcţia u = u(x1 , x2 , . . . , xn ) de clasǎ C 1 este omogenǎ de grad
zero ı̂n sens Euler dacǎ şi numai dacǎ existǎ γ = γ(ξ1 , ξ2 , . . . , ξn−1 ) astfel ca:
x1 x2
xn−1
u(x1 , x2 , . . . , xn ) = γ
, ,...,
.
xn xn
xn
Rezolvare: Din
u(λ · x1 , λ · x2 , . . . , λ · xn ) = u(x1 , x2 , . . . , xn )
rezultǎ cǎ
d
[u(λ · x1 , λ · x2 , . . . , λ · xn )] = 0 adicǎ:
dλ
∂u
x1
(λ · x1 , λ · x2 , . . . , λ · xn ) + . . . +
∂x1
∂u
(λ · x1 , λ · x2 , . . . , λ · xn ) = 0, (∀)λ > 0.
∂xn
Pentru λ = 1 rezultǎ:
∂u
∂u
x1
(x1 , x2 , . . . , xn ) + . . . + xn
(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, (∀)(x1 , x2 , . . . , xn ),
∂x1
∂xn
xn
de unde avem cǎ:
u(x1 , x2 , . . . , xn ) = γ
x1 x2
xn−1
, ,...,
xn xn
xn
.
168
CAPITOLUL 5
Exerciţii:
1. Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi liniare:
∂u
∂u
−x·
=0
∂x
∂y
a) y ·
R: u(x, y) = γ(x2 + y 2)
b) x ·
∂u
∂u
+y·
=0
∂x
∂y
R: u(x, y) = γ
c) x ·
y
x
∂u
∂u
∂u
− 2y ·
−z·
=0
∂x
∂y
∂z
√
R: u(x, y, z) = γ x y, xz
∂u p
∂u
∂u
∂u
2
d) xy ·
− 1−y y·
−z·
= xy ·
∂x
∂y
∂z
∂z
p
R: u(x, y, z) = γ 2yz + x( y + 1 − y 2 , x · earcsin y
2. Rezolvaţi urmǎtoarele probleme Cauchy:
a) x ·
∂u
∂u
+y·
= 0;
∂x
∂y
u(x, 1) = x
R: u(x, y) =
x
y
169
b)
√
x·
∂u √ ∂u √ ∂u
+ y·
+ z·
= 0;
∂x
∂y
∂z
u(1, y, z) = y − z
√
R: u(x, y, z) = y + z − 2 yz
c) (1 + x2 ) ·
∂u
∂u
+ xy ·
= 0;
∂x
∂y
u(0, y) = y 2
R: u(x, y) =
y2
1 + x2
170
5.2
CAPITOLUL 5
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi
cvasiliniare
Definiţia 5.2.1 O ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi cvasiliniarǎ
este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma:
n
X
∂u
· fi (x1 , . . . , xn , u) − g(x1 , . . . , xn , u) = 0
∂x
i
i=1
(5.3)
dintre funcţia necunoscutǎ u = u(x1 , . . . , xn ) şi derivatele parţiale
∂u
,i = 1, n ale acesteia.
∂xi
Funcţiile f1 , . . . , fn şi g ı̂n ecuaţia (5.3) se considerǎ date:
fi , g : Ω ⊂ IRn+1 −→ R1
şi sunt presupuse de clasǎ C 1 .
Ecuaţia (5.3) se numeşte cvasiliniarǎ pentru cǎ este liniarǎ ı̂n derivatele
∂u
parţiale
, dar nu este liniarǎ ı̂n general ı̂n u.
∂xk
Definiţia 5.2.2 O soluţie a ecuaţiei (5.3) este o funcţie:
u : D ⊂ Rn −→ R1
de clasǎ C 1 care are proprietatea cǎ pentru orice (x1 , . . . , xn ) ∈ D punctul
(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn )) ∈ Ω şi
n
X
∂u
(x1 , . . . , xn ) · fi (x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn ))−
∂xi
i=1
g(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn )) ≡ 0
ı̂n D.
Pentru determinarea soluţiilor ecuaţiei (5.3) considerǎm ecuaţia cu derivate
parţiale de ordinul ı̂ntâi liniarǎ:
n
X
∂v
∂v
· fi (x1 , . . . , xn , u) +
· g(x1 , . . . , xn , u) = 0
∂x
∂u
i
i=1
cu (x1 , . . . , xn , u) ∈ Ω
(5.4)
Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi cvasiliniare
171
Teorema 5.2.1 Dacǎ v este soluţie a ecuaţiei (5.4) defintǎ pe Ω′ ⊂ Ω, iar
(x01 , . . . , x0n , u0 ) ∈ Ω′ şi
∂v 0
(x1 , . . . , x0n , u0) 6= 0
∂u
atunci funcţia u = u(x1 , . . . , xn ) definitǎ implicit prin ecuaţia
v(x1 , . . . , xn , u) − v(x01 , . . . , x0n , u0) = 0
este o soluţie a ecuaţiei (5.3).
Demonstraţie: Fie u = u(x1 , . . . , xn ) funcţia definitǎ implicit prin ecuaţia
v(x1 , . . . , xn , u) − v(x01 , . . . , x0n , u0 ) = 0.
Avem:
v(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn )) − v(x01 , . . . , x0n , u0) ≡ 0
şi prin derivare ı̂n raport cu xk gǎsim:
∂v
(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn ))+
∂xk
∂v
∂u
(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn )) ·
(x1 , . . . , xn ) ≡ 0
∂u
∂xk
pentru k = 1, 2, . . . , n.
Înmulţind pe rând aceste egalitǎţi cu fk (x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn )) şi adunândule gǎsim:
n
X
∂v
(X, u(X)) · fk (X, u(X))+
∂x
k
k=1
n
X
∂u
∂v
(X, u(X)) ·
(X, u(X)) · fk (X, u(X)) ≡ 0
∂u
∂xk
k=1
unde X = (x1 , . . . , xn ).
Dar v fiind soluţie a ecuaţiei (5.4) are loc
n
X
∂v
(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn )) · fk (x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn ))+
∂x
k
k=1
172
CAPITOLUL 5
∂v
(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn )) · g(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn )) ≡ 0
∂u
şi prin urmare:
+
∂v
(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn )) · g(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn )) =
∂u
n
X
∂u
∂v
(x1 , ..., xn , u(x1 , ..., xn ))·
(x1 , ..., xn )·fk (x1 , ..., xn , u(x1 , ..., xn )).
∂u
∂x
k
k=1
∂v
(x1 , ..., xn , u(x1 , ..., xn )) 6= 0 deducem egaliŢinem seamǎ de faptul cǎ
∂u
tatea:
n
X
∂u
(x1 , ..., xn ) · fi (x1 , ..., xn , u(x1 , ..., xn )) = g(x1 , ..., xn , u(x1 , ..., xn )).
∂xk
k=1
Rezultǎ ı̂n acest fel cǎ funcţia u = u(x1 , . . . , xn ) este soluţie a ecuaţiei (5.3).
Teorema aratǎ cǎ rezolvarea ecuaţiilor cvasiliniare cu derivate parţiale de
ordinul ı̂ntâi se reduce la rezolvarea ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul
ı̂ntâi liniare.
Definiţia 5.2.3 Pentru (x01 , . . . , x0n ) ∈ Ω problema gǎsirii unei soluţii
u(x1 , . . . , xn ) a ecuaţiei (5.3) astfel ı̂ncât
u(x01 , x2 , . . . , xn ) = ξ(x2 , . . . , xn ),
ξ fiind o funcţie datǎ de clasǎ C 1 se numeşte problemǎ Cauchy pentru ecuaţia
(5.3).
Teorema 5.2.2 Dacǎ f1 (x01 , . . . , x0n , ξ(x02 , . . . , x0n )) 6= 0, atunci existǎ o
vecinǎtate deschisǎ V a punctului (x01 , . . . , x0n ) şi o soluţie u = u(x1 , ..., xn )
a ecuaţiei (5.3) definitǎ pe V astfel ı̂ncât
u(x01 , x2 , . . . , xn ) = ξ(x2 , . . . , xn ).
Demonstraţie: Existǎ n soluţii v1 , v2 , . . . , vn ale ecuaţiei (5.4) definite pe o
vecinǎtate a punctului (x01 , . . . , x0n , ξ(x02 , . . . , x0n )) astfel ı̂ncât
vk (x01 , x2 , . . . , xn , u) = xk+1 , k = 1, 2, . . . , n − 1
173
şi
vn (x01 , x2 , . . . , xn , u) = u.
Funcţia v definitǎ prin:
v(x1 , . . . , xn , u) = vn (x1 , . . . , xn , u)−
−ξ(v1 (x1 , . . . , xn , u), . . . , vn−1 (x1 , . . . , xn , u))
este soluţie a ecuaţiei (5.4) (este obţinutǎ ca funcţie de cele n integrale prime
independente) şi
v(x01 , x2 , . . . , xn , u) = u − ξ(x2 , . . . , xn ).
Din teorema funcţiilor implicite rezultǎ cǎ existǎ o vecinǎtate V a punctului
(x01 , . . . , x0n ) şi o funcţie u = u(x1 , . . . , xn ) de clasǎ C 1 definitǎ pe aceastǎ
vecinǎtate astfel ı̂ncât
v(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn )) ≡ 0.
Deoarece
∂v
(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn )) 6= 0
∂u
din teorema precedentǎ rezultǎ cǎ u = u(x1 , . . . , xn ) este soluţie a ecuaţiei
(5.3).
Avem:
v(x1 , . . . , xn , u(x1 , . . . , xn ))−
−ξ(v1 (x1 , ..., xn , u(x1 , ..., xn )), . . . , vn−1 (x1 , ..., xn , u(x1 , ..., xn )) ≡ 0
deci ı̂n xi avem:
u(x01 , x2 , . . . , xn ) − ξ(x2 , . . . , xn ) ≡ 0.
Observaţia 5.2.1 O ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi de forma:
n
X
∂u
· fi = g
∂x
i
i=1
(5.5)
se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi liniarǎ şi neomogenǎ.
Aceastǎ denumire se datoreazǎ faptului cǎ pentru g = 0 ecuaţia (5.5) este o
ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi liniarǎ (şi omogenǎ). În ecuaţia
(5.5), funcţiile f1 , . . . , fn şi g sunt funcţii de clasǎ C 1 şi depind de variabilele
(x1 , . . . , xn ) ∈ Ω.
Ecuaţia (5.5) se rezolvǎ ca şi ecuaţiile cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi
cvasiliniare.
174
CAPITOLUL 5
Exerciţii:
1. Rezolvaţi urmǎtoarele ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi cvasiliniare:
a)
√
∂u
∂u
· (1 + u − x − y) +
=2
∂x
∂y
√
R: γ(u − 2y, y + 2 u − x − y) = 0
b)
n
X
i=1
xi ·
∂u
=m·u
∂xi
R: γ
c) xy ·
xn−1 u
x1 x2
,
, ...,
,
xn xn
xn xm
n
=0
∂u
∂u
− y2 ·
+ x(1 + x2 ) = 0
∂x
∂y
x2 x2
R: γ xy u +
+ , xy = 0
2
4
d) 2y 4 ·
√
∂u
∂u
− xy ·
= x u2 + 1
∂x
∂y
√
R: γ x2 + y 4 , y u + u2 + 1 = 0
2. Rezolvaţi urmǎtoarele probleme Cauchy:
a)
∂u ∂u
y−x
−
=
,
∂x ∂y
u
u(1, y) = y 2
R: u2 (x, y, z) = (x + y − 1)4 + 2xy − 2(x + y − 1)
∂u
∂u
3
b) xy ·
− y2 ·
= x, u(1, y) =
∂x
∂y
2y
R: u(x, y) =
x2 + 2
2xy
c) u ·
∂u
∂u
+ (u2 − x2 ) ·
+ x = 0,
∂x
∂y
u(x, x2 ) = 2x
R: y 2 + u2 (x, y) = 5 (x · u(x, y) − y)
175
176
CAPITOLUL 5
5.3
cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi
Pentru calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor cu derivate parţiale de
ordinul ı̂ntâi Maple foloseşte funcţia pdsolve (find solutions for partial
differential equations (PDEs) and systems of PDEs) cu una din urmǎtoarele
sintaxe :
pdsolve(PDE, f, INTEGRATE, build);
pdsolve(PDE system, funcs, other options);
ı̂n care:
P DE
f
INT EGRAT E
build
- ecuaţia cu derivate parţiale pe care dorim sǎ o rezolvǎm
- numele funcţiei necunoscute (implicǎ existenţa derivatelor
parţiale ale mai multor funcţii)
-(opţional) indicǎ integrarea automatǎ a ecuaţiilor
diferenţiale ordinare care intervin atunci când PDE este
rezolvatǎ cu metoda separǎrii variabilelor
- (opţional) indicǎ afişarea unei forme explicite (dacǎ
este posibil) a soluţiei
Pentru exemplificare, considerǎm ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi
liniarǎ:
y·
∂u
∂u
−x·
=0
∂x
∂y
(5.6)
Cu instrucţiunea pdsolve se obţine soluţia generalǎ (toate soluţiile) a
ecuaţiei:
>
PDE1 := y*diff(u(x,y),x)-x*diff(u(x,y),y) = 0;
>
∂
∂
PDE1 := y ∂x
u (x, y) − x ∂y
u (x, y) = 0
pdsolve(PDE1);
u (x, y) = F1 (x2 + y 2)
Calculul simbolic al soluţiilor ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi
177
Se observǎ cǎ, soluţia generalǎ este afişatǎ cu ajutorul unei funcţii F 1 care
poate fi orice funcţie de clasǎ C 1 . Pentru determinarea unei anumite soluţii
avem nevoie de o condiţie iniţialǎ, dar ı̂n sintaxa funcţiei pdsolve prezentatǎ
anterior nu existǎ nici un parametru care sǎ specifice utilizarea acesteia.
În cele ce urmeazǎ, vom mai determina soluţia generalǎ pentru o ecuaţie
cu derivate parţiale de ordinul ı̂ntâi ı̂n care funcţia necunoscutǎ este de trei
variabile x, y, z:
√ ∂u √ ∂u √ ∂u
x·
+ y·
+ z·
=0
(5.7)
∂x
∂y
∂z
PDE3 :=sqrt(x)*diff(u(x,y,z),x)+sqrt(y)*diff(u(x,y,z),y)+
sqrt(z)*diff(u(x,y,z),z) = 0;
√ ∂
√ ∂
∂
PDE3 := x ∂x u (x, y, z) + y ∂y
u (x, y, z) + sqrtz ∂z
u (x, y, z) = 0
>
pdsolve(PDE3);
√
√ √
√ x − y, z − y
u (x, y, z) = F1
>
Capitolul 6
Ecuaţii cu derivate parţiale de
ordinul al doilea liniare
6.1
Clasificarea ecuaţiilor cu derivate parţiale
de ordinul al doilea liniare (clasificarea
problemelor de fizicǎ - matematicǎ)
Definiţia 6.1.1 O ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea liniarǎ
este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma:
n
n X
X
i=1
n
X
∂2u
∂u
aij ·
+
bi ·
+c·u+f =0
∂xi ∂xj
∂xi
j=1
i=1
(6.1)
dintre funcţia necunoscutǎ u = u(x1 , . . . , xn ), derivatele parţiale de ordinul
ı̂ntâi şi de ordinul al doilea ale acesteia.
Funcţiile aij , bi , c, f : Ω ⊂ IRn → IR1 din ecuaţia (6.1) se considerǎ cunoscute
şi sunt presupuse cel puţin continue pe Ω.
Definiţia 6.1.2 O soluţie clasicǎ a ecuaţiei (6.1) este o funcţie
u : D ⊂ Ω → IR1 de clasǎ C 2 care are proprietatea cǎ pentru orice (x1 , . . . , xn ) ∈
D avem:
n X
n
X
∂2u
aij (x1 , . . . , xn ) ·
(x1 , . . . , xn )+
∂xi ∂xj
i=1 j=1
+
n
X
i=1
bi (x1 , . . . , xn ) ·
178
∂u
(x1 , . . . , xn )+
∂xi
Clasificarea ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul al doilea liniare
179
+c(x1 , . . . , xn ) · u(x1 , . . . , xn ) + f (x1 , . . . , xn ) = 0.
Fie T : Ω → Ω′ un difeomorfism de clasǎ C 2 de componente
ξk = ξk (x1 , . . . , xn ), k = 1, n şi u = u(x1 , . . . , xn ) o soluţie a ecuaţiei (6.1).
Considerǎm funcţia v = u ◦ T −1 şi din derivarea funcţiilor compuse obţinem:
n
X ∂v ∂ξk
∂u
=
·
∂xi
∂ξk ∂xi
k=1
n
n
n
X X ∂2v
∂2u
∂ξk ∂ξl X ∂v
∂ 2 ξk
=
·
·
+
·
.
∂xi ∂xj
∂ξ
∂ξ
k ∂ξl ∂xi ∂xj
k ∂xi ∂xj
k=1 l=1
k=1
Înlocuind derivatele ı̂n ecuaţia (6.1) obţinem:
n X
n
X
k=1 l=1
n
X
∂2v
∂v
akl ·
bk ·
+
+c·v+f =0
∂xk ∂xl k=1
∂ξk
unde:
akl =
n X
n
X
i=1 j=1
b=
n
X
i=1
aij ·
∂ξk ∂ξl
·
∂xi ∂xj
n
n
∂ξk X X
∂ 2 ξk
bi ·
+
aij ·
.
∂xi
∂xi ∂xj
i=1 j=1
(6.2)
Ecuaţia (6.2) este echivalentǎ cu ecuaţia (6.1), soluţiile u ale ecuaţiei (6.1)
obţinându-se din soluţiile v ale ecuaţiei (6.2) cu formula u = v ◦ T .
Pe de altǎ parte ı̂ntr-un punct oarecare, fixat (x01 , . . . , x0n ) ∈ Ω putem considera forma pǎtraticǎ
n X
n
X
a0ij · yi · yj
i=1 j=1
unde
a0ij
=
aij (x01 , . . . , x0n ).
Prin schimbarea de variabile
n
X
∂ξk
yi =
· ηk
∂xk
k=1
forma pǎtraticǎ consideratǎ se transformǎ ı̂n forma pǎtraticǎ:
!
n X
n
n X
n
n X
n
X
X
X
∂ξ
∂ξ
k
l
0
aij ·
·
ηk ηl =
akl · ηk ηl .
∂xi ∂xj
i=1 j=1
k=1 l=1
k=1 l=1
180
CAPITOLUL 6
Prin urmare, coeficienţii derivatelor parţiale de ordinul al doilea se schimbǎ
la fel cu coeficienţii formei pǎtratice sub acţiunea transformǎrii liniare:
yj =
n
X
∂ξk
k=1
∂xi
· ηk .
Se ştie cǎ, prin alegerea unei transformǎri liniare adecvate, forma pǎtraticǎ se
aduce la forma canonicǎ (adicǎ matricea a0ij poate fi adusǎ la forma diagonalǎ:
|a0ii | = 1 sau 0 şi, a0ij = 0 dacǎ i 6= j). Aceasta ı̂nseamnǎ cǎ alegând ı̂n mod
adecvat transformarea ξk = ξk (x1 , ..., xn ), k = 1, n, coeficienţii derivatelor
∂2v
parţiale 2 ı̂n punctul ξk = ξk (x01 , ..., x0n ), k = 1, n vor fi egali cu +1, −1 sau
∂ξk
∂2v
0, iar coeficienţii derivatelor parţiale
vor fi nuli.
∂ξk ∂ξl
Conform legii inerţiei, numǎrul coeficienţilor a0ii pozitivi, negativi sau nuli
nu depinde de transformarea liniarǎ care aduce forma pǎtraticǎ la forma
canonicǎ. Aceasta permite sǎ dǎm urmǎtoarea definiţie:
Definiţia 6.1.3
i) Zicem cǎ ecuaţia (6.1) este elipticǎ ı̂n punctul (x01 , . . . , x0n ) dacǎ toţi
cei n coeficienţi a0ii sunt de acelaşi semn.
ii) Zicem cǎ ecuaţia (6.1) este hiperbolicǎ ı̂n punctul (x01 , . . . , x0n ) dacǎ
(n − 1) coeficienţi a0ii au acelaşi semn şi unul din coeficienţi are
semn contrar.
iii) Zicem cǎ ecuaţia (6.1) este ultra-hiperbolicǎ ı̂n punctul (x01 , . . . , x0n )
dacǎ printre coeficienţii a0ii existǎ m coeficienţi de un semn şi n − m
coeficienţi de semn contrar.
iv) Zicem cǎ ecuaţia (6.1) este parabolicǎ dacǎ cel puţin unul din coeficienţii a0ii este nul.
Observaţia 6.1.1 În acord cu definiţia anterioarǎ, ecuaţia (6.1) are una
dintre urmǎtoarele forme standard:
i) Ecuaţie de tip eliptic ı̂n (x01 , . . . , x0n ):
∂2v ∂2v
∂2v
+
+
.
.
.
+
+ Φ = 0;
∂ξ12 ∂ξ22
∂ξ n
(6.3)
181
ii) Ecuaţie de tip hiperbolic ı̂n (x01 , . . . , x0n ):
n
∂2v X ∂2v
=
+ Φ;
∂ξ 1
∂ξi2
i=2
(6.4)
iii) Ecuaţie de tip ultra-hiperbolic ı̂n (x01 , . . . , x0n ):
m
X
∂2v
i=1
n
X
∂2v
=
+ Φ;
∂ξi2 i=m+1 ∂ξi2
(6.5)
iii) Ecuaţie de tip parabolic:
n−m
X
i=1
∂2v
± 2
∂ξi
+ Φ = 0, (m > 0).
(6.6)
Tipul ecuaţiei (6.1) ı̂n (x01 , . . . , x0n ) se determinǎ prin aducerea formei pǎtratice:
n X
n
X
a0ij yi yj
i=1 j=1
la forma canonicǎ. Ecuaţia poate fi adusǎ la una din formele standard prezentate alegând transformarea ξk = ξk (x1 , . . . , ξn ), k = 1, n astfel ı̂ncât transformarea liniarǎ:
n
X
∂ξk 0
yi =
(x1 , . . . , xin ) · ηk
∂x
i
k=1
sǎ aducǎ forma pǎtraticǎ la forma canonicǎ.
Sǎ examinǎm ı̂n continuare problema posibilitǎţii aducerii ecuaţiei (6.1)
la ”forma canonicǎ” (una din formele prezentate) ı̂ntr-o vecinǎtate a unui
punct (x1 , . . . , xn ), ı̂n condiţiile ı̂n care ı̂n toate punctele acestei vecinǎtǎţi
ecuaţia aparţine aceluiaşi tip.
Pentru a aduce ecuaţia (6.1) la forma canonicǎ ı̂ntr-un anumit domeniu ar
trebui, ı̂n primul rând, sǎ impunem funcţiilor ξk (x1 . . . , xn ), k = 1, n condiţiile
n(n − 1)
diferenţiale akl = 0 pentru k 6= l. Numǎrul acestor condiţii este
2
şi este mai mic decât n (n reprezintǎ numǎrul funcţiilor ξk , k = 1, n) dacǎ
n < 3. De aceea pentru n > 3 ecuaţia (6.1) nu poate fi adusǎ la forma
182
CAPITOLUL 6
canonicǎ ı̂n vecinǎtatea unui punct (x1 , . . . , xn ).
Pentru n = 3 elementele nediagonale ar putea fi anulate ı̂n general, ı̂nsǎ elementele diagonale ar putea fi diferite de ±1,0. Deci, nici ı̂n acest caz, ecuaţia
(6.1) nu poate fi adusǎ la forma canonicǎ ı̂n vecinǎtatea unui punct.
Doar pentru n = 2, putem anula unicul coeficient nediagonal şi satisface
condiţia de egalitate a celor doi coeficienţi diagonali. Aceasta ı̂nseamnǎ
cǎ doar ı̂n cazul n = 2 putem aduce ecuaţia cu derivate parţiale la forma
canonicǎ pe o vecinǎtate.
Exerciţii
1. Aduceţi la forma canonicǎ ecuaţia:
∂2u
∂2u
∂2u
∂u
∂u
+ a22 · 2 + b1 ·
+ b2 ·
+ c · u + f (x, y) = 0
a11 · 2 + 2a12 ·
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
unde aij , bi , c sunt constante.
R: Scriind ecuaţia caracteristicǎ asociatǎ:
a11
dy
dx
2
− 2a12
dy
dx
+ a22 = 0
se obţine discriminantul: ∆ = (a12 )2 − a11 · a22 .
- dacǎ ∆ > 0 (cazul ecuaţiei hiperbolice), atunci ecuaţia caracteristicǎ
are douǎ rǎdǎcini reale:

