Blatt 13 - Fakultät für Mathematik

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. J. Stöckler
Dipl.-Wirt.-Math. T. Springer
Dortmund, 17.01.2012
Numerische Mathematik I
13. Übungsblatt
Aufgabe 49 Bestimmen Sie mit Hilfe der Singulärwertzerlegung eine Matrix
A = U ΣV T =
p
(a1 , a2 , a3 ) ∈ R2×3 mit kaj k2 = 1, j = 1, 2, 3, und Singulärwerten σ1 = σ2 = 3/2.
Aufgabe 50 Zu einer Matrix A ∈ Rm×n mit Singulärwertzerlegung A = U ΣV T bezeichnet A+ = V Σ+ U T ∈ Rn×m die Moore-Penrose-Pseudoinverse. Beweisen Sie die folgenden
Aussagen:
a) A+ A und AA+ sind symmetrisch,
b) A+ AA+ = A+ ,
c) AA+ A = A.
Bonus (Globalübung): In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Matrizen
Ak =
k
X
σj uj vjT
j=1
für k < Rang(A) die Low-Rank-Approximationen an A bzgl. k · k2 sind, d.h.
kA − Ak k2 =
min
B∈Rm×n , Rang(B)=k
kA − Bk2 .
Zeigen Sie, dass diese Aussage auch für die Frobeniusnorm k · kF erfüllt ist.
Aufgabe 51
Gegeben seien die Funktionen fk (t) = (t)k+ = max{0, t}k für k ≥ 0 (00 = 1).
a) Berechnen Sie die Ableitungen fk0 .
b) Zeigen Sie, dass für die dividierten Differenzen fk [x0 , . . . , xn ] = 0 gilt in den folgenden
beiden Fällen:
– n > k und xj > 0 für j = 0, . . . , n,
– n ∈ N und xj < 0 für j = 0, . . . , n.
c) Weisen Sie die Beziehung tk = fk (t) + (−1)k fk (−t) für k ∈ N nach.
Aufgabe 52
a) Schreiben Sie ein Octave-/Matlab-Programm LsWithTruncSvd IhrName, das zu den
Eingaben A ∈ Rm×n , b ∈ Rm und k ∈ N das Least-Squares-Problem
kAk x − bk2 = minn kAk y − bk2
y∈R
mit Ak wie in Aufgabe 50 löst. Als Ausgabe soll die Minimallösung x ∈ Rn geliefert
werden.
b) Formulieren Sie zu Beginn des Codes eine if-Anweisung, die bei Eingabe von k > n den
Wert k manuell auf n setzt und eine entsprechende Meldung auf der Konsole ausgibt.
Bei nicht-ganzzahligem k soll das Programm mit einer Fehlermeldung abbrechen.
c) Testen Sie Ihr Programm, indem Sie ein Skript aufgabe52 IhrName schreiben, welches
LsWithTruncSvd IhrName für die Hilbert-Matrix A ∈ R20×20 und b = (0, 1, 0, 1, . . . , )T ∈
R20 und k = 1, . . . , 20 aufruft. Berechnen Sie jeweils die Norm der Residuen kAk x −
bk2 und die Norm der Minimallösungen und interpretieren Sie das Ergebnis in Ihrer
schriftlichen Abgabe.
Hinweise:
• Schicken Sie das lauffähige Programm bitte per Mail an Ihren Übungsleiter mit dem
Betreff ”Numerik Programmieraufgabe <Namen der Gruppenmitglieder>“.
• Programme, die nicht funktionieren, werden nicht gewertet.
Abgabe: Donnerstag, den 24.01.2013, bis 12 Uhr in den Briefkästen im Mathematikgebäude.