EARCO 2011

XIII Encuentros
de
Análisis Real y Complejo
Zarautz, 5-7 de mayo de 2011
Analisi Erreal eta Konplexuko XIII. Topaketak
XIII Encuentros de Análisis Real y Complejo
Financiado parcialmente por los proyectos de
investigación IT-305-07 y MTM 2007-62186.
Matematika Saila
Dpto. de Matemáticas
www.ehu.es
EARCO 2011
Zarautz
5-7 mayo
http://www.ehu.es/earco2011/
Comité Organizador:
Miguel Ángel Alejo
Jone Apraiz
Naiara Arrizabalaga
Javier Duoandikoetxea
Luis Escauriaza
Luca Fanelli
Andoni García
Adela Moyua
Osane Oruetxebarria
Luis Vega
Miren Zubeldia
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Jueves, 5 de mayo
15.30-16.30 Recepción y entrega de documentación
16.30 Daniel Girela (Universidad de Málaga)
Aplicaciones conformes y multiplicadores entre espacios de Besov
17.15 Francisco Manuel Canto (Universidad de Sevilla)
Pares de unicidad de Heisenberg y operadores de Perron-Frobenius
18.00 Alicia Cantón (Universidad Politécnica de Madrid)
Valores asintóticos de funciones meromorfas enteras
Viernes, 6 de mayo
9.30 Gustavo Ponce (University of California, Santa Barbara)
Sobre propiedades de unicidad de soluciones de ecuaciones dispersivas no lineales
10.15
Naiara Arrizabalaga (Universidad del Paı́s Vasco/Euskal
Herriko Unibertsitatea)
Extensiones autoadjuntas de operadores de Dirac mediante desigualdades de tipo Hardy-Dirac
11.00 Elona Agora (Universitat de Barcelona)
Acotación de la transformada de Hilbert en los espacios de Lorentz
con dos pesos
11.45-12.15 Café, pastas y pinchos
12.15 Bharti Pridhnani (Universitat de Barcelona)
Densidades de Beurling-Landau en variedades compactas
13.00 Julio Bernués (Universidad de Zaragoza)
Factorización de desigualdades de Sobolev
21.00 Autobús al restaurante Arguiñano Anaiak y cena
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Sábado, 7 de mayo
9.45 Antonio Manzano (Universidad de Burgos)
Inclusiones absolutamente continuas y teorı́a de interpolación
10.30 Eduardo Jiménez (Universidad Politécnica de Valencia)
Sucesiones ortogonales en el espacio L2 de una medida vectorial
11.15-11.45 Café, pastas y pinchos
11.45 Alejandro Castro (Universidad de La Laguna)
Propiedades geométricas de los espacios de Banach y análisis armónico asociado a operadores de Bessel
12.30 José González Llorente (Universitat Autònoma de Barcelona)
Diferenciabilidad de funciones de Zygmund y de Weierstrass
14.00 Comida en el hotel Zarauz
16.15 Maricruz Vilela (Universidad de Valladolid)
Principios de absorción al lı́mite para la ecuación de Navier
17.00 Ezequiel Rela (Universidad de Buenos Aires y Universidad
de Sevilla)
Estimaciones de dimensión para conjuntos de Furstenberg generalizados
17.45 Marta Llorente (Universidad Autónoma de Madrid)
Problema de computabilidad de medidas tipo Hausdorff
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Elona Agora
Universitat de Barcelona
Acotación de la transformada de Hilbert en los espacios de Lorentz con
dos pesos
El principal objetivo de esta charla es comentar algunos resultados referentes a la acotación de la transformada de Hilbert, H, en los espacios de
Lorentz con dos pesos Λpu (w) y Λp,∞
u (w). Dado un peso u en R y un peso w
p
p,∞
+
en R , los espacios Λu (w) y Λu (w) se definen del siguiente modo:
)
(
Z
∞
Λpu (w) = f ∈ M(X) : ||f ||Λpu (w) =
Λp,∞
u (w)
1/p
(fu∗ (t))p w(t)dt
=
<∞ ,
0
f ∈ M(X) : ||f ||Λp,∞
(w) = sup W
u
t>0
1/p
(t)fu∗ (t)
<∞ ,
donde fu∗ (t) = inf{s > 0 : u({x ∈ R : |f (x)| > s}) ≤ t} es la reordenada deRt
creciente de f respecto a la medida u y W (t) = 0 w(s)ds. Si w = 1 se
recuperan los espacios de Lebesgue con pesos Lp (u) y Lp,∞ (u) y si u = 1 se
recuperan los espacios de Lorentz clásicos Λp (w) y Λp,∞ (w).