p
a
+
(a12 )2 − a11 · a22
dy

12


=
dx
p a11

a
−
(a12 )2 − a11 · a22
dy
12


=
dx
a11
Se rezolvǎ aceste ecuaţii diferenţiale ordinare şi se obţine
f (x, y) = c1 , respectiv g(x, y) = c2 .
Schimbarea de variabile care ne va duce la forma canonicǎ va fi:
ξ(x, y) = f (x, y)
η(x, y) = g(x, y).
183
- dacǎ ∆ = 0 (cazul ecuaţiei parabolice), atunci ecuaţia caracteristicǎ are
douǎ rǎdǎcini reale egale:
dy
a12
=
.
dx
a11
Rezolvând aceastǎ ecuaţie diferenţialǎ ordinarǎ se obţine
f (x, y) = c1 care ne va conduce la schimbarea de variabilǎ
ξ(x, y) = f (x, y). Pentru η(x, y) se alege convenabil o funcţie g(x, y)
astfel ı̂ncât sǎ fie ı̂ndeplinite proprietǎţile schimbǎrii de variabile, de
exemplu:
ξ(x, y) = f (x, y)
ξ(x, y) = f (x, y)
η(x, y) = x
η(x, y) = y.
- dacǎ ∆ < 0 (cazul ecuaţiei eliptice), atunci ecuaţia caracteristicǎ are
douǎ rǎdǎcini complexe:

p
dy
a12


=
+ i a11 · a22 − (a12 )2

 dx
a
11

p

dy
a12


=
− i a11 · a22 − (a12 )2
dx
a11
Rezolvând aceste ecuaţii diferenţiale ordinare se obţin
α(x, y) ± iβ(x, y) = τ care ne va conduce la schimbarea de variabilǎ:
ξ(x, y) = α(x, y)
η(x, y) = β(x, y).
2. Sǎ se gǎseascǎ domeniile de elipticitate, hiperbolicitate şi parabolicitate ale ecuaţiei:
y·
∂2u
∂2u
+
x
·
=0
∂x2
∂y 2
R: Deoarece ∆ = b2 − ac = −xy avem cǎ:
- ecuaţia este de tip hiperbolic (∆ > 0) ı̂n cadranele II şi IV;
- ecuaţia este de tip eliptic (∆ < 0) ı̂n cadranele I şi III.
184
CAPITOLUL 6
3. Sǎ se aducǎ la forma canonicǎ ecuaţiile:
a)
∂2u
∂2u
∂2u
+
2
·
+
=0
∂x2
∂x∂y ∂y 2
R: Ecuaţia este de tip parabolic (∆ = 0); forma canonicǎ este:
∂u
∂2u
− 4 · y 2 · 2 = 0, x, y > 0
2
∂x
∂y
R: Ecuaţia este de tip hiperbolic (∆ > 0); forma canonicǎ este:
∂2v
3 ∂v 1 ∂v
− ·
− ·
= 0;
∂ξ∂η 8 ∂ξ 8 ∂η
b) x2 ·
2
∂2u
2 ∂ u
+
4
·
y
·
= 0, x, y > 0
∂x2
∂y 2
R: Ecuaţia este de tip eliptic (∆ < 0); forma canonicǎ este:
∂ 2 v ∂ 2 v ∂v 1 ∂v
+
−
+ ·
= 0;
∂ξ 2 ∂η 2 ∂ξ 2 ∂η
c) x2
∂2v
= 0;
∂η 2
Formulele lui Green şi formule de reprezentare ı̂n douǎ dimensiuni
6.2
185
Formulele lui Green şi formule
de reprezentare ı̂n douǎ dimensiuni
În acest paragraf prezentǎm câteva rezultate de calcul diferenţial şi integral
pentru funcţii de douǎ variabile, care intervin frecvent ı̂n rezolvarea E.D.P
ı̂n douǎ dimensiuni.
Teorema 6.2.1 (legǎtura dintre integrala dublǎ pe un domeniu mǎrginit ı̂n
IR2 şi integrala curbilinie pe frontiera acestuia)
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit ı̂n IR2 cu frontiera ∂Ω netedǎ (parţial
netedǎ), iar funcţiile P, Q : Ω → IR1 sunt continue pe Ω şi de clasǎ C 1 ı̂n Ω,
atunci are loc urmǎtoarea egalitate:
ZZ Z
∂Q
∂P
+
dx1 dx2 =
(P · cos α1 + Q · cos α2 )ds
(6.7)
∂x1 ∂x2
∂Ω
Ω
ı̂n care: αi este unghiul dintre versorul n al normalei exterioare la ∂Ω şi axa
ei , iar ds este mǎsura elementului de arc pe curba ∂Ω.
Demonstraţie: Aceastǎ teoremǎ este obiectul cursului de analizǎ matematicǎ din anul I. Aici redǎm doar cı̂teva idei din demonstraţia acestei teoreme.
Mai ı̂ntâi, reamintim cǎ egalitatea (6.7) se obţine prin adunarea egalitǎţilor:
Z
ZZ
∂P
dx1 dx2 =
P · cos α1 · ds
∂Ω
Ω ∂x1
(6.8)
ZZ
Z
∂Q
dx1 dx2 =
Q · cos α2 · ds
Ω ∂x2
∂Ω
şi prin urmare demonstraţia egalitǎţii (6.7) revine la demonstraţia egalitǎţilor
(6.8).
Prima dintre egalitǎţile (6.8) se obţine calculând integrala dublǎ ca o
integralǎ iteratǎ şi interpretând apoi cele obţinute ca o integralǎ curbilinie.
Astfel avem:
!
ZZ
Z d Z x+1 (x2 )
∂P
∂P
dx1 dx2 =
dx1 dx2 =
∂x1
Ω ∂x1
c
x−
1 (x2 )
=
Z
c
d
−
P (x+
1 (x2 ), x2 ) − P (x1 (x2 ), x2 ) dx2
186
CAPITOLUL 6
ı̂n care intervin curbele:
x1 = x+
+
1 (x2 )
Γ :
x2 = x2
−
Γ :
x1 = x−
1 (x2 )
x2 = x2
Figura 29. Ilustrarea elementelor ce intervin in formula lui Green
Pe figurǎ se vede cǎ avem
cos α1 = cos ∢(τ, Ox2 ) = s
1+
1
dx+
1
dx2
2
şi rezultǎ astfel ı̂n continuare:
Z
c
=
Z
d
−
P (x+
1 (x2 ), x2 ) − P (x1 (x2 ), x2 ) dx2 =
d
c
P (x+
1 (x2 ), x2 )
· cos α1 ·
s
1+
dx+
1
dx2
2
dx2 +
187
+
Z
c
d
P (x−
1 (x2 ), x2 )
· cos α1 ·
s
1+
dx−
1
dx2
2
dx2 =
Z
P cos α1 ds
∂Ω
A doua egalitate din (6.8) se obţine asemǎnǎtor.
Teorema 6.2.2 (de integrare prin pǎrţi)
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit ı̂n IR2 şi frontiera ∂Ω a lui Ω este netedǎ
(parţial netedǎ), iar P, Q : Ω → IR1 sunt funcţii continue pe Ω şi de clasǎ C 1
ı̂n Ω atunci au loc egalitǎţile:
Z
ZZ
ZZ
∂Q
∂P
· Qdx1 dx2 =
P · Q · cos αi ds −
P
dx1 dx2 , i = 1, 2 (6.9)
∂Ω
Ω ∂xi
Ω ∂xi
Demonstraţie: Pe de o parte avem:
ZZ
ZZ
ZZ
∂
∂P
∂Q
· (P · Q)dx1 dx2 =
· Qdx1 dx2 +
· P dx1 dx2 ,
Ω ∂xi
Ω ∂xi
Ω ∂xi
iar pe de altǎ parte avem:
Z
ZZ
∂
· (P · Q)dx1 dx2 =
P · Q · cos αi · ds.
∂Ω
Ω ∂xi
Prin egalare rezultǎ egalitatea:
ZZ
ZZ
Z
∂P
∂Q
· Qdx1 dx2 +
· P dx1 dx2 =
P · Q cos αi · ds
Ω ∂xi
Ω ∂xi
∂Ω
de unde rezultǎ (6.9).
Teorema 6.2.3 (prima formulǎ a lui Green)
Dacǎ Ω este un domeniu mǎrginit ı̂n IR2 şi frontiera ∂Ω a lui Ω este netedǎ
(parţial netedǎ), iar funcţiile P, Q : Ω → IR1 sunt de clasǎ C 1 pe Ω şi de
clasǎ C 2 ı̂n Ω atunci are loc urmǎtoarea egalitate:
ZZ
Z
ZZ
∂Q
P ∆Qdx1 dx2 =
P·
ds −
∇P · ∇Qdx1 dx2
(6.10)
∂n
Ω
∂Ω
Ω
Demonstraţie: În formula (6.10): ∆Q reprezintǎ Laplacianul funcţiei Q
adicǎ:
∂2Q ∂2Q
∆Q =
+
,
∂x21
∂x22
188
iar
CAPITOLUL 6
∂Q
este derivata normalǎ definitǎ pe ∂Ω prin:
∂n
∂Q
∂Q
∂Q
=
· n1 +
· n2 =
∂n
∂x1
∂x2
=
∂Q
∂Q
· cos α1 +
· cos α2
∂x1
∂x2
cos αi =< n, ei >= ni , i = 1, 2; ∇P şi ∇Q sunt funcţiile vectoriale (gradienţii
funcţiilor P şi Q) definite prin:
∇P =
∂P
∂P
· e1 +
· e2
∂x1
∂x2
∇Q =
∂Q
∂Q
· e1 +
· e2 .
∂x1
∂x2
Pentru demonstraţie se calculeazǎ membrul stâng al egalitǎţii (6.10) ţinând
seama de formula de integrare prin pǎrţi (6.9) şi se obţine:
ZZ
Ω
P · ∆Qdx1 dx2
∂
∂Q
=
+
dx1 dx2 =
∂x2 ∂x2
Z
ZZ
∂Q
∂P ∂Q
ds −
·
dx1 dx2 +
=
P · cos α1 ·
∂x1
∂Ω
Ω ∂x1 ∂x1
Z
ZZ
∂Q
∂P ∂Q
+
P · cos α2 ·
ds −
·
dx1 dx2 =
∂x2
∂Ω
Ω ∂x2 ∂x2
Z
∂Q
∂Q
· cos α1 +
· cos α2 ds −
=
P·
∂x1
∂x2
∂Ω
ZZ
∂
P
∂x1
Ω
∂Q
∂x1
ZZ ∂P ∂Q
∂P ∂Q
−
·
dx1 dx2 +
·
dx1 dx2 =
∂x1 ∂x1
∂x2 ∂x2
Ω
∂Q
∂Q
=
P·
· cos α1 +
· cos α2 ds−
∂x1
∂x2
∂Ω
ZZ
−
∇P · ∇Qdx1 dx2 =
Z
Ω
Z
∂Q
=
P·
ds −
∂n
∂Ω
ZZ
Ω
189
∇P · ∇Qdx1 dx2 .
Teorema 6.2.4 (cea de-a doua formulǎ a lui Green)
netedǎ), iar funcţiile P, Q : Ω → IR1 sunt de clasǎ C 1 pe Ω şi de clasǎ C 2 ı̂n
Ω atunci are loc urmǎtoarea egalitate:
ZZ
Z ∂P
∂Q
(P ∆Q − Q∆P )dx1 dx2 =
P·
−Q·
ds.
(6.11)
∂n
∂n
Ω
∂Ω
Demonstraţie: Egalitatea (6.11) se obţine scriind egalitatea (6.10) pentru
funcţiile P · ∇Q şi Q · ∇P dupǎ care se face diferenţa acestora.
Teorema 6.2.5 (de reprezentare a unei funcţii de douǎ variabile)
netedǎ) şi funcţia u : Ω → IR1 este de clasǎ C 1 pe Ω şi de clasǎ C 2 ı̂n Ω
atunci pentru orice X = (x1 , x2 ) ∈ Ω are loc urmǎtoarea egalitate:
ZZ
1
1
· ∆u(Y )dy1 dy2 +
u(X) = −
ln
2π Ω kX − Y k
Z
1
1
∂u
+
ln
·
(Y )dsY −
2π ∂Ω kX − Y k ∂nY
Z
1
∂
1
−
ln
dsY .
(6.12)
u(Y ) ·
2π ∂Ω
∂nY
kX − Y k
Demonstraţie: Funcţia
E(X) = −
1
1
ln
2π kXk
definitǎ pentru orice X ∈ IR2 , X 6= 0 este de clasǎ C 2 pe IR2 \ {0} şi are
proprietatea ∆E = 0. Pentru X ∈ IR2 , X-fixat considerǎm funcţia:
E(X − Y ) = −
1
1
ln
2π kX − Y k
definitǎ pentru orice Y ∈ IR2 \ {X}. Aceastǎ funcţie de Y este de clasǎ C 2
şi are proprietatea ∆Y E(X − Y ) = 0. De asemenea, pentru orice Y ∈ IR2 ,
190
CAPITOLUL 6
1
1
ln
definitǎ pentru orice X ∈
2π kX − Y k
IR2 , X 6= Y este de clasǎ C 2 şi verificǎ ∆X E(X − Y ) = 0.
Considerǎm X ∈ Ω, X-fixat şi ε > 0 astfel ca, pentru orice Y cu kX −Y k ≤ ε,
sǎ avem Y ∈ Ω. Notǎm cu B(X, ε) discul centrat ı̂n X de razǎ ε:
Y -fixat funcţia E(X − Y ) = −
B(X, ε) = {Y : kX − Y k ≤ ε}
şi domeniul Ωε = Ω − B(X, ε). Considerǎm funcţiile
Y 7−→ u(Y ) şi Y 7−→ −
1
1
ln
= E(X − Y ).
2π kX − Y k
Pe domeniul Ωε , ambele funcţii sunt de clasǎ C 2 , iar pe Ωε sunt de clasǎ C 1 .
Scriem cea de-a doua formulǎ a lui Green pentru aceste funcţii şi obţinem:
1
−
2π
ZZ
1
=−
2π
1
2π
Z
ln
Ωε
Z
1
· (∆u)(Y )dy1dy2 =
kX − Y k
ln
∂Ωε
1
∂u
·
(Y )dsY +
kX − Y k ∂nY
∂
u(Y ) ·
∂nY
∂Ωε
ln
1
kX − Y k
· dsY .
Frontiera ∂Ωε a mulţimii Ωε are douǎ pǎrţi: ∂Ωε = ∂Ω ∪ Sε unde Sε =
{Y : kY −Xk = ε}, astfel cǎ integralele din membru drept al acestei egalitǎţi
se pot scrie dupǎ cum urmeazǎ:
Z
1
1
∂u
−
ln
·
(Y )dsY =
2π ∂Ωε kX − Y k ∂nY
Z
1
1
=−
ln
2π Z∂Ω kX − Y k
1
1
=−
ln
2π ∂Ω kX − Y k
Z
∂u
1
1
∂u
·
dsY −
ln
·
dsY =
∂nY
2π Sε kX − Y k ∂nY
∂u
1
∂n
·
(Y )dsY +
ln ε · 2πε ·
(Y ∗ ).
∂nY
2π
∂nY
1
2π
1
=
2π
1
+
2π
1
=
2π
1
+
2π
1
=
2π
1
+
2π
Z
∂
u(Y ) ·
∂nY
∂Ωε
Z
∂
u(Y ) ·
∂nY
∂Ω
Z
∂
u(Y ) ·
∂nY
Sε
Z
∂
u(Y ) ·
∂nY
∂Ω
Z
∂
u(Y ) ·
∂nY
∂Ω
Z
ln
ln
ln
1
kX − Y k
1
kX − Y k
1
kX − Y k
dsY =
dsY +
dsY =
ln
1
kX − Y k
· dsY +
ln
1
kX − Y k
· dsY +
x1 − y1
x2 − y2
u(Y ) ·
· cos α1 +
· cos α2 dsY =
kX − Y k2
kX − Y k2
Sε
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
dsY =
u(Y ) ·
kX − Y k3
Sε
Z
Z
1
∂
1
=
u(Y ) ·
ln
dsY +
2π ∂Ω
∂n
kX − Y k
Z
1
1
u(Y ) ·
dsY =
2π Sε
kX − Y k
1
=
2π
Z
∂
u(Y ) ·
∂nY
∂Ω
ln
Pentru ε 7−→ 0 rezultǎ:
1
lim −
ε→0
2π
1
kX − Y k
Z
ln
∂Ωε
1
=−
2π
Z
∂Ω
1
dsY +
2πε
Z
u(Y )dsY
Sε
1
∂u
·
u(Y )dsY =
kX − Y k ∂nY
ln
1
∂u
·
u(Y )dsY .
kX − Y k ∂nY
191
192
CAPITOLUL 6
∂
1
u(Y ) ·
ln
dsY =
∂nY
kX − Y k
∂Ωε
Z
1
∂
1
=
u(Y ) ·
ln
dsY + u(X).
2π ∂Ω
∂nY
kX − Y k
1
lim
ε→0 2π
Z
Rezultǎ de aici cǎ avem:
ZZ
1
1
−
ln
· (∆u)(Y )dy1 dy2 =
2π Ω kX − Y k
Z
1
1
∂u
·
(Y )dsY +
=−
ln
Z
1
∂
1
ln
dsY + u(X),
u(Y ) ·
2π ∂Ω
∂nY
kX − Y k
sau
ZZ
1
1
u(X) = −
ln
· (∆u)(Y )dy1 dy2+
2π Ω kX − Y k
Z
1
1
∂u
+
ln
·
(Y )dsY −
Z
1
∂
1
−
u(Y ) ·
ln
dsY
2π ∂Ω
∂nY
kX − Y k
Comentariu: Aceastǎ formulǎ de reprezentare permite determinarea funcţiei
u ı̂n toate punctele lui Ω cunoscând urmǎtoarele elemente: Laplacianul
∂u
funcţiei u pe Ω, valorile derivatei normale
pe frontiera ∂Ω şi valorile
∂n
funcţiei u pe frontiera ∂Ω.
Vom arǎta ı̂n continuare importanţa acestei formule de reprezentare pentru cazul funcţiilor armonice.
193
Definiţia 6.2.1 Zicem cǎ o funcţie u : Ω → IR1 este armonicǎ ı̂n Ω dacǎ
funcţia u este de clasǎ C 2 şi ∆u = 0, (∀)(x1 , x2 ) ∈ Ω unde ∆u reprezintǎ
Laplacianul funcţiei u:
∂2u ∂2u
∆u = 2 + 2 .
∂x1 ∂x2
Observaţia 6.2.1 În condiţiile din teorema de reprezentare (6.2.5) dacǎ
funcţia u este armonicǎ ı̂n Ω şi de clasǎ C 1 pe Ω̄ atunci avem:
Z
1
∂u
1
u(X) =
ln
·
(Y )dsY −
Z
1
∂
1
−
u(Y ) ·
ln
dsY
2π ∂Ω
∂nY
kX − Y k
Teorema 6.2.6 (de reprezentare a funcţiilor armonice)
Dacǎ u : Ω ⊂ IR2 → IR1 este o funcţie armonicǎ pe domeniul Ω atunci
(∀)X ∈ Ω şi (∀)r > 0 pentru care discul:
B(X, r) = {Y : kY − Xk ≤ r}
este inclus ı̂n Ω, are loc egalitatea:
1
u(X) =
2πr
Z
u(Y )dsY
(6.13)
∂B(X,r)
Demonstraţie: Scriind formula de reprezentare (6.12) pentru funcţia armonicǎ u pe B(X, r) se obţine egalitatea:
Z
Z
1
1
1 ∂u
1
(Y )dsY +
u(X) =
ln ·
u(Y ) · dsY
2π ∂B(X,r) r ∂nY
2π ∂B(X,r)
r
sau
1
u(X) =
2πr
Z
1
1
u(Y )dsY +
· ln
2π
r
∂B(X,r)
Z
∂B(X,r)
Arǎtǎm ı̂n continuare cǎ
Z
∂B(X,r)
∂u
(Y )dsY = 0.
∂nY
∂u
(Y )dsY .
∂nY
194
CAPITOLUL 6
Pentru aceasta, considerǎm pe discul B(X, r) funcţiile P ≡ 1 şi Q = u şi
aplicǎm prima formulǎ a lui Green:
Z
Z
ZZ
∂Q
P · ∆Qdy1 dy2 =
P·
dsY −
∇P · ∇Qdy1 dy2
∂nY
B(X,r)
∂B(X,r)
B(X,r)
de unde se obţine:
Z
∂Q
0=
dsY =
P·
∂nY
∂B(X,r)
Z
∂B(X,r)
∂u
dsY .
∂nY
Observaţia 6.2.2 Din demonstraţie rezultǎ cǎ integrala derivatei normale
a unei funcţii armonice pe un cerc este zero:
Z
∂u
(Y )dsY = 0.
∂B(X,r) ∂nY
Acest rezultat se poate generaliza.
Consecinţa 6.2.1 Dacǎ u este o funcţie armonicǎ de clasǎ C 2 pe Ω şi este
de clasǎ C 1 pe Ω, atunci are loc egalitatea:
Z
∂u
(Y )dsY = 0.
∂Ω ∂nY
Demonstraţie: Pentru a demonstra aceastǎ egalitate se aplicǎ prima formulǎ a lui Green ı̂n cazul funcţiilor P ≡ 1 şi Q = u:
ZZ
Z
ZZ
∂Q
dsY −
∇P · ∇Qdx1 dx2
P · ∆Qdx1 dx2 =
P·
∂nY
Ω
∂Ω
Ω
adicǎ
ZZ
Z
ZZ
Z
∂u
∂u
0=
1 · ∆udx1 dx2 =
1·
dsY −
∇1 · ∇udx1 dx2 =
dsY .
∂nY
Ω
∂Ω
Ω
∂Ω ∂nY
O altǎ proprietate importantǎ a funcţiilor armonice se referǎ la localizarea
punctelor ı̂n care aceste funcţii ı̂şi ating extremele:
Teorema 6.2.7 (teorema de extrem a funcţiilor armonice)
Dacǎ Ω ∈ IR2 este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ şi funcţia
armonicǎ u : Ω → IR1 este de clasǎ C 1 pe Ω, atunci u este constantǎ pe Ω
sau ı̂şi atinge extremele pe frontiera ∂Ω.
195
Demonstraţie: Presupunem cǎ funcţia u nu este constantǎ pe Ω şi dorim
sǎ arǎtǎm cǎ u ı̂şi atinge extremele pe ∂Ω. Raţionǎm prin reducere la absurd
şi admitem cǎ, existǎ X 0 ∈ Ω astfel ı̂ncât oricare ar fi X ∈ Ω avem
u(X) ≤ u(X 0 ).
Considerǎm r0 > 0 astfel ı̂ncât
B(X 0 , r0 ) = {Y : kY − X 0 k ≤ r0 } ⊂ Ω
şi arǎtǎm cǎ u este constant egalǎ cu u(X 0 ) pe B(X 0 , r0 ).
Dacǎ u nu ar fi constant egalǎ cu u(X 0 ) pe B(X 0 , r0 ) atunci ar exista
X 1 ∈ B(X 0 , r0 ) astfel ı̂ncât u(X 1) < u(X 0). Pentru X 1 , existǎ r1 > 0 astfel
ı̂ncât pentru orice X ∈ B(X 1 , r1 ) avem:
u(X) <
1
u(X 0 ) + u(X 1) .
2
Putem admite cǎ r1 < min{r0 − kX 1 − X 0 k, kX 1 − X 0 k} şi considerǎm
numǎrul ρ = kX 1 − X 0 k > 0. Aplicǎm formula de reprezentare a lui u(X 0 )
pe ∂B(X 0 , ρ) şi gǎsim:
Z
1
0
u(X ) =
u(Y )dsY .
2πρ ∂B(X 0 ,ρ)
Frontiera ∂B(X 0 , ρ) se descompune astfel:
∂B(X 0 , ρ) = ∂B(X 0 , ρ) ∩ B(X 1 , r1 ) ∪ B(X 0 , ρ) ∩ (Ω \ B(X 1 , r1 )) = σ1 ∪ σ2
şi cu aceastǎ descompunere formula de reprezentare devine:
Z
Z
1
1
0
ds
u(Y )dsY +
u(X ) =
u(Y )dsY <
2πρ
2πρ σ2
σ1
1 1
<
· u(X 0) + u(X 1 ) ·
2πρ 2
<
Z
1
dsY +
· u(X 0) ·
2πρ
σ1
Z
dsY <
σ2
1
· u(X 0) · 2πρ = u(X 0) absurd.
2πρ
Rezultǎ ı̂n acest fel cǎ funcţia u este constant egalǎ cu u(X 0) pe B(X 0 , r).
Pentru a arǎta ı̂n continuare cǎ pentru orice X ∈ Ω avem u(X) = u(X 0) fie
196
CAPITOLUL 6
X ∗ ∈ Ω oarecare, X ∗ fixat şi P o linie poligonalǎ conţinutǎ ı̂n Ω care leagǎ
punctele X 0 şi X ∗ . Fie de asemenea un sens de parcurs pe linia poligonalǎ
P de la X 0 la X ∗ . Mulţimile P şi ∂Ω sunt compacte şi nu au nici un punct
comun. Prin urmare existǎ r > 0 astfel ı̂ncât pentru orice X ∈ P discul
ı̂nchis: B(X, r) = {Y : kY − Xk ≤ r0 } este inclus ı̂n Ω; B(X, r) ⊂ Ω. Fie
X 2 punctul de intersecţie dintre linia poligonalǎ P şi frontiera bilei B(X 0 , r0 )
primul ı̂ntâlnit pe direcţia de parcurs de la X 0 la X ∗ . În X 2 avem
u(X 2) = u(X 0 ) şi rezultǎ de aici cǎ pentru orice X ∈ B(X 2 , r) avem
u(X) = u(X 0 ). Astfel se obţine egalitatea u(X) = u(X 0 ) pentru orice
X ∈ B(X 0 , r0 ) ∪ B(X 2 , r).
În continuare se considerǎ punctul de intersecţie X 3 dintre P şi ∂B(X 2 , r)
primul ı̂ntâlnit pe direcţia de parcurs X 2 , X ∗ . În X 3 avem u(X 3 ) = u(X 0 )
şi rezultǎ u(X) = u(X 0 ) pentru orice X ∈ B(X 3 , r). În acest fel, dupǎ un
numǎr finit de paşi se ajunge la punctul X ∗ capǎtul liniei poligonale P şi la
egalitatea u(X ∗) = u(X 0 ). Dar aceasta ı̂nseamnǎ cǎ funcţia u este constantǎ
pe Ω ceea ce este absurd.
S-a demonstrat ı̂n acest fel cǎ dacǎ funcţia armonicǎ u pe Ω ı̂şi atinge maximul
ı̂ntr-un punct X 0 ∈ Ω, atunci u este constantǎ pe Ω.
Prin urmare: dacǎ o funcţie armonicǎ nu este constantǎ pe Ω, atunci ı̂şi
atinge extremele pe ∂Ω.
Consecinţa 6.2.2 Dacǎ funcţia u este armonicǎ pe Ω şi u/∂Ω = 0 atunci
u ≡ 0.
Consecinţa 6.2.3 Existǎ cel mult o funcţie u de clasǎ C 2 ı̂n Ω şi de clasǎ
C 1 pe Ω care verificǎ:
∆u = F
u/∂Ω = f.
unde F şi f sunt funcţii date:
f : ∂Ω → IR1 continuǎ pe ∂Ω.
F : Ω → IR1 continuǎ pe Ω, iar
Demonstraţie: Se raţioneazǎ prin reducere la absurd.
Formulele lui Green şi formule de reprezentare ı̂n dimensiunea n ≥ 3
6.3
197
Formulele lui Green şi formule de
reprezentare ı̂n dimensiunea n ≥ 3
În acest paragraf prezentǎm câteva rezultate de calcul diferenţial şi de calcul
integral pentru funcţii de n variabile (n ≥ 3), care intervin ı̂n rezolvarea
ecuaţiilor cu derivate parţiale ı̂n dimensiunea n.
Teorema 6.3.1 (de legǎturǎ ı̂ntre integrala pe un domeniu mǎrginit şi integrala pe frontiera acestuia)
Dacǎ Ω ⊂ IRn este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (parţial
netedǎ) şi f1 , f2 , ..., fn sunt n funcţii f1 , f2 , ..., fn : Ω̄ → IR1 continue pe Ω̄
şi de clasǎ C 1 pe Ω, atunci are loc egalitatea:
!
Z
Z X
n
n
X
∂fi
dx1 · · · dxn =
fi · cos(n̄, ēi )dS.
(6.14)
∂x
i
Ω
∂Ω
i=1
i=1
Demonstraţie: Semnificaţia simbolurilor din formula (6.14) este aceeaşi ca
şi ı̂n cazul n = 2, iar demonstraţia teoremei se face ı̂n mod analog.
Teorema 6.3.2 (de integrare prin pǎrţi)
netedǎ) şi f, g sunt douǎ funcţii f, g : Ω̄ → IR1 , continue pe Ω̄ şi de clasǎ C 1
pe Ω, atunci are loc egalitatea:
Z
Z
Z
∂f
∂g
·g dx1 · · · dxn =
f ·g·cos(n̄, ēi )dS − f ·
dx1 · · · dxn (6.15)
∂xi
∂Ω
Ω
Ω ∂xi
Demonstraţie: Analoagǎ cu cea din cazul n = 2.
Teorema 6.3.3 (prima formulǎ a lui Green)
netedǎ) şi f, g sunt douǎ funcţii f, g : Ω̄ → IR1 , de clasǎ C 1 pe Ω̄ şi de clasǎ
C 2 ı̂n Ω, atunci are loc egalitatea:
Z
Z
Z
∂g
f ·∆g dx1 · · · dxn =
f·
dS −
∇f ·∇g dx1 · · · dxn
(6.16)
∂n̄
Ω
Ω
∂Ω
198
CAPITOLUL 6
Demonstraţie: Simbolurile din formula (6.16) au urmǎtoarele semnificaţii:
∆g =
n
X
∂2g
i=1
∂x2i
n
,
X ∂g
∂g
=
cos(n̄, ēi ),
∂n̄
∂xi
i=1
n
X
∂f
∇f =
ēi
∂xi
i=1
Teorema se demonstreazǎ ca şi ı̂n cazul n = 2.
Teorema 6.3.4 (a doua formulǎ a lui Green)
netedǎ) şi f, g sunt douǎ funcţii f, g : Ω̄ → IR1 , de clasǎ C 1 pe Ω̄ şi de clasǎ
C 2 ı̂n Ω, atunci are loc egalitatea:
Z
Z ∂g
∂f
(f ·∆g − g·∆f ) dx1 · · · dxn =
f·
− g·
dS
(6.17)
∂n̄
∂n̄
Ω
∂Ω
Demonstraţie: Teorema se demonstreazǎ ca şi ı̂n cazul n = 2.
Teorema 6.3.5 (de reprezentare a unei funcţii de n variabile)
netedǎ) şi u : Ω̄ → IR1 este o funcţie de clasǎ C 1 pe Ω̄ şi de clasǎ C 2 ı̂n Ω,
atunci are loc urmǎtoarea formulǎ de reprezentare:
Z
1
1
∆u(Y ) dy1 · · · dyn +
u(X) = −
(n − 2)σn Ω kX − Y kn−2
Z
1
1
∂u
+
(Y ) dSY −
(6.18)
n−2
(n − 2)σn ∂Ω kX − Y k
∂n̄Y
Z
1
∂
1
dSY
−
u(Y )
(n − 2)σn ∂Ω
∂n̄Y kX − Y kn−2
unde σn reprezintǎ aria suprafeţei bilei
B̄(0, 1) = {Y = (y1 , . . . , yn ) ∈ IRn | kY k ≤ 1}
iar indicele Y la
Y 7→
∂
aratǎ cǎ se calculeazǎ derivata normalǎ a funcţiei
∂n̄Y
1
; analog dSY .
kX − Y kn−2
Demonstraţie: Se face analog cu cazul n = 2.
Formulele lui Green şi formule de reprezentare ı̂n dimensiunea n ≥ 3
199
Comentariu
Formula (6.18) permite construcţia funcţiei u din valorile
∂u
Laplacianului ∆u al funcţiei ı̂n Ω, valorile derivatei normale
a lui u pe
∂n̄
∂Ω şi valorile lui u pe ∂Ω.
Vom arǎta ce devine aceastǎ formulǎ de reprezentare ı̂n cazul funcţiilor
armonice.
Definiţia 6.3.1 Zicem cǎ funcţia u : Ω ⊂ IRn → IR1 este armonicǎ ı̂n Ω
dacǎ funcţia este de clasǎ C 2 ı̂n Ω şi dacǎ
∆u =
n
X
∂2u
i=1
∂x2i
= 0,
(∀)(x1 , . . . , xn ) ∈ Ω.
Observaţia 6.3.1 În condiţiile din Teorema 6.3.5 (de reprezentare), dacǎ
funcţia u este armonicǎ ı̂n Ω, atunci avem:
Z
1
1
∂u
u(X) =
(Y ) dSY −
n−2
(n − 2)σn ∂Ω kX − Y k
∂n̄Y
Z
∂
1
−
u(Y )
dSY .
∂n̄Y kX − Y kn−2
∂Ω
Teorema 6.3.6 (de reprezentare a funcţiilor armonice)
Dacǎ Ω ⊂ IRn este un domeniu şi u : Ω̄ → IR1 este o funcţie armonicǎ ı̂n Ω
(∆u = 0), atunci pentru orice x ∈ Ω şi orice r > 0 astfel ı̂ncât bila ı̂nchisǎ
B̄(0, r) = {Y ∈ IRn | kY k ≤ r} este inclusǎ ı̂n Ω are loc egalitatea:
Z
1
u(X) =
u(Y ) dSY
(6.19)
σn r n−2 ∂ B̄(X,r)
Demonstraţie: Demonstraţia este analoagǎ cu cea din cazul n = 2.
Observaţia 6.3.2 Dacǎ Ω ⊂ IRn este un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω
netedǎ (parţial netedǎ) şi u : Ω̄ → IR1 este o funcţie de clasǎ C 1 pe Ω̄ şi este
armonicǎ ı̂n Ω (∆u = 0 ı̂n Ω), atunci:
Z
∂u
dS = 0.
∂Ω ∂n̄
200
CAPITOLUL 6
Teorema 6.3.7 (de extrem a funcţiilor armonice)
netedǎ) şi u : Ω̄ → IR1 este o funcţie continuǎ pe Ω̄ şi armonicǎ ı̂n Ω (∆u = 0
ı̂n Ω), atunci funcţia u este constantǎ sau ı̂şi atinge extremele pe frontiera
∂Ω.
Demonstraţie: Demonstraţia este analoagǎ cu cea din cazul n = 2.
Consecinţa 6.3.1 Dacǎ ∆u = 0 şi u|∂Ω = 0 atunci u = 0.
Consecinţa 6.3.2 Existǎ cel mult o funcţie u de clasǎ C 2 ı̂n Ω şi de clasǎ
C 1 pe Ω̄ care verificǎ
∆u = F
u|∂Ω = f
unde F şi f sunt douǎ funcţii date, F : Ω̄ → IR1 este continuǎ pe Ω̄ şi
f : ∂Ω → IR1 este continuǎ pe ∂Ω.
201
Probleme la limitǎ pentru ecuaţia lui Poisson
6.4
Probleme la limitǎ pentru
ecuaţia lui Poisson
Fie Ω ⊂ IRn un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi
f o funcţie f : Ω̄ → IR1 de clasǎ C 1 pe Ω.
Definiţia 6.4.1 Ecuaţia lui Poisson este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ
de forma
−∆u = f (X), (∀)X = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω
(6.20)
dintre o funcţie necunoscutǎ u : Ω → IR1 şi funcţia datǎ f de clasǎ C 1 pe Ω̄.
În ecuaţia (6.20) ∆u ı̂nseamnǎ
n
X
∂2u
i=1
∂x2i
(adicǎ Laplacianul funcţiei u) iar
funcţia u : Ω̄ → IR1 este soluţie clasicǎ dacǎ este continuǎ pe Ω̄, de clasǎ C 2
ı̂n Ω şi satisface egalitatea:
n
X
∂2u
i=1
∂x2i
(x1 , ..., xn ) = f (x1 , ..., xn ),
(∀)(x1 , ..., xn ) ∈ Ω.
Definiţia 6.4.2 Problema Dirichlet pentru ecuaţia lui Poisson este problema determinǎrii acelor soluţii ale ecuaţiei (6.20) care verificǎ condiţia la
frontierǎ
u|∂Ω = h
(6.21)
unde h este o funcţie h : ∂Ω → IR1 continuǎ pe ∂Ω consideratǎ cunoscutǎ.
Problema Dirichlet pentru ecuaţia lui Poisson se noteazǎ tradiţional:
−∆u = f, (∀)(x1 , ..., xn ) ∈ Ω
.
(6.22)
u|∂Ω = h
Definiţia 6.4.3 Problema Neumann pentru ecuaţia lui Poisson este problema determinǎrii acelor soluţii ale ecuaţiei (6.20) care verificǎ condiţia la
frontierǎ
∂u =g
(6.23)
∂n̄ ∂Ω
unde g este o funcţie g : ∂Ω → IR1 continuǎ pe ∂Ω consideratǎ cunoscutǎ şi
n̄ este versorul normalei exterioare.
202
CAPITOLUL 6
Problema Neumann pentru ecuaţia lui Poisson se noteazǎ tradiţional:

 −∆u
= f, (∀)(x1 , ..., xn ) ∈ Ω
∂u .
(6.24)
=g

∂n̄ ∂Ω
Teorema 6.4.1 (de unicitate a soluţiei Problemei Dirichlet)
Dacǎ Problema Dirichlet (6.22) are soluţie, aceastǎ soluţie este unicǎ.
Demonstraţie: Fie u1 şi u2 douǎ soluţii ale Problemei Dirichlet (6.22).
Considerǎm funcţia u = u1 − u2 pentru care avem:
∆u = 0
şi
u|∂Ω = 0.
Rezultǎ de aici, pe baza principiului de maxim a funcţiilor armonice, cǎ
u ≡ 0. Prin urmare u1 = u2 .
Teorema 6.4.2 (de neunicitate a soluţiei Problemei Neumann)
Dacǎ u este o soluţie a Problemei Neumann (6.24), atunci şi u + C este
o soluţie a Problemei Neumann, unde C este o constantǎ. Dacǎ u, v sunt
soluţii ale Problemei Neumann (6.24), atunci u − v = const.
Demonstraţie: Fie u o soluţie a problemei (6.24) şi v = u + C. Întrucât
∂u ∂v =
= g, rezultǎ cǎ v este soluţie a problemei (6.24).
∆v = ∆u şi
∂n̄ ∂Ω
∂n̄ ∂Ω
Dacǎ u, v sunt soluţii ale problemei (6.24) atunci w = u − v verificǎ:
∂w = 0.
∆w = 0 şi
∂n̄ ∂Ω
În baza formulelor de reprezentare rezultǎ w = const.
Teorema 6.4.3 Condiţia necesarǎ pentru ca Problema Neumann (6.24) sǎ
aibǎ soluţie este ca funcţiile f şi g sǎ verifice egalitatea:
Z
Z
g(Y ) dSY + f (Y ) dY = 0.
(6.25)
∂Ω
Ω
Probleme la limitǎ pentru ecuaţia lui Poisson
203
Demonstraţie: Sǎ presupunem cǎ Problema Neumann (6.24) are o soluţie
u. Considerând funcţiile u şi 1, aplicǎm cea de-a doua formulǎ a lui Green
acestor funcţii:
Z
Z ∂u
∂1
(∆u · 1 − u ∆1) dY =
−u
dSY .
∂n̄Y
∂n̄Y
Ω
∂Ω
∂1
∂u Ţinând seama de egalitǎţile −∆u = f ,
= g, ∆1 = 0 şi
= 0
∂n̄Y ∂Ω
∂n̄Y
obţinem relaţia (6.25).
Din cele prezentate pânǎ acum nu rezultǎ cǎ Problema Dirichlet (6.22)
sau Problema Neumann (6.24) are soluţie. În paragrafele urmǎtoare vom
prezenta metoda funcţiilor Green pentru a arǎta cǎ ı̂n anumite condiţii aceste
probleme au soluţie şi apoi vom reprezenta aceste soluţii.
204
6.5
CAPITOLUL 6
Funcţia Green pentru Problema
Dirichlet
Considerǎm un domeniu Ω ⊂ IRn mǎrginit, cu frontiera netedǎ (parţial
netedǎ), funcţia f : Ω̄ → IR1 de clasǎ C 1 pe Ω̄ şi funcţia h : ∂Ω → IR1
continuǎ pe ∂Ω. Aceste elemente definesc Problema Dirichlet:
−∆u = f, (∀)(x1 , ..., xn ) ∈ Ω
.
(6.26)
u|∂Ω = h
Definiţia 6.5.1 Numim funcţie Green pentru o Problemǎ Dirichlet o funcţie
G de forma:
G(X, Y ) = E(X, Y ) − v(X, Y )
(6.27)
ı̂n care
 1
1

ln
,
(∀)X,Y ∈ Ω, X 6= Y, n = 2

2π
kX −Y k
E(X, Y ) =
1
1


·
, (∀)X,Y ∈ Ω, X 6= Y, n > 2
(n−2)σn kX −Y kn−2
(6.28)
iar funcţia v(X, Y ) are urmǎtoarele proprietǎţi:
a) Y 7→ v(X, Y ) este funcţie armonicǎ ı̂n Ω şi continuǎ pe Ω̄ pentru orice
X = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω, X fixat.
b) pentru X ∈ Ω, X fixat, G(X, Y ) = 0, (∀)Y = (y1 , . . . , yn ) ∈ ∂Ω.
Propoziţia 6.5.1 Dacǎ existǎ funcţia Green G(X, Y ) pentru Problema
Dirichlet, atunci ea este unicǎ.
Demonstraţie: Dacǎ G1 , G2 sunt douǎ funcţii Green pentru Problema
Dirichlet, atunci pentru orice X ∈ Ω fixat,
v(X, Y ) = v1 (X, Y ) − v2 (X, Y )
este funcţie armonicǎ ı̂n Ω şi identic nulǎ pe ∂Ω. Rezultǎ v(X, Y ) = 0,
(∀)Y ∈ Ω, şi (∀)X ∈ Ω, fixat. Aceasta aratǎ cǎ v(X, Y ) ≡ 0, adicǎ
v1 (X, Y ) = v2 (X, Y ).
205
Funcţia Green pentru Problema Dirichlet
Propoziţia 6.5.2 Dacǎ pentru orice X ∈ Ω̄ funcţia Y 7→ v(X, Y ) este de
clasǎ C 1 pe Ω̄, atunci funcţia Green este simetricǎ, adicǎ:
G(X1 , X2 ) = G(X2 , X1 ), (∀)X1 , X2 ∈ Ω şi X1 6= X2 .
(6.29)
Demonstraţie: Se considerǎ funcţiile P (Y )=G(X1, Y) şi Q(Y )=G(X2, Y) şi se
aplicǎ cea de-a doua formulǎ a lui Green pentru aceste funcţii pe domeniul
Ωε = Ω \ (B(X1 ,ε) ∪ B(X2 ,ε)), unde B(Xi ,ε) = {X : kX −Xi k<ε}, i = 1, 2. Se
obţine egalitatea:
Z
Z
∂P
∂Q
∂P
∂Q
P
−Q
dSY +
P
−Q
dSY = 0.
∂n̄Y
∂n̄Y
∂n̄Y
∂n̄Y
∂B(X1 ,ε)
∂B(X2 ,ε)
Trecând la limitǎ pentru ε → 0 ı̂n aceastǎ egalitate, se obţine simetria.
Teorema 6.5.1 Dacǎ G este funcţia Green pentru Problema Dirichlet (6.26)
şi u este soluţia acestei probleme, atunci are loc egalitatea:
Z
Z
∂G(X, Y )
u(X) = − G(X, Y ) · f (Y ) dY −
h(Y ) ·
dSY .
(6.30)
∂n̄Y
Ω
∂Ω
Demonstraţie: Scriem cea de-a doua formulǎ a lui Green pentru funcţiile
u(Y ) şi Y 7→ v(X, Y ), precum şi formula generalǎ de reprezentare a funcţiei
u(X) (formula (6.18)). Prin adunarea acestora rezultǎ (6.30).
Observaţia 6.5.1 Aceastǎ teoremǎ aratǎ cǎ dacǎ existǎ o funcţie Green G
pentru Problema Dirichlet (6.26) care are soluţia u, atunci u se reprezintǎ sub
forma (6.30) cu ajutorul lui G. Este adevǎratǎ şi afirmaţia reciprocǎ: dacǎ
G este funcţia Green pentru Problema Dirichlet, atunci funcţia u definitǎ
cu (6.30) este soluţia problemei Dirichlet (6.26). Metoda de determinare
a soluţiei Problemei Dirichlet pe aceastǎ cale se numeşte metoda funcţiei
Green.
Exemplul 6.5.1
Fie Ω = {X ∈ IR3 | kXk < r} şi ∂Ω = {X ∈ IR3 | kXk = r}. Soluţia
Problemei Dirichlet
−∆u = 0, (∀)X ∈ Ω
u|∂Ω = h
unde h este o funcţie continuǎ pe ∂Ω, este datǎ de formula lui Poisson:
Z
1
r 2 − kXk2
u(X) =
h(Y ) dSY
(6.31)
4πr ∂Ω kX − Y k3
206
CAPITOLUL 6
ı̂ntrucât funcţia G(X, Y ) definitǎ prin
G(X, Y ) =
r
1
−
4πkX − Y k 4πkX ∗ − Y k
(6.32)
unde X ∗ este conjugatul lui X faţǎ de sfera ∂Ω (adicǎ X, X ∗ sunt coliniare
şi kXk · kX ∗ k = r) este funcţia Green pentru aceastǎ Problemǎ Dirichlet.
Observaţia 6.5.2
Determinarea funcţiei Green pentru Problema
Dirichlet revine la determinarea funcţiei v = v(X, Y ) ceea ce revine, conform definiţiei funcţiei Green, la rezolvarea Problemei Dirichlet:
−∆Y v(X, Y ) = 0
(6.33)
v(X, Y )|Y ∈∂Ω = E(X, Y )|Y ∈∂Ω
Aceastǎ problemǎ este aparent mai simplǎ decât Problema Dirichlet (6.26)
dar ı̂n realitate ea este rezolvatǎ pentru domenii Ω particulare, prin metode
geometrice. Din acest motiv demonstraţia existenţei soluţiei Problemei Dirichlet (6.26) prin folosirea funcţiei Green se poate face doar pentru domenii Ω
particulare pentru care se ştie cǎ existǎ funcţia Green.
Exerciţii
1. Determinaţi soluţia Problemei Dirichlet:
 2
∂ u ∂2u ∂2u


+
+
= 0, ı̂n Ω = {(x1 , x2 , x3 ) | x21 + x22 + x23 < r 2 }

∂x21 ∂x22 ∂x23



u(x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 )2 , pentru (x1 , x2 , x3 ) ∈ ∂Ω.
2. Determinaţi funcţia Green a Problemei Dirichlet pentru cerc şi rezolvaţi
o Problemǎ Dirichlet pentru cerc.
207
Funcţia Green pentru Problema Neumann
6.6
Funcţia Green pentru Problema
Neumann
Considerǎm Problema Neumann

−∆u = f, (∀)(x1 , . . . , xn ) ∈ Ω



∂u 

=g

∂n̄ ∂Ω
(6.34)
ı̂n care f : Ω → IR1 este funcţie de clasǎ C 1 pe Ω̄ şi g : ∂Ω → IR1 este funcţie
continuǎ.
Presupunem cǎ funcţiile f şi g verificǎ:
Z
Z
f (Y ) dY +
g(Y ) dSY = 0.
(6.35)
Ω
∂Ω
Definiţia 6.6.1 Numim funcţia Green pentru Problema Neumann (6.34)
orice funcţie G de forma
care verificǎ
G(X, Y ) = E(X, Y ) − v(X, Y )
(6.36)
∂G
(X, Y ) = 0, (∀)Y = (y1 , . . . , yn ) ∈ ∂Ω
∂n̄Y
(6.37)
unde v : Ω × Ω → IR1 şi pentru orice Y ∈ Ω fixat funcţia Y 7→ v(X, Y ) este
armonicǎ pe Ω, iar E(X, Y ) este definitǎ pentru orice X, Y ∈ Ω, X 6= Y şi
este datǎ de:
 1
1

ln
,
(∀)X,Y ∈ Ω, X 6= Y, n = 2

2π
kX
−Y
k
E(X, Y ) =
(6.38)
1
1


·
,
(∀)X,Y
∈
Ω,
X
=
6
Y,
n
>
2
(n−2)σn kX −Y kn−2
Observaţia 6.6.1 Dacǎ G1 şi G2 sunt funcţii Green pentru Problema
Neumann, atunci G1 − G2 = const.
Propoziţia 6.6.1 Dacǎ pentru orice X ∈ Ω̄ funcţia Y 7→ v(X, Y ) este de
clasǎ C 1 pe Ω̄, atunci funcţia Green pentru Problema Neumann este
simetricǎ:
G(X1 , X2 ) = G(X2 , X1 ), (∀)X1 , X2 ∈ Ω şi X1 6= X2 .
(6.39)
208
CAPITOLUL 6
Demonstraţie: Analoagǎ cu cea din cazul funcţiei Green pentru Problema
Dirichlet.
Teorema 6.6.1 Dacǎ G este o funcţie Green pentru Problema Neumann
(6.34) şi u este o soluţie a acestei probleme, atunci existǎ o constantǎ C
astfel ca sǎ aibe loc egalitatea:
Z
Z
u(X) = − G(X, Y ) · f (Y ) dY +
E(X, Y ) · g(Y ) dSY + C. (6.40)
Ω
∂Ω
Demostraţie: Analoagǎ cu cea de la cazul soluţiei Problemei Dirichlet.
Observaţia 6.6.2 Determinarea funcţiei Green pentru Problema Neumann
revine la determinarea funcţiei v(X, Y ) ceea ce ı̂nseamnǎ, conform definiţiei
funcţiei Green pentru Problema Neumann, rezolvarea Problemei Neumann

