Wechselstromkreise - Freie Universität Berlin

Wechselstromkreise
Christopher Bronner, Frank Essenberger
Freie Universität Berlin
29. September 2006
Inhaltsverzeichnis
1 Physikalische Grundlagen
1
2 Aufgaben
5
3 Messprotokoll
3.1 Geräte . . .
3.2 Aufgabe 1 .
3.3 Aufgabe 2 .
3.4 Aufgabe 3 .
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5
5
6
7
9
4 Auswertung
10
4.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Diskussion
1
14
Physikalische Grundlagen
Gleichspannung. Die Beziehung zwischen der Spannung die an einem Bauelement abfällt und dem Strom, der durch es hindurch fließt, sieht in den drei
hier betrachteten Fällen von Widerstand, Kondensator (Kapazität) und Spule
(Induktivität) aus wie folgt:
• Widerstand: UR = −RIR
• Kapazität: IC = −C U˙C
• Induktivität: UL = −LI˙L
Wechselspannung. In einem Wechselstromkreis haben Spannung und Strom die
Form
1
(1)
(2)
U (t) = U0 cos(ωt)
I(t) = I0 cos(ωt + ϕ)
wobei die Frequenz gleich, die Phase jedoch konstant um ϕ verschoben ist.
Man nennt hier U0 und I0 die Amplituden von Spannung und Stromstärke. Man
kann Wechselspannungen aber auch als Realteil einer komplexen Exponentialfunktion vom Betrag der Amplitude interpretieren.
U (t) = Re(U0 eiωt ) =: Re(Ũ (t))
˜
I(t) = Re(I0 eiωt ) =: Re(I(t))
(3)
(4)
Das Äquivalent zum Ohmschen Widerstand im Gleichstromkreis ist die Impedanz im Wechselstromkreis. Sie ist definiert als das Verhältnis der Amplituden
von Spannung und Stromstärke über bzw. durch ein Bauteil.
U0
(5)
I0
Die Impedanz hängt eng mit dem komplexen Widerstandoperator Z eines
Bauteils zusammen. Ausserdem ist die Phasendifferenz zwischen Spannung und
Strom für ein Bauteil charakteristisch.
X :=
Bauteil
Widerstand R
Kapazität C
Induktivität L
Impedanz X
XR = R
1
XC = ωC
XL = ωL
Widerstandsoperator Z
ZR = R
1
ZC = iωC
ZL = iωL
Phase ϕ
π
− π2
+ π2
Tabelle 1: Bauteile
Am Widerstand sind Strom und Spannung im Prinzip in Phase, haben jedoch
entgegengesetztes Vorzeichen, da die Spannung am Widerstand einen Spannungsabfall darstellt. An der Kapazität “eilt der Strom der Spannung vorraus”,
an der Induktivität dagegen ist es umgekehrt: “Der Strom hinkt der Spannung
hinterher”.
Wechselstromnetzwerke lassen sich mathematisch ähnlich Gleichstromnetzwerke behandeln. Dabei rechnet man mit den Impedanzen im Prinzip so, als
wären sie Widerstände. Der Unterschied besteht darin, dass die imaginäre Eigenschaft bei Spule und Kondensator auftauchen muss. Mann rechnet daher erst
mit den komplexen Widerstandsoperatoren wie mit Ohmschen Widerständen
und erhält im Allgemeinen eine komplexe Größe. Deren Betrag ist die Impedanz der Gesamtschaltung.
XReihe
1
XP arallel
¯X ¯
¯
¯
= ¯
Zi ¯
¯X ¯
¯
1 ¯¯
= ¯¯
Zi ¯
2
(6)
(7)
Die Beziehung für die Phasendifferenz ϕ zwischen Strom und Spannung in
einem Wechselstromnetzwerk errechnet sich für Reihen- und Parallelschaltungen
wie folgt.
ϕReihe
ϕP arallel
P
Im Zi
P
Re Zi
P 1
Im
P Z1i
= arctan
Re
Zi
=
(8)
arctan
(9)
Leistung. Die Leistung ergibt sich wie im Gleichstromnetzwerk aus dem Zusammenhang
(10)
P (t) = U (t)I(t)
Leistung, Spannung und Stromstärke sind Funktionen der Zeit mit der selben
Periodizität (Frequenz ω). Ist ist also sinnvoll, über eine Periode T = 2π
ω zu
mitteln. (Dabei benutzt man Gln. 3, 4.)