Se presentarán condiciones suficientes para la acotación fuerte (resp. débil)
de H. Estas condiciones, que en algunos casos hemos probado que también
son necesarias, recuperan en los casos clásicos (w = 1 y u = 1) las caracterizaciones de la acotación fuerte (resp. débil) de H ya conocidas. Además,
se mencionarán resultados parciales para el caso no diagonal.
Naiara Arrizabalaga
Universidad del Paı́s Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea
Extensiones autoadjuntas de operadores de Dirac mediante desigualdades de tipo Hardy-Dirac
En esta charla estudiaremos condiciones para que ciertos operadores de
Dirac sean autoadjuntos. Se construyen extensiones autoadjuntas distinguidas de operadores de Dirac con potenciales de tipo
w1 I 2
0
V =
,
0 w2 I2
donde w1 , w2 son funciones reales o medidas singulares. La demostración
depende de las condiciones impuestas al potencial. Para cierto signo de V
necesitaremos probar desigualdades de Hardy-Dirac con pesos relacionados
con w1 y w2 .
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Julio Bernués
Universidad de Zaragoza
Factorización de desigualdades de Sobolev
La desigualdad clásica de Sobolev establece
k∇f kp ≥ Cp,n kf kq ,
1 ≤ p < n,
1
1 1
= − .
q
p n
Recientemente, se han obtenido extensiones y mejoras con métodos tanto
del Análisis real como de la Geometrı́a Convexa. En la charla se conectan
los resultados de ambos puntos de vista.
Trabajo conjunto con David Alonso y Jesús Bastero (Universidad de Zaragoza).
Francisco Manuel Canto Martı́n
Universidad de Sevilla
Pares de unicidad de Heisenberg y operadores de Perron-Frobenius
Sea Γ una curva en el plano y Λ un subconjunto del plano. Sea M (Γ, Λ) el
espacio de las medidas de Borel complejas y finitas en el plano con soporte
contenido en Γ, que son absolutamente continuas con respecto a la medida
de longitud de arco y cuya transformada de Fourier se anula en Λ. Decimos
que (Γ, Λ) es un par de unicidad de Heisenberg si M (Γ, Λ) es el espacio
trivial. En esta exposición consideraremos pares que no son de unicidad de
Heisenberg. La curva Γ será la hipérbola y el conjunto Λ será el retı́culo
Λ = (αZ × {0}) ∪ ({0} × βZ) ,
donde αβ > 1. Daremos una idea de la prueba del hecho de que M (Γ, Λ)
tiene dimensión infinita, lo que muestra que (Γ, Λ) deja de ser un par de
unicidad de Heisenberg en una forma drástica con respecto al caso αβ ≤ 1,
en que sı́ lo es. Sistemas dinámicos, y sobre todo operadores de PerronFrobenius, juegan un papel fundamental en la prueba, por lo que presentaremos también brevemente las herramientas básicas necesarias.
Trabajo conjunto con Haakan Hedenmalm (KTH, Estocolmo) y Alfonso
Montes Rodrı́guez (Universidad de Sevilla).
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Alicia Cantón
Universidad Politécnica de Madrid
Valores asintóticos de funciones meromorfas enteras
Extendiendo la definición habitual, diremos que una función es entera si
es una función holomorfa o meromorfa definida en todo el plano complejo,
C.
El teorema de Liouville establece que toda función holomorfa entera (no
constante) es no acotada. En el lenguaje que usaremos, este enunciado se
puede reformular diciendo que el infinito es siempre valor asintótico de funciones holomorfas enteras. Un punto es valor asintótico de una función definida en C si es el lı́mite de dicha función a lo largo de una curva continua
que llega al infinito.