−∆Y v(X, Y ) = f, (∀)(x1 , . . . , xn ) ∈ Ω



(6.41)
∂E ∂v 

=

∂n̄Y ∂Ω
∂n̄Y ∂Ω
Aceastǎ problemǎ este aparent mai simplǎ decât Problema Neumann
(6.34), dar ı̂n realitate este complexǎ. De aceea demonstraţia existenţei
soluţiei Problemei Neumann (6.34) prin folosirea funcţiei Green se poate
face doar pentru cazuri pentru care se ştie cǎ existǎ funcţia Green.
209
Probleme pentru ecuaţia lui Laplace pe disc
6.7
Problemele Dirichlet şi Neumann
pentru ecuaţia lui Laplace pe disc.
Separarea variabilelor.
Considerǎm mulţimea Ω = {(x1 , x2 ) ∈ IR2 | x21 + x22 < R2 } care va fi numitǎ
disc centrat ı̂n origine şi de razǎ R.
Ecuaţia lui Poisson pe Ω este ecuaţia:
∂2u ∂2u
+
= −f (x1 , x2 )
∂x21 ∂x22
(6.42)
unde f este o funcţie de clasǎ C 1 pe Ω̄.
Dacǎ funcţia f este identic nulǎ, atunci ecuaţia lui Poisson devine:
∂2u ∂2u
+
=0
∂x21 ∂x22
(6.43)
şi se numeşte ecuaţia lui Laplace pe discul Ω de razǎ R.
Problema Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace pe discul de razǎ R ı̂nseamnǎ
determinarea acelor soluţii ale ecuaţiei (6.43) care pe frontiera discului ∂Ω
coincid cu o funcţie continuǎ h dinainte datǎ, adicǎ
 2
 ∂ u ∂2u
+
= 0, (∀)(x1 , x2 ) ∈ Ω
(6.44)
∂x21 ∂x22

u |∂Ω = h
Soluţia acestei Probleme Dirichlet se poate determina folosind funcţia
Green pentru Problema Dirichlet.
Problema Neumann pentru ecuaţia lui Laplace pe discul de razǎ R ı̂nseamnǎ
determinarea acelor soluţii ale ecuaţiei (6.43) ale cǎror derivatǎ dupǎ direcţia
versorului normalei exterioare la ∂Ω coincide cu o funcţie continuǎ g dinainte
datǎ pe ∂Ω, adicǎ:
 2
∂ u ∂2u


+
= 0, ∀(x1 , x2 ) ∈ Ω

∂x21 ∂x22
(6.45)
∂u 

=
g

∂n ∂Ω
210
CAPITOLUL 6
Pentru ca problema (6.45) sǎ aibe soluţie este necesar ca
Z
g(Y )dsY = 0
(6.46)
∂Ω
şi dacǎ aceastǎ condiţie este ı̂ndeplinitǎ, atunci, folosind funcţia Green pentru
Problema Neumann, se pot determina soluţiile prolemei (6.45), (care diferǎ
printr-o constantǎ aditivǎ).
Scopul nostru ı̂n acest paragraf este sǎ prezentǎm o altǎ metodǎ, numitǎ
”separarea variabilelor”, cu care se pot determina soluţiile problemelor (6.44)
şi (6.45). Deoarece s-a considerat Ω ca fiind un domeniu circular vom face
mai ı̂ntâi o schimbare de coordonate, mai exact vom scrie problemele (6.44)
şi (6.45) ı̂n coordonate polare:
x1 = r cos ϕ
, r > 0, ϕ ∈ [0, 2π).
(6.47)
x2 = r sin ϕ
Notǎm cu T transformarea (r, ϕ) → (x1 , x2 ) definitǎ de (6.47). Dacǎ u este
o funcţie care satisface ecuaţia (6.43) atunci notǎm cu u
e funcţia u
e = u ◦ T.
Folosind regulile de derivare ale funcţiilor compuse deducem cǎ u
e verificǎ
ecuaţia:
∂2u
e
1 ∂2u
e 1 ∂e
u
+
+
=0
(6.48)
∂r 2
r 2 ∂ϕ2 r ∂r
care se numeşte ecuaţia lui Laplace ı̂n coordonate polare.
Metoda separǎrii variabilelor constǎ ı̂n cǎutarea unor soluţii u
e(r, ϕ) de
forma:
u
e(r, ϕ) = P (r) · Q(ϕ)
(6.49)
adicǎ soluţii care sunt produse de funcţii ce depind fiecare de câte o variabilǎ
r, respectiv ϕ. Impunând la (6.49) sǎ verifice (6.48) rezultǎ:
r2
P ′′
P′
Q′′
+r
=− .
P
P
Q
(6.50)
Membrul stâng ı̂n aceastǎ egalitate depinde doar de r iar membrul drept de
ϕ. Cum r şi ϕ sunt variabile independente rezultǎ cǎ fiecare membru este
constant. Dacǎ notǎm cu λ aceastǎ constantǎ atunci deducem din (6.50)
egalitǎţile:
r 2 P ′′ + rP ′ − λP = 0
(6.51)
Q′′ + λQ = 0
211
(6.52)
Deoarece funcţia u
e este de clasǎ C 2 soluţia ecuaţiei (6.52) trebuie sǎ verifice
Q(0) = Q(2π). De aici rezultǎ cǎ λn = n2 , n ∈ IN.
Pentru λn = n2 avem:
Qn (ϕ) = An cos nϕ + Bn sin nϕ
(6.53)
ı̂n care An şi Bn sunt constante arbitrare.
Ecuaţia (6.51) este liniarǎ de tip Euler şi se rezolvǎ fǎcându-se schimbarea
de variabilǎ r = et . Pentru λ = n2 soluţia generalǎ este:
Pn (r) = Cn r n + Dn r −n , dacǎ n = 1, 2, ...
P0 (r) = A0 + B0 ln r, dacǎ n = 0.
(6.54)
(6.55)
Rezultǎ ı̂n acest fel cǎ (6.48) admite urmǎtoarea familie de soluţii:

n=0
 A0 + B0 ln r,
r n (An cos nϕ + Bn sin nϕ),
n = 1, 2, ...
u
en (r, ϕ) =
 −n
r (A−n cos nϕ + B−n sin nϕ), n = 1, 2, ...
(6.56)
ı̂n care A0 , B0 , An , Bn , A−n , B−n sunt constante oarecare.
Observaţia 6.7.1 Orice sumǎ finitǎ de soluţii de forma (6.48) este soluţie
pentru ecuaţia (6.48).
Definiţia 6.7.1 O soluţie formalǎ a ecuaţiei lui Laplace ı̂n coordonate polare
este o ”funcţie” u
e(r, ϕ) de forma:
u
e(r, ϕ)=A0 +B0 ln r+
∞
X
n=1
[(An r n +A−n r −n ) cos nϕ+(Bn r n +B−n r −n ) sin nϕ]
(6.57)
Denumirea de soluţie formalǎ provine de la faptul cǎ nu avem informaţii
relative la convergenţa seriei (6.57). Ceea ce este clar este cǎ, termenii seriei
(6.57) sunt soluţii şi cǎ, dacǎ seria are doar un numǎr finit de termeni diferiţi
de zero, atunci suma este o funcţie care este soluţie a ecuaţiei lui Laplace.
212
CAPITOLUL 6
Pentru determinarea soluţiei Problemei Dirichlet (6.44), mai ı̂ntâi sriem
problema ı̂n coordonate polare:
 2
∂ u
e
1 ∂2u
e 1 ∂e
u



+
+
= 0, r < R, ϕ ∈ [0, 2π)

2
2
2

∂r
r ∂ϕ
r ∂r






 u
e(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)
(6.58)



lim | u
e(r, ϕ) |< +∞


r→0






 u
e(R, ϕ) = e
h(ϕ)
unde e
h(ϕ) = h(R cos ϕ, R sin ϕ).
Considerǎm dezvoltarea funcţiei e
h ı̂n serie Fourier ı̂n L2 [0, 2π)
e
h(ϕ) = a0 +
∞
X
(an cos nϕ + bn sin nϕ)
(6.59)
n=1
şi impunem soluţiei formale u
e(r, ϕ) datǎ de (6.57) sǎ verifice condiţiile (6.58).
Deducem:
bn
an
A0 = a0 , An = n şi Bn = n
R
R
care ı̂nlocuite, conduc la soluţia formalǎ:
∞
X
rn
u
e(r, ϕ) = a0 +
(an cos nϕ + bn sin nϕ).
Rn
n=1
(6.60)
Pentru a demonstra cǎ aceastǎ soluţie formalǎ este soluţia problemei vom
presupune cǎ funcţia e
h este de clasǎ C 2 şi e
h(0) = e
h(2π). În aceste condiţii
pentru coeficienţii Fourier an , bn ai funcţiei e
h putem scrie:
1
1
1
1
an = − bn ′ = − 2 an ′′ şi bn = an ′ = − 2 bn ′′ .
n
n
n
n
(6.61)
unde a′n , b′n şi a′′n , b′′n sunt coeficienţii Fourier ai funcţiei e
h′ , respectiv e
h′′ .
∞
X
Din apartenenţa e
h′′ ∈ L2 [0, 2π) avem
(|an ′′|2 + |bn ′′|2 ) < +∞ de unde
n=1
rezultǎ cǎ existǎ M > 0 astfel ı̂ncât sǎ avem |an ′′ | ≤ M şi |bn ′′ | ≤ M pentru
213
orice n ∈ IN. De aici şi din (6.61) se obţine inegalitatea:
∞
X
∞
X
1
(|an | + |bn | ) ≤ 2M
< +∞
n2
n=1
n=1
2
2
Cu criteriul lui Weierstrass rezultǎ de aici cǎ seria (6.60) este absolut şi
uniform convergentǎ pe [0, R] × [0, 2π], deci funcţia u
e(r, ϕ) definitǎ de (6.60)
este corect definitǎ şi este continuǎ pe [0, R] × [0, 2π].
Derivabilitatea u
e(r, ϕ) rezultǎ din derivabilitatea termenilor seriei (6.60)
şi din faptul cǎ seriile obţinute prin derivare termen cu termen sunt absolut
şi uniform convergente fiind majorate de serii de forma
∞
X
n=1
np
r n
R
[| an | + | bn |], p = 1, 2, ...
Calculând suma seriei obţinem formula:
Z 2π
1
R2 − r 2
e
u
e(r, ϕ) =
dθ
h(θ) 2
2π 0
r − 2Rr cos(ϕ − θ) + R2
(6.62)
numitǎ formula lui Poisson.
Pentru determinarea soluţiei Problemei Neumann se procedeazǎ
asemǎnǎtor.
Exerciţii
1.Gǎsiţi soluţia Problemei Dirichlet:
 2
 ∂ u ∂2u
+
= 0,
x21 + x22 < R2
∂x21 ∂x22

u(x1 , x2 ) = (x1 + x2 )2 , x21 + x22 = R2
R: u(x1 , x2 ) = R2 + 2x1 x2
2.Gǎsiţi soluţia Problemei Dirichlet:
 2
 ∂ u ∂2u
+
= 0,
x21 + x22 < 1
∂x21 ∂x22

u(x1 , x2 ) = x1 · x2 , x21 + x22 = 1
214
R: u(x1 , x2 ) = x1 x2
3.Gǎsiţi soluţia Problemei Neumann:
 2
∂ u ∂2u


+
= 0,
x21 + x22 < R2
∂x21 ∂x22

 ∂u = x1 + x2 − x2 , x2 + x2 = R2
1
2
1
2
∂e
n
R
R: u(x1 , x2 ) = A0 + Rx1 + (x21 − x22 )
2
CAPITOLUL 6
Calculul simbolic al soluţiei Problemei Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace pe disc
6.8
215
Calculul simbolic al soluţiei Problemei
Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace
pe disc
Cosiderǎm Problema Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace pe discul de
razǎ R:
 2
 ∂ u ∂2u
+
= 0, (∀)(x, y) ∈ Ω
∂x2 ∂y 2

u |∂Ω = h
(6.63)
Funcţia pdsolve nu poate gǎsi direct, prin calcul simbolic soluţia corespunzǎtoare unei astfel de probleme. Astfel, pe baza noţiunilor teoretice
prezentate ı̂n paragraful precedent (formula pentru soluţia formalǎ), vom
prezenta un program in Maple care sǎ afişeze expresia analiticǎ a soluţiei
Problemei Dirichlet (6.63).
Scriind problema ı̂n coordonate polare:
 2
∂ u
e
1 ∂2u
e 1 ∂e
u



+
+
= 0, r < R, ϕ ∈ [0, 2π)

2
2 ∂ϕ2

∂r
r
r
∂r






 u
e(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)
(6.64)



lim | u
e(r, ϕ) |< +∞


r→0






 u
e(R, ϕ) = e
h(ϕ)
şi dezvoltând funcţia e
h ı̂n serie Fourier, se obţine soluţia formalǎ:
u
e(r, ϕ) = a0 +
∞
X
rn
(an cos nϕ + bn sin nϕ).
n
R
n=1
ı̂n care a0 , an , bn sunt coeficienţii Fourier:
Z π
Z
1
1 πe
e
a0 =
h(ϕ)dϕ an =
h(ϕ) · cos nϕdϕ
2π −π
π −π
Z
1 πe
bn =
h(ϕ) · sin nϕdϕ
π −π
(6.65)
216
CAPITOLUL 6
Aceastǎ soluţie formalǎ se obţine ı̂n Maple cu ajutorul procedurii DirichletInt:
>
>
>
>
>
>
>
>
restart;
DirichletInt:=proc(f,R)
local a0,a,b;
a0:=(1/(2*Pi))*Int(f,phi=-Pi..Pi);
a:=n->1/Pi*Int(f*cos(n*phi),phi=-Pi..Pi);
b:=n->1/Pi*Int(f*sin(n*phi),phi=-Pi..Pi);
a0+add(r^n/R^n*(a(n)*cos(n*phi)+b(n)*sin(n*phi)),n=1..Order);
RETURN(map(simplify,value(%)));
end:
Apelarea acestei proceduri se realizeazǎ cu instrucţiunea DirichletInt(f, R)
ı̂n care f este funcţia e
h din problema (6.64), dupǎ cum se poate observa din
urmǎtoarele exemple:
Exemplul 1:
 2
 ∂ u ∂2u
+
= 0,
x21 + x22 < R2
∂x21 ∂x22

u(x1 , x2 ) = (x1 + x2 )2 , x21 + x22 = R2
>
>
>
f:=(x1+x2)^2: R:=R:
f:=subs(x1=r*cos(phi),x2=r*sin(phi),r=R,f);
f := (R cos (φ) + R sin (φ))2
sol1:=DirichletInt(f,R);
sol1 := R2 + r 2 sin (2 φ)
Exemplul 2:
 2
 ∂ u ∂2u
+
= 0,
x21 + x22 < 1
∂x21 ∂x22

u(x1 , x2 ) = x1 · x2 , x21 + x22 = 1
Calculul simbolic al soluţiei Problemei Dirichlet pentru ecuaţia lui Laplace pe disc
>
>
>
f:=x1*x2: R:=1:
f:=subs(x1=r*cos(phi),x2=r*sin(phi),r=R,f);
f := cos (φ) sin (φ)
sol2 := 1/2 r 2 sin (2 φ)
Exemplul 3:
 2
∂ u
e
1 ∂2u
e 1 ∂e
u


+
+
= 0, r < 1, ϕ ∈ [0, 2π)

2
2
2

∂r
r ∂ϕ
r ∂r






 u
e(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)
>
>




lim | u
e(r, ϕ) |< +∞


r→0





u
e(1, ϕ) = sin3 ϕ
f:=sin(phi)^3: R:=1:
sol3 := 3/4 r sin (φ) − 1/4 r 3 sin (3 φ)
Exemplul 4:
 2
1 ∂2u
e 1 ∂e
u
∂ u
e


+
+
= 0, r < 1, ϕ ∈ [0, 2π)

2
2
2

∂r
r ∂ϕ
r ∂r






 u
e(r, ϕ) = u(r, ϕ + 2π)
>
>




lim | u
e(r, ϕ) |< +∞


r→0





u
e(1, ϕ) = sin6 ϕ + cos6 ϕ
f:=sin(phi)^6+cos(phi)^6: R:=1:
sol4 := 5/8 + 3/8 r 4 cos (4 φ)
217
Capitolul 7
Soluţii generalizate.
Metode variaţionale
În capitolul anterior ne-am ocupat de rezolvarea Problemei Dirichlet şi a
Problemei Neumann ı̂n cazul ecuaţiei lui Poisson. Particularitatea acestei
ecuaţii constǎ ı̂n aceea cǎ ecuaţia elipticǎ este definitǎ de Laplacianul △.
În cele ce urmeazǎ vom considera ecuaţii eliptice mai generale, numite
ecuaţii eliptice de tip divergenţǎ pentru care vom formula conceptul de Problemǎ Dirichlet. Pe lângǎ conceptul de soluţie clasicǎ introducem şi conceptul
de soluţie generalizatǎ şi prezentǎm condiţii ı̂n care soluţia generalizatǎ existǎ
şi este unicǎ.
Deasemenea , ı̂n acest capitol introducem Problema Cauchy-Dirichlet
pentru ecuaţii parabolice şi hiperbolice, şi prezentǎm condiţii ı̂n care soluţia
generalizatǎ a acestor probleme existǎ.
218
219
Ecuaţia elipticǎ de tip divergenţǎ şi Problema Dirichlet
7.1
Ecuaţia elipticǎ de tip divergenţǎ şi
Problema Dirichlet pentru aceastǎ ecuaţie
Considerǎm un domeniu mǎrginit Ω ⊂ IRn cu frontiera ∂Ω netedǎ (parţial
netedǎ) şi funcţiile reale aij , c şi F definite pe Ω (i, j = 1, n) având urmǎtoarele
proprietǎţi:
1) aij sunt de clasǎ C 1 pe Ω şi existǎ µ0 > 0 astfel ı̂ncât pentru orice
X = (x1 , ..., xn ) ∈ Ω şi orice (ξ1 , ξ2, . . . , ξn ) ∈ IRn avem
n
X
i,j=1
aij (X) · ξi · ξj ≥ µ0 ·
n
X
ξi2 şi
aij (X) = aji(X)
i=1
2) funcţia c este continuǎ pe Ω şi c(X) ≥ 0, (∀)X ∈ Ω.
3) funcţia F este continuǎ pe Ω.
Definiţia 7.1.1 Se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale elipticǎ de tip divergenţǎ
o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma
!
n
n
X
X
∂
∂u
+ c(X) · u = F (X), (∀) X ∈ Ω
(7.1)
−
aij (X) ·
∂xi j=1
∂xj
i=1
dintre funcţia necunoscutǎ u şi derivatele sale parţiale de ordinul ı̂ntâi şi de
ordinul al doilea.
În ecuaţia (7.1) funcţiile aij , c şi F se considerǎ cunoscute.
Definiţia 7.1.2 O funcţie realǎ u de clasǎ C 2 pe Ω care verificǎ
!
n
n
X
X
∂
∂u
−
aij (X) ·
(X) + c(X) · u(X) = F (X), (∀) X ∈ Ω
∂x
∂x
i
j
i=1
j=1
se numeşte soluţie clasicǎ a ecuaţiei (7.1).
Definiţia 7.1.3 Problema determinǎrii acelor soluţii u ale ecuaţiei (7.1)
care sunt continue pe Ω şi verificǎ condiţia la frontierǎ
u|∂Ω = h
se numeste Problemǎ Dirichlet pentru ecuaţia (7.1).
(7.2)
220
CAPITOLUL 7
În egalitatea (7.2), h este o funcţie realǎ continuǎ pe ∂Ω, consideratǎ cunoscutǎ.
Problema Dirichlet pentru ecuaţia cu derivate parţiale elipticǎ de tip divergenţǎ
se noteazǎ cu
!

n
n
X

∂ X
∂u


aij (X) ·
+ c(X) · u = F (X), (∀) X ∈ Ω
 −
∂xi j=1
∂xj
i=1
(7.3)




u|∂Ω = h.
Observaţia 7.1.1 Dacǎ existǎ o funcţie H : Ω′ ⊃ Ω → IR′ de clasǎ C 2
astfel ı̂ncât H|∂Ω = h atunci u este soluţie a Problemei Dirichlet (7.3) dacǎ
şi numai dacǎ funcţia v = u − H este soluţia Problemei Dirichlet:
!

n
n
X

∂v
∂ X


aij (X) ·
+ c(X) · v = G(X), (∀) X ∈ Ω
 −
∂xi j=1
∂xj
i=1
(7.4)




v|∂Ω = 0
n
X
∂
unde G(X) = F (X) − c(X) · H(X) +
∂xi
i=1
n
X
∂H
aij (X) ·
∂xj
j=1
!
.
Astfel, printr-o schimbare de funcţie Problema Dirichlet cu condiţii pe frontierǎ neomogene se reduce la o Problemǎ Dirichlet cu condiţii pe frontierǎ
omogene.
Datoritǎ acestui fapt, ı̂n cele ce urmeazǎ vom considera Probleme
Dirichlet ı̂n care funcţia h datǎ pe frontierǎ este identic nulǎ.
Observaţia 7.1.2 Dacǎ se considerǎ spaţiul vectorial al funcţiilor reale u
continue pe Ω de clasǎ C 2 ı̂n Ω şi nule pe frontierǎ :
D = u | u : Ω → IR1 , u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) şi u|∂Ω = 0 },
şi operatorul diferenţial A definit pe acest spaţiu vectorial D cu formula:
!
n
n
X
X
∂
∂u
(Au)(X) = −
aij (X) ·
+ c(X) · u
(7.5)
∂xi j=1
∂xj
i=1
atunci Problema Dirichlet :
!