1
< P >:=
T
ZT
P (t)dt =
1
U0 I0 cos ϕ
2
0
s
Mit der Definition für die Effektivwerte Uef f :=
1
T
RT
(11)
U 2 (t)dt (Ief f analog)
0
und deren Anwendung auf unsere Wechselspannungen und Ströme, also Uef f =
√1 U0 (Ief f analog), erhält man sehr einfach die mittlere Leistung
2
< P >= Uef f Ief f cos ϕ
(12)
Es fällt auf, dass im Falle von Kapazität und Spule, wo cos ϕ = 0 ist, im
Mittel keine Leistung aus der Spannugnsquelle entzogen wird. Allerdings gilt das
nur für ideale Kondensatoren und Spulen. In der Realität verbrauchen Spulen
und Kondensatoren auch Leistung. Ein Maß für die verbrauchte Leistung ist der
Verlustfaktor.
d=
1
tan ϕ
(13)
Um der Realität in dieser Hinsicht gerecht zu werden, ersetzt man Induktivitäten und Kapazitäten durch Ersatzschaltungen. Diese können entweder als
Reihen- oder als Parallelschaltung auftreten. Es ist
XReihe
1
XP arallel
p
R2 + (ωLr )2
s r
1
1
=
+
Rp2
(ωL)2
=
3
(14)
(15)
Für die Phasenverschiebungen gilt
ϕReihe
ϕP arallel
ωLr
Rr
Rp
= arctan −
ωLp
= arctan −
(16)
(17)
Spannungsteiler. Wegen ihrer unterschiedlichen Frequenzabhängigkeit eignen
sich die folgenden drei Schaltungen als Filter für Frequenzbereiche.
Kreis
R-C
R-L
R-C-L
Filtertyp
Hochpass
Tiefpass
Bandpass
Tabelle 2: Frequenzweiche
Wheatstonesche Brücke. Diese Schaltung erlaubt die Bestimmung unbekannter Impedanzen aus einer anderen bekannten Impedanz bei bekannter Frequenz.
Abbildung 1: Wheatstonesche Brückenschaltung
Der Zeiger, in dem ein Voltmeter verbaut ist, wird über einen Widerstand
geschoben, bis die Spannung verschwindet. Dann sind die Teilspannungen über
den beiden linken und den beiden rechten Ästen gerade gleich und bei gleichem
Strom (in den jeweiligen Ästen) ergibt sich das Verhältnis
4
RA
X0
RB
(18)
R1 R0
− R0
R2
(19)
XX =
RX =
2
Aufgaben
1. Aufbau eines R-C-Kreises. Einstellung der charakteristischen Frequenz mit
UR = UC . Messung der Generator- und der Teilspannungen und Bestimmung der Phasenverschiebung. Unabhängige Messung von R und C mit
einem Multimeter und Vergleich der Beobachtungen am R-C-Kreis mit
den theoretischen Erwartungen.
2. Messung des Frequenzganges UR /UG (Verbraucherspannung zu Generatorspannung) an einer Tonfrequenzweiche (Drei-Wege-Weiche mit R-LTiefpass, R-C-L-Bandpass und R-C-Hochpass) und Vergleich mit dem
theoretischen Verlauf durch unabhängige Messung der Werte der Widerstände, Kapazitäten und Induktivitäten mit Digital-Multimetern.
3. Messung der Induktivität und des Verlustwiderstandes einer der beiden
Spulen auf Aufgabe 2 mit einer Wechselstrombrücke und Vergleich mit
der unabhängigen Messung (Digitalmultimeter) von L und dem Gleichstromwiderstand R der Spule.
3
Messprotokoll
Tutor: Theis
Datum: 29. September 2006
Beginn: 14.45, Ende: 18.00
3.1
Geräte
• Steckbrett mit Reitern, div. Widerständen, div. Kondensatoren, div. Spulen (beschrieben im jeweiligen Aufgabenteil)
• Multimeter Metra Hit 12S für Widerstandsmessung. ∆R → 0, 5% + 3dgs.
• Multimeter Voltcraft 3860M für Spannungs- und Strommessung. ∆UAC →
2, 5% + 5dgs., ∆IAC → 2, 5% + 3dgs.
• Multimeter Escort ELC 131D zur Messung von Kapazität und Induktivität.