El conjunto de valores asintóticos de funciones enteras es siempre un conjunto analı́tico en el sentido de Suslin. En un trabajo realizado en colaboración con David Drasin y Ana Granados se completa la caracterización
de los conjuntos de valores asintóticos de funciones enteras mostrando que,
recı́procamente, todo conjunto analı́tico es conjunto de valores asintóticos
de una función meromorfa entera con cualquier orden de crecimiento predeterminado.
Trabajo conjunto con David Drasin (Purdue University) y Ana Granados
(St. Louis University, Madrid).
Alejandro Castro
Universidad de La Laguna
Propiedades geométricas de los espacios de Banach y análisis armónico
asociado a operadores de Bessel
Las propiedades geométricas de un espacio de Banach se pueden caracterizar mediante la acotación en Lp de ciertos operadores vector valuados
propios del análisis armónico (potencias imaginarias del laplaciano, transformadas de Riesz, g-funciones de Littlewood-Paley, . . . ). Por ejemplo, Bourgain [1] y Burkholder [2] establecieron que un espacio de Banach B es U M D
(Unconditional Martingale Difference) si, y sólo si, la transformada de Hilbert es acotada en Lp (B), para algún 1 < p < ∞ (o equivalentemente, para
todo 1 < p < ∞).
Recientemente, Ouyang y Xu [3] caracterizaron los espacios de Banach
q-uniformemente convexos y q-uniformemente suaves analizando la relación
entre medidas de Carleson definidas a través de la integral de Poisson y
funciones vector valuadas en BM O. Veremos que las medidas de Carleson
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asociadas a la integral de Poisson para el operador de Bessel también caracterizan a estos espacios q-uniformemente convexos y suaves.
[1] J. Bourgain, Some remarks on Banach spaces in which martingale difference
sequences are unconditional, Ark. Mat. 21 (1983), no. 2, 163–168.
[2] D.L. Burkholder, A geometric condition that implies the existence of certain singular integrals of Banach-space-valued functions, Conference on harmonic
analysis in honor of Antoni Zygmund, Vol. I, II (Chicago, Ill., 1981), 270–286.
[3] C. Ouyang, Q. Xu, BMO functions and Carleson measures with values in
uniformly convex spaces, Canad. J. Math. 62 (2010), no. 4, 827–844.
Trabajo conjunto con Jorge J. Betancor y Lourdes Rodrı́guez-Mesa (Universidad de La Laguna).
Daniel Girela
Universidad de Málaga
Aplicaciones conformes y multiplicadores entre espacios de Besov
Para 1 < p < ∞, el espacio de Besov B p es el formado por las funciones
f que son analı́ticas en el disco unidad D cuya derivada f 0 pertenece al
espacio de Bergman App−2 , mientras que el espacio minimal B 1 es el formado
por todas las funciones f que son analı́ticas en D cuya derivada segunda
pertenece al espacio A1 .
Los espacios B p , 1 ≤ p < ∞, forman una familia anidada de espacios
conformente invariantes que están contenidos en el espacio de Bloch.
Para 1 < p < ∞, las funciones univalentes en B p están completamente caracterizadas. La situación es totalmente diferente para p = 1. En esta charla
presentaremos distintas condiciones que, si son satisfechas por una función
univalente, implican su pertenencia en el espacio minimal B 1 . Discutiremos
también la cuestión de caracterizar los multiplicadores puntuales de B p en
B q (1 ≤ p, q < ∞), prestando especial atención a los multiplicadores univalentes entre estos espacios.
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José González Llorente
Universitat Autònoma de Barcelona
Diferenciabilidad de funciones de Zygmund y de Weierstrass
El caso lı́mite en la construcción de Weierstrass de funciones continuas no
diferenciables en ningún punto pertenece a la llamada clase de Zygmund.
Rajchman y Zygmund observaron que en una variable las funciones de
Zygmund tienen todavı́a algunas “buenas”propiedades de diferenciación, en
el sentido que los cocientes incrementales son acotados en muchos puntos.
Métricamente, el resultado óptimo fue obtenido por Makarov en los 80 y sus
técnicas tuvieron implicaciones notables en Teorı́a Geométrica de Funciones.