n
n
X

∂u
∂ X


aij (X) ·
+ c(X) · u = F (X), (∀) X ∈ Ω
 −
∂xi j=1
∂xj
i=1




u|∂Ω = 0
221
(7.6)
este echivalentǎ cu problema urmǎtoare :
Sǎ se determine u ∈ D astfel ı̂ncât sǎ avem :
Au = F,
unde
D = u | u : Ω → IR1 , u ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) şi u|∂Ω = 0 .
(7.7)
În aceastǎ formulare a Problemei Dirichlet condiţia la limitǎ nu mai apare
separat pentru cǎ este inclusǎ ı̂n definiţia spaţiului vectorial D (adicǎ domeniul de definiţie a lui A).
Problema unicitǎţii soluţiei clasice a Problemei Dirichlet revine la
injectivitatea operatorului A : D → C(Ω) iar problema existenţei soluţiei
clasice revine la surjectivitatea operatorului A.
În cele ce urmeazǎ vom pune ı̂n evidenţǎ proprietǎţi ale operatorului
A pentru a rǎspunde la problema existenţei şi unicitǎţii soluţiei Problemei
Dirichlet (7.6)
Teorema 7.1.1 Operatorul A definit pe spaţiul de funcţii D cu formula (7.5)
are urmatoarele proprietaţi:
i) domeniul de definiţie D al operatorului A este un subspaţiu dens ı̂n
spaţiul Hilbert L2 (Ω);
ii) operatorul A este liniar ;
iii) Z
pentru orice u, Zv ∈ D are loc egalitatea
Au · vdX =
Av · udX
Ω
Ω
Demonstraţie:
i) Presupunem cunoscut faptul cǎ spaţiul vectorial D(Ω) format cu funcţiile
222
CAPITOLUL 7
reale u de clasǎ C ∞ pe Ω şi cu suport compact inclus ı̂n Ω:
D(Ω) = {u | u : Ω → IR1 , u ∈ C ∞ (Ω), supp u ⊂ Ω}
este dens ı̂n L2 (Ω). Întrucât spaţiul de funcţii D include spaţiul vectorial
D(Ω) rezultǎ cǎ spaţiul D este dens ı̂n L2 (Ω).
ii) Pentru a demonstra cǎ A este liniar, vom arǎta cǎ
A(u + v) = Au + Av
A(α · u) = α · Au
(∀) u, v ∈ D, (∀) α ∈ IR1 .
Într-adevǎr,
A(u + v) =
n
X
∂
=−
∂xi
i=1
n
X
∂
=−
∂xi
i=1
!
∂(u + v)
aij (X) ·
+ c(X) · (u + v) =
∂xj
j=1
!
!
n
n
n
X
X
X
∂u
∂
∂v
aij (X) ·
+ c(X) · u −
aij (X) ·
+
∂xj
∂xi j=1
∂xj
j=1
i=1
n
X
+ c(X) · v = Au + Av.
şi
n
X
∂
A(α · u)=−
∂xi
i=1
!
∂(α · u)
aij (X) ·
+ c(X) · (α · u) = α · Au,
∂x
j
j=1
n
X
ceea ce demonstreazǎ liniaritatea
lui A.
Z
iii) Pentru u, v ∈ D calculǎm
Au · vdX şi gǎsim :
Ω
Z
Z X
n
∂
Au·v dX = −
Ω
Ω i=1 ∂xi
Z
= −
n X
n
X
∂Ω i=1 j=1
n
X
∂u
aij (X)·
∂xj
j=1
aij (X)·
!
Z
·v dX + c(X)·u·v dX
Ω
∂u
·cos(u, ei )·v dS+
∂xj
223
+
Z X
n X
n
Z
∂u ∂v
aij (X)·
·
dX + c(X)·u·v dX
∂x
∂x
j
i
Ω
j=1
Ω i=1
=
Z X
n X
n
∂u ∂v
aij (X)·
·
dX +
∂x
∂x
j
i
j=1
Ω i=1
Calculând ı̂n continuare
Z
Z
Z
c(X)·u·v dX
Ω
Av·u dX gǎsim:
Ω
n X
n
X
Z
Z
∂v ∂u
Av·u dX =
aij (X)·
·
dX + c(X)·u·v dX.
∂xj ∂xi
Ω
Ω i=1 j=1
Ω
Z
Z
Deoarece aij (X) = aji(X) rezultǎ
Au · vdX =
Av · udX
Ω
Ω
Teorema 7.1.2 Existǎ γ > 0 astfel ı̂ncât pentru orice u ∈ D sǎ avem
Z
Z
Au · udX ≥ γ u2 dX
(7.8)
Ω
Demonstraţie: Calculǎm
Z
Ω
Au · udX =
≥
Ω
Z
Ω
Au · udX şi obţinem :
Z X
n
n X
Ω i=1
Z
Ω
∂u ∂u
dX +
aij (X)
∂xi ∂xj
j=1
Z
Ω
c(X)u2 (X) dX ≥
Z
n X
∂u 2
2
µ0
∂xi dX + c(X)u (X) dX
Ω
i=1
Z X
n ∂u 2
Rǎmâne sǎ evaluǎm
∂xi dX pentru u ∈ D. Aceastǎ evaluare conΩ i=1
stitue conţinutul unei teoreme care poartǎ numele lui Friedrichs. Conform
acestei teoreme existǎ o constantǎ k > 0, astfel ı̂ncât pentru orice u ∈ C 1 (Ω̄)
cu u|∂Ω = 0 avem:
Z
Ω
Z X
n ∂u 2
|u(X)| dX ≤ k
∂xi dX.
2
Ω i=1
224
CAPITOLUL 7
Admiţând pentru moment cǎ aceastǎ evaluare este adevǎratǎ putem continua
evaluarea deja stabilitǎ
Z
Z X
Z
n ∂u 2
2
Au · udX ≥ µ0
∂xi dX + c(X)u (X)dX,
Ω
Ω i=1
Ω
şi gǎsim:
Z
Z
Z
Z
µ0
µ0
2
2
Au · udX ≥
· |u(X)| dX + c(X)u (X)dX ≥
|u(X)|2dX
k
k
Ω
Ω
Ω
Ω
Astfel inegalitatea (7.8) a fost demonstratǎ.
Rǎmâne sǎ demonstrǎm acum teorema folositǎ ı̂n demonstraţia teoremei
(7.1.2) denumitǎ inegalitatea lui Friedrichs.
Teorema 7.1.3 (inegalitatea lui Friedrichs) Existǎ o constantǎ k > 0, astfel
ı̂ncât pentru orice u ∈ C 1 (Ω̄) cu u|∂Ω = 0 sǎ avem:
Z
Z X
n ∂u 2
2
(7.9)
|u(X)| dX ≤ k
∂xi dX.
Ω
Ω i=1
Demonstraţie:
Domeniul Ω fiind mǎrginit existǎ o translaţie
T : IRn → IRn , (T X = X + X 0 ) astfel ı̂ncât pentru orice X ′ ∈ Ω′ = T Ω
sǎ avem x′i ≥ 0. Deoarece
Z
Z
Z ′ 2
Z ∂u ∂u 2
′
′ 2
′
2
′
|u (X )| dX =
|u(X)| dX şi
∂x′ dX =
∂xi dX
′
′
Ω
Ω
Ω
Ω
i
unde u′ (X ′ ) = u(T X) şi X ′ = T X, rezultǎ cǎ este suficient sǎ se demonstreze
inegalitatea (7.9) pe Ω′ . Mai mult, Ω′ fiind domeniu mǎrginit existǎ a > 0
astfel ca Ω′ ⊂ Γa = {X ′ | 0 ≤ x′i ≤ a} şi prelungind cu 0 funcţia u′ pe Γa Ω′
rezultǎ cǎ, are loc:
Z
Z
Z ′ 2
Z ′ 2
∂u ∂u ′
′
′ 2
′
′
′ 2
′
dX =
dX ′
|u (X )| dX
şi
|u (X )| dX =
′
′
Γa ∂xi
Ω′
Γa
Ω′ ∂xi
Astfel, ajungem la concluzia cǎ, este suficient sǎ demonstrǎm inegalitatea
(7.9) doar pentru Ω = Γa . Pentru aceasta folosim formula lui LeibnitzNewton
Z xi
∂u
u(x1 , x2 , ...xn ) =
(x1 , ..., xi−1 , ξ, xi+1 , ...xn )dξ
∂xi
0
225
din care utilizând Cauchy-Buniakovski rezultǎ:
Z xi
∂u
|u(X)| ≤
(x1 , ..., xi−1 , ξ, xi+1 , ..., xn )dξ ≤
∂xi
0
≤
Z
xi
dξ
0
≤ a1/2
Z
1/2
a
0
De aici obţinem:
Z
xi
0
2 !1/2
∂u
dξ
(x
,
...,
x
,
ξ,
x
,
...,
x
)
≤
1
i−1
i+1
n
∂xi
2 !1/2
∂u
dξ
|(x
,
...,
x
,
ξ,
x
,
...x
)
.
1
i−1
i+1
n
∂xi
∂u 2
dX
|u(X)| dX ≤ a
Γa
Γa ∂xi
Z
Z X
n ∂u 2
a2
2
dX.
|u(X)| dX ≤
n Γa i=1 ∂xi Γa
Z
2
2
Astfel rezultǎ astfel cǎ pentru k =
Z
a2
are loc inegalitatea (7.9).
n
variaţionalǎ a soluţiei ecuaţiei
Teorema 7.1.4 (de caracterizare
Au = F ).
Funcţia u0 ∈ D este soluţie a ecuaţiei Au = F (F ∈ C(Ω)) dacǎ şi numai
dacǎ u0 este punct de minim pentru funcţionala:
Z
Z
1
ΦF : D → IR ,
ΦF (u) =
Au · udX − 2 F · udX.
(7.10)
Ω
Ω
Demonstraţie: Dacǎ u0 ∈ D este soluţie a ecuaţiei Au = F atunci Au0 = F
şi pentru orice u ∈ D avem:
Z
Z
Z
Z
ΦF (u) − ΦF (u0 )= Au·udX −2 F ·udX − Au0 ·u0dX+2 F ·u0dX =
=
=
Z
Ω
Ω
Z
Ω
=
Z
Ω
Ω
Ω
Z
Z
Z
Au·udX −2 Au0 ·u− Au0 ·u0 dX +2 Au0 ·u0dX =
Ω
Ω
Au· udX −
Z
Ω
Ω
Au0 · u −
Ω
Z
Ω
u0 ·AudX +
A(u − u0 ) · (u − u0 )dX ≥ γ
Z
Ω
Z
Ω
Au0 · u0dX =
|u − u0 |2 dX ≥ 0.
226
CAPITOLUL 7
Rezultǎ astfel cǎ u0 este minim absolut pentru funcţionala ΦF .
Reciproc, dacǎ presupunem cǎ u0 ∈ D este punct de minim absolut pentru
funcţionala ΦF , atunci pentru orice u ∈ D avem
ΦF (u) ≥ ΦF (u0 )
Considerǎm u ∈ D, u-fixat, t ∈ IR1 şi remarcǎm cǎ:
ΦF (u0 + tu) ≥ ΦF (u0)
pentru orice t ∈ IR1 . Prin urmare funcţia
ϕ(t) = ΦF (u0 + tu)
are un minim ı̂n t = 0. Din condiţia ϕ′ (0) = 0 rezultǎ:
Z
(Au0 − F )udX = 0 (∀)u ∈ D
Ω
Deoarece spaţiul vectorial D este dens ı̂n spaţiu Hilbert L2 (Ω) rezultǎ cǎ
Au0 = F.
Observaţia 7.1.3 Aceastǎ teoremǎ nu este o teoremǎ de existenţǎ pentru
cǎ nu stabileşte faptul cǎ funcţionala ΦF are un punct de minim absolut.
Teorema reduce ı̂nsǎ problema existenţei şi unicitǎţii soluţiei clasice a
ecuaţiei Au = F la problema existenţiei şi unicitǎţii punctului de minim al
funcţionalei ΦF .
Teorema 7.1.5 (teorema de unicitate)
Pentru F ∈ C(Ω̄) existǎ cel mult un u0 ∈ D astfel ı̂ncât Au0 = F .
Demonstraţie:
Presupunem cǎ pentru F
∈ C(Ω̄) existǎ
u1 , u2 ∈ D astfel ı̂ncât Au1 = F şi Au2 = F . De aici rezultǎ ΦF (u2 ) ≥ ΦF (u1 )
şi ΦF (u1 ) ≥ ΦF (u2 ). Prin urmare ΦF (u2 ) = ΦF (u1). Ţinând seama de inegalitatea:
Z
ΦF (u1 ) − ΦF (u2 ) ≥ γ
rezultǎ ı̂n continuare cǎ
u1 = u2 .
Z
Ω
Ω
|u1 − u2 |2 dX
|u1 − u2 |2 dX = 0 de unde rezultǎ egalitatea
227
Observaţia 7.1.4 i) Teorema de unicitate demonstreazǎ cǎ Problema Dirichlet are cel mult o soluţie clasicǎ.
ii) Existenţa unui minim absolut ı̂n D a funcţionalei ΦF (u) nu este adevǎratǎ.
Existǎ exemple care demonstreazǎ cǎ ı̂n general Problema Dirichlet nu are
soluţie clasicǎ.
Pentru a asigura minimul absolut al funcţionalei ΦF lǎrgim spaţiul vectorial D astfel ca sǎ devinǎ spaţiu Hilbert. În acest scop, pe D × D definim
urmǎtoarea corespondenţǎ:
Z
D × D ∋ (u, v) →< u, v >A =
Au · vdX.
(7.11)
Ω
Lema 7.1.1 Corespondenţa definitǎ cu (7.11) este un produs scalar pe spaţiul
vectorial D.
Demonstraţie: prin verificare.
Observaţia 7.1.5 Pentru (u, v) ∈ D are loc egalitatea:
< u, v >A =
Z X
n X
n
Ω i=1
∂u ∂v
dX +
aij (X)
∂x
∂x
i
j
j=1
Z
c(X)u(X)v(X)dX
Ω
Definiţia 7.1.4 Completatul spaţiului vectorial D ı̂n norma k · kA
generatǎ de produsul scalar
Z
< u, v >A =
Au · vdx
Ω
se numeşte spaţiul energetic al operatorului A şi se noteazǎ cu XA .
Observaţia 7.1.6 Elementele spaţiului energetic XA sunt elementele spaţiului
vectorial D la care se mai adaugǎ limite ı̂n norma k · kA de şiruri fundamentale un din D. Altfel spus, dacǎ u ∈ XA atunci u ∈ D sau existǎ (un )n cu
un ∈ D astfel ı̂ncât kun − ukA → 0. Un element u ∈ XA are proprietatea:
∂u
u ∈ L2 (Ω),
∈ L2 (Ω) şi u|∂Ω = 0
∂xi
228
CAPITOLUL 7
Observaţia 7.1.7 Spaţiul energetic XA ı̂mpreunǎ cu produsul scalar < u, v >A
este un spaţiu Hilbert.
Lema 7.1.2 Funcţionala ΦF : D → IR′ definitǎ de formula
Z
Z
ΦF (u) =
Au · udX − 2 F · udX
Ω
(7.12)
Ω
ı̂n care F ∈ L2 (Ω), se prelungeşte prin continuitate la o funcţionalǎ continuǎ
e F definitǎ pe spaţiul energetic XA .
Φ
Demonstraţie: Arǎtǎm la ı̂nceput cǎ funcţionala ΦF (u) definitǎ cu
(7.12) este continuǎ ı̂n topologia spaţiului energetic. În acest scop considerǎm
u ∈ D, un şir (un )n , un ∈ D cu proprietatea cǎ kun − ukA →
0 şi apoi şirul
n
ΦF (un ) =
Z
Ω
Aun · un dX − 2
Z
F · un dX.
Ω
Arǎtǎm cǎ acest şir numeric este convergent şi limita lui este
Z
Z
ΦF (u) =
Au · udX − 2 F · udX.
Ω
Ω
Într-adevǎr, avem:
ΦF (un ) =
ΦF (u) =
kun k2A
kuk2A
de unde rezultǎ:
|ΦF (un ) − ΦF (u)| ≤
| kunk2A
−
−2
−2
Z
Ω
Z
kuk2A
Ω
F · un dX
F · udX
|+2
Z
Ω
|F | · |un − u|dX ≤
≤ | kunk2A − kuk2A | + 2kF kL2(Ω) · kun − ukL2 (Ω).
Deoarece convergenţa kun − ukA → 0 implicǎ convergenţele
| kunk2A − kuk2A | → 0 şi kun − ukL2 (Ω) → 0, rezultǎ convergenţa
|ΦF (un ) − ΦF (u)| → 0.
229
Dacǎ u ∈ D şi u ∈ XA atunci se defineşte ΦF (u) cu
Z X
Z
n X
n
∂u ∂u
ΦF (u) =
aij (X)
dX − 2 F · udX
∂xi ∂xj
Ω i=1 j=1
Ω
iar pentru un ∈ D, kun − ukA → 0 se reface acelaşi raţionament.
Teorema 7.1.6 (de existenţǎ şi unicitate a punctului de minim
absolut)
e F prin continuitate a funcţionalei
Pentru orice F ∈ L2 (Ω) prelungita Φ
ΦF la spaţiul energetic XA are un singur punct de minim.
Demonstraţie: Pentru a demonstra existenţa punctului de minim considerǎm funcţionala liniarǎ şi continuǎ
Z
u 7−→
F · udX
Ω
definitǎ pe spaţiul energetic XA . Conform cu teoremei lui F. Riesz existǎ o
funcţie uF ∈ XA astfel ı̂ncât sǎ avem:
Z
A =
F · udX
Ω
pentru orice u ∈ XA . Rǎmâne de arǎtat cǎ uF este punctul de minim absolut
e F (u).În acest scop calculǎm Φ
e F (uF ) şi Φ
e F (u) pentru u ∈ XA .
al funcţionalei Φ
Avem:
e F (uF ) = < uF , uF >A −2 < F, uF >L2 (Ω)= kuF k2 − 2kuF k2 = −kuF k2
Φ
A
A
A
e F (u) = < u, u >A −2 < F, u >L2 (Ω)
Φ
= < u−uF , u−uF >A +2 < uF , u >A−< uF , uF >A−2 < F, u >L2 (Ω)
e F (uF )
= ku − uF k2 − kuF k2 = ku − uF k2 + Φ
A
A
A
Aceastǎ din urmǎ egalitate
e F (u) = ku − uF k2 + Φ
e F (uF )
Φ
A
este adevǎratǎ pentru orice u ∈ XA şi aratǎ cǎ
Egalitatea aratǎ şi faptul cǎ
e F (u) ≥ Φ
e F (uF ).
Φ
e F (u) > Φ
e F (uF )
Φ
pentru orice u 6= uF ceea ce demonstreazǎ unicitatea.
230
CAPITOLUL 7
Observaţia 7.1.8 Dacǎ punctul de minim absolut uF al funcţionalei prelungite Φ̃F aparţine lui D ⊂ XA atunci AuF = F , şi prin urmare uF , este
soluţie clasicǎ a Problemei Dirichlet.
Observaţia 7.1.9 Dacǎ punctul de minim absolut uF al funcţionalei prelungite Φ̃F nu aparţine spaţiului vectorial D ⊂ XA atunci nu-i putem aplica
operatorul A ca sǎ vedem dacǎ este soluţie a ecuaţiei Au = F . În acest
caz este naturalǎ ı̂ntrebarea: Ce reprezintǎ uF ı̂n contextul rezolvarii ecuaţiei
Au = F ?
Vom da un rǎspuns la aceastǎ ı̂ntrebare arǎtând cǎ operatorul A are o prelungire Ã : D(Ã) → L2 (Ω), numitǎ prelungirea Friedrichs, unde D ⊂ D(Ã) ⊂
XA şi cǎ uF verificǎ ÃuF = F. Aceasta ı̂nseamnǎ cǎ funcţia uF nu mai verificǎ
condiţia de soluţie clasicǎ :
u ∈ D şi
n
X
∂
−
∂xi
i=1
n
X
∂u
aij (X) ·
∂xj
j=1
!
ci verificǎ doar condiţia : uF ∈ XA şi
Z X
n X
n
Ω i=1
∂uF ∂v
·
dx+
aij (X)·
∂xj ∂xi
j=1
Z
Ω
c(X)·uF ·v dX =
+ c(X) · u = F
Z
Ω
F ·v dX, (∀) v ∈ XA
Teorema 7.1.7 (de prelungire a lui Friedrichs).
Operatorul G : L2 (Ω) → XA definit prin G(F ) = uF ∈ XA unde uF verificǎ
< uF , u >A =< F, u >L2 (Ω) ,
are urmǎtoarele proprietǎţi:
i) G este liniar şi mǎrginit ;
ii) G este injectiv ;
iii) G este autoadjuct ;
iv) G este compact ;
(∀) u ∈ XA ,
231
v) G−1 : Im G ⊂ XA → L2 (Ω) este o prelungire a lui A.
Demonstraţie: Remarcǎm la ı̂nceput cǎ operatorul G este corect definit
pentru cǎ existenţa şi unicitatea funcţiei uF = G(F ) a fost demonstratǎ.
i) Pentru α, β ∈ IR1 , F1 , F2 ∈ L2 (Ω) şi u ∈ XA avem:
< G(αF1 + βF2 ), u >A = < αF1 + βF2 , u >L2 (Ω)
= < αF1 , u >L2 (Ω) + < βF2 , u >L2 (Ω)
= α < F1 , u >L2 (Ω) +β < F2 , u >L2 (Ω)
= < αG(F1 ) + βG(F2 ), u >L2 (Ω)
de unde rezultǎ egalitatea :
G(αF1 + βF2 ) = αG(F1 ) + βG(F2 )
care aratǎ cǎ operatorul G este liniar.
Pentru a demonstra mǎrginirea
F ∈ L2 (Ω) şi evaluǎm kG(F )k2A . Avem:
operatorului
G
considerǎm
µ20
· kG(F )k2L2(Ω) ≤ kG(F )k2A = < F, G(F ) >L2 (Ω)
k2
≤ kF kL2 (Ω) · kG(F )kL2(Ω)
unde k > 0 este constanta din inegalitatea lui Friedrichs şi µ0 > 0 este constanta din condiţia de elipticitate.
Simplificând cu kG(F )kL2 (Ω) ı̂n inegalitatea obţinutǎ, rezultǎ:
kG(F )kL2 (Ω) ≤
k2
· kF kL2 (Ω)
µ20
care aratǎ cǎ operatorul G : L2 (Ω) → L2 (Ω) este mǎrginit.
232
CAPITOLUL 7
ii)
G(F ) = 0 ⇒
< uF , u >A = 0, (∀)u ∈ XA
⇒ < F, u >L2 (Ω) = 0, (∀)u ∈ XA ⇒ F = 0
iii) Operatorul G : L2 (Ω) → Im G ⊂ XA fiind injectiv putem considera
operatorul G−1 : Im G → L2 (Ω) şi arǎtǎm cǎ este autoadjunct, adicǎ :
< G−1 u, v >L2 (Ω) =< u, G−1v >L2 (Ω) ,
(∀)u, v ∈ Im G.
Astfel,
< G−1 u, v >L2 (Ω) = < u, v >A =< v, u >A =< G−1 v, u >L2 (Ω)
= < u, G−1 v >L2 (Ω) .
Folosim acum acest rezultat pentru a demonstra cǎ operatorul G este autoadjunct:
< G(F ), H >L2 (Ω) =< G(F ), G−1(G(H)) >L2 (Ω =
=< G−1 (G(F )), G(H) >L2 (Ω) =< F, G(H) >L2 (Ω) .
iv) Prin faptul cǎ operatorul G este compact ı̂nţelegem cǎ transformǎ
sfera ı̂nchisǎ de razǎ unu din L2 (Ω) ı̂ntr-o mulţime compactǎ din L2 (Ω).
Considerǎm F ∈ L2 (Ω) cu kF kL2 (Ω) ≤ 1.
Calculǎm kG(F )k2A şi gǎsim:
kG(F )k2A =< F, G(F ) >L2 (Ω) ≤ kF k2L2 (Ω) · kG(F )k2L2 (Ω)
≤ kF kL2 (Ω) ·
k
· kG(F )kA .
µ0
Simplificând cu kG(F )kA obţinem :
kG(F )kA ≤
k
k
· kF kL2 (Ω) ≤
,
µ0
µ0
ceea ce aratǎ cǎ imaginea sferei ı̂nchise de razǎ unu din L2 (Ω) prin operatorul G este o mulţime mǎrginitǎ ı̂n spaţiul energetic XA . Ştiind cǎ o
233
mulţime mǎrginitǎ ı̂n XA este compactǎ ı̂n L2 (Ω) deducem cǎ operatorul G
este compact.
v) Arǎtǎm acum cǎ operatorul G−1 : Im G ⊂ XA → L2 (Ω) este o prelungire a operatorului A.
Din cele de pânǎ acum ştim cǎ G−1 : Im G ⊂ XA → L2 (Ω) este un operator
injectiv.
Considerǎm u ∈ D şi apoi Au ∈ L2 (Ω). Funcţia GAu aparţine la Im G şi
avem :
< GAu, v >A =< Au, v >L2 (Ω) =< u, v >A
(∀)v ∈ XA .
Rezultǎ de aici egalitatea :
GAu = u,
(∀) u ∈ D,
care demonstreazǎ apartenenţa u ∈ ImG şi egalitatea G−1 u = Au. Am
arǎtat ı̂n acest fel cǎ operatorul G−1 : Im G ⊂ XA → L2 (Ω) este o prelungire
a operatorului A.
Definiţia 7.1.5 Operatorul G−1 se numeşte prelungirea Friedrichs a operatorului A şi se noteazǎ cu Ã.
Teorema 7.1.8 (caracterizarea minimului absolut al funcţionalei Φ) Funcţia
uF ∈ XA este minimul absolut al funcţionalei
Φ̃F : XA → IR1 , Φ̃F (u) =< u, u >A −2 < F, u >L2 (Ω)
dacǎ şi numai dacǎ uF este soluţia ecuaţiei Ãu = F, unde Ã este prelungirea
Friedrichs a operatorului A.
Demonstraţie: Rezultatul se obţine imediat din construcţia prelungirii
Friedrichs a operatorului A.
Observaţia 7.1.10 Din cele prezentate rezultǎ cǎ pentru orice
F ∈ L2 (Ω) ecuaţia Ãu = F are o singurǎ soluţie ı̂n spaţiul Hilbert XA .
Definiţia 7.1.6 Soluţia uF a ecuaţiei Ãu = F se numeşte soluţia generalizatǎ a ecuaţiei Au = F.
234
CAPITOLUL 7
Observaţia 7.1.11 Dacǎ uF ∈ D ⊂ XA atunci uF este soluţie clasicǎ a
Problemei Dirichlet. Dacǎ uF ∈ XA nu aparţine la D (uF ∈
D) atunci ea
verificǎ doar:
Z
Z
Z X
n X
n
∂uF ∂v
aij (x) ·
·
dx + c(x) · uF (x) · v(x)dx =
F (x) · v(x)dx
∂xj ∂xi
Ω i=1 j=1
Ω
Ω
pentru orice v ∈ XA .
În continuare vom descrie o metodǎ de determinare a soluţiei generalizate
uF a ecuaţiei Au = F (despre care ştim cǎ existǎ şi este unicǎ). Metoda se
bazeazǎ pe determinarea valorilor proprii şi vectorilor proprii ai prelungirii
Friedrichs Ã.
Definiţia 7.1.7 Un numǎr λ este valoare proprie pentru operatorul Ã dacǎ
existǎ o funcţie u ı̂n D(Ã) (domeniul de definiţie al operatorului Ã), u 6= 0,
astfel ı̂ncât sǎ avem:
Ãu = λ · u.
Teorema 7.1.9 Pentru operatorul Ã existǎ un şir infinit de valori proprii
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ ... ≤ λm ≤ ...
şi corespunzǎtor acestor valori proprii un şir infinit de funcţii proprii
u1 , u2 , u3 , ..., un , ...
cu urmǎtoarele proprietǎţi:
lim λn = +∞
n→∞
< ui , uj >L2 (Ω) = δij .
Demonstraţie: Operatorul G : L2 (Ω) → L2 (Ω) este liniar autoadjunct şi
complet continuu. Pe baza unei teoreme relative la aceastǎ clasǎ de operatori
liniari rezultǎ cǎ, G admite un şir infinit de valori proprii şi un şir infinit de
funcţii proprii. Valorile proprii ale lui G le notǎm cu
1 1
1
, , ...,
, ...
λ1 λ2
λm
235
iar funcţiile proprii cu
u1 , u2 , ..., um , ...
Presupunem cǎ aceste valori proprii sunt aranjate ı̂n şir astfel ca sǎ avem:
1 1
≥ ≥ ... ≥ 1 ≥ ...
λ1 λ2 λm iar funcţiile proprii sunt alese astfel ca sǎ avem
< ui , uj >L2 (Ω) = δij .
Ţinând seamǎ de egalitatea Ã = G−1 rezultǎ cǎ Ã admite şirul de valori
proprii |λ1 | ≤ |λ2 | ≤ ... şi şirul de funcţii proprii u1 , u2 , ..., um , ...
Arǎtǎm acum cǎ λm > 0 pentru orice m.
Într-adevǎr din G · um = λ1m · um rezultǎ cǎ
< G · um , um >L2 (Ω) =
1
1
kum k2L2 (Ω) =
.
λm
λm
Pe de altǎ parte,
< G · um , um >L2 (Ω) =< um , um >A ≥ γkum k2L2 (Ω)
şi astfel
1
≥ γkum k2L2 Ω > 0.
λm
e admite chiar un şir infinit de valori proprii. La ı̂nceput
Arǎtǎm acum cǎ, A
e ( formatǎ din elearǎtǎm cǎ mulţimea de definiţie ImG a operatorului A
2
mentele G(F ) cu F ∈ L (Ω) ) este un spaţiu vectorial infinit dimensional.
Pentru aceasta, fie u o funcţie de clasǎ C ∞ cu suport compact ı̂n Ω. Considerǎm funcţia F = Au şi observǎm cǎ u este soluţia clasicǎ a Problemei
Dirichlet
Au = F.
Rezultǎ cǎ, u este şi soluţie generalizatǎ a acestei probleme, ceea ce ı̂nseamnǎ
cǎ G(F ) = u. Am arǎtat ı̂n acest fel cǎ orice funcţie de clasǎ C ∞ cu suport
compact inclus ı̂n Ω aparţine mulţimii Im(G) şi ca urmare spaţiul vectorial
Im(G) este infinit dimensional.
236
CAPITOLUL 7
Sǎ presupunem acum prin absurd cǎ, operatorul G are doar un numǎr
finit de valori proprii diferite de zero: λ1 , λ2 , . . . , λm . Ţinând seama de faptul
cǎ G este autoadjunct şi compact rezultǎ de aici:
m
X
G(F ) =
< G(F ), uk > uk , (∀)F ∈ L2 (Ω).
k=1
Aceastǎ egalitate aratǎ cǎ şirul u1 , u2 , . . . , um este bazǎ ı̂n Im(G) deci Im(G)
este spaţiu vectorial finit dimensional. Astfel, am ajuns la o contradicţie şi
deci G admite un şir infinit de valori proprii. Încheiem demonstraţia observând cǎ lim λm = +∞.
m→∞
e este un
Teorema 7.1.10 Şirul de funcţii proprii {um }m ai operatorului A
2
şir
complet ı̂n spaţiul Hilbert L (Ω), iar şirul de funcţii proprii
ortonormat
um
√
este un şir ortonormat complet ı̂n spaţiul energetic XA .
λm m
Demonstraţia acestei teoreme este laborioasǎ şi nu o facem aici.
Suntem acum ı̂n mǎsurǎ sǎ formulǎm urmǎtoarea teoremǎ referitoare la
soluţia generalizatǎ a ecuaţiei Au = F, F ∈ L2 (Ω).
Teorema 7.1.11 Oricare ar fi F ∈ L2 (Ω), soluţia generalizatǎ uF a ecuaţiei
Au = F este datǎ de:
+∞
X
1
< F, um >L2 (Ω) ·um
uF =
λ
m=1 m
e (A−
e prelungirea
unde {um }m este şirul de funcţii proprii ale operatorului A
Friedrichs a opertorului A) ortonormal şi complet ı̂n spaţiul Hilbert L2 (Ω).
Demonstraţie: Deoarece
uF =
+∞
X
m=1
< uF , um >L2 ·um
folosind egalitatea:
sau
uF =
+∞
X
um
um
< uF , √
>A · √
λm
λm
m=1
< uF , v >A =< F, v >L2 , (∀)v ∈ XA
avem cǎ:
+∞
X
+∞
X
um
um
1
uF =
< F, √
>L2 · √
=
< F, um >L2 ·um .
λm
λm m=1 λm
m=1
237
Exerciţii:
Fie Ω = (0, l1 ) × (0, l2 ) şi operatorul A definit prin
2
∂ u ∂2u
Au = −
+
∂x21 ∂x22
pentru u ∈ D = {u ∈ C 2 (Ω) şi u|∂Ω }.
Determinaţi soluţia generalizatǎ a Problemei Dirichlet Au = F unde:
a) F (x1 , x2 ) = x1 · x2 ;
b) F (x1 , x2 ) = x21 + x22 ;
c) F (x1 , x2 ) = x1 − x2 ;
R: Din Au = λu se obţin valorile proprii şi vectorii proprii:
2 2
nπ
mπ
+
λm,n =
l1
l2
respectiv
um,n = sin
nπ
mπ
x1 ·
x2 .
l1
l2
1p
l1 · l2 se obţin vectorii bazei ortonormale
2
nπ
mπ
2
√
· sin
x1 · sin
x2
l1
l2
l1 l2
m,n
Calculând kum,n kL2 =
Soluţia generalizatǎ este: uF (x1 , x2 ) =
+∞ X
+∞
X
m=1 n=1
nπ
l1
2
1
+
mπ
l2
2 ·
Zl1 Zl2 2
nπ
mπ
2
nπ
mπ
·
F (x1 , x2 ) · √
· sin
x1 · sin
x2 dx1 dx2 · √ ·sin
x1 ·sin
x2
l1
l2
l1
l2
l1 l2
l1 l2
0
0
unde F (x1 , x2 ) este funcţia datǎ la a), b), c).
238
CAPITOLUL 7
7.2
Problema Cauchy-Dirichlet pentru
ecuaţii parabolice
Fie Ω ⊂ IRn un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (parţial netedǎ)
şi funcţiile reale:
aij , c, u0 : Ω → IR1 , f : [0, +∞) × Ω → IR1 , g : [0, +∞) × ∂Ω → IR1
cu urmǎtoarele proprietǎţi:
i) aij sunt funcţii de clasǎ C 1 pe Ω şi aij = aji , i, j = 1, n;
c este o funcţie continuǎ pe Ω, u0 este o funcţie continuǎ pe Ω şi de
clasǎ C 2 pe Ω.
ii) existǎ µ0 > 0 astfel ı̂ncât pentru orice (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ IRn sǎ aibe loc
inegalitatea
n X
n
X
i=1 j=1
aij (X) · ξi · ξj ≥ µ0
n
X
i=1
ξi2, (∀) X ∈ Ω;
iii) c(X) ≥ 0, (∀) X ∈ Ω;
iv) f este funcţie continuǎ pe [0, ∞) × Ω şi g este o funcţie continuǎ pe
[0, +∞) × ∂Ω.
Definiţia 7.2.1 Problema care constǎ ı̂n determinarea funcţiilor reale u :
[0, +∞) × Ω → IR1 care au urmǎtoarele proprietǎţi:
1) u este continuǎ pe [0, +∞) × Ω, de clasǎ C 1 pe (0, +∞) × Ω şi
pentru orice t ∈ (0, +∞) fixat u este de clasǎ C 2 pe Ω.
!
n
n
X
X
∂u
∂
∂u
2)
−
aij (X) ·
∂t
∂x
∂xj
i
i=1
j=1
+c(X) · u(t, X)=f (t, X), (∀) t>0 şi (∀)X ∈ Ω
(7.13)
3)
u(t, X) = g(t, X), (∀) (t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω.
(7.14)
4)
u(0, X) = u0 (X), (∀)x ∈ Ω.
(7.15)
se numeşte Problemǎ Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ.
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii parabolice
239
Definiţia 7.2.2 O funcţie u care verificǎ condiţiile din definiţia precedentǎ
se numeşte soluţie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ.
Propoziţia 7.2.1 Dacǎ existǎ un domeniu Ω′ ⊂ IRn care include mulţimea
Ω şi o funcţie G : [0, +∞) × Ω′ → IR1 de clasǎ C 2 pe [0, +∞) × Ω′ astfel
ı̂ncât
G(t, X) = g(t, X) ∀(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω,
atunci Problema Cauchy-Dirichlet neomogenǎ pentru ecuaţia parabolicǎ, prin
schimbarea de funcţie necunoscutǎ v(t, X) = u(t, X) − G(t, X) se reduce la
Problema Cauchy-Dirichlet omogenǎ pentru ecuaţia parabolicǎ:
n
∂v X ∂
−
∂t
∂xi
i=1
n
X
∂
+
∂xi
i=1
n
X
∂v
aij (X) ·
∂xj
j=1
n
X
!
∂G
aij (X) ·
∂xj
j=1
+c(X) · v(t, X)=f (t, X) −
!
− c(X) · G(t, X),
∂G
+
∂t
(7.16)
(∀) t)>0 şi (∀)X ∈ Ω
v(t, X) = 0 (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω
v(0, X) = u0 (X) − G(0, X)
(∀) X ∈ Ω.
(7.17)
(7.18)
Demonstraţie: prin verificare.
Observaţia 7.2.1 Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ cu
condiţii pe frontierǎ neomogene (prezentatǎ ı̂n Def. 7.2.1), se reduce la o
Problemǎ Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ cu condiţii pe frontierǎ omogene. Datoritǎ acestui fapt, vom considera ı̂n continuare Problema
Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ de tipul urmǎtor:
240
CAPITOLUL 7
n
∂u X ∂
−
∂t i=1 ∂xi
n
X
∂v
aij (X) ·
∂xj
j=1
!
+c(X) · u(t, X)=f (t, X)
(7.19)
u(t, X) = 0 (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω.
(7.20)
u(0, X) = u0 (X) (∀) X ∈ Ω
(7.21)
ı̂n care funcţiile aij , c, f au proprietǎţile deja prezentate: (i), (ii), (iii), (iv),
iar funcţia u0 este continuǎ pe Ω şi de clasǎ C 2 ı̂n Ω.
Definiţia 7.2.3 O soluţie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet (7.19)-(7.21)
este o funcţie u : [0, +∞) × Ω → IR1 care are urmǎtoarele proprietǎţi: u este
continuǎ pe [0, +∞) × Ω, este de clasǎ C 1 pe (0, +∞) × Ω şi este de clasǎ
C 2 ı̂n Ω pentru (∀)t ∈ (0, +∞), t - fixat şi verificǎ:
!
n
n
X
∂u X ∂
∂u
−
aij (X) ·
+c(X) · u(t, X)=f (t, X)
∂t i=1 ∂xi j=1
∂xj
(∀)t>0 şi (∀) X ∈ Ω
(7.22)
u(t, X) = 0 (∀) (t, X) ∈ [0, ∞) × ∂Ω
(7.23)
u(0, X) = u0 (X) (∀) x ∈ Ω.
(7.24)
Dacǎ considerǎm operatorul diferenţial A definit pe spaţiul de funcţii:
D = {w|w : Ω → IR1 , w ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω) şi w|∂Ω = 0},
cu formula:
n
X
∂
Aw = −
∂xi
i=1
n
X
∂w
aij (X) ·
∂xj
j=1
!
+ c(X) · w
atunci Problema Cauchy-Dirichlet (7.19)-(7.21) se scrie:

∂u


+ Au = f
∂t


u(0, X) = u0 .
(7.25)
241
În continuare, vom formula o problemǎ mai generalǎ pentru care vom demonstra o teoremǎ de existenţǎ şi unicitate.
Teorema 7.2.1 Dacǎ funcţia u : [0, +∞) × Ω → IR1 este soluţie clasicǎ a
Problemei Cauchy-Dirichlet (7.19)-(7.21), atunci funcţia V definitǎ prin
V (t)(X) = u(t, X)
a) V : [0, +∞) → L2 (Ω) este continuǎ;
b) V : (0, +∞) → L2 (Ω) este de clasǎ C 1 ;
c) V : (0, +∞) → XA este continuǎ, unde XA reprezintǎ spaţiul energetic
al operatorului A.
d) V (0) = u0 .
e)
dV
+ AV = F (t), (∀) t > 0 unde F (t)(X) = f (t, X).
dt
Demonstraţie:
a) Fie t0 ∈ [0, +∞) şi η > 0. Funcţia u(t, X) este uniform continuǎ pe
mulţimea compactǎ [t0 − η, t0 + η] × Ω (dacǎ t0 = 0, atunci [0, η] × Ω).
Prin urmare, (∀)ε > 0, (∃)δ(ε) > 0 astfel ca
(∀)(t′ , X ′ ), (t′′ , X ′′ ) ∈ [t0 −η, t0 + η]×Ω cu |t′ −t′′ | < δ(ε) şi ||X ′ −X ′′ || < δ(ε)
sǎ avem:
p
|u(t′ , X ′ ) − u(t′′ , X ′′ )| < ε/ |Ω|
unde |Ω| este mǎsura lui Ω.
Rezultǎ de aici cǎ are loc inegalitatea:
Z
|u(t, X) − u(t0 , X)|2dX < ε2 , (∀) t cu |t − t0 | < δ(ε).
Ω
Deducem de aici cǎ, dacǎ |t − t0 | < δ(ε) atunci
||V (t) − V (t0 )||L2 (Ω) < ε.
Aceasta demonstreazǎ continuitatea funcţiei V : [0, +∞) → L2 (Ω) ı̂ntr-un
punct oarecare t0 .
242
CAPITOLUL 7
b) Pentru a demonstra cǎ funcţia V : (0, +∞) → L2 (Ω) este de clasǎ C 1 se
considerǎ un punct t0 ∈ (0, +∞) şi cu un raţionament analog cu cel prezentat
anterior se aratǎ cǎ:
2
Z u(t, X) − u(t0 , X) ∂u
lim
−
(t0 , X) dX = 0
t→t0 Ω
t − t0
∂t
ceea ce aratǎ cǎ funcţia V : (0, +∞) → IL2 (Ω) este de clasǎ C 1 şi
dV
+ AV = F (t).
dt
c) pentru a demonstra cǎ funcţia V : (0, +∞) → XA este continuǎ se considerǎ t0 ∈ (0, +∞) şi se aratǎ cǎ lim ||V (t) − V (t0 )||XA = 0.
t→t0
d) V (0)(X) = u(0, X) = u0 (X).
e) s-a demonstrat ı̂mpreunǎ cu (b).
e prelungirea Friedrichs, a operatorului A definit pe D(A),
e F o
Fie acum A
2
2
funcţie F : [0, +∞) → L (Ω) continuǎ şi V0 ∈ L (Ω). Considerǎm problema
Cauchy:

dV

e = F (t)

+ AV
dt
(7.26)


V (0) = V0
Definiţia 7.2.4 O soluţie a acestei probleme
V : [0, +∞) → L2 (Ω) care are urmǎtoarele proprietǎţi:
este
o
funcţie
a) V ∈ C 1 ((0, +∞); L2 ) ∩ C([0, +∞), L2 )
e (∀) t ∈ (0, +∞) şi dV + AV
e = F (t).
b) V (t) ∈ D(A),
dt
c) V (0) = V0 .
Definiţia 7.2.5 Problema Cauchy (7.26) va fi numitǎ problema Cauchy abstractǎ pentru ecuaţia parabolicǎ, iar o soluţie a acesteia va fi numitǎ soluţie
”tare” a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ.
Observaţia 7.2.2 Dacǎ u(t, X) este o soluţie clasicǎ a Problemei CauchyDirichlet pentru ecuaţia parabolicǎ, atunci funcţia V definitǎ prin
V (t)(x) = u(t, X) este soluţie a problemei Cauchy abstracte pentru ecuaţia
parabolicǎ.
243
Teorema 7.2.2 Problema Cauchy abstractǎ (7.26) pentru ecuaţia parabolicǎ
are cel mult o soluţie.
Demonstraţie: Fie V1 , V2 douǎ soluţii ale problemei (7.26) şi
V = V1 − V2 . Funcţia V verificǎ
dV
e = 0 şi V (0) = 0.
+ AV
dt
Rezultǎ de aici egalitatea
1d
||V ||2L2 (Ω) + ||V ||2A = 0
2 dt
din care rezultǎ inegalitatea
d
||V ||2L2 (Ω) ≤ 0.
dt
Funcţia ||V ||2L2 (Ω) este pozitivǎ, nulǎ pentru t = 0 şi conform inegalitǎţii,
descreşte. Rezultǎ cǎ ||V ||2L2 (Ω) = 0, (∀) t ≥ 0, de unde V1 = V2 .
Teorema 7.2.3 Dacǎ funcţia F : [0, +∞) → L2 (Ω) este de clasǎ C 1 pe
[0, +∞) atunci problema Cauchy abstractǎ pentru ecuaţia parabolicǎ are o
soluţie unicǎ.
Demonstraţie: Va trebui sǎ arǎtǎm doar cǎ problema (7.26) are soluţie,
unicitatea o avem deja ı̂n baza teoremei precedente.
Presupunem cǎ avem o soluţie şi, pentru t ∈ [0, +∞) o dezvoltǎm dupǎ
e:
sistemul ortonormat complet de funcţii proprii (um )m∈IN ale operatorului A
V (t) =
∞
X
m=1
< V (t), um >L2 (Ω) ·um
Şirul corespunzǎtor de valori proprii va fi notat cu 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λm ≤
...
Procedǎm la fel cu F (t) şi V0 :
F (t) =
∞
X
m=1
< F (t), um >L2 (Ω) ·um
244
CAPITOLUL 7
V0 =
∞
X
m=1
Notǎm:
< V(0) , um >L2 (Ω) ·um
vm (t) =< V (t), um >L2 (Ω)
fm (t) =< F (t), um >L2 (Ω)
0
vm
(t) =< V0 , um >L2 (Ω)
şi din ecuaţia
dV
e = F (t)
+ AV
dt
şi condiţia iniţialǎ
V (0) = V0
deducem:
dvm
0
+ λm · vm = fm , vm (0) = vm
dt
m = 1, 2, 3, . . . .
Aceste probleme cu date iniţiale au soluţiile date de formula
vm (t) =
0 −λm t
vm
e
+
Zt
0
e−λm (t−s) · fm (s)ds m = 1, 2, 3, . . .
de unde rezultǎ cǎ soluţia V (t) a Problemei Cauchy abstracte (7.26) verificǎ
egalitatea:
 t

Z
∞
∞
X
X
0 −λm t
 e−λm (t−s) · fm (s)ds · um .
vm
(7.27)
V (t) =
e
· um +
m=1
m=1
0
Vom arǎta acum cǎ, dacǎ V0 ∈ L2 (Ω) şi funcţia F : [0, +∞) → L2 (Ω) este
de clasǎ C 1 pe [0, +∞), atunci membrul drept al formulei (7.27) defineşte
o funcţie V (t) care este soluţie pentru problema Cauchy abstractǎ, adicǎ V
are proprietǎţile (a), (b), (c) din Definiţia (7.26).
În prima etapǎ, trebuie demonstratǎ convergenţa seriilor din membrul drept
al egalitǎţii (7.27) şi examinatǎ ”netezimea” funcţiilor care sunt sumele acestor serii.
Deoarece {um }m este un sistem ortonormat complet ı̂n L2 (Ω), din convergen∞
P
0 2
ţa seriei numerice
|vm
| · e−2λm t rezultǎ convergenţa ı̂n L2 (Ω) a seriei de
m=1
245
funcţii
∞
P
m=1
0
vm
· e−λm t · um . Seria
seria numericǎ
cǎ, seria
∞
P
m=1
∞
P
m=1
0 2
|vm
| · e−2λm t , (∀) t ≥ 0, este majoratǎ de
0 2
|vm
| care este convergentǎ (V0 ∈ L2 (Ω)). Rezultǎ astfel
m=1
0
vm
∞
P
· e−λm t · um este uniform convergentǎ pentru orice t ≥ 0 ı̂n
spaţiul L2 (Ω) şi suma ei estefuncţie continuǎ de t.
∞
Rt −λ (t−s)
P
Pentru a arǎta cǎ seria
e m
· fm (s)ds · um converge ı̂n L2 (Ω)
m=1
0
uniform pe un segment oarecare [0, T ], procedǎm dupǎ cum urmeazǎ: con∞
Rt
P
siderǎm seria
| e−λm (t−s) · fm (s)ds|2 , şi o majorǎm astfel:
m=1
∞
P
0
m=1
≤
=
t
2
Z
−λ
(t−s)
m
e
≤
·f
(s)ds
m
0
∞ Z
X
t
−2λm (t−s)
e
0
m=1 0
∞
X
ds·
Z
−2λm t
e
m=1
t
2
fm
(s)ds =
t Z t
1 −2λm s 2
·
e
· fm ds =
2λm
0
0
Z
∞ X
1
1 −2λm t
2
−
e
· fm
(s)ds =
2λ
2λ
m
m
m=1
t
=
0
Z
∞
X
1
−2λm t
2
(1 − e
) · fm
(s)ds ≤
2λ
m
m=1
t
=
0
≤
Zt
∞
∞ Zt
X
1
1 X
2
2
fm (s)ds =
fm
(s)ds.
2λ1
2λ1 m=1
m=1
0
seria
∞
P
m=1
0
2
fm
(s) converge pentru orice s ∈ [0, T ] iar funcţiile sunt continue
şi pozitive şi suma seriei
∞
P
m=1
2
fm
(s) = ||F (s)||2 este funcţie continuǎ. Con-
246
CAPITOLUL 7
form teoremei lui Dini rezultǎ cǎ, seria
∞
P
m=1
∞ Rt
P
2
fm
(s) converge pe [0, T ] , de unde
rezultǎ convergenţa uniformǎ a seriei
|fm (s)|2 ds pe [0, T ]. Se obţine de
t
m=1 0
∞
R −λ (t−s)
P
aici cǎ seria
e m
fm (s)ds um este convergentǎ ı̂n L2 (Ω) uniform
m=1
0
ı̂n raport cu t ∈ [0, T ] şi suma ei este funcţie continuǎ de t.
Am obţinut ı̂n acest fel cǎ, funcţia V (t) definitǎ de (7.27) este funcţie continuǎ de la [0, +∞) la L2 (Ω).
Vom arǎta ı̂n continuare cǎ V : (0, +∞) → L2 (Ω) este funcţie de clasǎ
C 1 . Aceasta rezultǎ din convergenţa uniformǎ pe [t0 , +∞) (cu 0 < t0 < T
oarecare) a seriilor
∞
X
0 −λm t
vm
e
um
şi
t
∞
R
P
m=1
m=1
e−λm (t−s) fm (s)ds um şi a seriilor obţinute din acestea prin derivare
0
termen cu termen.
∞
P
0 −λm t
Pentru derivata seriei
vm
e
um , adicǎ pentru seria:
m=1
−
∞
X
0 −λm t
λm vm
e
um
m=1
convergenţa uniformǎ rezultǎ din estimǎrile:
0 2
0 2 −2λm t
0 2 −2λm t0
≤ c · (vm
)
λ2m (vm
)e
≤ λ2m (vm
)e
unde c este o constantǎ independentǎ de m şi t. Pentru derivata celei de a
doua serii, adicǎ pentru seria