100µF-100nF:∆C → 0, 7% + 5dgs.
10nF und 1000µF: ∆C → 1% + 5dgs.
1H-100H: ∆L → 0, 7% + 5dgs.
5
100mH und 1000H: ∆L → 1% + 5dgs.
10mH: ∆L → 2% + 5dgs.
• Oszilloskop Hameg 203-4 : 3% Fehler + Ablesefehler (±0,1 Skt.)
• Frequenzgenerator
3.2
Aufgabe 1
Wir haben auf dem Steckbrett einen R-C-Kreis an eine sinusförmige Spannungsquelle angeschlossen und die Spannungen über Widerstand und Kondensator
sowohl mit jeweils einem Multimeter gemessen als auch zur Bestimmung der
Phasenverschiebung an das Oszilloskop angeschlossen.
Abbildung 2: RC-Kreis
Wir haben zunächst Widerstand und Kapazität mit einem Multimeter direkt
gemessen:
R = 989 Ω, C = 0, 980 µF
Danach haben wir die Frequenz des Funktionsgenerators variiert, bis die
Spannungen über Widerstand und Kondensator gleich waren. UC = UR =
2, 437 V . Der Punkt zwischen Widerstand und Kondensator war geerdet (durch
den Anschluss am Oszilloskop), was aber nichts ausmachte, da die Spannungen
ja auf beiden Seiten gleich war und das Potential somit sowieso Null. Die Übernahmefrequenz betrug ν = 163 Hz. Die Spannung am Generator haben wir zu
U0 = 3, 451 V direkt gemessen.
Die beiden Kurven auf dem Oszilloskop haben wir so zunächst kalibriert,
dass die Nulllinie (abgeklemmter Anschluss) auf der Nulllinie der Skala lag.
Dann haben wir die Nulldurchgänge einer vollen Periode für beide abgelesen.
Beide betrugen 6 cm. Die Phasenverschiebung zwischen UC links und UR rechts
betrug 1,5 cm. Dabei war die Skala auf 1 ms
cm eingestellt.
6
3.3
Aufgabe 2
Hier haben wir jetzt die Frequenzweiche aufgesteckt.
Abbildung 3: Frequenzweiche
Auch hier haben wir zuerst alle Bauteile direkt gemessen.
R1 = 8, 33 Ω, R2 = 8, 44 Ω, R3 = 8, 36 Ω
C1 = 44, 94 µF , C2 = 3, 320 µF
L1 = 4, 766 mH, L2 = 495, 4 µH
Dann haben wir die Frequenz in (mit Hinblick auf die logarithmische Auswertung) sinnvollen Schritten verändert und die Spannungen am Generator U0
und über den Verbraucherwiderständen U1 , U2 und U3 gemessen.
7
U1 /mV
198,0
196,0
191,1
185,2
155,9
109,0
82,1
65,7
54,9
33,6
21,0
13,6
9,6
7,3
5,6
4,9
4,0
3,0
42,8
36,1
31,7
28,5
24,0
22,0
20,1
U2 /mV
43,0
50,9
65,3
78,4
126,2
169,5
185,6
193,3
197,6
203,7
172,7
121,3
87,8
67,6
50,3
43,1
36,4
31,0
201,9
203,7
203,2
200,3
187,6
178,6
167,9
U3 /mV
2,8
3,4
4,5
5,5
9,8
16,7
23,3
30,2
37,9
82,5
174,7
212,7
221,7
223,8
224,1
223,9
223,3
222,6
54,0
71,9
92,6
113,7
151,3
156,8
180,3
U0 /mV
308,1
306,1
302,4
298,1
277,4
243,9
226,8
221,3
221,5
252,0
290,0
284,0
271,0
260,7
274,7
241,9
236,7
232,4
230,1
243,9
258,1
269,5
284,0
287,7
289,5
ν/kHz
0,050
0,060
0,080
0,100
0,199
0,400
0,600
0,801
1,008
2,008
4,01
6,02
8,00
10,00
12,95
14,86
17,36
20,22
1,402
1,793
2,209
2,620
3,404
3,790
4,19
Tabelle 3: Uind über ν
Wie aus der Tabelle ersichtlich haben wir erst eine grobe Messreihe durchgeführt und anschliessend in dem Bereich, in dem große Änderungen der Spannungen auftraten, zur späteren besseren Auswertung noch ein paar Messwerte
aufgenommen.So sah die Frequenzweiche in Labor aus:
8
Abbildung 4: Frequenzweiche im Labor
3.4
Aufgabe 3
In dieser Aufgabe haben wir eine Brückenschaltung zur Bestimmung einer Induktivität gesteckt.