En la charla consideraremos también el análogo del problema en dimensión superior, con especial atención al caso de funciones de Zygmund dadas
por series de tipo Weierstrass. Los resultados de dimensión superior son parte de trabajos en colaboración con J. J. Donaire y A. Nicolau (Universitat
Autònoma de Barcelona).
Eduardo Jiménez
Universidad Politécnica de Valencia
Sucesiones ortogonales en el espacio L2 de una medida vectorial
En esta exposición se introducen tres nociones de ortogonalidad relacionadas con integración de una medida vectorial. Esta proporciona nuevas
herramientas que nos permiten entender las series ortogonales en espacios
de funciones de Banach y que proporcionan un nuevo marco de estudio para
la convergencia de series. El espacio L2 (m) de una medida vectorial m es el
contexto natural para analizar estos casos y la existencia de tales sucesiones ortogonales —en los tres sentidos que introducimos— genera también
información sobre la geometrı́a de los espacios.
Mostraremos también ejemplos y aplicaciones en el contexto del análisis
funcional y los progresos en un entorno de Nevalinna, Riesz y otros.
E. Jiménez Fernández and E. A. Sánchez Pérez, Weak orthogonal sequences in
L2 of a vector measure and the Menchoff-Rademacher Theorem, preprint.
L.M. Garcı́a-Raffi, E. Jiménez Fernández and E.A. Sánchez Pérez, Vector measure orthogonal sequences and time parametrization, preprint.
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Marta Llorente
Universidad Autónoma de Madrid
Problema de computabilidad de medidas tipo Hausdorff
En esta charla damos un algoritmo para calcular exactamente la medida centrada de Hausdorff para conjuntos autosemejantes. De esta manera
podemos distinguir conjuntos de la misma dimensión como el conjunto de
Cantor 1/4 en el plano y el triángulo de Sierpinski 1/3. Discutiremos las
ventajas de la medida centrada de Hausdorff para este tipo de problemas
ası́ como varios ejemplos sobre los que hemos implementado el algoritmo
probando su eficiencia.
Trabajo conjunto con Manuel Morán (Universidad Complutense).
Antonio Manzano
Universidad de Burgos
Inclusiones absolutamente continuas y teorı́a de interpolación
En esta charla estamos interesados en el estudio de las inclusiones absolutamente continuas entre espacios de funciones. La absoluta continuidad de
una inclusión es una propiedad interesante que está estrechamente relacionada con la compacidad.
En primer lugar, nos centraremos en inclusiones absolutamente continuas
entre dos espacios invariantes por reordenamiento. En particular, mostraremos propiedades de esta clase de inclusiones en términos de las funciones
fundamentales de los espacios involucrados. Posteriormente, utilizando técnicas de la teorı́a de interpolación, extenderemos el estudio a inclusiones entre
espacios generales (no necesariamente invariantes por reordenamiento) que
sean espacios intermedios con respecto al par de Banach (L1 , L∞ ).
Trabajo conjunto con Pedro Fernández-Martı́nez (Universidad de Murcia)
y Evgeniy Pustylnik (Technion - Israel Institute of Technology).
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Gustavo Ponce
University of California, Santa Barbara
Sobre propiedades de unicidad de soluciones de ecuaciones dispersivas no
lineales
En esta charla repasaremos algunos resultados recientes concernientes con
propiedades de unicidad de soluciones de problemas dispersivos. Consideraremos los siguientes sistemas canónicos de ecuaciones dispersivas: la ecuación
de Korteweg-de Vries (KdV), ecuaciones de tipo Schrödinger (Sch) y la ecuación de Benjamin-Ono (BO). Estos modelan varios fenomenos fisicos y en
casos particulares son ejemplos de ecuaciones completamente integrables.
Incluiremos resultados obtenidos en colaboracion con L. Escauriaza,
C. E. Kenig, y L. Vega (KdV, Sch), y con G. Fonseca (BO).
Bharti Pridhnani
Universitat de Barcelona
Densidades de Beurling-Landau en variedades compactas
Dada una variedad riemaniana compacta M , consideramos los espacios
de funciones de L2 (M ) generados por los vectores propios del laplaciano
correspondientes a los valores propios menores que L ≥ 1. Estudiaremos las
familias de puntos de interpolación y sampling asociados a estos espacios.