Zt
∞
X
fm (t) − λm e−λm (t−s) fm (s)ds um
m=1
0
convergenţa uniformǎ se obţine din estimarea:
247
|fm (t) − λm
Zt
e−λm (t−s) · fm (s)|2 =
0
= |fm (0)e−λm t +
Zt
′
fm
(s)e−λm (t−s) ds|2 ≤
0
Rt ′
Rt
≤ 2|fm (0)|2 e−2λ1 t0 + 2 |fm
(s)|2 ds · e−2λm (t−s) ds ≤
0
2 −2λ1 t0
≤ |fm (0)| e
1
+
λ1
ZT
0
0
′
|fm
(s)|2 ds.
Din aceastǎ estimare şi din ipoteza cǎ F ∈ C 1 ([0, +∞), L2) rezultǎ convergenţa
uniformǎ a seriei derivate şi continuitatea sumei.
Apartenenţa V ∈ C 1 ((0, +∞), L2) este acum imediatǎ.
e dacǎ t > 0 remarcǎm cǎ domeniul D(A)
e
Pentru apartenenţa V (t) ∈ D(A)
poate fi caracterizat astfel:
e =
D(A)
(
v=
∞
X
m=1
cm u m |
∞
X
m=1
)
λ2m · c2m < +∞ .
Aceastǎ caracterizare şi raţionamentele precedente aratǎ cǎ:
e
V (t) ∈ D(A),
(∀) t > 0.
dV
e = F (t) şi V (0) = V0 este imediatǎ.
+ AV
Verificarea egalitǎţilor:
dt
Exerciţiul 1
Gǎsiţi Problema Cauchy abstractǎ ı̂n cazul Problemei Cauchy-Dirichlet

∂u
∂2u


= a2 2 t > 0, x ∈ (0, l)
∂t
∂x
u(t,
0)
=
u(t, l) = 0


u(0, x) = u0 (x)
şi determinaţi soluţia ”tare”.
248
CAPITOLUL 7
Rǎspuns:
λk =
u(x, t) =
∞
X
k=1
kπ
l
2
)2 ·t
−( akπ
l
ak · e
, k ∈ IN ∗ , uk = sin
kπx
sin
l
kπx
V
l
2
unde ak =
l
Zl
u0 (x) · sin
0
Exerciţiul 2
Determinaţi soluţiile urmǎtoarelor Probleme Cauchy-Dirichlet:

∂u
∂2u


=
4
,
(x, t) ∈ (0, 1) × (0, +∞)


∂x2

 ∂t
a)
u(0, t) = u(1, t) = 0, t ≥ 0






u(x, 0) = 3 sin 2πx, x ∈ [0, 1]
2
R: u(x, t) = 3 · e−16π t · sin 2πx
b)

∂u
∂2u


=
4
·
+ e−4t sin x x ∈ (0, π) × (0, ∞)

2

∂t
∂x


u(0, t) = u(π, t) = 0,






u(x, 0) = 4 sin x · cos x,
t≥0
x ∈ [0, π]
R: u(x, t) = t · e−4t · sin x + 2e−16t · sin 2x
c)

∂u
∂2u


= 2 + x + 1, (x, t) ∈ (0, 1) × (0, +∞)


∂x

 ∂t
u(0, t) = t + 1,






u(x, 0) = 1,
u(1, t) = 2t + 1,
x ∈ [0, 1]
R: u(x, t) = t + 1 + x · t
t≥0
kπx
dx
l
249
Calculul simbolic şi numeric pentru ecuaţii parabolice
7.3
Calculul simbolic şi numeric al soluţiei
Problemei Cauchy-Dirichlet pentru
ecuaţii parabolice
Calculul simbolic al soluţiei unei probleme Cauchy-Dirichlet nu poate fi
realizat cu funcţia pdsolve. În astfel de cazuri se trece la rezolvarea numericǎ.
Pentru exemplificare, vom considera trei Probleme Cauchy-Dirichlet pentru
ecuaţii parabolice a cǎror soluţie o vom determina numeric folosind funcţia
pdsolve cu sintaxa pentru calcul numeric:
pdsolve(PDE or PDE system, conds, type=numeric, other option);
ı̂n care:
P DEorP DEsystem
conds
type = numeric
otheroption
- ecuaţia cu derivate parţiale pe care dorim sǎ
o rezolvǎm sau sistemul de ecuaţii cu derivate
parţiale
- condiţiile iniţiale şi condiţiile la limitǎ
- indicǎ rezolvarea utilizând metode numerice
- diferite opţiuni (de ex. metoda numericǎ, nr.
de puncte, etc.)
Exemplul 1:

1 ∂2u
∂u


(x,
t)
=
· 2 (x, t)


∂t
10
∂x


u(0, t) = u(1, t) = 0






u(x, 0) = 1
Heat equation
>
PDE1 :=diff(u(x,t),t)=1/10*diff(u(x,t),x,x);
2
>
>
∂
∂
PDE1 := ∂t
u (x, t) = 1/10 ∂x
2 u (x, t)
IBC1 := {u(0,t)=0, u(1,t)=0, u(x,0)=1};
IBC1 := {u (0, t) = 0, u (1, t) = 0, u (x, 0) = 1}
pds1 := pdsolve(PDE1,IBC1,numeric);
250
>
>
CAPITOLUL 7
pds1 := module () local INFO; export plot, plot3d, animate,
value, settings; option ‘Copyright (c) 2001 by Waterloo
Maple Inc. All rights reserved.‘; end module
p1 := pds1:-plot(t=0):
p2 := pds1:-plot(t=1/10):
p3 := pds1:-plot(t=1/2):
plots[display]({p1,p2,p3,p4,p5},
title=‘Heat profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);
Figura 30
pds1:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed);
251
Figura 31
Exemplul 2:

2 ∂u
∂ u


(x,
t)
=
4
(x, t) + e−4t · sin x


2

∂t
∂x


u(0, t) = u(π, t) = 0







u(x, 0) = 4 cos x sin x
Heat equation
>
PDE2 :=
diff(u(x,t),t)=4*diff(u(x,t),x,x)+(exp(-4*t))*sin(x);
2
>
>
>
∂
∂
−4 t
PDE2 := ∂t
u (x, t) = 4 ∂x
sin (x)
2 u (x, t) + e
IBC2 := {u(0,t)=0,u(Pi,t)=0,u(x,0)=4*cos(x)*sin(x)};
IBC2 := {u (0, t) = 0, u (π, t) = 0, u (x, 0) = 4 cos (x) sin (x)}
p7 := pds2:-plot(t=1/10):
252
CAPITOLUL 7
p8 := pds2:-plot(t=1/2):
p10 := pds2:-plot(t=2):
Figura 32
>
Figura 33
253
Exemplul 3:

∂u
∂2u


(x,
t)
=
(x, t) + t · cosx

2

∂t
∂x


u(0, t) = t, u(π, t) = 0






u(x, 0) = cos 2x + cos 3x
Heat equation
>
PDE3 :=
diff(u(x,t),t)=diff(u(x,t),x,x)+t*cos(x);
2
>
∂
∂
PDE3 := ∂t
u (x, t) = ∂x
2 u (x, t) + t cos (x)
IBC3 := {u(0,t)=t,u(Pi,t)=0,u(x,0)=cos(2*x)+cos(3*x)};
IBC3 := {u (π, t) = 0, u (0, t) = t, u (x, 0) = cos (2 x) + cos (3 x)}
>
>
q1 := pds3:-plot(t=0):
q2 := pds3:-plot(t=1/10):
q3 := pds3:-plot(t=1/2):
plots[display]({q1,pq2,q3,q4,q5},
254
>
CAPITOLUL 7
Figura 34
Figura 35
255
Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţii hiperbolice
7.4
Problema Cauchy-Dirichlet pentru
ecuaţii hiperbolice
Fie Ω ⊂ IRn un domeniu mǎrginit cu frontiera ∂Ω netedǎ (parţial netedǎ) şi
funcţiile reale aij , c, u0 , u1 : Ω → IR1 , f : [0, +∞) × Ω → IR1 ,
g : [0, +∞) × ∂Ω → IR1 cu urmǎtoarele proprietǎţi:
i) aij sunt funcţii de clasǎ C 1 pe Ω şi aij = aji , i, j = 1, n;
c este continuǎ pe Ω;
u0 este de clasǎ C 1 pe Ω şi de clasǎ C 2 pe Ω;
u1 este continuǎ pe Ω şi de clasǎ C 1 pe Ω.
ii) existǎ µ0 > 0 astfel ı̂ncât pentru orice (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ IRn sǎ aibe loc
inegalitatea:
n X
n
X
i=1 j=1
aij (X) · ξi · ξj ≥ µ0
n
X
i=1
ξi2, (∀)X ∈ Ω
iii) c(X) ≥ 0, (∀)X ∈ Ω;
iv) funcţiile f : [0, +∞)×Ω → IR1 şi g : [0, +∞)×∂Ω → IR1 sunt continue.
Definiţia 7.4.1 Problema care constǎ ı̂n determinarea funcţiilor reale u :
[0, +∞) × Ω → IR1 continue pe [0, +∞) × Ω, de clasǎ C 1 pe [0, +∞) × Ω şi
de clasǎ C 2 pe (0, +∞) × Ω, care au urmǎtoarele proprietǎţi:
!
n
n
∂2u X ∂ X
∂u
−
aij (X)·
+ c(X)·u =f (t, X),
∂t2
∂x
∂x
i
j
i=1
j=1
(7.28)
(∀)(t, X) ∈ (0,+∞)×Ω
u(t, X) = g(t, X), (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω.
(7.29)
u(0, X) = u0 (X), (∀)X ∈ Ω.
(7.30)
∂u
(0, X) =u1 (X), (∀)X ∈ Ω.
∂t
se numeşte Problemǎ Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia hiperbolicǎ.
(7.31)
256
CAPITOLUL 7
Definiţia 7.4.2 O funcţie u care verificǎ condiţiile din definiţia precedentǎ
se numeşte soluţie clasicǎ a Problemei Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia hiperbolicǎ.
Propoziţia 7.4.1 Dacǎ existǎ un domeniu Ω′ ⊂ IRn care include domeniul
Ω şi o funcţie G : [0, +∞) × Ω′ → IR1 de clasǎ C 2 pe [0, +∞) × Ω′ astfel
ı̂ncât
G(t, X) = g(t, X), (∀)(t, X) ∈ (0, +∞) × ∂Ω
atunci Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia hiperbolicǎ, prin schimbarea de funcţie necunoscutǎ v(t, X) = u(t, X) − G(t, X), se reduce la Problema Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia hiperbolicǎ cu condiţii nule pe frontierǎ:
n
∂2v X ∂
−
∂t2
∂xi
i=1
= f (t, X) −
n
X
∂v
aij ·
∂xj
j=1
∂2G
+
∂t2
n
X
i=1
∂
∂xi
!
+ c(X) · v(t, X) =
n
X
j=1
∂G
∂xj
!
(7.32)
− c(X) · G(t, X),
(∀)(t, X) ∈ (0, +∞) × Ω
v(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × Ω.
(7.33)
u(0, X) = u0 (X) − G(0, X) = v0 (X), (∀)X ∈ Ω.
(7.34)
∂v
∂G
(0, X) = u1 (X) −
(0, X) = v1 (X), (∀)X ∈ Ω.
∂t
∂t
(7.35)
Demonstraţie: Prin verificare.
Observaţia 7.4.1 Propoziţia reduce problema (7.28-7.31) cu condiţie nenulǎ
pe frontierǎ la problema (7.32-7.35), ı̂n care condiţia la frontierǎ (7.33) este
zero:
v(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × ∂Ω.
De aceea, vom studia existenţa şi unicitatea soluţiei Problemei CauchyDirichlet pentru ecuaţia hiperbolicǎ cu condiţia la frontierǎ nulǎ.
257
Vom considera ı̂n continuare Probleme Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia hiperbolicǎ de urmǎtoarea formǎ:
!
n
n
∂2u X ∂ X
∂u
−
aij (X)·
+ c(X)·u(t, X) =f (t, X),
∂t2 i=1 ∂xi j=1
∂Xj
(7.36)
(t, X) ∈ (0,+∞)×Ω
u(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × Ω.
(7.37)
u(0, X) = u0(X), (∀)x ∈ Ω.
(7.38)
∂u
(0, X) = u1 (X), (∀)X ∈ Ω.
∂t
(7.39)
ı̂n care funcţiile aij , c, f au proprietǎţile (i), (ii), (iii), (iv) anterior prezentate;
funcţia u0 este de clasǎ C 1 pe Ω şi de clasǎ C 2 ı̂n Ω; funcţia u1 este continuǎ
pe Ω şi de clasǎ C 1 ı̂n Ω.
O soluţie clasicǎ a acestei probleme este o funcţie u : [0, +∞) × Ω → IR1
care este de clasǎ C 1 pe [0, +∞) × Ω, şi este de clasǎ C 2 pe (0, +∞) × Ω şi
verificǎ:

!
n
n
2
X
X

∂
u
∂
∂u



−
aij (X)·
+ c(X)·u(t, X) =f (t, X); (t, X) ∈ (0,+∞)×Ω


∂t2 i=1 ∂xi j=1
∂xj





 u(t, X) = 0, (∀)(t, X) ∈ [0, +∞) × Ω.


u(0, X) = u0 (X), (∀)X ∈ Ω.








∂u


(0, X) = u1 (X), (∀)X ∈ Ω.
∂t
Considerând operatorul diferenţial A definit pe spaţiul de funcţii
D = {w|w : Ω → IR1 ; w ∈ C(Ω) ∩ C 2 (Ω), w|∂Ω = 0}
258
CAPITOLUL 7
cu formula
n
X
∂
Aw = −
∂xi
i=1
n
X
∂w
aij (X) ·
∂xj
j=1
!
+ c(X) · w(X)
ecuaţia hiperbolicǎ poate fi scrisǎ sub forma:
∂2u
+ A · u(t, X) = f (t, X), (∀)(t, X) ∈ (0, +∞) × Ω.
∂t2
Teorema 7.4.1 Dacǎ funcţia u : [0, +∞) × Ω → IR1 este soluţie clasicǎ a
problemei (7.36-7.39), atunci funcţia U definitǎ prin:
U(t)(X) = u(t, X)
i) U : [0, +∞) → L2 (Ω) este de clasǎ C 1 pe [0, +∞).
ii) U : [0, +∞) → H01 este funcţie continuǎ;
iii) U(0) = u0 şi U ′ (0) = u1 .
Demonstraţie:
i) Arǎtǎm la ı̂nceput cǎ funcţia U : [0, +∞] → L2 (Ω) este derivabilǎ ı̂n
orice t0 ∈ [0, +∞). Pentru aceasta, considerǎm t0 ∈ [0, +∞) şi apoi raportul
1
[U(t) − U(t0 )] ∈ L2 (Ω)
t − t0
∂u
şi arǎtǎm cǎ acest raport tinde la
(t0 , x) ∈ L2 (Ω) ı̂n norma L2 (Ω) atunci
∂t
când t → t0 . Aceasta ı̂nseamnǎ cǎ trebuie sǎ arǎtǎm egalitatea:
2
Z 1
∂u
dX = 0.
lim
[U(t)
−
U(t
)]
(X)
−
(t
,
X)
0
0
t→t0 Ω t − t0
∂t
Folosind teorema creşterilor finite a lui Lagrange scriem:
1
1
∂u
[U(t) − U(t0 )] (X) =
[u(t, X) − u(t0 , X)] =
(t(X), X)
t − t0
t − t0
∂t
259
cu |t(X) − t0 | < |t − t0 |.
Prin urmare are loc egalitatea:
2 2
1
∂u
∂u
∂u
t − t0 [U(t) − U(t0 )] (X) − ∂t (t0 , X) = ∂t (t(X), X) − ∂t (t0 , X)
cu |t(X) − t0 | < |t − t0 |.
∂u
(t, X) este continuǎ pe [0, +∞) × Ω şi deci este uni∂t
form continuǎ pe o mulţime de forma [t0 − η, t0 + η] × Ω (η > 0) şi prin
urmare:
Funcţia (t, X) →
(∀)ε > 0, (∃)δ(ε) a.ı̂. (∀)(t′ , X ′ ), (t”, X”) ∈ [t0 − η, t0 + η] × Ω
cu |t′ − t”| < δ şi |X ′ − X”| < δ avem
r
∂u ′ ′
ε
∂u
<
(t , X ) −
(t”,
X”)
.
∂t
∂t
|Ω|
unde |Ω| este mǎsura domeniului Ω. Rezultǎ de aici cǎ, dacǎ |t − t0 | < δ(ε),
atunci are loc inegalitatea:
2
Z 1
∂u
t − t0 [U(t) − U(t0 )](X) − ∂t (t0 , X) dX < ε.
Ω
În acest fel, egalitatea
2
Z 1
∂u
dX = 0
[U(t)
−
U(t
)](X)
−
(t
,
X)
lim
0
0
t→t0 Ω t − t0
∂t
a fost demonstratǎ.
Va trebui ı̂n continuare sǎ arǎtǎm cǎ funcţia U ′ : [0, +∞) → L2 (Ω) este
continuǎ. Aceasta revine la a demonstra egalitatea:
lim kU ′ (t) − U ′ (t0 )kL2 (Ω) = 0.
t→t0
Pentru aceasta, vom folosi egalitatea
Z
′
′
kU (t) − U (t0 )kL2 (Ω) =
2
∂u
(t, X) − ∂u (t0 , X) dX
∂t
∂t
Ω
260
CAPITOLUL 7
∂u
şi faptul cǎ funcţia
este continuǎ pe [0, +∞) × Ω. Din continuitatea
∂t
∂u
funcţiei
rezultǎ cǎ aceasta este uniform continuǎ pe o mulţime de forma
∂t
[t0 − η, t0 + η] × Ω, (y > 0) şi prin urmare:
(∀)ε > 0, (∃)δ(ε) a.ı̂.(∀)(t′ , X ′), (t”, X”) ∈ [t0 − η, t0 + η] × Ω
dacǎ |t′ − t”| < δ şi |X ′ − X”| < δ atunci
r
∂u ′ ′
ε
∂u
(t , X ) −
<
(t”,
X”)
.
∂t
∂t
|Ω|
Rezultǎ de aici cǎ, dacǎ |t − t0 | < δ(ε) avem: kU ′ (t′ ) − U ′ (t0 )k < ε.
ii) Sǎ arǎtǎm cǎ U ca funcţie cu valori ı̂n spaţiul:
∂u
2
1
2
∈ L (Ω) şi u|∂Ω = 0
H0 = u ∈ L (Ω) (∃)
∂xi
este continuǎ. Faptul cǎ, pentru orice t ∈ [0, +∞) funcţia U(t) aparţine
spaţiului H01 rezultǎ din proprietǎţile soluţiei u(t, X) = U(t)(X). Trebuie
doar sǎ evaluǎm norma kU(t) − U(t0 )kH01 şi sǎ arǎtǎm cǎ aceasta tinde la
zero dacǎ t → t0 .
Avem:
2
n X
∂U(t)
∂U(t
)
0
kU(t) − U(t0 )k2H 1 = kU(t) − U(t0 )k2L2 (Ω) +
−
∂xi
2 =
0
∂x
i
L (Ω)
i=1
=
Z
Ω
|u(t, X) − u(t0 , X)|2dX+
2
n Z X
∂u
∂u
+
∂xi (t, X) − ∂xi (t0 , X) dX =
Ω
i=1
2
Z ∂u
(t(X), X) · |t − t0 |2 dX+
=
Ω ∂t
2
n Z X
∂2u ∗
· |t − t0 |2 dX
+
(t
(X),
X)
∂t∂xi i
i=1 Ω
261
cu |t(X) − t0 | ≤ |t − t0 | şi |t∗i (X) − t0 | ≤ |t − t0 |.
∂2u
∂u
Funcţiile
şi
sunt continue şi prin urmare mǎrginite pe compacte
∂t
∂t∂xi
de forma [t0 − η, t0 + η] × Ω. Rezultǎ de aici cǎ, existǎ o constantǎ pozitivǎ
K 2 > 0 astfel ca
kU(t) − U(t0 )k2H 1 ≤ K 2 · |t − t0 |2 ,
0
de unde se obţine continuitatea funcţiei U : [0, +∞) → H01 .
iii) Egalitǎţile: U(0) = u0 şi U ′ (0) = u1 sunt imediate.
Considerǎm ı̂n continuare spaţiul de funcţii S definit prin:
S = C([0, +∞); H01) ∩ C 1 ([0, +∞); L2 ).
Teorema precedentǎ aratǎ cǎ, dacǎ u = u(t, X) este o soluţie clasicǎ a problemei (7.36-7.39), atunci funcţia U definitǎ prin U(t)(X) = u(t, X) aparţine
spaţiului de funcţii S şi verificǎ U(0) = u0 , U ′ (0) = u1 .
Fie T > 0 şi subspaţiul de funcţii ST definit prin:
ST = {V ∈ S|V (T ) = 0}
Teorema 7.4.2 Dacǎ funcţia u = u(t, X) este o soluţie clasicǎ a problemei (7.36-7.39), atunci funcţia U definitǎ prin U(t)(X) = u(t, X) aparţine
spaţiului de funcţii S, verificǎ U(0) = u0 , U ′ (0) = u1 şi pentru orice T > 0
şi orice funcţie V ∈ ST are loc egalitatea:
−
ZT
L2 (Ω) dt− < u1 , V (0) >L2 (Ω) +
0
(7.40)
ZT
0
< U(t), V (t) >A dt =
ZT
< F (t), V (t) >L2 (Ω) dt.
0
Demonstraţie: Apartenenţa funcţiei U la spaţiul S a fost demonstratǎ. S-a
arǎtat de asemenea cǎ U(0) = u0 şi U ′ (0) = u1 . Rǎmâne doar sǎ arǎtǎm cǎ
262
CAPITOLUL 7
pentru orice T > 0 şi orice V ∈ ST are loc egalitatea (7.40).
În acest scop, fie T > 0 şi V ∈ ST . Scriind egalitatea (7.36) sub forma:
d2 U(t)
(X) + A · U(t)(X) = F (t)(X)
dt2
(unde F (t)(X) = f (t, X)), ı̂nmulţind aceastǎ egalitate cu funcţia V (t)(X) şi
integrând pe Ω obţinem:
d2 U
< 2 , V >L2 (Ω) + < U(t), V (t) >A =< F (t), V (t) >L2 (Ω) .
dt
Integrǎm acum aceastǎ egalitate ı̂n raport cu t pe segmentul [0, T ], ţinem
seama de V (T ) = 0 şi obţinem:
′
L2 (Ω)
ZT
Z
T
′
′
0 − L2 (Ω) dt+
< U(t), V (t) >A dt =
0
0
=
T
Z
T
< F (t), V (t) >L2 (Ω) dt
0
adicǎ:
′