Abbildung 5: Wheatstonesche Brückenschaltung
Der Widerstand R0 zur Anpassung der Phase wurde durch einen regelbaren
9
Widerstand realisiert. Zuerst haben wir wieder die Referenzspule L0 , R0 und
die unbekannte Spule LX , RX vermessen.
L0 = 1, 494 mH, R0 = 7, 32 Ω
LX = 4, 767 mH, RX = 5, 84 Ω
Um RA , RB und R0 zu bestimmen, drehten wir immer den einen Drehwiderstand zu einem relativen Minimum und dann den anderen und so immer
wieder im Wechsel hin und her, bis das absolute Minimum gefunden wurde. Dabei begannen wir die Messung des Querstroms mit groben Spannungen, dann
feinen Spannungen, dann groben Stromstärken und feinen Stromstärken bis wir
schließlich ein Minimum von Iquer = 0, 1 µA erreichten. Die Frequenz bei diesem
Versuch betrug ν = 513 Hz. Nachdem das Minimum gefunden war, haben wir
die Widerstände, die zur Berechnung nötig sind, gemessen.
RA = 0, 768 kΩ, RB = 241, 9 Ω, R0 = 18, 02 Ω
4
Auswertung
4.1
Aufgabe 1
Der theoretische Wert ergibt sich aus der Gleichheit von UR = UC . Ersetzt man
beide nach U = XI, wobei X die Impedanz ist, erhält man nach Kürzen mit I:
= XC
(20)
1
R =
(21)
ωC
1
ν =
(22)
2πRC
Danach ergibt sich mit den gemessenen Werten von R und C der theoretische
Wert der Übernahmefrequenz
XR
ν = (164 ± 3) Hz
(23)
Der tatsächlich gemessene Wert beträgt
ν = 163 Hz
(24)
Das Multimeter, das wir zur Messung der Frequenz verwendet haben (wir
haben uns natürlich nicht auf die Angabe auf dem Funktionsgenerator verlassen!) hat leider keine Fehlerangabe bzgl. der Frequenz und deshalb müssen wir
diesen Wert als exakt annehmen. Trotzdem stimmen die beiden Werte sehr gut
überein (zumal der abgelesene Wert sogar noch zwischen 163 Hz und 164 Hz
geschwankt hat).
Zur Bestimmung der Phasendifferenz haben wir die Periodendauer und den
Zeitunterschied zwischen den beiden Signalen bestimmt: T = (6, 0 ± 0, 3) ms,
∆t = (1, 5 ± 0, 2) ms. Nun kann man die Phasendifferenz bestimmen. Das Minuszeichen fügen wir ein, da das zweite Signal (UR ) dem ersten (UC ) zeitlich
hinterherhinkt.
10
2π∆t
= −(1, 57 ± 0, 22)
T
Dies entspricht voll und ganz der Erwartung.
ϕ = ω∆t =
ϕ=−
4.2
(25)
π
≈ −1, 57
2
Aufgabe 2
Betrachtet man einen der drei Pässe der Frequenzweiche, dann ergibt sich zum
einen die Gleichung für die Generatorspannung U0 und zum anderen eine Gleichung für die Spannung über dem jeweiligen Verbraucher.
U0
Ui
(26)
(27)
= Xi Ii
= Ri Ii
Dabei ist Xi die Impedanz des iten Passes. Wenn wir nun die Stromstärke
eliminieren, erhalten wir einen Zusammenhang für das Verhältnis der Spannung
über dem Verbraucher zu der Generatorspannung.
Ui
Ri
=
U0
Xi
(28)
Mit den Regeln für das Rechnen mit komplexen Widerstandsoperatoren und
Impedanzen ergeben sich die drei Impedanzen zu
q
X1
=
X2
=
s
R12 + (2πνL1 )2
µ
R22 + 2πνL2 −
s
X3
=
µ
R32
+
1
2πνC2
(29)
1
2πνC1
¶2
(30)
¶2
(31)
Setzt man nun die drei Impedanzen für die einzelnen Pässe in die Gl. 28
Ui
ein, erhält man drei Funktionen U
(ν), die zusammen mit den entsprechenden
0
gemessenen Werten in den folgenden Grafiken dargestellt sind.