El resultado principal da condiciones necesarias para que una familia sea de
interpolación o sampling en términos de las densidades de Beurling-Landau.
Para probar dicho resultado, usaremos las técnicas que empleó Landau en
el contexto de los espacios de Paley-Wiener.
Trabajo en colaboración con Joaquim Ortega-Cerdà (Universitat de Barcelona).
Ezequiel Rela
Universidad de Buenos Aires y Universidad de Sevilla
Estimaciones de dimensión para conjuntos de Furstenberg generalizados
Dado α ∈ (0, 1], decimos que un conjunto E ⊂ R2 está en la clase Fα
(conjuntos de Furstenberg de tipo α) si para cada dirección e ∈ S existe un
segmento unitario `e en la dirección de e tal que
(1)
dimH (`e ∩ E) ≥ α.
Si definimos γ(α) = inf{dimH (E) : E ∈ Fα }, entonces el problema de
Furstenberg es determinar γ(α). Hasta ahora, el mejor resultado conocido
11
es que valen las desigualdades:
1
1 3
(2)
max{2α; + α} ≤ γ(α) ≤ + α.
2
2 2
Motivados por el estudio de este problema para el caso extremo α = 0
(en donde la prueba de (2) no puede usarse directamente), atacamos este
problema desde el punto de vista de la dimensión generalizada de Hausdorff. Consideramos la clase más general de conjuntos de Furstenberg Fh ,
reemplazando la hipótesis (1) por
(3)
Hh (`e ∩ E) > 0,
donde Hh es la medida de Hausdorff asociada a la función de dimensión h.
Probamos que las cotas inferiores en (2) pueden generalizarse en el sentido
de que la función de dimensión apropiada para un conjunto √
de la clase Fh
debe ser dimensionalmente no mucho más chica que h2 o ·h. También
generalizamos la construcción que prueba la cota superior para el caso de
una familia de funciones cero dimensionales y probamos que para esta familia
la dimensión exacta es 1/2.
Con las mismas técnicas probamos que si el conjunto de direcciones se
reduce de todo el cı́rculo a un subconjunto L ⊂ S tal que dimH (L) ≥ β > 0,
entonces cualquier conjunto E de Furstenberg de tipo α asociado a este
conjunto de direcciones L debe satisfacer la desigualdad:
β
dimH (E) ≥ max 2α + β − 1; + α .
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Trabajos en colaboración con Ursula Molter (Universidad de Buenos Aires).
Maricruz Vilela
Universidad de Valladolid
Principios de absorción al lı́mite para la ecuación de Navier
Analizaremos la relación existente entre la ecuación espectral de Navier,
la ecuación de Helmholtz y las transformadas de Riesz. Con permiso de
la transformadas de Riesz, probaremos algunas estimaciones a priori para
la resolvente del operador de Navier. Dichas estimaciones son una generalización de estimaciones análogas que se conocen para la resolvente del
Laplaciano en Rn . Las constantes de las estimaciones que probaremos no
explotan cuando nos aproximamos al espectro del operador de Navier, lo que
nos permitirá probar principios de absorción al lı́mite para dicho operador.
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Direcciones útiles:
1. Antoniano ikastetxea/Oteitza Lizeo Politeknikoa,
Gipuzkoa kalea, 3.
Las conferencias tendrán lugar en el Salón de Actos (entrada por
San Frantzisko kalea).
2. Hotel Zarauz, Nafarroa kalea, 26.
Alojamiento y comida del sábado dı́a 7 de mayo.
3. Hotel Alameda, Seitximeneta kalea, 4.
Alojamiento y café entre conferencias.
4. Restaurante Arguiñano Anaiak/Escuela de Hostelerı́a Aiala,
Nafarroa kalea, 61.
Cena del viernes dı́a 6 de mayo. El restaurante está en las afueras
de Zarautz. Habrá un autobús para el desplazamiento desde el hotel
al restaurante.