L2 (Ω)
−
ZT

=
Z
′
′
L2 (Ω)
dt+
Z
T
< U(t), V (t) >A dt =
0
0
T
< F (t), V (t) >L2 (Ω) dt
0
ceea ce este echivalent cu:
− < u1 , V (0) >L2 (Ω) −
ZT
′
′
L2 (Ω) dt +
0
=
Z
0
T
< F (t), V (t) >L2 (Ω) dt
Z
T
< U(t), V (t) >A =
0
263
Definiţia 7.4.3 O funcţie U ∈ S se numeşte soluţie generalizatǎ a problemei
(7.36-7.39) dacǎ U(0) = u0 , U ′ (0) = u1 şi pentru (∀)T > 0, (∀)V ∈ ST
verificǎ:
− < u1 , V (0) >L2 (Ω) −
ZT
L2 (Ω) dt+
0
+
Z
T
< U(t), V (t) >A dt =
0
Z
T
< F (t), V (t) >L2 (Ω) dt
0
(7.41)
Observaţia 7.4.2 O soluţie clasicǎ u(t, X) a problemei (7.36-7.39) defineşte
o soluţie generalizatǎ a acestei probleme.
Teorema 7.4.3 Dacǎ funcţia U ∈ S este soluţie generalizatǎ a problemei
(7.36-7.39) şi funcţia u : [0, +∞) × Ω → IR1 definitǎ prin u(t, X) = U(t, X)
este de clasǎ C 2 pentru t > 0 şi X ∈ Ω, atunci funcţia u = u(t, X) este
soluţie clasicǎ a problemei (7.36-7.39).
Demonstraţie: Egalitatea (7.37):
u(t, X) = 0, (∀)t ≥ 0 şi (∀)x ∈ ∂Ω
rezultǎ din apartenenţa U(t) ∈ H01 . Egalitatea (7.38): u(0, X) = u0 (0), (∀)X ∈
Ω rezultǎ din U(0) = u0 .
∂u
Egalitatea (7.39):
(0, X) = u1 (X), (∀)X ∈ ∂Ω rezultǎ din U ′ (0) = u1 .
∂t
Rǎmâne doar sǎ arǎtǎm egalitatea (7.36) adicǎ:
∂2u
+ A · u(t, X) = f (t, X).
∂t2
Pentru a deduce aceastǎ egalitate pornim de la egalitatea (7.41) pe care o
scriem sub forma:
−
ZT Z
0
Ω
Z
∂u
′
(t, X) · V (t)(X)dX dt −
u1 (X) · V (0)(X)dX+
∂t
Ω
264
+
CAPITOLUL 7
Z
0
T
Z
Ω
A · u(t, X) · V (t)(X)dX dt =
ZT Z
0
Ω
f (t, X) · V (t)(X)dX dt.
Itervertind ordinea de integrare şi fǎcând o integrare prin pǎrţi ı̂n raport cu
t ı̂n prima integralǎ, obţinem:
Z ZT Ω
0
∂2u
+ A · u(t, X) − f (t, X) · V (t)(X)dt dX = 0
∂t2
pentru orice V ∈ ST (am ţinut seama de faptul cǎ V (T ) = 0).
Rezultǎ de aici cǎ:
∂2u
+ A · u(t, X) = f (t, X), (∀)t > 0, (∀)X ∈ Ω.
∂t2
Observaţia 7.4.3 Aceastǎ teoremǎ aratǎ cǎ dacǎ o soluţie generalizatǎ este
suficient de ”netedǎ” atunci ea este soluţie clasicǎ.
Teorema 7.4.4 (de unicitate a soluţiei generalizate)
Problema (7.36)-(7.39) are cel mult o soluţie generalizatǎ.
Demonstraţie: Presupunem prin absurd cǎ problema (7.36)-(7.39) admite
soluţiile generalizate U1 (t) şi U2 (t) şi considerǎm funcţia U(t) = U1 (t)−U2 (t).
Pentru orice T > 0 şi orice V ∈ ST funcţiile U şi V verificǎ:
−
ZT
′
′
L2 (Ω) dt +
0
ZT
< U(t), V (t) >A dt = 0
0
Funcţia V definitǎ prin V (t) =
şi are urmǎtoarele proprietǎţi:
RT
t
U(τ )dτ aparţine spaţiilor de funcţii S şi ST
V ′ (t) = −U(t) şi V ′′ (t) = −U ′ (t).
Înlocuind acestea ı̂n relaţia de mai sus rezultǎ cǎ:
ZT
0
′′
′
< V (t), V (t) >L2 (Ω) dt −
ZT
0
< V ′ (t), V (t) >A dt = 0.
Deoarece
< V ′′ (t), V ′ (t) >L2 (Ω) =
şi
< V ′ (t), V (t) >A =
265
1 d
· kV ′ (t)k2L2 (Ω)
2 dt
1 d
· kV (t)k2A
2 dt
egalitatea precedentǎ implicǎ egalitatea:
kV ′ (T )k2L2 (Ω) − kV ′ (0)k2L2 (Ω) − kV (T )k2A + kV (0)k2A = 0.
Ţinem seamǎ acum de egalitǎţile V (T ) = 0, V ′ (0) = U(0) = 0 şi deducem
cǎ:
kV ′ (T )k2L2 (Ω) + kV ′ (T )k2A = 0,
din care rezultǎ V ′ (T ) = 0 şi V (0) = 0.
Întrucât T > 0 este oarecare rezultǎ V ′ (T ) = −U(T ) = 0. Prin urmare
U1 (T ) = U2 (T ), (∀)T ≥ 0. Astfel, rezultǎ cele douǎ soluţii generalizate
coincid.
Consecinţa 7.4.1 Problema (7.36)-(7.39) are cel mult o soluţie clasicǎ.
Teorema 7.4.5 (de existenţǎ a soluţiei generalizate)
Dacǎ funcţia F definitǎ prin F (T )(X) = f (t, X) este continuǎ ca funcţie cu
valori ı̂n L2 (Ω) şi dacǎ u0 ∈ H01 , u1 ∈ L2 (Ω), atunci problema (7.36)-(7.39)
are o soluţie generalizatǎ.
Demonstraţie: Facem demonstraţia ı̂n douǎ etape.
În prima etapǎ deducem o formulǎ de reprezentare a soluţiei generalizate ı̂n
ipoteza cǎ aceastǎ soluţie existǎ.
În a doua etapǎ arǎtǎm cǎ formula de reprezentare gǎsitǎ ı̂n prima etapǎ, ı̂n
condiţiile teoremei, defineşte o funcţie care este o soluţie generalizatǎ.
Etapa I. Presupunem cǎ U = U(t) este o soluţie generalizatǎ a problemei
(7.36)-(7.39) şi considerǎm şirul valorilor proprii
0 < λ1 ≤ λ 2 ≤ λ 3 ≤ · · · ≤ λ k ≤ · · · → ∞
e a operatorului A, şi apoi şirul ortonormat de funcţii
ai prelungirii Friedrichs A
proprii (ωk )k∈IN corespunzǎtor, care este complet ı̂n spaţiul L2 (Ω).
Considerǎm funcţiile
uk (t) =< U(t), ωk >L2 (Ω)
266
CAPITOLUL 7
şi reprezentarea
U(t) =
∞
X
uk (t) · ωk
∞
X
u′k (t) · ωk .
k=1
a funcţiei U(t). Pentru cǎ U ∈ C 1 ([0, +∞); L2 (Ω)) funcţiile uk (t) sunt derivabile şi au derivatǎ continuǎ, iar U ′ (t) se reprezintǎ astfel:
′
U (t) =
k=1
În virtutea acestei formule de reprezentare, egalitatea (7.41) pe care o satisface soluţia generalizatǎ U devine:
−
ZT X
+∞
0
+
k=1
ZT X
+∞
0
k=1
u′k (t)·
′
< V (t), ωk >L2 (Ω) dt −
λk · uk (t) < V (t), ωk >L2 (Ω) dt =
+∞
X
u′k (0)· < V (0), ωk >L2 (Ω) +
k=1
ZT X
+∞
0
fk (t)· < V (t), ωk >L2 (Ω) dt.
k=1
Fie acum j un numǎr natural oarecare fixat şi funcţia Vj ∈ ST definitǎ prin:
Vj (t) = (T − t) · ωj .
În egalitatea precedentǎ ı̂nlocuim V cu Vj , ţinem seama de egalitǎţile
< ωk , ωj >L2 (Ω) = δkj ; V ′ (t) = −ωj , V (0) = T · ωj
şi obţinem:
−T · < u1 , ωj >L2 (Ω) +
ZT
0
u′j (t)dt
+ λj ·
ZT
0
(T − t) · fj (t)dt =
pentru j = 1, 2, . . .
Derivând de douǎ ori ı̂n raport cu T rezultǎ:
 ′′
 u j (T ) + λj · uj (T ) = fj (T ), (∀)T > 0
u′ (0) =< u1 , ωj >L2 (Ω)
 j
uj (0) =< u0 , ωj >L2 (Ω) , j = 1, 2, . . .
ZT
0
(T − t)fj (t)dt
(7.42)
267
Problema cu datele iniţiale (7.42) are o singurǎ soluţie şi aceasta este datǎ
de:
p
p
1
uj (t) =< u0 , ωj >L2 (Ω) · cos λj · t + p · < u1 , ωj >L2 (Ω) · sin λj · t +
λj
(7.43)
T
Z
p
1
+ p · fj (τ ) · sin λj · (t − τ )dτ, (∀)t ≥ 0, j = 1, 2, . . .
λj
0
Astfel rezultǎ cǎ soluţia generalizatǎ U are urmǎtoarea reprezentare:
"
#
+∞
X
p
p
1
U(t) =
< u0 , ωj >L2 (Ω) · cos λj · t +p · < u1 , ωj >L2 (Ω)·sin λj · t ·ωj +
λj
j=1


ZT
+∞
X
p
 p1 · fj (τ ) · sin λj · (t − τ )dτ  · ωj .
+
λj
j=1
0
(7.44)
Etapa II Arǎtǎm acum cǎ, ı̂n condiţiile din teoremǎ formula (7.44) defineşte o funcţie U care aparţine spaţiului S şi verificǎ (7.41) pentru T > 0.
Convergenţele
+∞
X
j=1
2
| < u0 , ωj >L2 | < +∞ şi
+∞
X
j=1
| < u1 , ωj >L2 |2 < +∞
implicǎ convergenţa uniformǎ ı̂n raport cu t ∈ [0, +∞) ı̂n spaţiul L2 (Ω) a
seriei de funcţii:
"
#
+∞
X
p
p
1
< u0 , ω >L2 (Ω) · cos λj · t + p · < u1 , ωj >L2 · sin λj · t · ωj
λj
j=1
şi faptul cǎ suma seriei este funcţie continuǎ de t cu valori ı̂n L2 (Ω).
Inegalitǎţile:
2
ZT
ZT
p
1
T
p · fj (τ ) · sin λj · (t − τ )dτ ≤
fj2 (τ )dτ,
λ
λ
1
j
0
0
268
CAPITOLUL 7
(∀)t ∈ [0, T ], j = 1, 2, . . .
+∞
X
precum şi convergenţa seriei de funcţii continue şi pozitive
fj2 (τ ) la funcţia
j=1
continuǎ kF (τ )k2L2 (Ω) implicǎ convergenţa uniformǎ ı̂n raport cu t ∈ [0, T ]
((∀)T > 0 şi T < +∞) ı̂n L2 (Ω) a seriei de funcţii:
+∞
X

 √1
λi
j=1
Zt
0

p
fj (τ ) · sin λj (t − τ )dτ  ωj
şi faptul cǎ suma seriei este funcţie continuǎ de t cu valori ı̂n L2 (Ω). Rezultǎ
cǎ, ı̂n condiţiile din teoremǎ formula (7.44) defineşte o funcţie
U ∈ C([0, +∞); L2 (Ω)).
Pentru a demonstra apartenenţa U ∈ C 1 ([0, +∞); L2 (Ω)) se considerǎ seria
derivatelor:
+∞ h
i
X
p
p
p
− λj · < u0 , ω >L2 (Ω) · sin λj · t+ < u1 , ωj >L2 (Ω) · cos λj · t · ωj +
j=1
+∞
X
j=1
 T

Z
p
 fj (τ ) · cos( λj ) · (t − τ )dτ  ωj
0
şi se aratǎ cǎ aceasta converge uniform ı̂n raport cu t ∈ [0, T ](T > 0
şi T < +∞) ı̂n spaţiul L2 (Ω).
Trecem sǎ examinǎm convergenţa seriei derivatelor care este de fapt o sumǎ
de trei serii.
Prima dintre acestea este seria
+∞
X
p
p
− λj · < u0 , ωj >L2 (Ω) · sin λj · t · ωj
j=1
şi este uniform convergentǎ ı̂n raport cu t ∈ [0, +∞) dacǎ seria numericǎ:
+∞
X
λj · | < u0 , ωj >L2 (Ω) |2 este convergentǎ. Aceasta din urmǎ, poate fi
j=1
269
scrisǎ sub forma:
+∞
X
j=1
λj · | < u0 , ωj >L2 (Ω) |
2
+∞
X
1
· λ2j · | < u0 , ωj >L2 (Ω) |2 =
=
λ
j=1 j
+∞
X
1
=
· | A | 2 =
λ
j=1 j
2
+∞ X
ωj
=
< u0 , p >A λj
j=1
şi prin urmare este convergentǎ pentru cǎ u0 ∈ H01 .
Urmǎtoarea serie a cǎrei convergenţǎ trebuie examinatǎ este seria
+∞
X
p
< u1 , ωj >L2 (Ω) · cos λj · t · ωj .
j=1
Aceastǎ serie este uniform convergentǎ ı̂n raport cu t ∈ [0, +∞) dacǎ seria
+∞
X
numericǎ
| < u1 , ωj >L2 (Ω) |2 este convergentǎ , ceea ce este adevǎrat
j=1
pentru cǎ u1 ∈ L2 (Ω).
Ceea de a treia serie care trebuie examinatǎ este seria:

 T
Z
+∞
X
p
 fj (τ ) · cos λj · (t − τ )dτ  ωj .
j=1
0
Aceasta este uniform convergentǎ ı̂n raport cu t ∈ (0, T ] (T > 0
T < +∞) dacǎ seria numericǎ:
+∞ ZT
X
p
fj (τ ) · cos λj · (t − τ )dτ j=1 0
este uniform convergentǎ ı̂n raport cu t ∈ [0, T ]. Datoritǎ majorǎrii:
2
T
Z
ZT
+∞
+∞
X
X
p
fj (τ ) · cos λj · (t − τ )dτ ≤
T · fj2 (τ )dτ
j=1 j=1
0
0
şi
270
CAPITOLUL 7
problema se reduce la convergenţa uniformǎ pe [0,T] a seriei
+∞ ZT
X
fj2 (τ )dτ . Aceastǎ din urmǎ convergenţǎ se obţine din convergenţa
j=1 0
uniformǎ a seriei
+∞
X
fj2 (τ )dτ pe [0,T], care rezultǎ pe baza teoeremei lui
j=1
Dini din continuitatea şi pozitivitatea funcţiilor fj2 (τ ), continuitatea funcţiei
+∞
X
2
kF (τ )k şi egalitatea
fj2 (τ ) = kF (τ )k2 , (∀)τ ∈ [0, T ].
j=1
În acest fel, se obţine
U ∈ C 1 ([0, +∞); L2(Ω)).
cǎ
formula
(7.44)
defineşte
o
funcţie
Urmeazǎ sǎ arǎtǎm aparteneţa U ∈ C([0, +∞); H01).
Convergenţa uniformǎ ı̂n raport cu t ∈ [0, +∞) a seriei
+∞
X
j=1
< u0 , ωj >L2 (Ω) · cos
p
λj · t · ω j
ı̂n H01 poate fi asiguratǎ prin convergenţa uniformǎ ı̂n raport cu t ∈ [0, +∞)
a seriei:
+∞
X
p
p
ωj
λj < u0 , ωj >L2 (Ω) · cos λj · t · p
ı̂n H01 .
λj
j=1
Convergenţa acestei serii rezultǎ din convergenţa seriei numerice
+∞
X
j=1
λj | < u0 , ωj >L2 (Ω) |2 ,
convergenţǎ ce este asiguratǎ de ipoteza u0 ∈ H01 .
Convergenţa uniformǎ ı̂n raport cu t ∈ [0, +∞) a seriei de funcţii
+∞
X
p
1
p · < u1 , ωj >L2 (Ω) · sin λj · t · ωj
λj
j=1
ı̂n spaţiul
H01
este asiguratǎ de convergenţa seriei
+∞
X
j=1
2
convergenţǎ care rezultǎ din apartenenţa u1 ∈ L (Ω).
| < u1 , ωj > |2L2 (Ω) ,
271
În fine, convergenţa uniformǎ ı̂n raport cu t ∈ [0, T ] (T > 0 şi T < +∞) a
seriei de funcţii:


ZT
+∞
X
p
 p1
fj (τ ) · sin λj · (t − τ )dτ  ωj
λ
j
j=1
0
ı̂n spaţiul H01 este asiguratǎ dacǎ seria
 T

Z
+∞
X
p
 fj (τ ) · sin λj · (t − τ )dτ 
j=1
0
converge uniform pe [0,T]. Aceasta din urmǎ convergenţǎ a fost deja demonstratǎ.
Am obţinut ı̂n acest fel apartenenţa U ∈ C([0, +∞); H01).
Derivând acum ı̂n raport cu t funcţia U datǎ de (7.44) ca funcţie cu
valori ı̂n L2 (Ω), ţinând seama de relaţiile (7.42) se obţine cǎ funcţia U datǎ
de (7.44) este soluţie generalizatǎ a problemei (7.36)-(7.39).
272
CAPITOLUL 7
Exerciţii:
Determinaţi soluţia generalizatǎ pentru fiecare
Cauchy-Dirichlet de tip hiperbolic:
 2
∂ u
∂2u


=
,
(x, t) ∈ (0, l) × (0, +∞)


∂t2
∂x2








 u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0
1.
2.
3.
din
Problemele

4π


u(x, 0) = sin x,
x ∈ [0, l]


l







 ∂u (x, 0) = 0,
x ∈ [0, l]
∂t
4π
4π
R: u(x, t) = cos t · sin x
l
l
 2
2
∂ u
∂ u


= 2 − t · sin x, (x, t) ∈ (0, π) × (0, +∞)


2

∂t
∂x






t≥0
 u(0, t) = u(π, t) = 0,



u(x, 0) = 4 sin x cos x, x ∈ [0, π]








 ∂u (x, 0) = 2 sin 3x,
x ∈ [0, π]
∂t
R: u(x, t) = (sin t − t) · sin x + 2 cos 2t · sin 2x+
2
+ sin 3t · sin 3x
3
 2
2
∂
u
∂
u


= 4 2,
(x, t) ∈ (0, π) × (0, +∞)



∂t2
∂x






t≥0
 u(0, t) = u(π, t) = 0,



u(x, 0) = 2 sin x,
x ∈ [0, π]








 ∂u (x, 0) = sin x + sin 2x, x ∈ [0, π]
∂t
1
1
R: u(x, t) = 2 cos 2t + sin 2t · sin x + sin 4t · sin 2x
2
4
Calculul simbolic şi numeric pentru ecuaţii hiperbolice
7.5
273
Calculul simbolic şi numeric al soluţiei
Problemei Cauchy-Dirichlet pentru
ecuaţii hiperbolice
Deoarece pentru calculul simbolic al soluţiei unei probleme Cauchy-Dirichlet
funcţia pdsolve nu afişeazǎ nimic, vom trece la rezolvarea numericǎ folosind
funcţia pdsolve specificǎ calculului numeric, a cǎrei sintaxǎ a fost prezentatǎ
ı̂ntr-unul din paragrafele anterioare.
Pentru exemplificare considerǎm urmǎtoarele probleme Cauchy-Dirichlet de
tip hiperbolic:
Exemplul 1:
 2
∂2u
∂ u


(x,
t)
=
(x, t)



∂t2
∂x2






 u(0, t) = u(1, t) = 0


u(x, 0) = x2 − x









 ∂u (x, 0) = 0
∂t
Wave equation
>
PDE1 :=diff(u(x,t),t,t)=diff(u(x,t),x,x);
2
>
2
∂
∂
PDE1 := ∂t
2 u (x, t) = ∂x2 u (x, t)
IBC1 := {u(0,t)=0, u(1,t)=0,u(x,0)=x^2-x, D[2](u)(x,0)=0};
IBC1 := {u (0, t) = 0, u (1, t) = 0, u (x, 0) = x2 − x, D2 (u) (x, 0) = 0}
>
>
274
CAPITOLUL 7
p2 := pds1:-plot(t=1/10):
p3 := pds1:-plot(t=1/2):
title=‘Wave profile at t=0,0.1,0.5,1,2‘);
>
Figura 36
Figura 37
275
Exemplul 2:
 2
∂ u
∂2u


(x,
t)
=
(x, t) − t · sinx



∂t2
∂x2






 u(0, t) = u(π, t) = 0


u(x, 0) = 4 · sinx · cosx









 ∂u (x, 0) = 2 · sin3x
∂t
Wave equation
>
PDE2 :=diff(u(x,t),t,t)=diff(u(x,t),x,x)-t*sin(x);
2
2
∂
∂
PDE2 := ∂t
2 u (x, t) = ∂x2 u (x, t) − t sin (x)
>
IBC2 :={u(0,t)=0,u(Pi,t)=0,u(x,0)=4*(sin(x))*(cos(x)),
D[2](u)(x,0)=2*sin(3*x)};
IBC2 := {u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, u(x, 0) = 4 sin(x) cos(x),
D2 (u)(x, 0) = 2 sin(3 x)}
>
>
p7 := pds2:-plot(t=1/10):
p8 := pds2:-plot(t=1/2):
p10 := pds2:-plot(t=2):
276
>
CAPITOLUL 7
Figura 38
pds2:-plot3d(t=0..1,x=0..Pi/2,axes=boxed);
Figura 39
277
Exemplul 3:
 2
∂ v
∂2v


(x,
t)
=
4
·
(x, t)



∂t2
∂x2






 v(0, t) = v(π, t) = 0


v(x, 0) = 0









 ∂v (x, 0) = 2 · sinx
∂t
Wave equation
>
PDE3 :=diff(v(x,t),t,t)=4*diff(v(x,t),x,x);
2
2
∂
∂
PDE2 := ∂t
2 v (x, t) = 4 ∂x2 v (x, t)
>
IBC3 :={v(0,t)=0,v(Pi/2,t)=0,v(x,0)=0,
D[2](v)(x,0)=2*sin(x);
IBC3 := {v (0, t) = 0, v (1/2 π, t) = 0, v (x, 0) = 0, D2 (v) (x, 0) = 2 sin (x)}
>
>
q2 := pds3:-plot(t=1/10):
q3 := pds3:-plot(t=1/2):
plots[display]({q1,pq2,q3,q4,q5},
278
>
CAPITOLUL 7
Figura 40
pds3:-plot3d(t=0..1,x=0..Pi/2,axes=boxed);
Figura 41
Bibliografie
[1] V.I. Arnold, Ecuaţii diferenţiale ordinare, Editura Ştiinţificǎ şi Enciclopedicǎ, Bucureşti, 1978.
[2] Şt. Balint, A.M. Balint, S. Birǎuaş, C. Chilǎrescu, Ecuaţii diferenţiale
şi ecuaţii integrale, Editura Universitǎţii de Vest, 2001.
[3] V.Barbu, Ecuaţii diferenţiale, Editura Junimea, Iaşi, 1985.
[4] R. Cristescu, Elemente de analizǎ funcţionalǎ şi introducere ı̂n teoria
distrubuţiilor, Editura Tehnicǎ, 1966.
[5] S.A. Coddington, N. Levinson, Theory of ordinary differential equations,
McGraw Hill, New York, 1955.
[6] A. Corduneanu, Ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii ı̂n electrotehnicǎ, Editura Facla, 1981, Timişoara
[7] C. Corduneanu, Ecuaţii diferenţiale şi integrale, Universitatea ”Al.I.
Cuza”, Iaşi, 1971.
[8] G.M. Fihtenholt, Curs de calcul diferenţial şi integral, Editura Tehnicǎ,
1964.
[9] D. Gaşpar, N. Suciu, Analizǎ complexǎ, Editura Academiei Române,
1999.
[10] A. Halanay, Ecuaţii diferenţiale şi integrale, Universitatea din Bucureşti,
1971.
[11] A. Halanay, Ecuaţii diferenţiale, Editura Didacticǎ şi Pedagogicǎ, Bucureşti, 1972.
279
280
BIBLIOGRAFIE
[12] J.Ray Hanna, John H. Rowland, Fourier series, transforms, and boundary value problems A Wiley-Interscience Publication John Wiley and
Sons, Inc., 1991, USA.
[13] D. Hǎrǎguş, Ecuaţii cu derivate parţiale, Editura Universitǎţii de Vest,
Timişoara, 2001.
[14] A. Eckstein, D. Hǎrǎguş, Exerciţii standard de ecuaţii cu derivate
parţiale, Tipografia Universitǎţii de Vest din Timişoara, 2000.
[15] Ph. Hartman, Ordinary Differential Equations, J. Wiley, New York,
1964.
[16] M. Hirsh, S. Smale, Differential Equations, dynamical systems and linear
algebra, Academic Press, New York, 1974.
[17] J. Hubbard, B. West, Équations différentielles et systémes dynamiques,
Cassini, Paris, 1999.
[18] St. Miricǎ, Ecuaţii diferenţiale, Editura Universitǎţii din Bucureşti,
1999.
[19] Gh. Moroşanu, Ecuaţii diferenţiale. Aplicaţii, Editura Academiei, Bucureşti, 1989.
[20] M.Reghiş, P.Topuzu, Ecuaţii diferenţiale ordinare, Editura Mirton,
2000.
[21] E. Rogai, Exerciţii şi probleme de ecuaţii diferenţiale şi integrale, Editura Tehnicǎ, 1965.
[22] N. Rouche, P. Habets, M. Laloy, Stability Theory by Liapunov direct
Method, Springer, 1977.
[23] I.A. Rus, P. Pavel, Ecuaţii diferenţiale, Editura Didacticǎ şi Pedagogicǎ,
Bucureşti, 1982.
[24] I.A. Rus, Ecuaţii diferenţiale, ecuaţii integrale şi sisteme dinamice Casa
de Editurǎ Transilvania Press, 1996.
[25] V.V. Stepanov, Curs de ecuaţii diferenţiale, Editura Tehnicǎ, Bucureşti,
1955.
BIBLIOGRAFIE
281
[26] M.Stoka, Culegere de probleme de funcţii complexe, Editura Tehnicǎ,
1965.
[27] M. Tihonov, A.A. Samarski, Ecuaţiile fizicii matematice, Editura
Tehnicǎ, 1956.
[28] K. Yosida, Équations différentielles et intégrales, Dunod, Paris, 1971.

Capitolul 1 Ecuatii diferentiale de ordinul ˆıntâi rezolvabile prin

Transcription

Similar documents

tipuri de gramatici în manuscrise muzicale de tradiţie bizantină

Marketing Direct: un nou mod de promovare a

Descarca aici

Academicianul Gheorghe Spacu și impactul său asupra chimiei

materica - Cotto d`Este

юяЁ

Cum l-a ]epuit Gigi pe c`pitanul s`u, Cristi T`nase

Nr.21

Revista Acord nr.4

281 - INFORMATIA DE HUNEDOARA

Nr.112