11
1
Abbildung 6: Tiefpass also ln[ U
U0 ] über ln[ν]
2
Abbildung 7: Bandpass also ln[ U
U0 ] über ln[ν]
3
Abbildung 8: Hochpass also ln[ U
U0 ] über ln[ν]
12
Abbildung 9: Alle drei Pässe zusammen
13
Die Ergebnisse entsprechen in sehr zufriedenstellender Weise den theoretischen Vorraussagen.
4.3
Aufgabe 3
Für die unbekannten Größen in der Wheatstoneschen Brückenschaltung gelten folgende Beziehungen zu den gemessenen Parametern.
LX
=
RX
=
RA
L0
RB
RA
R0 − R 0
RB
(32)
(33)
Die entsprechenden Fehler lauten
δLX
∆RX
q
2 + δR2 + δL2
δRA
0
B
s
2
2
R R
2 + δR2 + δR2 )
=
∆R02 + A2 0 (δRA
0
B
RB
=
(34)
(35)
Damit erhält man als Wert aus der Messung der Brückenschaltung:
LX = (4, 7 ± 0, 2) mH
RX = (5, 2 ± 0, 4) Ω
Die direkt mit einem Multimeter gemessenen Werte lauten:
LX = (4, 8 ± 0, 1) mH
RX = (5, 84 ± 0, 06) Ω
Die Ergebnisse für die Induktivität stimmen sehr gut überein, die für den
Gleichstromwiderstand der Spule sind zumindest verträglich.
5
Diskussion
Als maßgebliche Fehlerquelle kann bei allen durchgeführten Experimenten der
hohe Gerätefehler der diversen Multimeter und der des Oszilloskops gesehen
werden. Wir glauben jedoch auch hier, dass diese nicht die tatsächlichen Messungenauigkeiten dieser Geräte widerspiegeln, da die Ergebnisse an sich sehr gut
waren. Nichtsdestotrotz müssen sie natürlich voll berücksichtigt werden. Leider
stand für die Frequenzmessung mit dem Multimeter auch diesmal wieder keine
Fehlerangabe zur Verfügung, wobei diese Messung wohl recht präzise ist und
der Fehler wohl ohnehin nicht besonders ins Gewicht fallen dürfte.
14
Des Weiteren vermuten wir, dass in unseren doch recht umfangreichen Schaltungen mit vielen Kabeln und Reitern die Widerstände dieser Bauteile schon ins
Gewicht fallen könnten, was auch eine Überschlagsrechnung in Aufgabe 1 zeigt:
Die beiden
p gleichen Spannungen von UC und UR müssten mit der Beziehung
U0 = UC2 + UR2 die Generatorspannung ergeben, jedoch ergibt sich danach
U0 = 3, 446 V , was zum tatsächlich gemessenen Wert U0 = 3, 451 V einen Spannungverlust in der Schaltung von etwa 5 mV nahelegt. Da die erste Schaltung
gerade im Vergleich mit der der Frequenzweiche noch relativ einfach ist, kann
dieser Effekt wohl schon ins Gewicht fallen.
Bei Aufgabe zwei hätten wir wohl in unseren theoretischen Überlegungen die
Verlustwiderstände der Spulen mit einer Ersatzschaltung berücksichtigen müssen, was wir erst nach der Messung feststellten und dann wegen der nicht gemessenen Widerstände von L1 und L2 nicht durchführen konnten. Möglicherweise
erklärt das auch die Abweichung von der erwarteten Kurve gerade bei niedrigen
Frequenzen im Tiefpass.
In der praktischen Durchführung ist noch zu beklagen, dass die zur Verfügung stehenden Kabel teilweise zu dünne Stecker hatten und daher manchmal
"Wackelkontakte" auftraten. Auch die Unzuverlässigkeit des einen Funktionsgenerators bei niedrigen Frequenzen war ärgerlich, jedoch nicht weiter tragisch,
da wir einfach den Generator wechselten und sowieso die Frequenzen mit einem
Multimeter überprüften.
Abschließend kann der Versuch im Hinblick auf die gemessenen Werte und ihre
hohe Konsistenz mit der Theorie aber als (sehr) erfolgreich bezeichnet werden.
15